Cách tìm giá trị tối ưu của hàm mục tiêu. Một đoạn trích mô tả hàm mục tiêu. Vấn đề lp chuẩn
Hàm mục tiêu là một hàm có một số biến mà việc đạt được sự tối ưu phụ thuộc trực tiếp vào. Nó cũng có thể hoạt động như một số biến đặc trưng cho một đối tượng cụ thể. Có thể nói rằng, về bản chất, nó cho thấy chúng tôi đã tiến bộ như thế nào để đạt được mục tiêu của mình.
Một ví dụ về các chức năng như vậy là tính toán cường độ và trọng lượng của kết cấu, công suất lắp đặt, khối lượng sản xuất, chi phí vận chuyển và các chức năng khác.
Hàm mục tiêu cho phép bạn trả lời một số câu hỏi:
Việc này việc kia có ích lợi hay không;
Phong trào có đi đúng hướng không?
Sự lựa chọn được thực hiện đúng như thế nào, v.v.
Nếu chúng ta không có cơ hội tác động đến các tham số của hàm, thì có thể nói rằng chúng ta không thể làm bất cứ điều gì, ngoại trừ có lẽ chỉ phân tích mọi thứ. Nhưng để có thể thay đổi một cái gì đó, thường có các tham số hàm có thể thay đổi. nhiệm vụ chinh- điều này nhằm thay đổi các giá trị thành giá trị mà tại đó hàm trở nên tối ưu.
Các hàm mục tiêu không phải lúc nào cũng được trình bày dưới dạng công thức. Đây có thể là một cái bàn chẳng hạn. Ngoài ra, điều kiện có thể ở dạng một số hàm mục tiêu. Ví dụ: nếu bạn muốn đảm bảo độ tin cậy tối đa, chi phí tối thiểu và tiêu thụ vật liệu tối thiểu.
Các bài toán tối ưu hóa phải có điều kiện ban đầu quan trọng nhất - hàm mục tiêu. Nếu làm như vậy thì chúng ta có thể cho rằng tối ưu hóa không tồn tại. Nói cách khác, nếu không có mục tiêu thì không có cách nào để đạt được nó, điều kiện càng kém thuận lợi hơn nhiều.
Nhiệm vụ tối ưu hóa có thể có điều kiện hoặc vô điều kiện. Loại đầu tiên liên quan đến các hạn chế, nghĩa là một số điều kiện nhất định khi đặt vấn đề. Loại thứ hai là tìm mức tối đa hoặc với các tham số hiện có. Thông thường những vấn đề như vậy liên quan đến việc tìm kiếm mức tối thiểu.
Theo cách hiểu cổ điển về tối ưu hóa, các giá trị tham số như vậy được chọn để hàm mục tiêu thỏa mãn kết quả mong muốn. Nó cũng có thể được định nghĩa là quá trình lựa chọn phương án tốt nhất có thể. Ví dụ: chọn phương án phân bổ nguồn lực tốt nhất, phương án thiết kế, v.v.
Có một thứ gọi là tối ưu hóa không đầy đủ. Nó có thể hình thành vì nhiều lý do. Ví dụ:
Số lượng hệ thống đạt đến điểm tối đa là có hạn (độc quyền hoặc độc quyền nhóm đã được thiết lập);
Không có độc quyền nhưng không có nguồn lực (thiếu trình độ trong bất kỳ cuộc thi nào);
Sự vắng mặt của chính nó, hay đúng hơn là “sự thiếu hiểu biết” về nó (một người mơ về một điều gì đó người phụ nữ xinh đẹp, nhưng không biết liệu thứ đó có tồn tại trong tự nhiên hay không), v.v.
Trong điều kiện quan hệ thị trường, hoạt động bán hàng và hoạt động sản xuấtĐối với các công ty, doanh nghiệp, cơ sở để ra quyết định là thông tin về thị trường và tính hợp lệ của quyết định này được kiểm tra khi tham gia thị trường với sản phẩm, dịch vụ tương ứng. Trong trường hợp này, điểm khởi đầu là nghiên cứu nhu cầu của người tiêu dùng. Để tìm giải pháp, hàm mục tiêu tiêu dùng được thiết lập. Nó cho thấy lượng hàng hóa được tiêu thụ và mức độ thỏa mãn nhu cầu của người tiêu dùng cũng như mối quan hệ giữa chúng.
Nếu chỉ có một yếu tố hạn chế (ví dụ: máy khan hiếm), có thể tìm ra giải pháp bằng cách sử dụng các công thức đơn giản (xem liên kết ở đầu bài viết). Nếu có một số yếu tố hạn chế, phương pháp này được sử dụng lập trình tuyến tính.
Lập trình tuyến tính là tên được đặt cho sự kết hợp của các công cụ được sử dụng trong khoa học quản lý. Phương pháp này giải quyết vấn đề phân bổ nguồn lực khan hiếm giữa các hoạt động cạnh tranh nhằm tối đa hóa hoặc giảm thiểu một số Giá trị kiểu số, chẳng hạn như số tiền đóng góp hoặc chi phí. Trong kinh doanh, nó có thể được sử dụng trong các lĩnh vực như lập kế hoạch sản xuất cho độ phóng đại tối đa lợi nhuận, lựa chọn linh kiện để giảm thiểu chi phí, lựa chọn danh mục đầu tư để tối đa hóa lợi nhuận, tối ưu hóa việc vận chuyển hàng hóa để giảm khoảng cách, phân công nhân sự để tối đa hóa hiệu quả công việc và sắp xếp công việc để tiết kiệm thời gian.
Tải ghi chú theo dạng, hình ảnh theo dạng
Lập trình tuyến tính liên quan đến việc xây dựng một mô hình toán học của vấn đề đang được xem xét. Sau đó, giải pháp có thể được tìm thấy bằng đồ họa (được thảo luận bên dưới), với sử dụng Excel(sẽ được xem xét riêng) hoặc các chương trình máy tính chuyên dụng.
Có lẽ việc xây dựng một mô hình toán học là phần khó nhất của quy hoạch tuyến tính, đòi hỏi phải chuyển bài toán đang xét thành một hệ biến, phương trình và bất đẳng thức - một quá trình cuối cùng phụ thuộc vào kỹ năng, kinh nghiệm, khả năng và trực giác của người người làm mô hình.
Hãy xem xét một ví dụ về xây dựng mô hình toán học của quy hoạch tuyến tính
Nikolai Kuznetsov điều hành một nhà máy cơ khí nhỏ. Tháng tới, anh dự định sản xuất hai sản phẩm (A và B), với lợi nhuận biên cụ thể ước tính lần lượt là 2.500 và 3.500 rúp.
Cả hai sản phẩm đều yêu cầu chi phí gia công, nguyên liệu thô và nhân công để sản xuất (Hình 1). Mỗi đơn vị sản phẩm A cần 3 giờ gia công, 16 đơn vị nguyên liệu thô và 6 đơn vị lao động để sản xuất. Yêu cầu đơn vị tương ứng cho Sản phẩm B là 10, 4 và 6. Nicholas dự đoán rằng tháng tới anh có thể cung cấp 330 giờ gia công, 400 đơn vị nguyên liệu thô và 240 đơn vị lao động. Công nghệ của quy trình sản xuất phải được sản xuất ít nhất 12 đơn vị sản phẩm B trong bất kỳ tháng nào.
Cơm. 1. Sử dụng và cung cấp nguồn lực
Nikolai muốn xây dựng một mô hình để xác định số lượng đơn vị sản phẩm A và B mà anh phải sản xuất trong tháng tới để tối đa hóa tỷ suất lợi nhuận đóng góp của mình.
Mô hình tuyến tính có thể được xây dựng theo bốn giai đoạn.
Bước 1: Xác định biến
Có một biến mục tiêu (hãy gọi là Z) cần được tối ưu hóa, tức là tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa (ví dụ: lợi nhuận, doanh thu hoặc chi phí). Nikolay tìm cách tối đa hóa tỷ lệ đóng góp, do đó biến mục tiêu:
Z = tổng lợi nhuận cận biên (tính bằng rúp) nhận được trong tháng tiếp theo do sản xuất sản phẩm A và B.
Có một số biến chưa biết (hãy ký hiệu chúng là x 1, x 2, x 3, v.v.), các giá trị của chúng phải được xác định để thu được giá trị tối ưu của hàm mục tiêu, trong trường hợp của chúng ta là tổng lợi nhuận cận biên. Tỷ lệ đóng góp này phụ thuộc vào số lượng sản phẩm A và B được sản xuất. Giá trị của các đại lượng này cần phải được tính toán và do đó chúng đại diện cho các biến mong muốn trong mô hình. Vì vậy, hãy biểu thị:
x 1 = số đơn vị sản phẩm A sản xuất trong tháng tiếp theo.
x 2 = số đơn vị sản phẩm B sản xuất trong tháng tiếp theo.
Điều rất quan trọng là phải xác định rõ ràng mọi thứ biến; Đặc biệt chú ý Hãy chú ý đến đơn vị đo lường và khoảng thời gian mà các biến số đề cập đến.
Sân khấu. 2. Xây dựng hàm mục tiêu
Hàm mục tiêu là một phương trình tuyến tính phải cực đại hoặc cực tiểu. Nó chứa biến mục tiêu được biểu thị bằng các biến mục tiêu, tức là Z được biểu thị dưới dạng x 1, x 2 ... dưới dạng phương trình tuyến tính.
Trong ví dụ của chúng tôi, mỗi sản phẩm A được sản xuất mang lại 2.500 rúp. lợi nhuận cận biên và khi sản xuất x 1 đơn vị sản phẩm A thì lợi nhuận cận biên sẽ là 2500 * x 1. Tương tự, lợi nhuận biên từ việc sản xuất x 2 đơn vị sản phẩm B sẽ là 3500 * x 2. Như vậy, tổng lợi nhuận cận biên nhận được trong tháng tiếp theo khi sản xuất x 1 đơn vị sản phẩm A và x 2 đơn vị sản phẩm B, tức là biến mục tiêu Z sẽ là:
Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
Nikolay cố gắng tối đa hóa chỉ số này. Do đó, hàm mục tiêu trong mô hình của chúng tôi là:
Tối đa hóa Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
Sân khấu. 3. Xác định các ràng buộc
Những hạn chế là một hệ thống Các phương trình tuyến tính và/hoặc các bất đẳng thức giới hạn giá trị của các biến cần tìm. Chúng phản ánh một cách toán học sự sẵn có của các nguồn lực, các yếu tố công nghệ, điều kiện tiếp thị và các yêu cầu khác. Các ràng buộc có thể có ba loại: “nhỏ hơn hoặc bằng”, “lớn hơn hoặc bằng”, “hoàn toàn bằng nhau”.
Trong ví dụ của chúng tôi, việc sản xuất sản phẩm A và B đòi hỏi thời gian gia công, nguyên liệu thô và lao động, đồng thời khả năng sẵn có của các nguồn lực này là hạn chế. Do đó, khối lượng sản xuất của hai sản phẩm này (nghĩa là giá trị x 1 x 2) sẽ bị hạn chế bởi thực tế là lượng tài nguyên cần thiết trong Quy trình sản xuất, không thể vượt quá những gì có sẵn. Hãy xem xét tình huống với thời gian xử lý của máy. Việc sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm A cần ba giờ gia công và nếu sản xuất x 1 đơn vị thì sẽ tiêu tốn 3 * x 1 giờ nguồn lực này. Mỗi đơn vị sản phẩm B cần 10 giờ để sản xuất và do đó nếu sản xuất x 2 sản phẩm thì cần 10 * x 2 giờ. Như vậy, tổng thời gian máy cần thiết để sản xuất ra x 1 đơn vị sản phẩm A và x 2 đơn vị sản phẩm B là 3 * x 1 + 10 * x 2. Tổng thời gian máy này không được vượt quá 330 giờ. Về mặt toán học điều này được viết như sau:
3*x1 + 10*x2 330
Những cân nhắc tương tự cũng áp dụng cho nguyên liệu thô và lao động, điều này cho phép chúng tôi viết ra thêm hai hạn chế:
16 * x 1 + 4 * x 2 400
6 * x 1 + 6 * x 2 240
Cuối cùng, cần lưu ý rằng có một điều kiện theo đó phải sản xuất ít nhất 12 đơn vị sản phẩm B:
Giai đoạn 4. Viết điều kiện không âm
Các biến được tìm kiếm không thể số âm, phải được viết dưới dạng bất đẳng thức x 1 ≥ 0 và x 2 ≥ 0. Trong ví dụ của chúng ta, điều kiện thứ hai là dư thừa, vì nó đã được xác định ở trên rằng x 2 không thể nhỏ hơn 12.
Một mô hình lập trình tuyến tính hoàn chỉnh cho nhiệm vụ sản xuất Nicholas có thể được viết là:
Tối đa hóa: Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
Với điều kiện là: 3*x1 + 10*x2 ≤ 330
16 * x 1 + 4 * x 2 400
6 * x 1 + 6 * x 2 240
Hãy xem xét một phương pháp đồ họa để giải một bài toán quy hoạch tuyến tính.
Phương pháp này chỉ phù hợp với các bài toán có hai biến chưa biết. Mô hình được xây dựng ở trên sẽ được sử dụng để chứng minh phương pháp.
Các trục trên biểu đồ biểu thị hai biến quan tâm (Hình 2). Không quan trọng biến nào được vẽ dọc theo trục nào. Điều quan trọng là chọn một thang đo mà cuối cùng sẽ cho phép bạn tạo một sơ đồ rõ ràng. Vì cả hai biến đều không âm nên chỉ rút ra góc phần tư thứ nhất.
Cơm. 2. Trục đồ thị quy hoạch tuyến tính
Ví dụ, hãy xem xét ràng buộc đầu tiên: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330. Bất đẳng thức này mô tả diện tích bên dưới đường thẳng: 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330. Đường này cắt trục x 1 tại x 2 = 0, tức là phương trình có dạng như sau: 3 * x 1 + 10 * 0 = 330 và nghiệm của nó: x 1 = 330/3 = 110
Tương tự, chúng ta tính các điểm giao nhau với trục x1 và x2 cho tất cả các điều kiện ràng buộc:
| Vùng đất giá trị chấp nhận được | Giới hạn giá trị chấp nhận được | Giao điểm với trục x 1 | Giao điểm với trục x 2 |
| 3*x1 + 10*x2 330 | 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330 | x 1 = 110; x 2 = 0 | x 1 = 0; x 2 = 33 |
| 16 * x 1 + 4 * x 2 400 | 16 * x 1 + 4 * x 2 = 400 | x 1 = 25; x 2 = 0 | x 1 = 0; x 2 = 100 |
| 6 * x 1 + 6 * x 2 240 | 6 * x 1 + 6 * x 2 = 240 | x 1 = 40; x 2 = 0 | x 1 = 0; x 2 = 40 |
| x 2 ≥ 12 | x 2 = 12 | không vượt qua; chạy song song với trục x 1 | x 1 = 0; x 2 = 12 |
Về mặt đồ họa, giới hạn đầu tiên được hiển thị trong Hình. 3.
Cơm. 3. Xây dựng vùng giải pháp khả thi cho hạn chế thứ nhất
Bất kỳ điểm nào trong tam giác đã chọn hoặc trên ranh giới của nó sẽ đáp ứng ràng buộc này. Những điểm như vậy được gọi là hợp lệ và những điểm nằm ngoài tam giác được gọi là không hợp lệ.
Tương tự, chúng tôi hiển thị các hạn chế còn lại trên biểu đồ (Hình 4). Giá trị của x 1 và x 2 trên hoặc bên trong vùng tô bóng ABCDE sẽ thỏa mãn mọi ràng buộc của mô hình. Vùng này được gọi là vùng của các giải pháp khả thi.
Cơm. 4. Vùng giải pháp khả thi cho toàn bộ mô hình
Bây giờ, trong vùng nghiệm khả thi, cần xác định các giá trị x 1 và x 2 làm Z cực đại hóa. Để làm được điều này, trong phương trình hàm mục tiêu:
Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
chia (hoặc nhân) các hệ số trước x 1 và x 2 cho cùng một số, sao cho các giá trị thu được nằm trong phạm vi được phản ánh trên biểu đồ; trong trường hợp của chúng tôi, phạm vi này là từ 0 đến 120; vì vậy tỷ lệ cược có thể chia cho 100 (hoặc 50):
Z = 25x1 + 35x2
sau đó gán cho Z một giá trị bằng tích các hệ số trước x 1 và x 2 (25 * 35 = 875):
875 = 25x1 + 35x2
và cuối cùng tìm giao điểm của đường thẳng với trục x 1 và x 2:
Hãy vẽ phương trình mục tiêu này trên một biểu đồ tương tự như các ràng buộc (Hình 5):
Cơm. 5. Áp dụng hàm mục tiêu (đường chấm đen) cho vùng lời giải khả thi
Giá trị Z không đổi trong toàn bộ dòng hàm mục tiêu. Để tìm các giá trị x 1 và x 2 làm cho Z cực đại hóa, bạn cần di chuyển song song đường của hàm mục tiêu đến một điểm nằm trong ranh giới của miền nghiệm khả thi, nằm ở khoảng cách tối đa so với đường ban đầu. của hàm mục tiêu lên trên và sang bên phải, nghĩa là đến điểm C (Hình 6).
Cơm. 6. Đường hàm mục tiêu đã đạt cực đại trong vùng lời giải khả thi (tại điểm C)
Chúng ta có thể kết luận rằng giải pháp tối ưu sẽ nằm ở một trong những điểm cực trị của vùng quyết định. Cái nào sẽ phụ thuộc vào độ dốc của hàm mục tiêu và vấn đề chúng ta đang giải quyết: cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa. Vì vậy, không cần thiết phải vẽ đồ thị hàm mục tiêu - tất cả những gì cần thiết là xác định giá trị của x 1 và x 2 tại mỗi điểm cực trị bằng cách đọc từ sơ đồ hoặc bằng cách giải cặp phương trình thích hợp. Sau đó, các giá trị tìm được của x 1 và x 2 được thế vào hàm mục tiêu để tính giá trị Z tương ứng. Lời giải tối ưu là lời giải thu được giá trị Z lớn nhất khi giải bài toán cực đại hóa và nhỏ nhất khi giải bài toán cực đại hóa. vấn đề tối thiểu hóa.
Ví dụ, chúng ta hãy xác định giá trị của x 1 và x 2 tại điểm C. Lưu ý rằng điểm C nằm ở giao điểm của các đường thẳng: 3x 1 + 10x 2 = 330 và 6x 1 + 6x 2 = 240. Giải hệ phương trình này ta có: x 1 = 10, x 2 = 30. Kết quả tính toán cho tất cả các đỉnh của miền nghiệm khả thi được cho trong bảng:
| chấm | Giá trị x 1 | Giá trị x 2 | Z = 2500x1 + 3500x2 |
| MỘT | 22 | 12 | 97 000 |
| TRONG | 20 | 20 | 120 000 |
| VỚI | 10 | 30 | 130 000 |
| D | 0 | 33 | 115 500 |
| E | 0 | 12 | 42 000 |
Vì vậy, Nikolay Kuznets phải lập kế hoạch sản xuất 10 sản phẩm A và 30 sản phẩm B trong tháng tới, điều này sẽ giúp anh ta nhận được khoản lãi cận biên 130 nghìn rúp.
Tóm lại, bản chất của phương pháp đồ họa để giải các bài toán quy hoạch tuyến tính có thể được phát biểu như sau:
- Vẽ hai trục trên đồ thị, biểu diễn hai tham số của nghiệm; chỉ vẽ góc phần tư thứ 1.
- Xác định tọa độ các điểm giao nhau của tất cả các điều kiện biên với các trục, thay lần lượt các giá trị x 1 = 0 và x 2 = 0 vào các phương trình điều kiện biên.
- Vẽ các đường ràng buộc của mô hình trên biểu đồ.
- Xác định vùng trên đồ thị (được gọi là vùng quyết định khả thi) đáp ứng tất cả các ràng buộc. Nếu không có vùng như vậy thì mô hình không có nghiệm.
- Xác định giá trị của các biến mục tiêu tại các điểm cực trị của vùng quyết định và trong mỗi trường hợp hãy tính giá trị tương ứng của biến mục tiêu Z.
- Đối với các bài toán cực đại hóa, nghiệm là điểm tại đó Z là cực đại; đối với các vấn đề cực tiểu hóa, nghiệm là điểm tại đó Z là cực tiểu.
Hàm mục tiêu- hàm thực hoặc số nguyên của một số biến có thể được tối ưu hóa (tối thiểu hóa hoặc tối đa hóa) để giải quyết một số vấn đề tối ưu hóa. Thuật ngữ này được sử dụng trong lập trình toán học, nghiên cứu hoạt động, lập trình tuyến tính, lý thuyết quyết định thống kê và các lĩnh vực khác của toán học, chủ yếu mang tính chất ứng dụng, mặc dù mục tiêu tối ưu hóa cũng có thể là giải pháp của chính vấn đề toán học. Ngoài hàm mục tiêu trong bài toán tối ưu hóa, các ràng buộc có thể được xác định cho các biến dưới dạng hệ đẳng thức hoặc bất đẳng thức. TRONG trường hợp chung các đối số của hàm mục tiêu có thể được chỉ định trên các tập hợp tùy ý.
Ví dụ
Hàm trơn và hệ phương trình
Bài toán giải bất kỳ hệ phương trình nào
( F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 ( \displaystyle \left\((\begin(matrix)F_(1)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\\F_(2)(x_(1),x_ (2),\ldots ,x_(M))=0\\\ldots \\F_(N)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\end(ma trận) )\Phải.)
có thể được phát biểu như một bài toán tối thiểu hóa hàm mục tiêu
S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) (\displaystyle S=\sum _(j=1)^(N)F_(j)^(2)( x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))\qquad (1))
Nếu các hàm trơn tru thì vấn đề tối thiểu hóa có thể được giải quyết bằng phương pháp gradient.
Đối với bất kỳ hàm mục tiêu trơn nào, đạo hàm riêng đối với tất cả các biến có thể bằng 0 (\displaystyle 0). Sự tối ưu của hàm mục tiêu sẽ là một trong những nghiệm của hệ phương trình như vậy. Trong trường hợp hàm (1) (\displaystyle (1)), đây sẽ là hệ phương trình sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu (LSM). Mọi quyết định hệ thống gốc là nghiệm của hệ bình phương tối thiểu. Nếu hệ ban đầu không nhất quán thì hệ bình phương nhỏ nhất, luôn có nghiệm, cho phép chúng ta thu được nghiệm gần đúng của hệ ban đầu. Số phương trình trong hệ bình phương nhỏ nhất trùng với số ẩn, điều này đôi khi tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các hệ ban đầu chung.
Lập trình tuyến tính
Một ví dụ nổi tiếng khác về hàm mục tiêu là hàm tuyến tính, phát sinh trong các bài toán quy hoạch tuyến tính. Ngược lại với hàm mục tiêu bậc hai, việc tối ưu hóa hàm tuyến tính chỉ có thể thực hiện được nếu có các hạn chế ở dạng hệ các đẳng thức hoặc bất đẳng thức tuyến tính.
Tối ưu hóa tổ hợp
Một ví dụ điển hình của hàm mục tiêu tổ hợp là hàm mục tiêu của bài toán nhân viên bán hàng du lịch. Hàm này bằng độ dài của chu trình Hamilton trên đồ thị. Nó được xác định trên tập hợp các hoán vị của n − 1 (\displaystyle n-1) đỉnh của đồ thị và được xác định bởi ma trận độ dài cạnh của đồ thị. Giải pháp chính xác cho những vấn đề như vậy thường nằm ở việc liệt kê các lựa chọn.
Chương 1. Phát biểu bài toán quy hoạch tuyến tính cơ bản
Lập trình tuyến tính
Lập trình tuyến tính là một nhánh của lập trình toán học nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán cực trị được đặc trưng bởi sự phụ thuộc tuyến tính giữa các biến và kiểm định tuyến tính. Những bài toán như vậy có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người. Nghiên cứu có hệ thống về các vấn đề thuộc loại này bắt đầu vào năm 1939–1940. trong các tác phẩm của L.V. Kantorovich.
Các vấn đề toán học của quy hoạch tuyến tính bao gồm các nghiên cứu về các tình huống kinh tế và sản xuất cụ thể, dưới dạng này hay dạng khác được hiểu là các vấn đề về sử dụng tối ưu nguồn tài nguyên giới hạn.
Phạm vi các bài toán được giải bằng phương pháp quy hoạch tuyến tính khá rộng, ví dụ như:
vấn đề sử dụng tối ưu nguồn lực trong quy hoạch sản xuất;
vấn đề hỗn hợp (lập kế hoạch thành phần sản phẩm);
vấn đề tìm kiếm sự kết hợp tối ưu nhiều loại khác nhau sản phẩm lưu kho (quản lý tồn kho);
nhiệm vụ vận chuyển (phân tích vị trí doanh nghiệp, di chuyển hàng hóa).
Lập trình tuyến tính là phần được phát triển và sử dụng rộng rãi nhất của lập trình toán học (ngoài ra, phần này bao gồm: số nguyên, động, phi tuyến, lập trình tham số). Điều này được giải thích như sau:
số lượng lớn các mô hình toán học nhiệm vụ kinh tế tuyến tính đối với các biến mong muốn;
Loại vấn đề này hiện đang được nghiên cứu nhiều nhất. Các phương pháp đặc biệt đã được phát triển cho nó để giải quyết những vấn đề này và các chương trình máy tính tương ứng;
nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính đã được giải quyết và có ứng dụng rộng rãi;
một số bài toán, trong công thức ban đầu không phải là tuyến tính, sau một chuỗi hạn chế bổ sung và các giả định có thể trở thành tuyến tính hoặc có thể được rút gọn thành dạng mà chúng có thể được giải bằng các phương pháp quy hoạch tuyến tính.
Mô hình kinh tế và toán học của bất kỳ bài toán quy hoạch tuyến tính nào bao gồm: hàm mục tiêu, giá trị tối ưu cái nào (tối đa hoặc tối thiểu) cần được tìm thấy; các hạn chế dưới dạng hệ phương trình tuyến tính hoặc hệ bất đẳng thức; yêu cầu tính không âm của các biến.
TRONG nhìn chung mô hình được viết như sau:
hàm mục tiêu
(1.1) có hạn chế
(1.2) yêu cầu không âm
(1.3) ở đâu x j- biến (không rõ);
- các hệ số của bài toán quy hoạch tuyến tính.
Bài toán là tìm giá trị tối ưu của hàm (1.1) tuân theo các ràng buộc (1.2) và (1.3).
Hệ thống ràng buộc (1.2) được gọi là ràng buộc hàm của bài toán và ràng buộc (1.3) được gọi là ràng buộc trực tiếp.
Một vectơ thỏa mãn các ràng buộc (1.2) và (1.3) được gọi là nghiệm (kế hoạch) chấp nhận được của bài toán quy hoạch tuyến tính. Phương án mà hàm (1.1) đạt giá trị tối đa (tối thiểu) được gọi là tối ưu.
1.2. Phương pháp đơn giản giải bài toán quy hoạch tuyến tính
Phương pháp đơn hình được phát triển và sử dụng lần đầu tiên để giải các bài toán vào năm 1947 bởi nhà toán học người Mỹ J. Danzig.
Các bài toán quy hoạch tuyến tính hai chiều được giải bằng đồ họa. Đối với trường hợp N=3, chúng ta có thể xem xét không gian ba chiều và hàm mục tiêu sẽ đạt giá trị tối ưu tại một trong các đỉnh của khối đa diện.
Lời giải chấp nhận được (phương án chấp nhận được) của bài toán LP cho dưới dạng chuẩn là tập hợp các số có thứ tự (x1, x2, ..., xn) thỏa mãn điều kiện; nó là một điểm trong không gian n chiều.
Tập hợp các lời giải có thể chấp nhận được tạo thành vùng các lời giải có thể chấp nhận được (ADS) của bài toán LP. ODR là một khối đa diện lồi (đa giác).
Nói chung, khi bài toán liên quan đến N-ẩn số, có thể nói rằng vùng các lời giải khả thi được xác định bởi hệ điều kiện giới hạn được biểu diễn bằng một khối đa diện lồi trong không gian n chiều và đạt được giá trị tối ưu của hàm mục tiêu tại một thời điểm. hoặc nhiều đỉnh.
Một nghiệm cơ bản là một nghiệm trong đó tất cả các biến tự do đều bằng 0.
Giải pháp hỗ trợ là giải pháp cơ bản không tiêu cực. Giải pháp hỗ trợ có thể không suy biến và suy biến. Một nghiệm tham chiếu được gọi là không suy biến nếu số tọa độ khác 0 của nó bằng hạng của hệ, nếu không thì nó bị suy biến.
Một giải pháp chấp nhận được mà tại đó hàm mục tiêu đạt đến giá trị cực trị của nó được gọi là tối ưu và được ký hiệu là 
.
Rất khó giải các bài toán này bằng đồ thị khi số lượng biến lớn hơn 3. tồn tại phương pháp phổ quát giải các bài toán quy hoạch tuyến tính, gọi là phương pháp đơn hình.
Phương pháp đơn hình là một phương pháp phổ biến để giải các bài toán LP, là một quá trình lặp bắt đầu bằng một giải pháp và để tìm kiếm phương án tốt nhất, di chuyển dọc theo các điểm góc của vùng các giải pháp khả thi cho đến khi đạt được giá trị tối ưu.
Nó có thể được sử dụng để giải bất kỳ bài toán quy hoạch tuyến tính nào.
Phương pháp đơn giản dựa trên ý tưởng cải tiến tuần tự giải pháp thu được.
Ý nghĩa hình học của phương pháp đơn hình là sự chuyển đổi tuần tự từ một đỉnh của khối đa diện ràng buộc sang đỉnh lân cận, trong đó hàm mục tiêu lấy giá trị tốt nhất (hoặc ít nhất không phải là giá trị xấu nhất) cho đến khi tìm được giải pháp tối ưu - đỉnh ở đó giá trị tối ưu đạt được của hàm mục tiêu (nếu bài toán có điểm tối ưu cuối cùng).
Do đó, khi một hệ thống các ràng buộc được rút gọn về dạng chính tắc (tất cả các ràng buộc hàm đều có dạng đẳng thức), họ tìm ra bất kỳ giải pháp cơ bản nào cho hệ thống này, chỉ quan tâm đến việc tìm ra nó càng đơn giản càng tốt. Nếu giải pháp cơ bản đầu tiên được tìm thấy là khả thi thì nó sẽ được kiểm tra tính tối ưu. Nếu nó không phải là tối ưu, thì việc chuyển đổi sẽ được thực hiện sang một giải pháp cơ bản khác, nhất thiết phải được chấp nhận. Phương pháp đơn hình đảm bảo rằng với lời giải mới này, hàm mục tiêu, nếu nó không đạt đến mức tối ưu, sẽ tiếp cận nó (hoặc ít nhất là sẽ không di chuyển ra khỏi nó). Điều tương tự cũng được thực hiện với một giải pháp cơ bản khả thi mới cho đến khi tìm được giải pháp tối ưu.
Quá trình áp dụng phương pháp đơn giản bao gồm việc thực hiện ba yếu tố chính của nó:
phương pháp xác định giải pháp cơ bản khả thi ban đầu cho một vấn đề;
quy tắc chuyển sang giải pháp tốt nhất (chính xác hơn là không tệ hơn);
tiêu chuẩn để kiểm tra tính tối ưu của lời giải tìm được.
Phương pháp đơn giản bao gồm một số giai đoạn và có thể được xây dựng dưới dạng một thuật toán rõ ràng (một hướng dẫn rõ ràng để thực hiện các thao tác tuần tự). Điều này cho phép bạn lập trình và thực hiện thành công nó trên máy tính. Các bài toán có số lượng biến và ràng buộc nhỏ có thể được giải thủ công bằng phương pháp đơn hình.
6.1.Giới thiệu
Tối ưu hóa. Phần 1
Phương pháp tối ưu hóa cho phép bạn lựa chọn lựa chọn tốt nhất thiết kế từ tất cả những lựa chọn khả thi. TRONG những năm trước Người ta chú ý nhiều đến các phương pháp này và kết quả là một số thuật toán hiệu quả cao đã được phát triển giúp tìm ra phương án thiết kế tối ưu bằng máy tính. Chương này phác thảo những vấn đề cơ bản của lý thuyết tối ưu hóa, xem xét các nguyên tắc cơ bản trong việc xây dựng các thuật toán cho giải pháp tối ưu, mô tả các thuật toán nổi tiếng nhất và phân tích các ưu điểm và nhược điểm của chúng.
6.2.Cơ sở cơ bản của lý thuyết tối ưu hóa
Thuật ngữ “tối ưu hóa” trong tài liệu đề cập đến một quy trình hoặc chuỗi hoạt động cho phép người ta có được giải pháp tinh tế. Mặc dù mục tiêu cuối cùng của việc tối ưu hóa là tìm ra giải pháp tốt nhất hoặc "tối ưu", nhưng người ta thường phải chấp nhận cải tiến. giải pháp đã biết, chứ không phải bằng cách đưa chúng đến sự hoàn hảo. Vì vậy, tối ưu hóa được hiểu đúng hơn là mong muốn đạt được sự hoàn hảo, có thể không đạt được.
Xem xét một số hệ thống tùy ý được mô tả bởi m phương trình với n ẩn số, chúng ta có thể phân biệt ba loại vấn đề chính. Nếu m=n, bài toán được gọi là đại số. Vấn đề này thường có một giải pháp. Nếu m>n thì bài toán đã được xác định quá mức và thường không có lời giải. Cuối cùng, đối với tôi
Trước khi bắt đầu thảo luận các vấn đề tối ưu hóa, chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa.
Thông số thiết kế
Thuật ngữ này biểu thị các tham số biến độc lập xác định đầy đủ và rõ ràng vấn đề thiết kế đang được giải quyết. Tham số thiết kế là những đại lượng chưa biết, giá trị của chúng được tính toán trong quá trình tối ưu hóa. Bất kỳ đại lượng cơ bản hoặc dẫn xuất nào dùng để mô tả định lượng hệ thống đều có thể dùng làm thông số thiết kế. Vì vậy, đây có thể là những giá trị chưa biết về chiều dài, khối lượng, thời gian, nhiệt độ. Số lượng các tham số thiết kế đặc trưng cho mức độ phức tạp của một vấn đề thiết kế nhất định. Thông thường số lượng tham số thiết kế được ký hiệu là n, bản thân các tham số thiết kế là x với các chỉ số tương ứng. Như vậy, n tham số thiết kế của bài toán này sẽ được ký hiệu là
X1, x2, x3,...,xn.
Hàm mục tiêu
Đó là một biểu thức mà giá trị mà kỹ sư cố gắng đạt được ở mức tối đa hoặc tối thiểu. Hàm mục tiêu cho phép bạn so sánh định lượng hai giải pháp thay thế. Từ quan điểm toán học, hàm mục tiêu mô tả một số bề mặt có (n+1) chiều. Giá trị của nó được xác định bởi các thông số thiết kế
M=M(x 1, x 2,...,x n).
Ví dụ về các hàm mục tiêu thường thấy trong thực hành kỹ thuật là chi phí, trọng lượng, độ bền, kích thước, hiệu quả. Nếu chỉ có một tham số thiết kế thì hàm mục tiêu có thể được biểu diễn bằng một đường cong trên mặt phẳng (Hình 6.1). Nếu có hai tham số thiết kế thì hàm mục tiêu sẽ được mô tả dưới dạng một bề mặt trong không gian ba chiều (Hình 6.2). Với ba tham số thiết kế trở lên, các bề mặt được chỉ định bởi hàm mục tiêu được gọi là siêu bề mặt và không thể mô tả được.
vợ bằng phương tiện thông thường. Các đặc tính tôpô của bề mặt của hàm mục tiêu đóng một vai trò lớn trong quá trình tối ưu hóa, vì việc lựa chọn thuật toán hiệu quả nhất phụ thuộc vào chúng.
Hàm mục tiêu trong một số trường hợp có thể có dạng bất ngờ nhất. Ví dụ, không phải lúc nào cũng có thể diễn đạt nó bằng
Hình 1. Hàm mục tiêu một chiều.
Hình 6.2 Hàm mục tiêu hai chiều.
dạng toán đóng, trong các trường hợp khác nó có thể
biểu diễn một hàm trơn từng phần. Việc xác định hàm mục tiêu đôi khi có thể yêu cầu một bảng dữ liệu kỹ thuật (ví dụ: bảng trạng thái hơi nước) hoặc có thể yêu cầu một thí nghiệm. Trong một số trường hợp, tham số thiết kế chỉ lấy giá trị nguyên. Một ví dụ là số răng của một bộ truyền bánh răng hoặc số lượng bu lông trên một mặt bích. Đôi khi các thông số thiết kế chỉ có hai nghĩa - có hoặc không. Các thông số định tính, chẳng hạn như sự hài lòng của người mua đã mua sản phẩm, độ tin cậy, tính thẩm mỹ, rất khó tính đến trong quá trình tối ưu hóa, vì chúng hầu như không thể mô tả một cách định lượng. Tuy nhiên, dù hàm mục tiêu được trình bày như thế nào thì nó cũng phải là hàm rõ ràng của các tham số thiết kế.
Một số bài toán tối ưu hóa yêu cầu đưa vào nhiều hơn một hàm mục tiêu. Đôi khi một trong số chúng có thể không tương thích với cái kia. Một ví dụ là thiết kế máy bay, trong đó yêu cầu đồng thời về độ bền tối đa, trọng lượng tối thiểu và chi phí tối thiểu. Trong những trường hợp như vậy, người thiết kế phải đưa ra một hệ thống ưu tiên và gán một hệ số nhân không thứ nguyên nhất định cho từng hàm mục tiêu. Kết quả là, một “hàm thỏa hiệp” xuất hiện, cho phép sử dụng một hàm mục tiêu tổng hợp trong quá trình tối ưu hóa.
Tìm tối thiểu và tối đa
Một số thuật toán tối ưu hóa được thiết kế để tìm mức tối đa, một số thuật toán khác - để tìm mức tối thiểu. Tuy nhiên, bất kể loại bài toán cực trị nào đang được giải, bạn có thể sử dụng cùng một thuật toán, vì bài toán cực tiểu có thể dễ dàng chuyển thành bài toán tìm kiếm cực đại bằng cách đảo ngược dấu của hàm mục tiêu. Kỹ thuật này được minh họa trong hình 6.3.
Không gian thiết kế
Đây là tên của khu vực được xác định bởi tất cả n tham số thiết kế. Không gian thiết kế không lớn như người ta tưởng, vì nó thường bị giới hạn bởi một số
điều kiện liên quan đến bản chất vật lý của vấn đề. Các ràng buộc có thể mạnh đến mức vấn đề sẽ không có bất kỳ
Hình.6.3.Thay đổi dấu của hàm mục tiêu ngược lại
nhiệm vụ tối đa biến thành nhiệm vụ tối thiểu.
giải pháp thỏa đáng. Các ràng buộc được chia thành hai nhóm: ràng buộc – bình đẳng và ràng buộc – bất bình đẳng.
Ràng buộc - Bình đẳng
Các ràng buộc - sự bình đẳng - là sự phụ thuộc giữa các tham số thiết kế phải được tính đến khi tìm giải pháp. Chúng phản ánh các quy luật tự nhiên, kinh tế, luật pháp, thị hiếu phổ biến và tính sẵn có vật liệu cần thiết. Số lượng ràng buộc - đẳng thức có thể là bất kỳ. Họ trông giống như
C 1 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0,
C 2 (x 1, x 2,...,x n)=0,
..................
C j (x 1 , x 2 ,...,x n)=0.
Nếu bất kỳ mối quan hệ nào trong số này có thể được giải quyết theo một trong các tham số thiết kế thì điều này cho phép chúng ta loại bỏ thông số này từ quá trình tối ưu hóa. Điều này làm giảm số lượng chiều của không gian thiết kế và đơn giản hóa việc giải quyết vấn đề.
Những hạn chế - bất bình đẳng
Đây là một loại ràng buộc đặc biệt được thể hiện bằng bất đẳng thức. Nói chung, có thể có bao nhiêu tùy thích và chúng đều có dạng
z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 1
z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 2
.......................
z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k
Cần lưu ý rằng rất thường xuyên, do các hạn chế, giá trị tối ưu của hàm mục tiêu không đạt được khi bề mặt của nó có độ dốc bằng 0. Thường Quyết định tốt nhất tương ứng với một trong các ranh giới của khu vực thiết kế.
Tối ưu cục bộ
Đây là tên của điểm trong không gian thiết kế mà tại đó hàm mục tiêu có giá trị lớn nhất so với các giá trị của nó tại tất cả các điểm khác trong vùng lân cận của nó.
Hình 6.4. Một hàm mục tiêu tùy ý có thể có một số
tối ưu cục bộ.
Trong bộ lễ phục. Hình 6.4 cho thấy hàm mục tiêu một chiều có hai điểm tối ưu cục bộ. Thông thường, không gian thiết kế chứa nhiều tối ưu cục bộ và phải cẩn thận để không nhầm lẫn cái đầu tiên với giải pháp tối ưu cho vấn đề.
Tối ưu toàn cầu
Tối ưu toàn cục là giải pháp tối ưu cho toàn bộ không gian thiết kế. Nó tốt hơn tất cả các giải pháp khác tương ứng với tối ưu cục bộ và đó là điều mà nhà thiết kế đang tìm kiếm. Có thể có một số điểm tối ưu toàn cục bằng nhau nằm trong các bộ phận khác nhau không gian thiết kế. Cách đặt ra một vấn đề tối ưu hóa được minh họa rõ nhất bằng một ví dụ.
Ví dụ 6.1
Giả sử bạn cần thiết kế một thùng chứa hình chữ nhật có thể tích 1 m dùng để vận chuyển sợi không đóng gói. Điều mong muốn là càng sử dụng ít vật liệu càng tốt để sản xuất các thùng chứa như vậy (giả sử độ dày thành không đổi, điều này có nghĩa là diện tích bề mặt phải ở mức tối thiểu), vì nó sẽ rẻ hơn. Để container được xe nâng bốc lên thuận tiện thì chiều rộng của container phải ít nhất là 1,5 m.
Chúng ta hãy xây dựng bài toán này dưới dạng thuận tiện cho việc áp dụng thuật toán tối ưu hóa.
Thông số thiết kế: x 1, x 2, x 3.
Hàm mục tiêu (cần tối thiểu hóa) là diện tích bề mặt bên của thùng chứa:
A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), m2.
Ràng buộc - bình đẳng:
Thể tích = x 1 x 2 x 3 = 1m3.
Ràng buộc - bất bình đẳng:
Các bài toán quy hoạch tuyến tính
Lập trình tuyến tính (LP) là một trong những nhánh của lập trình toán học - một ngành nghiên cứu các vấn đề cực đoan (tối ưu hóa) và phát triển các phương pháp giải chúng.
Vấn đề tối ưu hóa- Cái này bài toán, bao gồm việc tìm giá trị tối ưu (tức là tối đa hoặc tối thiểu) của hàm mục tiêu và giá trị của các biến phải thuộc một phạm vi giá trị chấp nhận được (APV) nhất định.
Nói chung, việc xây dựng một bài toán cực trị của lập trình toán học bao gồm việc xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm gọi là hàm mục tiêu, trong các điều kiện (ràng buộc) , ở đâu và - chức năng quy định, a được cho các giá trị không đổi. Trong trường hợp này, các hạn chế dưới dạng đẳng thức và bất đẳng thức xác định tập hợp (diện tích) các giải pháp có thể chấp nhận được (ADS) và được gọi là Thông số thiết kế.
Tùy thuộc vào loại hàm, các bài toán lập trình toán học được chia thành một số lớp (tuyến tính, phi tuyến, lồi, số nguyên, ngẫu nhiên, lập trình năng động và vân vân.).
TRONG nhìn chung bài toán LP có dạng sau:
, (5.1)
, , (5.2)
, 
, (5.3)
trong đó , , được cho các giá trị không đổi.
Hàm (5.1) được gọi là hàm mục tiêu; hệ thống (5.2), (5.3) – hệ thống hạn chế; điều kiện (5.4) – điều kiện không âm của các thông số thiết kế.
Tập các tham số thiết kế thỏa mãn các ràng buộc (5.2), (5.3) và (5.4) được gọi là giải pháp chấp nhận được hoặc kế hoạch.
Giải pháp tối ưu hoặc phương án tối ưu Bài toán LP được gọi là nghiệm chấp nhận được trong đó hàm mục tiêu (5.1) lấy giá trị tối ưu (cực đại hoặc cực tiểu).
Nhiệm vụ tiêu chuẩn LP là bài toán tìm giá trị lớn nhất (tối thiểu) của hàm mục tiêu (5.1) trong điều kiện (5.2) và (5.4), trong đó , , tức là những thứ kia. chỉ hạn chế ở dạng bất đẳng thức (5.2) và tất cả các tham số thiết kế đều thỏa mãn điều kiện không âm và không có điều kiện nào ở dạng đẳng thức:
,
, , (5.5)
.
Nhiệm vụ chuẩn (chính) LP là bài toán tìm giá trị lớn nhất (tối thiểu) của hàm mục tiêu (5.1) trong điều kiện (5.3) và (5.4), trong đó , , tức là những thứ kia. chỉ hạn chế ở dạng bất đẳng thức (5.3) và tất cả các tham số thiết kế đều thỏa mãn điều kiện không âm và không có điều kiện nào ở dạng bất đẳng thức:
,
.
Bài toán LP chính tắc cũng có thể được viết dưới dạng ma trận và vectơ.
Dạng ma trận của bài toán LP chính tắc có dạng sau:
Dạng vectơ của bài toán LP chính tắc.
Chức năng mục tiêu. Nếu thu nhập từ việc bán một chiếc bàn bằng VỚI 1 rúp, sau đó từ việc bán các bảng theo số lượng X Thu nhập hàng tháng 1 phần
sẽ là VỚI 1 X 1 rúp. Tương tự, thu nhập hàng tháng từ việc bán tủ sẽ là VỚI 2 X 2 rúp. Biểu thị tổng thu nhập (bằng rúp) thông qua Z, chúng ta có thể đưa ra công thức toán học sau đây của hàm mục tiêu: xác định các giá trị (có thể chấp nhận được) X 1, và X 2 tối đa hóa tổng thu nhập Z = VỚI 1 X 1 + VỚI 2 X 2 =
| 2 |
| ∑ |
| j=1 |
C j x j.
Những hạn chế. Khi giải quyết vấn đề đang xem xét, phải tính đến các hạn chế về tiêu thụ tài nguyên. Gỗ được sử dụng để làm bàn và tủ. Đi đến một bảng MỘT 11 (m 3) gỗ xẻ, sau đó dùng làm bàn theo số lượng x cần 1 cái MỘT 11 x 1 (m3) gỗ xẻ. Để làm tủ với số lượng x 2 chiếc bạn sẽ cần MỘT 12 X 2 (m 3) gỗ xẻ. Tổng số gỗ yêu cầu MỘT 11 X 1 + MỘT 12 x 2 (m3). Mức tiêu thụ của nó không được vượt quá số lượng b 1 (m3). Sau đó chúng ta viết ràng buộc về gỗ là bất đẳng thức
Đối với các nhiệm vụ thay đổi X 1 và X 2 các điều kiện về tính không tiêu cực và tính không thể chia cắt phải được áp đặt, tức là hãy giới thiệu những hạn chế
X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0,
Ở đâu X 1 , X 2 là số nguyên.
Vì vậy, mô hình toán học của bài toán có thể viết như sau: xác định khối lượng sản xuất hàng tháng của bảng X 1 và tủ X 2 tại đó nó đạt được
Cần lưu ý rằng từ quan điểm hình thức Mô hình này là tuyến tính vì tất cả các hàm có trong nó (các ràng buộc và hàm mục tiêu) đều tuyến tính. Nhưng bản chất tuyến tính của mô hình được xây dựng phải giả định trước sự hiện diện của hai thuộc tính - tính tỷ lệ và tính cộng. Tính tỷ lệ giả định mối quan hệ tỷ lệ trực tiếp giữa một biến và một hàm mục tiêu và lượng tiêu thụ các nguồn lực hạn chế. Ví dụ, tính tương xứng trực tiếp sẽ không diễn ra nếu chúng ta đưa ra sự phụ thuộc của thu nhập nhà máy vào quy mô của lô sản phẩm được bán. Tính cộng được thể hiện ở chỗ các thành phần của thu nhập trong hàm mục tiêu là độc lập, tổng thu nhập bằng tổng thu nhập. Nếu một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm cụ thể, việc tăng doanh số bán của một trong số đó sẽ ảnh hưởng tiêu cực đến khối lượng bán của loại kia, thì mô hình đó không có đặc tính cộng tính.
Để xác định các biến của mô hình đang xem xét, có thể sử dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính. Phương pháp cơ bản LP là một phương pháp đơn giản được phát triển bởi G. Danzig. Vấn đề LP cũng có thể được giải quyết bằng đồ họa. Biểu diễn đồ họa của giải pháp cho vấn đề sẽ giúp hiểu ý tưởng của phương pháp đơn hình. Hãy để chúng tôi xác định vấn đề bằng cách trình bày dữ liệu ban đầu trong bảng. 3.1 (dữ liệu được đưa ra có điều kiện).
Bảng 3.1
| Tài nguyên | Tiêu thụ tài nguyên trên mỗi đơn vị sản xuất | Kho tài nguyên |
|
| Bàn | Buồng nhỏ |
||
| Gỗ xẻ (m 3) | 0,06 | 0,07 | 42 |
| Vít (kg) | 0,04 | 0,085 | 34 |
| Sơn (kg) | 0,035 | 0,12 | 42 |
| Đơn giá (RUB) | 500 | 750 | - |
Hãy viết ra mô hình của vấn đề với dữ liệu đã cho:
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ không tính đến ràng buộc (3.5) và thu được lời giải cho bài toán bằng cách làm tròn các biến tìm được của bài toán (3.0-3.4).
44 :: 45 :: 46 :: 47 :: Nội dung
47 :: 48 :: 49 :: 50 :: 51 :: Nội dung
3.2.2. Phương pháp đồ họa để giải bài toán
Để xác định giải pháp ZLP với hai biến hãy làm nó những hành động sau.
1. Hãy xây dựng một tập hợp các lời giải khả thi cho bài toán Ω. Bộ nàyΩ được hình thành do sự giao nhau của các nửa mặt phẳng (ràng buộc) (3.1-3.4). Trong bộ lễ phục. 3.2 tập hợp các giải pháp khả thi được thể hiện dưới dạng hình ngũ giác. Các khu vực trong đó các hạn chế tương ứng ở dạng bất đẳng thức được thỏa mãn được biểu thị bằng các mũi tên hướng về giá trị cho phép của các biến. Khối đa diện thu được Ω được gọi là đơn hình. Do đó tên của phương pháp tìm kiếm giải pháp tối ưu.
2. Hãy xây dựng một vectơ gradient C, bao gồm các đạo hàm của hàm mục tiêu đối với biến nhiệm vụ, cho biết hướng tăng của hàm mục tiêu đối với các biến này. C = ( VỚI 1 , VỚI 2) = (500,750). Điểm đầu của vectơ này nằm tại điểm có tọa độ (0, 0) và điểm cuối tại điểm (500, 750). Một loạt các đường đứt nét song song vuông góc với vectơ gradient tạo thành một tập hợp mục tiêu
Hàm cho các giá trị được chọn tùy ý Z. Tại Z= 0 đường thẳng (hàm mục tiêu) đi qua điểm (0, 0) và hàm mục tiêu Z nhận giá trị nhỏ nhất.
Cơm. 3 2 Giải thích hình học của ZLP
3. Hãy di chuyển đường thẳng đặc trưng cho thu nhập Z, theo hướng của vectơ gradient (đối với bài toán max Z) cho đến khi nó chuyển sang vùng có lời giải không thể chấp nhận được. Trong bộ lễ phục. 3.2 Rõ ràng phương án tối ưu tương ứng với điểm X* = ( X 1 *, X 2 *). Vì điểm X* là giao điểm của đường (3.1) và (3.2) nên các giá trị X 1* và X 2* được xác định bằng cách giải hệ hai phương trình:
Giải pháp hệ thống nói phương trình cho kết quả X 1 * = 517,4 và X 2 * = 156,5. Giải pháp đạt được có nghĩa là khối lượng sản xuất bàn hàng tháng phải là 517 chiếc và tủ - 156 chiếc. Thu nhập nhận được trong trường hợp này sẽ là:
Z= 517 · 500 + 156 · 750 = 375.500 rúp
PLP có nhiều biến có thể được giải bằng đồ họa nếu trong ký hiệu kinh điển của nó số lượng ẩn số N và số phương trình độc lập tuyến tính tôi liên quan bởi mối quan hệ n-m 2. Hãy viết dạng chính tắc của ZLP đã xem xét ở trên. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu các biến mới x 3 , x 4 và x 5 .
Đối với một PPP nhất định, số lượng biến N= 5 và số phương trình độc lập tuyến tính tôi= 3. ZLP này và các ZLP khác ở dạng chính tắc có thể được giải bằng đồ thị nếu n-m ≤ 2.
Hãy chọn bất kỳ tôi những ẩn số và thể hiện từng ẩn số thông qua những cái còn lại ( n-m) biến. Trong trường hợp của chúng ta, thật thuận tiện khi lấy các biến x 3 , x 4 và x 5 và thể hiện chúng thông qua x 1 và x 2 .
Có tính đến tính không âm của tất cả các biến, bao gồm cả X 3 ≥ 0, X 4 ≥ 0 và X 5 ≥ 0, cũng như sự phụ thuộc của cái sau vào hai biến x 1 và X 2, bạn có thể hiển thị bằng đồ họa lời giải cho bài toán mở rộng bằng phép chiếu lên các biến x 1 và X 2. Nửa mặt phẳng X 3 ≥ 0 (xem hình 3.2) trùng với ràng buộc (3.1), nửa mặt phẳng X 4 ≥ 0 - có ràng buộc (3.2) và nửa mặt phẳng X 5 ≥ 0 - có hạn chế (3.3). Điểm tối ưu trong tọa độ x 1 và X 2 được hình thành do giao của hai nửa mặt phẳng X 3 và X 4: x 1 * = 517,4; X 2 = 156,5. Theo đó, giá trị của các biến X 3 Ä X 4 sẽ bằng 0: x 3 * =0; X 4 * = 0. Khi đó từ (3.9) suy ra x 5 * = 42 - 0,035 517,4 - 0,12 156,5 = 5,1. Giải pháp cho ZLP (3.6-3.10) sẽ là vectơ X* = (517.4; 156.5; 0; 0; 5.1).
Biểu diễn hình học của ZLP phản ánh những điều sau:
1) tập nghiệm chấp nhận được Ω là lồi;
2) lời giải tối ưu không tồn tại nếu tập Ω trống hoặc không giới hạn theo hướng di chuyển họ siêu phẳng ở mức mục tiêu tìm kiếm cực trị;
3) Lời giải nằm ở một trong các điểm góc (đỉnh) của tập nghiệm chấp nhận được Ω, gọi là nghiệm cơ bản;
4) đối với ZLP chuẩn giải pháp cơ bảnđặc trưng bởi một vector X - (x 1 , x 2 ,..., X n), trong đó các giá trị tôi các biến khác 0, trong đó tôi- số phương trình độc lập tuyến tính của bài toán (số biến cơ bản của điểm góc của tập Ω).
Đối với nghiệm tối ưu X* của ví dụ đang xét, các biến cơ bản là các biến x 1 , X 2 và X 5 . Các biến còn lại ( n - m) được gọi là không cơ bản hoặc miễn phí. Giá trị của chúng tại điểm góc bằng không.
Xin lưu ý rằng bất kỳ biến cơ bản nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng các biến không cơ bản và biến cơ bản trong mô hình (3.6)-(3.10) được viết một lần với hệ số bằng một.
Bài toán sử dụng tài nguyên nêu trên có công thức và cấu trúc rất đơn giản. Nó có thể bao gồm các yêu cầu về tính toán việc xuất xưởng sản phẩm theo một tỷ lệ nhất định, tính toán khả năng xuất xưởng của chúng theo công nghệ khác nhau, kế toán tải thiết bị và những thứ khác. Tất cả những tình huống này được mô tả khá tốt bằng mô hình quy hoạch tuyến tính.
47 :: 48 :: 49 :: 50 :: 51 :: Nội dung
50 :: 51 :: 52 :: 53 :: 54 :: 55 :: 56 :: 57 :: 58 :: 59 :: 60 :: 61 :: Nội dung
3.2.3. Phương pháp đại số (đơn giản) để giải ZLP
Thảo luận ở trên phương pháp đồ họa giải bài toán LP cho phép bạn hiểu ý tưởng về các phương pháp tối ưu hóa, bao gồm cả phương pháp quy hoạch tuyến tính. Bản chất của tất cả các phương pháp lập trình toán học là thay vì liệt kê “mù quáng” các phương án kế hoạch, việc liệt kê có chọn lọc, có tổ chức được thực hiện nhằm mục đích cải thiện giải pháp nhanh nhất và trong một số trường hợp nhất quán.
Lời giải cực trị đạt được không phải bên trong vùng lời giải chấp nhận được Ω, mà trên ranh giới của nó (xem Hình 3.2); chính xác hơn nữa, tại một trong các đỉnh của các điểm góc của đa giác được hình thành do sự giao nhau của các đường liên kết với hạn chế nhất định hoặc trên đoạn thẳng giữa hai điểm góc kề nhau. Vì cực trị nhất thiết phải đạt được ở một hoặc hai điểm góc của các kế hoạch có thể chấp nhận được, nên bạn chỉ cần tính giá trị của các hàm mục tiêu ở tất cả các điểm góc (trong ví dụ của chúng tôi có năm điểm) và
chọn giá trị cực trị. Với số lượng biến lớn và số ràng buộc lớn, số điểm góc của khối đa diện trở nên lớn đến mức việc tính giá trị của hàm mục tiêu trong mỗi chúng, ghi nhớ các giá trị này và so sánh chúng với nhau là rất khó khăn. có vấn đề ngay cả đối với các máy tính mạnh mẽ. Vì vậy, chúng ta cần tìm kiếm một số giải pháp khác.
Bạn có thể tiếp cận điểm tối ưu một cách tuần tự, di chuyển từ điểm góc này sang điểm lân cận, ví dụ: mỗi lần từ điểm (tham chiếu) ban đầu X 0 ( X 1 = 0, X 2 = 0) một cách tuần tự đến đối tượng lân cận tiến gần đến X* gần hơn và nhanh hơn. Phương pháp đơn giản do R. Dantzig đề xuất cho phép liệt kê các điểm giải pháp theo sơ đồ này. Trong ví dụ của chúng ta, ở bước đầu tiên (lặp) từ điểm tham chiếu X 0, chúng ta sẽ di chuyển theo phương pháp đơn hình đến điểm X 1 có tọa độ (700, 0) và ở bước thứ hai chúng ta sẽ di chuyển đến điểm X*. Dọc theo con đường kia, có thể đến điểm X* chỉ sau ba bước. Từ quan điểm tính toán, phương pháp đơn hình được triển khai thông qua cái gọi là bảng đơn hình, được tính cho từng điểm góc, bắt đầu từ điểm tham chiếu. Các bảng Simplex cho phép bạn xác định mức độ tối ưu của quyết định được đưa ra, giá trị của các biến, đánh giá các tham số tài nguyên (ràng buộc) về mức độ khan hiếm của chúng và trong trường hợp quyết định không tối ưu, hãy chỉ ra cách chuyển sang quyết định tiếp theo điểm (bảng tiếp theo). Bởi Đức hạnh của Các tính năng khác nhau và phát biểu bài toán, phương pháp LP đơn giản có nhiều sửa đổi khác nhau: trực tiếp, kép, hai giai đoạn.
Để thực hiện bất kỳ phương pháp đơn giản nào, cần phải xây dựng kế hoạch tham khảo ban đầu .
Cho hệ điều kiện hạn chế như sau:
Bằng cách thêm các biến bổ sung vào vế trái của bất đẳng thức xn+i ≥ 0, Tôi = 1, tôi, chúng ta thu được một bài toán chính tắc (mở rộng), tương đương về mặt chiến lược với bài toán ban đầu, với một hệ thống các hạn chế:
Khi đó sơ đồ tham chiếu ban đầu sẽ là vectơ
Điều này thỏa mãn khả năng chấp nhận của giải pháp (điều này là cơ bản, vì số phần tử khác 0 bằng tôi, và hỗ trợ, bởi vì Tất cả xj≥ 0). Cho hệ điều kiện hạn chế như sau:
Trừ các biến bổ sung từ vế trái của bất đẳng thức xn+i ≥ 0, Tôi = 1, tôi, chúng ta thu được một bài toán mở rộng, tương đương về mặt chiến lược với bài toán ban đầu, với hệ thống các ràng buộc:
Tuy nhiên, các biến bổ sung hiện được đưa vào bên trái các giới hạn có hệ số bằng âm một. Vì thế kế hoạch
không đáp ứng các điều kiện về khả năng được chấp nhận của giải pháp (đó là cơ bản, nhưng không mang tính chất tham khảo).
Trong cả trường hợp thứ nhất và thứ hai, khi thêm các biến bổ sung (chúng cũng trở thành biến cơ bản) vào hệ ràng buộc, các biến tương tự này được đưa vào hàm mục tiêu với hệ số bằng 0: Cn+i ≥ 0, Tôi = 1, tôi, I E. trong hàm mục tiêu không có hệ số 0 cho các biến cơ bản và hệ số cho các biến không cơ bản VỚI j, j = 1, N. Để hàm mục tiêu có xu hướng đạt cực tiểu. Khi đó giá trị của hàm mục tiêu có thể giảm đi nếu biến đó được đưa vào cơ sở x j , tại đó hệ số VỚI j của hàm mục tiêu có dấu trừ. Và nếu tất cả các hệ số trong hàm mục tiêu đều có dấu cộng thì không thể giảm giá trị của nó. Do đó, các hệ số (ước tính) trong hàm mục tiêu đối với các biến không cơ bản đóng vai trò là dấu hiệu cho thấy tính tối ưu của giải pháp ZLP.
Tùy thuộc vào việc đáp ứng các điều kiện tối ưu và khả năng chấp nhận, phương án này hoặc phương án khác để giải PLP được sử dụng.
Các phương pháp giải quyết vấn đề được chia thành hai nhóm:
1) các phương pháp cải tiến tuần tự giải pháp. Chúng dựa trên sự chuyển động từ điểm ban đầu (bất kỳ giải pháp nào có thể chấp nhận được nhưng không tối ưu cho vấn đề ở dạng chính tắc) đến điểm tối ưu
Chỉ vào một số hữu hạn các bước (lặp lại). Nhóm này bao gồm phương pháp đơn hình trực tiếp, phương pháp thế năng và các phương pháp khác;
2) phương pháp giảm lượng dư tuần tự. Chúng dựa trên sự chuyển động từ điểm tối ưu có điều kiện ban đầu, nằm ngoài vùng nghiệm chấp nhận được nhưng thỏa mãn tiêu chí tối ưu của lời giải, đến điểm tối ưu và chấp nhận được. Nhóm này bao gồm phương pháp đơn giản kép, Phương pháp Hungary và những người khác. Tất cả các thuật toán để giải bài toán đều dựa trên dạng chính tắc của bài toán. Do đó, số lượng biến cần thiết trong bài toán chính tắc sẽ lớn hơn trong bài toán ban đầu.
Khi chọn thuật toán để giải bài toán LP, chúng tôi tiến hành từ dữ liệu sau. Hãy để ZLP được rút gọn về dạng chính tắc, giải quyết các hệ số tối thiểu và miễn phí bTôi ≥ 0, Tôi = 1, tôi. Khi đó, nếu hàm mục tiêu của bài toán có hệ số âm (điều kiện để nghiệm tối ưu của bài toán không được thỏa mãn) và phương án ban đầu của bài toán không có giá trị âm của các biến (điều kiện chấp nhận được). của việc giải bài toán được thỏa mãn), thì để giải bài toán đã đề xuất nên sử dụng thuật toán của phương pháp đơn hình trực tiếp (Bảng 3.2). Phương pháp đơn giản kép được sử dụng nếu điều kiện tối ưu để giải quyết vấn đề được thỏa mãn nhưng điều kiện chấp nhận được thì không. Phương pháp đơn hình hai giai đoạn được sử dụng nếu không đáp ứng được cả điều kiện về tính tối ưu và tính khả thi của việc giải bài toán.
Bảng 3.2
Hãy xem xét phương pháp đơn giản trực tiếp giải các bài toán LP bằng ví dụ sau.
Ví dụ 3.1
Chức năng thu nhỏ Z = -x 1 - X 2 với hạn chế: 0,5 X 1 + X 2 ≤ 1;
2X 1 + X 2 ≤ 2;
X 1 , X 2 ≥ 0.
Biểu diễn đồ họa của vấn đề (3.11-3.14) được hiển thị trong Hình. 3.3.
Cơm. 3.3. Biểu diễn đồ họa của bài toán (3.11) - (3.14)
Điểm tham chiếu cơ bản ban đầu của bài toán sẽ là vectơ X 0 = (0; 0; 1; 2). Giá trị của hàm mục tiêu lúc này Z(X 0) = 0.
Chúng ta chuyển biến sang hàm mục tiêu (3.11) Z về dấu bằng và nhiệm vụ này Hãy viết nó dưới dạng một bảng. 3.3, được gọi là bảng đơn giản (không lặp lại).
Bảng 3.3
Các dạng ký hiệu bảng đơn giản khác được mô tả trong tài liệu. Bằng cách sử dụng bảng đơn, bạn luôn có thể biết liệu giải pháp tìm được có tối ưu hay không. TRONG trong trường hợp này giải pháp X 1 = 0; X 2 = 0; X 3 = 1; X 4 = 2 không phải là tốt nhất vì một trong các biến có thể được đưa vào cơ sở X 1 hoặc X 2 (các biến này có hệ số dấu trừ Với 1 = -1 và Với 2 = - 1), làm giảm giá trị của hàm mục tiêu. Sau đó đưa vào cơ sở một trong các biến không cơ bản X 1 hoặc X 2 (tăng giá trị của nó), biến phải được suy ra từ cơ sở X 3 hoặc X 4 (đưa giá trị của nó về 0). Trong phương pháp đơn hình trực tiếp, các câu hỏi sau đây được xem xét tuần tự:
chuyển sang một kinh điển mới hình thức PPP(đến lần lặp tiếp theo của bảng đơn).
. Nếu chúng ta đưa một biến vào cơ sở x 1, thì điều này có nghĩa là chúng ta tăng giá trị của nó từ 0 lên một số giới hạn nhất định. Cho đến khi cái gì? Chúng ta hãy chuyển sang hình. 3.3. Giá trị cực trị của một biến X 1 sẽ là một và biến (trực tiếp) X 4 trong ràng buộc (3.13) sẽ lấy giá trị bằng 0, tức là từ cơ sở nó sẽ xuất hiện X 4 và vị trí của nó sẽ được thay thế bởi biến x 1 . Từ phương trình (3.12) ta xác định được giá trị X 3 = 1 - 0,5 1 = 0,5. Như vậy, ở lần lặp (bước) tiếp theo, nghiệm khả thi sẽ là vectơ X 1 = (1; 0; 0,5; 0). Giá trị của hàm mục tiêu lúc này Z(1) = -1.
Không cần dùng đến cách biểu diễn đồ họa của bài toán, việc xác định giá trị giới hạn x l và định nghĩa biến X 4, được rút ra từ cơ sở, có thể được thực hiện theo phân bố sau. Nếu bạn lấy được một biến từ cơ sở X 3, tức là phải có X 3 = 0 thì từ (3.12) suy ra x tôi = b 1 /a 1 S= 1/0,5 = 2. Nếu bạn rút ra một biến từ cơ sở X 4, tức là LÀM X 4 = 0 thì từ (3.13) x tôi = b 2 /a 2 S= 1/1 = 1. Hoá ra giá trị x l = 1 hoặc x l = 2. Nhưng khi x l = 2 trong phương trình (3.13) biến X 4 = 1 - 2 - 0,5 · 0 = -1, mâu thuẫn với điều kiện chấp nhận được của nghiệm (3.14). Vì vậy, chúng tôi đưa vào cơ sở x l với giá trị nhỏ nhất, được xác định từ ràng buộc thứ hai. Ràng buộc này chứa biến được loại trừ khỏi cơ sở X 4 . Nói chung, biến xS, bao gồm trong cơ sở, có thể tăng đến giá trị
Hãy để đạt được mức tối đa trong dòng r, I E. xS = br/Mộtrs, thì ở dòng này biến cơ sở trở thành 0, tức là được bắt nguồn từ cơ sở. Sợi dây r gọi điện đường dẫn đầu, và phần tử MỘTrs - yếu tố hàng đầu. Nếu không có giá trị tích cực nào ở cột đầu tiên Mộtlà, thì điều này có nghĩa là ZLP không có vùng giải pháp khả thi.
Chuyển đổi sang dạng kinh điển mới của ZLP . Trong bảng Hình 3.4 cho thấy sự chuyển đổi từ lần lặp 0 sang các phương pháp tiếp theo để loại bỏ tuần tự biến cơ bản mới được đưa vào khỏi các hàng không dẫn đầu. Dòng mớiở lần lặp tiếp theo với biến cơ bản mới được đưa vào, nó thu được bằng cách chia các phần tử của hàng đầu cho phần tử đầu; liên quan đến hàng kết quả, biến cơ bản mới sau đó được loại trừ khỏi các hàng khác. Trong bảng 3.4 ở lần lặp 1’ các hệ số cho các biến cơ bản được chỉ ra, theo đó quá trình chuyển đổi tương ứng được thực hiện. Các phần tử hàng đầu trong bảng được đánh dấu bằng dấu hoa thị.
Việc tính toán các hệ số ở lần lặp tiếp theo có thể được thực hiện theo quy tắc tứ giác.
Bảng này ở lần lặp 2 tương ứng với nghiệm tối ưu X* = X 2 = (2/3; 2/3; 0; 0).
Giá trị hàm mục tiêu Z(X*) = -4/3.
Bảng 3.4
Hãy xem xét phương pháp đơn giản kép giải quyết vấn đề LP bằng ví dụ sau.
Ví dụ 3.2
Tối đa hóa chức năng Z = -X 1 - X 2 với những hạn chế:
0,5X 1 + X 2 ≤ 1;
2X 1 + X 2 ≥ 2;
X 1 , X 2 ≥ 0.
Ở dạng chuẩn, ZLP sẽ có dạng
Một biểu diễn đồ họa của vấn đề được hiển thị trong Hình. 3.4.
Cơm. 3.4. Biểu diễn đồ họa của bài toán (3.15) - (3.18)
Hãy lập một bảng đơn giản 3.5.
Bảng 3.5
Dòng số 0 trong bảng. 3.5 chỉ ra rằng tiêu chí cho lời giải tối ưu của bài toán được thỏa mãn (không có hệ số âm).
Tuy nhiên, nghiệm ban đầu X 0 = (0; 0; 1; -2) là âm.
Hãy cố gắng giải quyết vấn đề (ngược lại với phương pháp đơn giản trực tiếp) bằng cách di chuyển tuần tự từ điểm không hợp lệ ban đầu X 0 đến X *, xem xét các câu hỏi:
tìm kiếm một biến để loại trừ khỏi cơ sở;
tìm kiếm một biến để đưa vào cơ sở;
chuyển sang hình thức mới SLP (lần lặp tiếp theo của giải pháp).
Nó sẽ vừa tối ưu vừa có thể chấp nhận được. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi loại trừ biến X 4 = -2.
Tìm kiếm một biến để đưa vào cơ sở . Biến không cơ bản nào nên được đưa vào cơ sở? X 1 hoặc X 2? Về nguyên tắc, bất kỳ ai cũng có thể được đưa vào cơ sở với mục đích tiến tới khu vực có các giải pháp khả thi. Từ biểu diễn đồ họa vấn đề (xem Hình 3.4) rõ ràng là khi đưa biến vào cơ sở X 2 chúng ta ngay lập tức thấy mình ở điểm cho phép và tối ưu X*. Tài liệu cho thấy rằng bạn có thể đạt được giải pháp tối ưu nhanh hơn nếu bạn chọn một biến để đưa vào cơ sở xS như vậy đối với cô ấy thái độ CS/|Mộtrs| cho tất cả các phần tử Mộtrs dòng đầu sẽ là tối thiểu:
Nếu tất cả các phần tử Mộtrj· ≥ 0 thì có nghĩa là bài toán không có lời giải khả thi. Trong ví dụ của chúng tôi, tỷ lệ tối thiểu (3,19) đạt được cho biến X 1 bằng 1/2. Hãy giải bài toán bằng phương pháp bảng (Bảng 3.6).
Bảng 3.6
Giải pháp tối ưu: X* = (1; 0; 1/2; 0;); Z(X*) = -z" = -1.
Giả sử rằng khi giải ví dụ trước (xem Bảng 3.6) chúng ta sẽ không đưa vào cơ sở X 1 và biến X 2, thì chúng ta sẽ nhận được bảng sau ở lần lặp 1. 3.7.
Bảng 3.7
Dòng số 0 trong bảng. 3.7 chỉ ra rằng tiêu chí tối ưu để giải bài toán không được thỏa mãn và phương án trung gian X 1 = (0; 2; -1; 0) là không thể chấp nhận được. Hơn nữa, vấn đề có thể được giải quyết bằng phương pháp đơn hình hai giai đoạn, phương pháp hình phạt lớn và các phương pháp khác. Hãy xem xét phương pháp đơn hình hai giai đoạn .
1. Chúng tôi giới thiệu một biến bổ sung, biến chúng thành cơ bản, vào các phương trình trong đó các điều kiện được chấp nhận không được đáp ứng. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi giới thiệu biến X 5 ở dòng (1), đầu tiên đổi dấu sang dấu ngược lại (Bảng 3.8), cột bên dưới X 5:
3/2 X 1 - X 3 - X 4 + X 5 = 1.
2. Chúng tôi giới thiệu hàm mục tiêu (hư cấu) mới W là tổng của các biến bổ sung mới được đưa vào, thể hiện thông qua các biến không cơ bản. Trong trường hợp của chúng ta W = X 5 = 1 - 3/2 x 1 + X 3 + X 4 . Chúng tôi thêm dòng bổ sung (3) vào bảng. 3.8 với hàm mục tiêu giả - W - 3/2 X 1 + X 3 + X 4 = -1.
3. Chúng tôi sử dụng phương pháp đơn giản trực tiếp để giảm thiểu mục tiêu hư cấu W với việc tính toán lại tất cả các hệ số. Giai đoạn đầu tiên kết thúc nếu hàm mục tiêu giả định Wđi đến số không W= 0, và do đó các biến bổ sung cũng sẽ có giá trị 0. Hơn nữa, hàng có hàm mục tiêu giả định và các cột có các biến bổ sung không được xem xét. Nếu do việc giảm thiểu mục tiêu W chúng tôi nhận được giá trị tối ưu W, khác 0 W≠ 0 thì điều này có nghĩa là ZLP ban đầu không có nghiệm chấp nhận được.
Chúng tôi sử dụng phương pháp đơn giản trực tiếp để tối ưu hóa chính
hàm mục tiêu Z. Chúng tôi bao gồm một biến trong cơ sở X 3 thay vì một biến X 2. Ta tính toán lại các hệ số ở lần lặp 3 và thu được nghiệm tối ưu: X* = (1; 0; 1/2; 0;); Z(X*) = - z" = -1.
Bảng 3.8
50 :: 51 :: 52 :: 53 :: 54 :: 55 :: 56 :: 57 :: 58 :: 59 :: 60 :: 61 :: Nội dung
61 :: 62 :: 63 :: 64 :: 65 :: 66 :: 67 :: 68 :: 69 :: 70 :: Nội dung
3.2.4. Phân tích mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính
Dữ liệu trong bảng đơn giản tối ưu cho phép phân tích toàn diện mô hình tuyến tính, đặc biệt là phân tích độ nhạy của giải pháp tối ưu đối với những thay đổi về trữ lượng tài nguyên và sự thay đổi trong các hệ số của hàm mục tiêu. Đầu tiên chúng ta hãy đưa ra khái niệm về tính đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính.
Hãy xem xét bài toán quy hoạch tuyến tính (3.20)-(3.22) sử dụng bài toán sử dụng tài nguyên làm ví dụ. Nếu đối với ZLP ban đầu này (hãy gọi trực tiếp), chúng tôi giới thiệu các biến yTôiđể ước lượng các ràng buộc về tài nguyên (3.21) và thực hiện chuyển sang công thức toán học của một bài toán khác (kép hoặc nghịch đảo) có dạng (3.23)-(3.25), khi đó lời giải của các bài toán trực tiếp và kép sẽ phụ thuộc lẫn nhau, được thể hiện thông qua các định lý nhị nguyên tương ứng.
Rõ ràng, bài toán đối ngẫu thành đối ngẫu trùng khớp với bài toán gốc. Vì vậy, không có sự khác biệt cái nào được chấp nhận là trực tiếp và cái nào là kép. Họ nói về một cặp vấn đề kép.
Sự định nghĩa. Bất kỳ giải pháp nào cho hệ thống các ràng buộc đều được gọi là giải pháp được chấp nhận đối với PLP.
Sự định nghĩa. Một giải pháp khả thi trong đó hàm mục tiêu đạt cực đại hoặc giá trị tối thiểu, được gọi là phương án tối ưu.
Do những định nghĩa này, bài toán LP có thể được phát biểu như sau: trong số tất cả các điểm của một vùng lồi là nghiệm của hệ ràng buộc, hãy chọn một điểm có tọa độ cực tiểu (cực đại hóa) hàm tuyến tính F = Với 1 x + Với 2 y.
Lưu ý rằng các biến x, y trong ZLP, theo quy luật, chúng lấy các giá trị không âm ( x≥ 0, y≥ 0), do đó vùng nằm ở phần tư đầu tiên của mặt phẳng tọa độ.
Xét hàm tuyến tính F = Với 1 x + Với 2 y và sửa một số giá trị của nó F. Hãy để, ví dụ, F= 0, tức là Với 1 x + Với 2 y= 0. Đồ thị của phương trình này sẽ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ (0;0) (Hình.).
Vẽ
Khi thay đổi điều này giá trị cố định F = d, thẳng Với 1 x+ Với 2 y = d sẽ dịch chuyển song song và “phác thảo” toàn bộ mặt phẳng. Cho phép D– đa giác – miền nghiệm của hệ ràng buộc. Khi nó thay đổi d thẳng Với 1 x + Với 2 y = d, tại một giá trị nào đó d = d 1 sẽ đạt đến đa giác D, hãy gọi điểm này MỘT"điểm vào", và sau đó, sau khi vượt qua đa giác, ở một giá trị nào đó d = d 2 chúng ta sẽ có điểm chung cuối cùng với nó TRONG, hãy gọi TRONG"điểm thoát".
Rõ ràng là nó ít nhất và giá trị cao nhất hàm mục tiêu F=Với 1 x + Với 2 y sẽ đạt đến điểm vào MỘT và "thoát" TRONG.
Xét giá trị tối ưu của tập phương án khả thi, hàm mục tiêu lấy các đỉnh của miền D, chúng ta có thể đề xuất phương án sau để giải quyết vấn đề:
- xây dựng miền giải pháp của hệ thống ràng buộc;
- dựng đường thẳng tương ứng với hàm mục tiêu và bằng cách dịch song song đường thẳng này tìm điểm “vào” hoặc “ra” (tùy theo yêu cầu cực tiểu hóa hoặc cực đại hóa hàm mục tiêu);
- xác định tọa độ của điểm này và tính giá trị của hàm mục tiêu trong đó.
Tại giải pháp đồ họa Có hai trường hợp PAP có thể cần thảo luận đặc biệt.
Trường hợp 1
Hình 6
Khi di chuyển một đường thẳng Với 1 x + Với 2 y= d“Vào” hoặc “ra” (như trong hình) sẽ xảy ra dọc theo cạnh của đa giác. Điều này sẽ xảy ra nếu đa giác có các cạnh song song với đường thẳng Với 1 X+ Với 2 Tại = d .
Trong trường hợp này, có vô số điểm “thoát” (“lối vào”), cụ thể là bất kỳ điểm nào trên đoạn AB. Điều này có nghĩa là hàm mục tiêu lấy giá trị lớn nhất (tối thiểu) không phải tại một điểm mà tại tất cả các điểm nằm trên cạnh tương ứng của đa giác D.
Trường hợp 2
Hãy xem xét trường hợp khi phạm vi giá trị cho phép là không giới hạn.
Trong trường hợp miền không bị chặn, hàm mục tiêu có thể được xác định theo cách sao cho đường thẳng tương ứng không có điểm “ra” (hoặc “vào”). Sau đó, giá trị tối đa của hàm (tối thiểu) không bao giờ đạt được - họ nói rằng hàm này là không giới hạn. 
Vẽ
Cần tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu F = 4x + 6y→ tối đa, với hệ thống hạn chế
Chúng ta hãy xây dựng một vùng gồm các giải pháp khả thi, tức là Hãy giải hệ bất phương trình bằng đồ thị. Để làm điều này, chúng ta dựng từng đường thẳng và xác định các nửa mặt phẳng được xác định bởi các bất đẳng thức.
x + y = 18
|
x |
12 |
9 |
|
y |
6 |
9 |
0,5x + y = 12
|
x |
12 |
18 |
|
y |
6 |
3 |
x= 12 – song song với trục ôi ;
y= 9 – song song với trục CON BÒ ĐỰC ;
x= 0 – trục ôi ;
y = 0 – trục CON BÒ ĐỰC;
x≥ 0 – nửa mặt phẳng bên phải trục ôi;
y≥ 0 – nửa mặt phẳng phía trên trục CON BÒ ĐỰC;
y≤ 9 – nửa mặt phẳng bên dưới y = 9;
x ≤ 12 – nửa mặt phẳng về bên trái x = 12;
0,5x + y 12 – nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng 0,5 x + y = 12;
x + y 18 – nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng x + y = 18.
Vẽ
Giao điểm của tất cả các nửa mặt phẳng này rõ ràng là một hình ngũ giác OAVSD, với các đỉnh tại các điểm VỀ(0; 0), MỘT(0; 9), TRONG(6; 9), VỚI(12; 6), D(12; 0). Hình ngũ giác này tạo thành vùng chứa các giải pháp khả thi cho vấn đề.
Xét hàm mục tiêu của bài toán F = 4x + 6y→ tối đa.
|
x |
3 |
0 |
|
y |
–2 |
0 |
Hãy dựng một đường thẳng tương ứng với giá trị của hàm F = 0: 4x + 6y= 0. Chúng ta sẽ di chuyển đường thẳng này theo cách song song. Từ toàn bộ gia đình dòng 4 x+ 6y= const đỉnh cuối cùng mà đường thẳng đi qua khi ra khỏi ranh giới đa giác sẽ là đỉnh VỚI(12; 6). Nó ở trong đó F = 4x + 6y sẽ đạt giá trị cực đại.
Vì vậy, khi x = 12, y= 6 chức năng Fđạt giá trị cực đại F= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, bằng 84. Điểm có tọa độ (12; 6) thỏa mãn mọi bất đẳng thức của hệ ràng buộc và trong đó giá trị của hàm mục tiêu là tối ưu F* = 84 (chúng tôi sẽ ký hiệu giá trị tối ưu là “*”).
Vấn đề đã được giải quyết. Vì vậy, cần sản xuất 12 sản phẩm loại I và 6 sản phẩm loại II, lợi nhuận là 84 nghìn rúp.
Phương pháp đồ họa được sử dụng để giải các bài toán chỉ có hai biến trong hệ ràng buộc. Phương pháp này cũng có thể được sử dụng cho hệ bất đẳng thức ba biến. Về mặt hình học, tình huống sẽ khác, vai trò của các đường thẳng sẽ do các mặt phẳng đóng trong không gian ba chiều và nghiệm của bất đẳng thức ba biến sẽ là một nửa không gian nằm ở một phía của mặt phẳng. Vai trò của các khu vực sẽ được đảm nhận bởi các khối đa diện, là giao điểm của các nửa không gian.
