Hàm có gốc cách giải. Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm miền định nghĩa của hàm số có nghiệm bậc lẻ. Các hạn chế bổ sung về phạm vi của một chức năng

Sự định nghĩa
Chức năng y = f (x)được gọi là một định luật (quy tắc, ánh xạ), theo đó mỗi phần tử x của tập X chỉ liên kết với một và chỉ một phần tử y của tập Y.

Tập X được gọi là miền của hàm.
Tập hợp các phần tử y ∈ Y, có tiền ảnh trong tập X, được gọi là tập hợp các giá trị hàm(hoặc phạm vi giá trị).

Lãnh địa chức năng đôi khi được gọi tập định nghĩa hoặc nhiều nhiệm vụ chức năng.

Yếu tố x ∈ X gọi điện đối số chức năng hoặc biến độc lập.
yếu tố y ∈ Y gọi điện giá trị hàm hoặc biến phụ thuộc.

Bản thân ánh xạ f được gọi là đặc điểm của chức năng.

Đặc tính f có tính chất là nếu hai phần tử và từ tập định nghĩa có giá trị bằng nhau: , thì .

Ký hiệu biểu thị đặc tính có thể giống với ký hiệu của phần tử giá trị hàm. Nghĩa là, bạn có thể viết nó như thế này: . Điều đáng ghi nhớ là y là một phần tử trong tập hợp các giá trị hàm và là quy tắc theo đó phần tử x được liên kết với phần tử y.

Quá trình tính toán một hàm bao gồm ba bước. Bước đầu tiên, chúng ta chọn phần tử x từ tập X. Tiếp theo, sử dụng quy tắc, phần tử x được liên kết với một phần tử của tập hợp Y. Ở bước thứ ba, phần tử này được gán cho biến y.

Giá trị riêng của hàm gọi giá trị của hàm dựa trên giá trị (cụ thể) đã chọn của đối số của nó.

Đồ thị hàm số f gọi là tập hợp các cặp.

hàm phức tạp

Sự định nghĩa
Hãy để các chức năng và được đưa ra. Hơn nữa, miền định nghĩa của hàm f chứa tập hợp các giá trị của hàm g. Khi đó mỗi phần tử t từ miền định nghĩa của hàm g tương ứng với một phần tử x, và x này tương ứng với y. Sự tương ứng này được gọi là hàm phức tạp: .

Hàm phức còn được gọi là thành phần hoặc sự chồng chất của các chức năng và đôi khi được ký hiệu như sau: .

Trong phân tích toán học, người ta thường chấp nhận rằng nếu một đặc tính của hàm được biểu thị bằng một chữ cái hoặc ký hiệu thì nó chỉ ra sự tương ứng tương tự. Tuy nhiên, trong các bộ môn khác, còn có một cách ký hiệu khác, theo đó các ánh xạ có cùng đặc tính nhưng có đối số khác nhau thì được coi là khác nhau. Đó là, các ánh xạ được coi là khác nhau. Hãy đưa ra một ví dụ từ vật lý. Giả sử chúng ta xét sự phụ thuộc của động lượng vào tọa độ. Và chúng ta hãy có sự phụ thuộc của tọa độ vào thời gian. Khi đó sự phụ thuộc của xung vào thời gian là một hàm phức tạp. Tuy nhiên, để cho ngắn gọn, nó được ký hiệu như sau: . Với cách tiếp cận này, và - điều này các chức năng khác nhau. Tại giá trị giống nhau lập luận chúng có thể mang lại những ý nghĩa khác nhau. Ký hiệu này không được chấp nhận trong toán học. Nếu cần giảm, bạn nên nhập đặc tính mới. Ví dụ . Thế thì có thể thấy rõ điều đó và là chức năng khác nhau.

hàm hợp lệ

Miền của hàm và tập hợp các giá trị của nó có thể là bất kỳ tập hợp nào.
Ví dụ: dãy số là các hàm có miền định nghĩa là tập hợp số tự nhiên và tập hợp các giá trị là số thực hoặc số phức.
Tích chéo cũng là một hàm, vì với hai vectơ và chỉ có một giá trị của vectơ. Ở đây miền định nghĩa là tập hợp tất cả các cặp vectơ có thể có. Tập hợp các giá trị là tập hợp tất cả các vectơ.
biểu thức Boolean là một chức năng. Miền định nghĩa của nó là tập hợp số thực(hoặc bất kỳ tập hợp nào trong đó phép toán so sánh với phần tử “0” được xác định). Tập hợp các giá trị bao gồm hai phần tử - "true" và "false".

Hàm số đóng vai trò quan trọng trong phân tích toán học.

Hàm số là một hàm có giá trị là số thực hoặc số phức.

Chức năng thực hoặc thực là một hàm có giá trị là số thực.

Tối đa và tối thiểu

Số thực có phép so sánh. Do đó, tập hợp các giá trị của hàm thực có thể bị giới hạn và có các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Hàm thực tế được gọi là giới hạn từ phía trên (từ phía dưới), nếu tồn tại số M sao cho bất đẳng thức đúng với mọi:
.

Hàm số được gọi giới hạn, nếu tồn tại số M sao cho với mọi:
.

M tối đa (m tối thiểu) hàm f, trên một tập X nào đó, giá trị của hàm được gọi cho một giá trị nhất định của đối số của nó, mà với tất cả,
.

Cạnh trên hoặc giới hạn trên chính xác Hàm thực giới hạn ở trên là số nhỏ nhất giới hạn phạm vi giá trị của nó từ phía trên. Nghĩa là, đây là một số s mà đối với tất cả mọi người và đối với bất kỳ ai, có một đối số có giá trị hàm vượt quá s′: .
Giới hạn trên của hàm có thể được biểu thị như sau:
.

Giới hạn trên của hàm giới hạn trên

Cạnh dưới hoặc chính xác Giơi hạn dươi Hàm thực giới hạn từ bên dưới là số lớn nhất giới hạn phạm vi giá trị của nó từ bên dưới. Nghĩa là, đây là số i mà đối với mọi người và bất kỳ ai, có một đối số có giá trị hàm nhỏ hơn i′: .
Phần vô cùng của hàm số có thể được biểu thị như sau:
.

Hàm vô tận của hàm giới hạn dưới là vô hạn điểm từ xa.

Do đó, bất kỳ hàm thực nào, trên tập X khác trống, đều có giới hạn trên và giới hạn dưới. Nhưng không phải hàm số nào cũng có cực đại và cực tiểu.

Ví dụ, hãy xem xét một hàm được xác định trên một khoảng mở.
Nó bị giới hạn, trong khoảng này, từ phía trên bởi giá trị 1 và bên dưới - giá trị 0 :
cho tất cả .
Hàm này có giới hạn trên và giới hạn dưới:
.
Nhưng nó không có mức tối đa và tối thiểu.

Nếu chúng ta xem xét cùng một hàm trên phân đoạn, thì trên tập hợp này, nó bị giới hạn trên và dưới, có giới hạn trên và dưới và có mức tối đa và mức tối thiểu:
cho tất cả ;
;
.

Hàm đơn điệu

Định nghĩa hàm tăng và hàm giảm
Giả sử hàm số được xác định trên tập số thực X. Chức năng này được gọi là tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt)
.
Chức năng này được gọi là không giảm (không tăng), nếu với mọi bất đẳng thức sau đây đúng:
.

Định nghĩa hàm đơn điệu
Chức năng này được gọi là đơn điệu, nếu nó không giảm hoặc không tăng.

Hàm đa giá trị

Ví dụ về hàm nhiều giá trị Màu sắc khác nhau các nhánh của nó được chỉ định. Mỗi nhánh là một chức năng.

Như sau từ định nghĩa của hàm, mỗi phần tử x từ miền định nghĩa chỉ được liên kết với một phần tử từ tập hợp các giá trị. Nhưng có những ánh xạ trong đó phần tử x có một vài hoặc số lượng vô hạn hình ảnh

Ví dụ, hãy xem xét hàm arcsin: . Đó là nghịch đảo của hàm xoang và được xác định từ phương trình:
(1) .
Với một giá trị cho trước của biến độc lập x, thuộc khoảng, phương trình này được thỏa mãn bởi vô số giá trị của y (xem hình).

Chúng ta hãy áp đặt một hạn chế đối với nghiệm của phương trình (1). Cho phép
(2) .
Dưới điều kiện này, đặt giá trị, phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất. Nghĩa là, sự tương ứng được xác định bởi phương trình (1) trong điều kiện (2) là một hàm.

Thay vì điều kiện (2), bạn có thể áp đặt bất kỳ điều kiện nào khác có dạng:
(2.n) ,
trong đó n là một số nguyên. Kết quả với mỗi giá trị của n ta sẽ có được hàm riêng, khác với các giá trị khác. Nhiều chức năng tương tự hàm đa giá trị. Và hàm xác định từ (1) theo điều kiện (2.n) là nhánh của hàm đa giá trị.

Đây là một tập hợp các hàm được xác định trên một tập hợp nhất định.

Nhánh hàm đa giá trị là một trong các hàm có trong hàm đa giá trị.

Hàm có giá trị đơn là một chức năng.

Người giới thiệu:
O.I. Besov. Bài giảng về phân tích toán học. Phần 1. Mátxcơva, 2004.
L. D. Kudryavtsev. Tốt phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 2003.
CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983.

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định người nào đó hoặc kết nối với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng ta thu thập thông tin cá nhân gì:

• Khi bạn gửi yêu cầu trên trang web, chúng tôi có thể thu thập thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục pháp lý và/hoặc dựa trên yêu cầu của công chúng hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Hàm căn bậc hai chỉ được xác định cho các giá trị của "x" khi biểu thức căn thức là không âm: . Nếu nghiệm nằm ở mẫu số thì điều kiện rõ ràng là chặt chẽ: . Các phép tính tương tự có giá trị cho mọi nghiệm bậc chẵn dương: , tuy nhiên, gốc đã ở mức 4 trong nghiên cứu chức năng Tôi không nhớ.

Ví dụ 5

Giải pháp: biểu thức căn thức phải không âm:

Trước khi tiếp tục giải, hãy để tôi nhắc bạn về các quy tắc cơ bản để giải bất đẳng thức, được biết đến từ trường học.

Xin lưu ý Đặc biệt chú ý! Bây giờ chúng ta đang xét bất đẳng thức với một biến- nghĩa là, đối với chúng tôi chỉ có một chiều dọc theo trục. Xin đừng nhầm lẫn với bất đẳng thức của hai biến, trong đó toàn bộ mặt phẳng tọa độ có liên quan về mặt hình học. Tuy nhiên, cũng có những sự trùng hợp thú vị! Vì vậy, đối với bất đẳng thức các phép biến đổi sau là tương đương:

1) Các thuật ngữ có thể được chuyển từ phần này sang phần khác bằng cách đổi dấu.

2) Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân với một số dương.

3) Nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức với tiêu cực số thì bạn cần thay đổi dấu hiệu của sự bất đẳng thức. Ví dụ, nếu có “nhiều hơn” thì nó sẽ trở thành “ít hơn”; nếu nó “nhỏ hơn hoặc bằng” thì nó sẽ trở thành “lớn hơn hoặc bằng”.

Trong bất đẳng thức ta chuyển số “ba” sang bên phải khi đổi dấu (quy tắc số 1):

Hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức với –1 (quy tắc số 3):

Hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức với (quy tắc số 2):

Trả lời: lãnh địa:

Câu trả lời cũng có thể được viết bằng một cụm từ tương đương: “hàm được xác định tại .”
Về mặt hình học, vùng xác định được mô tả bằng cách tô bóng các khoảng tương ứng trên trục hoành. TRONG trong trường hợp này:

Một lần nữa tôi nhắc bạn về ý nghĩa hình học của miền định nghĩa - đồ thị của hàm số chỉ tồn tại trong vùng bóng mờ và không có ở .

Trong hầu hết các trường hợp, việc xác định thuần túy phân tích miền định nghĩa là phù hợp, nhưng khi hàm rất phức tạp, bạn nên vẽ trục và ghi chú.

Ví dụ 6

Tìm miền xác định của hàm

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập.

Khi có một nhị thức bình phương hoặc tam thức dưới căn bậc hai, tình huống trở nên phức tạp hơn một chút và bây giờ chúng ta sẽ phân tích chi tiết kỹ thuật giải:

Ví dụ 7

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: biểu thức căn thức phải hoàn toàn dương, tức là ta cần giải bất đẳng thức. Ở bước đầu tiên, chúng ta thử phân tích tam thức bậc hai:

Phân biệt đối xử là tích cực, chúng tôi đang tìm kiếm gốc:

Vậy parabol cắt trục hoành tại hai điểm, nghĩa là một phần của parabol nằm bên dưới trục (bất đẳng thức) và một phần của parabol nằm trên trục (bất đẳng thức chúng ta cần).

Vì hệ số là , nên các nhánh của parabol hướng lên trên. Từ đó suy ra rằng bất đẳng thức được thỏa mãn trên các khoảng (các nhánh của parabol đi lên đến vô cùng) và đỉnh của parabol nằm trên khoảng bên dưới trục x, tương ứng với bất đẳng thức:

! Ghi chú: Nếu bạn không hiểu hết lời giải thích, vui lòng vẽ trục thứ hai và toàn bộ parabol! Nên quay lại bài viết Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản và hướng dẫn đào tạo Công thức nóng hổi khóa học nhà toán học.

Xin lưu ý rằng bản thân các điểm sẽ bị xóa (không được đưa vào lời giải), vì bất đẳng thức của chúng ta là nghiêm ngặt.

Trả lời: lãnh địa:

Nói chung, nhiều bất đẳng thức (bao gồm cả bất đẳng thức đang xét) đều được giải quyết bằng phương pháp phổ quát. phương pháp khoảng, được biết đến lần nữa từ chương trình giáo dục. Nhưng trong trường hợp nhị thức vuông và tam thức, theo tôi, việc phân tích vị trí của parabol so với trục sẽ thuận tiện hơn và nhanh hơn nhiều. Và chúng ta sẽ phân tích phương pháp chính - phương pháp khoảng - một cách chi tiết trong bài viết. Các số không của hàm. Khoảng thời gian cố định.

Ví dụ 8

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Mẫu nhận xét chi tiết về logic suy luận + cách giải thứ hai và một phép biến đổi quan trọng khác của bất đẳng thức mà nếu không biết học sinh sẽ đi khập khiễng bằng một chân..., ...hmm... có lẽ tôi phấn khích quá về chân, nhiều khả năng là ở một ngón chân. Ngón tay cái.

Có thể xác định hàm căn bậc hai trên toàn bộ trục số không? Chắc chắn. Toàn những gương mặt quen thuộc: . Hoặc một tổng tương tự có số mũ: . Thật vậy, với mọi giá trị của “x” và “ka”: , do đó bằng nhau và .. Ví dụ, hàm được xác định trên toàn bộ trục số. Tuy nhiên, hàm số có một điểm duy nhất vẫn chưa nằm trong phạm vi định nghĩa vì mẫu số được đặt bằng 0. Vì lý do tương tự cho chức năng điểm bị loại trừ.

Đối với một số khách truy cập trang web, các ví dụ được đề cập sẽ có vẻ cơ bản và thô sơ, nhưng đây không phải là ngẫu nhiên - thứ nhất, tôi cố gắng “mài giũa” tài liệu cho những người mới bắt đầu và thứ hai, tôi chọn những thứ thực tế cho các nhiệm vụ trong tương lai: nghiên cứu đầy đủ chức năng, Phát hiện miền định nghĩa của hàm hai biến và một số người khác. Mọi thứ trong toán học đều bám vào nhau. Mặc dù những người thích khó khăn cũng sẽ không bị thiếu thốn nhưng những nhiệm vụ nghiêm túc hơn sẽ được tìm thấy ở đây và trong bài học.
về phương pháp khoảng.

Có đủ trong toán học một lượng nhỏ các hàm cơ bản có phạm vi định nghĩa bị giới hạn. Tất cả các hàm "phức tạp" khác chỉ là sự kết hợp và kết hợp của chúng.

1. Hàm phân số - hạn chế về mẫu số.

2. Căn bậc chẵn - hạn chế biểu hiện căn thức.

3. Logarit - hạn chế về cơ số của biểu thức logarit và logarit phụ.

3. Lượng giác tg(x) và ctg(x) - hạn chế của đối số.

Đối với tiếp tuyến:

4. Hàm lượng giác nghịch đảo.

arcsin	cung cosin	Arctang, Arctangent

Tiếp theo, các ví dụ sau được giải quyết về chủ đề “Miền định nghĩa hàm”.

Ví dụ tìm miền định nghĩa của hàm số 1

Tìm miền định nghĩa của bất kỳ hàm tuyến tính nào, tức là chức năng bậc một:

y = 2x + 3 - phương trình xác định một đường thẳng trên mặt phẳng.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hàm và suy nghĩ xem chúng ta có thể thay thế những giá trị số nào vào phương trình thay cho biến x?

Hãy thử thay thế giá trị x=0

Vì y = 2 0 + 3 = 3 - ta có giá trị số, do đó hàm tồn tại với giá trị đã cho của biến x=0.

Hãy thử thay thế giá trị x=10

vì y = 2·10 + 3 = 23 - hàm tồn tại với giá trị đã cho của biến x=10.

Hãy thử thay thế giá trị x=-10

vì y = 2·(-10) + 3 = -17 - hàm tồn tại với giá trị cho trước của biến x = -10.

Phương trình xác định một đường thẳng trên mặt phẳng và đường thẳng không có điểm đầu cũng như điểm cuối nên tồn tại với mọi giá trị của x.

Lưu ý rằng cho dù chúng ta thay thế giá trị số nào vào hàm cho trước thay vì x thì chúng ta sẽ luôn nhận được giá trị số của biến y.

Do đó, hàm tồn tại với mọi giá trị x ∈ R, hoặc chúng ta viết nó như sau: D(f) = R

Các dạng viết đáp án: D(f)=R hoặc D(f)=(-∞:+∞)or x∈R hoặc x∈(-∞:+∞)

Hãy kết luận:

Đối với bất kỳ hàm số nào có dạng y = ax + b, miền định nghĩa là tập hợp các số thực.

Ví dụ tìm miền định nghĩa của hàm số 2

Một chức năng của hình thức:

y = 10/(x + 5) - phương trình hyperbol

Khi xử lý hàm phân số, hãy nhớ rằng bạn không thể chia cho 0. Do đó hàm sẽ tồn tại với mọi giá trị của x không

đặt mẫu số về 0. Hãy thử thay thế một số giá trị tùy ý của x.

Tại x = 0 ta có y = 10/(0 + 5) = 2 - hàm số tồn tại.

Với x = 10 ta có y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- chức năng tồn tại.

Tại x = -5 ta có y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - hàm số không tồn tại tại điểm này.

Những thứ kia. Nếu như hàm đã cho phân số thì cần phải đánh đồng mẫu số bằng 0 và tìm điểm mà tại đó hàm số không tồn tại.

Trong trường hợp của chúng ta:

x + 5 = 0 → x = -5 - tại thời điểm này hàm đã cho không tồn tại.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Để rõ ràng, hãy mô tả nó bằng đồ họa:

Trên đồ thị, chúng ta cũng thấy rằng hyperbol càng gần đường thẳng x = -5 càng tốt, nhưng bản thân nó không đạt đến giá trị -5.

Ta thấy hàm số đã cho tồn tại ở mọi điểm trên trục thực, ngoại trừ điểm x = -5

Các hình thức ghi chép phản hồi: D(f)=R\(-5) hoặc D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) hoặc x ∈ R\(-5) hoặc x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Nếu hàm đã cho là phân số thì sự có mặt của mẫu số sẽ đặt ra điều kiện là mẫu số không bằng 0.

Ví dụ tìm miền định nghĩa của hàm số 3

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm miền định nghĩa của hàm số có nghiệm bậc chẵn:

Vì chúng ta chỉ có thể trích xuất căn bậc hai từ một số không âm nên hàm dưới gốc là không âm.

2х - 8 ≥ 0

Hãy giải một bất đẳng thức đơn giản:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Hàm đã chỉ định chỉ tồn tại với các giá trị tìm thấy của x ≥ 4 hoặc D(f)=)