Thứ hạng của ma trận 0 bằng. Xếp hạng ma trận. Các phép biến đổi cơ bản của hàng ma trận

Xét một ma trận \(A\) thuộc loại \((m,n)\). Giả sử, để xác định, \(m \leq n\). Lấy \(m\) hàng và chọn \(m\) cột của ma trận \(A\), tại giao điểm của các hàng và cột này ta được ma trận vuông cấp \(m\), định thức của nó được gọi là thứ tự nhỏ ma trận \(m\) \(A\). Nếu phần này khác 0 thì được gọi là thứ yếu cơ bản và họ nói rằng hạng của ma trận \(A\) bằng \(m\). Nếu định thức này bằng 0 thì các cột \(m\) khác được chọn, tại giao điểm của chúng có các phần tử tạo thành một thứ khác có thứ tự \(m\). Nếu trẻ vị thành niên là 0, chúng tôi tiếp tục thủ tục. Nếu trong số tất cả các cấp số phụ có thể có \(m\) không có số khác 0, chúng ta chọn \(m-1\) hàng và cột từ ma trận \(A\), tại giao điểm của chúng là một ma trận vuông có cấp \(m- 1\) xuất hiện thì định thức của nó được gọi là bậc thứ \(m-1\) của ma trận ban đầu. Tiếp tục thủ tục, chúng tôi tìm kiếm một trẻ vị thành niên khác 0, xem xét tất cả các trẻ vị thành niên có thể có, hạ thấp thứ tự của chúng.

Sự định nghĩa.

Phần nhỏ khác 0 của một ma trận có cấp cao nhất được gọi là thứ yếu cơ bản của ma trận ban đầu, thứ tự của nó được gọi là thứ hạng ma trận \(A\), hàng và cột, tại giao điểm của nó có cơ sở phụ, được gọi là hàng và cột cơ sở. Thứ hạng của ma trận được ký hiệu là \(rang(A)\).

Từ định nghĩa này, hãy tuân theo các thuộc tính đơn giản của hạng của ma trận: nó là một số nguyên và hạng của ma trận khác 0 thỏa mãn các bất đẳng thức: \(1 \leq Rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

Thứ hạng của ma trận sẽ thay đổi như thế nào nếu một hàng bị xóa? Thêm một số dòng?

Kiểm tra câu trả lời

1) Thứ hạng có thể giảm 1.

2) Thứ hạng có thể tăng thêm 1.

Giả sử \(A\) là một ma trận kiểu \((m,n)\). Hãy xem xét các cột của ma trận \(A\) - đây là các cột có số \(m\) mỗi cột. Hãy ký hiệu chúng là \(A_1,A_2,...,A_n\). Cho \(c_1,c_2,...,c_n\) là một số số.

Sự định nghĩa.

Cột \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] được gọi là tổ hợp tuyến tính của các cột \(A_1,A_2,...,A_n\), các số \( c_1,c_2 ,...,c_n\) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính này.

Sự định nghĩa.

Cho trước các cột \(p\) \(A_1, A_2, ..., A_p\). Nếu có các số \(c_1,c_2,...,c_p\) sao cho

1. không phải tất cả những con số này đều bằng 0,

2. tổ hợp tuyến tính \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) bằng cột 0 (tức là một cột có tất cả các phần tử đều bằng 0), thì chúng ta nói rằng các cột \( A_1, A_2, ..., A_p\) phụ thuộc tuyến tính. Nếu đối với một tập hợp các cột nhất định, các số \(c_1,c_2,...,c_n\) không tồn tại thì các cột được gọi là độc lập tuyến tính.

Ví dụ. Xét 2 cột

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] thì với mọi số \(c_1,c_2\) chúng ta có: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Tổ hợp tuyến tính này bằng cột 0 khi và chỉ khi cả hai số \(c_1,c_2\) đều bằng 0. Vì vậy, các cột này độc lập tuyến tính.

Tuyên bố. Để các cột phụ thuộc tuyến tính, điều cần thiết và đủ là một trong số chúng là sự kết hợp tuyến tính của các cột khác.

Giả sử các cột \(A_1,A_2,...,A_m\) phụ thuộc tuyến tính, tức là đối với một số hằng số \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), không phải tất cả các hằng số đều bằng 0, các giá trị sau đúng: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (ở bên phải là cột số 0). Ví dụ: giả sử \(\lambda _1 \neq 0\). Sau đó \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] tức là. cột đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của những cột khác.

Với mọi ma trận khác 0 \(A\) điều sau đây đúng:

1. Các cột cơ sở độc lập tuyến tính.

2. Bất kỳ cột ma trận nào cũng là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở của nó.

(Điều tương tự cũng đúng với chuỗi).

Để xác định, hãy để \((m,n)\) là loại ma trận \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) và phần cơ sở nhỏ nằm trong \(r đầu tiên \) ma trận hàng và cột \(A\). Đặt \(s\) là số bất kỳ từ 1 đến \(m\), \(k\) là số bất kỳ từ 1 đến \(n\). Hãy xem xét một dạng thứ của dạng sau: \[ D=\left| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] I E. Chúng tôi đã gán cột thứ \(s-\) và hàng thứ \(k-\) cho cột thứ cơ sở. Theo định nghĩa về thứ hạng của ma trận, định thức này bằng 0 (nếu chọn \(s\leq r\) hoặc \(k \leq r\), thì định thức thứ này có 2 cột hoặc 2 hàng giống nhau, nếu \(s>r\) và \(k>r\) - theo định nghĩa về thứ hạng, một phần nhỏ có kích thước lớn hơn \(r\) trở thành 0). Hãy mở rộng định thức này dọc theo dòng cuối cùng, chúng ta nhận được: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+...+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks )=0. \quad \quad(16) \]

Ở đây các số \(A_(kp)\) là phần bù đại số của các phần tử ở hàng dưới cùng \(D\). Giá trị của chúng không phụ thuộc vào \(k\), bởi vì được hình thành bằng cách sử dụng các phần tử từ dòng \(r\) đầu tiên. Trong trường hợp này, giá trị \(A_(ks)\) là thứ cơ bản, khác 0. Hãy ký hiệu \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Chúng ta hãy viết lại (16) bằng ký hiệu mới: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] hoặc chia cho \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Đẳng thức này hợp lệ với mọi giá trị của \(k\), vì vậy \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. ................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Vì vậy, cột thứ \(s-\) là sự kết hợp tuyến tính của các cột \(r\) đầu tiên. Định lý đã được chứng minh.

Bình luận.

Từ định lý cơ bản nhỏ, ta suy ra rằng thứ hạng của ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính của nó (bằng số hàng độc lập tuyến tính).

Hệ quả 1.

Nếu định thức bằng 0 thì nó có một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Hệ quả 2.

Nếu thứ hạng của ma trận nhỏ hơn số cột thì các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Một số phép biến đổi ma trận không thay đổi thứ hạng của nó. Những biến đổi như vậy có thể được gọi là cơ bản. Các dữ kiện tương ứng có thể được xác minh dễ dàng bằng cách sử dụng các tính chất của định thức và xác định thứ hạng của ma trận.

1. Sắp xếp lại các cột.

2. Nhân các phần tử của một cột bất kỳ với một thừa số khác 0.

3. Thêm bất kỳ cột nào khác vào một cột, nhân với một số tùy ý.

4. Gạch bỏ cột số 0.

Điều này cũng đúng với chuỗi.

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi này, ma trận có thể được chuyển đổi thành dạng được gọi là "hình thang" - một ma trận chỉ có các số 0 dưới đường chéo chính. Đối với ma trận "hình thang", hạng là số phần tử khác 0 trên đường chéo chính và phần tử cơ sở là phần tử phụ có đường chéo trùng với tập hợp các phần tử khác 0 trên đường chéo chính của ma trận được biến đổi.

Ví dụ. Hãy xem xét ma trận

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(mảng) \right). \] Chúng ta sẽ biến đổi nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi ở trên. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

Ở đây chúng tôi tuần tự thực hiện các bước sau: 1) sắp xếp lại dòng thứ hai lên trên cùng, 2) trừ dòng đầu tiên với phần còn lại với hệ số phù hợp, 3) trừ dòng thứ hai khỏi dòng thứ ba 4 lần, thêm dòng thứ hai vào thứ tư, 4) gạch bỏ các dòng số 0 - dòng thứ ba và thứ tư . Ma trận cuối cùng của chúng ta đã có được hình dạng mong muốn: có các số khác 0 trên đường chéo chính và các số 0 ở dưới đường chéo chính. Sau đó, quy trình dừng lại và số phần tử khác 0 trên đường chéo chính bằng hạng của ma trận. Thứ cơ bản là hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên. Tại giao điểm của chúng có ma trận cấp 2 với định thức khác 0. Đồng thời, quay trở lại chuỗi các phép biến đổi, bạn có thể theo dõi hàng này hoặc hàng kia (cột này hoặc cột kia) trong ma trận cuối cùng đến từ đâu, tức là. xác định các hàng và cột cơ sở trong ma trận ban đầu. Trong trường hợp này, hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên tạo thành cơ sở thứ.

Cho một số ma trận:

.

Chúng ta hãy chọn trong ma trận này chuỗi tùy ý và cột tùy ý
. Khi đó yếu tố quyết định thứ tự, bao gồm các phần tử ma trận
, nằm ở giao điểm của các hàng và cột được chọn, được gọi là phần phụ ma trận bậc thứ
.

Định nghĩa 1.13. Xếp hạng ma trận
là cấp lớn nhất của cấp số khác 0 của ma trận này.

Để tính thứ hạng của một ma trận, người ta phải xem xét tất cả các phần tử thứ cấp của nó ở cấp thấp nhất và nếu ít nhất một trong số chúng khác 0 thì tiến hành xem xét các phần tử thứ cấp có cấp độ cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của ma trận được gọi là phương pháp viền (hoặc phương pháp viền phụ).

Vấn đề 1.4. Dùng phương pháp giáp thứ, xác định hạng của ma trận
.

.

Ví dụ, hãy xem xét việc viền thứ tự đầu tiên,
. Sau đó chúng ta chuyển sang xem xét một số đường viền bậc hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, hãy phân tích đường viền bậc ba.

.

Vậy cấp cao nhất của số thứ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải Bài toán 1.4, bạn có thể nhận thấy rằng một số số bé giáp bậc hai khác không. Về vấn đề này, khái niệm sau đây được áp dụng.

Định nghĩa 1.14. Một thứ cơ bản của ma trận là bất kỳ thứ nào khác 0 có thứ tự bằng thứ hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý nhỏ cơ sở). Các hàng cơ sở (cột cơ sở) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các ma trận khác.

Định lý 1.3. Số hàng ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức bằng 0). Để có yếu tố quyết định -thứ tự bằng 0 thì điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính thứ hạng của ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá cồng kềnh. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, thứ hạng của ma trận được tính toán dựa trên việc áp dụng Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về ma trận tương đương và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
Và được gọi là tương đương nếu thứ hạng của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
Và tương đương thì lưu ý
 .

Định lý 1.5. Thứ hạng của ma trận không thay đổi do các phép biến đổi cơ bản.

Chúng ta sẽ gọi các phép biến đổi ma trận cơ bản
bất kỳ phép toán nào sau đây trên ma trận:

Thay hàng bằng cột và thay cột bằng hàng tương ứng;

Sắp xếp lại các hàng ma trận;

Gạch bỏ một dòng có các phần tử đều bằng 0;

Nhân một chuỗi với một số khác 0;

Cộng vào các phần tử của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì ma trận
Và là tương đương.

Khi tính hạng của ma trận, cần quy nó về dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn ma trận khi ở phần giáp thứ cấp cao nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới các đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

.

Đây
, phần tử ma trận
đi đến số không. Khi đó dạng biểu diễn của ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy định, ma trận được rút gọn thành dạng hình thang bằng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gauss là bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các thừa số tương ứng, đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các hệ số tương ứng, ta đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó tiến hành theo cách tương tự.

Vấn đề 1.5. Xác định hạng của ma trận bằng cách quy nó về dạng hình thang.

.

Để sử dụng thuật toán Gaussian dễ dàng hơn, bạn có thể hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba.








.

Rõ ràng là ở đây
. Tuy nhiên, để đưa kết quả về dạng trang nhã hơn, bạn có thể tiếp tục chuyển đổi các cột.










.

Cho A là ma trận có kích thước m\times n và k là số tự nhiên không vượt quá m và n: k\leqslant\min\(m;n\). Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A là định thức của ma trận bậc k được hình thành bởi các phần tử tại giao của k hàng và k cột được chọn tùy ý của ma trận A. Khi biểu thị số thứ yếu, chúng ta sẽ chỉ ra số hàng được chọn làm chỉ số trên và số cột được chọn làm chỉ số dưới, sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần.

Ví dụ 3.4. Viết thứ tự khác nhau của ma trận

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Giải pháp. Ma trận A có kích thước 3\times4 . Nó có: 12 trẻ vị thành niên bậc 1, ví dụ trẻ vị thành niên M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 trẻ vị thành niên cấp 2 chẳng hạn, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 trẻ vị thành niên cấp 3 chẳng hạn,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Trong ma trận A có kích thước m\times n, bậc thứ r được gọi là nền tảng, nếu nó khác 0 và tất cả các phân số thứ cấp của (r+1)-ro đều bằng 0 hoặc hoàn toàn không tồn tại.

Xếp hạng ma trậnđược gọi là bậc cơ sở thứ. Không có cơ sở thứ trong ma trận 0. Do đó, thứ hạng của ma trận 0, theo định nghĩa, bằng 0. Thứ hạng của ma trận A được ký hiệu là \tên toán tử(rg)A.

Ví dụ 3.5. Tìm tất cả các cơ số thứ cấp và thứ hạng ma trận

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Giải pháp. Tất cả các số hạng bậc ba của ma trận này đều bằng 0, vì các định thức này có hàng thứ ba bằng 0. Do đó, chỉ một phần phụ bậc hai nằm ở hai hàng đầu tiên của ma trận mới có thể là cơ bản. Đi qua 6 trẻ vị thành niên có thể, chúng tôi chọn khác không

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Mỗi trong số năm trẻ vị thành niên này là một cơ bản. Do đó, hạng của ma trận là 2.

Ghi chú 3.2

1. Nếu tất cả các số thứ k trong ma trận đều bằng 0 thì các số thứ tự cao hơn cũng bằng 0. Thật vậy, khi mở rộng cấp thứ của (k+1)-ro trên bất kỳ hàng nào, chúng ta thu được tổng các tích của các phần tử của hàng này theo cấp thứ thứ k và chúng bằng 0.

2. Cấp của ma trận bằng cấp cao nhất của cấp số khác 0 của ma trận này.

3. Nếu ma trận vuông không số ít thì hạng của nó bằng cấp của nó. Nếu ma trận vuông là số ít thì hạng của nó nhỏ hơn cấp của nó.

4. Chỉ định cũng được sử dụng cho cấp bậc \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Xếp hạng ma trận khốiđược định nghĩa là thứ hạng của ma trận (số) thông thường, tức là bất kể cấu trúc khối của nó. Trong trường hợp này, thứ hạng của ma trận khối không nhỏ hơn thứ hạng của các khối của nó: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A Và \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, vì tất cả các phần tử phụ của ma trận A (hoặc B ) cũng là phần tử phụ của ma trận khối (A\mid B) .

Định lý cơ sở thứ và hạng của ma trận

Chúng ta hãy xem xét các định lý chính biểu diễn tính chất phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập tuyến tính của các cột (hàng) của ma trận.

Định lý 3.1 trên cơ sở thứ. Trong ma trận A tùy ý, mỗi cột (hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) chứa phần cơ sở nhỏ.

Thật vậy, không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng trong ma trận A có kích thước m\times n cơ số phụ nằm ở r hàng đầu tiên và r cột đầu tiên. Hãy xem xét yếu tố quyết định

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

có được bằng cách gán các phần tử tương ứng của hàng thứ s và cột thứ k cho phần tử cơ sở của ma trận A. Lưu ý rằng đối với bất kỳ 1\leqslant s\leqslant m và định thức này bằng 0. Nếu s\leqslant r hoặc k\leqslant r , thì định thức D chứa hai hàng hoặc hai cột giống nhau. Nếu s>r và k>r thì định thức D bằng 0, vì nó là thứ của cấp (r+l)-ro. Khai triển định thức dọc theo dòng cuối cùng, chúng ta nhận được

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

trong đó D_(r+1\,j) là phần bù đại số của các phần tử ở hàng cuối cùng. Lưu ý rằng D_(r+1\,r+1)\ne0 vì đây là thứ cơ sở. Đó là lý do tại sao

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Ở đâu \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

những thứ kia. cột thứ k (đối với bất kỳ 1\leqslant k\leqslant n) là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở thứ, đây chính là điều ta cần chứng minh.

Định lý cơ sở phụ dùng để chứng minh các định lý quan trọng sau.

Điều kiện để định thức bằng 0

Định lý 3.2 (điều kiện cần và đủ để định thức bằng 0).Để định thức bằng 0, điều cần thiết là một trong các cột (một trong các hàng của nó) phải là tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) còn lại.

Thật vậy, sự cần thiết xuất phát từ định lý cơ bản nhỏ. Nếu định thức của ma trận vuông cấp n bằng 0 thì hạng của nó nhỏ hơn n, tức là. ít nhất một cột không được bao gồm trong cơ sở nhỏ. Khi đó cột được chọn này, theo Định lý 3.1, là một tổ hợp tuyến tính của các cột chứa phần cơ sở. Bằng cách thêm, nếu cần, vào tổ hợp này các cột khác có hệ số bằng 0, chúng ta thu được rằng cột được chọn là tổ hợp tuyến tính của các cột còn lại của ma trận. Tính đủ xuất phát từ các tính chất của định thức. Ví dụ: nếu cột cuối cùng A_n của định thức \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)được biểu diễn tuyến tính thông qua phần còn lại

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

sau đó cộng vào A_n cột A_1 nhân với (-\lambda_1), rồi cộng vào cột A_2 nhân với (-\lambda_2), v.v. cột A_(n-1) nhân với (-\lambda_(n-1)) ta được định thức \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) với cột rỗng bằng 0 (thuộc tính 2 của định thức).

Bất biến hạng ma trận dưới các phép biến đổi cơ bản

Định lý 3.3 (về tính bất biến hạng dưới các phép biến đổi cơ bản). Trong quá trình biến đổi cơ bản các cột (hàng) của ma trận, thứ hạng của nó không thay đổi.

Thật vậy, hãy để nó như vậy. Giả sử rằng nhờ một phép biến đổi cơ bản của các cột trong ma trận A, chúng ta thu được ma trận A. Nếu một phép biến đổi loại I được thực hiện (hoán vị của hai cột), thì bất kỳ (r+l)-ro thứ tự nào của ma trận A" bằng cấp (r+l )-ro tương ứng của cấp của ma trận A hoặc khác với nó về dấu (tính chất 3 của định thức). Nếu một phép biến đổi loại II được thực hiện (nhân cột với số \lambda\ne0 ), thì bất kỳ thứ (r+l)-ro nào theo thứ tự của ma trận A" đều bằng (r+l) tương ứng -ro theo thứ tự của ma trận A hoặc khác với nó hệ số \lambda\ne0 (thuộc tính 6 của định thức). Nếu một phép biến đổi loại III được thực hiện (thêm vào một cột một cột khác nhân với số \Lambda), thì bất kỳ cấp thứ (r+1) của ma trận A" bằng cấp thứ (r+1) tương ứng của ma trận A (thuộc tính 9 của định thức), hoặc bằng tổng của hai thứ (r+l)-ro theo thứ tự của ma trận A (thuộc tính 8 của định thức). Do đó, dưới một phép biến đổi cơ bản thuộc bất kỳ loại nào, tất cả các phần tử thứ (r+l)-ro theo thứ tự của ma trận A" đều bằng 0, vì tất cả các phần tử thứ (r+l)-ro theo thứ tự của ma trận A là bằng 0. Do đó, người ta đã chứng minh rằng dưới các phép biến đổi cơ bản của cột, ma trận hạng không thể tăng. Vì các phép biến đổi nghịch đảo với ma trận cơ bản là sơ cấp nên thứ hạng của ma trận không thể giảm dưới các phép biến đổi cơ bản của các cột, tức là không thay đổi. Tương tự, người ta chứng minh rằng hạng của ma trận không thay đổi dưới các phép biến đổi cơ bản của các hàng.

Hệ quả 1. Nếu một hàng (cột) của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác của nó, thì hàng (cột) này có thể bị xóa khỏi ma trận mà không thay đổi thứ hạng của nó.

Thật vậy, một chuỗi như vậy có thể tạo thành số 0 bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản và chuỗi số 0 không thể được đưa vào chuỗi thứ cơ sở.

Hệ quả 2. Nếu ma trận được rút gọn về dạng đơn giản nhất (1.7) thì

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Thật vậy, ma trận có dạng đơn giản nhất (1.7) có cơ sở thứ cấp thứ r.

Hệ quả 3. Bất kỳ ma trận vuông không số ít nào đều là ma trận cơ bản, hay nói cách khác, bất kỳ ma trận vuông không số ít nào cũng tương đương với một ma trận đơn vị có cùng thứ tự.

Thật vậy, nếu A là ma trận vuông không suy biến cấp n thì \tên toán tử(rg)A=n(xem đoạn 3 của bình luận 3.2). Do đó, đưa ma trận A về dạng đơn giản nhất (1.7) bằng các phép biến đổi cơ bản, ta thu được ma trận đẳng thức \Lambda=E_n , vì \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(xem Hệ quả 2). Do đó, ma trận A tương đương với ma trận đẳng thức E_n và có thể thu được từ nó nhờ một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Điều này có nghĩa là ma trận A là ma trận cơ bản.

Định lý 3.4 (về hạng của ma trận). Thứ hạng của ma trận bằng số hàng độc lập tuyến tính tối đa của ma trận này.

Trên thực tế, hãy \tên toán tử(rg)A=r. Khi đó ma trận A có r hàng độc lập tuyến tính. Đây là những đường trong đó có âm nền thứ. Nếu chúng phụ thuộc tuyến tính thì thứ này sẽ bằng 0 theo Định lý 3.2, và hạng của ma trận A sẽ không bằng r. Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng r là số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa, tức là mọi hàng p đều phụ thuộc tuyến tính với p>r. Thật vậy, chúng ta tạo thành ma trận B từ p hàng này. Vì ma trận B là một phần của ma trận A nên \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Điều này có nghĩa là ít nhất một hàng của ma trận B không được đưa vào phần cơ sở của ma trận này. Sau đó, theo định lý cơ sở nhỏ, nó bằng một tổ hợp tuyến tính của các hàng chứa định lý cơ sở thứ. Do đó, các hàng của ma trận B phụ thuộc tuyến tính. Do đó, ma trận A có nhiều nhất r hàng độc lập tuyến tính.

Hệ quả 1. Số hàng độc lập tuyến tính tối đa trong một ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính tối đa:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Tuyên bố này tuân theo Định lý 3.4 nếu chúng ta áp dụng nó cho các hàng của ma trận chuyển vị và tính đến việc các phần tử thứ không thay đổi trong quá trình chuyển vị (tính chất 1 của định thức).

Hệ quả 2. Trong quá trình biến đổi cơ bản của các hàng của ma trận, sự phụ thuộc tuyến tính (hoặc độc lập tuyến tính) của bất kỳ hệ cột nào của ma trận này đều được bảo toàn.

Trong thực tế, chúng ta hãy chọn k cột bất kỳ của ma trận A cho trước và soạn ma trận B từ chúng. Giả sử ma trận A" thu được do các phép biến đổi cơ bản của các hàng ma trận A và ma trận B" thu được do các phép biến đổi tương tự của các hàng ma trận B. Theo Định lý 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Do đó, nếu các cột của ma trận B độc lập tuyến tính, tức là k=\tên toán tử(rg)B(xem Hệ quả 1), thì các cột của ma trận B” cũng độc lập tuyến tính, vì k=\tên toán tử(rg)B". Nếu các cột của ma trận B phụ thuộc tuyến tính (k>\tên toán tử(rg)B) thì các cột của ma trận B” cũng phụ thuộc tuyến tính (k>\tên toán tử(rg)B"). Do đó, đối với bất kỳ cột nào của ma trận A, sự phụ thuộc tuyến tính hoặc tính độc lập tuyến tính được bảo toàn dưới các phép biến đổi hàng cơ bản.

Chú ý 3.3

1. Theo Hệ quả 1 của Định lý 3.4, tính chất cột nêu trong Hệ quả 2 cũng đúng với mọi hệ ma trận hàng nếu các phép biến đổi cơ bản chỉ được thực hiện trên các cột của nó.

2. Hệ quả 3 của Định lý 3.3 có thể được phát biểu như sau: bất kỳ ma trận vuông không số ít nào, sử dụng các phép biến đổi cơ bản chỉ các hàng của nó (hoặc chỉ các cột của nó), có thể được rút gọn thành ma trận nhận dạng có cùng thứ tự.

Trong thực tế, chỉ sử dụng các phép biến đổi hàng cơ bản, bất kỳ ma trận A nào cũng có thể được rút gọn về dạng đơn giản \Lambda (Hình 1.5) (xem Định lý 1.1). Vì ma trận A không số ít (\det(A)\ne0), các cột của nó độc lập tuyến tính. Điều này có nghĩa là các cột của ma trận \Lambda cũng độc lập tuyến tính (Hệ quả 2 của Định lý 3.4). Do đó, dạng đơn giản \Lambda của ma trận không suy biến A trùng với dạng đơn giản nhất của nó (Hình 1.6) và là ma trận đẳng thức \Lambda=E (xem Hệ quả 3 của Định lý 3.3). Vì vậy, bằng cách chỉ chuyển đổi các hàng của ma trận không số ít, nó có thể được rút gọn thành ma trận đơn vị. Lý luận tương tự cũng đúng đối với các phép biến đổi cơ bản của các cột của ma trận không số ít.

Thứ hạng của sản phẩm và tổng của ma trận

Định lý 3.5 (về hạng tích của ma trận). Cấp của tích ma trận không vượt quá cấp của các thừa số:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Thật vậy, giả sử ma trận A và B có kích thước m\times p và p\times n . Hãy gán cho ma trận A ma trận C=AB\dấu hai chấm\,(A\giữa C). Tất nhiên đó \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), vì C là một phần của ma trận (A\mid C) (xem đoạn 5 của nhận xét 3.2). Lưu ý rằng mỗi cột C_j theo phép nhân ma trận là tổ hợp tuyến tính của các cột A_1,A_2,\ldots,A_p ma trận A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Một cột như vậy có thể bị xóa khỏi ma trận (A\mid C) mà không làm thay đổi thứ hạng của nó (Hệ quả 1 của Định lý 3.3). Gạch bỏ tất cả các cột của ma trận C, ta được: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Từ đây, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Tương tự, chúng ta có thể chứng minh rằng điều kiện được thỏa mãn đồng thời \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, và rút ra kết luận về tính đúng đắn của định lý.

Kết quả. Nếu như A là ma trận vuông không suy biến nên \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B Và \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, I E. Thứ hạng của ma trận không thay đổi khi nhân nó từ bên trái hoặc bên phải với một ma trận vuông không suy biến.

Định lý 3.6 về cấp của tổng các ma trận. Cấp của tổng ma trận không vượt quá tổng cấp của các số hạng:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Thật vậy, hãy tạo một ma trận (A+B\giữa A\giữa B). Lưu ý rằng mỗi cột của ma trận A+B là tổ hợp tuyến tính của các cột ma trận A và B. Đó là lý do tại sao \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Xét rằng số cột độc lập tuyến tính trong ma trận (A\mid B) không vượt quá \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, Một \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(xem phần 5 của Nhận xét 3.2), ta thu được bất đẳng thức đã được chứng minh.

Tiểu học Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột khác), nhân với một số nhất định.

Hai ma trận đó được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng thu được từ cái kia bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Nói chung, các ma trận tương đương không bằng nhau nhưng thứ hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B tương đương thì được viết như sau: A ~ B.

Chuẩn Ma trận là ma trận trong đó ở đầu đường chéo chính có một số phần tử liên tiếp (số lượng có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác đều bằng 0, ví dụ:

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chính tắc. Thứ hạng của ma trận chính tắc bằng số lượng ma trận trên đường chéo chính của nó.

Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

A=

và đưa nó về dạng kinh điển.

Giải pháp. Từ dòng thứ hai, trừ đi dòng đầu tiên và sắp xếp lại các dòng sau:

.

Bây giờ từ dòng thứ hai và thứ ba, chúng ta trừ dòng đầu tiên, nhân tương ứng với 2 và 5:

;

trừ dòng đầu tiên từ dòng thứ ba; chúng ta nhận được một ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng được chuyển thành ma trận chuẩn. Bằng cách trừ cột đầu tiên nhân với các số phù hợp với tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ hàng đầu tiên và các phần tử của các hàng còn lại không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số phù hợp, từ tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ hàng thứ hai và thu được ma trận chính tắc:

.

Định lý Kronecker - Capelli- Tiêu chí tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính:

Để một hệ thống tuyến tính nhất quán, điều cần và đủ là hạng của ma trận mở rộng của hệ thống này bằng hạng của ma trận chính của nó.

Bằng chứng (điều kiện tương thích hệ thống)

sự cần thiết

Cho phép hệ thống chung Khi đó có những số như vậy . Do đó, cột là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận. Từ thực tế là thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi nếu một hàng (cột) bị xóa hoặc được thêm vào từ hệ thống các hàng (cột) của nó, là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác, từ đó suy ra .

sự đầy đủ

Cho phép . Chúng ta hãy lấy một số thứ cơ bản trong ma trận. Vì vậy nên nó cũng sẽ là cơ số thứ của ma trận. Khi đó theo định lý cơ bản người vị thành niên, cột cuối cùng của ma trận sẽ là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở, tức là các cột của ma trận. Vì vậy, cột các số hạng tự do của hệ thống là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận.

Hậu quả

Số lượng biến chính hệ thống ngang bằng với cấp bậc của hệ thống.

Chung hệ thống sẽ được xác định (nghiệm của nó là duy nhất) nếu hạng của hệ bằng số tất cả các biến của nó.

Hệ phương trình thuần nhất

Lời đề nghị15 . 2 Hệ phương trình thuần nhất

luôn luôn là khớp.

Bằng chứng. Đối với hệ thống này, tập hợp các số , , , là một nghiệm.

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ma trận của hệ: .

Lời đề nghị15 . 3 Tổng nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một nghiệm của hệ này. Một nghiệm nhân với một số cũng là một nghiệm.

Bằng chứng. Hãy để chúng đóng vai trò là giải pháp cho hệ thống. Sau đó và. Cho phép . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Cho là một số tùy ý, . Sau đó

Từ đó - giải pháp.

Kết quả15 . 1 Nếu một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác 0 thì nó có vô số nghiệm khác nhau.

Thật vậy, nhân một nghiệm khác 0 với nhiều số khác nhau, chúng ta sẽ thu được các nghiệm khác nhau.

Sự định nghĩa15 . 5 Chúng tôi sẽ nói rằng các giải pháp hệ thống hình thức Hệ thống giải pháp cơ bản, nếu cột tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính và mọi nghiệm của hệ thống đều là tổ hợp tuyến tính của các cột này.