Cái nhìn tổng quát về ma trận. Các phép toán cơ bản trên ma trận (cộng, nhân, hoán vị) và các tính chất của chúng
Giải ma trận– một khái niệm tổng quát hóa các phép toán trên ma trận. Ma trận toán học là một bảng gồm các phần tử. Một bảng tương tự có m hàng và n cột được gọi là ma trận m x n.
Cái nhìn tổng quát về ma trận
Các phần tử chính của ma trận:
Đường chéo chính. Nó được tạo thành từ các phần tử a 11, a 22.....a mn
Đường chéo bên. Nó bao gồm các phần tử a 1n và 2n-1.....a m1.
Trước khi chuyển sang giải ma trận, chúng ta hãy xem xét các loại ma trận chính:
Quảng trường– trong đó số hàng bằng số cột (m=n)
0 – tất cả các phần tử của ma trận này đều bằng 0.
Ma trận chuyển vị- ma trận B lấy từ ma trận A ban đầu bằng cách thay hàng bằng cột.
Đơn– tất cả các phần tử của đường chéo chính đều bằng 1, tất cả các phần tử khác bằng 0.
ma trận nghịch đảo- một ma trận, khi nhân với ma trận ban đầu sẽ cho kết quả là ma trận đẳng thức.
Ma trận có thể đối xứng qua các đường chéo chính và phụ. Tức là, nếu a 12 = a 21, a 13 = a 31,…. a 23 = a 32…. một m-1n = một mn-1. thì ma trận đối xứng qua đường chéo chính. Chỉ có ma trận vuông là đối xứng.
Bây giờ chúng ta hãy chuyển thẳng sang câu hỏi làm thế nào để giải ma trận.
Phép cộng ma trận.
Ma trận có thể được cộng đại số nếu chúng có cùng thứ nguyên. Để cộng ma trận A với ma trận B, bạn cần cộng phần tử hàng đầu tiên của cột đầu tiên của ma trận A với phần tử đầu tiên của hàng đầu tiên của ma trận B, phần tử của cột thứ hai của hàng đầu tiên của ma trận A. với phần tử cột thứ hai của hàng đầu tiên của ma trận B, v.v.
Tính chất của phép cộng
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
Phép nhân ma trận.
Ma trận có thể được nhân lên nếu chúng nhất quán. Ma trận A và B được coi là nhất quán nếu số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B.
Nếu A có kích thước m x n, B có kích thước n x k thì ma trận C=A*B sẽ có kích thước m x k và sẽ gồm các phần tử 
Trong đó C 11 là tổng các tích từng cặp của các phần tử của một hàng ma trận A và một cột của ma trận B, nghĩa là phần tử là tổng tích của một phần tử thuộc cột đầu tiên của hàng đầu tiên của ma trận A với phần tử của cột thứ nhất của hàng thứ nhất của ma trận B, phần tử của cột thứ hai của hàng thứ nhất của ma trận A với phần tử của cột thứ nhất của ma trận hàng thứ hai B, v.v.
Khi nhân, thứ tự nhân rất quan trọng. A*B không bằng B*A.
Tìm định thức.
Bất kỳ ma trận vuông nào cũng có thể sinh ra định thức hoặc định thức. Viết det. Hoặc | phần tử ma trận |
Cho các ma trận có chiều 2 x 2. Xác định sự chênh lệch giữa tích các phần tử của đường chéo chính và các phần tử của đường chéo phụ. 
Đối với ma trận có kích thước từ 3 x 3 trở lên. Hoạt động tìm định thức phức tạp hơn.
Hãy giới thiệu các khái niệm:
Yếu tố thứ yếu– là định thức của ma trận thu được từ ma trận ban đầu bằng cách gạch bỏ hàng và cột của ma trận ban đầu chứa phần tử này.
Phần bù đại số phần tử của ma trận là tích của phần tử thứ của phần tử này với -1 lũy thừa của tổng hàng và cột của ma trận ban đầu chứa phần tử này.
Định thức của bất kỳ ma trận vuông nào bằng tổng tích các phần tử của hàng bất kỳ của ma trận với phần bù đại số tương ứng của chúng.
Đảo ngược ma trận
Đảo ngược ma trận là quá trình tìm nghịch đảo của ma trận, định nghĩa mà chúng tôi đã đưa ra ở phần đầu. Ma trận nghịch đảo được ký hiệu giống như ma trận ban đầu với việc thêm độ -1.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Trong đó A * T là Ma trận chuyển vị của phần bù đại số.
Chúng tôi đã làm các ví dụ về giải ma trận dưới dạng video hướng dẫn
:
Nếu bạn muốn tìm ra nó, hãy chắc chắn xem nó.
Đây là các phép toán cơ bản để giải ma trận. Nếu bạn có thêm câu hỏi về cách giải ma trận, vui lòng viết bình luận.
Nếu bạn vẫn không thể tìm ra, hãy thử liên hệ với một chuyên gia.
Năm thứ nhất, toán cao cấp, đang học ma trận và các hành động cơ bản trên chúng. Ở đây chúng ta hệ thống hóa các phép toán cơ bản có thể thực hiện được với ma trận. Bắt đầu làm quen với ma trận ở đâu? Tất nhiên, từ những điều đơn giản nhất - định nghĩa, khái niệm cơ bản và các thao tác đơn giản. Chúng tôi đảm bảo với bạn rằng tất cả những người dành ít nhất một chút thời gian cho chúng sẽ hiểu được các ma trận!
Định nghĩa ma trận
Ma trận là một bảng hình chữ nhật gồm các phần tử. Vâng, nói một cách đơn giản – một bảng số.
Thông thường, ma trận được ký hiệu bằng chữ Latinh in hoa. Ví dụ, ma trận MỘT , ma trận B và như thế. Ma trận có thể có kích thước khác nhau: hình chữ nhật, hình vuông và cũng có ma trận hàng và cột gọi là vectơ. Kích thước của ma trận được xác định bởi số hàng và số cột. Ví dụ: hãy viết một ma trận hình chữ nhật có kích thước tôi TRÊN N , Ở đâu tôi - số dòng, và N - số cột.
Các mặt hàng dành cho tôi=j (a11, a22, .. ) tạo thành đường chéo chính của ma trận và được gọi là đường chéo.
Bạn có thể làm gì với ma trận? Cộng/trừ, nhân với một số, nhân với nhau, chuyển đổi. Bây giờ về thứ tự tất cả các phép toán cơ bản trên ma trận.
Phép cộng và phép trừ ma trận
Hãy để chúng tôi cảnh báo ngay cho bạn rằng bạn chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước. Kết quả sẽ là một ma trận có cùng kích thước. Cộng (hoặc trừ) ma trận rất đơn giản - bạn chỉ cần cộng các phần tử tương ứng của chúng . Hãy đưa ra một ví dụ. Hãy thực hiện phép cộng hai ma trận A và B có kích thước hai nhân hai.
Phép trừ được thực hiện bằng cách tương tự, chỉ với dấu ngược lại.
Bất kỳ ma trận nào cũng có thể được nhân với một số tùy ý. Để làm điều này, bạn cần nhân từng phần tử của nó với số này. Ví dụ: hãy nhân ma trận A từ ví dụ đầu tiên với số 5:
Phép nhân ma trận
Không phải tất cả các ma trận đều có thể nhân với nhau. Ví dụ: chúng ta có hai ma trận - A và B. Chúng chỉ có thể nhân với nhau nếu số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Trong trường hợp này Mỗi phần tử của ma trận kết quả nằm ở hàng thứ i và cột thứ j sẽ bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng ở hàng thứ i của thừa số thứ nhất và cột thứ j của thư hai. Để hiểu thuật toán này, hãy viết ra cách nhân hai ma trận vuông:
Và một ví dụ với số thực. Hãy nhân các ma trận:
Hoạt động chuyển vị ma trận
Chuyển vị ma trận là một thao tác trong đó các hàng và cột tương ứng được hoán đổi cho nhau. Ví dụ: hãy hoán vị ma trận A từ ví dụ đầu tiên:
Định thức ma trận
Định thức hay định thức là một trong những khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính. Ngày xửa ngày xưa, người ta nghĩ ra các phương trình tuyến tính, và sau đó họ phải nghĩ ra định thức. Cuối cùng, việc giải quyết tất cả những điều này là tùy thuộc vào bạn, vì vậy, hãy là nỗ lực cuối cùng!
Định thức là một đặc tính số của ma trận vuông, cần thiết để giải nhiều bài toán.
Để tính định thức của ma trận vuông đơn giản nhất, bạn cần tính hiệu giữa tích các phần tử của đường chéo chính và đường chéo phụ.
Định thức của ma trận cấp một, nghĩa là gồm một phần tử, bằng phần tử này.
Nếu ma trận là ba nhân ba thì sao? Điều này khó khăn hơn, nhưng bạn có thể quản lý nó.
Đối với ma trận như vậy, giá trị của định thức bằng tổng các tích các phần tử của đường chéo chính và tích các phần tử nằm trên các tam giác có mặt song song với đường chéo chính, từ đó tích của các phần tử của đường chéo phụ và tích của các phần tử nằm trên các tam giác có mặt của đường chéo phụ song song bị trừ đi.
May mắn thay, trong thực tế hiếm khi cần tính định thức của ma trận có kích thước lớn.
Ở đây chúng ta đã xem xét các phép toán cơ bản trên ma trận. Tất nhiên, trong cuộc sống thực, bạn có thể không bao giờ gặp phải dù chỉ một chút về hệ phương trình ma trận, hoặc ngược lại, bạn có thể gặp những trường hợp phức tạp hơn nhiều khi bạn thực sự phải vắt óc. Chính trong những trường hợp như vậy mới tồn tại các dịch vụ sinh viên chuyên nghiệp. Yêu cầu trợ giúp, nhận được giải pháp chi tiết và chất lượng cao, tận hưởng thành công trong học tập và thời gian rảnh rỗi.
>> Ma trận
4.1.Ma trận. Các phép toán trên ma trận
Ma trận hình chữ nhật có kích thước mxn là tập hợp các số mxn được sắp xếp dưới dạng một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột. Chúng ta sẽ viết nó dưới dạng
hoặc viết tắt là A = (a i j) (i = ; j = ), các số a i j gọi là các phần tử của nó; Chỉ số đầu tiên cho biết số hàng, chỉ số thứ hai - số cột. A = (a i j) và B = (b i j) có cùng kích thước được gọi là bằng nhau nếu các phần tử của chúng đứng ở cùng một vị trí bằng nhau theo cặp, nghĩa là A = B nếu a i j = b i j.
Ma trận gồm một hàng hoặc một cột tương ứng được gọi là vectơ hàng hoặc vectơ cột. Các vectơ cột và vectơ hàng được gọi đơn giản là vectơ.
Một ma trận bao gồm một số được xác định bằng số này. A có kích thước mxn, tất cả các phần tử đều bằng 0, được gọi là 0 và được ký hiệu là 0. Các phần tử có cùng chỉ số được gọi là các phần tử của đường chéo chính. Nếu số hàng bằng số cột, tức là m = n thì ma trận đó được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông trong đó chỉ có các phần tử của đường chéo chính khác 0 được gọi là đường chéo và được viết như sau:
Nếu tất cả các phần tử a i i của đường chéo đều bằng 1 thì nó được gọi là đơn vị và được ký hiệu là chữ E:
.
Một ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác nếu tất cả các phần tử trên (hoặc dưới) đường chéo chính đều bằng 0. Chuyển vị là một phép biến đổi trong đó các hàng và cột được hoán đổi trong khi vẫn duy trì số lượng của chúng. Chuyển vị được biểu thị bằng chữ T ở trên cùng.
Nếu chúng ta sắp xếp lại các hàng và cột trong (4.1), chúng ta nhận được
,
sẽ được hoán vị đối với A. Cụ thể, khi hoán vị một vectơ cột sẽ thu được một vectơ hàng và ngược lại.
Tích của A và số b là một ma trận mà các phần tử của nó được lấy từ các phần tử tương ứng của A bằng cách nhân với số b: b A = (b a i j).
Tổng A = (a i j) và B = (b i j) có cùng kích thước được gọi là C = (c i j) có cùng kích thước, các phần tử của chúng được xác định theo công thức c i j = a i j + b i j.
Tích AB được xác định theo giả định số cột của A bằng số hàng của B.
Tích AB, trong đó A = (a i j) và B = (b j k), trong đó i = , j= , k= , cho theo một thứ tự AB nhất định, được gọi là C = (c i k), các phần tử của nó được xác định bởi quy tắc sau:
c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)
Nói cách khác, phần tử của tích AB được xác định như sau: phần tử của hàng thứ i và cột thứ k C bằng tổng tích các phần tử của hàng thứ i A và các phần tử tương ứng của cột thứ k B.
Ví dụ 2.1. Tìm tích của AB và .
Giải pháp. Ta có: A kích thước 2x3, B kích thước 3x3 thì tồn tại tích AB = C và các phần tử của C bằng nhau
Từ 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, từ 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, từ 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,
s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .
, và tích BA không tồn tại.
Ví dụ 2.2. Bảng này cho thấy số lượng đơn vị sản phẩm được vận chuyển hàng ngày từ nhà máy sữa 1 và 2 đến cửa hàng M 1, M 2 và M 3, và việc vận chuyển một đơn vị sản phẩm từ mỗi nhà máy sữa đến cửa hàng M 1 tốn 50 den. đơn vị, đến cửa hàng M 2 - 70 và đến M 3 - 130 den. các đơn vị Tính chi phí vận chuyển hàng ngày của mỗi nhà máy.
| Nhà máy sữa |
|||
Giải pháp. Chúng ta hãy biểu thị bằng A ma trận được cung cấp cho chúng ta trong điều kiện và bởi
B - ma trận mô tả chi phí phân phối một đơn vị sản phẩm tới cửa hàng, tức là
,
Khi đó ma trận chi phí vận chuyển sẽ có dạng:
.
Vì vậy, nhà máy đầu tiên chi 4.750 deniers cho việc vận chuyển hàng ngày. đơn vị, thứ hai - 3680 đơn vị tiền tệ.
Ví dụ 2.3. Công ty may sản xuất áo khoác mùa đông, áo khoác mùa demi và áo mưa. Sản lượng dự kiến cho một thập kỷ được đặc trưng bởi vectơ X = (10, 15, 23). Bốn loại vải được sử dụng: T 1, T 2, T 3, T 4. Bảng thể hiện mức tiêu thụ vải (tính bằng mét) cho từng sản phẩm. Vector C = (40, 35, 24, 16) mô tả chi phí cho một mét vải từng loại và vector P = (5, 3, 2, 2) mô tả chi phí vận chuyển một mét vải từng loại.
| Tiêu thụ vải |
||||
| Áo lạnh |
||||
| Áo khoác mùa Demi |
||||
1. Cần bao nhiêu mét mỗi loại vải để hoàn thành phương án?
2. Tìm chi phí vải dùng để may từng loại sản phẩm.
3. Xác định chi phí của toàn bộ số vải cần thiết để hoàn thành kế hoạch.
Giải pháp. Chúng ta hãy biểu thị bằng A ma trận được cung cấp cho chúng ta trong điều kiện, tức là,
thì để tìm số mét vải cần thiết để hoàn thành phương án, bạn cần nhân vectơ X với ma trận A:
Ta tính chi phí vải dùng để may sản phẩm từng loại bằng cách nhân ma trận A và vectơ C T:
.
Chi phí của toàn bộ số vải cần thiết để hoàn thành kế hoạch sẽ được xác định theo công thức:
Cuối cùng, tính đến chi phí vận chuyển, toàn bộ số tiền sẽ bằng giá thành vải, tức là 9472 den. đơn vị, cộng giá trị
X A P T = 
.
Vì vậy, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (đơn vị tiền).
Mục đích của dịch vụ. Máy tính ma trậnđược thiết kế để giải các biểu thức ma trận, chẳng hạn như 3A-CB 2 hoặc A -1 +B T .Hướng dẫn. Đối với giải pháp trực tuyến, bạn cần chỉ định biểu thức ma trận. Ở giai đoạn thứ hai, cần làm rõ thứ nguyên của ma trận.
Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).
Để thực hiện danh sách các thao tác, hãy sử dụng dấu phân cách bằng dấu chấm phẩy (;). Ví dụ: để thực hiện ba thao tác:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
bạn sẽ cần phải viết nó như thế này: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Ma trận là một bảng số hình chữ nhật có m hàng và n cột nên ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng hình chữ nhật.
Ma trận không (ma trận rỗng) là ma trận có các phần tử đều bằng 0 và ký hiệu là 0.
Ma trận đơn vịđược gọi là ma trận vuông có dạng
Hai ma trận A và B bằng nhau, nếu chúng có cùng kích thước và các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.
Ma trận số ít là ma trận có định thức bằng 0 (Δ = 0).
Hãy xác định các phép toán cơ bản trên ma trận.
Phép cộng ma trận
Sự định nghĩa . Tổng của hai ma trận cùng kích thước là ma trận có cùng thứ nguyên, các phần tử của ma trận đó được tìm theo công thức
. Ký hiệu là C = A+B. Ví dụ 6. .
Phép cộng ma trận mở rộng cho trường hợp có số hạng bất kỳ. Rõ ràng A+0=A .
Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước; Đối với các ma trận có kích thước khác nhau, phép cộng không được xác định.
Phép trừ ma trận
Sự định nghĩa . Hiệu B-A của ma trận B và A cùng cỡ là ma trận C sao cho A+C = B.Phép nhân ma trận
Sự định nghĩa . Tích của ma trận với một số α là ma trận thu được từ A bằng cách nhân tất cả các phần tử của nó với α, .Sự định nghĩa . Cho hai ma trận
và , và số cột của A bằng số hàng của B. Tích của A nhân với B là một ma trận có các phần tử được tìm theo công thức 
.
Ký hiệu là C = A·B.
Về mặt sơ đồ, hoạt động của phép nhân ma trận có thể được mô tả như sau:
và quy tắc tính một phần tử trong tích:
Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng tích A·B có ý nghĩa khi và chỉ khi số cột của thừa số thứ nhất bằng số hàng của thừa số thứ hai và tích tạo ra một ma trận có số hàng bằng số hàng của thừa số thứ nhất và số cột bằng số cột của thừa số thứ hai. Bạn có thể kiểm tra kết quả của phép nhân bằng máy tính trực tuyến đặc biệt.
Ví dụ 7. ma trận đã cho 
Và 
. Tìm ma trận C = A·B và D = B·A.
Giải pháp.
Trước hết, lưu ý rằng tích A·B tồn tại vì số cột của A bằng số hàng của B.
Lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát A·B≠B·A, tức là tích của ma trận có tính phản giao hoán.
Hãy tìm B·A (có thể nhân).
Ví dụ 8. Cho một ma trận 
. Tìm 3A 2 – 2A.
Giải pháp.
.
; 
.
.
Chúng ta hãy lưu ý sự thật thú vị sau đây.
Như bạn đã biết, tích của hai số khác 0 không bằng 0. Đối với ma trận, trường hợp tương tự có thể không xảy ra, tức là tích của các ma trận khác 0 có thể bằng ma trận null.
Ma trận
thứ nguyên là một bảng số chứa các hàng và cột. Các số được gọi là các phần tử của ma trận này, ở đâu là số hàng, là số cột tại giao điểm của phần tử này. Một ma trận chứa các hàng và cột có dạng: 
.
Các loại ma trận:
1) tại – quảng trường , và họ gọi thứ tự ma trận ;
2) một ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử không phải đường chéo đều bằng 0
– đường chéo ;
3) ma trận đường chéo trong đó tất cả các phần tử đường chéo đều bằng nhau
đơn vị - đơn và được ký hiệu là ;
4) tại – hình hộp chữ nhật ;
5) khi – ma trận hàng (vectơ hàng);
6) khi – cột ma trận (cột vectơ);
7) cho tất cả – ma trận bằng không.
Lưu ý rằng đặc tính số chính của ma trận vuông là định thức của nó. Định thức tương ứng với ma trận cấp thứ cũng có cấp thứ.
Định thức của ma trận bậc 1 gọi là số.
Định thức của ma trận bậc 2
số được gọi 
. (1.1)
Định thức của ma trận bậc 3
số được gọi 
. (1.2)
Hãy để chúng tôi trình bày các định nghĩa cần thiết để trình bày thêm.
Tiểu M ij yếu tố MỘT ij ma trận N- bậc A được gọi là định thức của ma trận ( n-1)- thứ tự thu được từ ma trận A bằng cách xóa Tôi-dòng thứ và j cột thứ.
Phần bù đại số A ij yếu tố MỘT ij ma trận N- cấp A là phần tử thứ của phần tử này, lấy bằng dấu .
Chúng ta hãy xây dựng các tính chất cơ bản của định thức vốn có trong các định thức của tất cả các bậc và đơn giản hóa phép tính của chúng.
1. Khi ma trận được hoán vị, định thức của nó không thay đổi.
2. Khi sắp xếp lại hai hàng (cột) của ma trận, định thức của nó đổi dấu.
3. Định thức có hai hàng (cột) tỷ lệ (bằng nhau) thì bằng 0.
4. Thừa số chung của các phần tử ở bất kỳ hàng (cột) nào của định thức đều có thể rút ra khỏi dấu của định thức.
5. Nếu các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ của định thức là tổng của hai số hạng thì định thức đó có thể phân tích thành tổng của hai định thức tương ứng.
6. Định thức sẽ không thay đổi nếu các phần tử tương ứng của hàng (cột) khác của nó, trước đó được nhân với bất kỳ số nào, được thêm vào các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của nó.
7. Định thức của ma trận bằng tổng các tích của các phần tử thuộc hàng (cột) bất kỳ của nó bằng phần bù đại số của các phần tử đó.
Hãy để chúng tôi giải thích tính chất này bằng cách sử dụng ví dụ về định thức bậc 3. Trong trường hợp này, thuộc tính 7 có nghĩa là - Phân tích định thức thành các phần tử của hàng thứ nhất. Lưu ý rằng để phân tách, hãy chọn hàng (cột) trong đó không có phần tử nào, vì các thuật ngữ tương ứng trong phân tách chuyển sang 0.
Tính chất 7 là một định lý phân rã xác định do Laplace xây dựng.
8. Tổng tích các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ của một định thức nhân với phần bù đại số của các phần tử tương ứng ở hàng (cột) kia của nó bằng 0.
Tính chất cuối cùng thường được gọi là sự phân rã giả của định thức.
Câu hỏi tự kiểm tra.
1. Thế nào được gọi là ma trận?
2. Ma trận nào được gọi là ma trận vuông? Thứ tự của nó có ý nghĩa gì?
3. Ma trận nào gọi là đường chéo, đẳng thức?
4. Ma trận nào được gọi là ma trận hàng và ma trận cột?
5. Đặc tính số chính của ma trận vuông là gì?
6. Số nào gọi là định thức cấp 1, cấp 2, cấp 3?
7. Phần bù thứ và đại số của một phần tử ma trận được gọi là gì?
8. Các tính chất chính của định thức là gì?
9. Sử dụng tính chất nào để tính định thức của một cấp bất kỳ?
Các thao tác trên ma trận(sơ đồ 2)
Một số phép toán được xác định trên một tập hợp các ma trận, các phép toán chính sau đây:
1) chuyển vị – thay thế các hàng ma trận bằng các cột và các cột bằng các hàng;
2) nhân một ma trận với một số được thực hiện theo từng phần tử, nghĩa là 
, Ở đâu ,
;
3) phép cộng ma trận, chỉ được xác định cho các ma trận có cùng thứ nguyên;
4) phép nhân hai ma trận, chỉ được xác định cho các ma trận trùng khớp.
Tổng (hiệu) của hai ma trận một ma trận kết quả như vậy được gọi, mỗi phần tử của nó bằng tổng (chênh lệch) của các phần tử tương ứng của các lệnh ma trận.
Hai ma trận đó được gọi là đã đồng ý
, nếu số cột của cột đầu tiên bằng số hàng của cột kia. Tích của hai ma trận trùng khớp
và ma trận kết quả như vậy được gọi là 
, Cái gì , (1.4)
Ở đâu , . Theo đó, phần tử của hàng thứ và cột thứ của ma trận bằng tổng các tích từng cặp của các phần tử của hàng thứ của ma trận và các phần tử của cột thứ của ma trận.
Tích của ma trận không có tính giao hoán, tức là A . B B . A. Một ngoại lệ, ví dụ, là tích của ma trận vuông và đơn vị A . E = E . MỘT.
Ví dụ 1.1. Nhân ma trận A và B nếu:
.
Giải pháp. Vì các ma trận là nhất quán (số cột ma trận bằng số hàng ma trận) nên ta sẽ sử dụng công thức (1.4):
Câu hỏi tự kiểm tra.
1. Những thao tác nào được thực hiện trên ma trận?
2. Tổng (hiệu) của hai ma trận được gọi là gì?
3. Cái gì gọi là tích của hai ma trận?
Phương pháp Cramer giải hệ bậc hai của phương trình đại số tuyến tính(sơ đồ 3)
Hãy đưa ra một số định nghĩa cần thiết.
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không đồng nhất , nếu ít nhất một trong các số hạng tự do của nó khác 0 và đồng nhất , nếu tất cả các số hạng tự do của nó bằng 0.
Giải hệ phương trình là một tập hợp các số có thứ tự, khi được thay thế cho các biến trong hệ thống, sẽ biến mỗi phương trình của nó thành một đơn vị.
Hệ phương trình được gọi là chung , nếu nó có ít nhất một nghiệm và không khớp , nếu cô ấy không có giải pháp.
Hệ phương trình đồng thời được gọi là chắc chắn , nếu nó có nghiệm duy nhất và không chắc chắn , nếu nó có nhiều hơn một giải pháp.
Chúng ta hãy xem xét một hệ bậc hai không đồng nhất của các phương trình đại số tuyến tính có dạng tổng quát sau:
. (1.5) Ma trận chính của hệ thống
phương trình đại số tuyến tính là một ma trận gồm các hệ số gắn với ẩn số: 
.
Định thức của ma trận chính của hệ thống được gọi là yếu tố quyết định chính và được chỉ định.
Định thức phụ được lấy từ định thức chính bằng cách thay cột th bằng cột chứa các số hạng tự do.
Định lý 1.1 (Định lý Cramer). Nếu định thức chính của một hệ bậc hai của các phương trình đại số tuyến tính khác 0 thì hệ đó có nghiệm duy nhất, được tính bằng các công thức:
Nếu định thức chính là , thì hệ thống có vô số nghiệm (đối với tất cả các định thức phụ bằng 0) hoặc không có nghiệm nào cả (nếu ít nhất một trong các định thức phụ khác 0)
Theo các định nghĩa trên, định lý Cramer có thể được phát biểu theo cách khác: nếu định thức chính của một hệ phương trình đại số tuyến tính khác 0 thì hệ đó được xác định chung và đồng thời ; nếu yếu tố quyết định chính bằng 0 thì hệ thống đó hoặc là vô định (với tất cả ) hoặc không nhất quán (nếu ít nhất một trong số chúng khác 0).
Sau đó, giải pháp kết quả cần được kiểm tra.
Ví dụ 1.2. Giải hệ bằng phương pháp Cramer 
Giải pháp. Vì yếu tố quyết định chính của hệ thống
khác 0 thì hệ có nghiệm duy nhất. Hãy tính các định thức phụ
Hãy sử dụng công thức Cramer (1.6): 
, ,
Câu hỏi tự kiểm tra.
1. Thế nào gọi là giải hệ phương trình?
2. Hệ phương trình nào được gọi là tương thích hay không tương thích?
3. Hệ phương trình nào được gọi là xác định hay bất định?
4. Ma trận nào của hệ phương trình được gọi là ma trận chính?
5. Làm thế nào để tính các định thức phụ của hệ phương trình đại số tuyến tính?
6. Bản chất của phương pháp Cramer giải hệ phương trình đại số tuyến tính là gì?
7. Hệ phương trình đại số tuyến tính có thể trông như thế nào nếu định thức chính của nó bằng 0?
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận nghịch đảo(sơ đồ 4)
Ma trận có định thức khác 0 được gọi là không thoái hóa ; có định thức bằng 0 – thoái hóa .
Ma trận được gọi là nghịch đảo đối với một ma trận vuông đã cho, nếu khi nhân ma trận đó với nghịch đảo của nó ở cả bên phải và bên trái thì thu được ma trận đơn vị, tức là. (1.7)
Lưu ý rằng trong trường hợp này tích của ma trận và có tính chất giao hoán.
Định lý 1.2.Điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông cho trước là định thức của ma trận đã cho khác 0
Nếu ma trận chính của hệ thống trở thành số ít trong quá trình thử nghiệm thì không có nghịch đảo nào cho nó và phương pháp đang xem xét không thể được áp dụng.
Nếu ma trận chính không phải là số ít, nghĩa là định thức bằng 0, thì có thể tìm thấy ma trận nghịch đảo cho nó bằng thuật toán sau.
1. Tính phần bù đại số của tất cả các phần tử ma trận.
2. Viết các phép cộng đại số tìm được vào ma trận hoán vị.
3. Tạo ma trận nghịch đảo bằng công thức: 
(1.8)
4. Kiểm tra tính đúng đắn của ma trận tìm được A-1 theo công thức (1.7). Lưu ý rằng việc kiểm tra này có thể được bao gồm trong lần kiểm tra cuối cùng của chính giải pháp hệ thống.
Hệ (1.5) của phương trình đại số tuyến tính có thể biểu diễn dưới dạng phương trình ma trận: , trong đó là ma trận chính của hệ, là cột ẩn số, là cột các số hạng tự do. Hãy nhân phương trình này ở bên trái với ma trận nghịch đảo, chúng ta nhận được:
Vì, theo định nghĩa của ma trận nghịch đảo, phương trình có dạng 
hoặc . (1.9)
Như vậy, để giải hệ bậc hai gồm các phương trình đại số tuyến tính, bạn cần nhân cột số tự do bên trái với ma trận nghịch đảo của ma trận chính của hệ. Sau này, bạn nên kiểm tra giải pháp kết quả.
Ví dụ 1.3. Giải hệ bằng phương pháp ma trận nghịch đảo
Giải pháp. Hãy tính toán yếu tố quyết định chính của hệ thống
. Do đó, ma trận không số ít và tồn tại ma trận nghịch đảo của nó.
Hãy tìm phần bù đại số của tất cả các phần tử của ma trận chính:
Hãy viết các phép cộng đại số chuyển vào ma trận
. Sử dụng công thức (1.8) và (1.9) để tìm nghiệm của hệ
Câu hỏi tự kiểm tra.
1. Ma trận nào gọi là ma trận số ít, không suy biến?
2. Ma trận nào được gọi là nghịch đảo của một ma trận đã cho? Điều kiện tồn tại của nó là gì?
3. Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo cho một ma trận cho trước là gì?
4. Phương trình ma trận nào tương đương với hệ phương trình đại số tuyến tính?
5. Làm thế nào để giải hệ phương trình đại số tuyến tính sử dụng ma trận nghịch đảo cho ma trận chính của hệ?
Nghiên cứu hệ phương trình đại số tuyến tính không đồng nhất(sơ đồ 5)
Việc nghiên cứu bất kỳ hệ phương trình đại số tuyến tính nào đều bắt đầu bằng việc biến đổi ma trận mở rộng của nó bằng phương pháp Gaussian. Đặt kích thước của ma trận chính của hệ thống bằng .
Ma trận gọi là mở rộng ma trận của hệ thống , nếu cùng với các hệ số của ẩn số, nó chứa một cột các thuật ngữ tự do. Do đó, kích thước là .
Phương pháp Gaussian dựa trên các phép biến đổi cơ bản , bao gôm:
– sắp xếp lại các hàng ma trận;
– nhân các hàng của ma trận với một số khác với số vô lăng;
– phép cộng các hàng ma trận theo từng phần tử;
– xóa dòng số 0;
– chuyển vị ma trận (trong trường hợp này, các phép biến đổi được thực hiện theo cột).
Các phép biến đổi cơ bản dẫn hệ thống ban đầu tới một hệ thống tương đương với nó. Hệ thống được gọi là tương đương , nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Xếp hạng ma trận được gọi là bậc cao nhất của các số bé khác 0 của nó. Các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi thứ hạng của ma trận.
Định lý sau đây trả lời câu hỏi về sự tồn tại nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính không đồng nhất.
Định lý 1.3 (định lý Kronecker-Capelli). Một hệ phương trình đại số tuyến tính không đồng nhất là nhất quán khi và chỉ khi hạng của ma trận mở rộng của hệ bằng hạng của ma trận chính của nó, tức là. 
Chúng ta biểu thị số hàng còn lại trong ma trận sau phương pháp Gaussian bằng (theo đó là số phương trình còn lại trong hệ thống). Những cái này dòng ma trận được gọi là nền tảng .
Nếu , thì hệ có nghiệm duy nhất (được xác định chung), ma trận của nó được rút gọn về dạng tam giác bằng các phép biến đổi cơ bản. Hệ thống như vậy có thể được giải bằng phương pháp Cramer, sử dụng ma trận nghịch đảo hoặc phương pháp Gauss phổ quát.
Nếu (số lượng biến trong hệ lớn hơn phương trình), ma trận được rút gọn về dạng từng bước bằng các phép biến đổi cơ bản. Một hệ thống như vậy có nhiều giải pháp và không chắc chắn. Trong trường hợp này, để tìm giải pháp cho hệ thống, cần thực hiện một số thao tác.
1. Để hệ ẩn ở vế trái của phương trình ( biến cơ bản ), phần còn lại của ẩn số được chuyển sang vế phải ( biến miễn phí ). Sau khi chia các biến thành cơ bản và miễn phí, hệ thống có dạng:
. (1.10)
2. Từ hệ số của các biến cơ bản, lập biến phụ ( thứ yếu cơ bản ), giá trị này phải khác 0.
3. Nếu biến thứ cơ bản của hệ (1.10) bằng 0 thì thay thế một trong các biến cơ bản bằng một biến tự do; Kiểm tra cơ sở thứ của kết quả có khác 0 hay không.
4. Áp dụng công thức (1.6) của phương pháp Cramer, coi vế phải của phương trình là số hạng tự do, tìm biểu thức biểu thức cho các biến cơ bản theo các biến tự do ở dạng tổng quát. Tập hợp thứ tự kết quả của các biến hệ thống là quyết định chung .
5. Cho các biến tự do trong (1.10) giá trị tùy ý, tính giá trị tương ứng của các biến cơ bản. Tập hợp giá trị có thứ tự kết quả của tất cả các biến được gọi giải pháp riêng hệ thống tương ứng với các giá trị nhất định của các biến tự do. Hệ thống có vô số giải pháp cụ thể.
6. Nhận giải pháp cơ bản hệ thống – một giải pháp cụ thể thu được cho giá trị 0 của các biến tự do.
Lưu ý rằng số tập cơ sở các biến của hệ (1.10) bằng số tổ hợp các phần tử theo từng phần tử. Vì mỗi tập biến cơ bản đều có nghiệm cơ bản riêng nên hệ cũng có nghiệm cơ bản.
Một hệ phương trình thuần nhất luôn nhất quán vì nó có ít nhất một nghiệm – không (tầm thường). Để một hệ phương trình tuyến tính đồng nhất với các biến có nghiệm khác 0, điều cần và đủ là định thức chính của nó bằng 0. Điều này có nghĩa là thứ hạng của ma trận chính của nó nhỏ hơn số ẩn số. Trong trường hợp này, việc nghiên cứu hệ phương trình đồng nhất nghiệm tổng quát và nghiệm riêng được thực hiện tương tự như nghiên cứu hệ phương trình không đồng nhất. Giải pháp của hệ phương trình đồng nhất có một tính chất quan trọng: nếu biết hai nghiệm khác nhau của hệ phương trình tuyến tính đồng nhất, thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng là nghiệm của hệ phương trình này. Dễ dàng kiểm chứng tính đúng đắn của định lý sau.
Định lý 1.4. Nghiệm tổng quát của hệ phương trình không thuần nhất là tổng của nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của hệ phương trình không thuần nhất
Ví dụ 1.4.
Khám phá hệ thống đã cho và tìm một giải pháp cụ thể:
Giải pháp. Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và áp dụng các phép biến đổi cơ bản cho nó:
. Vì và , thì theo Định lý 1.3 (Kronecker-Capelli) hệ phương trình đại số tuyến tính đã cho là phù hợp. Số lượng biến, tức là, có nghĩa là hệ thống không chắc chắn. Số lượng bộ cơ sở của các biến hệ thống bằng
. Do đó, 6 bộ biến có thể là cơ bản: . Hãy xem xét một trong số họ. Khi đó hệ thu được bằng phương pháp Gauss có thể được viết lại dưới dạng
. Yếu tố quyết định chính. Sử dụng phương pháp Cramer, chúng ta tìm lời giải tổng quát cho hệ thống. Vòng loại phụ trợ
Theo công thức (1.6) ta có
. Biểu thức của các biến cơ bản dưới dạng các biến tự do thể hiện nghiệm tổng quát của hệ:
Đối với các giá trị cụ thể của các biến tự do, từ nghiệm tổng quát ta thu được nghiệm cụ thể của hệ thống. Ví dụ, một giải pháp riêng 
tương ứng với giá trị của các biến tự do. Lúc đó ta thu được lời giải cơ bản của hệ thống 
Câu hỏi tự kiểm tra.
1. Hệ phương trình nào được gọi là đồng nhất hay không đồng nhất?
2. Ma trận nào gọi là mở rộng?
3. Liệt kê các phép biến đổi cơ bản cơ bản của ma trận. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính nào dựa trên các phép biến đổi này?
4. Thứ hạng của ma trận là gì? Làm thế nào bạn có thể tính toán nó?
5. Định lý Kronecker-Capelli nói lên điều gì?
6. Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Gauss bằng phương pháp Gauss, hệ phương trình đại số tuyến tính có thể được rút gọn về dạng nào? Điều đó có nghĩa là gì?
7. Những hàng nào của ma trận được gọi là cơ bản?
8. Biến hệ thống nào được gọi là cơ bản và biến nào là miễn phí?
9. Giải pháp nào của một hệ thống không đồng nhất được gọi là riêng tư?
10. Giải pháp nào được gọi là cơ bản? Một hệ phương trình tuyến tính không đồng nhất có bao nhiêu nghiệm cơ bản?
11. Nghiệm nào của hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất được gọi là nghiệm tổng quát? Xây dựng định lý về nghiệm tổng quát của hệ phương trình không thuần nhất.
12. Các tính chất chính của nghiệm của hệ thuần nhất của phương trình đại số tuyến tính là gì?
