Thứ hạng của ma trận có thể bằng 0 không? Tính thứ hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Tiểu học Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột khác), nhân với một số nhất định.

Hai ma trận đó được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng thu được từ cái kia bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Nói chung, các ma trận tương đương không bằng nhau nhưng thứ hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B tương đương thì được viết như sau: A ~ B.

Chuẩn Ma trận là ma trận trong đó ở đầu đường chéo chính có một số phần tử liên tiếp (số lượng có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác đều bằng 0, ví dụ:

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chính tắc. Thứ hạng của ma trận chính tắc bằng số lượng ma trận trên đường chéo chính của nó.

Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

A=

và đưa nó về dạng kinh điển.

Giải pháp. Từ dòng thứ hai, trừ đi dòng đầu tiên và sắp xếp lại các dòng sau:

.

Bây giờ từ dòng thứ hai và thứ ba, chúng ta trừ dòng đầu tiên, nhân tương ứng với 2 và 5:

;

trừ dòng đầu tiên từ dòng thứ ba; chúng ta nhận được một ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng được chuyển thành ma trận chuẩn. Bằng cách trừ cột đầu tiên nhân với các số phù hợp với tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ hàng đầu tiên và các phần tử của các hàng còn lại không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số phù hợp, từ tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ hàng thứ hai và thu được ma trận chính tắc:

.

Định lý Kronecker - Capelli- Tiêu chí tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính:

Để một hệ thống tuyến tính nhất quán, điều cần và đủ là hạng của ma trận mở rộng của hệ thống này bằng hạng của ma trận chính của nó.

Bằng chứng (điều kiện tương thích hệ thống)

sự cần thiết

Cho phép hệ thống chung Khi đó có những số như vậy . Do đó, cột là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận. Từ thực tế là thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi nếu một hàng (cột) bị xóa hoặc được thêm vào từ hệ thống các hàng (cột) của nó, là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác, từ đó suy ra .

sự đầy đủ

Cho phép . Chúng ta hãy lấy một số thứ cơ bản trong ma trận. Vì vậy nên nó cũng sẽ là cơ số thứ của ma trận. Khi đó theo định lý cơ bản người vị thành niên, cột cuối cùng của ma trận sẽ là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở, tức là các cột của ma trận. Vì vậy, cột các số hạng tự do của hệ thống là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận.

Hậu quả

Số lượng biến chính hệ thống ngang bằng với cấp bậc của hệ thống.

Chung hệ thống sẽ được xác định (nghiệm của nó là duy nhất) nếu hạng của hệ bằng số tất cả các biến của nó.

Hệ phương trình thuần nhất

Lời đề nghị15 . 2 Hệ phương trình thuần nhất

luôn luôn là khớp.

Bằng chứng. Đối với hệ thống này, tập hợp các số , , , là một nghiệm.

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ma trận của hệ: .

Lời đề nghị15 . 3 Tổng nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một nghiệm của hệ này. Một nghiệm nhân với một số cũng là một nghiệm.

Bằng chứng. Hãy để chúng đóng vai trò là giải pháp cho hệ thống. Sau đó và. Cho phép . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Cho là một số tùy ý, . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Kết quả15 . 1 Nếu một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác 0 thì nó có vô số nghiệm khác nhau.

Thật vậy, nhân một nghiệm khác 0 với nhiều số khác nhau, chúng ta sẽ thu được các nghiệm khác nhau.

Sự định nghĩa15 . 5 Chúng tôi sẽ nói rằng các giải pháp hệ thống hình thức Hệ thống giải pháp cơ bản, nếu cột tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính và mọi nghiệm của hệ thống đều là tổ hợp tuyến tính của các cột này.

Chúng tôi cũng sẽ xem xét một ứng dụng thực tế quan trọng của chủ đề: nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính đảm bảo tính nhất quán.

Thứ hạng của một ma trận là gì?

Đoạn văn hài hước của bài viết chứa đựng một lượng lớn sự thật. Chúng ta thường liên tưởng từ “cấp bậc” với một số loại thứ bậc, thường là với bậc thang nghề nghiệp. Một người càng có nhiều kiến ​​thức, kinh nghiệm, khả năng, mối quan hệ, v.v. – vị trí và phạm vi cơ hội của anh ta càng cao. Trong thuật ngữ của giới trẻ, cấp bậc đề cập đến mức độ chung của “độ dốc”.

Và những người anh em toán học của chúng ta cũng sống theo những nguyên tắc tương tự. Hãy ngẫu nhiên dắt vài người đi dạo ma trận bằng không:

Hãy suy nghĩ về nó, nếu trong ma trận tất cả số không, vậy thì chúng ta có thể nói về thứ hạng nào? Mọi người đều quen thuộc với cách diễn đạt không chính thức “tổng số không”. Trong xã hội ma trận, mọi thứ đều giống hệt nhau:

Xếp hạng của ma trận số 0mọi kích thước đều bằng 0.

Ghi chú : Ma trận số 0 được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp “theta”

Để hiểu rõ hơn về thứ hạng của ma trận, sau đây tôi sẽ sử dụng tài liệu để trợ giúp hình học giải tích. Hãy xem xét số không vectơ không gian ba chiều của chúng ta, không đặt ra một hướng cụ thể và vô ích cho việc xây dựng cơ sở affine. Theo quan điểm đại số, tọa độ của vectơ này được viết dưới dạng ma trận“từng một” và hợp lý (theo nghĩa hình học được chỉ định) giả sử rằng thứ hạng của ma trận này bằng 0.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số khác không vectơ cột Và vectơ hàng:


Mỗi trường hợp có ít nhất một phần tử khác 0 và đó là điều gì đó!

Thứ hạng của bất kỳ vectơ hàng nào khác 0 (vectơ cột) đều bằng một

Và nói chung - nếu trong ma trận kích thước tùy ý có ít nhất một phần tử khác 0 thì hạng của nó không ít hơn các đơn vị.

Các vectơ hàng đại số và vectơ cột ở một mức độ trừu tượng nhất định, vì vậy chúng ta hãy quay lại với mối liên hệ hình học. Khác không vectơđịnh hướng rất rõ ràng trong không gian và thích hợp cho việc xây dựng nền tảng, do đó hạng của ma trận sẽ được coi là bằng một.

Thông tin lý thuyết : trong đại số tuyến tính, vectơ là một phần tử của không gian vectơ (được xác định thông qua 8 tiên đề), đặc biệt, có thể biểu diễn một hàng (hoặc cột) có thứ tự các số thực bằng các phép tính cộng, nhân với một số thực được xác định cho họ. Thông tin chi tiết hơn về vectơ có thể được tìm thấy trong bài viết Các phép biến đổi tuyến tính.

phụ thuộc tuyến tính(thể hiện qua nhau). Từ quan điểm hình học, dòng thứ hai chứa tọa độ của vectơ thẳng hàng , điều đó không hề thúc đẩy vấn đề gì trong việc xây dựng cơ sở ba chiều, theo nghĩa này là thừa. Như vậy, hạng của ma trận này cũng bằng một.

Hãy viết lại tọa độ của các vectơ thành cột ( chuyển đổi ma trận):

Điều gì đã thay đổi về thứ hạng? Không có gì. Các cột tỷ lệ thuận, có nghĩa là thứ hạng bằng một. Nhân tiện, lưu ý rằng cả ba dòng cũng tỷ lệ thuận. Chúng có thể được xác định bằng tọa độ ba vectơ thẳng hàng của mặt phẳng, trong đó chỉ một hữu ích cho việc xây dựng một cơ sở "phẳng". Và điều này hoàn toàn phù hợp với ý nghĩa hình học của chúng ta về thứ hạng.

Một tuyên bố quan trọng được rút ra từ ví dụ trên:

Thứ hạng của ma trận theo hàng bằng thứ hạng của ma trận theo cột. Tôi đã đề cập đến điều này một chút trong bài học về hiệu quả phương pháp tính định thức.

Ghi chú : sự phụ thuộc tuyến tính của các hàng hàm ý sự phụ thuộc tuyến tính của các cột (và ngược lại). Nhưng để tiết kiệm thời gian và theo thói quen, tôi hầu như sẽ luôn nói về sự phụ thuộc tuyến tính của dây.

Hãy tiếp tục huấn luyện thú cưng yêu quý của chúng ta. Hãy cộng tọa độ của một vectơ cộng tuyến khác vào ma trận ở hàng thứ ba :

Anh ấy có giúp chúng tôi xây dựng cơ sở ba chiều không? Dĩ nhiên là không. Cả ba vectơ đều đi qua lại trên cùng một đường và hạng của ma trận bằng một. Bạn có thể lấy bao nhiêu vectơ cộng tuyến tùy thích, chẳng hạn như 100, đặt tọa độ của chúng vào ma trận “một trăm nhân ba” và thứ hạng của một tòa nhà chọc trời như vậy sẽ vẫn là một.

Chúng ta hãy làm quen với ma trận, các hàng của nó độc lập tuyến tính. Một cặp vectơ không thẳng hàng thích hợp để xây dựng cơ sở ba chiều. Thứ hạng của ma trận này là hai.

Thứ hạng của ma trận là gì? Các đường này dường như không tỷ lệ thuận... vì vậy, về mặt lý thuyết, chúng là ba. Tuy nhiên, thứ hạng của ma trận này cũng là hai. Tôi đã thêm hai dòng đầu tiên và viết kết quả ở phía dưới, tức là. biểu diễn tuyến tính dòng thứ ba đến hai dòng đầu tiên. Về mặt hình học, các hàng của ma trận tương ứng với tọa độ của ba vectơ đồng phẳng, và trong ba người này có một cặp bạn không thẳng hàng.

Bạn có thể thấy, sự phụ thuộc tuyến tính trong ma trận được xem xét là không rõ ràng và hôm nay chúng ta sẽ học cách đưa nó ra ngoài.

Tôi nghĩ nhiều người có thể đoán được thứ hạng của ma trận là gì!

Xét một ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. Dạng vectơ cơ sở affine, và hạng của ma trận này là ba.

Như bạn đã biết, bất kỳ vectơ thứ tư, thứ năm, thứ mười của không gian ba chiều sẽ được biểu diễn tuyến tính dưới dạng các vectơ cơ sở. Vì vậy, nếu bạn thêm bất kỳ số hàng nào vào ma trận thì thứ hạng của nó vẫn sẽ bằng ba.

Lý luận tương tự có thể được thực hiện cho các ma trận có kích thước lớn hơn (tất nhiên là không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào).

Sự định nghĩa : Thứ hạng của ma trận là số hàng độc lập tuyến tính tối đa. Hoặc: Thứ hạng của ma trận là số cột độc lập tuyến tính tối đa. Vâng, số lượng của họ luôn giống nhau.

Một hướng dẫn thực tế quan trọng cũng được rút ra từ phần trên: thứ hạng của ma trận không vượt quá kích thước tối thiểu của nó. Ví dụ, trong ma trận bốn hàng và năm cột. Kích thước tối thiểu là bốn, do đó, thứ hạng của ma trận này chắc chắn sẽ không vượt quá 4.

Chỉ định: trong lý thuyết và thực tiễn thế giới không có tiêu chuẩn được chấp nhận chung để chỉ định thứ hạng của ma trận; bạn thường có thể tìm thấy: - như người ta nói, một người Anh viết một thứ, một người Đức viết một thứ khác. Do đó, dựa trên câu chuyện cười nổi tiếng về địa ngục của Mỹ và Nga, hãy biểu thị thứ hạng của ma trận bằng một từ bản địa. Ví dụ: . Và nếu ma trận "không có tên", trong đó có rất nhiều, thì bạn chỉ cần viết .

Làm thế nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng trẻ vị thành niên?

Nếu bà tôi có cột thứ năm trong ma trận của bà, thì bà sẽ phải tính một cột thứ 4 khác (“xanh lam”, “quả mâm xôi” + cột thứ 5).

Phần kết luận: bậc tối đa của số thứ khác 0 là ba, có nghĩa là .

Có lẽ không phải ai cũng hiểu hết câu này: số thứ cấp bậc 4 bằng 0, nhưng trong số các trẻ vị thành niên cấp 3 có một số khác 0 - do đó là bậc tối đa khác không thứ và bằng ba.

Câu hỏi đặt ra là tại sao không tính ngay định thức? Chà, thứ nhất, trong hầu hết các nhiệm vụ, ma trận không vuông và thứ hai, ngay cả khi bạn nhận được giá trị khác 0, nhiệm vụ rất có thể sẽ bị từ chối, vì nó thường liên quan đến giải pháp "từ dưới lên" tiêu chuẩn. Và trong ví dụ đang xem xét, định thức 0 của bậc 4 cho phép chúng ta phát biểu rằng hạng của ma trận chỉ nhỏ hơn bốn.

Tôi phải thừa nhận, tôi đã đưa ra vấn đề do chính tôi phân tích để giải thích rõ hơn về phương pháp giáp ranh với trẻ vị thành niên. Trong thực tế, mọi thứ đơn giản hơn:

Ví dụ 2

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp cạnh phụ

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Khi nào thuật toán hoạt động nhanh nhất? Hãy quay lại ma trận 4x4 tương tự. . Rõ ràng, giải pháp sẽ ngắn gọn nhất trong trường hợp “tốt” góc trẻ vị thành niên:

Và, nếu , thì , ngược lại – .

Suy nghĩ hoàn toàn không mang tính giả thuyết - có nhiều ví dụ trong đó toàn bộ vấn đề chỉ giới hạn ở những vấn đề nhỏ góc cạnh.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, một phương pháp khác hiệu quả và thích hợp hơn:

Làm cách nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian?

Đoạn văn này dành cho những độc giả đã quen thuộc với phương pháp Gaussian và ít nhiều đã chạm tay vào nó.

Từ quan điểm kỹ thuật, phương pháp này không mới:

1) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta rút gọn ma trận về dạng từng bước;

2) thứ hạng của ma trận bằng số hàng.

Điều đó hoàn toàn rõ ràng sử dụng phương pháp Gaussian không làm thay đổi thứ hạng của ma trận, và bản chất ở đây cực kỳ đơn giản: theo thuật toán, trong các phép biến đổi cơ bản, tất cả các hàng tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) không cần thiết sẽ được xác định và loại bỏ, dẫn đến “dư lượng khô” - số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa.

Hãy biến đổi ma trận cũ quen thuộc với tọa độ của ba vectơ thẳng hàng:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên đã được thêm vào dòng thứ ba.

(2) Dòng 0 bị loại bỏ.

Vì vậy, còn lại một dòng, do đó . Không cần phải nói, điều này nhanh hơn nhiều so với việc tính chín số 0 bậc 2 và chỉ sau đó mới đưa ra kết luận.

Tôi nhắc nhở bạn rằng bản thân nó ma trận đại số không có gì có thể thay đổi và các phép biến đổi chỉ được thực hiện nhằm mục đích xác định thứ hạng! Nhân tiện, chúng ta hãy tập trung lại vào câu hỏi, tại sao không? Ma trận nguồn mang thông tin về cơ bản khác với thông tin của ma trận và hàng. Trong một số mô hình toán học (không cường điệu), sự khác biệt trong một con số có thể là vấn đề sống còn. ...Tôi nhớ đến những giáo viên dạy toán tiểu học và trung học đã không thương tiếc trừ điểm 1-2 vì sai sót hoặc sai lệch nhỏ nhất so với thuật toán. Và thật đáng thất vọng khi thay vì chữ “A tưởng chừng như được đảm bảo” lại hóa ra là “tốt” hoặc thậm chí tệ hơn. Sự hiểu biết đến muộn hơn nhiều - làm cách nào khác để giao phó vệ tinh, đầu đạn hạt nhân và nhà máy điện cho một người? Nhưng đừng lo, tôi không làm việc trong những lĩnh vực này =)

Hãy chuyển sang các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn, trong đó, trong số những việc khác, chúng ta sẽ làm quen với các kỹ thuật tính toán quan trọng Phương pháp Gauss:

Ví dụ 3

Tìm thứ hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Giải pháp: một ma trận “bốn nhân năm” được đưa ra, có nghĩa là thứ hạng của nó chắc chắn không quá 4.

Trong cột đầu tiên, không có 1 hoặc –1, do đó, cần phải thực hiện các hành động bổ sung để có được ít nhất một đơn vị. Trong suốt quá trình tồn tại của trang web, tôi đã nhiều lần đặt câu hỏi: "Có thể sắp xếp lại các cột trong quá trình biến đổi cơ bản không?" Ở đây, chúng tôi đã sắp xếp lại cột thứ nhất và thứ hai, mọi thứ đều ổn! Trong hầu hết các nhiệm vụ nơi nó được sử dụng phương pháp Gaussian, các cột thực sự có thể được sắp xếp lại. NHƯNG KHÔNG CẦN. Và vấn đề thậm chí không thể nhầm lẫn với các biến, vấn đề là trong quá trình cổ điển của toán học cao hơn, hành động này theo truyền thống không được xem xét, vì vậy một cái gật đầu như vậy sẽ bị nhìn RẤT quanh co (hoặc thậm chí buộc phải làm lại mọi thứ).

Điểm thứ hai liên quan đến các con số. Khi bạn đưa ra quyết định, sẽ rất hữu ích khi sử dụng quy tắc ngón tay cái sau: các phép biến đổi cơ bản, nếu có thể, nên giảm số ma trận. Xét cho cùng, việc làm việc với một, hai, ba sẽ dễ dàng hơn nhiều so với, chẳng hạn như với 23, 45 và 97. Và hành động đầu tiên không chỉ nhằm mục đích đạt được số một trong cột đầu tiên mà còn nhằm loại bỏ các con số 7 và 11.

Đầu tiên là giải pháp hoàn chỉnh, sau đó nhận xét:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –3. Và vào heap: dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 4, nhân với –1.

(2) Ba dòng cuối cùng tỷ lệ thuận. Dòng thứ 3 và thứ 4 bị loại bỏ, dòng thứ 2 được chuyển về vị trí đầu tiên.

(3) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3.

Ma trận rút gọn về dạng cấp bậc có hai hàng.

Trả lời:

Bây giờ đến lượt bạn tra tấn ma trận bốn nhân bốn:

Ví dụ 4

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian

tôi sẽ nhắc bạn điều đó phương pháp Gaussian không ngụ ý sự cứng nhắc rõ ràng và quyết định của bạn rất có thể sẽ khác với quyết định của tôi. Một ví dụ ngắn gọn về một nhiệm vụ ở cuối bài học.

Tôi nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng của ma trận?

Trong thực tế, người ta thường không nêu rõ nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng. Trong tình huống như vậy, điều kiện cần được phân tích - đối với một số ma trận, việc giải thông qua các ma trận phụ sẽ hợp lý hơn, trong khi đối với các ma trận khác, việc áp dụng các phép biến đổi cơ bản sẽ có lợi hơn nhiều:

Ví dụ 5

Tìm hạng của ma trận

Giải pháp: phương pháp đầu tiên bằng cách nào đó ngay lập tức biến mất =)

Cao hơn một chút, tôi khuyên không nên chạm vào các cột của ma trận, nhưng khi có cột bằng 0, hoặc cột tỷ lệ/trùng khớp thì vẫn đáng để cắt cụt:

(1) Cột thứ năm bằng 0, xóa nó khỏi ma trận. Như vậy, thứ hạng của ma trận không quá bốn. Dòng đầu tiên được nhân với –1. Đây là một tính năng đặc trưng khác của phương pháp Gauss, biến hành động sau thành một cuộc dạo chơi thú vị:

(2) Đối với tất cả các dòng, bắt đầu từ dòng thứ hai, dòng đầu tiên đã được thêm vào.

(3) Dòng đầu tiên nhân với –1, dòng thứ ba chia cho 2, dòng thứ tư chia cho 3. Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ năm, nhân với –1.

(4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ năm, nhân với –2.

(5) Hai dòng cuối tỷ lệ thuận, dòng thứ năm bị xóa.

Kết quả là 4 dòng.

Trả lời:

Tòa nhà 5 tầng tiêu chuẩn dành cho nghiên cứu độc lập:

Ví dụ 6

Tìm hạng của ma trận

Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài.

Cần lưu ý rằng cụm từ “thứ hạng ma trận” không thường thấy trong thực tế và trong hầu hết các vấn đề, bạn có thể thực hiện hoàn toàn mà không cần đến nó. Nhưng có một nhiệm vụ mà khái niệm được đề cập là nhân vật chính và chúng ta sẽ kết thúc bài viết bằng ứng dụng thực tế này:

Làm thế nào để nghiên cứu một hệ phương trình tuyến tính cho nhất quán?

Thông thường, bên cạnh giải pháp hệ phương trình tuyến tính Theo điều kiện, trước tiên người ta phải kiểm tra tính tương thích của nó, tức là chứng minh rằng có bất kỳ giải pháp nào tồn tại. Một vai trò quan trọng trong việc xác minh như vậy được thực hiện bởi Định lý Kronecker-Capelli, mà tôi sẽ xây dựng ở dạng cần thiết:

Nếu xếp hạng ma trận hệ thống ngang bằng với cấp bậc hệ ma trận mở rộng, thì hệ thống là nhất quán và nếu số này trùng với số ẩn thì nghiệm là duy nhất.

Vì vậy, để nghiên cứu tính tương thích của hệ thống cần phải kiểm tra sự đẳng thức , Ở đâu - ma trận hệ thống(nhớ lại các thuật ngữ trong bài Phương pháp Gauss), MỘT - ma trận hệ thống mở rộng(tức là một ma trận có hệ số các biến + một cột các thuật ngữ tự do).

Xác định hạng của ma trận

Xét một ma trận \(A\) thuộc loại \((m,n)\). Giả sử, để xác định, \(m \leq n\). Lấy \(m\) hàng và chọn \(m\) cột của ma trận \(A\), tại giao điểm của các hàng và cột này ta được ma trận vuông cấp \(m\), định thức của nó được gọi là thứ tự nhỏ ma trận \(m\) \(A\). Nếu phần này khác 0 thì được gọi là thứ yếu cơ bản và họ nói rằng hạng của ma trận \(A\) bằng \(m\). Nếu định thức này bằng 0 thì các cột \(m\) khác được chọn, tại giao điểm của chúng có các phần tử tạo thành một thứ khác có thứ tự \(m\). Nếu trẻ vị thành niên là 0, chúng tôi tiếp tục thủ tục. Nếu trong số tất cả các cấp số phụ có thể có \(m\) không có số khác không, chúng ta chọn \(m-1\) hàng và cột từ ma trận \(A\), tại giao điểm của chúng là một ma trận vuông có cấp \(m- 1\) xuất hiện thì định thức của nó được gọi là bậc thứ \(m-1\) của ma trận ban đầu. Tiếp tục thủ tục, chúng tôi tìm kiếm một trẻ vị thành niên khác 0, xem xét tất cả các trẻ vị thành niên có thể có, hạ thấp thứ tự của chúng.

Sự định nghĩa.

Phần nhỏ khác 0 của một ma trận có cấp cao nhất được gọi là thứ yếu cơ bản của ma trận ban đầu, thứ tự của nó được gọi là thứ hạng ma trận \(A\), hàng và cột, tại giao điểm của nó có cơ sở phụ, được gọi là hàng và cột cơ sở. Thứ hạng của ma trận được ký hiệu là \(rang(A)\).

Từ định nghĩa này, hãy tuân theo các thuộc tính đơn giản về hạng của ma trận: nó là một số nguyên và hạng của ma trận khác 0 thỏa mãn các bất đẳng thức: \(1 \leq Rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

Thứ hạng của ma trận sẽ thay đổi như thế nào nếu một hàng bị xóa? Thêm một số dòng?

Kiểm tra câu trả lời

1) Thứ hạng có thể giảm 1.

2) Thứ hạng có thể tăng thêm 1.

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các cột ma trận

Giả sử \(A\) là một ma trận kiểu \((m,n)\). Hãy xem xét các cột của ma trận \(A\) - đây là các cột có số \(m\) mỗi cột. Hãy ký hiệu chúng là \(A_1,A_2,...,A_n\). Cho \(c_1,c_2,...,c_n\) là một số số.

Sự định nghĩa.

Cột \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] được gọi là tổ hợp tuyến tính của các cột \(A_1,A_2,...,A_n\), các số \( c_1,c_2 ,...,c_n\) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính này.

Sự định nghĩa.

Cho trước các cột \(p\) \(A_1, A_2, ..., A_p\). Nếu có các số \(c_1,c_2,...,c_p\) sao cho

1. không phải tất cả những con số này đều bằng 0,

2. tổ hợp tuyến tính \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) bằng cột 0 (tức là một cột có tất cả các phần tử đều bằng 0), thì chúng ta nói rằng các cột \( A_1, A_2, ..., A_p\) phụ thuộc tuyến tính. Nếu đối với một tập hợp các cột nhất định, các số \(c_1,c_2,...,c_n\) không tồn tại thì các cột được gọi là độc lập tuyến tính.

Ví dụ. Xét 2 cột

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] thì với mọi số \(c_1,c_2\) chúng ta có: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Tổ hợp tuyến tính này bằng cột 0 khi và chỉ khi cả hai số \(c_1,c_2\) đều bằng 0. Vì vậy, các cột này độc lập tuyến tính.

Tuyên bố. Để các cột phụ thuộc tuyến tính, điều cần thiết và đủ là một trong số chúng là sự kết hợp tuyến tính của các cột khác.

Giả sử các cột \(A_1,A_2,...,A_m\) phụ thuộc tuyến tính, tức là đối với một số hằng số \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), không phải tất cả các hằng số đều bằng 0, các giá trị sau đúng: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (ở bên phải là cột số 0). Ví dụ: giả sử \(\lambda _1 \neq 0\). Sau đó \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] tức là. cột đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của những cột khác.

Định lý nhỏ cơ sở

Định lý.

Với mọi ma trận khác 0 \(A\) điều sau đây đúng:

1. Các cột cơ sở độc lập tuyến tính.

2. Bất kỳ cột ma trận nào cũng là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở của nó.

(Điều tương tự cũng đúng với chuỗi).

Để xác định, hãy để \((m,n)\) là loại ma trận \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) và phần cơ sở nhỏ nằm trong \(r đầu tiên \) ma trận hàng và cột \(A\). Đặt \(s\) là số bất kỳ từ 1 đến \(m\), \(k\) là số bất kỳ từ 1 đến \(n\). Hãy xem xét một dạng thứ của dạng sau: \[ D=\left| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] I E. Chúng tôi đã gán cột thứ \(s-\) và hàng thứ \(k-\) cho cột thứ cơ sở. Theo định nghĩa về thứ hạng của ma trận, định thức này bằng 0 (nếu chọn \(s\leq r\) hoặc \(k \leq r\), thì định thức thứ này có 2 cột hoặc 2 hàng giống nhau, nếu \(s>r\) và \(k>r\) - theo định nghĩa về thứ hạng, một phần nhỏ có kích thước lớn hơn \(r\) trở thành 0). Hãy mở rộng định thức này dọc theo dòng cuối cùng, chúng ta nhận được: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+...+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks )=0. \quad \quad(16) \]

Ở đây các số \(A_(kp)\) là phần bù đại số của các phần tử ở hàng dưới cùng \(D\). Giá trị của chúng không phụ thuộc vào \(k\), bởi vì được hình thành bằng cách sử dụng các phần tử từ dòng \(r\) đầu tiên. Trong trường hợp này, giá trị \(A_(ks)\) là thứ cơ bản, khác 0. Hãy ký hiệu \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Chúng ta hãy viết lại (16) bằng ký hiệu mới: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] hoặc chia cho \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Đẳng thức này hợp lệ với mọi giá trị của \(k\), vì vậy \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. ................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Vì vậy, cột thứ \(s-\) là sự kết hợp tuyến tính của các cột \(r\) đầu tiên. Định lý đã được chứng minh.

Bình luận.

Từ định lý cơ bản nhỏ, ta suy ra rằng thứ hạng của ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính của nó (bằng số hàng độc lập tuyến tính).

Hệ quả 1.

Nếu định thức bằng 0 thì nó có một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Hệ quả 2.

Nếu thứ hạng của ma trận nhỏ hơn số cột thì các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Tính hạng của ma trận và tìm cơ sở thứ

Một số phép biến đổi ma trận không thay đổi thứ hạng của nó. Những biến đổi như vậy có thể được gọi là cơ bản. Các dữ kiện tương ứng có thể được xác minh dễ dàng bằng cách sử dụng các tính chất của định thức và xác định thứ hạng của ma trận.

1. Sắp xếp lại các cột.

2. Nhân các phần tử của một cột bất kỳ với một thừa số khác 0.

3. Thêm bất kỳ cột nào khác vào một cột, nhân với một số tùy ý.

4. Gạch bỏ cột số 0.

Điều này cũng đúng với chuỗi.

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi này, ma trận có thể được chuyển đổi thành dạng được gọi là "hình thang" - một ma trận chỉ có các số 0 dưới đường chéo chính. Đối với ma trận "hình thang", hạng là số phần tử khác 0 trên đường chéo chính và phần tử cơ sở là phần tử phụ có đường chéo trùng với tập hợp các phần tử khác 0 trên đường chéo chính của ma trận được biến đổi.

Ví dụ. Hãy xem xét ma trận

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(mảng) \right). \] Chúng ta sẽ biến đổi nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi ở trên. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

Ở đây chúng tôi tuần tự thực hiện các bước sau: 1) sắp xếp lại dòng thứ hai lên trên cùng, 2) trừ dòng đầu tiên với phần còn lại với hệ số phù hợp, 3) trừ dòng thứ hai khỏi dòng thứ ba 4 lần, thêm dòng thứ hai vào thứ tư, 4) gạch bỏ các dòng số 0 - dòng thứ ba và thứ tư . Ma trận cuối cùng của chúng ta đã có được hình dạng mong muốn: có các số khác 0 trên đường chéo chính và các số 0 ở dưới đường chéo chính. Sau đó, quy trình dừng lại và số phần tử khác 0 trên đường chéo chính bằng hạng của ma trận. Thứ cơ bản là hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên. Tại giao điểm của chúng có ma trận cấp 2 với định thức khác 0. Đồng thời, quay trở lại chuỗi các phép biến đổi, bạn có thể theo dõi hàng này hoặc hàng kia (cột này hoặc cột kia) trong ma trận cuối cùng đến từ đâu, tức là. xác định các hàng và cột cơ sở trong ma trận ban đầu. Trong trường hợp này, hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên tạo thành cơ sở thứ.

Cho một số ma trận:

.

Chúng ta hãy chọn trong ma trận này chuỗi tùy ý và cột tùy ý
. Khi đó yếu tố quyết định thứ tự, bao gồm các phần tử ma trận
, nằm ở giao điểm của các hàng và cột được chọn, được gọi là phần phụ ma trận bậc thứ
.

Định nghĩa 1.13. Xếp hạng ma trận
là cấp lớn nhất của cấp số khác 0 của ma trận này.

Để tính hạng của một ma trận, người ta phải xem xét tất cả các phần tử thứ cấp của nó và nếu ít nhất một trong số chúng khác 0 thì tiến hành xem xét các phần tử thứ cấp của cấp cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của ma trận được gọi là phương pháp viền (hoặc phương pháp viền phụ).

Vấn đề 1.4. Dùng phương pháp giáp thứ, xác định hạng của ma trận
.

.

Ví dụ, hãy xem xét việc viền thứ tự đầu tiên,
. Sau đó chúng ta chuyển sang xem xét một số đường viền bậc hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, hãy phân tích đường viền bậc ba.

.

Vậy cấp cao nhất của số thứ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải Bài toán 1.4, bạn có thể nhận thấy rằng một số số bé giáp bậc hai khác không. Về vấn đề này, khái niệm sau đây được áp dụng.

Định nghĩa 1.14. Một thứ cơ bản của ma trận là bất kỳ thứ nào khác 0 có thứ tự bằng thứ hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý nhỏ cơ sở). Các hàng cơ sở (cột cơ sở) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các ma trận khác.

Định lý 1.3. Số hàng ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức bằng 0). Để có yếu tố quyết định -thứ tự bằng 0 thì điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính thứ hạng của ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá cồng kềnh. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, thứ hạng của ma trận được tính toán dựa trên việc áp dụng Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về ma trận tương đương và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
Và được gọi là tương đương nếu thứ hạng của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
Và tương đương thì lưu ý
 .

Định lý 1.5. Thứ hạng của ma trận không thay đổi do các phép biến đổi cơ bản.

Chúng ta sẽ gọi các phép biến đổi ma trận cơ bản
bất kỳ phép toán nào sau đây trên ma trận:

Thay hàng bằng cột và thay cột bằng hàng tương ứng;

Sắp xếp lại các hàng ma trận;

Gạch bỏ một dòng có các phần tử đều bằng 0;

Nhân một chuỗi với một số khác 0;

Cộng vào các phần tử của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì ma trận
Và là tương đương.

Khi tính hạng của ma trận, cần quy nó về dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn ma trận khi ở phần giáp thứ cấp cao nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới các đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

.

Đây
, phần tử ma trận
đi đến số không. Khi đó dạng biểu diễn của ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy định, ma trận được rút gọn thành dạng hình thang bằng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gauss là bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các thừa số tương ứng, đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các hệ số tương ứng, ta đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó tiến hành theo cách tương tự.

Vấn đề 1.5. Xác định hạng của ma trận bằng cách quy nó về dạng hình thang.

.

Để sử dụng thuật toán Gaussian dễ dàng hơn, bạn có thể hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba.








.

Rõ ràng là ở đây
. Tuy nhiên, để đưa kết quả về dạng trang nhã hơn, bạn có thể tiếp tục chuyển đổi các cột.










.

Số r được gọi là hạng của ma trận A nếu:
1) trong ma trận A có cấp số r khác 0;
2) tất cả các cấp thứ (r+1) và cao hơn, nếu chúng tồn tại, đều bằng 0.
Ngược lại, thứ hạng của ma trận là thứ tự cao nhất khác 0.
Ký hiệu: rangA, r A hoặc r.
Từ định nghĩa suy ra r là số nguyên dương. Đối với ma trận null, thứ hạng được coi là bằng 0.

Mục đích của dịch vụ. Máy tính trực tuyến được thiết kế để tìm thứ hạng ma trận. Trong trường hợp này, giải pháp được lưu ở định dạng Word và Excel. xem giải pháp ví dụ.

Hướng dẫn. Chọn kích thước ma trận, nhấp vào Tiếp theo.

Chọn thứ nguyên ma trận 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Sự định nghĩa . Cho ma trận hạng r. Bất kỳ phần nhỏ nào của ma trận khác 0 và có bậc r được gọi là ma trận cơ bản, còn các hàng và cột của các thành phần của nó được gọi là hàng và cột cơ bản.
Theo định nghĩa này, ma trận A có thể có nhiều ma trận cơ sở.

Thứ hạng của ma trận nhận dạng E là n (số hàng).

Ví dụ 1. Cho hai ma trận, và trẻ vị thành niên của họ , . Cái nào trong số chúng có thể được coi là cái cơ bản?
Giải pháp. M 1 = 0 nên nó không thể là cơ sở cho bất kỳ ma trận nào. Thứ M 2 =-9≠0 và có bậc 2, nghĩa là nó có thể được lấy làm cơ sở của ma trận A hoặc / và B, miễn là chúng có hạng bằng 2. Vì detB=0 (là định thức có hai cột tỷ lệ), nên rangB=2 và M 2 có thể được coi là cơ sở thứ của ma trận B. Thứ hạng của ma trận A là 3, do detA=-27≠ 0 và do đó bậc cơ sở thứ của ma trận này phải bằng 3, tức là M 2 không phải là cơ sở của ma trận A. Lưu ý rằng ma trận A có một cơ sở thứ duy nhất, bằng định thức của ma trận A.

Định lý (về cơ sở thứ). Bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận đều là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ sở của nó.
Hệ quả từ định lý.

1. Mọi ma trận cột (r+1) hạng r đều phụ thuộc tuyến tính.
2. Nếu thứ hạng của ma trận nhỏ hơn số hàng (cột) của nó thì các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính. Nếu rangA bằng số hàng (cột) của nó thì các hàng (cột) độc lập tuyến tính.
3. Định thức của ma trận A bằng 0 khi và chỉ nếu các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.
4. Nếu bạn thêm một hàng (cột) khác vào một hàng (cột) của ma trận, nhân với bất kỳ số nào khác 0 thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
5. Nếu bạn gạch bỏ một hàng (cột) trong ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
6. Thứ hạng của ma trận bằng số lượng tối đa các hàng (cột) độc lập tuyến tính của nó.
7. Số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa bằng số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa.

Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận .
Giải pháp. Dựa trên định nghĩa của thứ hạng ma trận, chúng ta sẽ tìm số thứ cấp có thứ tự cao nhất, khác 0. Đầu tiên, hãy chuyển đổi ma trận sang dạng đơn giản hơn. Để làm điều này, nhân hàng đầu tiên của ma trận với (-2) và cộng với hàng thứ hai, sau đó nhân với (-1) và cộng với hàng thứ ba.