Thứ tự nhỏ xác định thứ hạng của ma trận được gọi. Tính thứ hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Tiểu học Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột khác), nhân với một số nhất định.

Hai ma trận đó được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng thu được từ cái kia bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Nói chung, các ma trận tương đương không bằng nhau nhưng thứ hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B tương đương thì được viết như sau: A ~ B.

Chuẩn Ma trận là ma trận trong đó ở đầu đường chéo chính có một số phần tử liên tiếp (số lượng có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác đều bằng 0, ví dụ:

Với sự giúp đỡ các phép biến đổi cơ bản hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chuẩn. Xếp hạng của ma trận chính tắc bằng sốđơn vị trên đường chéo chính của nó.

Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

và đưa nó về dạng kinh điển.

Giải pháp. Từ dòng thứ hai, trừ đi dòng đầu tiên và sắp xếp lại các dòng sau:

Bây giờ từ dòng thứ hai và thứ ba, chúng ta trừ dòng đầu tiên, nhân tương ứng với 2 và 5:

;

trừ dòng đầu tiên từ dòng thứ ba; chúng ta nhận được một ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng được chuyển thành ma trận chuẩn. Bằng cách trừ cột đầu tiên nhân với các số phù hợp với tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ cột đầu tiên và các phần tử của các hàng còn lại không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số phù hợp, từ tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ hàng thứ hai và thu được ma trận chính tắc:

Định lý Kronecker - Capelli- tiêu chí về tính tương thích của hệ thống tuyến tính phương trình đại số:

Để một hệ thống tuyến tính nhất quán thì thứ hạng của ma trận mở rộng của hệ thống này là cần thiết và đủ. ngang bằng với cấp bậc ma trận chính của nó.

Bằng chứng (điều kiện tương thích hệ thống)

sự cần thiết

Cho phép hệ thống chung Khi đó có những số như vậy . Do đó, cột là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận. Từ thực tế là thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi nếu một hàng (cột) bị xóa hoặc được thêm vào từ hệ thống các hàng (cột) của nó, là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác, từ đó suy ra .

sự đầy đủ

Cho phép . Chúng ta hãy lấy một số thứ cơ bản trong ma trận. Vì vậy nên nó cũng sẽ là cơ số thứ của ma trận. Khi đó, theo định lý cơ bản người vị thành niên, cột cuối cùng của ma trận sẽ là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở, tức là các cột của ma trận. Vì vậy, cột các số hạng tự do của hệ thống là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận.

Hậu quả

Số lượng biến chính hệ thống ngang bằng với cấp bậc của hệ thống.

Chung hệ thống sẽ được xác định (nghiệm của nó là duy nhất) nếu hạng của hệ bằng số tất cả các biến của nó.

Hệ phương trình thuần nhất

Lời đề nghị15 . 2 Hệ phương trình thuần nhất

luôn luôn là khớp.

Bằng chứng. Đối với hệ thống này, tập hợp các số , , , là một nghiệm.

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ma trận của hệ: .

Lời đề nghị15 . 3 Tổng nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một nghiệm của hệ này. Một nghiệm nhân với một số cũng là một nghiệm.

Bằng chứng. Hãy để chúng đóng vai trò là giải pháp cho hệ thống. Sau đó và. Cho phép . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Cho là một số tùy ý, . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Kết quả15 . 1 Nếu một hệ thống đồng nhất Các phương trình tuyến tính có nghiệm khác 0 thì nó có vô số nghiệm khác nhau.

Thật vậy, nhân một nghiệm khác 0 với nhiều số khác nhau, chúng ta sẽ thu được các nghiệm khác nhau.

Sự định nghĩa15 . 5 Chúng tôi sẽ nói rằng các giải pháp hệ thống hình thức Hệ thống giải pháp cơ bản, nếu cột hình thức tuyến tính hệ thống độc lập và bất kỳ giải pháp nào cho hệ thống đều là sự kết hợp tuyến tính của các cột này.

>>Xếp hạng ma trận

Xếp hạng ma trận

Xác định hạng của ma trận

Hãy xem xét một ma trận hình chữ nhật. Nếu trong ma trận này ta chọn tùy ý k dòng và k cột thì các phần tử tại giao điểm của hàng và cột đã chọn tạo thành ma trận vuông bậc k. Định thức của ma trận này được gọi là thứ tự thứ k ma trận A. Hiển nhiên, ma trận A có các số thứ tự bất kỳ từ 1 đến số nhỏ nhất trong các số m và n. Trong số tất cả các phân số khác 0 của ma trận A, có ít nhất một phân số có cấp lớn nhất. Cấp nhỏ khác 0 của một ma trận nhất định được gọi là cấp lớn nhất thứ hạng ma trận. Nếu hạng của ma trận A là r, điều này có nghĩa là ma trận A có cấp nhỏ khác 0 r, nhưng mọi thứ tự nhỏ hơn r, bằng 0. Thứ hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A). Rõ ràng, mối quan hệ giữ

Tính thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng số trẻ vị thành niên

Thứ hạng của ma trận được tìm bằng phương pháp giáp phần phụ hoặc bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Khi tính hạng của ma trận theo phương pháp đầu tiên, bạn nên chuyển từ cấp bậc thấp hơn sang cấp bậc cao hơn. Nếu đã tìm thấy D thứ thứ k của ma trận A, khác 0, thì chỉ có thứ tự (k+1) giáp với D thứ mới cần tính toán, tức là. chứa nó như một trẻ vị thành niên. Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận là k.

Ví dụ 1.Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp số phụ

Giải pháp.Chúng tôi bắt đầu với trẻ vị thành niên cấp 1, tức là. từ các phần tử của ma trận A. Ví dụ, chúng ta hãy chọn một phần tử phụ M 1 = 1, nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên. Tiếp giáp với sự trợ giúp của hàng thứ hai và cột thứ ba, chúng ta thu được M 2 thứ = khác 0. Bây giờ chúng ta chuyển sang trẻ vị thành niên bậc 3 giáp M2. Chỉ có hai trong số đó (bạn có thể thêm cột thứ hai hoặc thứ tư). Hãy tính toán chúng: = 0. Do đó, tất cả các trẻ vị thành niên giáp của bậc thứ ba hóa ra đều bằng 0. Thứ hạng của ma trận A là hai.

Tính thứ hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Tiểu họcCác phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột khác), nhân với một số nhất định.

Nói chung, các ma trận tương đương không bằng nhau nhưng thứ hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B bằng nhau thì được viết như sau: A~B.

ChuẩnMa trận là ma trận trong đó ở đầu đường chéo chính có một số phần tử liên tiếp (số lượng có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác đều bằng 0, ví dụ:

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chính tắc. Thứ hạng của ma trận chính tắc bằng số lượng ma trận trên đường chéo chính của nó.

Ví dụ 2Tìm hạng của ma trận

và đưa nó về dạng kinh điển.

Giải pháp. Từ dòng thứ hai, trừ đi dòng đầu tiên và sắp xếp lại các dòng sau:

Bây giờ từ dòng thứ hai và thứ ba, chúng ta trừ dòng đầu tiên, nhân tương ứng với 2 và 5:

;

trừ dòng đầu tiên từ dòng thứ ba; chúng ta nhận được một ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng được chuyển thành ma trận chuẩn. Bằng cách trừ cột đầu tiên nhân với các số phù hợp với tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ hàng đầu tiên và các phần tử của các hàng còn lại không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số phù hợp, từ tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ hàng thứ hai và thu được ma trận chính tắc:

Xác định hạng của ma trận

Xét một ma trận \(A\) thuộc loại \((m,n)\). Giả sử, để xác định, \(m \leq n\). Lấy \(m\) hàng và chọn \(m\) cột của ma trận \(A\), tại giao điểm của các hàng và cột này ta được ma trận vuông cấp \(m\), định thức của nó được gọi là thứ tự nhỏ ma trận \(m\) \(A\). Nếu phần này khác 0 thì được gọi là thứ yếu cơ bản và họ nói rằng hạng của ma trận \(A\) bằng \(m\). Nếu định thức này bằng 0 thì các cột \(m\) khác được chọn, tại giao điểm của chúng có các phần tử tạo thành một thứ khác có thứ tự \(m\). Nếu trẻ vị thành niên là 0, chúng tôi tiếp tục thủ tục. Nếu trong số tất cả các cấp số phụ có thể có \(m\) không có số khác 0, chúng ta chọn \(m-1\) hàng và cột từ ma trận \(A\), tại giao điểm của chúng là một ma trận vuông có cấp \(m- 1\) xuất hiện thì định thức của nó được gọi là bậc thứ \(m-1\) của ma trận ban đầu. Tiếp tục thủ tục, chúng tôi tìm kiếm một trẻ vị thành niên khác 0, xem xét tất cả các trẻ vị thành niên có thể có, hạ thấp thứ tự của chúng.

Sự định nghĩa.

Phần nhỏ khác 0 của một ma trận có cấp cao nhất được gọi là thứ yếu cơ bản của ma trận ban đầu, thứ tự của nó được gọi là thứ hạng ma trận \(A\), hàng và cột, tại giao điểm của nó có cơ sở phụ, được gọi là hàng và cột cơ sở. Thứ hạng của ma trận được ký hiệu là \(rang(A)\).

Từ định nghĩa này suy ra tính chất đơn giản thứ hạng ma trận: đây là một số nguyên và thứ hạng không phải là ma trận không thỏa mãn các bất đẳng thức: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\).

Thứ hạng của ma trận sẽ thay đổi như thế nào nếu một hàng bị xóa? Thêm một số dòng?

Kiểm tra câu trả lời

1) Thứ hạng có thể giảm 1.

2) Thứ hạng có thể tăng thêm 1.

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các cột ma trận

Giả sử \(A\) là một ma trận kiểu \((m,n)\). Hãy xem xét các cột của ma trận \(A\) - đây là các cột có số \(m\) mỗi cột. Hãy ký hiệu chúng là \(A_1,A_2,...,A_n\). Cho \(c_1,c_2,...,c_n\) là một số số.

Sự định nghĩa.

Cột \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] được gọi là tổ hợp tuyến tính của các cột \(A_1,A_2,...,A_n\), các số \( c_1,c_2 ,...,c_n\) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính này.

Sự định nghĩa.

Cho trước các cột \(p\) \(A_1, A_2, ..., A_p\). Nếu có các số \(c_1,c_2,...,c_p\) sao cho

1. không phải tất cả những con số này đều bằng 0,

2. tổ hợp tuyến tính \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) bằng cột 0 (tức là một cột có tất cả các phần tử đều bằng 0), thì chúng ta nói rằng các cột \( A_1, A_2, ..., A_p\) phụ thuộc tuyến tính. Nếu cho bộ này Không có cột nào chứa các số \(c_1,c_2,...,c_n\), các cột được gọi là độc lập tuyến tính.

Ví dụ. Xét 2 cột

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] thì với mọi số \(c_1,c_2\) chúng ta có: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Tổ hợp tuyến tính này bằng cột 0 khi và chỉ khi cả hai số \(c_1,c_2\) đều bằng 0. Vì vậy, các cột này độc lập tuyến tính.

Tuyên bố. Để các cột phụ thuộc tuyến tính, điều cần thiết và đủ là một trong số chúng là sự kết hợp tuyến tính của các cột khác.

Giả sử các cột \(A_1,A_2,...,A_m\) phụ thuộc tuyến tính, tức là đối với một số hằng số \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), không phải tất cả các hằng số đều bằng 0, các giá trị sau đúng: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (ở bên phải là cột số 0). Ví dụ: giả sử \(\lambda _1 \neq 0\). Sau đó \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] tức là. cột đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của những cột khác.

Định lý nhỏ cơ sở

Định lý.

Với mọi ma trận khác 0 \(A\) điều sau đây đúng:

1. Các cột cơ sở độc lập tuyến tính.

2. Bất kỳ cột ma trận nào cũng là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở của nó.

(Điều tương tự cũng đúng với chuỗi).

Để xác định, hãy để \((m,n)\) là loại ma trận \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) và phần cơ sở nhỏ nằm trong \(r đầu tiên \) ma trận hàng và cột \(A\). Đặt \(s\) là số bất kỳ từ 1 đến \(m\), \(k\) là số bất kỳ từ 1 đến \(n\). Hãy xem xét nhỏ loại sau: \[ D=\left| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] I E. Chúng tôi đã gán cột thứ \(s-\) và hàng thứ \(k-\) cho cột thứ cơ sở. Theo định nghĩa về thứ hạng của ma trận, định thức này bằng 0 (nếu chúng ta chọn \(s\leq r\) hoặc \(k \leq r\) , thì trong thứ này có 2 cột giống hệt nhau hoặc 2 dòng giống hệt nhau, nếu \(s>r\) và \(k>r\) - theo định nghĩa về thứ hạng, một phần nhỏ có kích thước lớn hơn \(r\) trở thành 0). Chúng ta hãy mở rộng định thức này thành dòng cuối cùng, ta được: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+...+a_(kr)A_(kr)+a_(ks)A_(ks)=0. \quad \quad(16) \]

Ở đây các số \(A_(kp)\) - phép cộng đại số các phần tử ở hàng dưới cùng \(D\). Giá trị của chúng không phụ thuộc vào \(k\), bởi vì được hình thành bằng cách sử dụng các phần tử từ hàng \(r\) đầu tiên. Trong trường hợp này, giá trị \(A_(ks)\) là thứ cơ bản, khác 0. Hãy ký hiệu \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Chúng ta hãy viết lại (16) bằng ký hiệu mới: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] hoặc chia cho \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Đẳng thức này hợp lệ với mọi giá trị của \(k\), vì vậy \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Vì vậy, cột thứ \(s-\) là sự kết hợp tuyến tính của các cột \(r\) đầu tiên. Định lý đã được chứng minh.

Bình luận.

Từ định lý cơ bản nhỏ, ta suy ra rằng thứ hạng của ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính của nó (bằng số hàng độc lập tuyến tính).

Hệ quả 1.

Nếu định thức bằng 0 thì nó có một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Hệ quả 2.

Nếu thứ hạng của ma trận nhỏ hơn số cột thì các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Tính hạng của ma trận và tìm cơ sở thứ

Một số phép biến đổi ma trận không thay đổi thứ hạng của nó. Những biến đổi như vậy có thể được gọi là cơ bản. Các dữ kiện tương ứng có thể được xác minh dễ dàng bằng cách sử dụng các tính chất của định thức và xác định thứ hạng của ma trận.

1. Sắp xếp lại các cột.

2. Nhân các phần tử của một cột bất kỳ với một thừa số khác 0.

3. Thêm vào một cột bất kỳ cột nào khác nhân với một số tùy ý.

4. Gạch bỏ cột số 0.

Điều này cũng đúng với chuỗi.

Sử dụng các phép biến đổi này, ma trận có thể được chuyển đổi thành dạng được gọi là "hình thang" - một ma trận chỉ có các số 0 dưới đường chéo chính. Đối với ma trận "hình thang", hạng là số phần tử khác 0 trên đường chéo chính và phần tử cơ sở là phần tử phụ có đường chéo trùng với tập hợp các phần tử khác 0 trên đường chéo chính của ma trận được biến đổi.

Ví dụ. Hãy xem xét ma trận

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(mảng) \right). \] Chúng ta sẽ biến đổi nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi ở trên. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

Ở đây chúng tôi liên tục làm bước tiếp theo: 1) sắp xếp lại dòng thứ hai lên trên cùng, 2) trừ dòng đầu tiên khỏi dòng còn lại với hệ số phù hợp, 3) trừ dòng thứ hai khỏi dòng thứ ba 4 lần, thêm dòng thứ hai vào dòng thứ tư, 4) gạch bỏ dòng dòng không - thứ ba và thứ tư. Ma trận cuối cùng của chúng ta đã có được hình dạng mong muốn: có các số khác 0 trên đường chéo chính và các số 0 ở dưới đường chéo chính. Sau đó, quy trình dừng lại và số phần tử khác 0 trên đường chéo chính bằng hạng của ma trận. thứ cơ bản trong trường hợp này - hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên. Tại giao điểm của chúng có ma trận cấp 2 với định thức khác 0. Đồng thời, quay trở lại theo chuỗi biến đổi để mặt trái, bạn có thể theo dõi hàng này hoặc hàng kia (cột này hoặc cột kia) đến từ đâu trong ma trận cuối cùng, tức là. xác định các hàng và cột cơ sở trong ma trận ban đầu. TRONG trong trường hợp này hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên tạo thành phần cơ sở.

Chúng ta cũng sẽ xem xét tầm quan trọng ứng dụng thực tế chủ đề: nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính đảm bảo tính nhất quán.

Thứ hạng của một ma trận là gì?

Đoạn văn hài hước của bài viết chứa đựng một lượng lớn sự thật. Chúng ta thường liên tưởng từ “cấp bậc” với một số loại thứ bậc, thường là với bậc thang nghề nghiệp. Một người càng có nhiều kiến thức, kinh nghiệm, khả năng, mối quan hệ, v.v. – vị trí và phạm vi cơ hội của anh ta càng cao. Trong giới trẻ, cấp bậc có nghĩa là bằng cấp tổng quát"sự mát mẻ".

Và những người anh em toán học của chúng ta cũng sống theo những nguyên tắc tương tự. Hãy ngẫu nhiên dắt vài người đi dạo ma trận bằng không:

Hãy suy nghĩ về nó, nếu trong ma trận tất cả số không, vậy thì chúng ta có thể nói về thứ hạng nào? Mọi người đều quen thuộc với cách diễn đạt thân mật “ hoàn thành số không" Trong xã hội ma trận, mọi thứ đều giống hệt nhau:

Xếp hạng của ma trận số 0mọi kích thước đều bằng 0.

Ghi chú : Ma trận số 0 được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp “theta”

Để hiểu rõ hơn về thứ hạng của ma trận, sau đây tôi sẽ sử dụng tài liệu để trợ giúp hình học giải tích. Hãy xem xét số không vectơ không gian ba chiều của chúng ta, không đặt ra một hướng cụ thể và vô ích cho việc xây dựng cơ sở affine. Theo quan điểm đại số, tọa độ của vectơ này được viết dưới dạng ma trận“từng một” và hợp lý (theo nghĩa hình học được chỉ định) giả sử rằng thứ hạng của ma trận này bằng 0.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số khác không vectơ cột Và vectơ hàng:

Mỗi trường hợp có ít nhất một phần tử khác 0 và đó là điều gì đó!

Thứ hạng của bất kỳ vectơ hàng không rỗng nào (vectơ cột) bằng một

Và nói chung - nếu trong ma trận kích thước tùy ý có ít nhất một phần tử khác 0 thì hạng của nó không ít hơn các đơn vị.

Các vectơ hàng đại số và vectơ cột ở một mức độ trừu tượng nhất định, vì vậy chúng ta hãy quay lại với mối liên hệ hình học. Khác không vectơđịnh hướng rất rõ ràng trong không gian và thích hợp cho việc xây dựng nền tảng, do đó hạng của ma trận sẽ được coi là bằng một.

Thông tin lý thuyết : trong đại số tuyến tính, vectơ là một phần tử của không gian vectơ (được xác định thông qua 8 tiên đề), đặc biệt, có thể biểu thị một hàng (hoặc cột) có thứ tự của các số thực với các phép tính cộng và nhân được xác định cho chúng số thực. Với nhiều hơn nữa thông tin chi tiết về vectơ có thể được tìm thấy trong bài viết Các phép biến đổi tuyến tính.

phụ thuộc tuyến tính(thể hiện qua nhau). Từ quan điểm hình học, dòng thứ hai chứa tọa độ của vectơ thẳng hàng , điều đó không hề thúc đẩy vấn đề gì trong việc xây dựng cơ sở ba chiều, theo nghĩa này là thừa. Như vậy, hạng của ma trận này cũng bằng một.

Hãy viết lại tọa độ của các vectơ thành cột ( chuyển đổi ma trận):

Điều gì đã thay đổi về thứ hạng? Không có gì. Các cột tỷ lệ thuận, có nghĩa là thứ hạng bằng một. Nhân tiện, lưu ý rằng cả ba dòng cũng tỷ lệ thuận. Chúng có thể được xác định bằng tọa độ ba vectơ thẳng hàng của mặt phẳng, trong đó chỉ một hữu ích cho việc xây dựng một cơ sở "phẳng". Và điều này hoàn toàn phù hợp với ý nghĩa hình học của chúng ta về thứ hạng.

Một tuyên bố quan trọng được rút ra từ ví dụ trên:

Thứ hạng của ma trận theo hàng bằng thứ hạng của ma trận theo cột. Tôi đã đề cập đến điều này một chút trong bài học về hiệu quả phương pháp tính định thức.

Ghi chú : từ sự phụ thuộc tuyến tính của các hàng nó theo sau sự phụ thuộc tuyến tính cột (và ngược lại). Nhưng để tiết kiệm thời gian và theo thói quen, tôi hầu như sẽ luôn nói về sự phụ thuộc tuyến tính của dây.

Hãy tiếp tục huấn luyện thú cưng yêu quý của chúng ta. Hãy cộng tọa độ của một vectơ cộng tuyến khác vào ma trận ở hàng thứ ba :

Anh ấy có giúp chúng tôi xây dựng cơ sở ba chiều không? Dĩ nhiên là không. Cả ba vectơ đều đi qua lại trên cùng một đường và hạng của ma trận bằng một. Bạn có thể lấy bao nhiêu vectơ cộng tuyến tùy thích, chẳng hạn như 100, đặt tọa độ của chúng vào ma trận “một trăm nhân ba” và thứ hạng của một tòa nhà chọc trời như vậy sẽ vẫn là một.

Chúng ta hãy làm quen với ma trận, các hàng của nó độc lập tuyến tính. Một cặp vectơ không thẳng hàng thích hợp để xây dựng cơ sở ba chiều. Thứ hạng của ma trận này là hai.

Thứ hạng của ma trận là gì? Các đường này dường như không cân xứng... nên về lý thuyết, chúng là ba. Tuy nhiên, thứ hạng của ma trận này cũng là hai. Tôi đã thêm hai dòng đầu tiên và viết kết quả ở phía dưới, tức là. biểu diễn tuyến tính dòng thứ ba đến hai dòng đầu tiên. Về mặt hình học, các hàng của ma trận tương ứng với tọa độ của ba vectơ đồng phẳng, và trong ba người này có một cặp bạn không thẳng hàng.

Bạn có thể thấy, sự phụ thuộc tuyến tính trong ma trận được xem xét là không rõ ràng và hôm nay chúng ta sẽ học cách đưa nó ra ngoài.

Tôi nghĩ nhiều người có thể đoán được thứ hạng của ma trận là gì!

Xét một ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. Dạng vectơ cơ sở affine, và hạng của ma trận này là ba.

Như bạn đã biết, bất kỳ vectơ thứ tư, thứ năm, thứ mười của không gian ba chiều sẽ được biểu diễn tuyến tính dưới dạng các vectơ cơ sở. Vì vậy, nếu bạn thêm bất kỳ số hàng nào vào ma trận thì thứ hạng của nó vẫn sẽ bằng ba.

Lập luận tương tự có thể được thực hiện cho ma trận kích thước lớn hơn(tất nhiên, không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào).

Sự định nghĩa : thứ hạng của một ma trận là số tiền tối đa hàng độc lập tuyến tính. Hoặc: Thứ hạng của ma trận là số cột độc lập tuyến tính tối đa. Vâng, số lượng của họ luôn giống nhau.

Một hướng dẫn thực tế quan trọng cũng được rút ra từ phần trên: thứ hạng của ma trận không vượt quá kích thước tối thiểu của nó. Ví dụ, trong ma trận bốn hàng và năm cột. Kích thước tối thiểu là bốn, do đó, thứ hạng của ma trận này chắc chắn sẽ không vượt quá 4.

Chỉ định: trong lý thuyết và thực tiễn thế giới không có tiêu chuẩn nào được chấp nhận chung để chỉ định thứ hạng của ma trận; có thể tìm thấy tiêu chuẩn phổ biến nhất: - như người ta nói, người Anh viết một thứ, một người Đức viết một thứ khác. Do đó, dựa trên câu chuyện cười nổi tiếng về địa ngục của Mỹ và Nga, hãy biểu thị thứ hạng của ma trận bằng một từ bản địa. Ví dụ: . Và nếu ma trận "không có tên", trong đó có rất nhiều, thì bạn chỉ cần viết .

Làm thế nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng trẻ vị thành niên?

Nếu bà của chúng ta có cột thứ năm trong ma trận của bà, thì chúng ta sẽ phải tính một cột thứ 4 khác (“xanh lam”, “quả mâm xôi” + cột thứ 5).

Phần kết luận: thứ tự tối đa khác 0 nhỏ thì bằng ba, có nghĩa là .

Có lẽ không phải ai cũng hiểu hết câu này: số thứ cấp bậc 4 bằng 0, nhưng trong số các trẻ vị thành niên cấp 3 có một số khác 0 - do đó là bậc tối đa khác không thứ và bằng ba.

Câu hỏi đặt ra: tại sao không tính ngay định thức? Chà, thứ nhất, trong hầu hết các nhiệm vụ, ma trận không vuông và thứ hai, ngay cả khi bạn nhận được giá trị khác 0, nhiệm vụ rất có thể sẽ bị từ chối, vì nó thường ngụ ý giải pháp chuẩn"xuống lên". Và trong ví dụ đang xem xét, định thức 0 của bậc 4 cho phép chúng ta phát biểu rằng hạng của ma trận chỉ nhỏ hơn bốn.

Tôi phải thừa nhận, tôi đã đưa ra vấn đề do chính tôi phân tích để giải thích rõ hơn về phương pháp giáp ranh với trẻ vị thành niên. Trong thực tế, mọi thứ đơn giản hơn:

Ví dụ 2

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp cạnh phụ

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Khi nào thuật toán hoạt động nhanh nhất? Hãy quay lại ma trận 4x4 tương tự. . Rõ ràng, giải pháp sẽ ngắn gọn nhất trong trường hợp “tốt” góc trẻ vị thành niên:

Và, nếu , thì , ngược lại – .

Suy nghĩ hoàn toàn không mang tính giả thuyết - có nhiều ví dụ trong đó toàn bộ vấn đề chỉ giới hạn ở những vấn đề nhỏ góc cạnh.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, một phương pháp khác hiệu quả và thích hợp hơn:

Làm cách nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian?

Đoạn văn này dành cho những độc giả đã quen thuộc với phương pháp Gaussian và ít nhiều đã chạm tay vào nó.

Từ quan điểm kỹ thuật, phương pháp này không mới:

1) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta rút gọn ma trận về dạng từng bước;

2) thứ hạng của ma trận bằng số hàng.

Điều đó hoàn toàn rõ ràng sử dụng phương pháp Gaussian không làm thay đổi thứ hạng của ma trận, và bản chất ở đây cực kỳ đơn giản: theo thuật toán, trong các phép biến đổi cơ bản, tất cả các hàng tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) không cần thiết sẽ được xác định và loại bỏ, dẫn đến “dư lượng khô” - số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa.

Hãy biến đổi ma trận cũ quen thuộc với tọa độ của ba vectơ thẳng hàng:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên đã được thêm vào dòng thứ ba.

(2) Dòng 0 bị loại bỏ.

Vì vậy, còn lại một dòng, do đó . Không cần phải nói, điều này nhanh hơn nhiều so với việc tính chín số 0 bậc 2 và chỉ sau đó mới đưa ra kết luận.

Tôi nhắc nhở bạn rằng bản thân nó ma trận đại số không có gì có thể thay đổi và các phép biến đổi chỉ được thực hiện nhằm mục đích xác định thứ hạng! Nhân tiện, chúng ta hãy tập trung lại vào câu hỏi, tại sao không? Ma trận nguồn mang thông tin về cơ bản khác với thông tin của ma trận và hàng. Trong một số mô hình toán học(không cường điệu) sự khác biệt trong một con số có thể là vấn đề sinh tử. ...Tôi nhớ đến những giáo viên toán tiểu học và trung học đã không thương tiếc trừ điểm 1-2 vì sai sót hoặc sai lệch nhỏ nhất so với thuật toán. Và thật đáng thất vọng khi thay vì chữ “A tưởng chừng như được đảm bảo” lại hóa ra “tốt” hoặc thậm chí tệ hơn. Sự hiểu biết đến muộn hơn nhiều - làm cách nào khác để giao phó vệ tinh, đầu đạn hạt nhân và nhà máy điện cho một người? Nhưng đừng lo, tôi không làm việc trong những lĩnh vực này =)

Hãy chuyển sang các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn, trong đó, trong số những việc khác, chúng ta sẽ làm quen với các kỹ thuật tính toán quan trọng Phương pháp Gauss:

Ví dụ 3

Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Giải pháp: một ma trận “bốn nhân năm” được đưa ra, có nghĩa là thứ hạng của nó chắc chắn không quá 4.

Cột đầu tiên không có 1 hoặc -1 nên cần thiết hành động bổ sung nhằm đạt được ít nhất một đơn vị. Trong suốt quá trình tồn tại của trang web, tôi đã nhiều lần đặt câu hỏi: "Có thể sắp xếp lại các cột trong quá trình biến đổi cơ bản không?" Ở đây, chúng tôi đã sắp xếp lại cột thứ nhất và thứ hai, và mọi thứ đều ổn! Trong hầu hết các nhiệm vụ nơi nó được sử dụng phương pháp Gaussian, các cột thực sự có thể được sắp xếp lại. NHƯNG KHÔNG CẦN. Và vấn đề thậm chí không thể nhầm lẫn với các biến số, vấn đề là trong quá trình cổ điển của toán học cao cấp hành động này theo truyền thống không được xem xét, vì vậy một hành động cúi chào như vậy sẽ bị nhìn RẤT quanh co (hoặc thậm chí bị buộc phải làm lại mọi thứ).

Điểm thứ hai liên quan đến các con số. Khi bạn đưa ra quyết định, sẽ rất hữu ích khi sử dụng quy tắc ngón tay cái sau: các phép biến đổi cơ bản, nếu có thể, nên giảm số ma trận. Xét cho cùng, việc làm việc với một, hai, ba sẽ dễ dàng hơn nhiều so với, chẳng hạn như với 23, 45 và 97. Và hành động đầu tiên không chỉ nhằm mục đích đạt được số một trong cột đầu tiên mà còn nhằm loại bỏ các con số 7 và 11.

Lúc đầu Giải pháp hoàn chỉnh, sau đó nhận xét:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –3. Và vào heap: dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 4, nhân với –1.

(2) Ba dòng cuối cùng tỷ lệ thuận. Dòng thứ 3 và thứ 4 bị loại bỏ, dòng thứ 2 được chuyển về vị trí đầu tiên.

(3) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3.

Ma trận rút gọn về dạng cấp bậc có hai hàng.

Trả lời:

Bây giờ đến lượt bạn tra tấn ma trận bốn nhân bốn:

Ví dụ 4

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian

tôi sẽ nhắc bạn điều đó phương pháp Gaussian không ngụ ý sự cứng nhắc rõ ràng và quyết định của bạn rất có thể sẽ khác với quyết định của tôi. Một ví dụ ngắn gọn về một nhiệm vụ ở cuối bài học.

Tôi nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng của ma trận?

Trong thực tế, người ta thường không nêu rõ nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng. Trong tình huống như vậy, điều kiện cần được phân tích - đối với một số ma trận, việc giải thông qua các ma trận phụ sẽ hợp lý hơn, trong khi đối với các ma trận khác, việc áp dụng các phép biến đổi cơ bản sẽ có lợi hơn nhiều:

Ví dụ 5

Tìm hạng của ma trận

Giải pháp: phương pháp đầu tiên bằng cách nào đó ngay lập tức biến mất =)

Cao hơn một chút, tôi khuyên không nên chạm vào các cột của ma trận, nhưng khi có cột bằng 0, hoặc cột tỷ lệ/trùng khớp thì vẫn đáng để cắt cụt:

(1) Cột thứ năm bằng 0, xóa nó khỏi ma trận. Như vậy, thứ hạng của ma trận không quá bốn. Dòng đầu tiên được nhân với –1. Đây là một tính năng đặc trưng khác của phương pháp Gauss, biến hành động sau thành một cuộc dạo chơi thú vị:

(2) Đối với tất cả các dòng, bắt đầu từ dòng thứ hai, dòng đầu tiên đã được thêm vào.

(3) Dòng đầu tiên nhân với –1, dòng thứ ba chia cho 2, dòng thứ tư chia cho 3. Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ năm, nhân với –1.

(4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ năm, nhân với –2.

(5) Hai dòng cuối tỷ lệ thuận, dòng thứ năm bị xóa.

Kết quả là 4 dòng.

Trả lời:

Tòa nhà năm tầng tiêu chuẩn để thăm dò độc lập:

Ví dụ 6

Tìm hạng của ma trận

Giải pháp nhanh và đáp án ở cuối bài.

Cần lưu ý rằng cụm từ "thứ hạng ma trận" không thường xuyên gặp trong thực tế và trong hầu hết các vấn đề, bạn có thể thực hiện hoàn toàn mà không cần đến nó. Nhưng có một nhiệm vụ mà khái niệm được đề cập là nhân vật chính và chúng ta sẽ kết thúc bài viết bằng ứng dụng thực tế này:

Làm thế nào để nghiên cứu một hệ phương trình tuyến tính cho nhất quán?

Thông thường, bên cạnh giải pháp hệ phương trình tuyến tính Theo điều kiện, trước tiên người ta phải kiểm tra tính tương thích của nó, tức là chứng minh rằng có bất kỳ giải pháp nào tồn tại. Vai trò quan trọng chơi trong một bài kiểm tra như vậy Định lý Kronecker-Capelli, mà tôi sẽ trình bày trong mẫu đơn bắt buộc:

Nếu xếp hạng ma trận hệ thống ngang bằng với cấp bậc hệ ma trận mở rộng, thì hệ thống là nhất quán và nếu số đã cho trùng với số ẩn thì nghiệm là duy nhất.

Vì vậy, để nghiên cứu tính tương thích của hệ thống cần phải kiểm tra sự đẳng thức , Ở đâu - ma trận hệ thống(nhớ lại các thuật ngữ trong bài Phương pháp Gauss), MỘT - ma trận hệ thống mở rộng(tức là một ma trận có hệ số các biến + một cột các thuật ngữ tự do).

Thứ hạng của ma trận là một đặc tính số quan trọng. Bài toán điển hình nhất đòi hỏi phải tìm hạng của ma trận là kiểm tra tính nhất quán của hệ phương trình đại số tuyến tính. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm về thứ hạng ma trận và xem xét các phương pháp tìm nó. Để hiểu rõ hơn về tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các giải pháp cho một số ví dụ.

Điều hướng trang.

Xác định thứ hạng của ma trận và các khái niệm bổ sung cần thiết.

Trước khi đưa ra định nghĩa về hạng của ma trận, bạn nên hiểu rõ về khái niệm số thứ, và việc tìm các số hạng của ma trận hàm ý khả năng tính định thức. Vì vậy, nếu cần, chúng tôi khuyên bạn nên nhớ lại lý thuyết của bài viết, các phương pháp tìm định thức của ma trận và các tính chất của định thức.

Hãy lấy một ma trận A có thứ tự . Hãy để k là một số số tự nhiên, không vượt quá số nhỏ nhất trong các số m và n, nghĩa là: .

Sự định nghĩa.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A được gọi là định thức Ma trận vuông thứ tự, bao gồm các phần tử của ma trận A, được đặt trong k hàng và k cột được chọn trước và vị trí của các phần tử của ma trận A được giữ nguyên.

Nói cách khác, nếu trong ma trận A chúng ta xóa (p–k) hàng và (n–k) cột và từ các phần tử còn lại chúng ta tạo ra một ma trận, giữ nguyên cách sắp xếp các phần tử của ma trận A, thì định thức của ma trận thu được là ma trận thứ cấp k của ma trận A.

Chúng ta hãy xem định nghĩa của ma trận thứ bằng một ví dụ.

Hãy xem xét ma trận .

Hãy viết ra một số trẻ vị thành niên bậc nhất của ma trận này. Ví dụ: nếu chúng ta chọn hàng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A thì lựa chọn của chúng ta tương ứng với thứ tự thứ nhất . Nói cách khác, để có được phần tử nhỏ này, chúng tôi đã gạch bỏ hàng thứ nhất và thứ hai, cũng như cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư từ ma trận A và tạo thành định thức từ phần tử còn lại. Nếu chúng ta chọn hàng đầu tiên và cột thứ ba của ma trận A thì chúng ta sẽ nhận được một số nhỏ .

Hãy để chúng tôi minh họa thủ tục để có được trẻ vị thành niên cấp một được coi là
Và .

Vì vậy, các phần tử cấp một của ma trận chính là các phần tử ma trận.

Hãy chỉ ra một số trẻ vị thành niên bậc hai. Chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ: lấy hàng thứ nhất và thứ hai cũng như cột thứ ba và thứ tư. Với sự lựa chọn này, chúng ta có một thứ thứ hai . Phần này cũng có thể được tạo bằng cách xóa hàng thứ ba, cột thứ nhất và cột thứ hai khỏi ma trận A.

Một thứ cấp hai khác của ma trận A là .

Hãy để chúng tôi minh họa việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp hai này
Và .

Tương tự, có thể tìm được các phần tử bậc ba của ma trận A. Vì chỉ có ba hàng trong ma trận A nên chúng tôi chọn tất cả. Nếu chúng ta chọn ba cột đầu tiên của các hàng này, chúng ta sẽ nhận được cột thứ ba

Nó cũng có thể được xây dựng bằng cách gạch bỏ cột cuối cùng của ma trận A.

Một thứ tự thứ ba khác là

thu được bằng cách xóa cột thứ ba của ma trận A.

Dưới đây là hình ảnh cho thấy việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp ba này
Và .

Đối với một ma trận A cho trước, không có cấp thứ nào lớn hơn thứ ba, vì .

Có bao nhiêu cấp số thứ k trong ma trận cấp A?

Số lượng thứ tự k có thể được tính bằng , trong đó Và - số cách kết hợp tương ứng từ p đến k và từ n đến k.

Làm thế nào chúng ta có thể xây dựng tất cả các cấp số thứ k của ma trận A cấp p theo n?

Chúng ta sẽ cần nhiều số hàng và nhiều số cột của ma trận. Chúng tôi viết ra mọi thứ sự kết hợp của các phần tử p bởi k(chúng sẽ tương ứng với các hàng của ma trận A đã chọn khi xây dựng cấp thứ k). Đối với mỗi tổ hợp số hàng, chúng ta thêm tuần tự tất cả các tổ hợp n phần tử của k số cột. Các tổ hợp số hàng và số cột của ma trận A này sẽ giúp tạo ra tất cả các số thứ tự k.

Hãy xem xét nó với một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm tất cả các số hạng thứ hai của ma trận.

Giải pháp.

Vì bậc của ma trận ban đầu là 3 x 3 nên tổng số bậc hai sẽ là .

Hãy viết tất cả các tổ hợp số từ 3 đến 2 hàng của ma trận A: 1, 2; 1, 3 và 2, 3. Tất cả các kết hợp của 3 đến 2 số cột là 1, 2; 1, 3 và 2, 3.

Hãy lấy hàng thứ nhất và thứ hai của ma trận A. Bằng cách chọn cột thứ nhất và thứ hai, cột thứ nhất và thứ ba, cột thứ hai và thứ ba cho các hàng này, chúng ta thu được các cột phụ tương ứng

Đối với hàng thứ nhất và thứ ba, với cách chọn cột tương tự, chúng ta có

Vẫn còn phải thêm cột thứ nhất và thứ hai, thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ ba vào hàng thứ hai và thứ ba:

Như vậy đã tìm được tất cả 9 số hạng bậc hai của ma trận A.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành xác định thứ hạng của ma trận.

Sự định nghĩa.

Xếp hạng ma trận- Cái này thứ tự cao nhất ma trận nhỏ, khác 0.

Thứ hạng của ma trận A được ký hiệu là Rank(A). Bạn cũng có thể tìm thấy các ký hiệu Rg(A) hoặc Rang(A) .

Từ các định nghĩa về hạng ma trận và ma trận nhỏ, chúng ta có thể kết luận rằng hạng của ma trận 0 bằng 0 và hạng của ma trận khác 0 không nhỏ hơn một.

Tìm hạng của ma trận theo định nghĩa.

Vì vậy, phương pháp đầu tiên để tìm thứ hạng của ma trận là phương pháp liệt kê người chưa thành niên. Phương pháp này dựa trên việc xác định thứ hạng của ma trận.

Ta cần tìm hạng của ma trận A có bậc .

Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán giải quyết vấn đề này bằng cách liệt kê trẻ vị thành niên.

Nếu có ít nhất một phần tử của ma trận khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất bằng một (vì có một phần tử bậc nhất không bằng 0).

Tiếp theo chúng ta nhìn vào trẻ vị thành niên thứ hai. Nếu tất cả các số hạng thứ hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một phần tử thứ hai khác 0 thì chúng ta tiến hành liệt kê các phần tử thứ cấp của bậc ba và hạng của ma trận ít nhất bằng hai.

Tương tự, nếu tất cả các phần tử bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận là hai. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên bậc ba khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất là ba và chúng ta chuyển sang liệt kê các trẻ vị thành niên bậc bốn.

Lưu ý rằng hạng của ma trận không được vượt quá giá trị nhỏ nhất trong các số p và n.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận .

Giải pháp.

Vì ma trận khác 0 nên hạng của nó không nhỏ hơn một.

Thứ tự thứ hai khác 0 nên hạng của ma trận A ít nhất là hai. Chúng tôi chuyển sang liệt kê trẻ vị thành niên bậc ba. Tổng số trong số họ đồ đạc.

Tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận là hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ.

Có các phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận cho phép bạn thu được kết quả với công việc tính toán ít hơn.

Một phương pháp như vậy là phương pháp nhỏ cạnh.

Hãy giải quyết khái niệm về cạnh nhỏ.

Người ta nói rằng M ok thứ cấp (k+1) của ma trận A giáp M thứ thứ k của ma trận A nếu ma trận tương ứng với thứ M ok “chứa” ma trận tương ứng với thứ đó M.

Nói cách khác, ma trận tương ứng với phần tử giáp M được lấy từ ma trận tương ứng với phần tử giáp M ok bằng cách xóa các phần tử của một hàng và một cột.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận và nhận đơn thứ hai nhỏ. Hãy viết ra tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh:

Phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên được chứng minh bằng định lý sau (chúng tôi trình bày công thức của nó mà không chứng minh).

Định lý.

Nếu tất cả các phân số giáp cấp thứ k của ma trận A cấp p x n đều bằng 0, thì tất cả các cấp số thứ k+1 của ma trận A đều bằng 0.

Vì vậy, để tìm hạng của một ma trận không nhất thiết phải đi qua tất cả các phần tử con đủ giáp. Số lượng con giáp thứ k của ma trận cấp A được tìm theo công thức . Lưu ý rằng không có nhiều số bé bao quanh cấp thứ k của ma trận A hơn số cấp (k + 1) của ma trận A. Vì vậy, trong hầu hết các trường hợp, sử dụng phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên sẽ có lợi hơn là chỉ liệt kê tất cả các trẻ vị thành niên.

Chúng ta hãy chuyển sang tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp giáp ranh giới thứ. Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán phương pháp này.

Nếu ma trận A khác 0 thì với tư cách là phần tử bậc nhất, chúng ta lấy bất kỳ phần tử nào của ma trận A khác 0. Chúng ta hãy nhìn vào trẻ vị thành niên giáp ranh của nó. Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một số bé giáp khác 0 (thứ tự của nó là hai), thì chúng ta tiến hành xem xét các số bé giáp của nó. Nếu tất cả đều bằng 0 thì Hạng(A) = 2. Nếu ít nhất một phần phụ tiếp giáp khác 0 (thứ tự của nó là ba), thì chúng ta xem xét các phần phụ tiếp giáp của nó. Và như thế. Kết quả là, Hạng(A) = k nếu tất cả các số phụ giáp của bậc (k + 1) của ma trận A đều bằng 0, hoặc Hạng(A) = min(p, n) nếu không có số không thứ bao quanh thứ tự thứ (min( p, n) – 1) .

Chúng ta hãy xem phương pháp bao quanh phần tử phụ để tìm thứ hạng của ma trận bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp trẻ vị thành niên.

Giải pháp.

Vì phần tử a 1 1 của ma trận A khác 0 nên chúng ta coi nó là phần tử thứ nhất. Hãy bắt đầu tìm kiếm một số nhỏ giáp ranh khác 0:

Một cạnh nhỏ bậc hai, khác 0, được tìm thấy. Chúng ta hãy nhìn vào các trẻ vị thành niên giáp ranh của nó (của họ đồ đạc):

Tất cả các phần tử giáp với phần tử bậc hai đều bằng 0, do đó hạng của ma trận A bằng hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận sử dụng trẻ vị thành niên giáp ranh.

Giải pháp.

Là phần tử thứ nhất khác 0, ta lấy phần tử a 1 1 = 1 của ma trận A. Trẻ vị thành niên xung quanh thuộc cấp thứ hai không bằng không. Trẻ vị thành niên này giáp với trẻ vị thành niên cấp ba
. Vì nó không bằng 0 và không có một phần nhỏ giáp nào cho nó nên hạng của ma trận A bằng ba.

Trả lời:

Hạng(A) = 3 .

Tìm thứ hạng bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản (phương pháp Gauss).

Hãy xem xét một cách khác để tìm thứ hạng của ma trận.

Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là phép biến đổi cơ bản:

sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận;
nhân tất cả các phần tử của hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý, khác 0;
thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k tùy ý.

Ma trận B được gọi là tương đương với ma trận A, nếu B thu được từ A bằng cách sử dụng hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Sự tương đương của ma trận được ký hiệu bằng ký hiệu “~”, nghĩa là được viết là A ~ B.

Việc tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản dựa trên tuyên bố: nếu ma trận B thu được từ ma trận A bằng cách sử dụng số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì Rank(A) = Rank(B) .

Giá trị của tuyên bố này xuất phát từ các tính chất của định thức của ma trận:

Khi sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận, định thức của nó đổi dấu. Nếu nó bằng 0 thì khi sắp xếp lại các hàng (cột) vẫn bằng 0.
Khi nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý khác 0, định thức của ma trận thu được bằng định thức của ma trận gốc nhân với k. Nếu định thức của ma trận gốc bằng 0 thì sau khi nhân tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bất kỳ với số k, định thức của ma trận thu được cũng sẽ bằng 0.
Việc thêm vào các phần tử của một hàng (cột) nhất định của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k nhất định, không làm thay đổi định thức của nó.

Bản chất của phương pháp biến đổi cơ bản bao gồm việc giảm ma trận có hạng mà chúng ta cần tìm thành ma trận hình thang (trong trường hợp cụ thể là ma trận tam giác trên) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Tại sao việc này lại được thực hiện? Thứ hạng của ma trận loại này rất dễ tìm. Nó bằng số dòng chứa ít nhất một phần tử khác 0. Và vì hạng của ma trận không thay đổi khi thực hiện các phép biến đổi cơ bản nên giá trị thu được sẽ là hạng của ma trận ban đầu.

Chúng tôi đưa ra các minh họa về ma trận, một trong số đó sẽ thu được sau khi biến đổi. Sự xuất hiện của chúng phụ thuộc vào thứ tự của ma trận.

Những hình minh họa này là các mẫu mà chúng ta sẽ chuyển đổi ma trận A.

Hãy mô tả thuật toán phương pháp.

Chúng ta cần tìm thứ hạng của ma trận A khác 0 có cấp độ (p có thể bằng n).

Vì thế, . Hãy nhân tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận A với . Trong trường hợp này, chúng ta thu được một ma trận tương đương, ký hiệu là A (1):

Đối với các phần tử của hàng thứ hai của ma trận kết quả A (1), chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên, nhân với . Đối với các phần tử của dòng thứ ba, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của dòng đầu tiên, nhân với . Và cứ như vậy cho đến dòng thứ p. Hãy lấy một ma trận tương đương, ký hiệu là A (2):

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả nằm trong các hàng từ thứ hai đến thứ p đều bằng 0 thì thứ hạng của ma trận này bằng một và do đó, thứ hạng của ma trận ban đầu bằng 0 đến một.

Nếu trong các dòng từ thứ hai đến thứ p có ít nhất một phần tử khác 0 thì chúng ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng ta hành động hoàn toàn giống nhau, nhưng chỉ với phần ma trận A (2) được đánh dấu trong hình.

Nếu , thì chúng ta sắp xếp lại các hàng và (hoặc) cột của ma trận A (2) sao cho phần tử “mới” trở thành khác 0.