Thực đơn
trang chủTập tin và thư mục

Định thức ma trận thứ yếu. Phần bù đại số và phần phụ. Các loại phần phụ và phần bù đại số

Hãy để ma trận làm nổi bật
bất kỳ k hàng và k cột, k và k. Các phần tử nằm ở giao điểm của các hàng và cột này tạo thành ma trận vuông A¢ có bậc k ( ma trận con ma trận A).
Định thức của nó được gọi là định thức thứ k của ma trận A cho trước. Rõ ràng, trong trường hợp tổng quát có thể có một số định thức thứ k của ma trận A. Trong trường hợp này, bậc tối đa của các số trẻ bằng giá trị nhỏ nhất của các số m và n, tức là. . Từ tất cả các phần tử nhỏ có thể có của ma trận A, chúng ta chọn những phần tử khác 0. Đổi lại, trong số những trẻ vị thành niên này, người ta có thể tìm thấy ít nhất một trẻ vị thành niên có thứ tự cao nhất.

Sự định nghĩa. Bậc cao nhất của số thứ khác 0 được gọi là hạng của ma trận.

Sự định nghĩa. Một phần nhỏ khác 0 của ma trận có cấp bằng với hạng của ma trận được gọi là phần cơ sở của ma trận này.

Hàng và cột tại giao nhau có phần cơ sở được gọi là nền tảng.

Nói chung, một ma trận có thể có nhiều ma trận cơ sở.

Định lý chính sau đây, mà chúng tôi trình bày mà không cần chứng minh, đóng một vai trò quan trọng.

Định lý 3.6.(về tiểu cơ bản). Các hàng cơ sở (cột cơ sở) của ma trận độc lập tuyến tính. Bất kỳ hàng (cột bất kỳ) nào của ma trận A đều là tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ bản (cột cơ bản).

Vì vậy, nếu hạng của ma trận A là r, thì ma trận này phải có phần tử phụ r thứ tự, khác 0, và tất cả các thứ cấp có thứ tự lớn hơn r, đều bằng không.

Trước đây, thứ hạng của ma trận được định nghĩa là số lượng lớn nhất các hàng vectơ độc lập tuyến tính (cột). Trong một khóa học đại số, người ta đã chứng minh rằng hai định nghĩa này là tương đương nhau. Điều này giúp tính được hạng của ma trận và do đó có thể tính được hạng của hệ vectơ.

Ví dụ. Tìm tất cả các cơ số thứ của ma trận

A= .

○ Bất kỳ thứ nào của ma trận bậc ba A đều bằng 0, vì nó chứa một hàng bằng 0. Chúng ta sẽ tìm được các số hạng bậc hai khác 0.

, , , , .

Trong số các phần tử bậc hai có những phần tử khác 0, nghĩa là hạng của ma trận A là 2 và các phần tử cơ sở là . ●

Định lý 3.7.Để định thức bậc n bằng 0, điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

□ 1) Giả sử định thức của ma trận vuông cấp A N bằng không. Khi đó cấp tối đa của các số bé khác 0 phải nhỏ hơn N; do đó, hạng của ma trận A nhỏ hơn N. Điều này có nghĩa là hệ thống tất cả các hàng của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

2) Nếu các đường thẳng A 1, A 2,…, A m của định thức phụ thuộc tuyến tính,
thì theo tính chất phụ thuộc tuyến tính 6° một đường thẳng A Tôi là tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại của định thức, tức là


Thêm vào dòng A Tôi Sự kết hợp tuyến tính này, nhân với (–1), sẽ tạo ra một dòng bao gồm toàn số 0 và dựa trên tính chất 7° của định thức, giá trị của định thức sẽ không thay đổi. Nhưng khi đó, theo tính chất 2°, định thức bằng 0. ■


Ví dụ. Chứng minh rằng vectơ Một 1 =(2;–1;3), Một 2 =(–1;1;0), Một 3 =(1;1;6) là đồng phẳng.

○ Ba vectơ ba chiều khác 0 là đồng phẳng nếu chúng phụ thuộc tuyến tính. Hãy soạn một định thức từ tọa độ của các vectơ này

Vì định thức bằng 0 nên các hàng của nó phụ thuộc tuyến tính, có nghĩa là các vectơ phụ thuộc tuyến tính Một 1 =(2;–1;3), Một 2 =(–1;1;0), Một 3 =(1;1;6), do đó chúng đồng phẳng. ●

Sự định nghĩa. Xếp hạng ma trận là số hàng độc lập tuyến tính tối đa được coi là vectơ.

Định lý 1 về hạng của ma trận. Xếp hạng ma trậnđược gọi là cấp tối đa của một phần tử khác 0 của ma trận.

Chúng ta đã thảo luận về khái niệm thứ yếu trong bài về định thức và bây giờ chúng ta sẽ khái quát hóa nó. Chúng ta hãy lấy một số hàng và một số cột nhất định trong ma trận, và số “bao nhiêu” này phải nhỏ hơn số hàng và cột của ma trận, còn đối với các hàng và cột thì số “bao nhiêu” này phải là số tương tự. Khi đó tại giao điểm bao nhiêu hàng và bao nhiêu cột sẽ có một ma trận cấp thấp hơn ma trận ban đầu của chúng ta. Định thức là một ma trận và sẽ là số thứ k nếu “một số” (số hàng và cột) được đề cập được ký hiệu là k.

Sự định nghĩa. Người vị thành niên ( r+1)thứ tự, trong đó trẻ vị thành niên được chọn nằm trong đó r-thứ tự được gọi là giáp cho một trẻ vị thành niên nhất định.

Hai phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là tìm hạng của ma trận. Cái này cách tiếp cận trẻ vị thành niên Và phương pháp biến đổi cơ bản(phương pháp Gauss).

Khi sử dụng phương pháp giáp thứ, định lý sau được sử dụng.

Định lý 2 về hạng của ma trận. Nếu một phần nhỏ có thể được tạo thành từ các phần tử ma trận r bậc thứ không bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r.

Khi sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, thuộc tính sau được sử dụng:

Nếu thông qua các phép biến đổi cơ bản thu được ma trận hình thang tương đương với ma trận ban đầu thì thứ hạng của ma trận này là số dòng trong đó không phải là số dòng chứa toàn số 0.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ

Một trẻ vị thành niên kèm theo là một trẻ vị thành niên có cấp độ cao hơn so với trẻ vị thành niên đã cho nếu trẻ thứ cấp cao hơn này chứa trẻ vị thành niên đã cho.

Ví dụ, cho ma trận

Chúng ta hãy lấy một trẻ vị thành niên

Các trẻ vị thành niên giáp ranh sẽ là:

Thuật toán tìm hạng của ma trận Kế tiếp.

1. Tìm số thứ cấp bậc hai không bằng 0. Nếu tất cả các số hạng bậc hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận sẽ bằng một ( r =1 ).

2. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên cấp hai không bằng 0 thì ta gộp các trẻ vị thành niên giáp cấp ba. Nếu tất cả các phần tử giáp của bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng hai ( r =2 ).

3. Nếu ít nhất một trong các trẻ vị thành niên giáp bậc ba không bằng 0 thì ta gộp các trẻ vị thành niên giáp. Nếu tất cả các phần tử giáp của bậc thứ tư đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng ba ( r =2 ).

4. Tiếp tục theo cách này miễn là kích thước ma trận cho phép.

Ví dụ 1. Tìm hạng của ma trận

.

Giải pháp. Thứ tự thứ hai .

Hãy biên giới nó. Sẽ có bốn trẻ vị thành niên giáp ranh:

,

,

Do đó, tất cả các số phụ giáp của bậc ba đều bằng 0, do đó hạng của ma trận này bằng hai ( r =2 ).

Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Hạng của ma trận này bằng 1, vì tất cả các phân số bậc hai của ma trận này đều bằng 0 (trong trường hợp này, cũng như các trường hợp phân số cận kề trong hai ví dụ sau, mời các em học sinh xác minh cho bản thân chúng, có lẽ sử dụng các quy tắc để tính các định thức), và trong số các phần tử bậc nhất, tức là trong số các phần tử của ma trận, có những phần tử khác 0.

Ví dụ 3. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Cấp thứ hai của ma trận này là , và tất cả các cấp thứ ba của ma trận này đều bằng 0. Vì vậy, hạng của ma trận này là hai.

Ví dụ 4. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Thứ hạng của ma trận này là 3, vì phần thứ ba duy nhất của ma trận này là 3.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản (phương pháp Gauss)

Ngay trong ví dụ 1, rõ ràng là nhiệm vụ xác định thứ hạng của ma trận bằng phương pháp giáp số phụ đòi hỏi phải tính toán một số lượng lớn các định thức. Tuy nhiên, có một cách để giảm số lượng tính toán xuống mức tối thiểu. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản và còn được gọi là phương pháp Gauss.

Các phép toán sau đây được hiểu là các phép biến đổi ma trận cơ bản:

1) nhân bất kỳ hàng hoặc cột nào của ma trận với một số khác 0;

2) thêm vào các phần tử của hàng hoặc cột bất kỳ của ma trận các phần tử tương ứng của hàng hoặc cột khác, nhân với cùng một số;

3) hoán đổi hai hàng hoặc cột của ma trận;

4) loại bỏ các hàng "null", nghĩa là những hàng có phần tử bằng 0;

5) xóa tất cả các dòng tỷ lệ ngoại trừ một dòng.

Định lý. Trong quá trình biến đổi cơ bản, hạng của ma trận không thay đổi. Nói cách khác, nếu chúng ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản từ ma trận MỘTđã đi đến ma trận B, Cái đó .

Định thức ma trận thường được sử dụng trong giải tích, đại số tuyến tính và hình học giải tích. Bên ngoài thế giới học thuật, định thức ma trận luôn luôn cần thiết đối với các kỹ sư và lập trình viên, đặc biệt là những người làm việc với đồ họa máy tính. Nếu bạn đã biết cách tìm định thức của ma trận 2x2 thì công cụ duy nhất bạn cần để tìm định thức của ma trận 3x3 là phép cộng, phép trừ và phép nhân.

bước

Tìm định thức

    Viết ma trận 3 x 3. Chúng ta hãy viết ra một ma trận có kích thước 3 x 3, ký hiệu là M, và tìm định thức |M| của nó. Sau đây là ký hiệu ma trận chung mà chúng tôi sẽ sử dụng và ma trận cho ví dụ của chúng tôi:

    • M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

  1. Chọn một hàng hoặc cột của ma trận. Hàng (hoặc cột) này sẽ là tham chiếu. Kết quả sẽ giống nhau cho dù bạn chọn hàng hay cột nào. Đối với ví dụ này, hãy lấy dòng đầu tiên. Sau này bạn sẽ tìm thấy một số mẹo về cách chọn hàng hoặc cột để thực hiện các phép tính dễ dàng hơn.

    • Hãy chọn hàng đầu tiên của ma trận M trong ví dụ của chúng tôi. Khoanh tròn các số 1 5 3. Ở dạng tổng quát, khoanh tròn a 11 a 12 a 13 .

  2. Gạch bỏ hàng hoặc cột với mục đầu tiên. Tham khảo hàng tham chiếu (hoặc cột tham chiếu) và chọn phần tử đầu tiên. Vẽ một đường ngang và dọc thông qua phần tử này, do đó gạch bỏ cột và hàng có phần tử này. Sẽ còn lại bốn số. Chúng ta sẽ coi những phần tử này là một ma trận 2 x 2 mới.

    • Trong ví dụ của chúng tôi, hàng tham chiếu sẽ là 1 5 3. Phần tử đầu tiên nằm ở giao điểm của cột đầu tiên và hàng đầu tiên. Gạch bỏ hàng và cột có phần tử này, tức là dòng đầu tiên và cột đầu tiên. Viết các phần tử còn lại dưới dạng ma trận 2 x 2:
    • 1 5 3
    • 2 4 7
    • 4 6 2

  3. Tìm định thức của ma trận 2 x 2. Hãy nhớ rằng định thức của ma trận (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\\c&d\end(pmatrix))) tính như ad-bc. Từ đó, bạn có thể tính định thức của ma trận 2 x 2 thu được, mà bạn có thể ký hiệu là X nếu muốn. Nhân hai số của ma trận X, nối theo đường chéo từ trái sang phải (nghĩa là như thế này: \) . Sau đó trừ kết quả của phép nhân chéo hai số còn lại từ phải sang trái (tức là như thế này: /). Hãy sử dụng công thức này để tính định thức của ma trận bạn vừa thu được.

    Nhân câu trả lời thu được với phần tử ma trận đã chọn M. Hãy nhớ phần tử nào từ hàng (hoặc cột) tham chiếu mà chúng ta đã sử dụng khi gạch bỏ các phần tử khác trong hàng và cột để có ma trận mới. Nhân phần tử này với phần tử thu được (định thức của ma trận 2x2, mà chúng ta ký hiệu là X).

    • Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi đã chọn phần tử a 11, bằng 1. Nhân nó với -34 (định thức của ma trận 2x2) và chúng tôi nhận được 1*-34 = -34 .

  4. Xác định dấu của kết quả thu được. Tiếp theo, bạn sẽ cần nhân kết quả với 1 hoặc -1 để có được phần bù đại số (đồng yếu tố) phần tử đã chọn. Dấu của cofactor sẽ phụ thuộc vào vị trí của phần tử trong ma trận 3x3. Hãy nhớ sơ đồ ký hiệu đơn giản này để biết dấu hiệu của đồng yếu tố:

  5. Lặp lại tất cả các bước trên với phần tử thứ hai của hàng (hoặc cột) tham chiếu. Quay trở lại ma trận 3x3 ban đầu và hàng chúng ta đã khoanh tròn ở đầu phép tính. Lặp lại tất cả các hành động với phần tử này:

    • Gạch bỏ hàng và cột có phần tử này. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi phải chọn phần tử a 12 (bằng 5). Gạch bỏ hàng đầu tiên (1 5 3) và cột thứ hai (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix))) ma trận.
    • Viết các phần tử còn lại dưới dạng ma trận 2x2. Trong ví dụ của chúng tôi, ma trận sẽ trông giống như (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\\4&2\end(pmatrix)))
    • Tìm định thức của ma trận 2x2 mới này. Sử dụng công thức ad - bc ở trên. (2*2 - 7*4 = -24)
    • Nhân định thức thu được với phần tử đã chọn của ma trận 3x3. -24 * 5 = -120
    • Kiểm tra xem bạn có cần nhân kết quả với -1 không. Hãy sử dụng công thức (-1) ij để xác định dấu của phần bù đại số. Đối với phần tử a 12 mà chúng tôi đã chọn, dấu “-” được biểu thị trong bảng; công thức cho kết quả tương tự. Tức là chúng ta phải đổi dấu: (-1)*(-120) = 120 .

  6. Lặp lại với phần tử thứ ba. Tiếp theo, bạn sẽ cần tìm thêm một phần bù đại số nữa. Tính toán nó cho phần tử cuối cùng của hàng tham chiếu hoặc cột tham chiếu. Sau đây là mô tả ngắn gọn về cách tính phần bù đại số của 13 trong ví dụ của chúng tôi:

    • Gạch bỏ hàng đầu tiên và cột thứ ba để có được ma trận (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix)))
    • Định thức của nó là 2*6 - 4*4 = -4.
    • Nhân kết quả với phần tử a 13: -4 * 3 = -12.
    • Phần tử a 13 có dấu + ở bảng trên nên đáp án sẽ là -12 .

  7. Cộng các kết quả lại.Đây là bước cuối cùng. Bạn cần thêm phần bù đại số thu được của các phần tử của hàng tham chiếu (hoặc cột tham chiếu). Cộng chúng lại với nhau và bạn sẽ nhận được giá trị của định thức của ma trận 3x3.

    • Trong ví dụ của chúng tôi, định thức bằng -34 + 120 + -12 = 74 .

    Làm thế nào để đơn giản hóa nhiệm vụ

    1. Chọn hàng (hoặc cột) tham chiếu có nhiều số 0 hơn. Hãy nhớ rằng bạn có thể chọn làm tài liệu tham khảo bất kì hàng hoặc cột. Việc lựa chọn hàng hoặc cột tham chiếu không ảnh hưởng đến kết quả. Nếu bạn chọn hàng có nhiều số 0 nhất, bạn sẽ phải thực hiện ít phép tính hơn vì bạn sẽ chỉ cần tính phần bù đại số cho các phần tử khác 0. Đó là lý do tại sao:

      • Giả sử bạn đã chọn hàng 2 có các phần tử a 21 , a 22 và a 23 . Để tìm định thức, bạn sẽ cần tìm định thức của ba ma trận 2x2 khác nhau. Hãy gọi chúng là A 21, A 22 và A 23.
      • Nghĩa là định thức của ma trận 3x3 bằng 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |.
      • Nếu cả 22 và 23 đều bằng 0 thì công thức của chúng ta sẽ ngắn hơn nhiều 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 |. Nghĩa là, chỉ cần tính phần bù đại số của một phần tử.

    2. Sử dụng phép cộng hàng để đơn giản hóa ma trận. Nếu bạn lấy một hàng và thêm một hàng khác vào đó thì định thức của ma trận sẽ không thay đổi. Điều này cũng đúng với các cột. Bạn có thể thực hiện việc này nhiều lần hoặc có thể nhân các giá trị chuỗi với một hằng số (trước khi cộng) để nhận được nhiều số 0 nhất có thể. Làm điều này có thể tiết kiệm rất nhiều thời gian.

      • Ví dụ: chúng ta có một ma trận gồm ba hàng: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))
      • Để loại bỏ số 9 thay cho phần tử a 11 , chúng ta có thể nhân dòng thứ hai với -3 và cộng kết quả vào dòng đầu tiên. Dòng đầu tiên mới sẽ là + [-9 -3 0] = .
      • Tức là ta được một ma trận mới (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix))) Hãy thử làm tương tự với các cột để lấy số 0 thay cho phần tử a 12.

    3. Hãy nhớ rằng việc tính định thức của ma trận tam giác dễ dàng hơn nhiều.Định thức của ma trận tam giác được tính bằng tích các phần tử trên đường chéo chính, từ 11 ở góc trên bên trái đến 33 ở góc dưới bên phải. Trong trường hợp này chúng ta đang nói về ma trận tam giác có kích thước 3x3. Ma trận tam giác có thể có các loại sau, tùy thuộc vào vị trí khác không giá trị:

      • Ma trận tam giác trên: Tất cả các phần tử khác 0 đều nằm trên và trên đường chéo chính. Tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính đều bằng 0.
      • Ma trận tam giác dưới: Tất cả các phần tử khác 0 đều nằm bên dưới và trên đường chéo chính.
      • Ma trận đường chéo: Tất cả các phần tử khác 0 đều nằm trên đường chéo chính. Đây là trường hợp đặc biệt của ma trận được mô tả ở trên.
      • Phương pháp được mô tả áp dụng cho ma trận vuông ở cấp bất kỳ. Ví dụ: nếu bạn sử dụng nó cho ma trận 4x4, thì sau khi “gạch bỏ” sẽ còn lại các ma trận 3x3, định thức sẽ được tính theo cách trên. Hãy chuẩn bị cho thực tế rằng việc tính toán định thức cho các ma trận có kích thước như vậy theo cách thủ công là một công việc tốn rất nhiều công sức!
      • Nếu tất cả các phần tử của một hàng hoặc cột đều bằng 0 thì định thức của ma trận cũng bằng 0.

Ma trận trẻ vị thành niên

Cho một hình vuông ma trận A, thứ tự thứ n. Người vị thành niên một số phần tử a ij , định thức của ma trận thứ tự thứ n được gọi bản ngã(n - 1)thứ tự, thu được từ thứ tự ban đầu bằng cách gạch bỏ hàng và cột tại giao điểm của phần tử được chọn a ij. Ký hiệu là M ij.

Hãy xem một ví dụ định thức của ma trận 3 - thứ tự của nó:

Khi đó theo định nghĩa người vị thành niên, người vị thành niên M 12 tương ứng với phần tử a 12 sẽ là bản ngã:

Đồng thời, với sự giúp đỡ trẻ vị thành niên có thể làm cho công việc tính toán dễ dàng hơn định thức của ma trận. Chúng ta cần phổ biến nó ra định thức ma trận dọc theo một số dòng và sau đó bản ngã sẽ bằng tổng của tất cả các phần tử của dòng này bởi phần tử phụ của chúng. Sự phân hủy định thức của ma trận 3 - thứ tự của nó sẽ như thế này:

Dấu ở phía trước tích là (-1) n, trong đó n = i + j.

Bổ sung đại số:

Phần bù đại số phần tử a ij được gọi là của nó người vị thành niên, được lấy bằng dấu "+" nếu tổng (i + j) là số chẵn và bằng dấu "-" nếu tổng này là số lẻ. Ký hiệu là A ij. A ij = (-1) i+j × M ij.

Khi đó chúng ta có thể biểu diễn lại tính chất đã nêu ở trên. Định thức ma trận bằng tổng tích các phần tử của một hàng (hàng hoặc cột) nhất định ma trận tương ứng với chúng phép cộng đại số. Ví dụ:

4. Ma trận nghịch đảo và cách tính nó.

Cho A vuông ma trận thứ tự thứ n.

Quảng trường ma trận A được gọi là không suy biến nếu định thức ma trận(Δ = det A) không bằng 0 (Δ = det A ≠ 0). Ngược lại (Δ = 0) ma trận A được gọi là thoái hóa.

Ma trận, liên minh với ma trậnÀ, nó được gọi là ma trận

Ở đâu A ij - phần bù đại số phần tử a ij đã cho ma trận(nó được định nghĩa tương tự như phần bù đại số yếu tố định thức của ma trận).

Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo A, nếu điều kiện được đáp ứng: A × A -1 = A -1 × A = E, trong đó E là đơn vị ma trận thứ tự tương tự như ma trận MỘT. Ma trận A -1 có cùng kích thước với ma trận MỘT.

ma trận nghịch đảo

Nếu có hình vuông ma trận X và A, thỏa mãn điều kiện: X × A = A × X = E, trong đó E là đơn vị ma trận thì theo thứ tự tương tự ma trận X được gọi là ma trận nghịch đảo vào ma trận A và được ký hiệu là A -1. Bất kỳ không suy biến ma trận Nó có ma trận nghịch đảo và hơn nữa, chỉ có một, tức là để có một hình vuông ma trận A đã có ma trận nghịch đảo, điều đó là cần thiết và đủ để bản ngãđã khác với số không.

Để có được ma trận nghịch đảo sử dụng công thức:

Trường hợp M ji được bổ sung người vị thành niên yếu tố a ji ma trận MỘT.

5. Xếp hạng ma trận. Tính thứ hạng bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Xét ma trận chữ nhật mxn. Chúng ta hãy chọn một số k hàng và k cột trong ma trận này, 1 £ k £ min (m, n) . Từ các phần tử nằm ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn, chúng ta soạn định thức thứ k. Tất cả các định thức như vậy được gọi là ma trận thứ. Ví dụ: đối với một ma trận, bạn có thể soạn các phần phụ bậc hai và thứ tự thứ nhất 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Sự định nghĩa. Thứ hạng của ma trận là cấp cao nhất của phân số khác 0 của ma trận này. Ký hiệu hạng của ma trận r(A).

Trong ví dụ đã cho, thứ hạng của ma trận là hai, vì, ví dụ, thứ

Thật thuận tiện khi tính thứ hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Các phép biến đổi cơ bản bao gồm:

1) sắp xếp lại các hàng (cột);

2) nhân một hàng (cột) với một số khác 0;

3) thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác, trước đó được nhân với một số nhất định.

Các phép biến đổi này không làm thay đổi thứ hạng của ma trận, vì người ta biết rằng 1) khi các hàng được sắp xếp lại, định thức đổi dấu và nếu nó không bằng 0 thì nó sẽ không còn như vậy nữa; 2) khi nhân một chuỗi định thức với một số không bằng 0 thì định thức được nhân với số đó; 3) phép biến đổi cơ bản thứ ba không làm thay đổi định thức chút nào. Do đó, bằng cách thực hiện các phép biến đổi cơ bản trên một ma trận, người ta có thể thu được một ma trận mà dễ dàng tính được hạng của nó và do đó, của ma trận ban đầu.

Sự định nghĩa. Ma trận thu được từ ma trận sử dụng các phép biến đổi cơ bản được gọi là tương đương và được ký hiệu MỘT TRONG.

Định lý. Thứ hạng của ma trận không thay đổi trong quá trình biến đổi ma trận cơ bản.

Sử dụng các phép biến đổi cơ bản, bạn có thể giảm ma trận về dạng được gọi là dạng bước, khi việc tính thứ hạng của nó không khó.

Ma trận được gọi từng bước nếu nó có dạng:

Rõ ràng hạng của ma trận cấp bậc bằng số hàng khác 0 , bởi vì có cấp bậc thứ không bằng 0:

.

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét các khái niệm về phần bù đại số và phần phụ. Việc trình bày tài liệu dựa trên các thuật ngữ được giải thích trong chủ đề "Ma trận. Các loại ma trận. Thuật ngữ cơ bản". Chúng ta cũng sẽ cần một số công thức để tính định thức. Vì chủ đề này chứa rất nhiều thuật ngữ liên quan đến phần bù thứ và đại số nên tôi sẽ thêm một bản tóm tắt ngắn gọn để giúp bạn dễ dàng điều hướng tài liệu hơn.

$M_(ij)$ thứ của phần tử $a_(ij)$

$M_(ij)$ yếu tố$a_(ij)$ ma trận $A_(n\times n)$ đặt tên cho định thức của ma trận thu được từ ma trận $A$ bằng cách xóa hàng thứ i và cột thứ j (tức là hàng và cột tại giao điểm trong đó phần tử nằm ở vị trí $a_(ij)$).

Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc bốn: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$. Hãy tìm phần tử thứ của phần tử $a_(32)$, tức là hãy tìm $M_(32)$. Đầu tiên, hãy viết $M_(32)$ nhỏ rồi tính giá trị của nó. Để soạn $M_(32)$, chúng ta xóa hàng thứ ba và cột thứ hai khỏi ma trận $A$ (chính tại giao điểm của hàng thứ ba và cột thứ hai mà phần tử $a_(32)$ nằm ). Chúng ta sẽ thu được một ma trận mới, định thức của ma trận này là cần số $M_(32)$:

Phần nhỏ này dễ dàng tính toán bằng công thức số 2 từ chủ đề tính toán:

$$ M_(32)=\left| \begin(mảng) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(mảng) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Vì vậy, số thứ của phần tử $a_(32)$ là 579, tức là $M_(32)=579$.

Thông thường, thay vì cụm từ “phần tử ma trận thứ yếu” trong tài liệu, người ta lại tìm thấy “yếu tố thứ yếu xác định”. Bản chất vẫn giữ nguyên: để thu được phần tử thứ của phần tử $a_(ij)$, bạn cần gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j khỏi định thức ban đầu. Các phần tử còn lại được viết thành một định thức mới, là định thức thứ của phần tử $a_(ij)$. Ví dụ: hãy tìm phần tử thứ của phần tử $a_(12)$ của định thức $\left| \begin(mảng) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(mảng) \right|$. Để viết ra $M_(12)$ thứ cần thiết, chúng ta cần xóa hàng đầu tiên và cột thứ hai khỏi định thức đã cho:

Để tìm giá trị của phần này, chúng ta sử dụng công thức số 1 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba:

$$ M_(12)=\left| \begin(mảng) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(mảng) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Vì vậy, số thứ của phần tử $a_(12)$ là 83, tức là $M_(12)=83$.

Phần bù đại số $A_(ij)$ của phần tử $a_(ij)$

Cho một ma trận vuông $A_(n\times n)$ (tức là một ma trận vuông cấp n).

Phần bù đại số$A_(ij)$ yếu tố$a_(ij)$ của ma trận $A_(n\times n)$ được tìm thấy theo công thức sau: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

trong đó $M_(ij)$ là phần tử thứ của phần tử $a_(ij)$.

Chúng ta hãy tìm phần bù đại số của phần tử $a_(32)$ của ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, tức là hãy tìm $A_(32)$. Trước đây chúng tôi đã tìm thấy $M_(32)=579$ nhỏ, vì vậy chúng tôi sử dụng kết quả thu được:

Thông thường, khi tìm phần bù đại số, phần bù đại số không được tính riêng mà chỉ sau đó phần bù đó mới được tính. Ghi chú nhỏ bị bỏ qua. Ví dụ: hãy tìm $A_(12)$ nếu $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end ( mảng) \right)$. Theo công thức $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Tuy nhiên, để có được $M_(12)$ chỉ cần gạch bỏ hàng đầu tiên và cột thứ hai của ma trận $A$ là đủ, vậy tại sao lại đưa ra một ký hiệu bổ sung cho số thứ? Chúng ta hãy viết ngay biểu thức của phần bù đại số $A_(12)$:

Thứ thứ k của ma trận $A_(m\times n)$

Nếu ở hai đoạn trước chúng ta chỉ nói về ma trận vuông thì ở đây chúng ta cũng sẽ nói về ma trận hình chữ nhật, trong đó số hàng không nhất thiết phải bằng số cột. Vì vậy, hãy cho ma trận $A_(m\times n)$, tức là. một ma trận gồm m hàng và n cột.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận $A_(m\times n)$ là định thức có các phần tử nằm tại giao điểm của k hàng và k cột của ma trận $A$ (giả sử $k< m$ và $k< n$).

Ví dụ: hãy xem xét ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ và viết ra cái gì -hoặc thứ ba nhỏ. Để viết số thứ ba bậc ba, chúng ta cần chọn ba hàng và ba cột bất kỳ của ma trận này. Ví dụ: lấy các hàng được đánh số 2, 4, 6 và các cột được đánh số 1, 2, 4. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ đặt các phần tử của phần tử phụ được yêu cầu. Trong hình, các phần tử phụ được hiển thị bằng màu xanh lam:

Thứ tự thứ nhất được tìm thấy ở giao điểm của một hàng và một cột, tức là. cấp số thứ nhất bằng các phần tử của ma trận đã cho.

Bậc thứ k của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ được gọi chủ yếu, nếu trên đường chéo chính của một phần tử cho trước chỉ có các phần tử đường chéo chính của ma trận $A$.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng các phần tử đường chéo chính là các phần tử của ma trận có chỉ số bằng nhau: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$, v.v. Ví dụ: đối với ma trận $A$ được xem xét ở trên, các phần tử như vậy sẽ là $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8 đô la. Chúng được đánh dấu bằng màu hồng trong hình:

Ví dụ: nếu trong ma trận $A$, chúng ta gạch bỏ các hàng và cột được đánh số 1 và 3, thì tại giao điểm của chúng sẽ có các phần tử cấp hai, trên đường chéo chính sẽ chỉ có các phần tử đường chéo của ma trận $A$ (các phần tử $a_(11) =-1$ và $a_(33)=18$ của ma trận $A$). Do đó, chúng ta có được một thứ chính thứ hai:

Đương nhiên, chúng ta có thể lấy các hàng và cột khác, chẳng hạn như số 2 và 4, từ đó thu được một thứ chính khác của thứ tự thứ hai.

Giả sử một số $M$ thứ k của ma trận $A_(m\times n)$ không bằng 0, tức là. $M\neq 0$. Trong trường hợp này, tất cả các trẻ vị thành niên có thứ tự cao hơn k đều bằng 0. Khi đó $M$ nhỏ được gọi nền tảng, và các hàng và cột chứa các phần tử của phần tử cơ bản được gọi là chuỗi cơ sở Và cột cơ sở.

Ví dụ: hãy xem xét ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$. Chúng ta hãy viết số thứ của ma trận này, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của các hàng đánh số 1, 2, 3 và các cột đánh số 1, 3, 4. Ta được một số thứ ba:

Chúng ta hãy tìm giá trị của thứ này bằng công thức số 2 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba:

$$ M=\trái| \begin(mảng) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(mảng) \right|=4+3+6-2=11. $$

Vì vậy, $M=11\neq 0$. Bây giờ chúng ta hãy thử soạn bất kỳ trẻ vị thành niên nào có thứ tự cao hơn ba. Để tạo một thứ bậc bốn, chúng ta phải sử dụng hàng thứ tư, nhưng tất cả các phần tử của hàng này đều bằng 0. Do đó, bất kỳ trẻ vị thành niên bậc bốn nào cũng sẽ có một hàng bằng 0, có nghĩa là tất cả các trẻ vị thành niên bậc bốn đều bằng 0. Chúng ta không thể tạo cấp thứ năm trở lên vì ma trận $A$ chỉ có 4 hàng.

Chúng tôi đã tìm thấy cấp độ thứ ba không bằng 0. Trong trường hợp này, tất cả các số thứ cấp cao hơn đều bằng 0, do đó, số thứ mà chúng ta đang xem xét là cơ bản. Các hàng của ma trận $A$ nơi chứa các phần tử của phần tử thứ này (hàng thứ nhất, thứ hai và thứ ba) là các hàng cơ bản và các cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư của ma trận $A$ là các cột cơ bản.

Tất nhiên, ví dụ này không quan trọng vì mục đích của nó là thể hiện rõ ràng bản chất của thể thứ cơ bản. Nói chung, có thể có một số trẻ vị thành niên cơ bản và thông thường quá trình tìm kiếm trẻ vị thành niên như vậy phức tạp và sâu rộng hơn nhiều.

Hãy giới thiệu một khái niệm khác - giáp ranh.

Cho bậc thứ k $M$ của ma trận $A_(m\times n)$ nằm ở giao điểm của k hàng và k cột. Hãy thêm một hàng và cột khác vào tập hợp các hàng và cột này. Cấp thứ thứ (k+1) được gọi là cạnh nhỏ với giá $M$ nhỏ.

Ví dụ: chúng ta hãy nhìn vào ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (mảng) \right)$. Hãy viết một số thứ tự thứ hai, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của hàng số 2 và số 5, cũng như cột số 2 và số 4.

Hãy thêm một hàng số 1 khác vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $M$ phụ và cột số 5 vào tập hợp các cột. Chúng ta thu được một $M"$ thứ mới (đã thuộc bậc thứ ba), các phần tử của nó nằm ở giao điểm của các hàng số 1, số 2, số 5 và cột số 2, số 4, số 5. Các phần tử của $M$ thứ trong hình được đánh dấu bằng màu hồng và Các phần tử chúng ta thêm vào $M$ thứ có màu xanh lục:

$M"$ thứ là thứ tiếp giáp với $M$ thứ. Tương tự, thêm hàng số 4 vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $M$ thứ và cột số 3 vào tập hợp các các cột, chúng ta thu được $M""$ thứ (bậc thứ ba):

Âm thứ $M""$ cũng là âm thứ giáp với $M$ thứ.

Thứ thứ k của ma trận $A_(n\times n)$. Bổ sung trẻ vị thành niên. Phần bù đại số của ma trận vuông.

Hãy quay trở lại ma trận vuông một lần nữa. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một trẻ vị thành niên bổ sung.

Cho một số $M$ thứ k của ma trận $A_(n\times n)$. Định thức bậc (n-k), các phần tử của nó thu được từ ma trận $A$ sau khi xóa các hàng và cột chứa $M$ thứ, được gọi là định thức thứ, bổ sung cho thứ yếu$M$.

Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc năm: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Hãy chọn hàng số 1 và số 3, cũng như cột số 2 và số 5. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ có các phần tử $M$ thứ hai:

Bây giờ, hãy xóa khỏi ma trận $A$ hàng số 1, số 3 và cột số 2 và số 5, tại giao điểm của chúng có các phần tử của $M$ phụ (các hàng và cột bị loại bỏ được hiển thị trong màu đỏ trong hình dưới đây). Các phần tử còn lại tạo thành $M"$ thứ:

$M"$ thứ, có thứ tự là $5-2=3$, là thứ bổ sung cho $M$ thứ.

Phần bù đại số cho trẻ vị thành niên$M$ của ma trận vuông $A_(n\times n)$ được gọi là biểu thức $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, trong đó $\alpha$ là tổng của số hàng và số cột của ma trận $A$, trên đó chứa các phần tử của $M$ thứ, và $M"$ là phần phụ của $M$ thứ.

Cụm từ “phần bù đại số của $M$ thứ” thường được thay thế bằng cụm từ “phần bù đại số của $M$ thứ”.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận $A$, trong đó chúng ta đã tìm thấy ma trận cấp hai $ M=\left| \begin(mảng) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ và thứ thứ ba bổ sung của nó: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (mảng) \right|$ Hãy ký hiệu phần bù đại số của $M$ thứ là $M^*$ Khi đó, theo định nghĩa:

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Tham số $\alpha$ bằng tổng số hàng và số cột chứa $M$ phụ. Tiểu khu này nằm ở giao điểm của hàng số 1, số 3 và cột số 2, số 5. Do đó, $\alpha=1+3+2+5=11$. Vì thế:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.$$

Về nguyên tắc, sử dụng công thức số 2 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba, bạn có thể hoàn thành phép tính, thu được giá trị $M^*$:

$$ M^*=-\left| \begin(mảng) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(mảng) \right|=-30. $$