Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian. Xếp hạng ma trận. Các phép biến đổi cơ bản của hàng ma trận

Số r được gọi là hạng của ma trận A nếu:
1) trong ma trận A có cấp số r khác 0;
2) tất cả các cấp thứ (r+1) và cao hơn, nếu chúng tồn tại, đều bằng 0.
Ngược lại, thứ hạng của ma trận là thứ tự cao nhất khác 0.
Ký hiệu: rangA, r A hoặc r.
Từ định nghĩa suy ra r là số nguyên dương. Đối với ma trận null, thứ hạng được coi là bằng 0.

Mục đích của dịch vụ. Máy tính trực tuyến được thiết kế để tìm thứ hạng ma trận. Trong trường hợp này, giải pháp được lưu ở định dạng Word và Excel. xem giải pháp ví dụ.

Hướng dẫn. Chọn kích thước ma trận, nhấp vào Tiếp theo.

Sự định nghĩa . Cho ma trận hạng r. Bất kỳ phần nhỏ nào của ma trận khác 0 và có bậc r được gọi là ma trận cơ bản, còn các hàng và cột của các thành phần của nó được gọi là hàng và cột cơ bản.
Theo định nghĩa này, ma trận A có thể có nhiều ma trận cơ sở.

Thứ hạng của ma trận nhận dạng E là n (số hàng).

Ví dụ 1. Cho hai ma trận, và trẻ vị thành niên của họ , . Cái nào trong số chúng có thể được coi là cái cơ bản?
Giải pháp. M 1 = 0 nên nó không thể là cơ sở cho bất kỳ ma trận nào. Thứ M 2 =-9≠0 và có bậc 2, nghĩa là nó có thể được lấy làm cơ sở của ma trận A hoặc / và B, miễn là chúng có hạng bằng 2. Vì detB=0 (là định thức có hai cột tỷ lệ), nên rangB=2 và M 2 có thể được coi là cơ sở thứ của ma trận B. Hạng của ma trận A là 3, do detA=-27≠ 0 và do đó bậc cơ sở thứ của ma trận này phải bằng 3, tức là M 2 không phải là cơ sở của ma trận A. Lưu ý rằng ma trận A có một cơ sở thứ duy nhất, bằng định thức của ma trận A.

Định lý (về cơ sở thứ). Bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận đều là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ sở của nó.
Hệ quả từ định lý.

Mọi ma trận cột (r+1) hạng r đều phụ thuộc tuyến tính.
Nếu thứ hạng của ma trận nhỏ hơn số hàng (cột) của nó thì các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính. Nếu rangA bằng số hàng (cột) của nó thì các hàng (cột) độc lập tuyến tính.
Định thức của ma trận A bằng 0 khi và chỉ nếu các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.
Nếu bạn thêm một hàng (cột) khác vào một hàng (cột) của ma trận, nhân với bất kỳ số nào khác 0 thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
Nếu bạn gạch bỏ một hàng (cột) trong ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
Thứ hạng của ma trận bằng số lượng tối đa các hàng (cột) độc lập tuyến tính của nó.
Số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa bằng số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa.

Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận .
Giải pháp. Dựa trên định nghĩa của thứ hạng ma trận, chúng ta sẽ tìm số thứ cấp có thứ tự cao nhất, khác 0. Đầu tiên, hãy chuyển đổi ma trận sang dạng đơn giản hơn. Để làm điều này, nhân hàng đầu tiên của ma trận với (-2) và cộng với hàng thứ hai, sau đó nhân với (-1) và cộng với hàng thứ ba.

Xác định hạng của ma trận

Xét một ma trận \(A\) thuộc loại \((m,n)\). Giả sử, để xác định, \(m \leq n\). Lấy \(m\) hàng và chọn \(m\) cột của ma trận \(A\), tại giao điểm của các hàng và cột này ta được ma trận vuông cấp \(m\), định thức của nó được gọi là thứ tự nhỏ ma trận \(m\) \(A\). Nếu phần này khác 0 thì được gọi là thứ yếu cơ bản và họ nói rằng hạng của ma trận \(A\) bằng \(m\). Nếu định thức này bằng 0 thì các cột \(m\) khác được chọn, tại giao điểm của chúng có các phần tử tạo thành một thứ khác có thứ tự \(m\). Nếu trẻ vị thành niên là 0, chúng tôi tiếp tục thủ tục. Nếu trong số tất cả các cấp số phụ có thể có \(m\) không có số khác 0, chúng ta chọn \(m-1\) hàng và cột từ ma trận \(A\), tại giao điểm của chúng là một ma trận vuông có cấp \(m- 1\) xuất hiện thì định thức của nó được gọi là bậc thứ \(m-1\) của ma trận ban đầu. Tiếp tục thủ tục, chúng tôi tìm kiếm một trẻ vị thành niên khác 0, xem xét tất cả các trẻ vị thành niên có thể có, hạ thấp thứ tự của chúng.

Sự định nghĩa.

Phần nhỏ khác 0 của một ma trận có cấp cao nhất được gọi là thứ yếu cơ bản của ma trận ban đầu, thứ tự của nó được gọi là thứ hạng ma trận \(A\), hàng và cột, tại giao điểm của nó có cơ sở phụ, được gọi là hàng và cột cơ sở. Thứ hạng của ma trận được ký hiệu là \(rang(A)\).

Từ định nghĩa này, hãy tuân theo các thuộc tính đơn giản của hạng của ma trận: nó là một số nguyên và hạng của ma trận khác 0 thỏa mãn các bất đẳng thức: \(1 \leq Rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

Thứ hạng của ma trận sẽ thay đổi như thế nào nếu một hàng bị xóa? Thêm một số dòng?

Kiểm tra câu trả lời

1) Thứ hạng có thể giảm 1.

2) Thứ hạng có thể tăng thêm 1.

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các cột ma trận

Giả sử \(A\) là một ma trận kiểu \((m,n)\). Hãy xem xét các cột của ma trận \(A\) - đây là các cột có số \(m\) mỗi cột. Hãy ký hiệu chúng là \(A_1,A_2,...,A_n\). Cho \(c_1,c_2,...,c_n\) là một số số.

Sự định nghĩa.

Cột \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] được gọi là tổ hợp tuyến tính của các cột \(A_1,A_2,...,A_n\), các số \( c_1,c_2 ,...,c_n\) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính này.

Sự định nghĩa.

Cho trước các cột \(p\) \(A_1, A_2, ..., A_p\). Nếu có các số \(c_1,c_2,...,c_p\) sao cho

1. không phải tất cả những con số này đều bằng 0,

2. tổ hợp tuyến tính \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) bằng cột 0 (tức là một cột có tất cả các phần tử đều bằng 0), thì chúng ta nói rằng các cột \( A_1, A_2, ..., A_p\) phụ thuộc tuyến tính. Nếu đối với một tập hợp các cột nhất định, các số \(c_1,c_2,...,c_n\) không tồn tại thì các cột được gọi là độc lập tuyến tính.

Ví dụ. Xét 2 cột

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] thì với mọi số \(c_1,c_2\) chúng ta có: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Tổ hợp tuyến tính này bằng cột 0 khi và chỉ khi cả hai số \(c_1,c_2\) đều bằng 0. Vì vậy, các cột này độc lập tuyến tính.

Tuyên bố. Để các cột phụ thuộc tuyến tính, điều cần thiết và đủ là một trong số chúng là sự kết hợp tuyến tính của các cột khác.

Giả sử các cột \(A_1,A_2,...,A_m\) phụ thuộc tuyến tính, tức là đối với một số hằng số \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), không phải tất cả các hằng số đều bằng 0, các giá trị sau đúng: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (ở bên phải là cột số 0). Ví dụ: giả sử \(\lambda _1 \neq 0\). Sau đó \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] tức là. cột đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của những cột khác.

Định lý nhỏ cơ sở

Định lý.

Với mọi ma trận khác 0 \(A\) điều sau đây đúng:

1. Các cột cơ sở độc lập tuyến tính.

2. Bất kỳ cột ma trận nào cũng là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở của nó.

(Điều tương tự cũng đúng với chuỗi).

Để xác định, hãy để \((m,n)\) là loại ma trận \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) và phần cơ sở nhỏ nằm trong \(r đầu tiên \) ma trận hàng và cột \(A\). Đặt \(s\) là số bất kỳ từ 1 đến \(m\), \(k\) là số bất kỳ từ 1 đến \(n\). Hãy xem xét một dạng thứ của dạng sau: \[ D=\left| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] I E. Chúng tôi đã gán cột thứ \(s-\) và hàng thứ \(k-\) cho cột thứ cơ sở. Theo định nghĩa về thứ hạng của ma trận, định thức này bằng 0 (nếu chọn \(s\leq r\) hoặc \(k \leq r\), thì định thức thứ này có 2 cột hoặc 2 hàng giống nhau, nếu \(s>r\) và \(k>r\) - theo định nghĩa về thứ hạng, một phần nhỏ có kích thước lớn hơn \(r\) trở thành 0). Hãy mở rộng định thức này dọc theo dòng cuối cùng, chúng ta nhận được: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+...+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks )=0. \quad \quad(16) \]

Ở đây các số \(A_(kp)\) là phần bù đại số của các phần tử ở hàng dưới cùng \(D\). Giá trị của chúng không phụ thuộc vào \(k\), bởi vì được hình thành bằng cách sử dụng các phần tử từ dòng \(r\) đầu tiên. Trong trường hợp này, giá trị \(A_(ks)\) là thứ cơ bản, khác 0. Hãy ký hiệu \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Chúng ta hãy viết lại (16) bằng ký hiệu mới: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] hoặc chia cho \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Đẳng thức này hợp lệ với mọi giá trị của \(k\), vì vậy \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. ................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Vì vậy, cột thứ \(s-\) là sự kết hợp tuyến tính của các cột \(r\) đầu tiên. Định lý đã được chứng minh.

Bình luận.

Từ định lý cơ bản nhỏ, ta suy ra rằng thứ hạng của ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính của nó (bằng số hàng độc lập tuyến tính).

Hệ quả 1.

Nếu định thức bằng 0 thì nó có một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Hệ quả 2.

Nếu thứ hạng của ma trận nhỏ hơn số cột thì các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Tính hạng của ma trận và tìm cơ sở thứ

Một số phép biến đổi ma trận không thay đổi thứ hạng của nó. Những biến đổi như vậy có thể được gọi là cơ bản. Các dữ kiện tương ứng có thể được xác minh dễ dàng bằng cách sử dụng các tính chất của định thức và xác định thứ hạng của ma trận.

1. Sắp xếp lại các cột.

2. Nhân các phần tử của một cột bất kỳ với một thừa số khác 0.

3. Thêm bất kỳ cột nào khác vào một cột, nhân với một số tùy ý.

4. Gạch bỏ cột số 0.

Điều này cũng đúng với chuỗi.

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi này, ma trận có thể được chuyển đổi thành dạng được gọi là "hình thang" - một ma trận chỉ có các số 0 dưới đường chéo chính. Đối với ma trận "hình thang", hạng là số phần tử khác 0 trên đường chéo chính và phần tử cơ sở là phần tử phụ có đường chéo trùng với tập hợp các phần tử khác 0 trên đường chéo chính của ma trận được biến đổi.

Ví dụ. Hãy xem xét ma trận

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(mảng) \right). \] Chúng ta sẽ biến đổi nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi ở trên. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

Ở đây chúng tôi tuần tự thực hiện các bước sau: 1) sắp xếp lại dòng thứ hai lên trên cùng, 2) trừ dòng đầu tiên với phần còn lại với hệ số phù hợp, 3) trừ dòng thứ hai khỏi dòng thứ ba 4 lần, thêm dòng thứ hai vào thứ tư, 4) gạch bỏ các dòng số 0 - dòng thứ ba và thứ tư . Ma trận cuối cùng của chúng ta đã có được hình dạng mong muốn: có các số khác 0 trên đường chéo chính và các số 0 ở dưới đường chéo chính. Sau đó, quy trình dừng lại và số phần tử khác 0 trên đường chéo chính bằng hạng của ma trận. Thứ cơ bản là hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên. Tại giao điểm của chúng có ma trận cấp 2 với định thức khác 0. Đồng thời, quay trở lại chuỗi các phép biến đổi, bạn có thể theo dõi hàng này hoặc hàng kia (cột này hoặc cột kia) trong ma trận cuối cùng đến từ đâu, tức là. xác định các hàng và cột cơ sở trong ma trận ban đầu. Trong trường hợp này, hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên tạo thành cơ sở thứ.

Cho một số ma trận:

Chúng ta hãy chọn trong ma trận này chuỗi tùy ý và cột tùy ý
. Khi đó yếu tố quyết định thứ tự, bao gồm các phần tử ma trận
, nằm ở giao điểm của các hàng và cột được chọn, được gọi là phần phụ ma trận bậc thứ
.

Định nghĩa 1.13. Xếp hạng ma trận
là cấp lớn nhất của cấp số khác 0 của ma trận này.

Để tính thứ hạng của một ma trận, người ta phải xem xét tất cả các phần tử thứ cấp của nó và nếu ít nhất một trong số chúng khác 0 thì tiến hành xem xét các phần tử thứ cấp của cấp cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của ma trận được gọi là phương pháp viền (hoặc phương pháp viền phụ).

Vấn đề 1.4. Dùng phương pháp giáp thứ, xác định hạng của ma trận
.

Ví dụ, hãy xem xét việc viền thứ tự đầu tiên,
. Sau đó chúng ta chuyển sang xem xét một số đường viền bậc hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, hãy phân tích đường viền bậc ba.

Vậy cấp cao nhất của số thứ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải Bài toán 1.4, bạn có thể nhận thấy rằng một số số bé giáp bậc hai khác không. Về vấn đề này, khái niệm sau đây được áp dụng.

Định nghĩa 1.14. Một thứ cơ bản của ma trận là bất kỳ thứ nào khác 0 có thứ tự bằng thứ hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý nhỏ cơ sở). Các hàng cơ sở (cột cơ sở) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các ma trận khác.

Định lý 1.3. Số hàng ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức bằng 0). Để có yếu tố quyết định -thứ tự bằng 0 thì điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính thứ hạng của ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá cồng kềnh. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, thứ hạng của ma trận được tính toán dựa trên việc áp dụng Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về ma trận tương đương và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
Và được gọi là tương đương nếu thứ hạng của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
Và tương đương thì lưu ý
 .

Định lý 1.5. Thứ hạng của ma trận không thay đổi do các phép biến đổi cơ bản.

Chúng ta sẽ gọi các phép biến đổi ma trận cơ bản
bất kỳ phép toán nào sau đây trên ma trận:

Thay hàng bằng cột và thay cột bằng hàng tương ứng;

Sắp xếp lại các hàng ma trận;

Gạch bỏ một dòng có các phần tử đều bằng 0;

Nhân một chuỗi với một số khác 0;

Cộng vào các phần tử của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì ma trận
Và là tương đương.

Khi tính hạng của ma trận, cần quy nó về dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn của ma trận khi, ở cấp số cao nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới các đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

Đây
, phần tử ma trận
đi đến số không. Khi đó dạng biểu diễn của ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy định, ma trận được rút gọn thành dạng hình thang bằng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gauss là bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các thừa số tương ứng, đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các hệ số tương ứng, ta đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó tiến hành theo cách tương tự.

Vấn đề 1.5. Xác định hạng của ma trận bằng cách quy nó về dạng hình thang.

Để sử dụng thuật toán Gaussian dễ dàng hơn, bạn có thể hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba.








.

Rõ ràng là ở đây
. Tuy nhiên, để đưa kết quả về dạng trang nhã hơn, bạn có thể tiếp tục chuyển đổi các cột.










.

Tiểu học Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột khác), nhân với một số nhất định.

Hai ma trận đó được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng thu được từ cái kia bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Nói chung, các ma trận tương đương không bằng nhau nhưng thứ hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B tương đương thì được viết như sau: A ~ B.

Chuẩn Ma trận là ma trận trong đó ở đầu đường chéo chính có một số phần tử liên tiếp (số lượng có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác đều bằng 0, ví dụ:

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chính tắc. Thứ hạng của ma trận chính tắc bằng số lượng ma trận trên đường chéo chính của nó.

Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

và đưa nó về dạng kinh điển.

Giải pháp. Từ dòng thứ hai, trừ đi dòng đầu tiên và sắp xếp lại các dòng sau:

Bây giờ từ dòng thứ hai và thứ ba, chúng ta trừ dòng đầu tiên, nhân tương ứng với 2 và 5:

;

trừ dòng đầu tiên từ dòng thứ ba; chúng ta nhận được một ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng được chuyển thành ma trận chuẩn. Bằng cách trừ cột đầu tiên nhân với các số phù hợp với tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ hàng đầu tiên và các phần tử của các hàng còn lại không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số phù hợp, từ tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ hàng thứ hai và thu được ma trận chính tắc:

Định lý Kronecker - Capelli- Tiêu chí tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính:

Để một hệ thống tuyến tính nhất quán, điều cần và đủ là hạng của ma trận mở rộng của hệ thống này bằng hạng của ma trận chính của nó.

Bằng chứng (điều kiện tương thích hệ thống)

sự cần thiết

Cho phép hệ thống chung Khi đó có những số như vậy . Do đó, cột là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận. Từ thực tế là thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi nếu một hàng (cột) bị xóa hoặc được thêm vào từ hệ thống các hàng (cột) của nó, là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác, từ đó suy ra .

sự đầy đủ

Cho phép . Chúng ta hãy lấy một số thứ cơ bản trong ma trận. Vì vậy nên nó cũng sẽ là cơ số thứ của ma trận. Khi đó theo định lý cơ bản người vị thành niên, cột cuối cùng của ma trận sẽ là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở, tức là các cột của ma trận. Vì vậy, cột các số hạng tự do của hệ thống là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận.

Hậu quả

Số lượng biến chính hệ thống ngang bằng với cấp bậc của hệ thống.

Chung hệ thống sẽ được xác định (nghiệm của nó là duy nhất) nếu hạng của hệ bằng số tất cả các biến của nó.

Hệ phương trình thuần nhất

Lời đề nghị15 . 2 Hệ phương trình thuần nhất

luôn luôn là khớp.

Bằng chứng. Đối với hệ thống này, tập hợp các số , , , là một nghiệm.

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ma trận của hệ: .

Lời đề nghị15 . 3 Tổng nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một nghiệm của hệ này. Một nghiệm nhân với một số cũng là một nghiệm.

Bằng chứng. Hãy để chúng đóng vai trò là giải pháp cho hệ thống. Sau đó và. Cho phép . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Cho là một số tùy ý, . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Kết quả15 . 1 Nếu một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác 0 thì nó có vô số nghiệm khác nhau.

Thật vậy, nhân một nghiệm khác 0 với nhiều số khác nhau, chúng ta sẽ thu được các nghiệm khác nhau.

Sự định nghĩa15 . 5 Chúng tôi sẽ nói rằng các giải pháp hệ thống hình thức Hệ thống giải pháp cơ bản, nếu cột tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính và mọi nghiệm của hệ thống đều là tổ hợp tuyến tính của các cột này.

Sự định nghĩa. Xếp hạng ma trận là số hàng độc lập tuyến tính tối đa được coi là vectơ.

Định lý 1 về hạng của ma trận. Xếp hạng ma trậnđược gọi là cấp tối đa của một phần tử khác 0 của ma trận.

Chúng ta đã thảo luận về khái niệm thứ yếu trong bài về định thức và bây giờ chúng ta sẽ khái quát hóa nó. Chúng ta hãy lấy một số hàng và một số cột nhất định trong ma trận, và số “bao nhiêu” này phải nhỏ hơn số hàng và cột của ma trận, còn đối với các hàng và cột thì số “bao nhiêu” này phải là số tương tự. Khi đó tại giao điểm bao nhiêu hàng và bao nhiêu cột sẽ có một ma trận cấp thấp hơn ma trận ban đầu của chúng ta. Định thức là một ma trận và sẽ là số thứ k nếu “một số” (số hàng và cột) được đề cập được ký hiệu là k.

Sự định nghĩa. Người vị thành niên ( r+1)thứ tự, trong đó trẻ vị thành niên được chọn nằm trong đó r-thứ tự được gọi là giáp cho một trẻ vị thành niên nhất định.

Hai phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là tìm hạng của ma trận. Cái này cách tiếp cận trẻ vị thành niên Và phương pháp biến đổi cơ bản(phương pháp Gauss).

Khi sử dụng phương pháp giáp thứ, định lý sau được sử dụng.

Định lý 2 về hạng của ma trận. Nếu một phần nhỏ có thể được tạo thành từ các phần tử ma trận r bậc thứ không bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r.

Khi sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, thuộc tính sau được sử dụng:

Nếu thông qua các phép biến đổi cơ bản thu được ma trận hình thang tương đương với ma trận ban đầu thì thứ hạng của ma trận này là số dòng trong đó không phải là số dòng chứa toàn số 0.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ

Một trẻ vị thành niên kèm theo là một trẻ vị thành niên có cấp độ cao hơn so với trẻ vị thành niên đã cho nếu trẻ thứ cấp cao hơn này chứa trẻ vị thành niên đã cho.

Ví dụ, cho ma trận

Chúng ta hãy lấy một trẻ vị thành niên

Các trẻ vị thành niên giáp ranh sẽ là:

Thuật toán tìm hạng của ma trận Kế tiếp.

1. Tìm số thứ cấp bậc hai không bằng 0. Nếu tất cả các số hạng bậc hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận sẽ bằng một ( r =1 ).

2. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên cấp hai không bằng 0 thì ta gộp các trẻ vị thành niên giáp cấp ba. Nếu tất cả các phần tử giáp của bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng hai ( r =2 ).

3. Nếu ít nhất một trong các trẻ vị thành niên giáp bậc ba không bằng 0 thì ta gộp các trẻ vị thành niên giáp. Nếu tất cả các phần tử giáp của bậc thứ tư đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng ba ( r =2 ).

4. Tiếp tục theo cách này miễn là kích thước ma trận cho phép.

Ví dụ 1. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Thứ tự thứ hai .

Hãy biên giới nó. Sẽ có bốn trẻ vị thành niên giáp ranh:

Do đó, tất cả các số phụ giáp của bậc ba đều bằng 0, do đó hạng của ma trận này bằng hai ( r =2 ).

Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Hạng của ma trận này bằng 1, vì tất cả các phân số bậc hai của ma trận này đều bằng 0 (trong trường hợp này, cũng như các trường hợp phân số cận kề trong hai ví dụ sau, mời các em học sinh xác minh cho bản thân chúng, có lẽ sử dụng các quy tắc để tính các định thức), và trong số các phần tử bậc nhất, tức là trong số các phần tử của ma trận, có những phần tử khác 0.

Ví dụ 3. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Cấp thứ hai của ma trận này là , và tất cả các cấp thứ ba của ma trận này đều bằng 0. Vì vậy, hạng của ma trận này là hai.

Ví dụ 4. Tìm hạng của ma trận

Giải pháp. Thứ hạng của ma trận này là 3, vì phần thứ ba duy nhất của ma trận này là 3.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản (phương pháp Gauss)

Ngay trong ví dụ 1, rõ ràng là nhiệm vụ xác định thứ hạng của ma trận bằng phương pháp giáp số phụ đòi hỏi phải tính toán một số lượng lớn các định thức. Tuy nhiên, có một cách để giảm số lượng tính toán xuống mức tối thiểu. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản và còn được gọi là phương pháp Gauss.

Các phép toán sau đây được hiểu là các phép biến đổi ma trận cơ bản:

1) nhân bất kỳ hàng hoặc cột nào của ma trận với một số khác 0;

2) thêm vào các phần tử của hàng hoặc cột bất kỳ của ma trận các phần tử tương ứng của hàng hoặc cột khác, nhân với cùng một số;

3) hoán đổi hai hàng hoặc cột của ma trận;

4) loại bỏ các hàng "null", nghĩa là những hàng có phần tử bằng 0;

5) xóa tất cả các dòng tỷ lệ ngoại trừ một dòng.

Định lý. Trong quá trình biến đổi cơ bản, hạng của ma trận không thay đổi. Nói cách khác, nếu chúng ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản từ ma trận MỘTđã đi đến ma trận B, Cái đó .