Cách xác định thứ hạng của một giải pháp ví dụ ma trận. Thứ hạng ma trận và cơ sở ma trận phụ

Cho một số ma trận:

Chúng ta hãy chọn trong ma trận này chuỗi tùy ý và cột tùy ý
. Khi đó yếu tố quyết định thứ tự, bao gồm các phần tử ma trận
, nằm ở giao điểm của các hàng và cột được chọn, được gọi là phần phụ ma trận bậc thứ
.

Định nghĩa 1.13. Xếp hạng ma trận
là cấp lớn nhất của cấp số khác 0 của ma trận này.

Để tính thứ hạng của một ma trận, người ta phải xem xét tất cả các phần tử thứ cấp của nó ở cấp thấp nhất và nếu ít nhất một trong số chúng khác 0 thì tiến hành xem xét các phần tử thứ cấp có cấp độ cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của ma trận được gọi là phương pháp viền (hoặc phương pháp viền phụ).

Vấn đề 1.4. Dùng phương pháp giáp thứ, xác định hạng của ma trận
.

Ví dụ, hãy xem xét việc viền thứ tự đầu tiên,
. Sau đó chúng ta chuyển sang xem xét một số đường viền bậc hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, hãy phân tích đường viền bậc ba.

Vậy cấp cao nhất của số thứ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải Bài toán 1.4, bạn có thể nhận thấy rằng một số số bé giáp bậc hai khác không. Về vấn đề này, khái niệm sau đây được áp dụng.

Định nghĩa 1.14. Một thứ cơ bản của ma trận là bất kỳ thứ nào khác 0 có thứ tự bằng thứ hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý nhỏ cơ sở). Các hàng cơ sở (cột cơ sở) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các ma trận khác.

Định lý 1.3. Số hàng ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức bằng 0). Để có yếu tố quyết định -thứ tự bằng 0 thì điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính thứ hạng của ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá cồng kềnh. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, thứ hạng của ma trận được tính toán dựa trên việc áp dụng Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về ma trận tương đương và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
Và được gọi là tương đương nếu thứ hạng của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
Và tương đương thì lưu ý
 .

Định lý 1.5. Thứ hạng của ma trận không thay đổi do các phép biến đổi cơ bản.

Chúng ta sẽ gọi các phép biến đổi ma trận cơ bản
bất kỳ phép toán nào sau đây trên ma trận:

Thay hàng bằng cột và thay cột bằng hàng tương ứng;

Sắp xếp lại các hàng ma trận;

Gạch bỏ một dòng có các phần tử đều bằng 0;

Nhân một chuỗi với một số khác 0;

Cộng vào các phần tử của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì ma trận
Và là tương đương.

Khi tính hạng của ma trận, cần quy nó về dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn của ma trận khi, ở cấp số cao nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới các đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

Đây
, phần tử ma trận
đi đến số không. Khi đó dạng biểu diễn của ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy định, ma trận được rút gọn thành dạng hình thang bằng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gauss là bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các thừa số tương ứng, đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các hệ số tương ứng, ta đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó tiến hành theo cách tương tự.

Vấn đề 1.5. Xác định hạng của ma trận bằng cách quy nó về dạng hình thang.

Để sử dụng thuật toán Gaussian dễ dàng hơn, bạn có thể hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba.








.

Rõ ràng là ở đây
. Tuy nhiên, để đưa kết quả về dạng trang nhã hơn, bạn có thể tiếp tục chuyển đổi các cột.










.

Số r được gọi là hạng của ma trận A nếu:
1) trong ma trận A có cấp số r khác 0;
2) tất cả các cấp thứ (r+1) và cao hơn, nếu chúng tồn tại, đều bằng 0.
Ngược lại, thứ hạng của ma trận là thứ tự cao nhất khác 0.
Ký hiệu: rangA, r A hoặc r.
Từ định nghĩa suy ra r là số nguyên dương. Đối với ma trận null, thứ hạng được coi là bằng 0.

Mục đích của dịch vụ. Máy tính trực tuyến được thiết kế để tìm thứ hạng ma trận. Trong trường hợp này, giải pháp được lưu ở định dạng Word và Excel. xem giải pháp ví dụ.

Hướng dẫn. Chọn kích thước ma trận, nhấp vào Tiếp theo.

Sự định nghĩa . Cho ma trận hạng r. Bất kỳ phần nhỏ nào của ma trận khác 0 và có bậc r được gọi là ma trận cơ bản, còn các hàng và cột của các thành phần của nó được gọi là hàng và cột cơ bản.
Theo định nghĩa này, ma trận A có thể có nhiều ma trận cơ sở.

Thứ hạng của ma trận nhận dạng E là n (số hàng).

Ví dụ 1. Cho hai ma trận, và trẻ vị thành niên của họ , . Cái nào trong số chúng có thể được coi là cái cơ bản?
Giải pháp. M 1 = 0 nên nó không thể là cơ sở cho bất kỳ ma trận nào. Thứ M 2 =-9≠0 và có bậc 2, nghĩa là nó có thể được lấy làm cơ sở của ma trận A hoặc / và B, miễn là chúng có hạng bằng 2. Vì detB=0 (là định thức có hai cột tỷ lệ), nên rangB=2 và M 2 có thể được coi là cơ sở thứ của ma trận B. Thứ hạng của ma trận A là 3, do detA=-27≠ 0 và do đó bậc cơ sở thứ của ma trận này phải bằng 3, tức là M 2 không phải là cơ sở của ma trận A. Lưu ý rằng ma trận A có một cơ sở thứ duy nhất, bằng định thức của ma trận A.

Định lý (về cơ sở thứ). Bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận đều là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ sở của nó.
Hệ quả từ định lý.

Mọi ma trận cột (r+1) hạng r đều phụ thuộc tuyến tính.
Nếu thứ hạng của ma trận nhỏ hơn số hàng (cột) của nó thì các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính. Nếu rangA bằng số hàng (cột) của nó thì các hàng (cột) độc lập tuyến tính.
Định thức của ma trận A bằng 0 khi và chỉ nếu các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.
Nếu bạn thêm một hàng (cột) khác vào một hàng (cột) của ma trận, nhân với bất kỳ số nào khác 0 thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
Nếu bạn gạch bỏ một hàng (cột) trong ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
Thứ hạng của ma trận bằng số lượng tối đa các hàng (cột) độc lập tuyến tính của nó.
Số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa bằng số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa.

Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận .
Giải pháp. Dựa trên định nghĩa của thứ hạng ma trận, chúng ta sẽ tìm số thứ cấp có thứ tự cao nhất, khác 0. Đầu tiên, hãy chuyển đổi ma trận sang dạng đơn giản hơn. Để làm điều này, nhân hàng đầu tiên của ma trận với (-2) và cộng với hàng thứ hai, sau đó nhân với (-1) và cộng với hàng thứ ba.

Tiểu học Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột khác), nhân với một số nhất định.

Hai ma trận đó được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng thu được từ cái kia bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Nói chung, các ma trận tương đương không bằng nhau nhưng thứ hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B tương đương thì được viết như sau: A ~ B.

Chuẩn Ma trận là ma trận trong đó ở đầu đường chéo chính có một số phần tử liên tiếp (số lượng có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác đều bằng 0, ví dụ:

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chính tắc. Thứ hạng của ma trận chính tắc bằng số lượng ma trận trên đường chéo chính của nó.

Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

và đưa nó về dạng kinh điển.

Giải pháp. Từ dòng thứ hai, trừ đi dòng đầu tiên và sắp xếp lại các dòng sau:

Bây giờ từ dòng thứ hai và thứ ba, chúng ta trừ dòng đầu tiên, nhân tương ứng với 2 và 5:

;

trừ dòng đầu tiên từ dòng thứ ba; chúng ta nhận được một ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng được chuyển thành ma trận chuẩn. Bằng cách trừ cột đầu tiên nhân với các số phù hợp với tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ hàng đầu tiên và các phần tử của các hàng còn lại không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số phù hợp, từ tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ hàng thứ hai và thu được ma trận chính tắc:

Định lý Kronecker - Capelli- Tiêu chí tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính:

Để một hệ thống tuyến tính nhất quán, điều cần và đủ là hạng của ma trận mở rộng của hệ thống này bằng hạng của ma trận chính của nó.

Bằng chứng (điều kiện tương thích hệ thống)

sự cần thiết

Cho phép hệ thống chung Khi đó có những số như vậy . Do đó, cột là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận. Từ thực tế là thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi nếu một hàng (cột) bị xóa hoặc được thêm vào từ hệ thống các hàng (cột) của nó, là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác, từ đó suy ra .

sự đầy đủ

Cho phép . Chúng ta hãy lấy một số thứ cơ bản trong ma trận. Vì vậy nên nó cũng sẽ là cơ số thứ của ma trận. Khi đó theo định lý cơ bản người vị thành niên, cột cuối cùng của ma trận sẽ là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở, tức là các cột của ma trận. Vì vậy, cột các số hạng tự do của hệ thống là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận.

Hậu quả

Số lượng biến chính hệ thống ngang bằng với cấp bậc của hệ thống.

Chung hệ thống sẽ được xác định (nghiệm của nó là duy nhất) nếu hạng của hệ bằng số tất cả các biến của nó.

Hệ phương trình thuần nhất

Lời đề nghị15 . 2 Hệ phương trình thuần nhất

luôn luôn là khớp.

Bằng chứng. Đối với hệ thống này, tập hợp các số , , , là một nghiệm.

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ma trận của hệ: .

Lời đề nghị15 . 3 Tổng nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một nghiệm của hệ này. Một nghiệm nhân với một số cũng là một nghiệm.

Bằng chứng. Hãy để chúng đóng vai trò là giải pháp cho hệ thống. Sau đó và. Cho phép . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Cho là một số tùy ý, . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Kết quả15 . 1 Nếu một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác 0 thì nó có vô số nghiệm khác nhau.

Thật vậy, nhân một nghiệm khác 0 với nhiều số khác nhau, chúng ta sẽ thu được các nghiệm khác nhau.

Sự định nghĩa15 . 5 Chúng tôi sẽ nói rằng các giải pháp hệ thống hình thức Hệ thống giải pháp cơ bản, nếu cột tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính và mọi nghiệm của hệ thống đều là tổ hợp tuyến tính của các cột này.

Sự định nghĩa. Xếp hạng ma trận là số hàng độc lập tuyến tính tối đa được coi là vectơ.

Định lý 1 về hạng của ma trận. Xếp hạng ma trậnđược gọi là cấp tối đa của một phần tử khác 0 của ma trận.

Chúng ta đã thảo luận về khái niệm thứ yếu trong bài về định thức và bây giờ chúng ta sẽ khái quát hóa nó. Chúng ta hãy lấy một số hàng và một số cột nhất định trong ma trận, và số “bao nhiêu” này phải nhỏ hơn số hàng và cột của ma trận, còn đối với các hàng và cột thì số “bao nhiêu” này phải là số tương tự. Khi đó tại giao điểm bao nhiêu hàng và bao nhiêu cột sẽ có một ma trận cấp thấp hơn ma trận ban đầu của chúng ta. Định thức là một ma trận và sẽ là số thứ k nếu “một số” (số hàng và cột) được đề cập được ký hiệu là k.

Sự định nghĩa. Người vị thành niên ( r+1)thứ tự, trong đó trẻ vị thành niên được chọn nằm trong đó r-thứ tự được gọi là giáp cho một trẻ vị thành niên nhất định.

Hai phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là tìm hạng của ma trận. Cái này cách tiếp cận trẻ vị thành niên Và phương pháp biến đổi cơ bản(phương pháp Gauss).

Khi sử dụng phương pháp giáp thứ, định lý sau được sử dụng.

Định lý 2 về hạng của ma trận. Nếu một phần nhỏ có thể được tạo thành từ các phần tử ma trận r bậc thứ không bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r.

Khi sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, thuộc tính sau được sử dụng:

Nếu thông qua các phép biến đổi cơ bản thu được ma trận hình thang tương đương với ma trận ban đầu thì thứ hạng của ma trận này là số dòng trong đó không phải là số dòng chứa toàn số 0.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ

Một trẻ vị thành niên kèm theo là một trẻ vị thành niên có cấp độ cao hơn so với trẻ vị thành niên đã cho nếu trẻ thứ cấp cao hơn này chứa trẻ vị thành niên đã cho.

Ví dụ, cho ma trận

Chúng ta hãy lấy một trẻ vị thành niên

Các trẻ vị thành niên giáp ranh sẽ là:

Thuật toán tìm hạng của ma trận Kế tiếp.

1. Tìm số thứ cấp bậc hai không bằng 0. Nếu tất cả các số hạng bậc hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận sẽ bằng một ( r =1 ).

2. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên cấp hai không bằng 0 thì ta gộp các trẻ vị thành niên giáp cấp ba. Nếu tất cả các phần tử giáp của bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng hai ( r =2 ).

3. Nếu ít nhất một trong các trẻ vị thành niên giáp bậc ba không bằng 0 thì ta gộp các trẻ vị thành niên giáp. Nếu tất cả các phần tử giáp của bậc thứ tư đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng ba ( r =2 ).

4. Tiếp tục theo cách này miễn là kích thước ma trận cho phép.

Ví dụ 1. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Thứ tự thứ hai .

Hãy biên giới nó. Sẽ có bốn trẻ vị thành niên giáp ranh:

Do đó, tất cả các số phụ giáp của bậc ba đều bằng 0, do đó hạng của ma trận này bằng hai ( r =2 ).

Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Thứ hạng của ma trận này bằng 1, vì tất cả các phân số bậc hai của ma trận này đều bằng 0 (trong trường hợp này, cũng như các trường hợp phân số cận kề trong hai ví dụ sau, mời các em học sinh xác minh cho bản thân chúng, có lẽ sử dụng các quy tắc để tính các định thức), và trong số các phần tử bậc một, tức là trong số các phần tử của ma trận, có những phần tử khác 0.

Ví dụ 3. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Cấp thứ hai của ma trận này là , và tất cả các cấp thứ ba của ma trận này đều bằng 0. Vì vậy, hạng của ma trận này là hai.

Ví dụ 4. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Thứ hạng của ma trận này là 3, vì phần thứ ba duy nhất của ma trận này là 3.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản (phương pháp Gauss)

Ngay trong ví dụ 1, rõ ràng là nhiệm vụ xác định thứ hạng của ma trận bằng phương pháp giáp số phụ đòi hỏi phải tính toán một số lượng lớn các định thức. Tuy nhiên, có một cách để giảm số lượng tính toán xuống mức tối thiểu. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản và còn được gọi là phương pháp Gauss.

Các phép toán sau đây được hiểu là các phép biến đổi ma trận cơ bản:

1) nhân bất kỳ hàng hoặc cột nào của ma trận với một số khác 0;

2) thêm vào các phần tử của hàng hoặc cột bất kỳ của ma trận các phần tử tương ứng của hàng hoặc cột khác, nhân với cùng một số;

3) hoán đổi hai hàng hoặc cột của ma trận;

4) loại bỏ các hàng "null", nghĩa là những hàng có phần tử bằng 0;

5) xóa tất cả các dòng tỷ lệ ngoại trừ một dòng.

Định lý. Trong quá trình biến đổi cơ bản, hạng của ma trận không thay đổi. Nói cách khác, nếu chúng ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản từ ma trận MỘTđã đi đến ma trận B, Cái đó .

Thứ hạng của ma trận là một đặc tính số quan trọng. Bài toán điển hình nhất yêu cầu tìm hạng của ma trận là kiểm tra tính nhất quán của hệ phương trình đại số tuyến tính. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm về thứ hạng ma trận và xem xét các phương pháp tìm nó. Để hiểu rõ hơn về tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các giải pháp cho một số ví dụ.

Điều hướng trang.

Xác định thứ hạng của ma trận và các khái niệm bổ sung cần thiết.

Trước khi đưa ra định nghĩa về hạng của ma trận, bạn nên hiểu rõ về khái niệm số thứ, và việc tìm các số hạng của ma trận hàm ý khả năng tính định thức. Vì vậy, nếu cần, chúng tôi khuyên bạn nên nhớ lại lý thuyết của bài viết, các phương pháp tìm định thức của ma trận và các tính chất của định thức.

Hãy lấy một ma trận A có thứ tự . Cho k là một số tự nhiên không vượt quá số nhỏ nhất trong các số m và n, nghĩa là: .

Sự định nghĩa.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A là định thức của ma trận vuông cấp bậc, gồm các phần tử của ma trận A, nằm trong k hàng và k cột đã chọn trước và giữ nguyên cách sắp xếp các phần tử của ma trận A.

Nói cách khác, nếu trong ma trận A chúng ta xóa (p–k) hàng và (n–k) cột và từ các phần tử còn lại chúng ta tạo ra một ma trận, giữ nguyên cách sắp xếp các phần tử của ma trận A, thì định thức của ma trận thu được là ma trận thứ cấp k của ma trận A.

Chúng ta hãy xem định nghĩa của ma trận thứ bằng một ví dụ.

Hãy xem xét ma trận .

Hãy viết ra một số trẻ vị thành niên bậc nhất của ma trận này. Ví dụ: nếu chúng ta chọn hàng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A thì lựa chọn của chúng ta tương ứng với thứ tự thứ nhất . Nói cách khác, để có được thứ này, chúng ta đã gạch bỏ hàng thứ nhất và thứ hai, cũng như cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư từ ma trận A và tạo thành định thức từ phần tử còn lại. Nếu chúng ta chọn hàng đầu tiên và cột thứ ba của ma trận A thì chúng ta sẽ nhận được một số nhỏ .

Hãy để chúng tôi minh họa thủ tục để có được trẻ vị thành niên cấp một được coi là
Và .

Vì vậy, các phần tử cấp một của ma trận chính là các phần tử ma trận.

Hãy chỉ ra một số trẻ vị thành niên bậc hai. Chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ: lấy hàng thứ nhất và thứ hai cũng như cột thứ ba và thứ tư. Với sự lựa chọn này, chúng ta có một thứ thứ hai . Phần này cũng có thể được tạo bằng cách xóa hàng thứ ba, cột thứ nhất và cột thứ hai khỏi ma trận A.

Một thứ cấp hai khác của ma trận A là .

Hãy để chúng tôi minh họa việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp hai này
Và .

Tương tự, có thể tìm được các số hạng bậc ba của ma trận A. Vì chỉ có ba hàng trong ma trận A nên chúng tôi chọn tất cả. Nếu chúng ta chọn ba cột đầu tiên của các hàng này, chúng ta sẽ nhận được cột thứ ba

Nó cũng có thể được xây dựng bằng cách gạch bỏ cột cuối cùng của ma trận A.

Một thứ thứ ba khác là

thu được bằng cách xóa cột thứ ba của ma trận A.

Dưới đây là hình ảnh cho thấy việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp ba này
Và .

Đối với ma trận A cho trước, không có cấp thứ nào lớn hơn thứ ba, vì .

Có bao nhiêu cấp số thứ k của ma trận cấp A?

Số lượng thứ tự k có thể được tính bằng , trong đó Và - số cách kết hợp tương ứng từ p đến k và từ n đến k.

Làm thế nào chúng ta có thể xây dựng tất cả các cấp số thứ k của ma trận A cấp p theo n?

Chúng ta sẽ cần nhiều số hàng ma trận và nhiều số cột. Chúng tôi viết ra mọi thứ sự kết hợp của các phần tử p bởi k(chúng sẽ tương ứng với các hàng của ma trận A đã chọn khi xây dựng cấp thứ k). Đối với mỗi tổ hợp số hàng, chúng ta thêm tuần tự tất cả các tổ hợp n phần tử của k số cột. Những tập hợp số hàng và số cột của ma trận A này sẽ giúp tạo ra tất cả các số thứ tự k.

Hãy xem xét nó với một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm tất cả các số hạng thứ hai của ma trận.

Giải pháp.

Vì bậc của ma trận ban đầu là 3 x 3 nên tổng số bậc hai sẽ là .

Hãy viết tất cả các tổ hợp số từ 3 đến 2 hàng của ma trận A: 1, 2; 1, 3 và 2, 3. Tất cả các tổ hợp số từ 3 đến 2 cột là 1, 2; 1, 3 và 2, 3.

Hãy lấy hàng thứ nhất và thứ hai của ma trận A. Bằng cách chọn cột thứ nhất và thứ hai, cột thứ nhất và thứ ba, cột thứ hai và thứ ba cho các hàng này, chúng ta thu được các cột phụ tương ứng

Đối với hàng thứ nhất và thứ ba, với cách chọn cột tương tự, chúng ta có

Vẫn còn phải thêm cột thứ nhất và thứ hai, thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ ba vào hàng thứ hai và thứ ba:

Như vậy đã tìm được tất cả 9 số hạng bậc hai của ma trận A.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành xác định thứ hạng của ma trận.

Sự định nghĩa.

Xếp hạng ma trận là bậc cao nhất của phần nhỏ khác 0 của ma trận.

Thứ hạng của ma trận A được ký hiệu là Rank(A). Bạn cũng có thể tìm thấy các ký hiệu Rg(A) hoặc Rang(A) .

Từ các định nghĩa về hạng ma trận và ma trận nhỏ, chúng ta có thể kết luận rằng hạng của ma trận 0 bằng 0 và hạng của ma trận khác 0 không nhỏ hơn một.

Tìm hạng của ma trận theo định nghĩa.

Vì vậy, phương pháp đầu tiên để tìm thứ hạng của ma trận là phương pháp liệt kê người chưa thành niên. Phương pháp này dựa trên việc xác định thứ hạng của ma trận.

Ta cần tìm hạng của ma trận A có bậc .

Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán giải quyết vấn đề này bằng cách liệt kê trẻ vị thành niên.

Nếu có ít nhất một phần tử của ma trận khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất bằng một (vì có một phần tử bậc nhất không bằng 0).

Tiếp theo chúng ta nhìn vào trẻ vị thành niên thứ hai. Nếu tất cả các phần tử bậc hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một phần tử thứ hai khác 0 thì chúng ta tiến hành liệt kê các phần tử thứ cấp của bậc ba và hạng của ma trận ít nhất bằng hai.

Tương tự, nếu tất cả các phần tử bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận là hai. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên bậc ba khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất là ba và chúng ta chuyển sang liệt kê các trẻ vị thành niên bậc bốn.

Lưu ý rằng hạng của ma trận không được vượt quá giá trị nhỏ nhất trong các số p và n.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận .

Giải pháp.

Vì ma trận khác 0 nên hạng của nó không nhỏ hơn một.

Thứ tự thứ hai khác 0 nên hạng của ma trận A ít nhất là hai. Chúng tôi chuyển sang liệt kê trẻ vị thành niên bậc ba. Tổng số trong số họ đồ đạc.

Tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận là hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ.

Có các phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận cho phép bạn thu được kết quả với công việc tính toán ít hơn.

Một phương pháp như vậy là phương pháp nhỏ cạnh.

Hãy giải quyết khái niệm về cạnh nhỏ.

Người ta nói rằng M ok thứ cấp (k+1) của ma trận A giáp M thứ thứ k của ma trận A nếu ma trận tương ứng với thứ M ok “chứa” ma trận tương ứng với thứ đó M.

Nói cách khác, ma trận tương ứng với phần tử giáp M được lấy từ ma trận tương ứng với phần tử giáp M ok bằng cách xóa các phần tử của một hàng và một cột.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận và nhận đơn thứ hai. Hãy viết ra tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh:

Phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên được chứng minh bằng định lý sau (chúng tôi trình bày công thức của nó mà không chứng minh).

Định lý.

Nếu tất cả các phân số giáp cấp thứ k của ma trận A cấp p x n đều bằng 0, thì tất cả các cấp số thứ k+1 của ma trận A đều bằng 0.

Vì vậy, để tìm hạng của một ma trận không nhất thiết phải đi qua tất cả các phần tử con đủ giáp. Số lượng con giáp thứ k của ma trận cấp A được tìm theo công thức . Lưu ý rằng không có số bé nào giáp cấp thứ k của ma trận A nhiều hơn số cấp (k + 1) của ma trận A. Vì vậy, trong hầu hết các trường hợp, sử dụng phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên sẽ có lợi hơn là chỉ liệt kê tất cả các trẻ vị thành niên.

Chúng ta hãy chuyển sang tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp giáp ranh giới thứ. Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán phương pháp này.

Nếu ma trận A khác 0 thì với tư cách là phần tử bậc nhất, chúng ta lấy bất kỳ phần tử nào của ma trận A khác 0. Chúng ta hãy nhìn vào trẻ vị thành niên giáp ranh của nó. Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên giáp khác 0 (thứ tự của nó là hai), thì chúng ta tiến hành xem xét các trẻ vị thành niên giáp của nó. Nếu tất cả đều bằng 0 thì Hạng(A) = 2. Nếu ít nhất một phần phụ tiếp giáp khác 0 (thứ tự của nó là ba), thì chúng ta xem xét các phần phụ tiếp giáp của nó. Và như thế. Kết quả là, Hạng(A) = k nếu tất cả các số phụ giáp của bậc (k + 1) của ma trận A đều bằng 0, hoặc Hạng(A) = min(p, n) nếu không có số không thứ bao quanh thứ tự thứ (min( p, n) – 1) .

Chúng ta hãy xem phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên để tìm thứ hạng của ma trận bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp trẻ vị thành niên.

Giải pháp.

Vì phần tử a 1 1 của ma trận A khác 0 nên chúng ta coi nó là phần tử thứ nhất. Hãy bắt đầu tìm kiếm một số nhỏ giáp ranh khác 0:

Một cạnh nhỏ bậc hai, khác 0, được tìm thấy. Chúng ta hãy nhìn vào các trẻ vị thành niên giáp ranh của nó (của chúng đồ đạc):

Tất cả các phần tử giáp với phần tử bậc hai đều bằng 0, do đó hạng của ma trận A bằng hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận sử dụng trẻ vị thành niên giáp ranh.

Giải pháp.

Là phần tử thứ nhất khác 0, ta lấy phần tử a 1 1 = 1 của ma trận A. Trẻ vị thành niên xung quanh thuộc cấp độ thứ hai không bằng không. Trẻ vị thành niên này giáp với trẻ vị thành niên cấp ba
. Vì nó không bằng 0 và không có một phần nhỏ giáp nào cho nó nên hạng của ma trận A bằng ba.

Trả lời:

Hạng(A) = 3 .

Tìm thứ hạng bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản (phương pháp Gauss).

Hãy xem xét một cách khác để tìm thứ hạng của ma trận.

Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là phép biến đổi cơ bản:

sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận;
nhân tất cả các phần tử của hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý, khác 0;
thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k tùy ý.

Ma trận B được gọi là tương đương với ma trận A, nếu B thu được từ A bằng cách sử dụng hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Sự tương đương của ma trận được ký hiệu bằng ký hiệu “~”, nghĩa là được viết là A ~ B.

Việc tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản dựa trên câu lệnh: nếu ma trận B thu được từ ma trận A bằng cách sử dụng số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì Rank(A) = Rank(B) .

Giá trị của tuyên bố này xuất phát từ các tính chất của định thức của ma trận:

Khi sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận, định thức của nó đổi dấu. Nếu nó bằng 0 thì khi sắp xếp lại các hàng (cột) vẫn bằng 0.
Khi nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý khác 0, định thức của ma trận thu được bằng định thức của ma trận gốc nhân với k. Nếu định thức của ma trận gốc bằng 0 thì sau khi nhân tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bất kỳ với số k, định thức của ma trận thu được cũng sẽ bằng 0.
Việc thêm vào các phần tử của một hàng (cột) nhất định của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k nhất định, không làm thay đổi định thức của nó.

Bản chất của phương pháp biến đổi cơ bản bao gồm việc giảm ma trận có hạng mà chúng ta cần tìm thành ma trận hình thang (trong trường hợp cụ thể là ma trận tam giác trên) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Tại sao việc này lại được thực hiện? Thứ hạng của ma trận loại này rất dễ tìm. Nó bằng số dòng chứa ít nhất một phần tử khác 0. Và vì hạng của ma trận không thay đổi khi thực hiện các phép biến đổi cơ bản nên giá trị thu được sẽ là hạng của ma trận ban đầu.

Chúng tôi đưa ra các minh họa về ma trận, một trong số đó sẽ thu được sau khi biến đổi. Sự xuất hiện của chúng phụ thuộc vào thứ tự của ma trận.

Những hình minh họa này là các mẫu mà chúng ta sẽ chuyển đổi ma trận A.

Hãy mô tả thuật toán phương pháp.

Chúng ta cần tìm thứ hạng của ma trận A khác 0 có cấp độ (p có thể bằng n).

Vì thế, . Hãy nhân tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận A với . Trong trường hợp này, chúng ta thu được một ma trận tương đương, ký hiệu là A (1):

Đối với các phần tử của hàng thứ hai của ma trận kết quả A (1), chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên, nhân với . Đối với các phần tử của dòng thứ ba, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của dòng đầu tiên, nhân với . Và cứ như vậy cho đến dòng thứ p. Hãy lấy một ma trận tương đương, ký hiệu là A (2):

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả nằm trong các hàng từ thứ hai đến thứ p đều bằng 0 thì thứ hạng của ma trận này bằng một và do đó, thứ hạng của ma trận ban đầu bằng 0 đến một.

Nếu trong các dòng từ thứ hai đến thứ p có ít nhất một phần tử khác 0 thì chúng ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng ta hành động theo cách tương tự, nhưng chỉ với phần ma trận A (2) được đánh dấu trong hình.

Nếu , thì chúng ta sắp xếp lại các hàng và (hoặc) cột của ma trận A (2) sao cho phần tử “mới” trở thành khác 0.

Vì thế, . Ta nhân từng phần tử của hàng thứ hai của ma trận A (2) với . Ta thu được ma trận tương đương A(3):

Đối với các phần tử của hàng thứ ba của ma trận kết quả A (3), chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ hai nhân với . Đối với các phần tử của dòng thứ tư, chúng ta cộng các phần tử tương ứng của dòng thứ hai nhân với . Và cứ như vậy cho đến dòng thứ p. Hãy lấy một ma trận tương đương, ký hiệu là A (4):

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả nằm trong các hàng từ thứ ba đến thứ p đều bằng 0, thì thứ hạng của ma trận này bằng hai và do đó, Hạng(A) = 2.

Nếu các dòng từ dòng thứ ba đến dòng thứ p chứa ít nhất một phần tử khác 0 thì chúng ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng ta hành động theo cách tương tự, nhưng chỉ với phần ma trận được đánh dấu trong hình

Phần tử này khác 0 nên chúng ta có thể nhân các phần tử của hàng thứ hai của ma trận A (2) với:

Đối với các phần tử của hàng thứ ba của ma trận thu được, chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ hai nhân với ; đến các phần tử của dòng thứ tư – các phần tử của dòng thứ hai nhân với ; đến các phần tử của dòng thứ năm – các phần tử của dòng thứ hai, nhân với:

Tất cả các phần tử của hàng thứ ba, thứ tư và thứ năm của ma trận kết quả đều bằng 0. Vì vậy, bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đã đưa ma trận A về dạng hình thang, từ đó có thể thấy Hạng(A (4)) = 2. Vì vậy, hạng của ma trận ban đầu cũng là hai.

Vì vậy, cột đầu tiên được chuyển đổi sang dạng mong muốn.

Phần tử trong ma trận kết quả khác 0. Nhân các phần tử của dòng thứ hai với:

Cột thứ hai của ma trận kết quả có dạng mong muốn, vì phần tử đã bằng 0.

Vì , a , nên hoán đổi cột thứ ba và thứ tư:

Hãy nhân hàng thứ ba của ma trận kết quả với:

Điều này kết thúc sự chuyển đổi. Chúng ta có Hạng(A (5))=3, do đó, Hạng(A)=3.

Trả lời:

Thứ hạng của ma trận ban đầu là ba.

Tóm tắt.

Chúng tôi đã xem xét khái niệm thứ hạng ma trận và xem xét ba cách để tìm ra nó:

theo định nghĩa bằng cách liệt kê tất cả trẻ vị thành niên;
phương pháp giáp ranh với trẻ vị thành niên;
bằng phương pháp biến đổi cơ bản.

Nên luôn sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản khi tìm hạng của ma trận, vì nó dẫn đến kết quả tính toán ít hơn so với phương pháp giáp các phần tử phụ và thậm chí còn hơn thế so với phương pháp liệt kê tất cả các phần tử phụ của một ma trận.