Thứ hạng của ma trận a là gì? Xác định hạng của ma trận. Tính thứ hạng của ma trận theo định nghĩa

Chúng tôi cũng sẽ xem xét một ứng dụng thực tế quan trọng của chủ đề: nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính đảm bảo tính nhất quán.

Thứ hạng của một ma trận là gì?

Đoạn văn hài hước của bài viết chứa đựng một lượng lớn sự thật. Chúng ta thường liên tưởng từ “cấp bậc” với một số loại thứ bậc, thường là với bậc thang nghề nghiệp. Một người càng có nhiều kiến thức, kinh nghiệm, khả năng, mối quan hệ, v.v. – vị trí và phạm vi cơ hội của anh ta càng cao. Trong thuật ngữ của giới trẻ, cấp bậc đề cập đến mức độ chung của “độ dốc”.

Và những người anh em toán học của chúng ta cũng sống theo những nguyên tắc tương tự. Hãy ngẫu nhiên dắt vài người đi dạo ma trận bằng không:

Hãy suy nghĩ về nó, nếu trong ma trận tất cả số không, vậy thì chúng ta có thể nói về thứ hạng nào? Mọi người đều quen thuộc với cách diễn đạt không chính thức “tổng số không”. Trong xã hội ma trận, mọi thứ đều giống hệt nhau:

Xếp hạng của ma trận số 0mọi kích thước đều bằng 0.

Ghi chú : Ma trận số 0 được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp “theta”

Để hiểu rõ hơn về thứ hạng của ma trận, sau đây tôi sẽ sử dụng tài liệu để trợ giúp hình học giải tích. Hãy xem xét số không vectơ không gian ba chiều của chúng ta, không đặt ra một hướng cụ thể và vô ích cho việc xây dựng cơ sở affine. Theo quan điểm đại số, tọa độ của vectơ này được viết dưới dạng ma trận“từng một” và hợp lý (theo nghĩa hình học được chỉ định) giả sử rằng thứ hạng của ma trận này bằng 0.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số khác không vectơ cột Và vectơ hàng:

Mỗi trường hợp có ít nhất một phần tử khác 0 và đó là điều gì đó!

Thứ hạng của bất kỳ vectơ hàng nào khác 0 (vectơ cột) đều bằng một

Và nói chung - nếu trong ma trận kích thước tùy ý có ít nhất một phần tử khác 0 thì hạng của nó không ít hơn các đơn vị.

Các vectơ hàng đại số và vectơ cột ở một mức độ trừu tượng nhất định, vì vậy chúng ta hãy quay lại với mối liên hệ hình học. Khác không vectơđịnh hướng rất rõ ràng trong không gian và thích hợp cho việc xây dựng nền tảng, do đó hạng của ma trận sẽ được coi là bằng một.

Thông tin lý thuyết : trong đại số tuyến tính, vectơ là một phần tử của không gian vectơ (được xác định thông qua 8 tiên đề), đặc biệt, có thể biểu diễn một hàng (hoặc cột) có thứ tự các số thực bằng các phép tính cộng, nhân với một số thực được xác định cho họ. Thông tin chi tiết hơn về vectơ có thể được tìm thấy trong bài viết Các phép biến đổi tuyến tính.

phụ thuộc tuyến tính(thể hiện qua nhau). Từ quan điểm hình học, dòng thứ hai chứa tọa độ của vectơ thẳng hàng , điều đó không hề thúc đẩy vấn đề gì trong việc xây dựng cơ sở ba chiều, theo nghĩa này là thừa. Như vậy, hạng của ma trận này cũng bằng một.

Hãy viết lại tọa độ của các vectơ thành cột ( chuyển đổi ma trận):

Điều gì đã thay đổi về thứ hạng? Không có gì. Các cột tỷ lệ thuận, có nghĩa là thứ hạng bằng một. Nhân tiện, lưu ý rằng cả ba dòng cũng tỷ lệ thuận. Chúng có thể được xác định bằng tọa độ ba vectơ thẳng hàng của mặt phẳng, trong đó chỉ một hữu ích cho việc xây dựng một cơ sở "phẳng". Và điều này hoàn toàn phù hợp với ý nghĩa hình học của chúng ta về thứ hạng.

Một tuyên bố quan trọng được rút ra từ ví dụ trên:

Thứ hạng của ma trận theo hàng bằng thứ hạng của ma trận theo cột. Tôi đã đề cập đến điều này một chút trong bài học về hiệu quả phương pháp tính định thức.

Ghi chú : sự phụ thuộc tuyến tính của các hàng hàm ý sự phụ thuộc tuyến tính của các cột (và ngược lại). Nhưng để tiết kiệm thời gian và theo thói quen, tôi hầu như sẽ luôn nói về sự phụ thuộc tuyến tính của dây.

Hãy tiếp tục huấn luyện thú cưng yêu quý của chúng ta. Hãy cộng tọa độ của một vectơ cộng tuyến khác vào ma trận ở hàng thứ ba :

Anh ấy có giúp chúng tôi xây dựng cơ sở ba chiều không? Dĩ nhiên là không. Cả ba vectơ đều đi qua lại trên cùng một đường và hạng của ma trận bằng một. Bạn có thể lấy bao nhiêu vectơ cộng tuyến tùy thích, chẳng hạn như 100, đặt tọa độ của chúng vào ma trận “một trăm nhân ba” và thứ hạng của một tòa nhà chọc trời như vậy sẽ vẫn là một.

Chúng ta hãy làm quen với ma trận, các hàng của nó độc lập tuyến tính. Một cặp vectơ không thẳng hàng thích hợp để xây dựng cơ sở ba chiều. Thứ hạng của ma trận này là hai.

Thứ hạng của ma trận là gì? Các đường này dường như không tỷ lệ thuận... vì vậy, về mặt lý thuyết, chúng là ba. Tuy nhiên, thứ hạng của ma trận này cũng là hai. Tôi đã thêm hai dòng đầu tiên và viết kết quả ở phía dưới, tức là. biểu diễn tuyến tính dòng thứ ba đến hai dòng đầu tiên. Về mặt hình học, các hàng của ma trận tương ứng với tọa độ của ba vectơ đồng phẳng, và trong ba người này có một cặp bạn không thẳng hàng.

Bạn có thể thấy, sự phụ thuộc tuyến tính trong ma trận được xem xét là không rõ ràng và hôm nay chúng ta sẽ học cách đưa nó ra ngoài.

Tôi nghĩ nhiều người có thể đoán được thứ hạng của ma trận là gì!

Xét một ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. Dạng vectơ cơ sở affine, và hạng của ma trận này là ba.

Như bạn đã biết, bất kỳ vectơ thứ tư, thứ năm, thứ mười của không gian ba chiều sẽ được biểu diễn tuyến tính dưới dạng các vectơ cơ sở. Vì vậy, nếu bạn thêm bất kỳ số hàng nào vào ma trận thì thứ hạng của nó vẫn sẽ bằng ba.

Lý luận tương tự có thể được thực hiện cho các ma trận có kích thước lớn hơn (tất nhiên là không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào).

Sự định nghĩa : Thứ hạng của ma trận là số hàng độc lập tuyến tính tối đa. Hoặc: Thứ hạng của ma trận là số cột độc lập tuyến tính tối đa. Vâng, số lượng của họ luôn giống nhau.

Một hướng dẫn thực tế quan trọng cũng được rút ra từ phần trên: thứ hạng của ma trận không vượt quá kích thước tối thiểu của nó. Ví dụ, trong ma trận bốn hàng và năm cột. Kích thước tối thiểu là bốn, do đó, thứ hạng của ma trận này chắc chắn sẽ không vượt quá 4.

Chỉ định: trong lý thuyết và thực tiễn thế giới không có tiêu chuẩn được chấp nhận chung để chỉ định thứ hạng của ma trận; bạn thường có thể tìm thấy: - như người ta nói, một người Anh viết một thứ, một người Đức viết một thứ khác. Do đó, dựa trên câu chuyện cười nổi tiếng về địa ngục của Mỹ và Nga, hãy biểu thị thứ hạng của ma trận bằng một từ bản địa. Ví dụ: . Và nếu ma trận "không có tên", trong đó có rất nhiều, thì bạn chỉ cần viết .

Làm thế nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng trẻ vị thành niên?

Nếu bà tôi có cột thứ năm trong ma trận của bà, thì bà sẽ phải tính một cột thứ 4 khác (“xanh lam”, “quả mâm xôi” + cột thứ 5).

Phần kết luận: bậc tối đa của số thứ khác 0 là ba, có nghĩa là .

Có lẽ không phải ai cũng hiểu hết câu này: số thứ cấp bậc 4 bằng 0, nhưng trong số các trẻ vị thành niên cấp 3 có một số khác 0 - do đó là bậc tối đa khác không thứ và bằng ba.

Câu hỏi đặt ra là tại sao không tính ngay định thức? Chà, thứ nhất, trong hầu hết các nhiệm vụ, ma trận không vuông và thứ hai, ngay cả khi bạn nhận được giá trị khác 0, nhiệm vụ rất có thể sẽ bị từ chối, vì nó thường liên quan đến giải pháp "từ dưới lên" tiêu chuẩn. Và trong ví dụ đang xem xét, định thức 0 của bậc 4 cho phép chúng ta phát biểu rằng hạng của ma trận chỉ nhỏ hơn bốn.

Tôi phải thừa nhận, tôi đã đưa ra vấn đề do chính tôi phân tích để giải thích rõ hơn về phương pháp giáp ranh với trẻ vị thành niên. Trong thực tế, mọi thứ đơn giản hơn:

Ví dụ 2

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp cạnh phụ

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Khi nào thuật toán hoạt động nhanh nhất? Hãy quay lại ma trận 4x4 tương tự. . Rõ ràng, giải pháp sẽ ngắn gọn nhất trong trường hợp “tốt” góc trẻ vị thành niên:

Và, nếu , thì , ngược lại – .

Suy nghĩ hoàn toàn không mang tính giả thuyết - có nhiều ví dụ trong đó toàn bộ vấn đề chỉ giới hạn ở những vấn đề nhỏ góc cạnh.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, một phương pháp khác hiệu quả và thích hợp hơn:

Làm cách nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian?

Đoạn văn này dành cho những độc giả đã quen thuộc với phương pháp Gaussian và ít nhiều đã chạm tay vào nó.

Từ quan điểm kỹ thuật, phương pháp này không mới:

1) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta rút gọn ma trận về dạng từng bước;

2) thứ hạng của ma trận bằng số hàng.

Điều đó hoàn toàn rõ ràng sử dụng phương pháp Gaussian không làm thay đổi thứ hạng của ma trận, và bản chất ở đây cực kỳ đơn giản: theo thuật toán, trong các phép biến đổi cơ bản, tất cả các hàng tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) không cần thiết sẽ được xác định và loại bỏ, dẫn đến “dư lượng khô” - số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa.

Hãy biến đổi ma trận cũ quen thuộc với tọa độ của ba vectơ thẳng hàng:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên đã được thêm vào dòng thứ ba.

(2) Dòng 0 bị loại bỏ.

Vì vậy, còn lại một dòng, do đó . Không cần phải nói, điều này nhanh hơn nhiều so với việc tính chín số 0 bậc 2 và chỉ sau đó mới đưa ra kết luận.

Tôi nhắc nhở bạn rằng bản thân nó ma trận đại số không có gì có thể thay đổi và các phép biến đổi chỉ được thực hiện nhằm mục đích xác định thứ hạng! Nhân tiện, chúng ta hãy tập trung lại vào câu hỏi, tại sao không? Ma trận nguồn mang thông tin về cơ bản khác với thông tin của ma trận và hàng. Trong một số mô hình toán học (không cường điệu), sự khác biệt trong một con số có thể là vấn đề sống còn. ...Tôi nhớ đến những giáo viên dạy toán tiểu học và trung học đã không thương tiếc trừ điểm 1-2 vì sai sót hoặc sai lệch nhỏ nhất so với thuật toán. Và thật đáng thất vọng khi thay vì chữ “A tưởng chừng như được đảm bảo” lại hóa ra là “tốt” hoặc thậm chí tệ hơn. Sự hiểu biết đến muộn hơn nhiều - làm cách nào khác để giao phó vệ tinh, đầu đạn hạt nhân và nhà máy điện cho một người? Nhưng đừng lo, tôi không làm việc trong những lĩnh vực này =)

Hãy chuyển sang các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn, trong đó, trong số những việc khác, chúng ta sẽ làm quen với các kỹ thuật tính toán quan trọng Phương pháp Gauss:

Ví dụ 3

Tìm thứ hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Giải pháp: một ma trận “bốn nhân năm” được đưa ra, có nghĩa là thứ hạng của nó chắc chắn không quá 4.

Trong cột đầu tiên, không có 1 hoặc –1, do đó, cần phải thực hiện các hành động bổ sung để có được ít nhất một đơn vị. Trong suốt quá trình tồn tại của trang web, tôi đã nhiều lần đặt câu hỏi: "Có thể sắp xếp lại các cột trong quá trình biến đổi cơ bản không?" Ở đây, chúng tôi đã sắp xếp lại cột thứ nhất và thứ hai, mọi thứ đều ổn! Trong hầu hết các nhiệm vụ nơi nó được sử dụng phương pháp Gaussian, các cột thực sự có thể được sắp xếp lại. NHƯNG KHÔNG CẦN. Và vấn đề thậm chí không thể nhầm lẫn với các biến, vấn đề là trong quá trình cổ điển của toán học cao hơn, hành động này theo truyền thống không được xem xét, vì vậy một cái gật đầu như vậy sẽ bị nhìn RẤT quanh co (hoặc thậm chí buộc phải làm lại mọi thứ).

Điểm thứ hai liên quan đến các con số. Khi bạn đưa ra quyết định, sẽ rất hữu ích khi sử dụng quy tắc ngón tay cái sau: các phép biến đổi cơ bản, nếu có thể, nên giảm số ma trận. Xét cho cùng, việc làm việc với một, hai, ba sẽ dễ dàng hơn nhiều so với, chẳng hạn như với 23, 45 và 97. Và hành động đầu tiên không chỉ nhằm mục đích đạt được số một trong cột đầu tiên mà còn nhằm loại bỏ các con số 7 và 11.

Đầu tiên là giải pháp hoàn chỉnh, sau đó nhận xét:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –3. Và vào heap: dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 4, nhân với –1.

(2) Ba dòng cuối cùng tỷ lệ thuận. Dòng thứ 3 và thứ 4 bị loại bỏ, dòng thứ 2 được chuyển về vị trí đầu tiên.

(3) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3.

Ma trận rút gọn về dạng cấp bậc có hai hàng.

Trả lời:

Bây giờ đến lượt bạn tra tấn ma trận bốn nhân bốn:

Ví dụ 4

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian

tôi sẽ nhắc bạn điều đó phương pháp Gaussian không ngụ ý sự cứng nhắc rõ ràng và quyết định của bạn rất có thể sẽ khác với quyết định của tôi. Một ví dụ ngắn gọn về một nhiệm vụ ở cuối bài học.

Tôi nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng của ma trận?

Trong thực tế, người ta thường không nêu rõ nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng. Trong tình huống như vậy, điều kiện cần được phân tích - đối với một số ma trận, việc giải thông qua các ma trận phụ sẽ hợp lý hơn, trong khi đối với các ma trận khác, việc áp dụng các phép biến đổi cơ bản sẽ có lợi hơn nhiều:

Ví dụ 5

Tìm hạng của ma trận

Giải pháp: phương pháp đầu tiên bằng cách nào đó ngay lập tức biến mất =)

Cao hơn một chút, tôi khuyên không nên chạm vào các cột của ma trận, nhưng khi có cột bằng 0, hoặc cột tỷ lệ/trùng khớp thì vẫn đáng để cắt cụt:

(1) Cột thứ năm bằng 0, xóa nó khỏi ma trận. Như vậy, thứ hạng của ma trận không quá bốn. Dòng đầu tiên được nhân với –1. Đây là một tính năng đặc trưng khác của phương pháp Gauss, biến hành động sau thành một cuộc dạo chơi thú vị:

(2) Đối với tất cả các dòng, bắt đầu từ dòng thứ hai, dòng đầu tiên đã được thêm vào.

(3) Dòng đầu tiên nhân với –1, dòng thứ ba chia cho 2, dòng thứ tư chia cho 3. Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ năm, nhân với –1.

(4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ năm, nhân với –2.

(5) Hai dòng cuối tỷ lệ thuận, dòng thứ năm bị xóa.

Kết quả là 4 dòng.

Trả lời:

Tòa nhà 5 tầng tiêu chuẩn dành cho nghiên cứu độc lập:

Ví dụ 6

Tìm hạng của ma trận

Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài.

Cần lưu ý rằng cụm từ “thứ hạng ma trận” không thường thấy trong thực tế và trong hầu hết các vấn đề, bạn có thể thực hiện hoàn toàn mà không cần đến nó. Nhưng có một nhiệm vụ mà khái niệm được đề cập là nhân vật chính và chúng ta sẽ kết thúc bài viết bằng ứng dụng thực tế này:

Làm thế nào để nghiên cứu một hệ phương trình tuyến tính cho nhất quán?

Thông thường, bên cạnh giải pháp hệ phương trình tuyến tính Theo điều kiện, trước tiên người ta phải kiểm tra tính tương thích của nó, tức là chứng minh rằng có bất kỳ giải pháp nào tồn tại. Một vai trò quan trọng trong việc xác minh như vậy được thực hiện bởi Định lý Kronecker-Capelli, mà tôi sẽ xây dựng ở dạng cần thiết:

Nếu xếp hạng ma trận hệ thống ngang bằng với cấp bậc hệ ma trận mở rộng, thì hệ thống là nhất quán và nếu số này trùng với số ẩn thì nghiệm là duy nhất.

Vì vậy, để nghiên cứu tính tương thích của hệ thống cần phải kiểm tra sự đẳng thức , Ở đâu - ma trận hệ thống(nhớ lại các thuật ngữ trong bài Phương pháp Gauss), MỘT - ma trận hệ thống mở rộng(tức là một ma trận có hệ số các biến + một cột các thuật ngữ tự do).

Để làm việc với khái niệm xếp hạng ma trận, chúng ta sẽ cần thông tin từ chủ đề "Phần bù đại số và phần bù đại số. Các loại phần bù đại số và phần bù đại số." Trước hết, điều này liên quan đến thuật ngữ “ma trận thứ”, vì chúng ta sẽ xác định thứ hạng của ma trận một cách chính xác thông qua ma trận thứ.

Xếp hạng ma trận là cấp tối đa của các cấp dưới của nó, trong đó có ít nhất một cấp không bằng 0.

Ma trận tương đương- các ma trận có hạng bằng nhau.

Hãy để chúng tôi giải thích chi tiết hơn. Giả sử rằng trong số các phần tử bậc hai có ít nhất một phần tử khác 0. Và tất cả trẻ vị thành niên có thứ tự cao hơn hai đều bằng 0. Kết luận: hạng của ma trận là 2. Hoặc, ví dụ, trong số các phần tử thứ mười có ít nhất một giá trị không bằng 0. Và tất cả trẻ vị thành niên có thứ tự cao hơn 10 đều bằng 0. Kết luận: hạng của ma trận là 10.

Hạng của ma trận $A$ được ký hiệu như sau: $\rang A$ hoặc $r(A)$. Thứ hạng của ma trận 0 $O$ được giả định bằng 0, $\rang O=0$. Hãy để tôi nhắc bạn rằng để tạo thành một ma trận phụ, bạn cần gạch bỏ các hàng và cột, nhưng không thể gạch bỏ nhiều hàng và cột hơn số lượng ma trận chứa. Ví dụ: nếu ma trận $F$ có kích thước $5\times 4$ (tức là chứa 5 hàng và 4 cột), thì thứ tự tối đa của các phần tử phụ của nó là bốn. Sẽ không thể hình thành trẻ vị thành niên cấp năm nữa vì chúng sẽ yêu cầu 5 cột (và chúng tôi chỉ có 4 cột). Điều này có nghĩa là hạng của ma trận $F$ không thể nhiều hơn 4, tức là. $\rang F<4$.

Ở dạng tổng quát hơn, điều trên có nghĩa là nếu một ma trận chứa $m$ hàng và $n$ cột thì thứ hạng của nó không thể vượt quá giá trị nhỏ nhất của $m$ và $n$, tức là. $\rang A<\min(m,n)$.

Về nguyên tắc, ngay từ định nghĩa của thứ hạng, phương pháp tìm nó đã được tuân theo. Quá trình tìm thứ hạng của ma trận, theo định nghĩa, có thể được biểu diễn dưới dạng sơ đồ như sau:

Hãy để tôi giải thích sơ đồ này chi tiết hơn. Hãy bắt đầu lý luận ngay từ đầu, tức là. từ cấp thứ nhất của ma trận $A$.

Nếu tất cả các phần tử cấp một (tức là các phần tử của ma trận $A$) đều bằng 0, thì $\rang A=0$. Nếu trong số các phần tử bậc một có ít nhất một phần tử không bằng 0 thì $\rang A ≥ 1$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên bậc hai.
Nếu tất cả các số hạng thứ hai đều bằng 0 thì $\rang A=1$. Nếu trong số các phần tử bậc hai có ít nhất một phần tử không bằng 0 thì $\rang A ≥ 2$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên cấp ba.
Nếu tất cả các số bậc ba đều bằng 0 thì $\rang A=2$. Nếu trong số các phần tử bậc ba có ít nhất một phần tử không bằng 0 thì $\rang A ≥ 3$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên cấp bốn.
Nếu tất cả các số bậc 4 đều bằng 0 thì $\rang A=3$. Nếu trong số các phần tử bậc 4 có ít nhất một phần tử không bằng 0 thì $\rang A ≥ 4$. Chúng tôi chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên cấp năm, v.v.

Điều gì đang chờ đợi chúng ta ở phần cuối của thủ tục này? Có thể trong số các số thứ k sẽ có ít nhất một số khác 0 và tất cả các số thứ cấp (k+1) sẽ bằng 0. Điều này có nghĩa là k là cấp tối đa của các số trẻ vị thành niên, trong đó có ít nhất một số không bằng 0, tức là. thứ hạng sẽ bằng k. Có thể có một tình huống khác: trong số các cấp thứ k sẽ có ít nhất một cấp không bằng 0, nhưng sẽ không thể tạo thành cấp (k+1) cấp. Trong trường hợp này, hạng của ma trận cũng bằng k. Nói ngắn gọn, thứ tự của số thứ khác 0 được tạo cuối cùng sẽ bằng thứ hạng của ma trận.

Hãy chuyển sang các ví dụ trong đó quá trình tìm thứ hạng của ma trận, theo định nghĩa, sẽ được minh họa rõ ràng. Hãy để tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng trong các ví dụ của chủ đề này, chúng ta sẽ tìm thấy thứ hạng của ma trận chỉ sử dụng định nghĩa về thứ hạng. Các phương pháp khác (tính hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ, tính hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản) sẽ được thảo luận trong các chủ đề sau.

Nhân tiện, không nhất thiết phải bắt đầu quy trình tìm thứ hạng với trẻ vị thành niên có thứ tự nhỏ nhất, như đã thực hiện trong ví dụ số 1 và số 2. Bạn có thể ngay lập tức chuyển sang trẻ vị thành niên ở cấp độ cao hơn (xem ví dụ số 3).

Ví dụ số 1

Tìm hạng của ma trận $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Ma trận này có kích thước $3\times 5$, tức là gồm ba hàng và năm cột. Trong số 3 và 5, tối thiểu là 3, do đó hạng của ma trận $A$ không quá 3, tức là. $\rang A< 3$. Và sự bất bình đẳng này là hiển nhiên, vì chúng ta sẽ không còn có thể hình thành các phần tử cấp 4 nữa - chúng yêu cầu 4 hàng và chúng ta chỉ có 3 hàng. Hãy chuyển trực tiếp sang quá trình tìm hạng của một ma trận nhất định.

Trong số các phần tử cấp một (tức là trong số các phần tử của ma trận $A$) có những phần tử khác 0. Ví dụ: 5, -3, 2, 7. Nói chung, chúng ta không quan tâm đến tổng số phần tử khác 0. Có ít nhất một phần tử khác 0 - và thế là đủ. Vì trong số các phần tử bậc một có ít nhất một phần tử khác 0, nên chúng ta kết luận rằng $\rang A ≥ 1$ và tiến hành kiểm tra các phần tử bậc hai.

Hãy bắt đầu khám phá trẻ vị thành niên bậc hai. Ví dụ: tại giao điểm của hàng số 1, số 2 và cột số 1, số 4 có các phần tử phụ sau: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(mảng) \right| $. Đối với định thức này, tất cả các phần tử của cột thứ hai đều bằng 0, do đó bản thân định thức đó bằng 0, tức là. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (xem thuộc tính số 3 trong chủ đề về tính chất của định thức). Hoặc bạn có thể tính định thức này một cách đơn giản bằng cách sử dụng công thức số 1 từ phần tính định thức bậc hai và bậc ba:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Cấp thứ hai đầu tiên mà chúng tôi đã kiểm tra hóa ra bằng 0. Điều đó có nghĩa là gì? Về sự cần thiết phải kiểm tra thêm trẻ vị thành niên bậc hai. Hoặc tất cả chúng sẽ bằng 0 (và khi đó thứ hạng sẽ bằng 1), hoặc trong số chúng sẽ có ít nhất một thứ khác 0. Chúng ta hãy thử đưa ra lựa chọn tốt hơn bằng cách viết một số thứ tự thứ hai, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của hàng số 1, số 2 và cột số 1 và số 5: $\left|\begin( mảng)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(mảng) \right|$. Hãy tìm giá trị của bậc hai bậc hai này:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Thứ này không bằng 0. Kết luận: trong số các trẻ vị thành niên bậc hai có ít nhất một số khác 0. Do đó $\rang A ≥ 2$. Chúng ta cần chuyển sang nghiên cứu trẻ vị thành niên cấp ba.

Nếu chọn cột số 2 hoặc cột số 4 để tạo thành số thứ ba thì các số đó sẽ bằng 0 (vì chúng sẽ chứa cột 0). Vẫn chỉ kiểm tra một thứ tự thứ ba, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của cột số 1, số 3, số 5 và hàng số 1, số 2, số 3. Hãy viết ra thứ nhỏ này và tìm giá trị của nó:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Vì vậy, tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng 0. Thứ khác 0 cuối cùng mà chúng tôi biên soạn là bậc hai. Kết luận: thứ tự tối đa của các phần tử con, trong đó có ít nhất một số khác 0, là 2. Do đó, $\rang A=2$.

Trả lời: $\rang A=2$.

Ví dụ số 2

Tìm hạng của ma trận $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Ta có ma trận vuông bậc bốn. Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng thứ hạng của ma trận này không vượt quá 4, tức là. $\rang A< 4$. Hãy bắt đầu tìm thứ hạng của ma trận.

Trong số các phần tử cấp một (tức là, trong số các phần tử của ma trận $A$) có ít nhất một phần tử không bằng 0, do đó $\rang A ≥ 1$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên bậc hai. Ví dụ: tại giao điểm của hàng số 2, số 3 và cột số 1 và số 2, chúng ta thu được số hạng thứ hai sau: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Hãy tính toán nó:

$$\trái| \begin(mảng) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(mảng) \right|=0-10=-10. $$

Trong số các số bậc hai có ít nhất một số không bằng 0, do đó $\rang A ≥ 2$.

Hãy chuyển sang trẻ vị thành niên cấp ba. Ví dụ: chúng ta hãy tìm một phần tử phụ có các phần tử nằm ở giao điểm của hàng số 1, số 3, số 4 và cột số 1, số 2, số 4:

$$\trái | \begin(mảng) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(mảng) \right|=105-105=0. $$

Vì thứ thứ ba này hóa ra bằng 0 nên cần phải điều tra một thứ thứ ba khác. Hoặc tất cả chúng sẽ bằng 0 (khi đó hạng sẽ bằng 2), hoặc trong số chúng sẽ có ít nhất một giá trị không bằng 0 (khi đó chúng ta sẽ bắt đầu học các trẻ vị thành niên bậc bốn). Hãy xem xét một thứ cấp ba, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của hàng số 2, số 3, số 4 và cột số 2, số 3, số 4:

$$\trái| \begin(mảng) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(mảng) \right|=-28. $$

Trong số các phần tử bậc ba có ít nhất một số khác 0, do đó $\rang A ≥ 3$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên cấp bốn.

Bất kỳ thứ bậc bốn nào cũng nằm ở giao điểm của bốn hàng và bốn cột của ma trận $A$. Nói cách khác, bậc bốn là định thức của ma trận $A$, vì ma trận này chứa 4 hàng và 4 cột. Định thức của ma trận này đã được tính ở ví dụ số 2 của đề tài “Giảm thứ tự của định thức. Phân rã định thức thành một hàng (cột)”, nên chỉ lấy kết quả thu được:

$$\trái| \begin(mảng) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (mảng)\right|=86. $$

Vì vậy bậc bốn thứ không bằng 0. Chúng ta không còn có thể đào tạo trẻ vị thành niên cấp năm nữa. Kết luận: cấp cao nhất của các số nhỏ, trong đó có ít nhất một số khác 0, là 4. Kết quả: $\rang A=4$.

Trả lời: $\rang A=4$.

Ví dụ số 3

Tìm hạng của ma trận $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( mảng) \right)$.

Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng ma trận này chứa 3 hàng và 4 cột, vì vậy $\rang A< 3$. Trong các ví dụ trước, chúng ta đã bắt đầu quá trình tìm thứ hạng bằng cách xem xét các thứ cấp nhỏ nhất (đầu tiên). Ở đây chúng tôi sẽ cố gắng kiểm tra ngay những trẻ vị thành niên theo thứ tự cao nhất có thể. Đối với ma trận $A$ đây là các cấp số thứ ba. Xét một thứ bậc ba, các phần tử của nó nằm ở giao nhau của hàng số 1, số 2, số 3 và cột số 2, số 3, số 4:

$$\trái| \begin(mảng) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(mảng) \right|=-8-60-20=-88. $$

Vì vậy, thứ tự cao nhất của trẻ vị thành niên, trong đó có ít nhất một thứ không bằng 0, là 3. Do đó, thứ hạng của ma trận là 3, tức là. $\rang A=3$.

Trả lời: $\rang A=3$.

Nói chung, việc tìm thứ hạng của ma trận theo định nghĩa, trong trường hợp chung, là một công việc khá tốn công. Ví dụ: một ma trận tương đối nhỏ có kích thước $5\times 4$ có 60 số hạng thứ hai. Và ngay cả khi 59 trong số chúng bằng 0, thì số thứ 60 có thể khác 0. Sau đó, bạn sẽ phải học trẻ vị thành niên cấp ba, trong đó ma trận này có 40 mảnh. Thông thường họ cố gắng sử dụng các phương pháp ít rườm rà hơn, chẳng hạn như phương pháp viền thứ yếu hoặc phương pháp biến đổi tương đương.

“Muốn học bơi thì hãy mạnh dạn xuống nước, muốn học bơi thì hãy dũng cảm xuống nước. để giải quyết vấn đề, Cái đó giải quyết chúng.»
D. Polya (1887-1985)

(Nhà toán học. Đã có đóng góp to lớn cho việc phổ biến toán học. Đã viết một số cuốn sách về cách giải quyết vấn đề và cách dạy giải quyết vấn đề.)

Hãy xem xét ma trận

Hãy làm nổi bật trong đó hàng k Và cột k (k<(min(m,n))). Từ các phần tử nằm tại giao điểm của các hàng và cột đã chọn, ta sẽ soạn định thức thứ kđặt hàng. Tất cả các yếu tố quyết định như vậy được gọi là trẻ vị thành niên của ma trận này.

Hãy xem xét tất cả các phần tử nhỏ có thể có của ma trận MỘT, khác 0.

Xếp hạng ma trận MỘT là cấp lớn nhất của cấp số khác 0 của ma trận này.

Nếu tất cả các phần tử của ma trận đều bằng 0 thì hạng của ma trận này được lấy bằng 0.

Một trẻ vị thành niên có thứ tự xác định thứ hạng của ma trận được gọi là nền tảng.

Một ma trận có thể có nhiều ma trận cơ sở.

Xếp hạng ma trận MỘTđóng góp bởi r(A). Nếu như r(A)=r(B), khi đó các ma trận MỘT Và TRONGđược gọi là tương đương. Họ viết A̴∼B.

Thuộc tính xếp hạng ma trận:

Khi một ma trận được hoán vị, thứ hạng của nó không thay đổi.
Nếu xóa hàng (cột) 0 khỏi ma trận thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
Thứ hạng của ma trận không thay đổi trong quá trình biến đổi ma trận cơ bản.

Bằng các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi muốn nói:

Sắp xếp lại các hàng ma trận;
Nhân một chuỗi với một số khác 0;
Thêm vào các phần tử của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác, nhân với một số tùy ý.

Khi tính hạng của ma trận, có thể sử dụng các phép biến đổi cơ bản, phương pháp rút gọn ma trận về dạng từng bước và phương pháp viền phụ.

Phương pháp giảm ma trận thành từng bướcÝ tưởng là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, ma trận này được rút gọn thành ma trận bước.

Ma trận được gọi là bước , nếu trong mỗi dòng của nó, phần tử đầu tiên khác 0 nằm ở bên phải so với phần tử trước đó (tức là đạt được các bước thì chiều cao của mỗi bước phải bằng một).

Ví dụ về ma trận bước:

Ví dụ về ma trận không cấp bậc:

VÍ DỤ: Tìm hạng của ma trận:

GIẢI PHÁP:

Chúng ta hãy rút gọn ma trận này thành ma trận bước bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

1. Hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba.

2. Chúng ta có các số 0 dưới 1 ở cột đầu tiên.

Bằng cách cộng dòng đầu tiên nhân với (-3) vào dòng thứ hai, dòng đầu tiên nhân với (-5) vào dòng thứ ba và dòng đầu tiên nhân với (-3) vào dòng thứ tư, chúng ta có được

Để làm rõ hơn những nơi khác mà bạn cần lấy số 0, hãy vẽ các bước trong ma trận. (Ma trận sẽ được bước nếu có số 0 ở mọi nơi trong các bước)

3. Bằng cách cộng dòng thứ hai nhân với (-1) vào dòng thứ ba và dòng thứ hai nhân với (-1) vào dòng thứ tư, chúng ta nhận được các số 0 theo các bước trong cột thứ hai.

Nếu vẽ lại các bước, chúng ta sẽ thấy ma trận có bước.

Cấp bậc của cô ấy là r=3(số hàng của ma trận bước, trong đó mỗi hàng có ít nhất một phần tử khác 0). Vì vậy, hạng của ma trận này r=3.

Giải pháp có thể được viết như thế này:

(Chữ số La Mã biểu thị số dòng)

Trả lời: r=3.

Thứ tự nhỏ k+1, chứa thứ tự nhỏ k gọi điện giáp với trẻ vị thành niên.

Phương pháp biên giới nhỏ dựa trên thực tế là thứ hạng của một ma trận nhất định bằng thứ tự của một phần tử nhỏ của ma trận này khác 0 và tất cả các phần tử thứ cấp giáp nó đều bằng 0.

Sự định nghĩa. Xếp hạng ma trận là số hàng độc lập tuyến tính tối đa được coi là vectơ.

Định lý 1 về hạng của ma trận. Xếp hạng ma trậnđược gọi là cấp tối đa của một phần tử khác 0 của ma trận.

Chúng ta đã thảo luận về khái niệm thứ yếu trong bài về định thức và bây giờ chúng ta sẽ khái quát hóa nó. Chúng ta hãy lấy một số hàng và một số cột nhất định trong ma trận, và số “bao nhiêu” này phải nhỏ hơn số hàng và cột của ma trận, còn đối với các hàng và cột thì số “bao nhiêu” này phải là số tương tự. Khi đó tại giao điểm bao nhiêu hàng và bao nhiêu cột sẽ có một ma trận cấp thấp hơn ma trận ban đầu của chúng ta. Định thức là một ma trận và sẽ là số thứ k nếu “một số” (số hàng và cột) được đề cập được ký hiệu là k.

Sự định nghĩa. Người vị thành niên ( r+1)thứ tự, trong đó trẻ vị thành niên được chọn nằm trong đó r-thứ tự được gọi là giáp cho một trẻ vị thành niên nhất định.

Hai phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là tìm hạng của ma trận. Cái này cách tiếp cận trẻ vị thành niên Và phương pháp biến đổi cơ bản(phương pháp Gauss).

Khi sử dụng phương pháp giáp thứ, định lý sau được sử dụng.

Định lý 2 về hạng của ma trận. Nếu một phần nhỏ có thể được tạo thành từ các phần tử ma trận r bậc thứ không bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r.

Khi sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, thuộc tính sau được sử dụng:

Nếu thông qua các phép biến đổi cơ bản thu được ma trận hình thang tương đương với ma trận ban đầu thì thứ hạng của ma trận này là số dòng trong đó không phải là số dòng chứa toàn số 0.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ

Một trẻ vị thành niên kèm theo là một trẻ vị thành niên có cấp độ cao hơn so với trẻ vị thành niên đã cho nếu trẻ thứ cấp cao hơn này chứa trẻ vị thành niên đã cho.

Ví dụ, cho ma trận

Chúng ta hãy lấy một trẻ vị thành niên

Các trẻ vị thành niên giáp ranh sẽ là:

Thuật toán tìm hạng của ma trận Kế tiếp.

1. Tìm số thứ cấp bậc hai không bằng 0. Nếu tất cả các số hạng bậc hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận sẽ bằng một ( r =1 ).

2. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên cấp hai không bằng 0 thì ta gộp các trẻ vị thành niên giáp cấp ba. Nếu tất cả các phần tử giáp của bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng hai ( r =2 ).

3. Nếu ít nhất một trong các trẻ vị thành niên giáp bậc ba không bằng 0 thì ta gộp các trẻ vị thành niên giáp. Nếu tất cả các phần tử giáp của bậc thứ tư đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng ba ( r =2 ).

4. Tiếp tục theo cách này miễn là kích thước ma trận cho phép.

Ví dụ 1. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Thứ tự thứ hai .

Hãy biên giới nó. Sẽ có bốn trẻ vị thành niên giáp ranh:

Do đó, tất cả các số phụ giáp của bậc ba đều bằng 0, do đó hạng của ma trận này bằng hai ( r =2 ).

Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Hạng của ma trận này bằng 1, vì tất cả các phân số bậc hai của ma trận này đều bằng 0 (trong trường hợp này, cũng như các trường hợp phân số cận kề trong hai ví dụ sau, mời các em học sinh xác minh cho bản thân chúng, có lẽ sử dụng các quy tắc để tính các định thức), và trong số các phần tử bậc một, tức là trong số các phần tử của ma trận, có những phần tử khác 0.

Ví dụ 3. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Cấp thứ hai của ma trận này là , và tất cả các cấp thứ ba của ma trận này đều bằng 0. Vì vậy, hạng của ma trận này là hai.

Ví dụ 4. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Thứ hạng của ma trận này là 3, vì phần thứ ba duy nhất của ma trận này là 3.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản (phương pháp Gauss)

Ngay trong ví dụ 1, rõ ràng là nhiệm vụ xác định thứ hạng của ma trận bằng phương pháp giáp số phụ đòi hỏi phải tính toán một số lượng lớn các định thức. Tuy nhiên, có một cách để giảm số lượng tính toán xuống mức tối thiểu. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản và còn được gọi là phương pháp Gauss.

Các phép toán sau đây được hiểu là các phép biến đổi ma trận cơ bản:

1) nhân bất kỳ hàng hoặc cột nào của ma trận với một số khác 0;

2) thêm vào các phần tử của hàng hoặc cột bất kỳ của ma trận các phần tử tương ứng của hàng hoặc cột khác, nhân với cùng một số;

3) hoán đổi hai hàng hoặc cột của ma trận;

4) loại bỏ các hàng "null", nghĩa là những hàng có phần tử bằng 0;

5) xóa tất cả các dòng tỷ lệ ngoại trừ một dòng.

Định lý. Trong quá trình biến đổi cơ bản, hạng của ma trận không thay đổi. Nói cách khác, nếu chúng ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản từ ma trận MỘTđã đi đến ma trận B, Cái đó .

Thứ hạng của ma trận là một đặc tính số quan trọng. Bài toán điển hình nhất đòi hỏi phải tìm hạng của ma trận là kiểm tra tính nhất quán của hệ phương trình đại số tuyến tính. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm về thứ hạng ma trận và xem xét các phương pháp tìm nó. Để hiểu rõ hơn về tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các giải pháp cho một số ví dụ.

Điều hướng trang.

Xác định thứ hạng của ma trận và các khái niệm bổ sung cần thiết.

Trước khi đưa ra định nghĩa về hạng của ma trận, bạn nên hiểu rõ về khái niệm số thứ, và việc tìm các số hạng của ma trận hàm ý khả năng tính định thức. Vì vậy, nếu cần, chúng tôi khuyên bạn nên nhớ lại lý thuyết của bài viết, các phương pháp tìm định thức của ma trận và các tính chất của định thức.

Hãy lấy một ma trận A có thứ tự . Cho k là một số tự nhiên không vượt quá số nhỏ nhất trong các số m và n, nghĩa là: .

Sự định nghĩa.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A là định thức của ma trận vuông cấp bậc, gồm các phần tử của ma trận A, nằm trong k hàng và k cột đã chọn trước và giữ nguyên cách sắp xếp các phần tử của ma trận A.

Nói cách khác, nếu trong ma trận A chúng ta xóa (p–k) hàng và (n–k) cột và từ các phần tử còn lại chúng ta tạo ra một ma trận, giữ nguyên cách sắp xếp các phần tử của ma trận A, thì định thức của ma trận thu được là ma trận thứ cấp k của ma trận A.

Chúng ta hãy xem định nghĩa của ma trận thứ bằng một ví dụ.

Hãy xem xét ma trận .

Hãy viết ra một số trẻ vị thành niên bậc nhất của ma trận này. Ví dụ: nếu chúng ta chọn hàng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A thì lựa chọn của chúng ta tương ứng với thứ tự thứ nhất . Nói cách khác, để có được phần phụ này, chúng tôi đã gạch bỏ hàng thứ nhất và thứ hai, cũng như cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư từ ma trận A và tạo thành định thức từ phần tử còn lại. Nếu chúng ta chọn hàng đầu tiên và cột thứ ba của ma trận A thì chúng ta sẽ nhận được một số nhỏ .

Hãy để chúng tôi minh họa thủ tục để có được trẻ vị thành niên cấp một được coi là
Và .

Vì vậy, các phần tử cấp một của ma trận chính là các phần tử ma trận.

Hãy chỉ ra một số trẻ vị thành niên bậc hai. Chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ: lấy hàng thứ nhất và thứ hai cũng như cột thứ ba và thứ tư. Với sự lựa chọn này, chúng ta có một thứ thứ hai . Phần này cũng có thể được tạo bằng cách xóa hàng thứ ba, cột thứ nhất và cột thứ hai khỏi ma trận A.

Một thứ cấp hai khác của ma trận A là .

Hãy để chúng tôi minh họa việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp hai này
Và .

Tương tự, có thể tìm được các số hạng bậc ba của ma trận A. Vì chỉ có ba hàng trong ma trận A nên chúng tôi chọn tất cả. Nếu chúng ta chọn ba cột đầu tiên của các hàng này, chúng ta sẽ nhận được cột thứ ba

Nó cũng có thể được xây dựng bằng cách gạch bỏ cột cuối cùng của ma trận A.

Một thứ thứ ba khác là

thu được bằng cách xóa cột thứ ba của ma trận A.

Dưới đây là hình ảnh cho thấy việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp ba này
Và .

Đối với ma trận A cho trước, không có cấp thứ nào lớn hơn thứ ba, vì .

Có bao nhiêu cấp số thứ k của ma trận cấp A?

Số lượng thứ tự k có thể được tính bằng , trong đó Và - số cách kết hợp tương ứng từ p đến k và từ n đến k.

Làm thế nào chúng ta có thể xây dựng tất cả các cấp số thứ k của ma trận A cấp p theo n?

Chúng ta sẽ cần nhiều số hàng ma trận và nhiều số cột. Chúng tôi viết ra mọi thứ sự kết hợp của các phần tử p bởi k(chúng sẽ tương ứng với các hàng của ma trận A đã chọn khi xây dựng cấp thứ k). Đối với mỗi tổ hợp số hàng, chúng ta thêm tuần tự tất cả các tổ hợp n phần tử của k số cột. Những tập hợp số hàng và số cột của ma trận A này sẽ giúp tạo ra tất cả các số thứ tự k.

Hãy xem xét nó với một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm tất cả các số hạng thứ hai của ma trận.

Giải pháp.

Vì bậc của ma trận ban đầu là 3 x 3 nên tổng số bậc hai sẽ là .

Hãy viết tất cả các tổ hợp số từ 3 đến 2 hàng của ma trận A: 1, 2; 1, 3 và 2, 3. Tất cả các tổ hợp số từ 3 đến 2 cột là 1, 2; 1, 3 và 2, 3.

Hãy lấy hàng thứ nhất và thứ hai của ma trận A. Bằng cách chọn cột thứ nhất và thứ hai, cột thứ nhất và thứ ba, cột thứ hai và thứ ba cho các hàng này, chúng ta thu được các cột phụ tương ứng

Đối với hàng thứ nhất và thứ ba, với cách chọn cột tương tự, chúng ta có

Vẫn còn phải thêm cột thứ nhất và thứ hai, thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ ba vào hàng thứ hai và thứ ba:

Như vậy đã tìm được tất cả 9 số hạng bậc hai của ma trận A.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành xác định thứ hạng của ma trận.

Sự định nghĩa.

Xếp hạng ma trận là bậc cao nhất của phần nhỏ khác 0 của ma trận.

Thứ hạng của ma trận A được ký hiệu là Rank(A). Bạn cũng có thể tìm thấy các ký hiệu Rg(A) hoặc Rang(A) .

Từ các định nghĩa về hạng ma trận và ma trận nhỏ, chúng ta có thể kết luận rằng hạng của ma trận 0 bằng 0 và hạng của ma trận khác 0 không nhỏ hơn một.

Tìm hạng của ma trận theo định nghĩa.

Vì vậy, phương pháp đầu tiên để tìm thứ hạng của ma trận là phương pháp liệt kê người chưa thành niên. Phương pháp này dựa trên việc xác định thứ hạng của ma trận.

Ta cần tìm hạng của ma trận A có bậc .

Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán giải quyết vấn đề này bằng cách liệt kê trẻ vị thành niên.

Nếu có ít nhất một phần tử của ma trận khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất bằng một (vì có một phần tử bậc nhất không bằng 0).

Tiếp theo chúng ta nhìn vào trẻ vị thành niên thứ hai. Nếu tất cả các phần tử bậc hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một phần tử cấp hai khác 0 thì ta tiến hành liệt kê các phần tử cấp ba và hạng của ma trận ít nhất bằng hai.

Tương tự, nếu tất cả các phần tử bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận là hai. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên bậc ba khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất là ba và chúng ta chuyển sang liệt kê các trẻ vị thành niên bậc bốn.

Lưu ý rằng hạng của ma trận không được vượt quá giá trị nhỏ nhất trong các số p và n.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận .

Giải pháp.

Vì ma trận khác 0 nên hạng của nó không nhỏ hơn một.

Thứ tự thứ hai khác 0 nên hạng của ma trận A ít nhất là hai. Chúng tôi chuyển sang liệt kê trẻ vị thành niên bậc ba. Tổng số trong số họ đồ đạc.

Tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận là hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ.

Có các phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận cho phép bạn thu được kết quả với công việc tính toán ít hơn.

Một phương pháp như vậy là phương pháp nhỏ cạnh.

Hãy giải quyết khái niệm về cạnh nhỏ.

Người ta nói rằng M ok thứ cấp (k+1) của ma trận A giáp M thứ thứ k của ma trận A nếu ma trận tương ứng với thứ M ok “chứa” ma trận tương ứng với thứ đó M.

Nói cách khác, ma trận tương ứng với phần tử giáp M được lấy từ ma trận tương ứng với phần tử giáp M ok bằng cách xóa các phần tử của một hàng và một cột.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận và nhận đơn thứ hai. Hãy viết ra tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh:

Phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên được chứng minh bằng định lý sau (chúng tôi trình bày công thức của nó mà không chứng minh).

Định lý.

Nếu tất cả các cấp số thứ k của ma trận A cấp p x n đều bằng 0 thì tất cả các cấp số thứ k+1 của ma trận A đều bằng 0.

Vì vậy, để tìm hạng của một ma trận không nhất thiết phải đi qua tất cả các phần tử con đủ giáp. Số lượng con giáp thứ k của ma trận cấp A được tìm theo công thức . Lưu ý rằng không có nhiều số bé bao quanh cấp thứ k của ma trận A hơn số cấp (k + 1) của ma trận A. Vì vậy, trong hầu hết các trường hợp, sử dụng phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên sẽ có lợi hơn là chỉ liệt kê tất cả các trẻ vị thành niên.

Chúng ta hãy chuyển sang tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp giáp ranh giới thứ. Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán phương pháp này.

Nếu ma trận A khác 0 thì với tư cách là phần tử bậc nhất, chúng ta lấy bất kỳ phần tử nào của ma trận A khác 0. Chúng ta hãy nhìn vào trẻ vị thành niên giáp ranh của nó. Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một số bé giáp khác 0 (thứ tự của nó là hai), thì chúng ta tiến hành xem xét các số bé giáp của nó. Nếu tất cả đều bằng 0 thì Hạng(A) = 2. Nếu ít nhất một phần phụ tiếp giáp khác 0 (thứ tự của nó là ba), thì chúng ta xem xét các phần phụ tiếp giáp của nó. Và như thế. Kết quả là, Hạng(A) = k nếu tất cả các số phụ giáp của bậc (k + 1) của ma trận A đều bằng 0, hoặc Hạng(A) = min(p, n) nếu không có số không thứ bao quanh thứ tự thứ (min( p, n) – 1) .

Chúng ta hãy xem phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên để tìm thứ hạng của ma trận bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp trẻ vị thành niên.

Giải pháp.

Vì phần tử a 1 1 của ma trận A khác 0 nên chúng ta coi nó là phần tử thứ nhất. Hãy bắt đầu tìm kiếm một số nhỏ giáp ranh khác 0:

Một cạnh nhỏ bậc hai, khác 0, được tìm thấy. Chúng ta hãy nhìn vào các trẻ vị thành niên giáp ranh của nó (của chúng đồ đạc):

Tất cả các phần tử giáp với phần tử bậc hai đều bằng 0, do đó hạng của ma trận A bằng hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận sử dụng trẻ vị thành niên giáp ranh.

Giải pháp.

Là phần tử thứ nhất khác 0, ta lấy phần tử a 1 1 = 1 của ma trận A. Trẻ vị thành niên xung quanh thuộc cấp độ thứ hai không bằng không. Trẻ vị thành niên này giáp với trẻ vị thành niên cấp ba
. Vì nó không bằng 0 và không có một phần nhỏ giáp nào cho nó nên hạng của ma trận A bằng ba.

Trả lời:

Hạng(A) = 3 .

Tìm thứ hạng bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản (phương pháp Gauss).

Hãy xem xét một cách khác để tìm thứ hạng của ma trận.

Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là phép biến đổi cơ bản:

sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận;
nhân tất cả các phần tử của hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý, khác 0;
thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k tùy ý.

Ma trận B được gọi là tương đương với ma trận A, nếu B thu được từ A bằng cách sử dụng hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Sự tương đương của ma trận được ký hiệu bằng ký hiệu “~”, nghĩa là được viết là A ~ B.

Việc tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản dựa trên câu lệnh: nếu ma trận B thu được từ ma trận A bằng cách sử dụng số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì Rank(A) = Rank(B) .

Giá trị của tuyên bố này xuất phát từ các tính chất của định thức của ma trận:

Khi sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận, định thức của nó đổi dấu. Nếu nó bằng 0 thì khi sắp xếp lại các hàng (cột) vẫn bằng 0.
Khi nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý khác 0, định thức của ma trận thu được bằng định thức của ma trận gốc nhân với k. Nếu định thức của ma trận ban đầu bằng 0 thì sau khi nhân tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bất kỳ với số k, định thức của ma trận thu được cũng sẽ bằng 0.
Việc thêm vào các phần tử của một hàng (cột) nhất định của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k nhất định, không làm thay đổi định thức của nó.

Bản chất của phương pháp biến đổi cơ bản bao gồm việc giảm ma trận có hạng mà chúng ta cần tìm thành ma trận hình thang (trong trường hợp cụ thể là ma trận tam giác trên) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Tại sao việc này lại được thực hiện? Thứ hạng của ma trận loại này rất dễ tìm. Nó bằng số dòng chứa ít nhất một phần tử khác 0. Và vì hạng của ma trận không thay đổi khi thực hiện các phép biến đổi cơ bản nên giá trị thu được sẽ là hạng của ma trận ban đầu.

Chúng tôi đưa ra các minh họa về ma trận, một trong số đó sẽ thu được sau khi biến đổi. Sự xuất hiện của chúng phụ thuộc vào thứ tự của ma trận.

Những hình minh họa này là các mẫu mà chúng ta sẽ chuyển đổi ma trận A.

Hãy mô tả thuật toán phương pháp.

Chúng ta cần tìm thứ hạng của ma trận A khác 0 có cấp độ (p có thể bằng n).

Vì thế, . Hãy nhân tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận A với . Trong trường hợp này, chúng ta thu được một ma trận tương đương, ký hiệu là A (1):

Đối với các phần tử của hàng thứ hai của ma trận kết quả A (1), chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên, nhân với . Đối với các phần tử của dòng thứ ba, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của dòng đầu tiên, nhân với . Và cứ như vậy cho đến dòng thứ p. Hãy lấy một ma trận tương đương, ký hiệu là A (2):

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả nằm trong các hàng từ thứ hai đến thứ p đều bằng 0 thì thứ hạng của ma trận này bằng một và do đó, thứ hạng của ma trận ban đầu bằng 0 đến một.

Nếu trong các dòng từ thứ hai đến thứ p có ít nhất một phần tử khác 0 thì chúng ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng ta hành động theo cách tương tự, nhưng chỉ với phần ma trận A (2) được đánh dấu trong hình.

Nếu , thì chúng ta sắp xếp lại các hàng và (hoặc) cột của ma trận A (2) sao cho phần tử “mới” trở thành khác 0.

Vì thế, . Ta nhân từng phần tử của hàng thứ hai của ma trận A (2) với . Ta thu được ma trận tương đương A(3):

Đối với các phần tử của hàng thứ ba của ma trận kết quả A (3), chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ hai nhân với . Đối với các phần tử của dòng thứ tư, chúng ta cộng các phần tử tương ứng của dòng thứ hai nhân với . Và cứ như vậy cho đến dòng thứ p. Hãy lấy một ma trận tương đương, ký hiệu là A (4):

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả nằm trong các hàng từ thứ ba đến thứ p đều bằng 0, thì thứ hạng của ma trận này bằng hai và do đó, Hạng(A) = 2.

Nếu các dòng từ dòng thứ ba đến dòng thứ p chứa ít nhất một phần tử khác 0 thì chúng ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng ta hành động theo cách tương tự, nhưng chỉ với phần ma trận được đánh dấu trong hình

Phần tử này khác 0 nên chúng ta có thể nhân các phần tử của hàng thứ hai của ma trận A (2) với:

Đối với các phần tử của hàng thứ ba của ma trận thu được, chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ hai nhân với ; đến các phần tử của dòng thứ tư – các phần tử của dòng thứ hai nhân với ; đến các phần tử của dòng thứ năm – các phần tử của dòng thứ hai, nhân với:

Tất cả các phần tử của hàng thứ ba, thứ tư và thứ năm của ma trận kết quả đều bằng 0. Vì vậy, bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đã đưa ma trận A về dạng hình thang, từ đó có thể thấy Hạng(A (4)) = 2. Vì vậy, hạng của ma trận ban đầu cũng là hai.

Vì vậy, cột đầu tiên được chuyển đổi sang dạng mong muốn.

Phần tử trong ma trận kết quả khác 0. Nhân các phần tử của dòng thứ hai với:

Cột thứ hai của ma trận kết quả có dạng mong muốn, vì phần tử đã bằng 0.

Vì , a , nên hoán đổi cột thứ ba và thứ tư:

Hãy nhân hàng thứ ba của ma trận kết quả với:

Điều này kết thúc sự chuyển đổi. Chúng ta có Hạng(A (5))=3, do đó, Hạng(A)=3.

Trả lời:

Thứ hạng của ma trận ban đầu là ba.

Tóm tắt.

Chúng tôi đã xem xét khái niệm thứ hạng ma trận và xem xét ba cách để tìm ra nó:

theo định nghĩa bằng cách liệt kê tất cả trẻ vị thành niên;
phương pháp giáp ranh với trẻ vị thành niên;
bằng phương pháp biến đổi cơ bản.

Nên luôn sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản khi tìm hạng của ma trận, vì nó dẫn đến kết quả tính toán ít hơn so với phương pháp giáp các phần tử phụ và thậm chí còn hơn thế so với phương pháp liệt kê tất cả các phần tử thứ của một ma trận.