Nâng ma trận lên lũy thừa. Tính kết quả của biểu thức ma trận. Tìm nghịch đảo của ma trận Độ của ma trận vuông
Vào tháng 7 năm 2020, NASA triển khai chuyến thám hiểm tới Sao Hỏa. Tàu vũ trụ sẽ chuyển tới Sao Hỏa một phương tiện điện tử có tên của tất cả những người tham gia chuyến thám hiểm đã đăng ký.
Nếu bài đăng này giải quyết được vấn đề của bạn hoặc bạn chỉ thích nó, hãy chia sẻ liên kết tới nó với bạn bè trên mạng xã hội.
Một trong các tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và/hoặc ngay sau thẻ. Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản MathJax mới nhất. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn chèn mã thứ hai, các trang sẽ tải chậm hơn nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật MathJax.
Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, thêm tiện ích được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải xuống được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích đó gần hơn vào đầu mẫu (nhân tiện, điều này hoàn toàn không cần thiết vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Đó là tất cả. Bây giờ hãy tìm hiểu cú pháp đánh dấu của MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng chèn các công thức toán học vào các trang web trên trang web của mình.
Lại một đêm giao thừa nữa... thời tiết băng giá và những bông tuyết trên kính cửa sổ... Tất cả những điều này thôi thúc tôi viết lại về... fractal, và những gì Wolfram Alpha biết về nó. Có một bài viết thú vị về chủ đề này, trong đó có các ví dụ về cấu trúc fractal hai chiều. Ở đây chúng ta sẽ xem xét các ví dụ phức tạp hơn về fractal ba chiều.
Fractal có thể được biểu diễn (mô tả) một cách trực quan dưới dạng hình hình học hoặc vật thể (có nghĩa là cả hai đều là một tập hợp, trong trường hợp này là một tập hợp các điểm), các chi tiết của chúng có hình dạng giống như hình ban đầu. Tức là đây là một cấu trúc tự tương tự, kiểm tra các chi tiết khi phóng to chúng ta sẽ thấy hình dạng giống như khi không phóng đại. Trong khi đó, trong trường hợp một hình hình học thông thường (không phải fractal), khi phóng đại chúng ta sẽ thấy các chi tiết có hình dạng đơn giản hơn chính hình ban đầu. Ví dụ: ở độ phóng đại đủ cao, một phần của hình elip trông giống như một đoạn thẳng. Điều này không xảy ra với fractal: với bất kỳ sự gia tăng nào của chúng, chúng ta sẽ lại thấy cùng một hình dạng phức tạp, hình dạng này sẽ được lặp đi lặp lại sau mỗi lần tăng.
Benoit Mandelbrot, người sáng lập ngành khoa học fractal, đã viết trong bài báo Fractals và Art in the Name of Science: “Fractal là những hình dạng hình học có độ phức tạp về chi tiết cũng như ở dạng tổng thể của chúng. Nghĩa là, nếu là một phần của fractal sẽ được phóng to theo kích thước của tổng thể, nó sẽ xuất hiện như một tổng thể, chính xác hoặc có thể có một chút biến dạng."
Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo đối với ma trận A nếu A*A -1 = E, trong đó E là ma trận đơn vị cấp n. Ma trận nghịch đảo chỉ có thể tồn tại đối với ma trận vuông.
Mục đích của dịch vụ. Sử dụng dịch vụ này trực tuyến, bạn có thể tìm thấy các phần bù đại số, ma trận chuyển vị A T, ma trận liên minh và ma trận nghịch đảo. Quyết định được thực hiện trực tiếp trên trang web (trực tuyến) và hoàn toàn miễn phí. Kết quả tính toán được trình bày dưới dạng báo cáo dưới dạng Word và Excel (tức là có thể kiểm tra lời giải). xem ví dụ thiết kế.
Hướng dẫn. Để có được lời giải, cần phải xác định kích thước của ma trận. Tiếp theo điền ma trận A vào hộp thoại mới.
Xem thêm Ma trận nghịch đảo sử dụng phương pháp Jordano-Gauss
Thuật toán tìm ma trận nghịch đảoVí dụ số 1. Hãy viết ma trận dưới dạng:
| A -1 = |
|
Một trường hợp đặc biệt: Nghịch đảo của ma trận đơn vị E là ma trận đơn vị E.
Ở đây chúng ta sẽ tiếp tục chủ đề về các phép toán trên ma trận đã bắt đầu ở phần đầu tiên và xem xét một số ví dụ trong đó một số phép toán sẽ cần được áp dụng cùng một lúc.
Nâng ma trận lên lũy thừa.Cho k là số nguyên không âm. Đối với bất kỳ ma trận vuông $A_(n\times n)$ nào, chúng ta có: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; Times) $$
Trong trường hợp này, chúng ta giả sử rằng $A^0=E$, trong đó $E$ là ma trận đồng nhất của cấp tương ứng.
Ví dụ số 4
Cho một ma trận $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Tìm ma trận $A^2$ và $A^6$.
Theo định nghĩa, $A^2=A\cdot A$, tức là. để tìm $A^2$ chúng ta chỉ cần nhân ma trận $A$ với chính nó. Hoạt động của phép nhân ma trận đã được thảo luận trong phần đầu tiên của chủ đề, vì vậy ở đây chúng ta sẽ chỉ viết ra quy trình giải mà không cần giải thích chi tiết:
$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$
Để tìm ma trận $A^6$ chúng ta có hai lựa chọn. Tùy chọn thứ nhất: việc tiếp tục nhân $A^2$ với ma trận $A$ là chuyện bình thường:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
Tuy nhiên, bạn có thể thực hiện một lộ trình đơn giản hơn một chút bằng cách sử dụng thuộc tính kết hợp của phép nhân ma trận. Hãy đặt dấu ngoặc đơn trong biểu thức của $A^6$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$
Nếu việc giải phương pháp đầu tiên yêu cầu bốn phép tính nhân thì phương pháp thứ hai chỉ yêu cầu hai phép tính. Vì vậy, hãy đi theo cách thứ hai:
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ Begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$
Trả lời: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.
Ví dụ số 5
Cho ma trận $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (mảng) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ đúng)$. Tìm ma trận $D=2AB-3C^T+7E$.
Chúng ta bắt đầu tính ma trận $D$ bằng cách tìm kết quả của tích $AB$. Ma trận $A$ và $B$ có thể được nhân lên, vì số cột của ma trận $A$ bằng số hàng của ma trận $B$. Hãy ký hiệu $F=AB$. Trong trường hợp này, ma trận $F$ sẽ có ba cột và ba hàng, tức là. sẽ là hình vuông (nếu kết luận này có vẻ không rõ ràng, hãy xem phần mô tả phép nhân ma trận ở phần đầu của chủ đề này). Hãy tìm ma trận $F$ bằng cách tính tất cả các phần tử của nó:
$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(mảng) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(mảng) \right)\\ \begin(căn chỉnh) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(căn chỉnh) $$
Vì vậy $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Hãy đi xa hơn nữa. Ma trận $C^T$ là ma trận chuyển vị cho ma trận $C$, tức là. $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Còn ma trận $E$ là ma trận đơn vị. Trong trường hợp này, thứ tự của ma trận này là ba, tức là. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Về nguyên tắc, chúng ta có thể tiếp tục đi từng bước một, nhưng tốt hơn hết là nên xem xét toàn bộ biểu thức còn lại mà không bị phân tâm bởi các hành động phụ trợ. Trên thực tế, chúng ta chỉ còn lại các phép tính nhân ma trận với một số, cũng như các phép tính cộng và trừ.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ right)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$
Hãy nhân các ma trận ở vế phải của đẳng thức với các số tương ứng (tức là với 2, 3 và 7):
$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ bắt đầu(mảng) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(mảng) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(mảng) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(mảng) \right) $$
Hãy thực hiện các bước cuối cùng: phép trừ và phép cộng:
$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (mảng) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(mảng) \right). $$
Vấn đề đã được giải quyết, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .
Trả lời: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.
Ví dụ số 6
Đặt $f(x)=2x^2+3x-9$ và ma trận $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Tìm giá trị của $f(A)$.
Nếu $f(x)=2x^2+3x-9$ thì $f(A)$ được hiểu là ma trận:
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
Đây là cách xác định đa thức từ ma trận. Vì vậy, chúng ta cần thay ma trận $A$ vào biểu thức của $f(A)$ và nhận được kết quả. Vì tất cả các hành động đã được thảo luận chi tiết trước đó nên ở đây tôi sẽ chỉ đưa ra giải pháp. Nếu bạn chưa hiểu rõ quá trình thực hiện thao tác $A^2=A\cdot A$ thì tôi khuyên bạn nên xem mô tả về phép nhân ma trận trong phần đầu tiên của chủ đề này.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(mảng) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(mảng) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$
Trả lời: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.
