Thực đơn
trang chủExcel

Tìm cực trị của hàm số bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Phương pháp Lagrange (biến thiên của hằng số). Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất

Tên tham số Nghĩa
Chủ đề bài viết: Phương pháp Lagrange.
Phiếu tự đánh giá (thể loại chuyên đề) toán học

Tìm đa thức có nghĩa là xác định các giá trị hệ số của nó . Để làm điều này, sử dụng điều kiện nội suy, bạn có thể tạo thành một hệ tuyến tính phương trình đại số(SLAU).

Định thức của SLAE này thường được gọi là định thức Vandermonde. Định thức Vandermonde không phải là bằng 0 khi nào for , nghĩa là trong trường hợp không có nút nào phù hợp trong bảng tra cứu. Tuy nhiên, có thể lập luận rằng SLAE có một giải pháp và giải pháp này là duy nhất. Đã giải SLAE và xác định được các hệ số chưa biết bạn có thể xây dựng một đa thức nội suy.

Một đa thức thỏa mãn điều kiện nội suy khi nội suy bằng phương pháp Lagrange được xây dựng dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các đa thức bậc n:

Đa thức thường được gọi là nền tảngđa thức. Để Đa thức Lagrange thỏa mãn các điều kiện nội suy, điều cực kỳ quan trọng là phải thỏa mãn các điều kiện sau cho đa thức cơ sở của nó:

Vì .

Nếu các điều kiện này được đáp ứng thì với bất kỳ điều kiện nào chúng ta có:

Hơn nữa, việc đáp ứng các điều kiện quy định cho đa thức cơ sở có nghĩa là các điều kiện nội suy cũng được thỏa mãn.

Chúng ta hãy xác định loại đa thức cơ sở dựa trên các ràng buộc áp đặt cho chúng.

Điều kiện thứ 1: Tại .

điều kiện thứ 2: .

Cuối cùng, đối với đa thức cơ sở, chúng ta có thể viết:

Sau đó, thay biểu thức kết quả của đa thức cơ sở vào đa thức ban đầu, chúng ta thu được cái nhìn cuối cùngĐa thức Lagrange:

Một dạng cụ thể của đa thức Lagrange tại thường được gọi là công thức nội suy tuyến tính:

.

Đa thức Lagrange được thực hiện tại thường được gọi là công thức nội suy bậc hai:

Phương pháp Lagrange. - Khái niệm và các loại Phân loại và đặc điểm của thể loại "Phương pháp Lagrange." 2017, 2018.

  • - Phương pháp Lagrange (phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý).

    Điều khiển từ xa tuyến tính. Sự định nghĩa. DU loại tức là tuyến tính đối với một hàm chưa biết và đạo hàm của nó được gọi là tuyến tính. Đối với nghiệm thuộc loại này, chúng ta sẽ xem xét hai phương pháp: phương pháp Lagrange và phương pháp Bernoulli. Xét một phương trình vi phân thuần nhất. Phương trình này có các biến tách được. Nghiệm của phương trình là Tổng quát... .


  • - Hệ thống điều khiển tuyến tính, đồng nhất và không đồng nhất. Khái niệm quyết định chung Phương pháp biến thiên Lagrange của hằng số sản xuất.

    Sự định nghĩa. Một hệ thống điều khiển được gọi là đồng nhất nếu hàm có thể được biểu diễn dưới dạng mối quan hệ giữa các đối số của nó. F được gọi là đồng nhất số đo thứ f nếu Ví dụ: 1) - Bậc đồng nhất thứ 1. 2) - Bậc đồng nhất thứ 2. 3) - mức độ đồng nhất bằng 0 (đơn giản là đồng nhất... .


  • - Bài giảng 8. Ứng dụng đạo hàm riêng: bài toán cực trị. Phương pháp Lagrange.

    Các bài toán cực trị có tầm quan trọng rất lớn trong tính toán kinh tế. Ví dụ: đây là phép tính thu nhập tối đa, lợi nhuận, chi phí tối thiểu tùy thuộc vào một số biến số: tài nguyên, tài sản sản xuất, v.v. Lý thuyết tìm cực trị của hàm số....


  • - T.2.3. DE của các đơn đặt hàng cao hơn. Phương trình trong tổng số chênh lệch. T.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai với hệ số không đổi. Phương pháp Lagrange.

    3. 2. 1. DE với các biến tách được S.R. 3. Trong khoa học tự nhiên, công nghệ và kinh tế, người ta thường phải xử lý các công thức thực nghiệm, tức là các công thức thực nghiệm. các công thức được biên soạn dựa trên việc xử lý số liệu thống kê hoặc...

    • Phương pháp nhânLagrange(trong tài liệu tiếng Anh “Phương pháp số nhân không xác định của LaGrange”) ˗ là một phương pháp số để giải các bài toán tối ưu hóa cho phép bạn xác định cực trị “có điều kiện” hàm mục tiêu(giá trị tối thiểu hoặc tối đa)

    với sự có mặt của các hạn chế cụ thể đối với các biến của nó dưới dạng đẳng thức (tức là diện tích giá trị chấp nhận được)

    ˗ đây là các giá trị của đối số hàm ( thông số được kiểm soát) trên miền thực tại đó giá trị của hàm có xu hướng đạt cực trị. Việc sử dụng tên cực trị “có điều kiện” là do thực tế là các biến phụ thuộc vào Điều kiện bổ sung, giới hạn phạm vi giá trị có thể chấp nhận được khi tìm kiếm cực trị của hàm.

    Phương pháp nhân tử Lagrange cho phép bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm mục tiêu trên một tập các giá trị chấp nhận được chuyển thành bài toán mà không cần tối ưu hóa có điều kiện chức năng.

    Trường hợp các hàm Và là liên tục cùng với đạo hàm riêng của chúng thì tồn tại các biến λ không đồng thời bằng 0 thỏa mãn điều kiện sau:

    Do đó, theo phương pháp nhân tử Lagrange, để tìm cực trị của hàm mục tiêu trên tập hợp các giá trị được chấp nhận, tôi soạn hàm Lagrange L(x, λ), được tối ưu hóa hơn nữa:

    trong đó λ ˗ là vectơ của các biến bổ sung được gọi là yếu tố không xác định Lagrange.

    Như vậy, bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm f(x) đã được quy giản thành bài toán tìm cực trị vô điều kiện của hàm L(x, λ).

    Và

    Điều kiện cần để đạt cực trị của hàm Lagrange được cho bởi hệ phương trình (hệ phương trình gồm các phương trình “n + m”):

    Việc giải hệ phương trình này cho phép xác định các đối số của hàm (X) mà tại đó giá trị của hàm L(x, λ), cũng như giá trị của hàm đích f(x) tương ứng với cực trị.

    Độ lớn của các nhân tử Lagrange (λ) được quan tâm trong thực tế nếu các ràng buộc được trình bày dưới dạng với một số hạng tự do trong phương trình (hằng số). Trong trường hợp này, chúng ta có thể xem xét thêm (tăng/giảm) giá trị của hàm mục tiêu bằng cách thay đổi giá trị của hằng số trong hệ phương trình. Do đó, hệ số nhân Lagrange đặc trưng cho tốc độ thay đổi ở mức cực đại của hàm mục tiêu khi hằng số giới hạn thay đổi.

    Có một số cách để xác định bản chất của cực trị của hàm kết quả:

    Phương pháp thứ nhất: Gọi là tọa độ điểm cực trị và là giá trị tương ứng của hàm mục tiêu. Một điểm gần điểm được lấy và giá trị của hàm mục tiêu được tính:

    Nếu như , thì tại điểm đó có cực đại.

    Nếu như , thì có điểm cực tiểu tại điểm đó.

    Phương pháp thứ hai: Điều kiện đủ để xác định bản chất của cực trị là dấu vi phân bậc hai của hàm Lagrange. Vi phân thứ hai của hàm Lagrange được định nghĩa như sau:

    Nếu ở điểm nhất định tối thiểu, nếu như , thì hàm mục tiêu f(x) có điều kiện tối đa.

    Phương pháp thứ ba: Ngoài ra, bản chất của cực trị của hàm có thể được xác định bằng cách xem xét hàm Hessian của hàm Lagrange. Ma trận Hessian là ma trận đối xứng Ma trận vuôngđạo hàm riêng bậc hai của hàm tại điểm mà tại đó các phần tử ma trận đối xứng qua đường chéo chính.

    Để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu của hàm), bạn có thể sử dụng quy tắc Sylvester:

    1. Để vi phân bậc hai của hàm Lagrange mang dấu dương điều cần thiết là các góc nhỏ của hàm số phải dương. Trong những điều kiện như vậy, hàm số tại điểm này có giá trị cực tiểu.

    2. Để vi phân bậc hai của hàm Lagrange âm , điều cần thiết là các phần tử góc của hàm xen kẽ nhau và phần tử đầu tiên của ma trận phải là số âmv. Trong điều kiện như vậy, hàm số tại điểm này có giá trị cực đại.

    Với góc nhỏ chúng ta muốn nói đến phần nhỏ nằm ở k hàng và k cột đầu tiên của ma trận ban đầu.

    Ý nghĩa thực tế chính của phương pháp Lagrange là nó cho phép bạn chuyển từ tối ưu hóa có điều kiện sang tối ưu hóa vô điều kiện và theo đó, mở rộng kho vũ khí của bạn phương pháp có sẵn giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, vấn đề giải hệ phương trình mà phương pháp này rút gọn là trường hợp chung không dễ dàng hơn vấn đề ban đầu tìm kiếm cực trị. Những phương pháp như vậy được gọi là gián tiếp. Việc sử dụng chúng được giải thích là do nhu cầu thu được lời giải cho một bài toán cực trị ở dạng phân tích (ví dụ, đối với một số phép tính lý thuyết nhất định). Khi giải các bài toán thực tế cụ thể, các phương pháp trực tiếp thường được sử dụng, dựa trên các quá trình tính toán và so sánh lặp đi lặp lại các giá trị của các hàm được tối ưu hóa.

    Phương pháp tính toán

    1 bước: Ta xác định hàm Lagrange từ hàm mục tiêu đã cho và hệ các ràng buộc:

    Phía trước

    Để thêm bình luận của bạn vào bài viết, vui lòng đăng ký trên trang web.

    Phương pháp xác định cực trị có điều kiện bắt đầu bằng việc xây dựng hàm Lagrange phụ trợ, hàm này trong vùng các nghiệm khả thi đạt cực đại đối với cùng giá trị của các biến x 1 , x 2 , ..., x N , tương tự như hàm mục tiêu z . Hãy giải bài toán xác định cực trị có điều kiện của hàm số z = f(X) dưới những hạn chế φ Tôi ( x 1 , x 2 , ..., x N ) = 0, Tôi = 1, 2, ..., tôi , tôi < N

    Hãy soạn một hàm

    được gọi là Hàm Lagrange. X , - hệ số không đổi ( Các nhân đấu Lagrange). Lưu ý rằng số nhân Lagrange có thể mang ý nghĩa kinh tế. Nếu như f(x 1 , x 2 , ..., x N ) - Thu nhập phù hợp với kế hoạch X = (x 1 , x 2 , ..., x N ) , và hàm φ Tôi (x 1 , x 2 , ..., x N ) - chi phí của nguồn lực thứ i tương ứng với kế hoạch này, sau đó X , là giá (ước tính) của tài nguyên thứ i, đặc trưng cho sự thay đổi giá trị cực trị của hàm mục tiêu tùy thuộc vào sự thay đổi quy mô của tài nguyên thứ i (ước tính cận biên). L(X) - chức năng n+m biến (x 1 , x 2 , ..., x N , λ 1 , λ 2 , ..., λ N ) . Việc xác định điểm dừng của hàm số này dẫn đến giải hệ phương trình

    Thật dễ dàng để thấy điều đó . Vì vậy, nhiệm vụ tìm cực trị điều kiện của hàm z = f(X) rút gọn về việc tìm cực trị địa phương của hàm số L(X) . Nếu tìm thấy một điểm dừng thì câu hỏi về sự tồn tại của cực trị trong những trường hợp đơn giản nhất được giải quyết trên cơ sở đủ điều kiện cực trị - nghiên cứu về dấu hiệu của vi phân thứ hai d 2 L(X) tại một điểm đứng yên, với điều kiện là biến tăng dần ∆x Tôi - được kết nối bằng các mối quan hệ

    thu được bằng cách đạo hàm các phương trình ghép.

    Giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn bằng công cụ Solution Finder

    Cài đặt Tìm giải pháp cho phép bạn tìm ra giải pháp cho hệ thống mà không cần Các phương trình tuyến tính với hai ẩn số:

    Ở đâu
    - hàm phi tuyến của các biến x Và y ,
    - Hằng số tùy ý.

    Được biết, cặp đôi ( x , y ) là nghiệm của hệ phương trình (10) khi và chỉ khi nó là nghiệm của phương trình sau với hai ẩn số:

    VỚI mặt khác, nghiệm của hệ (10) là giao điểm của hai đường cong: f ] (x, y) = C Và f 2 (x, y) = C 2 trên bề mặt XOY.

    Điều này dẫn đến một phương pháp tìm ra gốc rễ của hệ thống. phương trình phi tuyến:

      Xác định (ít nhất là xấp xỉ) khoảng tồn tại nghiệm của hệ phương trình (10) hoặc phương trình (11). Ở đây cần phải tính đến loại phương trình có trong hệ thống, phạm vi định nghĩa của từng phương trình của chúng, v.v. Đôi khi việc lựa chọn phép tính gần đúng ban đầu của nghiệm được sử dụng;

      Lập bảng nghiệm phương trình (11) cho các biến x và y trên khoảng đã chọn hoặc xây dựng đồ thị hàm số f 1 (x, y) = C, và f 2 (x,y) = C 2 (hệ thống (10)).

      Bản địa hóa các nghiệm được cho là của một hệ phương trình - tìm một số giá trị tối thiểu từ bảng, lập bảng nghiệm của phương trình (11), hoặc xác định điểm giao nhau của các đường cong có trong hệ (10).

    4. Tìm nghiệm của hệ phương trình (10) bằng add-in Tìm một giải pháp.

    Phân loại các bài toán lập trình toán học

    LẬP TRÌNH

    CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHI TUYẾN TÍNH

    Câu hỏi kiểm soátđến phần 4

    Sơ đồ giải pháp vấn đề vận chuyển

    Hãy liệt kê các giai đoạn chính của việc giải quyết vấn đề vận tải.

    1. Kiểm tra tình trạng đóng. Nếu nhiệm vụ đang mở, bảng vận chuyển sẽ được bổ sung thêm một cột điểm tiêu dùng giả định hoặc một hàng nhà cung cấp giả định.

    2. Xây dựng kế hoạch tham khảo.

    3. Kiểm tra phương án hỗ trợ không thoái hóa. Nếu không có đủ ô bị chiếm để thỏa mãn điều kiện không suy biến, một trong các ô của bảng vận chuyển sẽ được lấp đầy với nguồn cung bằng 0. Nếu cần, có thể ghi lại số lần giao hàng bằng 0 trong một số ô.

    4. Kế hoạch được kiểm tra tính tối ưu.

    5. Nếu không đáp ứng được các điều kiện tối ưu, hãy chuyển sang kế hoạch tiếp theo bằng cách phân phối lại nguồn cung. Quá trình tính toán được lặp lại cho đến khi đạt được phương án tối ưu.

    1. Ý nghĩa của hàm mục tiêu trong mô hình toán của bài toán vận tải là gì?

    2. Ý nghĩa của các hạn chế trong mô hình toán của bài toán vận tải là gì?

    3. Có thể áp dụng phương pháp thế để giải bài toán vận chuyển hở (không đóng) được không?

    4. Cần phải thực hiện những thay đổi nào đối với bảng vận chuyển ban đầu để có thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp tiềm năng?

    5. Bản chất của phương pháp phần tử tối thiểu là gì? Việc giải quyết vấn đề vận tải sẽ được hoàn thành ở giai đoạn nào khi áp dụng phương pháp này?

    6. Làm sao bạn biết kế hoạch vận chuyển có tối ưu hay không?

    7. Trong trường hợp nào và cần phải phân phối lại vật tư về mặt vận chuyển như thế nào?

    8. Giả sử quy hoạch giao thông được xây dựng bị thoái hóa. Có thể tiếp tục giải quyết vấn đề bằng phương pháp tiềm năng không và cần phải làm gì cho việc này?

    Nhiệm vụ chung lập trình toán học đã được xây dựng ở phần 1.1. Tùy thuộc vào loại hàm có trong mô hình (1.1)-(1.3), bài toán được phân loại thành một loại lập trình toán học. Có quy hoạch tuyến tính (tất cả các hàm đều là tuyến tính), số nguyên (lời giải được biểu diễn bằng số nguyên), bậc hai (hàm mục tiêu là dạng bậc hai), phi tuyến (ít nhất một trong các hàm của bài toán là phi tuyến) và lập trình ngẫu nhiên ( các tham số có tính chất xác suất được bao gồm).

    Lớp nhiệm vụ không lập trình tuyến tính lớp học rộng hơn mô hình tuyến tính. Ví dụ, chi phí sản xuất trong hầu hết các trường hợp không tỷ lệ thuận với khối lượng sản phẩm đầu ra mà phụ thuộc vào nó một cách phi tuyến tính, thu nhập từ việc bán sản phẩm sản xuất hóa ra là một hàm phi tuyến tính của giá cả, v.v. Tiêu chí trong các bài toán lập kế hoạch tối ưu thường là lợi nhuận tối đa, chi phí tối thiểu và chi phí vốn tối thiểu. BẰNG biến khối lượng đầu ra là nhiều loại khác nhau các sản phẩm. Các ràng buộc bao gồm các hàm sản xuất đặc trưng cho mối quan hệ giữa sản lượng sản phẩm với lao động và chi phí lao động. nguồn nguyên liệu, số lượng có hạn.



    Không giống như lập trình tuyến tính, sử dụng phương pháp phổ quát lời giải (phương pháp đơn giản), để giải các bài toán phi tuyến, có rất nhiều phương pháp tùy thuộc vào dạng của các hàm có trong mô hình. Trong số các phương pháp đa dạng, chúng ta sẽ chỉ xem xét hai phương pháp: phương pháp Lagrange và phương pháp quy hoạch động.

    VỚI Bản chất của phương pháp Lagrange là đưa bài toán về cực đoan có điều kiệnđể giải bài toán cực trị vô điều kiện. Xét mô hình lập trình phi tuyến:

    (5.2)

    Ở đâu - chức năng đã biết,

    MỘT - các hệ số đã cho.

    Lưu ý rằng trong cách trình bày bài toán này, các ràng buộc được xác định bằng các đẳng thức và không có điều kiện nào để các biến không âm. Ngoài ra, chúng tôi tin rằng các chức năng liên tục với đạo hàm riêng bậc nhất của chúng.

    Chúng ta hãy biến đổi các điều kiện (5.2) sao cho ở vế trái hoặc vế phải của các đẳng thức có số không:

    (5.3)

    Hãy soạn hàm Lagrange. Nó bao gồm hàm mục tiêu (5.1) và vế phải của các ràng buộc (5.3), được lấy tương ứng với các hệ số . Sẽ có bao nhiêu hệ số Lagrange cũng như những ràng buộc trong bài toán.

    Điểm cực trị của hàm số (5.4) là điểm cực trị của bài toán ban đầu và ngược lại: phương án tối ưu của bài toán (5.1)-(5.2) là điểm cực trị toàn cục của hàm Lagrange.

    Thật vậy, hãy tìm ra giải pháp các bài toán (5.1)-(5.2) thì điều kiện (5.3) được thỏa mãn. Hãy thay thế kế hoạch vào hàm (5.4) và xác minh tính hợp lệ của đẳng thức (5.5).

    Vì vậy, để tìm được phương án tối ưu cho bài toán ban đầu cần xét nghiệm hàm Lagrange cho cực trị. Hàm có giá trị cực trị tại những điểm mà đạo hàm riêng của nó bằng nhau số không. Những điểm như vậy được gọi là đứng im.

    Chúng ta hãy định nghĩa đạo hàm riêng của hàm (5.4)

    ,

    .

    Sau khi cân bằng số khôngđạo hàm chúng ta có được hệ thống m+n phương trình với m+n không xác định

    , (5.6)

    Trong trường hợp tổng quát, hệ (5.6)-(5.7) sẽ có một số nghiệm bao gồm tất cả các cực đại và cực tiểu của hàm Lagrange. Để làm nổi bật mức tối đa hoặc tối thiểu toàn cầu, các giá trị của hàm mục tiêu được tính tại tất cả các điểm tìm thấy. Giá trị lớn nhất trong số này sẽ là mức tối đa toàn cầu và giá trị nhỏ nhất sẽ là mức tối thiểu toàn cầu. Trong một số trường hợp hóa ra có thể sử dụng điều kiện đủ cho một cực trị chặt chẽ hàm số liên tục (xem Bài toán 5.2 bên dưới):

    giả sử hàm số liên tục và khả vi hai lần trong một lân cận nào đó của điểm dừng của nó (tức là )). Sau đó:

    MỘT) Nếu như ,(5.8)

    thì là điểm cực đại thực sự của hàm số;

    b) Nếu như ,(5.9)

    sau đó là điểm tối thiểu nghiêm ngặt của hàm số;

    G ) Nếu như ,

    thì câu hỏi về sự hiện diện của một cực trị vẫn còn bỏ ngỏ.

    Ngoài ra, một số nghiệm của hệ (5.6)-(5.7) có thể âm. Điều này không phù hợp với ý nghĩa kinh tế của các biến. Trong trường hợp này, bạn nên cân nhắc thay thế giá trị âm bằng giá trị 0.

    Ý nghĩa kinh tế của số nhân Lagrange. Giá trị nhân tối ưu cho biết giá trị tiêu chí sẽ thay đổi bao nhiêu Z khi tài nguyên tăng hoặc giảm j bằng một đơn vị, vì

    Phương pháp Lagrange cũng có thể được sử dụng trong trường hợp các ràng buộc là bất đẳng thức. Do đó, tìm cực trị của hàm trong những điều kiện

    ,

    thực hiện qua nhiều giai đoạn:

    1. Xác định điểm dừng của hàm mục tiêu để giải hệ phương trình

    .

    2. Từ các điểm dừng chọn những điểm có tọa độ thỏa mãn điều kiện

    3. Sử dụng phương pháp Lagrange, giải bài toán có ràng buộc đẳng thức (5.1)-(5.2).

    4. Kiểm tra các điểm tìm được ở giai đoạn thứ hai và thứ ba để tìm mức cực đại toàn cục: so sánh các giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm này - giá trị cao nhất tương ứng với phương án tối ưu.

    Vấn đề 5.1 Chúng ta hãy giải bài toán 1.3 được xem xét ở phần đầu tiên bằng phương pháp Lagrange. Phân phối tối ưu tài nguyên nước được mô tả bằng mô hình toán học

    .

    Hãy soạn hàm Lagrange

    Hãy tìm mức tối đa vô điều kiện của hàm này. Để làm điều này, chúng ta tính đạo hàm riêng và đánh đồng chúng bằng 0

    ,

    Như vậy ta thu được hệ phương trình tuyến tính có dạng

    Giải hệ phương trình thể hiện phương án phân bổ nguồn nước tối ưu cho các vùng được tưới

    Giá trị được đo bằng hàng trăm ngàn mét khối. - lượng thu nhập ròng trên một trăm nghìn mét khối nước tưới. Do đó, giá biên của 1 m 3 nước tưới bằng cái hang. các đơn vị

    Thu nhập ròng bổ sung tối đa từ việc tưới tiêu sẽ là

    160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

    172391.02 (đơn vị den.)

    Vấn đề 5.2 Giải bài toán lập trình phi tuyến

    Hãy biểu diễn giới hạn dưới dạng:

    .

    Hãy soạn hàm Lagrange và xác định đạo hàm riêng của nó

    .

    Để xác định các điểm dừng của hàm Lagrange, đạo hàm riêng của nó phải được đặt bằng 0. Kết quả là ta thu được hệ phương trình

    • Hướng dẫn

    Chào buổi chiều mọi người. Trong bài viết này tôi muốn trình bày một trong phương pháp đồ họa sự thi công mô hình toán học Vì hệ thống độngđược gọi là đồ thị trái phiếu(“liên kết” - kết nối, “đồ thị” - đồ thị). Trong văn học Nga, tôi chỉ tìm thấy những mô tả về phương pháp này trong Sách giáo khoa của Tomsky. Đại học Bách khoa, A.V. Voronin “MÔ HÌNH HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN TỬ” 2008 Cũng trình bày phương pháp cổ điển thông qua phương trình Lagrange loại 2.

    Phương pháp Lagrange

    Tôi sẽ không mô tả lý thuyết, tôi sẽ chỉ ra các giai đoạn tính toán kèm theo một vài nhận xét. Cá nhân tôi thấy học từ ví dụ dễ hơn là đọc lý thuyết 10 lần. Đối với tôi, dường như trong văn học Nga, cách giải thích phương pháp này, và thực sự là toán học hay vật lý nói chung, rất phong phú về các công thức phức tạp, do đó đòi hỏi một nền tảng toán học nghiêm túc. Khi nghiên cứu phương pháp Lagrange (tôi học tại Đại học Bách khoa Turin, Ý), tôi đã nghiên cứu văn học Nga để so sánh các phương pháp tính toán và tôi rất khó theo dõi tiến trình giải phương pháp này. Ngay cả khi nhớ lại các khóa học về mô hình hóa tại Viện Hàng không Kharkov, việc tạo ra các phương pháp như vậy rất phức tạp và không ai bận tâm đến việc cố gắng tìm hiểu vấn đề này. Đây là điều tôi quyết định viết, một cẩm nang xây dựng mô hình toán học theo Lagrange, hóa ra nó không khó chút nào, chỉ cần biết cách tính đạo hàm theo thời gian và đạo hàm riêng là đủ. Đối với các mô hình phức tạp hơn, ma trận xoay cũng được thêm vào, nhưng chúng cũng không có gì phức tạp.

    Đặc điểm của phương pháp mô hình hóa:

    • Newton-Euler: phương trình vectơ dựa trên trạng thái cân bằng động lực lượng Và khoảnh khắc
    • Lagrange: phương trình vô hướng dựa trên các hàm trạng thái liên quan đến động năng và thế năng năng lượng
    • Số lượng trái phiếu: phương pháp dựa trên dòng chảy quyền lực giữa các phần tử hệ thống

    Hãy bắt đầu với ví dụ đơn giản. Khối lượng với lò xo và van điều tiết. Chúng ta bỏ qua lực hấp dẫn.


    Hình 1. Khối lượng với lò xo và van điều tiết

    Trước hết, chúng tôi chỉ định:

    • hệ thống ban đầu tọa độ(NSK) hoặc sk cố định R0(i0,j0,k0). Ở đâu? Bạn có thể chỉ tay lên trời, nhưng bằng cách co giật các đầu tế bào thần kinh trong não, ý tưởng sẽ được chuyển thành đặt NSC trên đường chuyển động của cơ thể M1.
    • hệ tọa độ cho mỗi vật có khối lượng(chúng tôi có M1 R1(i1,j1,k1)), định hướng có thể tùy ý, nhưng tại sao lại làm phức tạp cuộc sống của bạn, hãy đặt nó với sự khác biệt tối thiểu so với NSC
    • tọa độ tổng quát q_i(số lượng biến tối thiểu có thể mô tả chuyển động), trong trong ví dụ này một tọa độ tổng quát, chỉ chuyển động dọc theo trục j


    Hình 2. Chúng ta đặt hệ tọa độ và tọa độ tổng quát


    Hình 3. Vị trí và vận tốc của vật M1

    Sau đó, chúng ta sẽ tìm động năng (C) và thế năng (P) và hàm tiêu tán (D) của bộ giảm chấn bằng cách sử dụng các công thức:


    Hình 4. Công thức đầy đủ của động năng

    Trong ví dụ của chúng tôi không có phép quay, thành phần thứ hai là 0.




    Hình 5. Tính toán động năng, thế năng và hàm tiêu tán

    Phương trình Lagrange có dạng sau:


    Hình 6. Phương trình Lagrange và Lagrange

    Đồng bằng W_i Cái này công việc ảođược hoàn thiện bởi các lực và khoảnh khắc được áp dụng. Hãy tìm cô ấy:


    Hình 7. Tính toán công ảo

    Ở đâu đồng bằng q_1 chuyển động ảo.

    Chúng tôi thay thế mọi thứ vào phương trình Lagrange:


    Hình 8. Mô hình khối lượng thu được với lò xo và bộ giảm chấn

    Đây là nơi phương pháp Lagrange kết thúc. Như bạn có thể thấy, nó không quá phức tạp nhưng nó vẫn là một ví dụ rất đơn giản, trong đó rất có thể phương pháp Newton-Euler thậm chí còn đơn giản hơn. Đối với các hệ phức tạp hơn, trong đó sẽ có một số vật thể quay tương đối với nhau ở các góc khác nhau, phương pháp Lagrange sẽ dễ dàng hơn.

    Phương pháp đồ thị trái phiếu

    Tôi sẽ cho bạn thấy ngay mô hình trông như thế nào trong biểu đồ liên kết với một ví dụ có khối lượng, lò xo và bộ giảm chấn:


    Hình 9. Khối lượng đồ thị liên kết với lò xo và bộ giảm chấn

    Ở đây bạn sẽ phải kể một chút lý thuyết, điều này sẽ đủ để xây dựng mô hình đơn giản. Nếu ai quan tâm thì có thể đọc sách ( Phương pháp đồ thị trái phiếu) hoặc ( Voronin A.V. Mô hình hóa hệ thống cơ điện tử: hướng dẫn. – Tomsk: Nhà xuất bản Đại học Bách khoa Tomsk, 2008).

    Đầu tiên chúng ta hãy xác định rằng hệ thống phức tạp gồm nhiều miền. Ví dụ, một động cơ điện bao gồm các bộ phận hoặc lĩnh vực điện và cơ khí.

    đồ thị trái phiếu dựa trên sự trao đổi quyền lực giữa các miền, hệ thống con này. Lưu ý rằng trao đổi năng lượng, dưới bất kỳ hình thức nào, luôn được xác định bởi hai biến số ( công suất thay đổi ) với sự trợ giúp của nó, chúng ta có thể nghiên cứu sự tương tác của các hệ thống con khác nhau trong một hệ thống động (xem bảng).

    Như có thể thấy từ bảng trên, sự biểu hiện quyền lực gần như giống nhau ở mọi nơi. Tóm tắt, Quyền lực- Công việc này " dòng chảy - f" TRÊN " nỗ lực - e».

    Một nỗ lực(Tiếng Anh) cố gắng) trong lĩnh vực điện, đây là điện áp (e), trong lĩnh vực cơ học, đó là lực (F) hoặc mô-men xoắn (T), trong thủy lực, đó là áp suất (p).

    Chảy(Tiếng Anh) chảy) trong miền điện nó là dòng điện (i), trong miền cơ học nó là tốc độ (v) hoặc vận tốc góc (omega), trong thủy lực nó là dòng chảy hoặc tốc độ dòng chảy của chất lỏng (Q).

    Lấy những ký hiệu này, chúng ta có được biểu thức cho lũy thừa:


    Hình 10. Công thức lũy thừa thông qua các biến lũy thừa

    Trong ngôn ngữ đồ thị liên kết, kết nối giữa hai hệ thống con trao đổi năng lượng được thể hiện bằng một liên kết. liên kết). Đó là lý do tại sao phương pháp này được gọi đồ thị trái phiếu hoặc g kết nối raf, biểu đồ được kết nối. Hãy xem xét sơ đồ khối các kết nối trong mô hình với động cơ điện (đây chưa phải là biểu đồ liên kết):


    Hình 11. Sơ đồ khối dòng điện giữa các miền

    Nếu chúng ta có nguồn điện áp thì theo đó nó tạo ra điện áp và truyền vào động cơ để quấn dây (đây là lý do vì sao mũi tên hướng về động cơ), tùy thuộc vào điện trở của cuộn dây mà xuất hiện dòng điện theo định luật Ohm (có hướng). từ động cơ đến nguồn). Theo đó, một biến là đầu vào của hệ thống con và biến thứ hai phải lối ra từ hệ thống con. Ở đây điện áp ( cố gắng) - đầu vào hiện tại ( chảy) - lối ra.

    Nếu sử dụng nguồn dòng điện thì sơ đồ sẽ thay đổi như thế nào? Phải. Dòng điện sẽ hướng tới động cơ và điện áp tới nguồn. Khi đó dòng điện ( chảy) - điện áp đầu vào ( cố gắng) - lối ra.

    Hãy xem xét một ví dụ trong cơ học. Lực tác dụng lên một khối lượng.


    Hình 12. Lực tác dụng lên khối lượng

    Sơ đồ khối sẽ như sau:


    Hình 13. Sơ đồ khối

    Trong ví dụ này, Sức mạnh ( cố gắng) – biến đầu vào cho khối lượng. (Lực tác dụng lên khối lượng)
    Theo định luật II Newton:

    Khối lượng phản ứng với tốc độ:

    Trong ví dụ này, nếu một biến ( lực lượng - cố gắng) là cổng vào vào miền cơ học, sau đó là một biến công suất khác ( tốc độ - chảy) – tự động trở thành lối ra.

    Để phân biệt đâu là đầu vào và đâu là đầu ra, nó được sử dụng đường thẳng đứngở cuối mũi tên (kết nối) giữa các phần tử, dòng này được gọi là dấu hiệu nhân quả hoặc nhân quả (nhân quả). Hóa ra: lực tác dụng là nguyên nhân, còn tốc độ là kết quả. Dấu hiệu này rất quan trọng đối với việc xây dựng chính xác mô hình hệ thống, vì quan hệ nhân quả là hệ quả của hành vi vật lý và trao đổi quyền lực của hai hệ thống con, do đó việc lựa chọn vị trí của dấu hiệu nhân quả không thể tùy tiện.


    Hình 14. Chỉ định quan hệ nhân quả

    Đường thẳng đứng này cho biết hệ con nào nhận lực ( cố gắng) và kết quả là tạo ra một dòng chảy ( chảy). Trong ví dụ với khối lượng, nó sẽ như thế này:


    Hình 14. Mối quan hệ nhân quả của lực tác dụng lên khối lượng

    Rõ ràng từ mũi tên rằng đầu vào cho khối lượng là - lực lượng, và đầu ra là tốc độ. Điều này được thực hiện để không làm lộn xộn sơ đồ bằng các mũi tên và hệ thống hóa việc xây dựng mô hình.

    Kế tiếp tâm điểm. xung tổng quát(số lượng chuyển động) và di chuyển(biến năng lượng).

    Bảng các biến công suất và năng lượng trong các miền khác nhau



    Bảng trên giới thiệu hai đại lượng vật lý bổ sung được sử dụng trong phương pháp đồ thị liên kết. Họ đã gọi xung lực tổng quát (R) Và chuyển động tổng quát (q) hoặc các biến năng lượng và chúng có thể thu được bằng cách tích phân các biến công suất theo thời gian:


    Hình 15. Mối quan hệ giữa các biến công suất và năng lượng

    Trong lĩnh vực điện :

    Dựa vào định luật Faraday, Vônở hai đầu dây dẫn bằng đạo hàm của từ thông qua dây dẫn này.


    MỘT Sức mạnh hiện tại - đại lượng vật lý, bằng tỷ lệ lượng điện tích Q đi qua tiết diện của dây dẫn trong thời gian t đến giá trị của khoảng thời gian này.

    Lĩnh vực cơ khí:

    Từ định luật II Newton, Lực lượng– đạo hàm theo thời gian của xung


    Và tương ứng, tốc độ- đạo hàm theo thời gian của độ dịch chuyển:

    Hãy tóm tắt:

    Yếu tố cơ bản

    Tất cả các phần tử trong hệ thống động có thể được chia thành các thành phần hai cực và bốn cực.
    Hãy xem xét thành phần lưỡng cực:

    Nguồn
    Có những nguồn của cả nỗ lực và dòng chảy. Tương tự trong lĩnh vực điện: nguồn nỗ lực – nguồn điện áp, nguồn luồng – nguồn hiện tại. Dấu hiệu nhân quả của nguồn chỉ nên như thế này.


    Hình 16. Mối liên hệ nhân quả và chỉ định nguồn

    Thành phần R - yếu tố tiêu tán

    Hợp phần I – phần tử quán tính

    Thành phần C – phần tử điện dung

    Như có thể thấy từ các hình vẽ, các phần tử khác nhau của cùng một loại R,C,Iđược mô tả bằng các phương trình tương tự. CHỈ có sự khác biệt về điện dung, bạn chỉ cần nhớ nó!

    Thành phần tứ cực:

    Chúng ta hãy xem xét hai thành phần: máy biến áp và con quay hồi chuyển.

    Thành phần quan trọng cuối cùng trong phương pháp đồ thị liên kết là các kết nối. Có hai loại nút:




    Thế là xong với các thành phần.

    Các bước chính để thiết lập mối quan hệ nhân quả sau khi xây dựng biểu đồ liên kết:

    1. Cung cấp kết nối nhân quả cho mọi người nguồn
    2. Đi qua tất cả các nút và đặt ra các mối quan hệ nhân quả sau điểm 1
    3. Vì thành phần tôi gán một mối quan hệ nhân quả đầu vào (công sức được bao gồm trong thành phần này), cho thành phần C gán quan hệ nhân quả đầu ra (nỗ lực xuất phát từ thành phần này)
    4. Lặp lại điểm 2
    5. Chèn các kết nối nhân quả cho thành phần R
    Điều này kết thúc khóa học nhỏ về lý thuyết. Bây giờ chúng ta có mọi thứ cần thiết để xây dựng mô hình.
    Hãy giải quyết một vài ví dụ. Hãy bắt đầu với mạch điện, tốt hơn nên hiểu sự tương tự của việc xây dựng biểu đồ liên kết.

    ví dụ 1


    Hãy bắt đầu xây dựng biểu đồ liên kết với nguồn điện áp. Chỉ cần viết Se và đặt một mũi tên.


    Hãy xem, mọi thứ đều đơn giản! Hãy nhìn xa hơn, R và L được mắc nối tiếp, có nghĩa là cùng một dòng điện chạy trong chúng, nếu chúng ta nói về các biến công suất - cùng một dòng. Nút nào có cùng luồng? Câu trả lời đúng là 1 nút. Chúng ta kết nối nguồn, điện trở (thành phần - R) và độ tự cảm (thành phần - I) với nút 1.


    Tiếp theo, chúng ta có điện dung và điện trở song song, nghĩa là chúng có cùng điện áp hoặc lực. Nút 0 phù hợp không giống nút nào khác. Chúng tôi kết nối điện dung (thành phần C) và điện trở (thành phần R) với nút 0.


    Chúng tôi cũng kết nối các nút 1 và 0 với nhau. Hướng của các mũi tên được chọn tùy ý; hướng của kết nối chỉ ảnh hưởng đến dấu trong phương trình.

    Bạn sẽ nhận được biểu đồ kết nối sau:

    Bây giờ chúng ta cần thiết lập mối quan hệ nhân quả. Làm theo hướng dẫn về trình tự sắp xếp của chúng, hãy bắt đầu với nguồn.

    1. Chúng ta có một nguồn điện áp (công sức), một nguồn như vậy chỉ có một biến thể của quan hệ nhân quả - đầu ra. Hãy mặc nó vào.
    2. Tiếp theo là thành phần I, hãy xem họ gợi ý gì. Chúng ta đặt
    3. Chúng tôi đặt nó xuống cho 1 nút. Ăn
    4. Nút 0 phải có một đầu vào và tất cả các kết nối nhân quả đầu ra. Bây giờ chúng ta có một ngày nghỉ. Chúng tôi đang tìm kiếm thành phần C hoặc I. Chúng tôi đã tìm thấy nó. Chúng ta đặt
    5. Hãy liệt kê những gì còn lại


    Đó là tất cả. Đồ thị trái phiếu được xây dựng. Hoan hô các đồng chí!

    Tất cả những gì còn lại là viết các phương trình mô tả hệ thống của chúng tôi. Để làm điều này, hãy tạo một bảng có 3 cột. Cái đầu tiên sẽ chứa tất cả các thành phần của hệ thống, cái thứ hai sẽ chứa biến đầu vào cho từng phần tử và cái thứ ba sẽ chứa biến đầu ra cho cùng một thành phần. Chúng ta đã xác định đầu vào và đầu ra theo mối quan hệ nhân quả. Vì vậy sẽ không có bất kỳ vấn đề gì.

    Hãy đánh số từng kết nối để dễ ghi lại các cấp độ. Ta lấy phương trình của từng phần tử từ danh sách các thành phần C, R, I.



    Sau khi biên soạn một bảng, chúng ta xác định các biến trạng thái, trong ví dụ này có 2 biến trong số đó là p3 và q5. Tiếp theo bạn cần viết các phương trình trạng thái:


    Thế là xong, mô hình đã sẵn sàng.

    Ví dụ 2. Tôi xin lỗi ngay về chất lượng của bức ảnh, cái chính là bạn có thể đọc được

    Hãy giải một ví dụ khác cho hệ thống cơ khí, chính là bài toán mà chúng ta đã giải bằng phương pháp Lagrange. Tôi sẽ chỉ ra giải pháp mà không cần bình luận. Hãy kiểm tra xem phương pháp nào đơn giản và dễ dàng hơn.

    Trong Matbala, cả hai mô hình toán học có cùng tham số đều được biên soạn, thu được bằng phương pháp Lagrange và đồ thị liên kết. Kết quả như sau: Thêm thẻ