Nhân một ma trận với một số thực. Hành động với ma trận

Hướng dẫn này sẽ giúp bạn học cách thực hiện các phép toán với ma trận: cộng (trừ) ma trận, hoán vị ma trận, nhân ma trận, tìm ma trận nghịch đảo. Tất cả tài liệu đều được trình bày dưới dạng đơn giản và dễ tiếp cận, các ví dụ liên quan được đưa ra, vì vậy ngay cả một người chưa chuẩn bị cũng có thể học cách thực hiện các hành động với ma trận. Để tự theo dõi và tự kiểm tra, bạn có thể tải xuống máy tính ma trận miễn phí >>>.

Tôi sẽ cố gắng giảm thiểu các tính toán lý thuyết; ở một số chỗ có thể giải thích “trên ngón tay” và sử dụng các thuật ngữ phi khoa học. Những người yêu thích lý thuyết vững chắc, xin đừng tham gia vào việc chỉ trích, nhiệm vụ của chúng tôi là học cách thực hiện các phép toán với ma trận.

Để chuẩn bị SIÊU NHANH về chủ đề (ai là người “bùng cháy”), có một khóa học pdf chuyên sâu Ma trận, định thức và kiểm tra!

Ma trận là một bảng hình chữ nhật có một số yếu tố. BẰNG yếu tố chúng ta sẽ xem xét các con số, tức là các ma trận số. YẾU TỐ là một thuật ngữ. Nên nhớ thuật ngữ này, nó sẽ xuất hiện thường xuyên, không phải ngẫu nhiên mà tôi dùng chữ đậm để làm nổi bật nó.

Chỉ định: ma trận thường được ký hiệu bằng chữ Latinh in hoa

Ví dụ: Hãy xem xét một ma trận hai nhân ba:

Ma trận này bao gồm sáu yếu tố:

Tất cả các số (phần tử) bên trong ma trận đều tồn tại độc lập, nghĩa là không có bất kỳ phép trừ nào:

Nó chỉ là một bảng (bộ) số!

Chúng tôi cũng sẽ đồng ý đừng sắp xếp lại số, trừ khi có quy định khác trong phần giải thích. Mỗi số có vị trí riêng và không thể xáo trộn được!

Ma trận được đề cập có hai hàng:

và ba cột:

TIÊU CHUẨN: khi nói về kích thước ma trận thì lúc đầu cho biết số hàng và chỉ sau đó là số cột. Chúng ta vừa chia nhỏ ma trận hai nhân ba.

Nếu số hàng và số cột của một ma trận bằng nhau thì ma trận đó được gọi là quảng trường, Ví dụ: – một ma trận ba nhân ba.

Nếu ma trận có một cột hoặc một hàng thì các ma trận đó còn được gọi là vectơ.

Trên thực tế, chúng ta đã biết khái niệm ma trận từ khi còn đi học; ví dụ, hãy xem xét một điểm có tọa độ “x” và “y”: . Về cơ bản, tọa độ của một điểm được viết thành ma trận một nhân hai. Nhân tiện, đây là một ví dụ giải thích tại sao thứ tự của các số lại quan trọng: và là hai điểm hoàn toàn khác nhau trên mặt phẳng.

Bây giờ chúng ta chuyển sang học các phép toán với ma trận:

1) Hành động một. Loại bỏ dấu trừ khỏi ma trận (đưa dấu trừ vào ma trận).

Hãy quay lại ma trận của chúng ta . Như bạn có thể nhận thấy, có quá nhiều số âm trong ma trận này. Điều này rất bất tiện từ quan điểm thực hiện các hành động khác nhau với ma trận, thật bất tiện khi viết quá nhiều điểm trừ và đơn giản là nó trông xấu về mặt thiết kế.

Hãy di chuyển dấu trừ ra ngoài ma trận bằng cách đổi dấu MỖI phần tử của ma trận:

Ở mức 0, như bạn hiểu, dấu không thay đổi; số 0 cũng bằng 0 ở Châu Phi.

Ví dụ ngược lại: . Nó trông xấu xí.

Hãy đưa dấu trừ vào ma trận bằng cách đổi dấu MỖI phần tử của ma trận:

Chà, hóa ra nó đẹp hơn nhiều. Và quan trọng nhất, việc thực hiện bất kỳ hành động nào với ma trận sẽ DỄ DÀNG HƠN. Bởi vì có một dấu hiệu toán học dân gian như sau: càng nhiều điểm trừ càng dễ nhầm lẫn và sai sót.

2) Màn hai. Nhân một ma trận với một số.

Ví dụ:

Thật đơn giản, để nhân một ma trận với một số, bạn cần mọi phần tử ma trận nhân với một số nhất định. Trong trường hợp này - ba.

Một ví dụ hữu ích khác:

– nhân một ma trận với một phân số

Đầu tiên chúng ta hãy xem phải làm gì KHÔNG CẦN:

KHÔNG CẦN nhập một phân số vào ma trận; thứ nhất, nó chỉ làm phức tạp thêm các thao tác tiếp theo với ma trận và thứ hai, nó khiến giáo viên khó kiểm tra lời giải (đặc biệt nếu – đáp án cuối cùng của bài tập).

Và đặc biệt, KHÔNG CẦN chia từng phần tử của ma trận cho trừ bảy:

Từ bài viết Toán học dành cho người chưa biết hoặc bắt đầu từ đâu, chúng ta nhớ rằng trong toán học cao hơn, họ cố gắng tránh phân số thập phân bằng dấu phẩy bằng mọi cách có thể.

Điều duy nhất là tốt nhất là Việc cần làm trong ví dụ này là thêm dấu trừ vào ma trận:

Nhưng nếu chỉ TẤT CẢ phần tử ma trận được chia cho 7 Không một dâu vêt, thì có thể (và cần thiết!) để chia.

Ví dụ:

Trong trường hợp này, bạn có thể CẦN PHẢI nhân tất cả các phần tử của ma trận với , vì tất cả các số ma trận đều chia hết cho 2 Không một dâu vêt.

Lưu ý: trong lý thuyết toán phổ thông không có khái niệm “phép chia”. Thay vì nói “cái này chia cho cái kia”, bạn luôn có thể nói “cái này nhân với một phân số”. Nghĩa là phép chia là trường hợp đặc biệt của phép nhân.

3) Màn ba. Chuyển đổi ma trận.

Để chuyển vị một ma trận, bạn cần viết các hàng của nó vào các cột của ma trận chuyển vị.

Ví dụ:

ma trận chuyển vị

Ở đây chỉ có một dòng và theo quy tắc, nó phải được viết thành một cột:

– ma trận chuyển vị.

Ma trận chuyển vị thường được biểu thị bằng chỉ số trên hoặc số nguyên tố ở trên cùng bên phải.

Ví dụ từng bước:

ma trận chuyển vị

Đầu tiên chúng ta viết lại hàng đầu tiên vào cột đầu tiên:

Sau đó chúng ta viết lại dòng thứ hai vào cột thứ hai:

Và cuối cùng, chúng ta viết lại hàng thứ ba thành cột thứ ba:

Sẵn sàng. Nói một cách đại khái, hoán vị có nghĩa là xoay ma trận về phía nó.

4) Màn bốn. Tổng (chênh lệch) của ma trận.

Tổng các ma trận là một phép toán đơn giản.
KHÔNG PHẢI TẤT CẢ CÁC MA TRẬN CÓ THỂ ĐƯỢC GẬP LẠI. Để thực hiện phép cộng (trừ) các ma trận, chúng cần phải có CÙNG KÍCH THƯỚC.

Ví dụ: nếu một ma trận hai nhân hai được đưa ra thì nó chỉ có thể được cộng bằng ma trận hai nhân hai chứ không được thêm ma trận nào khác!

Ví dụ:

Thêm ma trận Và

Để thêm ma trận, bạn cần thêm các phần tử tương ứng của chúng:

Đối với sự khác biệt của ma trận, quy tắc tương tự, cần tìm sự khác biệt của các phần tử tương ứng.

Ví dụ:

Tìm sự khác biệt ma trận ,

Làm thế nào bạn có thể giải ví dụ này dễ dàng hơn để không bị nhầm lẫn? Nên loại bỏ những điểm trừ không cần thiết, để làm điều này, hãy thêm một điểm trừ vào ma trận:

Lưu ý: trong lý thuyết toán phổ thông không có khái niệm “trừ”. Thay vì nói “trừ cái này khỏi cái này”, bạn luôn có thể nói “cộng số âm vào cái này”. Nghĩa là phép trừ là trường hợp đặc biệt của phép cộng.

5) Màn thứ năm. Phép nhân ma trận.

Những ma trận nào có thể nhân được?

Để nhân một ma trận với một ma trận, cần phải sao cho số cột ma trận bằng số hàng ma trận.

Ví dụ:
Có thể nhân một ma trận với một ma trận không?

Điều này có nghĩa là dữ liệu ma trận có thể được nhân lên.

Nhưng nếu các ma trận được sắp xếp lại thì trong trường hợp này phép nhân không còn thực hiện được nữa!

Do đó, phép nhân không thể thực hiện được:

Không quá hiếm khi gặp phải các nhiệm vụ có thủ thuật, khi học sinh được yêu cầu nhân các ma trận, phép nhân của ma trận đó rõ ràng là không thể.

Cần lưu ý rằng trong một số trường hợp có thể nhân ma trận theo cả hai cách.
Ví dụ: đối với ma trận, cả phép nhân và phép nhân đều có thể thực hiện được

Chủ đề này sẽ bao gồm các phép toán như cộng và trừ ma trận, nhân một ma trận với một số, nhân một ma trận với một ma trận và hoán vị một ma trận. Tất cả các ký hiệu được sử dụng trên trang này được lấy từ chủ đề trước.

Phép cộng và phép trừ ma trận.

Tổng $A+B$ của các ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ và $B_(m\times n)=(b_(ij))$ được gọi là ma trận $C_(m \times n) =(c_(ij))$, trong đó $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline( 1, n) $.

Một định nghĩa tương tự được đưa ra cho sự khác biệt của ma trận:

Sự khác biệt giữa ma trận $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ và $B_(m\times n)=(b_(ij))$ là ma trận $C_(m\times n)=( c_(ij))$, trong đó $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline(1, n)$.

Giải thích cho mục nhập $i=\overline(1,m)$: show\hide

Ký hiệu "$i=\overline(1,m)$" có nghĩa là tham số $i$ thay đổi từ 1 đến m. Ví dụ: ký hiệu $i=\overline(1,5)$ chỉ ra rằng tham số $i$ lấy các giá trị 1, 2, 3, 4, 5.

Điều đáng chú ý là các phép tính cộng và trừ chỉ được xác định cho các ma trận có cùng kích thước. Nói chung, phép cộng và phép trừ ma trận là các phép toán rõ ràng bằng trực giác, vì về cơ bản chúng chỉ có nghĩa là tổng hoặc trừ các phần tử tương ứng.

Ví dụ số 1

Ba ma trận được đưa ra:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Có thể tìm được ma trận $A+F$ không? Tìm ma trận $C$ và $D$ nếu $C=A+B$ và $D=A-B$.

Ma trận $A$ chứa 2 hàng và 3 cột (nói cách khác, kích thước của ma trận $A$ là $2\times 3$) và ma trận $F$ chứa 2 hàng và 2 cột. Kích thước của ma trận $A$ và $F$ không khớp nhau nên chúng ta không thể cộng chúng, tức là. thao tác $A+F$ không được xác định cho các ma trận này.

Kích thước của ma trận $A$ và $B$ là như nhau, tức là Dữ liệu ma trận chứa số hàng và số cột bằng nhau nên phép toán cộng có thể áp dụng cho chúng.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(mảng) \right) $$

Hãy tìm ma trận $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(mảng) \right) $$

Trả lời: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Nhân một ma trận với một số.

Tích của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ với số $\alpha$ là ma trận $B_(m\times n)=(b_(ij))$, trong đó $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline(1,n)$.

Nói một cách đơn giản, nhân một ma trận với một số nhất định có nghĩa là nhân từng phần tử của ma trận đã cho với số đó.

Ví dụ số 2

Ma trận được cho: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Tìm các ma trận $3\cdot A$, $-5\cdot A$ và $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( mảng) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (mảng) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(mảng) \right) =\left(\begin(mảng) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(mảng) \right). $$

Ký hiệu $-A$ là ký hiệu viết tắt của $-1\cdot A$. Nghĩa là, để tìm $-A$ bạn cần nhân tất cả các phần tử của ma trận $A$ với (-1). Về cơ bản, điều này có nghĩa là dấu của tất cả các phần tử của ma trận $A$ sẽ thay đổi ngược lại:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Trả lời: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Tích của hai ma trận.

Định nghĩa của hoạt động này rất phức tạp và thoạt nhìn có vẻ không rõ ràng. Do đó, trước tiên tôi sẽ chỉ ra một định nghĩa chung, sau đó chúng ta sẽ phân tích chi tiết ý nghĩa của nó và cách làm việc với nó.

Tích của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ của ma trận $B_(n\times k)=(b_(ij))$ là ma trận $C_(m\times k )=(c_( ij))$, trong đó mỗi phần tử $c_(ij)$ bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng ở hàng thứ i của ma trận $A$ với các phần tử của j - cột thứ của ma trận $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Chúng ta hãy xem xét phép nhân ma trận từng bước bằng một ví dụ. Tuy nhiên, bạn cần lưu ý ngay rằng không phải tất cả các ma trận đều có thể nhân được. Nếu muốn nhân ma trận $A$ với ma trận $B$ thì trước tiên chúng ta cần đảm bảo rằng số cột của ma trận $A$ bằng số hàng của ma trận $B$ (các ma trận như vậy thường được gọi là đã đồng ý). Ví dụ: ma trận $A_(5\times 4)$ (ma trận chứa 5 hàng và 4 cột) không thể nhân với ma trận $F_(9\times 8)$ (9 hàng và 8 cột), vì số số cột của ma trận $A $ không bằng số hàng của ma trận $F$, tức là. $4\neq 9$. Nhưng bạn có thể nhân ma trận $A_(5\times 4)$ với ma trận $B_(4\times 9)$, vì số cột của ma trận $A$ bằng số hàng của ma trận $ B$. Trong trường hợp này, kết quả của phép nhân các ma trận $A_(5\times 4)$ và $B_(4\times 9)$ sẽ là ma trận $C_(5\times 9)$, chứa 5 hàng và 9 cột:

Ví dụ số 3

Các ma trận đã cho: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (mảng) \right)$ và $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Tìm ma trận $C=A\cdot B$.

Đầu tiên, hãy xác định ngay kích thước của ma trận $C$. Vì ma trận $A$ có kích thước $3\times 4$ và ma trận $B$ có kích thước $4\times 2$, nên kích thước của ma trận $C$ là: $3\times 2$:

Vì vậy, nhờ tích các ma trận $A$ và $B$, chúng ta sẽ thu được một ma trận $C$, bao gồm ba hàng và hai cột: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Nếu việc chỉ định các phần tử đặt ra câu hỏi, thì bạn có thể xem chủ đề trước: "Ma trận. Các loại ma trận. Các thuật ngữ cơ bản", ở phần đầu sẽ giải thích cách chỉ định các phần tử ma trận. Mục tiêu của chúng ta: tìm giá trị của tất cả các phần tử của ma trận $C$.

Hãy bắt đầu với phần tử $c_(11)$. Để thu được phần tử $c_(11)$, bạn cần tìm tổng các tích của các phần tử ở hàng đầu tiên của ma trận $A$ và cột đầu tiên của ma trận $B$:

Để tìm chính phần tử $c_(11)$, bạn cần nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận $A$ với các phần tử tương ứng của cột đầu tiên của ma trận $B$, tức là. phần tử thứ nhất đến phần thứ nhất, phần tử thứ hai đến phần thứ hai, phần tử thứ ba đến phần thứ ba, phần tử thứ tư đến phần thứ tư. Chúng tôi tóm tắt các kết quả thu được:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Hãy tiếp tục giải và tìm $c_(12)$. Để làm điều này, bạn sẽ phải nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận $A$ với cột thứ hai của ma trận $B$:

Tương tự như phần trước, ta có:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận $C$ đã được tìm thấy. Hãy chuyển sang dòng thứ hai, bắt đầu bằng phần tử $c_(21)$. Để tìm nó, bạn sẽ phải nhân các phần tử của hàng thứ hai của ma trận $A$ với cột đầu tiên của ma trận $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Chúng ta tìm phần tử tiếp theo $c_(22)$ bằng cách nhân các phần tử của hàng thứ hai của ma trận $A$ với các phần tử tương ứng của cột thứ hai của ma trận $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Để tìm $c_(31)$, hãy nhân các phần tử của hàng thứ ba của ma trận $A$ với các phần tử của cột đầu tiên của ma trận $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Và cuối cùng, để tìm phần tử $c_(32)$, bạn sẽ phải nhân các phần tử của hàng thứ ba của ma trận $A$ với các phần tử tương ứng của cột thứ hai của ma trận $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Tất cả các phần tử của ma trận $C$ đã được tìm thấy, tất cả những gì còn lại là viết $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( mảng) \right)$ . Hoặc viết đầy đủ:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Trả lời: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Nhân tiện, thường không có lý do gì để mô tả chi tiết vị trí của từng phần tử trong ma trận kết quả. Đối với ma trận có kích thước nhỏ, bạn có thể thực hiện việc này:

Cũng cần lưu ý rằng phép nhân ma trận là không giao hoán. Điều này có nghĩa là trong trường hợp tổng quát $A\cdot B\neq B\cdot A$. Chỉ dành cho một số loại ma trận, được gọi là có thể hoán đổi(hoặc đi lại), đẳng thức $A\cdot B=B\cdot A$ là đúng. Chính xác là dựa trên tính không giao hoán của phép nhân mà chúng ta cần chỉ ra chính xác cách chúng ta nhân biểu thức với một ma trận cụ thể: ở bên phải hoặc bên trái. Ví dụ: cụm từ “nhân cả hai vế của đẳng thức $3E-F=Y$ với ma trận $A$ ở bên phải” có nghĩa là bạn muốn nhận đẳng thức sau: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot Một đô la.

Chuyển đổi đối với ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ là ma trận $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, cho các phần tử $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Nói một cách đơn giản, để có được ma trận chuyển vị $A^T$, bạn cần thay thế các cột trong ma trận ban đầu $A$ bằng các hàng tương ứng theo nguyên tắc sau: có hàng đầu tiên - sẽ có cột đầu tiên ; có hàng thứ hai - sẽ có cột thứ hai; đã có hàng thứ ba - sẽ có cột thứ ba, v.v. Ví dụ: hãy tìm ma trận được chuyển đổi thành ma trận $A_(3\times 5)$:

Theo đó, nếu ma trận ban đầu có kích thước $3\times 5$, thì ma trận chuyển đổi có kích thước $5\times 3$.

Một số tính chất của phép toán trên ma trận.

Ở đây giả định rằng $\alpha$, $\beta$ là một số số và $A$, $B$, $C$ là ma trận. Đối với bốn thuộc tính đầu tiên, tôi đã chỉ ra tên; phần còn lại có thể được đặt tên theo cách tương tự với bốn thuộc tính đầu tiên.

$A+B=B+A$ (tính giao hoán của phép cộng)
$A+(B+C)=(A+B)+C$ (tính kết hợp của phép cộng)
$(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (phân phối của phép nhân với ma trận đối với phép cộng các số)
$\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (phân phối của phép nhân với một số so với phép cộng ma trận)
$A(BC)=(AB)C$
$(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
$A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
$A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, trong đó $E$ là ma trận đơn vị của thứ tự tương ứng.
$A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, trong đó $O$ là ma trận 0 có kích thước phù hợp.
$\left(A^T \right)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(AB)^T=B^T\cdot A^T$
$\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét phép toán nâng ma trận lên lũy thừa nguyên không âm, đồng thời giải các ví dụ trong đó cần thực hiện một số phép toán trên ma trận.

Năm thứ nhất, toán cao cấp, đang học ma trận và các hành động cơ bản trên chúng. Ở đây chúng ta hệ thống hóa các phép toán cơ bản có thể thực hiện được với ma trận. Bắt đầu làm quen với ma trận ở đâu? Tất nhiên, từ những điều đơn giản nhất - định nghĩa, khái niệm cơ bản và các thao tác đơn giản. Chúng tôi đảm bảo với bạn rằng tất cả những người dành ít nhất một chút thời gian cho chúng sẽ hiểu được các ma trận!

Định nghĩa ma trận

Ma trận là một bảng hình chữ nhật gồm các phần tử. Vâng, nói một cách đơn giản – một bảng số.

Thông thường, ma trận được ký hiệu bằng chữ Latinh in hoa. Ví dụ, ma trận MỘT , ma trận B và như thế. Ma trận có thể có kích thước khác nhau: hình chữ nhật, hình vuông và cũng có ma trận hàng và cột gọi là vectơ. Kích thước của ma trận được xác định bởi số hàng và số cột. Ví dụ: hãy viết một ma trận hình chữ nhật có kích thước tôi TRÊN N , Ở đâu tôi - số dòng, và N - số cột.

Các mặt hàng dành cho tôi=j (a11, a22, .. ) tạo thành đường chéo chính của ma trận và được gọi là đường chéo.

Bạn có thể làm gì với ma trận? Cộng/trừ, nhân với một số, nhân với nhau, chuyển đổi. Bây giờ về thứ tự tất cả các phép toán cơ bản trên ma trận.

Phép cộng và phép trừ ma trận

Hãy để chúng tôi cảnh báo ngay cho bạn rằng bạn chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước. Kết quả sẽ là một ma trận có cùng kích thước. Cộng (hoặc trừ) ma trận rất đơn giản - bạn chỉ cần cộng các phần tử tương ứng của chúng . Hãy đưa ra một ví dụ. Hãy thực hiện phép cộng hai ma trận A và B có kích thước hai nhân hai.

Phép trừ được thực hiện bằng cách tương tự, chỉ với dấu ngược lại.

Bất kỳ ma trận nào cũng có thể được nhân với một số tùy ý. Để làm điều này, bạn cần nhân từng phần tử của nó với số này. Ví dụ: hãy nhân ma trận A từ ví dụ đầu tiên với số 5:

Phép nhân ma trận

Không phải tất cả các ma trận đều có thể nhân với nhau. Ví dụ: chúng ta có hai ma trận - A và B. Chúng chỉ có thể nhân với nhau nếu số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Trong trường hợp này Mỗi phần tử của ma trận kết quả nằm ở hàng thứ i và cột thứ j sẽ bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng ở hàng thứ i của thừa số thứ nhất và cột thứ j của thư hai. Để hiểu thuật toán này, hãy viết ra cách nhân hai ma trận vuông:

Và một ví dụ với số thực. Hãy nhân các ma trận:

Hoạt động chuyển vị ma trận

Chuyển vị ma trận là một thao tác trong đó các hàng và cột tương ứng được hoán đổi cho nhau. Ví dụ: hãy hoán vị ma trận A từ ví dụ đầu tiên:

Định thức ma trận

Định thức hay định thức là một trong những khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính. Ngày xửa ngày xưa, người ta nghĩ ra các phương trình tuyến tính, và sau đó họ phải nghĩ ra định thức. Cuối cùng, việc giải quyết tất cả những điều này là tùy thuộc vào bạn, vì vậy, hãy là nỗ lực cuối cùng!

Định thức là một đặc tính số của ma trận vuông, cần thiết để giải nhiều bài toán.
Để tính định thức của ma trận vuông đơn giản nhất, bạn cần tính hiệu giữa tích các phần tử của đường chéo chính và đường chéo phụ.

Định thức của ma trận cấp một, nghĩa là gồm một phần tử, bằng phần tử này.

Nếu ma trận là ba nhân ba thì sao? Điều này khó khăn hơn, nhưng bạn có thể quản lý nó.

Đối với ma trận như vậy, giá trị của định thức bằng tổng tích các phần tử của đường chéo chính và tích các phần tử nằm trên các tam giác có mặt song song với đường chéo chính, từ đó tích của các phần tử của đường chéo phụ và tích của các phần tử nằm trên các tam giác có mặt của đường chéo phụ song song bị trừ đi.

May mắn thay, trong thực tế hiếm khi cần tính định thức của ma trận có kích thước lớn.

Ở đây chúng ta đã xem xét các phép toán cơ bản trên ma trận. Tất nhiên, trong cuộc sống thực, bạn có thể không bao giờ gặp phải dù chỉ một chút về hệ phương trình ma trận, hoặc ngược lại, bạn có thể gặp những trường hợp phức tạp hơn nhiều khi bạn thực sự phải vắt óc. Đối với những trường hợp như vậy cần có chuyên gia dịch vụ sinh viên. Yêu cầu trợ giúp, nhận được giải pháp chi tiết và chất lượng cao, tận hưởng thành công trong học tập và thời gian rảnh rỗi.

Bài giảng số 1

Ma trận

Định nghĩa và các loại ma trận

Định nghĩa 1.1.Ma trận kích cỡ T P là một bảng số hình chữ nhật (hoặc các đồ vật khác) chứa tôi dòng và N cột.

Ma trận được biểu thị bằng chữ in hoa của bảng chữ cái Latinh, ví dụ: A, B, C,... Các số (hoặc các đối tượng khác) tạo nên ma trận được gọi là yếu tố ma trận. Các phần tử ma trận có thể là hàm. Để chỉ định các phần tử ma trận, các chữ cái viết thường của bảng chữ cái Latinh có chỉ số kép được sử dụng: ôi, chỉ số đầu tiên ở đâu Tôi(đọc – và) – số dòng, chỉ mục thứ hai j(đọc – zhi) – số cột.

Định nghĩa 1.2. Ma trận được gọi là vuông p- thứ tự đầu tiên nếu số hàng của nó bằng số cột và bằng cùng một số P

Đối với ma trận vuông, các khái niệm được giới thiệu chính và phụđường chéo.

Định nghĩa 1.3.Đường chéo chính một ma trận vuông bao gồm các phần tử có cùng chỉ số, tức là . Đây là những yếu tố: Một 11, 22,…

Định nghĩa 1.4. đường chéo, nếu tất cả các phần tử ngoại trừ những phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0

Định nghĩa 1.5. Ma trận vuông được gọi là hình tam giác, nếu tất cả các phần tử của nó nằm bên dưới (hoặc bên trên) đường chéo chính đều bằng 0.

Định nghĩa 1.6. Ma trận vuông P- theo thứ tự trong đó tất cả các phần tử của đường chéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0, được gọi là đơn ma trận N-thứ tự, và nó được biểu thị bằng chữ cái E.

Định nghĩa 1.7. Một ma trận có kích thước bất kỳ được gọi là vô giá trị, hoặc ma trận rỗng, nếu tất cả các phần tử của nó bằng 0.

Định nghĩa 1.8. Ma trận gồm một hàng được gọi là ma trận hàng.

Định nghĩa 1.9. Ma trận gồm một cột được gọi là cột ma trận.

A = (một 11 MỘT 12 ... MỘT 1N) - hàng ma trận;

Định nghĩa 1.10. Hai ma trận MỘT Và TRONG kích thước giống nhau được gọi là bình đẳng nếu tất cả các phần tử tương ứng của các ma trận này bằng nhau, tức là aij = bij bất cứ gì Tôi= 1, 2, ..., T; j = 1, 2,…, N.

Các phép toán trên ma trận

Một số phép toán có thể được thực hiện trên ma trận cũng như trên các số. Các phép toán chính trên ma trận là phép cộng (trừ) ma trận, nhân ma trận với một số, nhân ma trận. Các thao tác này tương tự như các thao tác trên số. Một hoạt động cụ thể là chuyển vị ma trận.

Nhân một ma trận với một số

Định nghĩa 1.11.Tích của ma trận A theo sốλ được gọi là ma trận B = A, có các phần tử thu được bằng cách nhân các phần tử của ma trận MỘT theo số λ .

Ví dụ 1.1. Tìm tích ma trận A= đến số 5.

Giải pháp. .◄ 5A=

Quy tắc nhân một ma trận với một số: Để nhân một ma trận với một số, bạn cần nhân tất cả các phần tử của ma trận với số đó.

Kết quả.

1. Nhân tử chung của tất cả các phần tử ma trận có thể được rút ra khỏi dấu ma trận.

2. Sản phẩm ma trận MỘTđối với số 0 có ma trận bằng 0: MỘT· 0 = 0 .

Phép cộng ma trận

Định nghĩa 1.12.Tổng của hai ma trận A và B cùng cỡ t n gọi là ma trận VỚI= MỘT+ TRONG, các phần tử có được bằng cách cộng các phần tử ma trận tương ứng MỘT và ma trận TRONG, I E. cij = aij + bij Vì tôi = 1, 2, ..., tôi; j= 1, 2, ..., N(tức là các ma trận được thêm từng phần tử).

Kết quả. Ma trận tổng MỘT với ma trận 0 bằng ma trận gốc: A + O = A.

1.2.3. Phép trừ ma trận

Sự khác biệt của hai ma trận có cùng kích thước được xác định thông qua các hoạt động trước đó: A – B = A + (- 1)TRONG.

Định nghĩa 1.13. Ma trận –A = (- 1)MỘT gọi điện đối diện ma trận MỘT.

Kết quả. Tổng các ma trận đối nhau bằng ma trận 0 : A + (–A) = O.

Phép nhân ma trận

Định nghĩa 1.14.Nhân ma trận A với ma trận Bđược xác định khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. Sau đó tích của ma trận một ma trận như vậy được gọi là , mỗi phần tử trong đó cij bằng tổng tích của các phần tử Tôi hàng thứ của ma trận MỘT tới các phần tử tương ứng j cột ma trận thứ B.

Ví dụ 1.4. Tính tích ma trận A · B,Ở đâu

Ví dụ 1.5. Tìm sản phẩm ma trận AB Và VA,Ở đâu

Ghi chú. Từ ví dụ 1.4–1.5 cho thấy phép nhân ma trận có một số khác biệt so với phép nhân số:

1) nếu tích của ma trận AB tồn tại thì sau khi sắp xếp lại các thừa số, tích của các ma trận VA có thể không tồn tại Thật vậy, trong Ví dụ 1.4 tích ma trận AB tồn tại nhưng tích ma trận BA không tồn tại;

2) ngay cả khi công việc AB Và VA tồn tại thì kết quả của tích có thể là các ma trận có kích thước khác nhau. Trong trường hợp cả hai đều hoạt động AB Và VA tồn tại cả hai ma trận cùng cỡ (điều này chỉ thực hiện được khi nhân các ma trận vuông cùng cấp), khi đó luật giao hoán (giao hoán) của phép nhân vẫn không đúng, những thứ kia. A B Trong A, như trong ví dụ 1.5;

3) tuy nhiên, nếu bạn nhân ma trận vuông MỘT vào ma trận nhận dạng E thì theo thứ tự tương tự AE = EA = A.

Do đó, ma trận đẳng thức đóng vai trò tương tự trong phép nhân ma trận giống như số 1 trong phép nhân số;

4) tích của hai ma trận khác 0 có thể bằng ma trận 0, tức là từ thực tế là A B= 0, nó không tuân theo điều đó A = 0 hoặc B= 0.