Sự phụ thuộc tuyến tính của các hàng và cột của ma trận thuộc tính. Sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập của các hàng ma trận

Cho phép

Cột ma trận thứ nguyên. Sự kết hợp tuyến tính của các cột ma trậnđược gọi là ma trận cột, với một số số thực hoặc số phức được gọi là hệ số kết hợp tuyến tính. Nếu trong một tổ hợp tuyến tính, chúng ta lấy tất cả các hệ số bằng 0 thì tổ hợp tuyến tính bằng ma trận cột 0.

Các cột của ma trận được gọi là độc lập tuyến tính , nếu tổ hợp tuyến tính của chúng chỉ bằng 0 khi tất cả các hệ số của tổ hợp tuyến tính bằng 0. Các cột của ma trận được gọi là phụ thuộc tuyến tính , nếu có một tập hợp các số trong đó ít nhất một số khác 0 và tổ hợp tuyến tính của các cột có các hệ số này bằng 0

Các định nghĩa có thể được đưa ra tương tự sự phụ thuộc tuyến tính Và độc lập tuyến tính các hàng ma trận. Trong phần tiếp theo, tất cả các định lý được xây dựng cho các cột của ma trận.

Định lý 5

Nếu có số 0 trong số các cột ma trận thì các cột ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Bằng chứng. Hãy xem xét một tổ hợp tuyến tính trong đó tất cả các hệ số bằng 0 đối với tất cả các cột khác 0 và một hệ số cho tất cả các cột bằng 0. Nó bằng 0 và trong số các hệ số của tổ hợp tuyến tính có một hệ số khác 0. Do đó, các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Định lý 6

Nếu như cột ma trận phụ thuộc tuyến tính, thế thôi cột ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Bằng chứng. Để rõ ràng, chúng ta sẽ giả sử rằng các cột đầu tiên của ma trận phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, theo định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính, có một tập hợp các số trong đó ít nhất một số khác 0 và tổ hợp tuyến tính của các cột với các hệ số này bằng 0

Hãy tạo một tổ hợp tuyến tính của tất cả các cột của ma trận, bao gồm các cột còn lại có hệ số bằng 0

Nhưng . Do đó, tất cả các cột của ma trận đều phụ thuộc tuyến tính.

Kết quả. Trong số các cột ma trận độc lập tuyến tính, bất kỳ cột nào cũng độc lập tuyến tính. (Tuyên bố này có thể dễ dàng được chứng minh bằng phản chứng.)

Định lý 7

Để các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính, điều cần và đủ là ít nhất một cột của ma trận phải là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Bằng chứng.

Sự cần thiết. Giả sử các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là có một tập hợp số trong đó ít nhất một số khác 0 và tổ hợp tuyến tính của các cột có các hệ số này bằng 0

Chúng ta hãy giả sử cho chắc chắn rằng . Nghĩa là, cột đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của phần còn lại.

sự đầy đủ. Giả sử ít nhất một cột của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các cột khác, ví dụ: , ở đâu có một số số.

Khi đó , tức là tổ hợp tuyến tính của các cột bằng 0 và trong số các số trong tổ hợp tuyến tính ít nhất một (at ) khác 0.

Đặt hạng của ma trận là . Mọi thứ khác 0 cấp 1 đều được gọi là nền tảng . Hàng và cột tại giao điểm của nó thứ yếu cơ bản, được gọi là nền tảng .

Xét một ma trận A tùy ý, không nhất thiết phải vuông, có kích thước mxn.

Xếp hạng ma trận.

Khái niệm thứ hạng ma trận gắn liền với khái niệm sự phụ thuộc tuyến tính (độc lập) của các hàng (cột) của ma trận. Hãy xem xét khái niệm này cho chuỗi. Đối với cột - tương tự.

Chúng ta hãy biểu thị các cống của ma trận A:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s nếu a kj =a sj , j=1,2,…,n

Các phép tính toán học trên các hàng của ma trận (cộng, nhân với một số) được giới thiệu dưới dạng các phép toán được thực hiện theo từng phần tử: λе k =(λа k1,λа k2,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

Dòng e được gọi là kết hợp tuyến tính hàng e 1, e 2,…, e k nếu bằng tổng các tích của các dòng này một cách tùy ý số thực:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Các dòng e 1, e 2,…, em gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu có các số thực λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , không phải tất cả đều bằng 0, thì tổ hợp tuyến tính của các chuỗi này bằng chuỗi 0: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ tôi tôi = 0 ,Ở đâu 0 =(0,0,…,0) (1)

Nếu một tổ hợp tuyến tính bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số λ i bằng 0 (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), thì các hàng e 1, e 2,..., em được gọi là độc lập tuyến tính.

Định lý 1. Để các xâu e 1 , e 2 ,…, e m phụ thuộc tuyến tính thì điều cần và đủ là một trong các xâu này là tổ hợp tuyến tính của các xâu còn lại.

Bằng chứng. sự cần thiết. Cho các chuỗi e 1, e 2,…, em m phụ thuộc tuyến tính. Để cho chắc chắn, (1) λm ≠0 thì

Cái đó. chuỗi e m là tổ hợp tuyến tính của các chuỗi còn lại. Vân vân.

sự đầy đủ. Cho một trong các dây, ví dụ e m, là tổ hợp tuyến tính của các dây còn lại. Khi đó sẽ có các số thỏa mãn đẳng thức, có thể viết lại dưới dạng

trong đó ít nhất 1 trong các hệ số, (-1), không bằng 0. Những thứ kia. các hàng phụ thuộc tuyến tính. Vân vân.

Sự định nghĩa. Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A có kích thước mxn được gọi là định thức bậc k với các phần tử nằm tại giao điểm của k hàng và k cột bất kỳ của ma trận A. (k

Ví dụ., bậc thứ 1: =, =;

Trẻ vị thành niên bậc 2: , bậc 3

Ma trận cấp 3 có 9 cấp thứ nhất, 9 cấp thứ 2 và 1 cấp thứ 3 (định thức của ma trận này).

Sự định nghĩa. Xếp hạng của ma trận A gọi điện thứ tự cao nhất phần tử thứ khác 0 của ma trận này. Chỉ định - rg A hoặc r(A).

Thuộc tính xếp hạng ma trận.

1) hạng của ma trận A nxm không vượt quá kích thước nhỏ hơn của nó, tức là

r(A)

2) r(A)=0 khi tất cả các phần tử của ma trận đều bằng 0, tức là A=0.

3) Đối với Ma trận vuông Và bậc thứ n r(A)=n, khi A không suy biến.

(Hạng của ma trận đường chéo bằng số phần tử đường chéo khác 0 của nó).

4) Nếu hạng của ma trận bằng r thì ma trận đó có ít nhất một cấp thứ r chứ không phải bằng 0 và tất cả các số hạng nhỏ của các đơn hàng lớn đều bằng 0.

Các mối quan hệ sau đây áp dụng cho các thứ hạng của ma trận:

2) r(A+B)

3) r(A+B) ≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), nếu B là ma trận vuông không suy biến.

6) r(AB) ≥r(A)+r(B)-n, trong đó n là số cột của ma trận A hoặc số hàng của ma trận B.

Sự định nghĩa. Một cấp số thứ khác 0 r(A) được gọi là thứ yếu cơ bản. (Ma trận A có thể có nhiều cơ số phụ). Hàng và cột tại giao nhau có phần cơ sở được gọi tương ứng chuỗi cơ sở Và cột cơ sở.

Định lý 2 (về cơ sở thứ). Các hàng (cột) bên dưới độc lập tuyến tính. Bất kỳ hàng (cột bất kỳ) nào của ma trận A đều là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ sở.

Bằng chứng. (Đối với chuỗi). Nếu các hàng cơ bản phụ thuộc tuyến tính thì theo Định lý (1) một trong các hàng này sẽ là tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ bản khác, khi đó, không thay đổi giá trị của thứ cơ bản, bạn có thể trừ tổ hợp tuyến tính đã chỉ định khỏi hàng này và nhận được một hàng bằng 0, và điều này mâu thuẫn với thực tế là cơ sở thứ khác 0. Cái đó. các hàng cơ sở là độc lập tuyến tính.

Hãy chứng minh rằng mọi hàng của ma trận A là tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ sở. Bởi vì với sự thay đổi tùy ý của các hàng (cột), định thức vẫn giữ nguyên tính chất bằng 0, khi đó, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng cơ sở thứ nằm ở góc trên bên trái của ma trận

A=, những thứ kia. nằm trên r hàng và r cột đầu tiên. Đặt 1£j£n, 1£i£m. Hãy chứng minh rằng định thức của cấp (r+1)

Nếu j£r hoặc i£r thì định thức này bằng 0, bởi vì anh ấy sẽ có hai cột giống hệt nhau hoặc hai dòng giống nhau.

Nếu j>r và i>r thì định thức này là thứ cấp (r+1) của ma trận A. Vì Thứ hạng của ma trận là r, có nghĩa là mọi thứ cấp cao hơn đều bằng 0.

Mở rộng nó theo các phần tử của cột (đã thêm) cuối cùng, chúng ta nhận được

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, trong đó giá trị cuối cùng phần bù đại số A ij trùng với cơ sở M r và do đó A ij = M r ≠0.

Chia đẳng thức cuối cùng cho A ij, chúng ta có thể biểu diễn phần tử a ij dưới dạng tổ hợp tuyến tính: , trong đó .

Chúng ta hãy cố định giá trị của i (i>r) và tìm giá trị đó với mọi j (j=1,2,…,n) phần tử thứ i Chuỗi e i được biểu diễn tuyến tính thông qua các phần tử của chuỗi e 1, e 2,…, er, i.e. dòng thứ i là sự kết hợp tuyến tính của các chuỗi cơ sở: . Vân vân.

Định lý 3. (cần thiết và đủ điều kiệnđịnh thức bằng 0).Để định thức bậc n D bằng 0, điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Bằng chứng (tr.40). sự cần thiết. Nếu định thức bậc n D bằng 0 thì ma trận cơ sở nhỏ của nó có cấp r

Do đó, một hàng là sự kết hợp tuyến tính của các hàng khác. Khi đó, theo Định lý 1, các hàng của định thức phụ thuộc tuyến tính.

sự đầy đủ. Nếu các hàng D phụ thuộc tuyến tính thì theo Định lý 1, một hàng A i là tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại. Trừ tổ hợp tuyến tính đã chỉ định khỏi chuỗi A i mà không thay đổi giá trị của D, chúng ta thu được chuỗi 0. Do đó, theo tính chất của định thức thì D=0. vân vân.

Định lý 4. Trong các phép biến đổi cơ bản, hạng của ma trận không thay đổi.

Bằng chứng. Như đã chỉ ra khi xét tính chất của định thức, khi biến đổi ma trận vuông, định thức của chúng không thay đổi hoặc bị nhân với một số khác 0 hoặc đổi dấu. Trong trường hợp này, thứ tự cao nhất của các phần tử nhỏ khác 0 của ma trận gốc được giữ nguyên, tức là. hạng của ma trận không thay đổi. Vân vân.

Nếu r(A)=r(B), thì A và B là tương đương: A~B.

Định lý 5. Sử dụng các phép biến đổi cơ bản, bạn có thể rút gọn ma trận thành góc nhìn bậc thang. Ma trận được gọi là từng bước nếu nó có dạng:

A=, trong đó a ii ≠0, i=1,2,…,r; r

Điều kiện r

Định lý 6. Thứ hạng của ma trận cấp bậc bằng số hàng khác 0 của nó .

Những thứ kia. Thứ hạng của ma trận bước bằng r, vì tồn tại một cấp số thứ r khác 0:

Lưu ý rằng các hàng và cột của ma trận có thể được coi là vectơ số học có kích thước tôi Và N, tương ứng. Do đó, ma trận kích thước có thể được hiểu là một tập hợp tôi N-chiều hoặc N tôi vectơ số học chiều. Bằng cách tương tự với các vectơ hình học, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập tuyến tính của các hàng và cột của ma trận.

4.8.1. Sự định nghĩa. Đường kẻ
gọi điện tổ hợp tuyến tính của chuỗi với tỷ lệ cược
, nếu tất cả các phần tử của dòng này có đẳng thức sau:

,
.

4.8.2. Sự định nghĩa.

Dây
được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu có sự kết hợp tuyến tính không tầm thường của chúng bằng hàng 0, tức là có những con số không phải tất cả đều bằng 0

,
.

4.8.3. Sự định nghĩa.

Dây
được gọi là độc lập tuyến tính, nếu chỉ tổ hợp tuyến tính tầm thường của chúng bằng hàng 0, tức là

4.8.4. Định lý. (Tiêu chí về sự phụ thuộc tuyến tính của các hàng ma trận)

Để các hàng phụ thuộc tuyến tính, điều cần và đủ là ít nhất một trong số chúng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác.

Bằng chứng:

Sự cần thiết. Hãy để những dòng
phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của chúng bằng hàng 0:

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng hệ số đầu tiên của tổ hợp tuyến tính khác 0 (nếu không, các hàng có thể được đánh số lại). Chia tỷ lệ này cho , chúng tôi nhận được

nghĩa là hàng đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của những hàng khác.

Sự đầy đủ. Hãy để một trong những dòng, ví dụ, , là tổ hợp tuyến tính của các số còn lại, thì

nghĩa là có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các chuỗi
, bằng chuỗi 0:

có nghĩa là các dòng
phụ thuộc tuyến tính nên cần chứng minh.

Bình luận.

Các định nghĩa và phát biểu tương tự có thể được xây dựng cho các cột của ma trận.

§4.9. Xếp hạng ma trận.

4.9.1. Sự định nghĩa. Người vị thành niênđặt hàng ma trận kích cỡ
gọi là yếu tố quyết định thứ tự với các phần tử nằm ở giao điểm của một số phần tử đó dòng và cột.

4.9.2. Sự định nghĩa. Thứ tự nhỏ khác 0 ma trận kích cỡ
gọi điện nền tảng người vị thành niên, nếu tất cả các phần tử thứ của ma trận đều có thứ tự
đều bằng không.

Bình luận. Một ma trận có thể có nhiều ma trận cơ sở. Rõ ràng, tất cả chúng sẽ có cùng thứ tự. Cũng có thể là ma trận kích cỡ
thứ tự nhỏ khác với 0, và các trẻ vị thành niên có thứ tự
không tồn tại, tức là
.

4.9.3. Sự định nghĩa. Các hàng (cột) tạo thành phần cơ sở nhỏ được gọi là nền tảng những hàng, những cột).

4.9.4. Sự định nghĩa. Thứ hạng của một ma trận được gọi là cấp cơ sở nhỏ của nó. Xếp hạng ma trận đóng góp bởi
hoặc
.

Bình luận.

Lưu ý rằng do hàng và cột của định thức bằng nhau nên thứ hạng của ma trận không thay đổi khi chuyển vị.

4.9.5. Định lý. (Bất biến bậc ma trận trong các phép biến đổi cơ bản)

Thứ hạng của ma trận không thay đổi trong quá trình biến đổi cơ bản của nó.

Không có bằng chứng.

4.9.6. Định lý. (Về tiểu cơ bản).

Các hàng (cột) bên dưới độc lập tuyến tính. Bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ bản của nó.

Bằng chứng:

Hãy chứng minh cho chuỗi. Việc chứng minh mệnh đề cho cột có thể được thực hiện bằng phép loại suy.

Đặt thứ hạng của ma trận kích thước
bằng , MỘT
- thứ yếu cơ bản. Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng phần cơ sở nhỏ nằm ở góc trên bên trái (nếu không, ma trận có thể được rút gọn về dạng này bằng các phép biến đổi cơ bản):

Đầu tiên chúng ta chứng minh tính độc lập tuyến tính của các hàng cơ sở. Ta sẽ tiến hành chứng minh bằng phản chứng. Giả sử các hàng cơ sở phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, theo Định lý 4.8.4, một trong các dây có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các dây cơ bản còn lại. Do đó, nếu chúng ta trừ tổ hợp tuyến tính đã chỉ định khỏi hàng này, chúng ta sẽ nhận được một hàng bằng 0, có nghĩa là số thứ
bằng 0, điều này mâu thuẫn với định nghĩa về cơ sở thứ. Như vậy, ta thu được mâu thuẫn, do đó tính độc lập tuyến tính của các hàng cơ sở đã được chứng minh.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng mỗi hàng của ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ sở. Nếu số dòng được đề cập từ 1 đến r, thì rõ ràng nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính với hệ số bằng 1 cho đường thẳng và hệ số bằng 0 cho các hàng còn lại. Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra rằng nếu số dòng từ
trước
, nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các chuỗi cơ sở. Xét ma trận thứ
, thu được từ cơ sở nhỏ
thêm một dòng và một cột tùy ý
:

Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng trẻ vị thành niên này
từ
trước
và với bất kỳ số cột nào từ 1 đến .

Thật vậy, nếu số cột từ 1 đến r, thì chúng ta có định thức có hai cột giống nhau, hiển nhiên bằng 0. Nếu số cột từ r+1 đến , và số dòng từ
trước
, Cái đó
là ma trận thứ của ma trận gốc có bậc cao hơn ma trận cơ sở, có nghĩa là nó bằng 0 theo định nghĩa của ma trận cơ sở thứ. Như vậy, người ta đã chứng minh rằng trẻ vị thành niên
bằng 0 đối với bất kỳ số dòng nào từ
trước
và với bất kỳ số cột nào từ 1 đến . Mở rộng nó qua cột cuối cùng, chúng tôi nhận được:

Đây
− phép cộng đại số tương ứng. thông báo rằng
, vì vậy
là trẻ vị thành niên cơ bản. Vì vậy, các phần tử của đường k có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử tương ứng của các hàng cơ sở với các hệ số độc lập với số cột :

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng một hàng tùy ý của ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ sở của nó. Định lý đã được chứng minh.

Bài giảng 13

4.9.7. Định lý. (Trên cấp của ma trận vuông không số ít)

Để ma trận vuông không số ít thì điều cần và đủ là hạng của ma trận bằng độ lớn của ma trận này.

Bằng chứng:

Sự cần thiết. Cho ma trận vuông kích cỡ N không suy biến thì
, do đó, định thức của ma trận là cơ sở thứ, tức là

Sự đầy đủ. Cho phép
thì bậc cơ sở thứ bằng độ lớn của ma trận nên cơ sở thứ là định thức của ma trận , I E.
theo định nghĩa của trẻ vị thành niên cơ bản.

Kết quả.

Để một ma trận vuông không suy biến, điều cần thiết và đủ là các hàng của nó độc lập tuyến tính.

Bằng chứng:

Sự cần thiết. Vì ma trận vuông không phải số ít nên hạng của nó bằng độ lớn của ma trận
tức là định thức của ma trận là cơ sở thứ. Do đó, theo Định lý 4.9.6 cơ sở thứ, các hàng của ma trận độc lập tuyến tính.

Sự đầy đủ. Vì tất cả các hàng của ma trận độc lập tuyến tính nên hạng của nó không nhỏ hơn kích thước của ma trận, nghĩa là
do đó, theo Định lý 4.9.7 trước đó, ma trận là không suy biến.

4.9.8. Phương pháp giáp vị thành niên để tìm hạng của ma trận.

Lưu ý rằng một phần của phương pháp này đã được mô tả ngầm trong chứng minh định lý cơ sở nhỏ.

4.9.8.1. Sự định nghĩa. Người vị thành niên
gọi điện giáp ranh tương đối với trẻ vị thành niên
, nếu nó được lấy từ trẻ vị thành niên
bằng cách thêm một hàng mới và một cột mới vào ma trận ban đầu.

4.9.8.2. Quy trình tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp số bé giáp.

Chúng tôi tìm thấy bất kỳ phần nhỏ hiện tại nào của ma trận khác 0.

Chúng tôi tính toán tất cả trẻ vị thành niên giáp nó.

Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì số thứ hiện tại là một cơ sở và hạng của ma trận bằng thứ tự của số thứ hiện tại.

Nếu trong số những trẻ vị thành niên giáp ranh có ít nhất một giá trị khác 0 thì nó được coi là hiện hành và thủ tục tiếp tục.

Dùng phương pháp giáp thứ ta tìm được hạng của ma trận

Thật dễ dàng để chỉ định bậc thứ hai khác 0 hiện tại, ví dụ:

Chúng tôi tính toán trẻ vị thành niên giáp nó:

Do đó, vì tất cả các số bé giáp cấp ba đều bằng 0, nên số thứ
là cơ bản, tức là

Bình luận. Từ ví dụ đã xem xét, rõ ràng là phương pháp này khá tốn nhiều công sức. Do đó, trong thực tế, phương pháp biến đổi cơ bản thường được sử dụng nhiều hơn, điều này sẽ được thảo luận dưới đây.

4.9.9. Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản.

Dựa vào Định lý 4.9.5, có thể lập luận rằng thứ hạng của ma trận không thay đổi dưới các phép biến đổi cơ bản (nghĩa là thứ hạng của các ma trận tương đương bằng nhau). Do đó, hạng của ma trận bằng hạng của ma trận bước thu được từ ma trận ban đầu bằng các phép biến đổi cơ bản. Thứ hạng của ma trận bước rõ ràng bằng số hàng khác 0 của nó.

Hãy xác định hạng của ma trận

bằng phương pháp biến đổi cơ bản.

Hãy trình bày ma trận để xem bước:

Do đó, số hàng khác 0 của ma trận bậc thang kết quả là ba,

4.9.10. Hạng của hệ vectơ không gian tuyến tính.

Xét hệ vectơ
một số không gian tuyến tính . Nếu nó phụ thuộc tuyến tính thì có thể phân biệt được một hệ thống con độc lập tuyến tính trong đó.

4.9.10.1. Sự định nghĩa. Xếp hạng của hệ thống vectơ
không gian tuyến tính số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ thống này được gọi. Xếp hạng hệ thống vectơ
ký hiệu là
.

Bình luận. Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì hạng của nó bằng số vectơ trong hệ.

Chúng ta hãy xây dựng một định lý biểu diễn mối liên hệ giữa khái niệm cấp của một hệ vectơ trong không gian tuyến tính và cấp của ma trận.

4.9.10.2. Định lý. (Về hạng của hệ vectơ trong không gian tuyến tính)

Thứ hạng của hệ vectơ trong không gian tuyến tính bằng thứ hạng của ma trận có cột hoặc hàng là tọa độ của vectơ trong một cơ sở nào đó của không gian tuyến tính.

Không có bằng chứng.

Kết quả.

Để hệ vectơ trong không gian tuyến tính độc lập tuyến tính thì thứ hạng của ma trận mà các cột hoặc hàng là tọa độ của các vectơ trong một cơ sở nhất định phải bằng số của các vectơ trong hệ thống.

Bằng chứng là hiển nhiên.

4.9.10.3. Định lý (Về kích thước của một vỏ tuyến tính).

Kích thước của vectơ thân tuyến tính
không gian tuyến tính bằng hạng của hệ vectơ này:

Không có bằng chứng.

Cho k hàng và k cột (k ≤ min(m; n)) được chọn ngẫu nhiên trong ma trận A có kích thước (m; n). Các phần tử ma trận nằm tại giao điểm của các hàng và cột đã chọn tạo thành một ma trận vuông cấp k, định thức của ma trận này gọi là cấp M kk cấp k y hoặc cấp thứ k thứ k của ma trận A.

Thứ hạng của ma trận là bậc tối đa của r phần tử khác 0 của ma trận A, và bất kỳ phần tử thứ cấp r nào khác 0 đều là phần tử cơ sở. Ký hiệu: rang A = r. Nếu rang A = rang B và ma trận A và B có cùng kích thước thì ma trận A và B được gọi là tương đương. Ký hiệu: A ~ B.

Các phương pháp chính để tính thứ hạng của ma trận là phương pháp giáp số phụ và phương pháp.

Phương pháp biên giới nhỏ

Bản chất của phương pháp giáp ranh như sau. Giả sử một bậc thứ k khác 0 đã được tìm thấy trong ma trận. Sau đó, chúng ta chỉ xem xét bên dưới những cấp thứ k+1 chứa (tức là đường viền) cấp thứ k khác 0. Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng k, ngược lại, trong số các phần tử giáp của bậc (k+1) có một phần tử khác 0 và toàn bộ quy trình được lặp lại.

Độc lập tuyến tính của các hàng (cột) của ma trận

Khái niệm thứ hạng ma trận có liên quan chặt chẽ với khái niệm tính độc lập tuyến tính của các hàng (cột) của nó.

Hàng ma trận:

được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số λ 1, λ 2, λ k thỏa mãn đẳng thức:

Các hàng của ma trận A được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức trên chỉ xảy ra trong trường hợp tất cả các số λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập của các cột trong ma trận A được xác định tương tự.

Nếu bất kỳ hàng (al) nào của ma trận A (trong đó (al)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) có thể được biểu diễn dưới dạng

Khái niệm tổ hợp tuyến tính của các cột được định nghĩa theo cách tương tự. Định lý sau đây về cơ sở thứ là đúng.

Các hàng cơ sở và các cột cơ sở độc lập tuyến tính. Bất kỳ hàng (hoặc cột) nào của ma trận A là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ sở, tức là các hàng (cột) giao nhau với cơ sở thứ. Như vậy, hạng của ma trận A: rang A = k bằng số hàng (cột) độc lập tuyến tính tối đa của ma trận A.

Những thứ kia. Hạng của ma trận là thứ nguyên của ma trận vuông lớn nhất trong ma trận mà hạng cần xác định, mà định thức của ma trận đó không bằng 0. Nếu ma trận ban đầu không vuông hoặc nếu nó là ma trận vuông nhưng định thức của nó bằng 0 thì đối với ma trận vuông bậc thấp hơn, các hàng và cột được chọn tùy ý.

Ngoài định thức, hạng của ma trận có thể được tính bằng số hàng hoặc cột độc lập tuyến tính của ma trận. Nó bằng số lượng hàng hoặc cột độc lập tuyến tính, tùy theo giá trị nào nhỏ hơn. Ví dụ: nếu một ma trận có 3 hàng độc lập tuyến tính và 5 cột độc lập tuyến tính thì hạng của nó là 3.

Ví dụ về tìm thứ hạng của ma trận

Dùng phương pháp giáp con, tìm hạng của ma trận

Giải pháp: Bậc thứ hai nhỏ

tiểu bao quanh M 2 cũng khác 0. Tuy nhiên, cả hai trẻ vị thành niên đều thuộc bậc bốn, giáp M 3.

đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận A là 3, và thứ cơ sở, ví dụ, thứ M 3 được trình bày ở trên.

Phương pháp biến đổi cơ bản dựa trên thực tế là các phép biến đổi cơ bản của ma trận không làm thay đổi thứ hạng của nó. Bằng cách sử dụng các phép biến đổi này, bạn có thể đưa ma trận về dạng trong đó tất cả các phần tử của nó, ngoại trừ 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), đều bằng 0. Điều này rõ ràng có nghĩa là hạng A = r. Lưu ý rằng nếu ma trận bậc n có dạng ma trận tam giác trên, nghĩa là ma trận trong đó tất cả các phần tử dưới đường chéo chính đều bằng 0 thì định nghĩa của nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính . Tính chất này có thể được sử dụng khi tính hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản: cần sử dụng chúng để quy ma trận về dạng tam giác rồi chọn định thức tương ứng, ta thấy rằng hạng của ma trận bằng số phần tử của đường chéo chính khác 0.

Dùng phương pháp biến đổi cơ bản, tìm hạng của ma trận

Giải: Chúng ta ký hiệu hàng thứ i của ma trận A bằng ký hiệu α i . Ở giai đoạn đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện các phép biến đổi cơ bản

Ở giai đoạn thứ hai, chúng tôi thực hiện các phép biến đổi

Kết quả là chúng tôi nhận được

Một hệ các vectơ cùng cấp được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có thể thu được một vectơ 0 từ các vectơ này thông qua một tổ hợp tuyến tính thích hợp. (Không được phép tất cả các hệ số của tổ hợp tuyến tính bằng 0, vì điều này sẽ tầm thường.) Ngược lại, các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính. Ví dụ: ba vectơ sau:

phụ thuộc tuyến tính vì điều đó dễ kiểm tra. Trong trường hợp phụ thuộc tuyến tính, bất kỳ vectơ nào luôn có thể được biểu diễn thông qua sự kết hợp tuyến tính của các vectơ khác. Trong ví dụ của chúng tôi: hoặc hoặc Điều này rất dễ kiểm tra bằng các phép tính thích hợp. Điều này dẫn đến định nghĩa sau: một vectơ độc lập tuyến tính với các vectơ khác nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ này.

Chúng ta hãy xem xét một hệ vectơ mà không chỉ rõ nó phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính. Đối với mỗi hệ thống bao gồm các vectơ cột a, có thể xác định số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa có thể. Con số này, được ký hiệu bằng chữ , là thứ hạng của hệ vectơ này. Vì mỗi ma trận có thể được xem như một hệ thống các vectơ cột, nên thứ hạng của ma trận được định nghĩa là số lượng tối đa các vectơ cột độc lập tuyến tính mà nó chứa. Các vectơ hàng cũng được sử dụng để xác định thứ hạng của ma trận. Cả hai phương pháp đều cho kết quả như nhau đối với cùng một ma trận và không thể vượt quá giá trị nhỏ nhất hoặc Thứ hạng của ma trận vuông có thứ tự nằm trong khoảng từ 0 đến . Nếu tất cả các vectơ đều bằng 0 thì hạng của ma trận đó bằng 0. Nếu tất cả các vectơ độc lập tuyến tính với nhau thì hạng của ma trận bằng nhau. Nếu chúng ta tạo thành một ma trận từ các vectơ trên thì hạng của ma trận này là 2. Vì cứ hai vectơ có thể giảm xuống một phần ba bằng tổ hợp tuyến tính, nên hạng đó nhỏ hơn 3.

Nhưng chúng ta có thể đảm bảo rằng hai vectơ bất kỳ trong số chúng độc lập tuyến tính, do đó hạng

Một ma trận vuông được gọi là ma trận số ít nếu vectơ cột hoặc vectơ hàng của nó phụ thuộc tuyến tính. Định thức của ma trận như vậy bằng 0 và ma trận nghịch đảo của nó không tồn tại, như đã nói ở trên. Những kết luận này là tương đương với nhau. Kết quả là, một ma trận vuông được gọi là ma trận không số ít hoặc không số ít nếu các vectơ cột hoặc vectơ hàng của nó độc lập với nhau. Định thức của ma trận như vậy không bằng 0 và tồn tại ma trận nghịch đảo của nó (so sánh với trang 43)

Thứ hạng của ma trận có cách giải thích hình học khá rõ ràng. Nếu hạng của ma trận bằng , thì không gian có chiều được kéo dài bởi các vectơ. Nếu thứ hạng thì các vectơ nằm trong một không gian con có chiều bao gồm tất cả chúng. Vì vậy, hạng của ma trận tương ứng với số chiều yêu cầu tối thiểu của không gian “chứa tất cả các vectơ”; không gian con có chiều trong không gian có chiều được gọi là siêu phẳng có chiều. Thứ hạng của ma trận tương ứng với chiều nhỏ nhất của siêu phẳng mà tất cả các vectơ vẫn nằm trong đó.

Tính trực giao. Hai vectơ a và b được gọi là trực giao lẫn nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Nếu ma trận thứ tự có đẳng thức trong đó D là ma trận đường chéo thì các vectơ cột của ma trận A trực giao từng cặp. Nếu các vectơ cột này được chuẩn hóa, tức là giảm xuống độ dài bằng 1, thì sự đẳng thức xảy ra và chúng ta nói đến các vectơ trực chuẩn. Nếu B là ma trận vuông và đẳng thức giữ nguyên thì ma trận B được gọi là trực giao. Trong trường hợp này, theo công thức (1.22) ma trận trực giao luôn không suy biến. Do đó, từ tính trực giao của ma trận, suy ra tính độc lập tuyến tính của vectơ hàng hoặc vectơ cột của nó. Phát biểu ngược lại không đúng: tính độc lập tuyến tính của một hệ vectơ không bao hàm tính trực giao từng cặp của các vectơ này.