Sự độc lập tuyến tính của ma trận. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các hàng và cột của ma trận

Các khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính được định nghĩa như nhau cho các hàng và cột. Do đó, các thuộc tính liên quan đến các khái niệm được xây dựng cho cột tất nhiên cũng có giá trị cho các hàng.

1. Nếu một hệ thống cột bao gồm một cột bằng 0 thì nó phụ thuộc tuyến tính.

2. Nếu một hệ thống cột có hai cột bằng nhau thì hệ thống đó phụ thuộc tuyến tính.

3. Nếu một hệ thống cột có hai cột tỷ lệ thì nó phụ thuộc tuyến tính.

4. Một hệ thống các cột phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ nếu ít nhất một trong các cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

5. Bất kỳ cột nào có trong tuyến tính hệ thống độc lập, tạo thành một hệ thống con độc lập tuyến tính.

6. Một hệ thống cột chứa một hệ thống con phụ thuộc tuyến tính là phụ thuộc tuyến tính.

7. Nếu một hệ thống các cột độc lập tuyến tính và sau khi thêm một cột vào nó, nó trở nên phụ thuộc tuyến tính, thì cột đó có thể được mở rộng thành các cột và hơn nữa, theo một cách duy nhất, tức là. các hệ số giãn nở có thể được tìm thấy duy nhất.

Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh tính chất cuối cùng. Vì hệ cột phụ thuộc tuyến tính nên có những số không bằng 0, tức là

Trong sự bình đẳng này. Trong thực tế, nếu , thì

Điều này có nghĩa là sự kết hợp tuyến tính không tầm thường của các cột bằng cột 0, điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của hệ thống. Do đó, và sau đó, tức là. một cột là sự kết hợp tuyến tính của các cột. Nó vẫn còn để thể hiện tính độc đáo của một đại diện như vậy. Hãy giả sử điều ngược lại. Giả sử có hai khai triển và , và không phải tất cả các hệ số của khai triển tương ứng đều bằng nhau (ví dụ, ). Khi đó từ đẳng thức

Chúng tôi nhận được (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

tuần tự, sự kết hợp tuyến tính của các cột bằng cột 0. Vì không phải tất cả các hệ số của nó đều bằng 0 (ít nhất), sự kết hợp này là không tầm thường, mâu thuẫn với điều kiện độc lập tuyến tính của các cột. Mâu thuẫn thu được khẳng định tính duy nhất của khai triển.

Ví dụ 3.2. Chứng minh rằng hai cột khác 0 và phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỉ lệ, tức là .

Giải pháp. Trong thực tế, nếu các cột phụ thuộc tuyến tính thì có những số không bằng 0 cùng một lúc, sao cho . Và trong sự bình đẳng này. Thật vậy, giả sử rằng , chúng ta gặp mâu thuẫn vì cột cũng khác 0. Có nghĩa, . Do đó, có một số như vậy. Sự cần thiết đã được chứng minh.

Ngược lại, nếu , thì . Chúng tôi đã thu được một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các cột bằng cột 0. Điều này có nghĩa là các cột phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 3.3. Xem xét tất cả các loại hệ thống được hình thành từ các cột

Kiểm tra từng hệ thống về sự phụ thuộc tuyến tính.
Giải pháp. Hãy xem xét năm hệ thống chứa một cột mỗi hệ thống. Theo đoạn 1 của Nhận xét 3.1: các hệ thống độc lập tuyến tính và hệ thống gồm một cột 0 là phụ thuộc tuyến tính.

Hãy xem xét các hệ thống có chứa hai cột:

– mỗi hệ trong bốn hệ phụ thuộc tuyến tính, vì nó chứa cột 0 (thuộc tính 1);

– hệ thống phụ thuộc tuyến tính, vì các cột tỷ lệ thuận (thuộc tính 3): ;

– mỗi hệ thống trong số năm hệ thống đều độc lập tuyến tính, vì các cột không cân xứng (xem phát biểu ở ví dụ 3.2).

Hãy xem xét các hệ thống có chứa ba cột:

– mỗi hệ thống trong số sáu hệ thống đều phụ thuộc tuyến tính, vì nó chứa cột 0 (thuộc tính 1);

– các hệ thống phụ thuộc tuyến tính, vì chúng chứa một hệ thống con phụ thuộc tuyến tính (tính chất 6);

– các hệ thống và phụ thuộc tuyến tính, vì cột cuối cùng được biểu diễn tuyến tính qua phần còn lại (tính chất 4): và, tương ứng.

Cuối cùng, hệ thống gồm bốn hoặc năm cột phụ thuộc tuyến tính (theo tính chất 6).

Xếp hạng ma trận

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một đặc tính số quan trọng khác của ma trận, liên quan đến mức độ mà các hàng (cột) của nó phụ thuộc lẫn nhau.

Định nghĩa 14.10 Cho một ma trận có kích thước và một số không vượt quá số nhỏ nhất và được cho: . Hãy chọn ngẫu nhiên các hàng và cột của ma trận (số hàng có thể khác với số cột). Định thức của ma trận gồm các phần tử giao nhau của các hàng và cột đã chọn được gọi là ma trận bậc nhỏ.

Ví dụ 14.9 Cho phép .

Phần tử bậc nhất là bất kỳ phần tử nào của ma trận. Vậy 2, , là số trẻ cấp một.

Trẻ vị thành niên cấp hai:

1. lấy hàng 1, 2, cột 1, 2 ta được một thứ ;

2. lấy hàng 1, 3, cột 2, 4 ta được một thứ ;

3. lấy hàng 2, 3, cột 1, 4 ta được thứ

Trẻ vị thành niên cấp ba:

các hàng ở đây chỉ có thể được chọn theo một cách,

1. lấy cột 1, 3, 4 ta được thứ ;

2. lấy cột 1, 2, 3 ta được thứ .

Dự luật 14.23 Nếu tất cả các cấp số của ma trận cấp đều bằng 0 thì tất cả các cấp số nhân, nếu chúng tồn tại, cũng bằng 0.

Bằng chứng. Hãy lấy một thứ tự nhỏ tùy ý . Đây là yếu tố quyết định của ma trận thứ tự. Hãy chia nhỏ nó dọc theo dòng đầu tiên. Khi đó, trong mỗi số hạng của khai triển, một trong các thừa số sẽ nhỏ hơn cấp của ma trận ban đầu. Theo điều kiện, thứ tự thứ tự bằng 0. Vì vậy, lệnh nhỏ sẽ được bằng 0.

Định nghĩa 14.11 Cấp của ma trận là cấp lớn nhất của các ma trận con khác 0. Thứ hạng ma trận khôngđược coi là bằng 0.

Không có một chỉ định tiêu chuẩn duy nhất nào cho thứ hạng ma trận. Theo sách giáo khoa, chúng tôi sẽ biểu thị nó.

Ví dụ 14.10 Ma trận của Ví dụ 14.9 có hạng 3 vì có tồn tại cấp thứ ba khác 0 nhưng không có cấp thứ tư.

Xếp hạng ma trận bằng 1, vì có một phần tử thứ nhất khác 0 (phần tử ma trận) và tất cả các phần tử thứ cấp thứ hai đều bằng 0.

Hạng của một ma trận vuông cấp không số ít bằng , vì định thức của nó là cấp số nhỏ và khác 0 đối với ma trận không số ít.

Dự luật 14.24 Khi một ma trận được hoán vị, thứ hạng của nó không thay đổi, tức là .

Bằng chứng. Một chuyển vị thứ của ma trận gốc sẽ là một chuyển vị thứ của ma trận chuyển vị, và ngược lại, bất kỳ chuyển vị thứ nào cũng là chuyển vị thứ của ma trận gốc. Khi hoán vị, định thức (thứ) không thay đổi (Mệnh đề 14.6). Do đó, nếu tất cả các số hạng của một cấp trong ma trận ban đầu đều bằng 0 thì tất cả các cấp số của cùng một cấp trong ma trận gốc cũng bằng 0. Nếu cấp thứ trong ma trận gốc khác 0 thì b là cấp thứ cùng cấp, khác 0. Kể từ đây, .

Định nghĩa 14.12Đặt hạng của ma trận là . Khi đó bất kỳ bậc thứ nào , khác 0, được gọi là bậc cơ sở.

Ví dụ 14.11 Cho phép . Định thức của ma trận bằng 0, vì hàng thứ ba bằng tổng của hai hàng đầu tiên. Bậc thứ hai ở hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên bằng . Do đó, thứ hạng của ma trận là hai và thứ được coi là cơ bản.

Một phần phụ cơ bản cũng là một phần phụ nằm ở hàng đầu tiên và thứ ba, cột thứ nhất và thứ ba: . Phần đế sẽ là phần phụ ở hàng thứ hai và thứ ba, cột thứ nhất và thứ ba: .

Số thứ nhất ở hàng thứ nhất và thứ hai cũng như cột thứ hai và thứ ba bằng 0 và do đó sẽ không phải là cơ sở. Người đọc có thể độc lập kiểm tra xem những trẻ vị thành niên bậc hai nào khác sẽ là cơ bản và trẻ vị thành niên nào không.

Do các cột (hàng) của ma trận có thể cộng, nhân với số và hình thành tổ hợp tuyến tính nên có thể đưa ra định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập tuyến tính của hệ thống các cột (hàng) của ma trận. Các định nghĩa này tương tự như định nghĩa 10.14, 10.15 cho vectơ.

Định nghĩa 14.13 Một hệ thống gồm các cột (hàng) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có một tập hợp các hệ số như vậy, ít nhất một trong số đó khác 0, mà tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) với các hệ số này sẽ bằng 0.

Định nghĩa 14.14 Một hệ thống các cột (hàng) độc lập tuyến tính nếu đẳng thức bằng 0 của tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) này ngụ ý rằng tất cả các hệ số của tổ hợp tuyến tính này đều bằng 0.

Mệnh đề sau đây, tương tự như Mệnh đề 10.6, cũng đúng.

Câu 14.25 Một hệ thống gồm các cột (hàng) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một trong các cột (một trong các hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) khác của hệ thống này.

Chúng ta hãy xây dựng một định lý gọi là định lý nhỏ cơ sở.

Định lý 14.2 Bất kỳ cột ma trận nào cũng là tổ hợp tuyến tính của các cột đi qua thứ yếu cơ bản.

Việc chứng minh có thể tìm thấy trong sách giáo khoa đại số tuyến tính, chẳng hạn như trong,.

Dự luật 14.26 Thứ hạng của ma trận bằng số cột tối đa của nó tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính.

Bằng chứng. Đặt hạng của ma trận là . Hãy lấy các cột đi qua cơ sở nhỏ. Giả sử rằng các cột này tạo thành một hệ thống phụ thuộc tuyến tính. Sau đó, một trong các cột là sự kết hợp tuyến tính của các cột khác. Do đó, trong một cột cơ sở, một cột sẽ là sự kết hợp tuyến tính của các cột khác. Theo Dự luật 14.15 và 14.18, âm cơ bản thứ phải bằng 0, điều này mâu thuẫn với định nghĩa về âm cơ bản thứ. Vì vậy, giả định rằng các cột đi qua phần cơ sở phụ thuộc tuyến tính là không đúng. Vì vậy, số cột tối đa tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính lớn hơn hoặc bằng .

Giả sử rằng các cột tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính. Hãy tạo một ma trận từ chúng. Tất cả ma trận thứ đều là ma trận thứ. Do đó, phần cơ sở nhỏ của ma trận có cấp không lớn hơn . Theo định lý vi cơ sở, cột không đi qua vi cơ sở của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các cột đi qua vi cơ sở, tức là các cột của ma trận tạo thành một hệ phụ thuộc tuyến tính. Điều này trái với việc lựa chọn các cột tạo thành ma trận. Do đó, số lượng cột tối đa tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính không thể lớn hơn . Điều này có nghĩa là nó tương đương với những gì đã nêu.

Dự luật 14.27 Thứ hạng của ma trận bằng số hàng tối đa của nó tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính.

Bằng chứng. Theo Dự luật 14.24, thứ hạng của ma trận không thay đổi trong quá trình chuyển vị. Các hàng của ma trận trở thành các cột của nó. Số lượng cột mới tối đa của ma trận chuyển vị (các hàng cũ của ma trận gốc) tạo thành một hệ độc lập tuyến tính bằng hạng của ma trận.

Dự luật 14.28 Nếu định thức của ma trận bằng 0 thì một trong các cột của nó (một trong các hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) còn lại.

Bằng chứng. Cho thứ tự ma trận bằng . Định thức là định thức thứ duy nhất của ma trận vuông có cấp . Vì nó bằng 0 nên . Do đó, một hệ thống các cột (hàng) phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là một trong các cột (một trong các hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Kết quả của Mệnh đề 14.15, 14.18 và 14.28 dẫn đến định lý sau.

Định lý 14.3 Định thức của ma trận bằng 0 khi và chỉ khi một trong các cột của nó (một trong các hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) còn lại.

Việc tìm hạng của một ma trận bằng cách tính tất cả các phần tử phụ của nó đòi hỏi quá nhiều công việc tính toán. (Người đọc có thể kiểm tra xem có 36 số hạng bậc hai trong ma trận vuông bậc bốn hay không.) Do đó, một thuật toán khác được sử dụng để tìm hạng. Để mô tả nó, một số thông tin bổ sung sẽ được yêu cầu.

Định nghĩa 14.15 Chúng tôi gọi chúng là các phép biến đổi ma trận cơ bản những hành động sauở trên chúng:

1) sắp xếp lại hàng hoặc cột;
2) nhân một hàng hoặc cột với một số khác 0;
3) thêm vào một trong các hàng một hàng khác nhân với một số hoặc thêm vào một trong các cột một cột khác nhân với một số.

Dự luật 14.29 Trong các phép biến đổi cơ bản, hạng của ma trận không thay đổi.

Bằng chứng. Đặt hạng của ma trận bằng , - ma trận thu được từ việc thực hiện một phép biến đổi cơ bản.

Hãy xem xét hoán vị của chuỗi. Giả sử là một phần của ma trận, khi đó ma trận có một phần nhỏ trùng hoặc khác với nó bằng cách sắp xếp lại các hàng. Và ngược lại, bất kỳ ma trận thứ nào cũng có thể được liên kết với một ma trận thứ trùng hoặc khác với ma trận đó theo thứ tự hàng. Do đó, từ thực tế là tất cả các cấp số nhân của một cấp trong ma trận đều bằng 0, suy ra rằng trong ma trận tất cả các cấp số thứ của cấp này cũng bằng 0. Và vì ma trận có cấp thứ thứ, khác 0, nên ma trận cũng có cấp thứ thứ, khác 0, đó là .

Hãy xem xét việc nhân một chuỗi với một số khác 0. Một phần tử thứ trong ma trận tương ứng với một phần tử thứ trong ma trận trùng hoặc khác với ma trận đó chỉ trong một hàng, được lấy từ hàng phụ bằng cách nhân với một số khác 0. Trong trường hợp sau. Trong mọi trường hợp, một trong hai và đồng thời bằng 0 hoặc đồng thời khác 0. Kể từ đây, .

một số số ở đâu (một số số này hoặc thậm chí tất cả chúng có thể bằng 0). Điều này có nghĩa là có sự bình đẳng sau đây giữa các phần tử của cột:

Từ (3.3.1) suy ra

Nếu đẳng thức (3.3.3) đúng khi và chỉ khi , thì các hàng được gọi là độc lập tuyến tính. Hệ thức (3.3.2) chỉ ra rằng nếu một trong các hàng được biểu diễn tuyến tính theo các hàng khác thì các hàng đó phụ thuộc tuyến tính.

Dễ dàng nhận thấy điều ngược lại: nếu các chuỗi phụ thuộc tuyến tính thì có một chuỗi sẽ là tổ hợp tuyến tính của các chuỗi còn lại.

Ví dụ, trong (3.3.3), thì .

Sự định nghĩa. Giả sử một bậc thứ r nhất định được xác định trong ma trận A và để bậc thứ (r+1) của cùng một ma trận chứa hoàn toàn thứ . Chúng ta sẽ nói rằng trong trường hợp này phần phụ giáp phần thứ (hoặc giáp với ).

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh một bổ đề quan trọng.

bổ đề về giáp ranh với trẻ vị thành niên. Nếu một phần thứ tự r của ma trận A= khác 0 và tất cả các phần phụ giáp nó đều bằng 0, thì bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận A là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) của nó tạo nên .

Bằng chứng. Không làm mất tính tổng quát của lý luận, chúng ta sẽ giả sử rằng cấp thứ r khác 0 nằm ở bên trái góc trên cùng ma trận A= :

.

Đối với k hàng đầu tiên của ma trận A, phát biểu của bổ đề là hiển nhiên: chỉ cần đưa vào tổ hợp tuyến tính cùng một hàng có hệ số là đủ bằng một, và phần còn lại - với hệ số bằng 0.

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng các hàng còn lại của ma trận A được biểu diễn tuyến tính thông qua k hàng đầu tiên. Để làm điều này, chúng ta xây dựng cấp thứ (r+1) bằng cách thêm dòng thứ k () vào cấp thứ và tôi cột thứ():

.

Thứ kết quả bằng 0 với mọi k và l. Nếu , thì nó bằng 0 vì chứa hai cột giống hệt nhau. Nếu , thì kết quả của phần nhỏ là cạnh thứ của và do đó, bằng 0 theo các điều kiện của bổ đề.

Hãy phân tách thứ yếu theo các yếu tố của phần cuối cùng tôi cột thứ:

Giả sử , chúng tôi nhận được:

(3.3.6)

Biểu thức (3.3.6) có nghĩa là dòng thứ k ma trận A được biểu diễn tuyến tính qua r hàng đầu tiên.

Vì khi một ma trận được hoán vị, các giá trị của các phần tử phụ của nó không thay đổi (do tính chất của định thức), nên mọi thứ đã được chứng minh cũng đúng đối với các cột. Định lý đã được chứng minh.

Hệ quả I. Bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận đều là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ sở của nó. Thật vậy, phần cơ bản của ma trận là khác 0 và tất cả các phần tử phụ giáp nó đều bằng 0.

Hệ quả II. Định thức cấp n bằng 0 khi và chỉ nếu nó chứa tuyến tính hàng phụ thuộc(cột). Tính đủ của sự phụ thuộc tuyến tính của các hàng (cột) để định thức bằng 0 đã được chứng minh trước đó như một tính chất của định thức.

Hãy chứng minh sự cần thiết. Cho chúng ta một ma trận vuông cấp n có ma trận thứ duy nhất bằng 0. Theo đó, thứ hạng của ma trận này nhỏ hơn n, tức là. có ít nhất một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ sở của ma trận này.

Chúng ta hãy chứng minh một định lý khác về thứ hạng của ma trận.

Định lý. Số hàng độc lập tuyến tính tối đa của một ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính tối đa của nó và bằng hạng của ma trận này.

Bằng chứng. Đặt thứ hạng của ma trận A= bằng r. Khi đó, bất kỳ hàng cơ sở k nào của nó đều độc lập tuyến tính, nếu không thì cơ sở thứ sẽ bằng 0. Mặt khác, mọi hàng r+1 trở lên đều phụ thuộc tuyến tính. Giả sử ngược lại, chúng ta có thể tìm thấy cấp thứ lớn hơn r khác 0 theo Hệ quả 2 của bổ đề trước. Điều sau mâu thuẫn với thực tế là cấp tối đa của các số trẻ khác 0 là r. Mọi điều đã được chứng minh cho hàng cũng đúng cho cột.

Để kết luận, chúng tôi sẽ phác thảo một phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận. Thứ hạng của ma trận có thể được xác định bằng cách tìm phần tử thứ thứ tự tối đa, khác 0.

Thoạt nhìn, điều này đòi hỏi một sự tính toán, tuy hữu hạn nhưng có lẽ rất số lượng lớn trẻ vị thành niên của ma trận này.

Tuy nhiên, định lý sau đây cho phép đưa ra sự đơn giản hóa đáng kể về vấn đề này.

Định lý. Nếu phần phụ của ma trận A khác 0 và tất cả các phần tử phụ giáp nó đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r.

Bằng chứng. Nó đủ để chỉ ra rằng bất kỳ hệ thống con nào của các hàng ma trận cho S>r sẽ phụ thuộc tuyến tính theo các điều kiện của định lý (nó sẽ suy ra rằng r là số lượng lớn nhất các hàng ma trận độc lập tuyến tính hoặc bất kỳ cấp con nào của nó lớn hơn k đều bằng 0).

Hãy giả sử điều ngược lại. Cho các hàng độc lập tuyến tính. Theo bổ đề về các phần tử bao quanh, mỗi phần tử trong số chúng sẽ được biểu diễn tuyến tính theo các đường chứa phần tử thứ và do chúng khác 0 nên độc lập tuyến tính:

Bây giờ hãy xem xét sự kết hợp tuyến tính sau:

hoặc

Sử dụng (3.3.7) và (3.3.8), ta thu được

,

mâu thuẫn với sự độc lập hàng tuyến tính.

Do đó, giả định của chúng tôi là không chính xác và do đó, bất kỳ hàng S>r nào theo các điều kiện của định lý đều phụ thuộc tuyến tính. Định lý đã được chứng minh.

Chúng ta hãy xem xét quy tắc tính hạng của ma trận - phương pháp giáp số phụ, dựa trên định lý này.

Khi tính hạng của ma trận, người ta phải chuyển từ cấp bậc nhỏ sang cấp bậc cao hơn. Nếu đã tìm thấy bậc thứ r, khác 0, thì chỉ cần tính các bậc thứ (r+1) giáp bậc thứ. Nếu chúng bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r. Phương pháp này cũng được sử dụng nếu chúng ta không chỉ tính thứ hạng của ma trận mà còn xác định được cột (hàng) nào tạo thành phần cơ sở của ma trận.

Ví dụ. Tính hạng của ma trận bằng phương pháp giáp phụ

.

Giải pháp. Cấp số thứ hai, nằm ở góc trên bên trái của ma trận A, khác 0:

.

Tuy nhiên, tất cả các lũy thừa bậc ba xung quanh nó đều bằng 0:

;	;
;	;
;	.

Do đó, hạng của ma trận A bằng hai: .

Hàng đầu tiên và thứ hai, cột thứ nhất và thứ hai trong ma trận này là cơ bản. Các hàng và cột còn lại là sự kết hợp tuyến tính của chúng. Trong thực tế, các đẳng thức sau đây đúng cho chuỗi:

Để kết luận, chúng tôi lưu ý tính hợp lệ của các thuộc tính sau:

1) hạng của tích ma trận không lớn hơn hạng của từng thừa số;

2) hạng của tích của ma trận A tùy ý ở bên phải hoặc bên trái với ma trận vuông không suy biến Q ngang bằng với cấp bậc ma trận A.

Ma trận đa thức

Sự định nghĩa. Ma trận đa thức hay -matrix là ma trận hình chữ nhật có các phần tử là đa thức một biến có hệ số bằng số.

Trên -ma trận người ta có thể thực hiện các phép biến đổi cơ bản. Bao gồm các:

Sắp xếp lại hai hàng (cột);

Nhân một hàng (cột) với một số khác 0;

Cộng vào một hàng (cột) một hàng (cột) khác nhân với đa thức bất kỳ.

Hai ma trận và cùng kích thướcđược gọi là tương đương: nếu bạn có thể chuyển từ ma trận sang sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Ví dụ. Chứng minh ma trận tương đương

,

.

1. Hoán đổi cột thứ nhất và thứ hai trong ma trận:

.

2. Từ dòng thứ hai trừ đi dòng đầu tiên, nhân với ():

.

3. Nhân dòng thứ hai với (–1) và lưu ý rằng

.

4. Trừ cột thứ hai nhân với cột thứ nhất, ta được

.

Tập hợp tất cả các ma trận có kích thước cho trước được chia thành các lớp rời rạc của các ma trận tương đương. Các ma trận tương đương với nhau tạo thành một lớp và các ma trận không tương đương tạo thành một lớp khác.

Mỗi lớp ma trận tương đương được đặc trưng bởi một ma trận chuẩn hoặc ma trận chuẩn có các chiều cho trước.

Sự định nghĩa. Ma trận kích thước chuẩn hoặc ma trận chuẩn là ma trận có đường chéo chính chứa các đa thức , trong đó p là số nhỏ hơn trong các số m và n ( ) và các đa thức không bằng 0 có hệ số cao nhất bằng 1 và mỗi đa thức tiếp theo được chia cho đa thức trước đó. Tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.

Từ định nghĩa, ta suy ra rằng nếu trong số các đa thức có đa thức bậc 0 thì chúng nằm ở đầu đường chéo chính. Nếu có số 0 thì chúng nằm ở cuối đường chéo chính.

Ma trận của ví dụ trước là ma trận chính tắc. Ma trận

cũng kinh điển.

Mỗi lớp -ma trận chứa một -matrix chính tắc duy nhất, tức là mỗi -matrix tương đương với một ma trận chính tắc duy nhất, được gọi là hình thức kinh điển hoặc dạng bình thường của ma trận này.

Các đa thức nằm trên đường chéo chính của dạng chính tắc của một ma trận đã cho được gọi là các thừa số bất biến của ma trận này.

Một phương pháp để tính các hệ số bất biến là giảm ma trận đã cho về dạng chính tắc.

Do đó, đối với ma trận của ví dụ trước, các thừa số bất biến là

, , , .

Từ những điều trên cho thấy rằng sự hiện diện của cùng một tập hợp các yếu tố bất biến là cần thiết và đủ điều kiện-ma trận tương đương.

Giảm -ma trận thành hình thức kinh điển quy về việc xác định các yếu tố bất biến

, ; ,

trong đó r là hạng của ma trận; - ước chung lớn nhất của các số hạng thứ k, lấy hệ số cao nhất bằng 1.

Ví dụ. Cho -ma trận

.

Giải pháp. Hiển nhiên, ước số chung lớn nhất của bậc một, tức là .

Hãy xác định trẻ vị thành niên bậc hai:

,

vân vân.

Những dữ liệu này đã đủ để đưa ra kết luận: do đó, .

Chúng tôi xác định

,

Kể từ đây, .

Do đó, dạng chính tắc của ma trận này là -matrix sau:

.

Đa thức ma trận là một biểu thức có dạng

biến ở đâu; - ma trận vuông thứ tự n với các phần tử số.

Nếu , thì S gọi là bậc của đa thức ma trận, n là bậc của đa thức ma trận.

tôi thích nó ma trận bậc hai có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức ma trận. Rõ ràng, tuyên bố ngược lại cũng đúng, tức là bất kỳ đa thức ma trận nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận vuông.

Giá trị của những phát biểu này rõ ràng xuất phát từ tính chất của các phép toán trên ma trận. Chúng ta hãy xem các ví dụ sau:

Ví dụ. Biểu diễn ma trận đa thức

ở dạng đa thức ma trận như sau

.

Ví dụ. Đa thức ma trận

có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận đa thức sau ( -matrix)

.

Khả năng thay thế lẫn nhau của ma trận đa thức và ma trận đa thức đóng một vai trò quan trọng trong bộ máy toán học của phương pháp phân tích nhân tố và thành phần.

Các đa thức ma trận có cùng cấp có thể được cộng, trừ và nhân giống như các đa thức thông thường có hệ số bằng số. Tuy nhiên, cần nhớ rằng phép nhân các đa thức ma trận nói chung không có tính chất giao hoán, vì Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.

Hai đa thức ma trận được gọi là bằng nhau nếu các hệ số của chúng bằng nhau, tức là ma trận tương ứng cho cùng lũy ​​thừa của biến.

Tổng (hiệu) của hai đa thức ma trận là một đa thức ma trận có hệ số ứng với từng bậc của biến bằng tổng(sự khác biệt) của các hệ số có cùng mức độ trong đa thức và .

Để nhân một đa thức ma trận với một đa thức ma trận, bạn cần nhân từng số hạng của đa thức ma trận với mỗi số hạng của đa thức ma trận, cộng các tích thu được và đưa ra các số hạng tương tự.

Bậc của đa thức ma trận là tích nhỏ hơn hoặc bằng tổng bậc của các thừa số.

Các phép toán trên đa thức ma trận có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phép toán trên các ma trận tương ứng.

Để cộng (trừ) các đa thức ma trận, chỉ cần cộng (trừ) các ma trận - tương ứng là đủ. Điều tương tự cũng áp dụng cho phép nhân. -ma trận của tích các đa thức của ma trận bằng tích các ma trận của các thừa số.

Mặt khác và có thể viết dưới dạng

trong đó B 0 là ma trận không suy biến.

Khi chia cho có một thương số duy nhất và một số dư phải

trong đó bậc của R 1 nhỏ hơn bậc , hoặc (chia không có dư), cũng như thương bên trái và số dư bên trái khi và chỉ khi, ở đâu theo thứ tự

Mỗi hàng của ma trận A được ký hiệu là e i = (a i 1 a i 2 …, a in) (ví dụ:
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), v.v.). Mỗi trong số chúng là một ma trận hàng có thể nhân với một số hoặc thêm vào một hàng khác bằng quy tắc chung các phép toán với ma trận.

Kết hợp tuyến tính các chuỗi e l , e 2 ,...e k là tổng các tích của các chuỗi này một cách tùy ý số thực:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, trong đó l l, l 2,..., l k là các số tùy ý (các hệ số của tổ hợp tuyến tính).

Các hàng của ma trận e l , e 2 ,...e m được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu có các số l l , l 2 ,..., l m không bằng 0 cùng một lúc, sao cho tổ hợp tuyến tính của các hàng của ma trận bằng hàng 0:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, trong đó 0 = (0 0...0).

Sự phụ thuộc tuyến tính các hàng của ma trận có nghĩa là ít nhất một hàng của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác. Thật vậy, để xác định, đặt hệ số cuối cùng l m ¹ 0. Sau đó, chia cả hai vế của đẳng thức cho l m, chúng ta thu được biểu thức cho dòng cuối cùng, dưới dạng kết hợp tuyến tính của các dòng còn lại:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Nếu tổ hợp tuyến tính của các hàng bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số bằng 0, tức là. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k thì các đường thẳng được gọi độc lập tuyến tính.

Định lý xếp hạng ma trận. Thứ hạng của ma trận bằng số lượng tối đa các hàng hoặc cột độc lập tuyến tính của nó mà qua đó tất cả các hàng hoặc cột khác của nó có thể được biểu diễn tuyến tính.

Hãy chứng minh định lý này. Cho ma trận A có kích thước m x ​​n có hạng r (r(A) £ min (m; n)). Do đó, tồn tại một cấp thứ r khác 0. Chúng tôi sẽ gọi mọi trẻ vị thành niên như vậy nền tảng. Hãy để nó là trẻ vị thành niên để được rõ ràng

Các dòng của thứ này cũng sẽ được gọi là nền tảng.

Hãy chứng minh rằng khi đó các hàng của ma trận e l , e 2 ,...er độc lập tuyến tính. Hãy giả sử điều ngược lại, tức là một trong những dòng này, ví dụ như r-th, là sự kết hợp tuyến tính của những dòng khác: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Sau đó, nếu bạn trừ từ các yếu tố hàng thứ r các phần tử của hàng thứ 1 nhân với l l , các phần tử của hàng thứ 2 nhân với l 2 , v.v., cuối cùng, các phần tử của hàng thứ (r-1) nhân với l r-1 , sau đó dòng thứ r sẽ trở thành số không. Trong trường hợp này, theo tính chất của định thức, định thức trên không được thay đổi, đồng thời phải bằng 0. Nhận được mâu thuẫn độc lập tuyến tính dòng đã được chứng minh.

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng bất kỳ hàng (r+1) nào của ma trận đều phụ thuộc tuyến tính, tức là bất kỳ chuỗi nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng các chuỗi cơ bản.

Hãy bổ sung phần phụ được xem xét trước đó bằng một hàng nữa (i-th) và một cột nữa (j-th). Kết quả là, chúng ta thu được cấp bậc thứ (r+1), theo định nghĩa cấp bậc bằng 0.