Thực đơn
trang chủChương trình

Ma trận bậc hai trực tuyến. Một số tính chất của phép toán trên ma trận.

Một số tính chất của phép toán trên ma trận.
Biểu thức ma trận

Và bây giờ sẽ tiếp tục chủ đề, trong đó chúng ta sẽ xem xét không chỉ tài liệu mới mà còn thực hiện các hành động với ma trận.

Một số tính chất của phép toán trên ma trận

Có khá nhiều tính chất liên quan đến các phép toán với ma trận, trong cùng một Wikipedia, bạn có thể chiêm ngưỡng thứ hạng có trật tự của các quy tắc tương ứng. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều tính chất theo một nghĩa nào đó là “chết”, vì chỉ một số ít trong số chúng được sử dụng để giải các bài toán thực tế. Mục tiêu của tôi là xem xét ứng dụng thực tế của các tính chất trên ví dụ cụ thể, và nếu bạn cần một lý thuyết chặt chẽ, vui lòng sử dụng nguồn thông tin khác.

Hãy xem xét một số trường hợp ngoại lệ đối với quy tắc sẽ được yêu cầu để hoàn thành các nhiệm vụ thực tế.

Nếu ma trận vuông có ma trận nghịch đảo thì phép nhân của chúng có tính chất giao hoán:

Ma trận đồng nhất là ma trận vuông có đường chéo chính các đơn vị được định vị và các phần tử còn lại bằng 0. Ví dụ: , v.v.

Trong trường hợp này, thuộc tính sau là đúng: nếu một ma trận tùy ý được nhân ở bên trái hoặc bên phải với ma trận nhận dạng kích thước phù hợp, thì kết quả là ma trận ban đầu:

Như bạn có thể thấy, tính giao hoán của phép nhân ma trận cũng diễn ra ở đây.

Hãy lấy một số ma trận, giả sử, ma trận từ bài toán trước: .

Những người quan tâm có thể kiểm tra và đảm bảo rằng:

Ma trận đơn vị của ma trận là một ma trận tương tự của đơn vị số cho các số, điều này đặc biệt rõ ràng từ các ví dụ vừa được thảo luận.

Tính giao hoán của một hệ số đối với phép nhân ma trận

Đối với ma trận và số thực tính chất sau giữ:

Nghĩa là, hệ số số có thể (và nên) được di chuyển về phía trước để nó “không cản trở” việc nhân ma trận.

Ghi chú : nói chung, việc xây dựng thuộc tính chưa đầy đủ - “lambda” có thể được đặt ở bất kỳ đâu giữa các ma trận, thậm chí ở cuối. Quy tắc vẫn hợp lệ nếu nhân ba ma trận trở lên.

Ví dụ 4

Tính toán sản phẩm

Giải pháp :

(1) Theo tài sản di chuyển hệ số về phía trước. Bản thân các ma trận không thể được sắp xếp lại!

(2) – (3) Thực hiện phép nhân ma trận.

(4) Ở đây bạn có thể chia mỗi số cho 10, nhưng khi đó giữa các phần tử của ma trận sẽ xuất hiện số thập phân, điều đó không tốt. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy rằng tất cả các số trong ma trận đều chia hết cho 5 nên chúng tôi nhân từng phần tử với .

Trả lời :

Một trò chơi đố chữ nhỏ dành cho quyết định độc lập:

Ví dụ 5

Tính toán nếu

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Kỹ thuật nào là quan trọng khi giải các ví dụ như vậy? Chúng ta hãy tìm ra những con số cuối cùng .

Hãy gắn một cỗ xe khác vào đầu máy:

Làm thế nào để nhân ba ma trận?

Trước hết, kết quả sẽ là gì nhân ba ma trận? Mèo sẽ không sinh ra chuột. Nếu phép nhân ma trận khả thi thì kết quả cũng sẽ là ma trận. Hmmm, giáo viên đại số của tôi không hiểu cách tôi giải thích tính khép kín của cấu trúc đại số so với các phần tử của nó =)

Tích của ba ma trận có thể được tính theo hai cách:

1) tìm rồi nhân với ma trận “ce”: ;

2) trước tiên hãy tìm , sau đó nhân .

Kết quả chắc chắn sẽ trùng khớp, và trên lý thuyết tài sản nàyđược gọi là tính kết hợp của phép nhân ma trận:

Ví dụ 6

Nhân ma trận theo hai cách

Thuật toán giải gồm hai bước: chúng ta tìm tích của hai ma trận, sau đó chúng ta lại tìm tích của hai ma trận.

1) Sử dụng công thức

Hành động một:

Màn hai:

2) Sử dụng công thức

Hành động một:

Màn hai:

Trả lời :

Tất nhiên, giải pháp đầu tiên quen thuộc và tiêu chuẩn hơn, trong đó “mọi thứ dường như đã ổn thỏa”. Nhân tiện, về thứ tự. Trong nhiệm vụ đang được xem xét, thường nảy sinh ảo tưởng rằng chúng ta đang nói về một số loại hoán vị của ma trận. Họ không có ở đây. Tôi nhắc bạn một lần nữa rằng trong trường hợp chung KHÔNG THỂ ĐẢO NGƯỢC Ma trận. Vì vậy, trong đoạn thứ hai, ở bước thứ hai, chúng ta thực hiện phép nhân, nhưng không bao giờ thực hiện . Với các số thông thường, một số như vậy sẽ có tác dụng, nhưng với ma trận thì không.

Tính chất của phép nhân kết hợp không chỉ đúng với ma trận bình phương mà còn đúng với ma trận tùy ý - miễn là chúng được nhân với nhau:

Ví dụ 7

Tìm tích của ba ma trận

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Trong giải pháp mẫu, việc tính toán được thực hiện theo hai cách; phân tích con đường nào có lợi hơn và ngắn hơn.

Tính chất kết hợp của phép nhân ma trận cũng áp dụng cho số lượng lớn hơn các thừa số.

Bây giờ là lúc quay trở lại với lũy thừa của ma trận. Bình phương của ma trận được xem xét ngay từ đầu và câu hỏi trong chương trình nghị sự là:

Làm thế nào để lập phương một ma trận và lũy thừa cao hơn?

Các phép toán này cũng chỉ được xác định cho ma trận vuông. Để lập phương một ma trận vuông, bạn cần tính tích:

Trên thực tế nó là trương hợp đặc biệt phép nhân ba ma trận, theo tính chất kết hợp của phép nhân ma trận: . Và ma trận nhân với chính nó là bình phương của ma trận:

Vì vậy, chúng ta có được công thức làm việc:

Nghĩa là, nhiệm vụ được thực hiện theo hai bước: đầu tiên, ma trận phải được bình phương, sau đó ma trận thu được phải được nhân với ma trận.

Ví dụ 8

Xây dựng ma trận thành một khối.

Đây là một vấn đề nhỏ bạn có thể tự giải quyết.

Việc nâng ma trận lên lũy thừa 4 được thực hiện một cách tự nhiên:

Sử dụng tính kết hợp của phép nhân ma trận, chúng ta rút ra được hai công thức làm việc. Thứ nhất: – đây là tích của ba ma trận.

1) . Nói cách khác, trước tiên chúng ta tìm , sau đó nhân nó với “be” - chúng ta nhận được một khối lập phương, và cuối cùng, chúng ta thực hiện lại phép nhân - sẽ có lũy thừa thứ tư.

2) Nhưng có một giải pháp ngắn hơn một bước: . Nghĩa là, trong bước đầu tiên, chúng ta tìm một hình vuông và bỏ qua khối lập phương, thực hiện phép nhân

Nhiệm vụ bổ sungđến ví dụ 8:

Nâng ma trận lên lũy thừa thứ tư.

Như vừa lưu ý, điều này có thể được thực hiện theo hai cách:

1) Vì khối lập phương đã biết nên chúng ta thực hiện phép nhân.

2) Tuy nhiên, nếu theo điều kiện của bài toán cần xây dựng ma trận chỉ đến sức mạnh thứ tư, thì việc rút ngắn đường đi sẽ thuận lợi hơn - tìm bình phương của ma trận và sử dụng công thức.

Cả lời giải và đáp án đều có ở cuối bài.

Tương tự, ma trận được nâng lên lũy thừa thứ năm trở lên. Từ kinh nghiệm thực tế, tôi có thể nói rằng đôi khi tôi bắt gặp những ví dụ về việc nâng cấp lũy thừa thứ 4, nhưng tôi không nhớ gì về lũy thừa thứ năm. Nhưng để đề phòng, tôi sẽ đưa ra thuật toán tối ưu:

1) tìm ;
2) tìm ;
3) nâng ma trận lên lũy thừa thứ năm: .

Có lẽ đây là tất cả các tính chất cơ bản của phép toán ma trận có thể hữu ích trong các bài toán thực tế.

Trong phần thứ hai của bài học, dự kiến ​​sẽ có một đám đông đầy màu sắc không kém.

Biểu thức ma trận

Hãy lặp lại các cách diễn đạt thông thường ở trường với các con số. Một biểu thức số bao gồm các số, ký hiệu toán học và dấu ngoặc đơn, ví dụ: . Khi tính toán, ưu tiên đại số quen thuộc được áp dụng: đầu tiên, dấu ngoặc đơn, sau đó thực hiện lũy thừa/root, Sau đó phép nhân/chia và cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng - phép cộng/trừ.

Nếu một biểu thức số có ý nghĩa thì kết quả đánh giá của nó là một số, ví dụ:

Biểu thức ma trận hoạt động gần như giống nhau! Với sự khác biệt là nhân vật chính là ma trận. Cộng với một số cụ thể phép toán ma trận, chẳng hạn như chuyển vị và tìm ma trận nghịch đảo.

Hãy xem xét biểu thức ma trận , một số ma trận ở đâu. Trong biểu thức ma trận này, ba số hạng và các phép tính cộng/trừ được thực hiện cuối cùng.

Ở số hạng đầu tiên, trước tiên bạn cần hoán vị ma trận “be”: , sau đó thực hiện phép nhân và nhập “hai” vào ma trận thu được. Xin lưu ý rằng hoạt động chuyển vị có nhiều ưu tiên cao hơn phép nhân. Dấu ngoặc đơn, như trong biểu thức số, thay đổi thứ tự các hành động: – ở đây phép nhân được thực hiện trước, sau đó ma trận kết quả được hoán vị và nhân với 2.

Trong thuật ngữ thứ hai, phép nhân ma trận được thực hiện đầu tiên và ma trận nghịch đảo được tìm thấy từ tích. Nếu bỏ dấu ngoặc: thì trước tiên bạn cần tìm ma trận nghịch đảo rồi nhân các ma trận: . Việc tìm nghịch đảo của ma trận cũng được ưu tiên hơn phép nhân.

Với số hạng thứ ba, mọi thứ đều rõ ràng: chúng ta nâng ma trận thành khối lập phương và nhập số “năm” vào ma trận thu được.

Nếu một biểu thức ma trận có ý nghĩa thì kết quả đánh giá của nó là một ma trận.

Tất cả các nhiệm vụ sẽ được thực hiện từ những nhiệm vụ thực tế kiểm tra, và chúng ta sẽ bắt đầu với cách đơn giản nhất:

Ví dụ 9

ma trận đã cho . Tìm thấy:

Giải pháp: thứ tự các hành động là hiển nhiên, đầu tiên thực hiện phép nhân, sau đó thực hiện phép cộng.


Phép cộng không thể thực hiện được vì ma trận có kích thước khác nhau.

Đừng ngạc nhiên; rõ ràng những hành động bất khả thi thường được đề xuất trong những nhiệm vụ thuộc loại này.

Hãy thử tính biểu thức thứ hai:

Mọi thứ ở đây đều ổn.

Trả lời: hành động không thể được thực hiện, .

43. Thay vì xây dựng một dãy số tùy ý, chúng ta có thể xây dựng trực tiếp dãy lũy thừa của ma trận. Điều này có ưu điểm là chúng ta có thể thu được bằng cách sử dụng phép nhân ma trận đơn. Do đó, chúng ta có thể xây dựng một chuỗi và nhận được

Nếu tất cả đều khác nhau thì bậc của ma trận bị số hạng chiếm ưu thế sao cho tất cả các hàng trở nên song song và tất cả các cột trở nên song song. Tốc độ hội tụ được xác định bởi tốc độ mà nó có xu hướng về 0. Do đó, số lần lặp tương đối nhỏ được yêu cầu ngay cả khi được phân tách khá kém.

Nói chung, các ma trận tuần tự sẽ tăng hoặc giảm kích thước và ngay cả với các phép tính dấu phẩy động, tình trạng tràn hoặc máy rỗng vẫn có thể xảy ra. Điều này có thể dễ dàng tránh được bằng cách nhân mỗi ma trận với lũy thừa hai sao cho phần tử lớn nhất trong mô đun có bậc 0. Điều này không gây ra lỗi làm tròn bổ sung. Số lần lặp cần thiết cho sự biến mất của thành phần với độ chính xác được chấp nhận, khi làm việc với lũy thừa của ma trận và với phương pháp lũy thừa đơn tương ứng, được xác định từ các bất đẳng thức

Nếu A không chứa bất kỳ số 0 đáng kể nào thì bình phương ma trận cần thời gian làm việc nhiều hơn hơn sự lặp lại đơn giản. Vì vậy, ma trận bình phương có lợi nếu

Đối với một phép chia các giá trị riêng cho trước, việc bình phương sẽ ít thuận lợi hơn đối với các giá trị lớn. Ngược lại, đối với một giá trị cố định, việc bình phương sẽ có lợi hơn nếu giá trị riêng và tách kém. Nếu A đối xứng thì tất cả các lũy thừa của A cũng đối xứng, do đó chúng ta có được lợi ích từ tính đối xứng khi nâng lên lũy thừa, nhưng trong một quá trình lặp đơn giản thì không có lợi ích từ tính đối xứng.

Ví dụ, trường hợp yêu cầu 15 bước bình phương hoặc khoảng các bước của quy trình cấp điện đơn giản để phá hủy các bộ phận với độ chính xác làm việc. Do đó, bình phương có lợi hơn đối với các ma trận có cấp độ xấp xỉ bậc 2000 và đối với ma trận có bậc 100, bình phương có lợi hơn gần 20 lần.

Tuy nhiên, việc so sánh các phương pháp này có phần đáng nghi ngờ vì hai lý do.

(i) Không chắc rằng chúng ta sẽ thực hiện 28.000 bước của quy trình định luật lũy thừa đơn giản mà không sử dụng một số phương pháp để tăng tốc độ hội tụ và các phương pháp tăng tốc độ hội tụ rất khó áp dụng cho quy trình bình phương ma trận.

(ii) Hầu hết các ma trận cấp lớn hơn 50 gặp trong thực tế thường chứa nhiều số 0. Tính chất này bị phá vỡ khi được nâng lên lũy thừa và do đó ước tính của chúng ta về số lượng công việc cần thiết trong hai quá trình là không có thật.

Cần lưu ý rằng thao tác này chỉ có thể được thực hiện ma trận vuông. Số bằng nhau hàng và cột - điều kiện bắt buộcđể nâng ma trận lên lũy thừa. Trong quá trình tính toán, ma trận sẽ được nhân với chính nó theo số lần yêu cầu.

Các máy tính trực tuyếnđược thiết kế để thực hiện thao tác nâng ma trận lên lũy thừa. Nhờ sử dụng nó, bạn không chỉ nhanh chóng giải quyết được nhiệm vụ này mà còn có được ý tưởng rõ ràng và chi tiết về tiến trình tính toán. Điều này sẽ giúp củng cố tốt hơn các tài liệu thu được về mặt lý thuyết. Khi nhìn thấy một thuật toán tính toán chi tiết trước mặt, bạn sẽ hiểu rõ hơn tất cả những điểm phức tạp của nó và sau đó có thể tránh được những sai sót trong tính toán thủ công. Ngoài ra, việc kiểm tra kỹ các phép tính của bạn sẽ không bao giờ gây hại và điều này cũng được thực hiện tốt nhất ở đây.

Để nâng ma trận lên lũy thừa trực tuyến, bạn sẽ cần một chuỗi hành động đơn giản. Trước hết, hãy chỉ định kích thước ma trận bằng cách nhấp vào biểu tượng “+” hoặc “-” ở bên trái của nó. Sau đó nhập các số vào trường ma trận. Bạn cũng cần chỉ ra công suất mà ma trận được nâng lên. Và sau đó tất cả những gì bạn phải làm là nhấp vào nút “Tính toán” ở cuối trường. Kết quả thu được sẽ đáng tin cậy và chính xác nếu bạn nhập cẩn thận và chính xác tất cả các giá trị. Cùng với nó, bạn sẽ được cung cấp bản ghi chi tiết của giải pháp.

Cách chèn công thức toán học vào trang web?

Nếu bạn cần thêm một hoặc hai công thức toán học vào một trang web thì cách dễ nhất để thực hiện việc này được mô tả trong bài viết: các công thức toán học dễ dàng được chèn vào trang web dưới dạng hình ảnh được Wolfram Alpha tự động tạo ra . Bên cạnh sự đơn giản, điều này phương pháp phổ quát sẽ giúp cải thiện khả năng hiển thị trang web công cụ tìm kiếm. Nó đã hoạt động được một thời gian dài (và tôi nghĩ nó sẽ hoạt động mãi mãi), nhưng đã lỗi thời về mặt đạo đức.

Nếu bạn liên tục sử dụng các công thức toán học trên trang web của mình thì tôi khuyên bạn nên sử dụng MathJax - thư viện đặc biệt JavaScript, hiển thị ký hiệu toán học trong trình duyệt web bằng cách sử dụng đánh dấu MathML, LaTeX hoặc ASCIIMathML.

Có hai cách để bắt đầu sử dụng MathJax: (1) sử dụng mã đơn giản bạn có thể nhanh chóng kết nối tập lệnh MathJax với trang web của mình, tập lệnh này sẽ được tải tự động từ máy chủ từ xa(danh sách máy chủ); (2) tải tập lệnh MathJax từ máy chủ từ xa về máy chủ của bạn và kết nối nó với tất cả các trang trên trang web của bạn. Phương pháp thứ hai - phức tạp hơn và tốn thời gian hơn - sẽ tăng tốc độ tải các trang trên trang web của bạn và nếu máy chủ MathJax gốc tạm thời không khả dụng vì lý do nào đó, điều này sẽ không ảnh hưởng đến trang web của bạn theo bất kỳ cách nào. Bất chấp những ưu điểm này, tôi đã chọn phương pháp đầu tiên vì nó đơn giản hơn, nhanh hơn và không yêu cầu kỹ năng kỹ thuật. Hãy làm theo ví dụ của tôi và chỉ trong 5 phút, bạn sẽ có thể sử dụng tất cả các tính năng của MathJax trên trang web của mình.

Bạn có thể kết nối tập lệnh thư viện MathJax từ máy chủ từ xa bằng hai tùy chọn mã được lấy từ trang web MathJax chính hoặc trên trang tài liệu:

Một trong các tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và/hoặc ngay sau thẻ. Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai tự động theo dõi và tải phiên bản mới nhất MathJax. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn chèn mã thứ hai, các trang sẽ tải chậm hơn nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật MathJax.

Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, thêm tiện ích được thiết kế để chèn tiện ích của bên thứ ba Mã JavaScript, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích gần phần đầu của mẫu (nhân tiện, điều này hoàn toàn không cần thiết vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Đó là tất cả. Bây giờ hãy tìm hiểu cú pháp đánh dấu của MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng chèn các công thức toán học vào các trang web trên trang web của mình.

Bất kỳ fractal nào cũng được xây dựng theo một quy tắc nhất định, được áp dụng nhất quán số lượng không giới hạn một lần. Mỗi lần như vậy được gọi là một lần lặp.

Thuật toán lặp để xây dựng một miếng bọt biển Menger khá đơn giản: khối ban đầu có cạnh 1 được chia bởi các mặt phẳng song song với các mặt của nó thành 27 khối bằng nhau. Một khối trung tâm và 6 khối liền kề dọc theo các mặt sẽ bị loại bỏ khỏi nó. Kết quả là một bộ gồm 20 khối nhỏ hơn còn lại. Làm tương tự với mỗi khối này, chúng ta có được một bộ gồm 400 khối nhỏ hơn. Tiếp tục quá trình này không ngừng, chúng ta có được một miếng bọt biển Menger.