Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ma trận. Tìm ma trận nghịch đảo
Mục đích của dịch vụ. Máy tính ma trậnđược thiết kế để giải các biểu thức ma trận, chẳng hạn như 3A-CB 2 hoặc A -1 +B T .Hướng dẫn. Vì giải pháp trực tuyến phải được thiết lập biểu thức ma trận. Ở giai đoạn thứ hai, cần làm rõ thứ nguyên của ma trận.
Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).
Để thực hiện danh sách các thao tác, hãy sử dụng dấu phân cách bằng dấu chấm phẩy (;). Ví dụ: để thực hiện ba thao tác:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
bạn sẽ cần phải viết nó như thế này: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Ma trận là một bảng số hình chữ nhật có m hàng và n cột nên ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng hình chữ nhật.
Ma trận không (ma trận rỗng) là ma trận có các phần tử đều bằng 0 và ký hiệu là 0.
Ma trận đơn vị gọi điện Ma trận vuông loại
Hai ma trận A và B bằng nhau, nếu họ cùng cỡ và các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.
Ma trận số ítđược gọi là ma trận có định thức bằng 0 (Δ = 0).
Hãy xác định các phép toán cơ bản trên ma trận.
Phép cộng ma trận
Sự định nghĩa . Tổng của hai ma trận cùng kích thước là ma trận có cùng thứ nguyên, các phần tử của ma trận đó được tìm theo công thức
. Ký hiệu là C = A+B. Ví dụ 6. .
Phép cộng ma trận mở rộng cho trường hợp có số hạng bất kỳ. Rõ ràng A+0=A .
Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước; cho ma trận kích cỡ khác nhau hoạt động bổ sung không được xác định.
Phép trừ ma trận
Sự định nghĩa . Sự khác biệt B-A ma trận B và A có cùng kích thước được gọi là ma trận C sao cho A+C = B.Phép nhân ma trận
Sự định nghĩa . Tích của ma trận với một số α là ma trận thu được từ A bằng cách nhân tất cả các phần tử của nó với α, .Sự định nghĩa . Cho hai ma trận
và , và số cột của A bằng số hàng của B. Tích của A nhân với B là một ma trận có các phần tử được tìm theo công thức 
.
Ký hiệu là C = A·B.
Về mặt sơ đồ, hoạt động của phép nhân ma trận có thể được mô tả như sau:
và quy tắc tính một phần tử trong tích:
Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng tích A·B có ý nghĩa khi và chỉ khi số cột của thừa số thứ nhất bằng số hàng của thừa số thứ hai và tích tạo ra một ma trận có số hàng bằng số hàng của thừa số thứ nhất và số cột bằng số cột của thừa số thứ hai. Bạn có thể kiểm tra kết quả của phép nhân bằng máy tính trực tuyến đặc biệt.
Ví dụ 7. ma trận đã cho 
Và 
. Tìm ma trận C = A·B và D = B·A.
Giải pháp.
Trước hết, lưu ý rằng tích A·B tồn tại vì số cột của A bằng số hàng của B.
Lưu ý rằng trong trường hợp chung A·B≠B·A, tức là tích của ma trận có tính phản giao hoán.
Hãy tìm B·A (có thể nhân).
Ví dụ 8. Cho một ma trận 
. Tìm 3A 2 – 2A.
Giải pháp.
.
; 
.
.
Chúng ta hãy lưu ý sự thật thú vị sau đây.
Như bạn đã biết, tích của hai số khác 0 không bằng 0. Đối với ma trận, trường hợp tương tự có thể không xảy ra, tức là tích ma trận khác không có thể bằng ma trận null.
Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo đối với ma trận A nếu A*A -1 = E, trong đó E là ma trận đơn vị cấp n. Ma trận nghịch đảo chỉ có thể tồn tại đối với ma trận vuông.
Mục đích của dịch vụ. Bằng cách sử dụng của dịch vụ này V. chế độ online người ta có thể tìm thấy phần bù đại số, ma trận chuyển vị A T, ma trận liên minh và ma trận nghịch đảo. Quyết định được thực hiện trực tiếp trên trang web (trực tuyến) và hoàn toàn miễn phí. Kết quả tính toán được trình bày trong báo cáo Định dạng từ và trong định dạng excel(tức là có thể kiểm tra giải pháp). xem ví dụ thiết kế.
Hướng dẫn. Để có được lời giải, cần phải xác định kích thước của ma trận. Tiếp theo điền ma trận A vào hộp thoại mới.
Xem thêm Ma trận nghịch đảo sử dụng phương pháp Jordano-Gauss
Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo
- Tìm ma trận chuyển vị A T .
- Định nghĩa của phần bù đại số. Thay thế mỗi phần tử của ma trận bằng phần bù đại số của nó.
- biên soạn ma trận nghịch đảo từ phép cộng đại số: mỗi phần tử của ma trận thu được được chia cho định thức của ma trận ban đầu. Ma trận kết quả là nghịch đảo của ma trận ban đầu.
- Xác định xem ma trận có vuông hay không. Nếu không thì không có ma trận nghịch đảo cho nó.
- Tính định thức của ma trận A. Nếu nó không bằng 0 thì ta tiếp tục giải, nếu không thì ma trận nghịch đảo không tồn tại.
- Định nghĩa của phần bù đại số.
- Điền vào ma trận hợp (tương hỗ, kề) C .
- Biên dịch ma trận nghịch đảo từ phép cộng đại số: mỗi phần tử của ma trận liên kết C được chia cho định thức của ma trận gốc. Ma trận kết quả là nghịch đảo của ma trận ban đầu.
- Họ thực hiện kiểm tra: họ nhân ma trận ban đầu và ma trận kết quả. Kết quả phải là một ma trận nhận dạng.
Ví dụ số 1. Hãy viết ma trận dưới dạng:
Bổ sung đại số.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Sau đó ma trận nghịch đảo có thể được viết như:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Một thuật toán khác để tìm ma trận nghịch đảo
Chúng ta hãy trình bày một sơ đồ khác để tìm ma trận nghịch đảo.- Tìm định thức của ma trận vuông A cho trước.
- Chúng ta tìm phần bù đại số cho tất cả các phần tử của ma trận A.
- Chúng ta viết phép cộng đại số của các phần tử hàng vào cột (chuyển vị).
- Chúng ta chia từng phần tử của ma trận thu được cho định thức của ma trận A.
Một trường hợp đặc biệt: Nghịch đảo của ma trận đơn vị E là ma trận đơn vị E.
Được cho Bộ công cụ sẽ giúp bạn học cách thực hiện các phép toán với ma trận: cộng (trừ) ma trận, hoán vị ma trận, nhân ma trận, tìm ma trận nghịch đảo. Tất cả tài liệu đều được trình bày dưới dạng đơn giản và dễ tiếp cận, các ví dụ liên quan được đưa ra, vì vậy ngay cả một người chưa chuẩn bị cũng có thể học cách thực hiện các hành động với ma trận. Để tự theo dõi và tự kiểm tra, bạn có thể tải xuống máy tính ma trận miễn phí >>>.
Tôi sẽ cố gắng giảm thiểu các tính toán lý thuyết; ở một số chỗ có thể giải thích “trên ngón tay” và sử dụng các thuật ngữ phi khoa học. Những người yêu thích lý thuyết vững chắc, xin đừng tham gia vào việc chỉ trích, nhiệm vụ của chúng tôi là học cách thực hiện các phép toán với ma trận.
Để chuẩn bị SIÊU NHANH về chủ đề (ai là người “bùng cháy”), có một khóa học pdf chuyên sâu Ma trận, định thức và kiểm tra!
Ma trận là một bảng hình chữ nhật có một số yếu tố. BẰNG yếu tố chúng ta sẽ xem xét các con số, tức là các ma trận số. YẾU TỐ là một thuật ngữ. Nên nhớ thuật ngữ này, nó sẽ xuất hiện thường xuyên, không phải ngẫu nhiên mà tôi dùng chữ đậm để làm nổi bật nó.
Chỉ định: ma trận thường được ký hiệu bằng chữ in hoa bằng chữ Latinh
Ví dụ: Hãy xem xét một ma trận hai nhân ba:
Ma trận này bao gồm sáu yếu tố:
Tất cả các số (phần tử) bên trong ma trận đều tồn tại độc lập, nghĩa là không có bất kỳ phép trừ nào: 
Nó chỉ là một bảng (bộ) số!
Chúng tôi cũng sẽ đồng ý đừng sắp xếp lại số, trừ khi có quy định khác trong phần giải thích. Mỗi số có vị trí riêng và không thể xáo trộn được!
Ma trận được đề cập có hai hàng: 
và ba cột: 
TIÊU CHUẨN: khi nói về kích thước ma trận thì lúc đầu cho biết số hàng và chỉ sau đó là số cột. Chúng ta vừa chia nhỏ ma trận hai nhân ba.
Nếu số hàng và số cột của một ma trận bằng nhau thì ma trận đó được gọi là quảng trường, Ví dụ: 
– một ma trận ba nhân ba.
Nếu ma trận có một cột hoặc một hàng thì các ma trận đó còn được gọi là vectơ.
Trên thực tế, chúng ta đã biết khái niệm ma trận từ khi còn đi học; ví dụ, hãy xem xét một điểm có tọa độ “x” và “y”: . Về cơ bản, tọa độ của một điểm được viết thành ma trận một nhân hai. Nhân tiện, đây là một ví dụ giải thích tại sao thứ tự của các số lại quan trọng: và là hai điểm hoàn toàn khác nhau trên mặt phẳng.
Bây giờ chúng ta chuyển sang học các phép toán với ma trận:
1) Hành động một. Loại bỏ dấu trừ khỏi ma trận (đưa dấu trừ vào ma trận).
Hãy quay lại ma trận của chúng ta 
. Như bạn có thể nhận thấy, có quá nhiều số âm trong ma trận này. Điều này rất bất tiện từ quan điểm thực hiện các hành động khác nhau với ma trận, thật bất tiện khi viết quá nhiều điểm trừ và đơn giản là nó trông xấu về mặt thiết kế.
Hãy di chuyển dấu trừ ra ngoài ma trận bằng cách đổi dấu MỖI phần tử của ma trận:
Ở mức 0, như bạn hiểu, dấu không thay đổi; số 0 cũng bằng 0 ở Châu Phi.
Ví dụ ngược: 
. Nó trông xấu xí.
Hãy đưa dấu trừ vào ma trận bằng cách đổi dấu MỖI phần tử của ma trận:
Chà, hóa ra nó đẹp hơn nhiều. Và quan trọng nhất, việc thực hiện bất kỳ hành động nào với ma trận sẽ DỄ DÀNG HƠN. Bởi vì có một dấu hiệu toán học dân gian như sau: càng nhiều điểm trừ càng dễ nhầm lẫn và sai sót.
2) Màn hai. Nhân một ma trận với một số.
Ví dụ:
Thật đơn giản, để nhân một ma trận với một số, bạn cần mọi phần tử ma trận nhân với số đã cho. TRONG trong trường hợp này- cho ba.
Khác ví dụ hữu ích:
– nhân một ma trận với một phân số
Đầu tiên chúng ta hãy xem phải làm gì KHÔNG CẦN:
KHÔNG CẦN nhập một phân số vào ma trận, trước hết nó chỉ làm phức tạp thêm hành động hơn nữa thứ hai, với ma trận, giáo viên khó kiểm tra lời giải (đặc biệt nếu 
– đáp án cuối cùng của bài tập).
Và đặc biệt, KHÔNG CẦN chia từng phần tử của ma trận cho trừ bảy:
Từ bài viết Toán học dành cho người chưa biết hoặc bắt đầu từ đâu, chúng tôi nhớ rằng số thập phân trong toán học cao hơn, họ cố gắng tránh chúng bằng mọi cách có thể.
Điều duy nhất là tốt nhất là Việc cần làm trong ví dụ này là thêm dấu trừ vào ma trận:
Nhưng nếu chỉ TẤT CẢ phần tử ma trận được chia cho 7 Không một dâu vêt, thì có thể (và cần thiết!) để chia.
Ví dụ:
Trong trường hợp này, bạn có thể CẦN PHẢI nhân tất cả các phần tử của ma trận với , vì tất cả các số ma trận đều chia hết cho 2 Không một dâu vêt.
Lưu ý: trong lý thuyết toán phổ thông không có khái niệm “phép chia”. Thay vì nói “cái này chia cho cái kia”, bạn luôn có thể nói “cái này nhân với một phân số”. Nghĩa là phép chia là trương hợp đặc biệt phép nhân.
3) Màn ba. Chuyển đổi ma trận.
Để chuyển vị một ma trận, bạn cần viết các hàng của nó vào các cột của ma trận chuyển vị.
Ví dụ:
ma trận chuyển vị
Ở đây chỉ có một dòng và theo quy tắc, nó phải được viết thành một cột:
– ma trận chuyển vị.
Ma trận chuyển vị thường được biểu thị bằng chỉ số trên hoặc số nguyên tố ở trên cùng bên phải.
ma trận chuyển vị 
Đầu tiên chúng ta viết lại hàng đầu tiên vào cột đầu tiên:
Sau đó chúng ta viết lại dòng thứ hai vào cột thứ hai: 
Và cuối cùng, chúng ta viết lại hàng thứ ba thành cột thứ ba:
Sẵn sàng. Nói một cách đại khái, hoán vị có nghĩa là xoay ma trận về phía nó.
4) Màn bốn. Tổng (chênh lệch) của ma trận.
Tổng các ma trận là một phép toán đơn giản.
KHÔNG PHẢI TẤT CẢ CÁC MA TRẬN CÓ THỂ ĐƯỢC GẬP LẠI. Để thực hiện phép cộng (trừ) các ma trận, chúng cần phải có CÙNG KÍCH THƯỚC.
Ví dụ: nếu một ma trận hai nhân hai được đưa ra thì nó chỉ có thể được cộng bằng ma trận hai nhân hai chứ không được thêm ma trận nào khác! 
Ví dụ:
Thêm ma trận 
Và 
Để thêm ma trận, bạn cần thêm các phần tử tương ứng của chúng:
Đối với sự khác biệt của ma trận, quy tắc tương tự, cần tìm sự khác biệt của các phần tử tương ứng.
Ví dụ:
Tìm sự khác biệt ma trận 
, 
Làm thế nào để quyết định ví dụ này dễ dàng hơn để không bị nhầm lẫn? Nên loại bỏ những điểm trừ không cần thiết, để làm điều này, hãy thêm một điểm trừ vào ma trận:
Lưu ý: trong lý thuyết toán phổ thông không có khái niệm “trừ”. Thay vì nói “trừ cái này khỏi cái này”, bạn luôn có thể nói “cộng cái này vào cái này”. một số âm" Nghĩa là phép trừ là trường hợp đặc biệt của phép cộng.
5) Màn thứ năm. Phép nhân ma trận.
Những ma trận nào có thể nhân được?
Để nhân một ma trận với một ma trận, cần phải sao cho số cột ma trận bằng số hàng ma trận.
Ví dụ:
Có thể nhân một ma trận với một ma trận không?
Điều này có nghĩa là dữ liệu ma trận có thể được nhân lên.
Nhưng nếu các ma trận được sắp xếp lại thì trong trường hợp này phép nhân không còn thực hiện được nữa!
Do đó, phép nhân không thể thực hiện được:
Không quá hiếm khi gặp phải các nhiệm vụ có thủ thuật, khi học sinh được yêu cầu nhân các ma trận, phép nhân của ma trận đó rõ ràng là không thể.
Cần lưu ý rằng trong một số trường hợp có thể nhân ma trận theo cả hai cách.
Ví dụ: đối với ma trận, cả phép nhân và phép nhân đều có thể thực hiện được
Ma trận, làm quen với các khái niệm cơ bản của nó. Các phần tử xác định của ma trận là các đường chéo và các đường chéo cạnh của nó. Trang chủ bắt đầu bằng phần tử ở hàng đầu tiên, cột đầu tiên và tiếp tục đến phần tử ở cột cuối cùng, hàng cuối cùng(nghĩa là nó đi từ trái sang phải). Đường chéo bên bắt đầu ngược lại ở hàng đầu tiên, nhưng ở cột cuối cùng và tiếp tục đến phần tử có tọa độ của cột đầu tiên và hàng cuối cùng (đi từ phải sang trái).
Để chuyển sang các định nghĩa và phép tính đại số với ma trận sau đây, hãy nghiên cứu các loại ma trận. Những cái đơn giản nhất là hình vuông, đơn vị, số 0 và nghịch đảo. Số lượng cột và hàng khớp nhau. Ma trận chuyển vị, gọi là B, thu được từ ma trận A bằng cách thay thế các cột bằng các hàng. Trong đơn vị, tất cả các phần tử của đường chéo chính là số 1 và các phần tử còn lại là số 0. Và trong số 0, ngay cả các phần tử của đường chéo cũng bằng không. Ma trận nghịch đảo là ma trận mà ma trận ban đầu có dạng đồng nhất.
Ngoài ra, ma trận có thể đối xứng qua trục chính hoặc trục phụ. Nghĩa là, một phần tử có tọa độ a(1;2), trong đó 1 là số hàng và 2 là số cột, thì bằng a(2;1). A(3;1)=A(1;3), v.v. Ma trận phù hợp là ma trận có số cột của ma trận này bằng số hàng của ma trận khác (những ma trận như vậy có thể được nhân lên).
Các hành động chính có thể được thực hiện với ma trận là phép cộng, phép nhân và tìm định thức. Nếu các ma trận có cùng kích thước, tức là chúng có số hàng và số cột bằng nhau thì có thể cộng lại. Cần cộng các phần tử cùng vị trí trong ma trận, tức là cộng a (m; n) với c thuộc (m; n), trong đó m và n là tọa độ tương ứng của cột và hàng. Khi cộng ma trận, quy tắc cơ bản của phép cộng số học thông thường được áp dụng - khi vị trí của các số hạng được thay đổi thì tổng không thay đổi. Vì vậy, nếu thay vào đó yếu tố đơn giản và biểu thức là a + b thì có thể cộng vào phần tử c của ma trận tương xứng khác theo quy tắc a + (b + c) = (a + b) + c.
Bạn có thể nhân các ma trận phù hợp ở trên. Điều này tạo ra một ma trận trong đó mỗi phần tử là tổng của các phần tử được nhân theo cặp của một hàng của ma trận A và một cột của ma trận B. Khi nhân, thứ tự các hành động rất quan trọng. m*n không bằng n*m.
Ngoài ra một trong những hành động chính là tìm kiếm. Nó còn được gọi là định thức và được ký hiệu như sau: det. Giá trị này được xác định theo modulo, nghĩa là nó không bao giờ âm. Cách dễ nhất để tìm định thức là ma trận vuông 2x2. Để làm điều này, bạn cần nhân các phần tử của đường chéo chính và trừ đi các phần tử nhân của đường chéo phụ.
Các phép toán khác nhau được thực hiện trên các ma trận như vậy: chúng nhân với nhau, tìm định thức, v.v. Ma trận- trường hợp đặc biệt của mảng: nếu một mảng có thể có số chiều bất kỳ thì chỉ gọi một ma trận mảng hai chiều.
Trong lập trình, ma trận còn được gọi là mảng hai chiều. Bất kỳ mảng nào trong chương trình đều có tên, như thể nó là một biến duy nhất. Để làm rõ ý nghĩa của ô nào trong mảng, khi nó được đề cập trong chương trình, số lượng ô trong đó được sử dụng cùng với biến. Làm sao ma trận hai chiều và mảng n chiều trong một chương trình có thể chứa không chỉ số mà còn cả ký hiệu, chuỗi, Boolean và các thông tin khác, nhưng luôn giống nhau trong toàn bộ mảng.
Ma trận được chỉ định bằng chữ in hoa A:MxN, trong đó A là tên ma trận, M là số hàng trong ma trận và N là số cột. Các yếu tố – tương ứng chữ viết thường có chỉ số biểu thị số của chúng ở hàng và cột a (m, n).
Các ma trận phổ biến nhất có dạng hình chữ nhật, mặc dù trước đây các nhà toán học cũng coi ma trận là hình tam giác. Nếu số hàng và số cột của một ma trận bằng nhau thì gọi là ma trận hình vuông. Trong trường hợp này, M=N đã có sẵn tên thứ tự ma trận. Ma trận chỉ có một hàng được gọi là một hàng. Ma trận chỉ có một cột được gọi là ma trận cột. Ma trận đường chéo là ma trận vuông trong đó chỉ các phần tử nằm dọc theo đường chéo là khác 0. Nếu tất cả các phần tử bằng một thì ma trận được gọi là danh tính; nếu tất cả các phần tử bằng 0 thì nó được gọi là 0.
Nếu bạn hoán đổi hàng và cột trong một ma trận, nó sẽ được hoán vị. Nếu tất cả các phần tử được thay thế bằng liên hợp phức thì nó trở thành liên hợp phức. Ngoài ra, còn có các loại ma trận khác, được xác định bởi các điều kiện áp đặt cho phần tử ma trận. Nhưng hầu hết các điều kiện này chỉ áp dụng cho hình vuông.
Video về chủ đề
