Tìm ma trận nghịch đảo. Một số tính chất của các phép tính trên ma trận Biểu thức ma trận Bình phương tất cả các phần tử âm của ma trận

Cần lưu ý rằng chỉ có thể sử dụng ma trận vuông cho thao tác này. Số hàng và số cột bằng nhau là điều kiện tiên quyết để nâng ma trận lên lũy thừa. Trong quá trình tính toán, ma trận sẽ được nhân với chính nó theo số lần yêu cầu.

Máy tính trực tuyến này được thiết kế để thực hiện thao tác nâng ma trận lên lũy thừa. Nhờ sử dụng nó, bạn không chỉ nhanh chóng giải quyết được nhiệm vụ này mà còn có được ý tưởng rõ ràng và chi tiết về tiến trình tính toán. Điều này sẽ giúp củng cố tốt hơn các tài liệu thu được về mặt lý thuyết. Khi nhìn thấy một thuật toán tính toán chi tiết trước mặt, bạn sẽ hiểu rõ hơn tất cả những điểm phức tạp của nó và sau đó có thể tránh được những sai sót trong tính toán thủ công. Ngoài ra, việc kiểm tra kỹ các phép tính của bạn sẽ không bao giờ gây hại và điều này cũng được thực hiện tốt nhất ở đây.

Để nâng ma trận lên lũy thừa trực tuyến, bạn sẽ cần một số bước đơn giản. Trước hết, hãy chỉ định kích thước ma trận bằng cách nhấp vào biểu tượng “+” hoặc “-” ở bên trái của nó. Sau đó nhập các số vào trường ma trận. Bạn cũng cần chỉ ra công suất mà ma trận được nâng lên. Và sau đó tất cả những gì bạn phải làm là nhấp vào nút “Tính toán” ở cuối trường. Kết quả thu được sẽ đáng tin cậy và chính xác nếu bạn nhập cẩn thận và chính xác tất cả các giá trị. Cùng với nó, bạn sẽ được cung cấp bản ghi chi tiết của giải pháp.

Ở đây chúng ta sẽ tiếp tục chủ đề về các phép toán trên ma trận đã bắt đầu ở phần đầu tiên và xem xét một số ví dụ trong đó một số phép toán sẽ cần được áp dụng cùng một lúc.

Nâng ma trận lên lũy thừa.

Cho k là số nguyên không âm. Đối với bất kỳ ma trận vuông $A_(n\times n)$ nào, chúng ta có: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; Times) $$

Trong trường hợp này, chúng ta giả sử rằng $A^0=E$, trong đó $E$ là ma trận đồng nhất của cấp tương ứng.

Ví dụ số 4

Cho một ma trận $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Tìm ma trận $A^2$ và $A^6$.

Theo định nghĩa, $A^2=A\cdot A$, tức là. để tìm $A^2$ chúng ta chỉ cần nhân ma trận $A$ với chính nó. Hoạt động của phép nhân ma trận đã được thảo luận trong phần đầu tiên của chủ đề, vì vậy ở đây chúng ta sẽ chỉ viết ra quy trình giải mà không cần giải thích chi tiết:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$

Để tìm ma trận $A^6$ chúng ta có hai lựa chọn. Tùy chọn thứ nhất: việc tiếp tục nhân $A^2$ với ma trận $A$ là chuyện bình thường:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Tuy nhiên, bạn có thể thực hiện một lộ trình đơn giản hơn một chút bằng cách sử dụng thuộc tính kết hợp của phép nhân ma trận. Hãy đặt dấu ngoặc đơn trong biểu thức của $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Nếu việc giải phương pháp đầu tiên yêu cầu bốn phép tính nhân thì phương pháp thứ hai chỉ yêu cầu hai phép tính. Vì vậy, hãy đi theo cách thứ hai:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ Begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

Trả lời: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.

Ví dụ số 5

Cho ma trận $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (mảng) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ đúng)$. Tìm ma trận $D=2AB-3C^T+7E$.

Chúng ta bắt đầu tính ma trận $D$ bằng cách tìm kết quả của tích $AB$. Ma trận $A$ và $B$ có thể được nhân lên, vì số cột của ma trận $A$ bằng số hàng của ma trận $B$. Hãy ký hiệu $F=AB$. Trong trường hợp này, ma trận $F$ sẽ có ba cột và ba hàng, tức là. sẽ là hình vuông (nếu kết luận này có vẻ không rõ ràng, hãy xem phần mô tả phép nhân ma trận ở phần đầu của chủ đề này). Hãy tìm ma trận $F$ bằng cách tính tất cả các phần tử của nó:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(mảng) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(mảng) \right)\\ \begin(căn chỉnh) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(căn chỉnh) $$

Vì vậy $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Hãy đi xa hơn nữa. Ma trận $C^T$ là ma trận chuyển vị cho ma trận $C$, tức là. $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Còn ma trận $E$ là ma trận đơn vị. Trong trường hợp này, thứ tự của ma trận này là ba, tức là. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Về nguyên tắc, chúng ta có thể tiếp tục đi từng bước một, nhưng tốt hơn hết là nên xem xét toàn bộ biểu thức còn lại mà không bị phân tâm bởi các hành động phụ trợ. Trên thực tế, chúng ta chỉ còn lại các phép tính nhân ma trận với một số, cũng như các phép tính cộng và trừ.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ right)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Hãy nhân các ma trận ở vế phải của đẳng thức với các số tương ứng (tức là với 2, 3 và 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ bắt đầu(mảng) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(mảng) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(mảng) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(mảng) \right) $$

Hãy thực hiện các bước cuối cùng: phép trừ và phép cộng:

$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (mảng) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(mảng) \right). $$

Vấn đề đã được giải quyết, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Trả lời: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

Ví dụ số 6

Đặt $f(x)=2x^2+3x-9$ và ma trận $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Tìm giá trị của $f(A)$.

Nếu $f(x)=2x^2+3x-9$ thì $f(A)$ được hiểu là ma trận:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Đây là cách xác định đa thức từ ma trận. Vì vậy, chúng ta cần thay ma trận $A$ vào biểu thức của $f(A)$ và nhận được kết quả. Vì tất cả các hành động đã được thảo luận chi tiết trước đó nên ở đây tôi sẽ chỉ đưa ra giải pháp. Nếu bạn chưa hiểu rõ quá trình thực hiện thao tác $A^2=A\cdot A$ thì tôi khuyên bạn nên xem mô tả về phép nhân ma trận trong phần đầu tiên của chủ đề này.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(mảng) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(mảng) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

Trả lời: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

Vào tháng 7 năm 2020, NASA triển khai chuyến thám hiểm tới Sao Hỏa. Tàu vũ trụ sẽ chuyển tới Sao Hỏa một phương tiện điện tử có tên của tất cả những người tham gia chuyến thám hiểm đã đăng ký.

Nếu bài đăng này giải quyết được vấn đề của bạn hoặc bạn chỉ thích nó, hãy chia sẻ liên kết tới nó với bạn bè trên mạng xã hội.

Một trong các tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và/hoặc ngay sau thẻ. Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản MathJax mới nhất. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn chèn mã thứ hai, các trang sẽ tải chậm hơn nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật MathJax.

Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, thêm tiện ích được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải xuống được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích đó gần hơn vào đầu mẫu (nhân tiện, điều này hoàn toàn không cần thiết vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Đó là tất cả. Bây giờ hãy tìm hiểu cú pháp đánh dấu của MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng chèn các công thức toán học vào các trang web trên trang web của mình.

Lại một đêm giao thừa nữa... thời tiết băng giá và những bông tuyết trên kính cửa sổ... Tất cả những điều này thôi thúc tôi viết lại về... fractal, và những gì Wolfram Alpha biết về nó. Có một bài viết thú vị về chủ đề này, trong đó có các ví dụ về cấu trúc fractal hai chiều. Ở đây chúng ta sẽ xem xét các ví dụ phức tạp hơn về fractal ba chiều.

Fractal có thể được biểu diễn (mô tả) một cách trực quan dưới dạng hình hình học hoặc vật thể (có nghĩa là cả hai đều là một tập hợp, trong trường hợp này là một tập hợp các điểm), các chi tiết của chúng có hình dạng giống như hình ban đầu. Tức là đây là một cấu trúc tự tương tự, kiểm tra các chi tiết khi phóng to chúng ta sẽ thấy hình dạng giống như khi không phóng đại. Trong khi đó, trong trường hợp một hình hình học thông thường (không phải fractal), khi phóng đại chúng ta sẽ thấy các chi tiết có hình dạng đơn giản hơn chính hình ban đầu. Ví dụ: ở độ phóng đại đủ cao, một phần của hình elip trông giống như một đoạn thẳng. Điều này không xảy ra với fractal: với bất kỳ sự gia tăng nào của chúng, chúng ta sẽ lại thấy cùng một hình dạng phức tạp, hình dạng này sẽ được lặp đi lặp lại sau mỗi lần tăng.

Benoit Mandelbrot, người sáng lập ngành khoa học fractal, đã viết trong bài báo Fractals và Art in the Name of Science: “Fractal là những hình dạng hình học có độ phức tạp về chi tiết cũng như ở dạng tổng thể của chúng. sẽ được phóng to theo kích thước của tổng thể, nó sẽ xuất hiện như một tổng thể, chính xác hoặc có thể có một chút biến dạng."

Đại số tuyến tính cho người giả

Để nghiên cứu đại số tuyến tính, bạn có thể đọc và nghiên cứu kỹ cuốn sách “Ma trận và các định thức” của I. V. Belousov. Tuy nhiên, nó được viết bằng ngôn ngữ toán học chặt chẽ và khô khan, rất khó để những người có trí thông minh trung bình có thể lĩnh hội được. Vì vậy, tôi đã kể lại những phần khó hiểu nhất của cuốn sách này, cố gắng trình bày tài liệu rõ ràng nhất có thể, sử dụng hình vẽ nhiều nhất có thể. Tôi đã bỏ qua việc chứng minh các định lý. Thành thật mà nói, tôi đã không tự mình đi sâu vào chúng. Tôi tin ông Belousov! Đánh giá qua công việc của mình, anh ấy là một nhà toán học có năng lực và thông minh. Bạn có thể tải xuống cuốn sách của anh ấy tại http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Nếu bạn định tìm hiểu sâu hơn về công việc của tôi, bạn cần phải làm điều này, vì tôi sẽ thường nhắc đến Belousov.

Hãy bắt đầu với các định nghĩa. Ma trận là gì? Đây là một bảng hình chữ nhật gồm các số, hàm số hoặc biểu thức đại số. Tại sao cần có ma trận? Chúng hỗ trợ rất nhiều cho các phép tính toán học phức tạp. Ma trận có thể có hàng và cột (Hình 1).

Hàng và cột được đánh số bắt đầu từ bên trái

từ trên cao (Hình 1-1). Khi họ nói: một ma trận có kích thước m n (hoặc m nhân n), họ có nghĩa là m là số hàng và n là số cột. Ví dụ, ma trận trong Hình 1-1 là 4 x 3 chứ không phải 3 x 4.

Nhìn vào hình. 1-3, có những ma trận nào? Nếu ma trận gồm một hàng thì gọi là ma trận hàng, nếu ma trận gồm một cột thì gọi là ma trận cột. Một ma trận được gọi là bình phương bậc n nếu số hàng bằng số cột và bằng n. Nếu tất cả các phần tử của ma trận đều bằng 0 thì đó là ma trận 0. Một ma trận vuông được gọi là ma trận đường chéo nếu tất cả các phần tử của nó bằng 0, ngoại trừ những phần tử nằm trên đường chéo chính.

Tôi sẽ giải thích ngay đường chéo chính là gì. Số hàng và số cột trên đó giống nhau. Nó đi từ trái sang phải từ trên xuống dưới. (Hình 3) Các phần tử được gọi là đường chéo nếu chúng nằm trên đường chéo chính. Nếu tất cả các phần tử trên đường chéo bằng một (và các phần tử còn lại bằng 0) thì ma trận được gọi là danh tính. Hai ma trận A và B có cùng kích thước được gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử của chúng đều giống nhau.

2 Các phép toán trên ma trận và tính chất của chúng

Tích của một ma trận và số x là ma trận có cùng kích thước. Để có được sản phẩm này, bạn cần nhân từng phần tử với số này (Hình 4). Để có tổng của hai ma trận có cùng kích thước, bạn cần cộng các phần tử tương ứng của chúng (Hình 4). Để có hiệu A - B của hai ma trận cùng cỡ, bạn cần nhân ma trận B với -1 rồi cộng ma trận kết quả với ma trận A (Hình 4). Đối với các phép toán trên ma trận, các thuộc tính sau là hợp lệ: A+B=B+A (thuộc tính giao hoán).

(A + B)+C = A+(B + C) (tính chất kết hợp). Nói một cách đơn giản, việc thay đổi vị trí của các số hạng không làm thay đổi tổng. Các thuộc tính sau đây áp dụng cho các phép toán trên ma trận và số:

(ký hiệu các số bằng chữ x và y, và ma trận bằng chữ A và B) x(yA)=(xy)A

Các thuộc tính này tương tự như các thuộc tính áp dụng cho các phép tính trên số. Nhìn

các ví dụ trong Hình 5. Xem thêm các ví dụ 2.4 - 2.6 của Belousov ở trang 9.

Phép nhân ma trận.

Phép nhân hai ma trận chỉ được xác định nếu (dịch sang tiếng Nga: ma trận chỉ có thể được nhân nếu) khi số cột của ma trận đầu tiên trong tích bằng số hàng của ma trận thứ hai (Hình 7 ở trên, dấu ngoặc màu xanh). Để giúp bạn ghi nhớ: số 1 giống một cột hơn. Kết quả của phép nhân là một ma trận có kích thước (xem Hình 6). Để dễ nhớ cái cần nhân với cái gì, tôi đề xuất thuật toán sau: xem Hình 7. Nhân ma trận A với ma trận B.

ma trận A hai cột,

Ma trận B có hai hàng - bạn có thể nhân lên.

1) Hãy xử lý cột đầu tiên của ma trận B (đó là cột duy nhất mà nó có). Chúng ta viết cột này thành một dòng (chuyển vị

cột về chuyển vị bên dưới).

2) Sao chép dòng này để chúng ta có được ma trận có kích thước bằng ma trận A.

3) Nhân các phần tử của ma trận này với các phần tử tương ứng của ma trận A.

4) Chúng ta cộng các tích thu được vào mỗi hàng và nhận được ma trận tích gồm hai hàng và một cột.

Hình 7-1 trình bày các ví dụ về nhân ma trận có kích thước lớn hơn.

1) Ở đây ma trận đầu tiên có ba cột, nghĩa là ma trận thứ hai phải có ba hàng. Thuật toán hoàn toàn giống như trong ví dụ trước, chỉ có điều ở đây có ba thuật ngữ trên mỗi dòng chứ không phải hai.

2) Ở đây ma trận thứ hai có hai cột. Đầu tiên, chúng tôi thực hiện thuật toán với cột đầu tiên, sau đó với cột thứ hai và chúng tôi nhận được ma trận “hai nhân hai”.

3) Ở đây cột của ma trận thứ hai gồm có một phần tử; cột sẽ không thay đổi do chuyển vị. Và không cần thêm bất cứ thứ gì vì ma trận đầu tiên chỉ có một cột. Chúng tôi thực hiện thuật toán ba lần và nhận được ma trận ba nhân ba.

Các thuộc tính sau đây xảy ra:

1. Nếu tổng B + C và tích AB tồn tại thì A(B + C) = AB + AC

2. Nếu tích AB tồn tại thì x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Nếu tích AB và BC tồn tại thì A(BC) = (AB)C.

Nếu tích ma trận AB tồn tại thì tích ma trận BA có thể không tồn tại. Ngay cả khi tích AB và BA tồn tại thì chúng vẫn có thể là các ma trận có kích thước khác nhau.

Cả hai tích AB và BA đều tồn tại và là ma trận có cùng kích thước chỉ trong trường hợp ma trận vuông A và B cùng cấp. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp này, AB có thể không bằng BA.

lũy thừa

Nâng ma trận lên lũy thừa chỉ có ý nghĩa đối với ma trận vuông (nghĩ tại sao?). Khi đó lũy thừa nguyên dương m của ma trận A là tích của m ma trận bằng A. Tương tự như đối với số. Bằng 0 độ của ma trận vuông A, chúng tôi muốn nói đến ma trận đơn vị có cùng bậc với A. Nếu bạn quên ma trận đơn vị là gì, hãy xem Hình 2. 3.

Cũng giống như với các con số, các mối quan hệ sau đây có giá trị:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Xem ví dụ từ Belousov ở trang 20.

Ma trận hoán vị

Chuyển vị là phép biến đổi ma trận A thành ma trận AT,

trong đó các hàng của ma trận A được ghi vào cột AT mà vẫn giữ nguyên trật tự. (Hình 8). Bạn có thể nói theo cách khác:

Các cột của ma trận A được viết vào các hàng của ma trận AT, giữ nguyên thứ tự. Lưu ý cách chuyển vị thay đổi kích thước của ma trận, tức là số hàng và số cột. Cũng lưu ý rằng các phần tử ở hàng đầu tiên, cột đầu tiên và hàng cuối cùng, cột cuối cùng vẫn giữ nguyên.

Các thuộc tính sau đây có giá trị: (AT )T =A (chuyển vị

ma trận hai lần - bạn nhận được cùng một ma trận)

(xA)T =xAT (theo x, chúng tôi có nghĩa là một số, tất nhiên là A, một ma trận) (nếu bạn cần nhân một ma trận với một số và hoán vị, trước tiên bạn có thể nhân, sau đó hoán vị hoặc ngược lại )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT TẠI

Ma trận đối xứng và phản đối xứng

Hình 9, trên cùng bên trái, hiển thị một ma trận đối xứng. Các phần tử của nó, đối xứng với đường chéo chính, bằng nhau. Và bây giờ là định nghĩa: Ma trận vuông

A được gọi là đối xứng nếu AT = A. Nghĩa là, ma trận đối xứng không thay đổi khi hoán vị. Đặc biệt, bất kỳ ma trận đường chéo nào cũng có tính đối xứng. (Ma trận như vậy được hiển thị trong Hình 2).

Bây giờ hãy nhìn vào ma trận phản đối xứng (Hình 9 bên dưới). Nó khác với đối xứng như thế nào? Lưu ý rằng tất cả các phần tử đường chéo của nó đều bằng 0. Ma trận phản đối xứng có tất cả các phần tử đường chéo bằng 0. Hãy suy nghĩ tại sao? Định nghĩa: Ma trận vuông A được gọi là

phản đối xứng nếu AT = -A. Hãy nêu một số tính chất của phép toán đối xứng và phản đối xứng

ma trận. 1. Nếu A và B là ma trận đối xứng (phản đối xứng) thì A + B là ma trận đối xứng (phản đối xứng).

2.Nếu A là ma trận đối xứng (phản đối xứng) thì xA cũng là ma trận đối xứng (phản đối xứng). (trên thực tế, nếu bạn nhân các ma trận trong Hình 9 với một số nào đó, tính đối xứng sẽ vẫn được giữ nguyên)

3. Tích AB của hai ma trận đối xứng hoặc hai ma trận phản đối xứng A và B là ma trận đối xứng với AB = BA và phản đối xứng với AB = -BA.

4. Nếu A là ma trận đối xứng thì A m (m = 1, 2, 3, ...) là ma trận đối xứng. Nếu một

Một ma trận phản đối xứng thì Am (m = 1, 2, 3, ...) là ma trận đối xứng với m chẵn và phản đối xứng với lẻ.

5. Một ma trận vuông A tùy ý có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai ma trận. (hãy gọi các ma trận này, ví dụ A(s) và A(a) )

A=A(s)+A(a)