Thực đơn
trang chủTrò chơi

Phương pháp nhân tử Lagrange là điều kiện đủ. Phương pháp nhân tử không xác định Lagrange

Trong phương pháp được nêu ở trên để tìm các điểm cực trị có điều kiện, chúng ta đã phá vỡ tính đối xứng đối với các biến y. Chúng tôi coi một số biến này là độc lập, phần còn lại là hàm của các biến này. Trong một số trường hợp, điều này dẫn đến việc tính toán phức tạp hơn. Lagrange đề xuất một phương pháp đối xứng hóa vai trò của các biến. Đoạn này được dành để trình bày về phương pháp này. Chúng ta hãy nhân các đẳng thức (13.47) tương ứng với các thừa số không đổi tùy ý (và chưa xác định được), cộng các đẳng thức thu được sau khi nhân số hạng với số hạng bằng đẳng thức (13.46). Kết quả là chúng ta thu được đẳng thức sau:

trong đó ký hiệu biểu thị chức năng sau:

Chúng ta sẽ gọi hàm này là hàm Lagrange. Giả sử rằng các hàm (13.41) thỏa mãn các điều kiện,

được xây dựng trong đoạn trước, và hàm số (13.40) khả vi, ta chọn các thừa số sao cho thỏa mãn đẳng thức

Điều này chắc chắn có thể thực hiện được, vì đẳng thức (13.52) dẫn đến hệ tuyến tính

định thức của nó (giá trị Jacobian khác 0. Nhờ đẳng thức (13,52), đẳng thức (13,50) có dạng

Vì theo các giả định được đưa ra ở trên, các biến là độc lập, chúng ta kết luận từ đẳng thức (13.53) rằng

Bằng cách cộng các điều kiện nối (13.41) vào các phương trình (13.52) và (13.54), ta thu được hệ phương trình

để xác định tọa độ các điểm cực trị có điều kiện và hệ số Xm. Trong thực tế, khi thực hiện phương pháp này, hãy tiến hành như sau. Soạn hàm Lagrange (13.51) và tìm các điểm cực trị vô điều kiện có thể có của hàm này. Để loại bỏ các số nhân, điều kiện kết nối (13.41) được sử dụng. Cách tìm điểm cực trị có điều kiện này là hợp pháp, vì nó dẫn chúng ta đến hệ phương trình (13.55). Một ví dụ về áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange sẽ được xem xét ở phần 4.

Định lý 1. Gọi điểm là điểm cực trị có điều kiện của hàm số khi các phương trình kết nối (3) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các số thỏa mãn điều kiện tại điểm

Kết quả. Chúng ta hãy đặt

đâu là những con số được chỉ định trong định lý. Hàm (8) được gọi là hàm Lagrange. Nếu một điểm là điểm cực trị có điều kiện của một hàm thì nó là điểm dừng của hàm Lagrange, tức là tại thời điểm này

Chứng minh định lý. Gọi là điểm cực trị có điều kiện của hàm và thỏa mãn điều kiện (4) tại điểm này để xác định. Khi đó điểm là điểm cực trị thông thường của hàm số, do đó tại điểm

từ đó, sử dụng tính bất biến của dạng vi phân thứ nhất, cho điểm chúng ta có

Thay (5) vào (3) và lấy vi phân đồng nhất thức thu được trong một lân cận nhất định của điểm, và do đó tại chính điểm đó, chúng ta thu được

Trong công thức (11), cũng như trong công thức (10), vi phân là vi phân của các biến độc lập và vi phân là vi phân của hàm số.

Dù là con số nào, nhân đẳng thức (11) tại điểm của hàm với rồi cộng chúng lại với nhau và với đẳng thức (10), chúng ta nhận được

Đã chọn sao cho sự bình đẳng giữ ở điểm

Điều này luôn có thể thực hiện được vì (13) là hệ phương trình tuyến tính theo định thức

không bằng không.

Với sự lựa chọn này chúng ta có

Ở đây, tất cả vi phân là vi phân của các biến độc lập và do đó, bản thân chúng là các biến độc lập có thể nhận bất kỳ giá trị nào. Lấy và tất cả các vi phân khác có trong công thức (14), bằng 0, chúng tôi nhận được

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được sự tồn tại sao cho điều kiện (13) và (15) được thỏa mãn, tức là. điều kiện (7).

Định lý đã được chứng minh.

Thuật toán tìm cực trị của hàm số bằng phương pháp nhân tử Lagrange

Cần tìm cực trị của hàm số n biến f(x 1 ,x 2 ,…,x n) với điều kiện các biến x 1 ,x 2 ,…,x n có liên hệ bởi các quan hệ (ràng buộc)

trong đó số m ràng buộc đẳng thức nhỏ hơn số n biến và số lượng r ràng buộc đẳng thức có thể tùy ý.

Để tìm các giá trị (x 1 ,x 2 ,…,x n )=X, nhất thiết phải cung cấp cực trị của hàm f(X), bạn có thể sử dụng phương pháp Lagrange của số nhân không xác định:

  • 1. Ràng buộc bất đẳng thức g(X)0 được rút gọn về dạng (X)0, trong đó (X) = - g(X).
  • 2. Thu được các hạn chế về bất bình đẳng

lần lượt, được giảm xuống các ràng buộc đẳng thức bằng cách đưa ra các biến bổ sung +r

Do đó, bài toán tìm cực trị có điều kiện sẽ có dạng chính tắc:

trong đó mối quan hệ m++r< n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).

3. Hàm Lagrange được biên dịch:

Ф(x 1 ,…,x n , 1 ,…, m++r) = f(x 1 ,x 2 ,…,x n)+ 1 q 1 + 2 q 2 +…+ m++r q m++r ,

trong đó các biến bổ sung ( 1 ,…, m++r )= được gọi là hệ số nhân Lagrange không xác định.

Đối với hàm Lagrange được xây dựng, chúng ta có thể đặt ra bài toán tìm cực trị vô điều kiện

kết quả của giải pháp sẽ trùng với giải pháp mong muốn vấn đề ban đầu tìm cực trị có điều kiện.

4. Với hàm Ф(Х,) ta soạn những điều kiện cần thiết sự tồn tại của cực trị:

5. Hệ phương trình thu được Ф(Х,) = 0 được giải và kết quả là tìm được các giá trị

thỏa mãn điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của cực trị.

6. Để giải bài toán tại các điểm tìm được có cực đại hay cực tiểu, cần sử dụng đủ điều kiện tồn tại cực trị mà để hàm trơn Ф() được biểu diễn như sau:

nếu tại một điểm nào đó ma trận đạo hàm bậc hai xác định dương thì cực tiểu của hàm f(X) nằm tại điểm phân tích;

Gửi công việc tốt của bạn trong cơ sở kiến ​​thức rất đơn giản. Sử dụng mẫu dưới đây

Làm tốt lắm vào trang web">

Các sinh viên, nghiên cứu sinh, các nhà khoa học trẻ sử dụng nền tảng kiến ​​thức trong học tập và công việc sẽ rất biết ơn các bạn.

Cao đẳng Luật Chelyabinsk

Khoa Toán và Khoa học tự nhiên

KHÓA HỌC

trong môn học “Phương pháp toán học”

Phương pháp nhân Lagrange

Sinh viên gr. PO-3-05, Vụ Luật và Công nghệ thông tin

Người giám sát

N.R. Khabibullina

Chelyabinsk

Giới thiệu

1. Xây dựng mô hình

2. Vấn đề Lagrange. vô điều kiện và cực đoan có điều kiện S

3. Bài toán Lagrange với một ràng buộc

4. Ý nghĩa của số nhân Lagrange

4.1. Định lý Lagrange

4. 2. Phương pháp nhân Lagrange

4.3. Phương pháp nhân tử không xác định Lagrange

4.4. trường hợp hai chiều

Phần kết luận

Danh sách tài liệu được sử dụng

Giới thiệu

Phương pháp Lagrange dựa trên một số ý tưởng chủ chốt. Một trong số đó là làm thế nào để tìm mức tối thiểu của hàm nếu một số hạn chế được áp đặt lên hàm. Kỹ thuật này ngày nay được gọi là “Quy tắc số nhân Lagrange”

Chủ đề này có liên quan trong thời hiện đại vì phương pháp nhân Lagrange được sử dụng để giải các bài toán không lập trình tuyến tính, phát sinh trong nhiều lĩnh vực (ví dụ như trong kinh tế).

Một vị trí quan trọng trong bộ máy toán học của kinh tế học bị chiếm giữ bởi nhiệm vụ tối ưu- những vấn đề cần tìm kiếm giải pháp tốt nhất theo một nghĩa nào đó. Trong thực tiễn kinh tế, cần phải sử dụng các nguồn lực sẵn có một cách có lợi nhất. Trong lý thuyết kinh tế, một trong những điểm khởi đầu là định đề cho rằng mỗi chủ thể kinh tế, có quyền tự do nhất định trong việc lựa chọn hành vi của mình, sẽ tìm kiếm phương án tốt nhất theo quan điểm của mình. Và các bài toán tối ưu hóa được dùng như một phương tiện mô tả hành vi của các thực thể kinh tế, một công cụ để nghiên cứu các mô hình của hành vi này.

1. Xây dựng mô hình

Để hình thành vấn đề, cần phải phân tích hệ thống, nghiên cứu các tính năng và phương pháp có thể quản lý hệ thống. Sơ đồ được xây dựng từ kết quả phân tích như vậy là mô hình hình ảnh hoặc mô hình tương tự. Vì vậy, giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng mô hình được thực hiện trong quá trình hình thành bài toán. Sau khi phân tích hệ thống như vậy, danh sách các lựa chọn khác nhau cho các giải pháp cần được đánh giá sẽ được làm rõ. Sau đó, các thước đo về hiệu quả tổng thể của các lựa chọn này sẽ được xác định. Do đó, bước tiếp theo là xây dựng một mô hình trong đó hiệu quả của hệ thống có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của các biến xác định hệ thống. Một số biến này trong hệ thống thực có thể thay đổi được, các biến khác không thể thay đổi được. Chúng tôi sẽ gọi những biến có thể thay đổi đó là “có thể kiểm soát được”. Các tùy chọn khác nhau giải pháp cho vấn đề phải được thể hiện bằng cách sử dụng các biến được kiểm soát.

Việc xây dựng mô hình toán học (ký hiệu) của một hệ thống có thể được bắt đầu bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của hệ thống ảnh hưởng đến hiệu quả của hệ thống. Nếu “tổng chi phí dự kiến” được sử dụng làm thước đo hiệu quả tổng thể thì người ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra mô hình hình ảnh hoặc mô hình tương tự thu được ở giai đoạn hình thành vấn đề. Bạn có thể chọn các hoạt động và vật liệu mà chi phí nhất định được ấn định. Trong trường hợp này, ví dụ, chúng tôi nhận được danh sách ban đầu sau:

Chi phí sản xuất:

a) Giá mua nguyên liệu thô;

b) chi phí vận chuyển nguyên liệu thô;

c) chi phí tiếp nhận nguyên liệu thô;

d) chi phí bảo quản nguyên liệu thô;

e) chi phí lập kế hoạch sản xuất;

f) chi phí điều chỉnh trong xưởng;

g) chi phí của quá trình xử lý;

h) chi phí lưu kho trong quá trình sản xuất;

i) chi phí hoàn thiện sản xuất và chuyển thành phẩm về kho;

j) chi phí phân tích kết quả công việc của nhóm lập kế hoạch;

k) chi phí bảo quản thành phẩm.

Chi phí bán hàng.

Chi phí chung.

2. Bài toán Lagrange . Cực đoan vô điều kiện và có điều kiện

Nhiều bài toán tối ưu hóa được phát biểu như sau. Quyết định mà chủ thể phải đưa ra được mô tả bằng tập hợp các số x 1, x 2,..., xn (hoặc điểm X = (x 1, x 2,..., x n) của không gian n chiều). Giá trị của một giải pháp cụ thể được xác định bởi các giá trị của hàm f(X) = f(x 1, x 2,…,x n) -- hàm mục tiêu . Giải pháp tốt nhất-- đây là điểm X mà tại đó hàm f(X) có giá trị cao nhất. Bài toán tìm điểm như vậy được mô tả như sau:

f(X) tối đa.

Nếu hàm f(X) mô tả các khía cạnh tiêu cực của quyết định (thiệt hại, tổn thất, v.v.), thì điểm X được tìm kiếm tại đó giá trị của f(X) là tối thiểu:

f(X) phút.

Tối thiểu và tối đa được thống nhất bởi khái niệm cực trị. Cụ thể hơn, chúng ta sẽ chỉ nói về vấn đề tối đa hóa. Việc tìm mức tối thiểu không cần phải xem xét đặc biệt, vì bằng cách thay thế hàm mục tiêu f(X) bằng -f(X), bạn luôn có thể “biến nhược điểm thành lợi thế” và giảm tối thiểu hóa thành tối đa hóa.

Từ những phương án nào nên chọn phương án tốt nhất? Nói cách khác, trong số những điểm nào trong không gian chúng ta nên tìm điểm tối ưu. Câu trả lời cho câu hỏi này liên quan đến một yếu tố của bài toán tối ưu hóa như tập hợp các giải pháp khả thi. Trong một số bài toán, tổ hợp số x 1, x 2,..., x n nào cũng đúng, tức là tập phương án khả thi là toàn bộ không gian đang xét.

Trong các nhiệm vụ khác, cần tính đến hạn chế khác nhau, nghĩa là không phải tất cả các điểm trong không gian đều có sẵn khi được chọn. Trong các công thức có ý nghĩa của các vấn đề, điều này có thể là do, ví dụ, do số lượng nguồn lực sẵn có có hạn.

Các ràng buộc có thể được trình bày dưới dạng các đẳng thức có dạng

hoặc bất bình đẳng

Nếu các điều kiện có dạng hơi khác một chút, chẳng hạn g 1 (X) = g 2 (X) hoặc g (X) A, thì chúng có thể rút gọn thành chế độ xem chuẩn, chuyển thành các hàm và hằng số thành một trong các phần đẳng thức hoặc bất đẳng thức.

Điểm cực trị tìm thấy trong toàn bộ không gian, không có điều kiện giới hạn nào, được gọi là vô điều kiện. Nếu hàm mục tiêu khả vi liên tục thì điều kiện cần để đạt cực trị vô điều kiện của hàm là tất cả các đạo hàm riêng của nó đều bằng 0:

Nếu các hạn chế được xác định thì cực trị chỉ được tìm kiếm trong số các điểm thỏa mãn tất cả các hạn chế của bài toán, vì chỉ những điểm đó mới được chấp nhận. Trong trường hợp này, cực trị được gọi là có điều kiện.

Xét bài toán tìm cực trị có điều kiện:

trong điều kiện (2)

g 1 (X) = 0; g 2 (X) = 0, ..., g n (X) = 0,

tất cả những ràng buộc của nó là sự bình đẳng.

Nếu hàm mục tiêu và tất cả các hàm giới hạn khả vi liên tục thì chúng ta sẽ gọi bài toán đó là Vấn đề Lagrange.

3. Bài toán Lagrange với một ràng buộc

Hãy xem xét một vấn đề với cấu trúc sau:

f(X)tối đa

tùy thuộc vào (3)

g(X) = 0.

Hãy xem một ví dụ. Có một con đường dọc theo sườn núi, bạn cần tìm điểm cao nhất trên đó. Trong bộ lễ phục. 1 hiển thị bản đồ khu vực với các đường được đánh dấu trên đó

chiều cao bằng nhau; đường đậm là đường. Điểm M nơi đường tiếp xúc với một vạch là điểm cao nhất của đường.

Nếu X = (x 1, x 2) là điểm mật độ, x 1 và x 2 là tọa độ của nó thì bài toán có thể đưa ra dạng sau. Gọi f(X) là độ cao của điểm X so với mực nước biển và phương trình g(X) = 0 mô tả con đường. Khi đó điểm cao nhất của con đường chính là lời giải của bài toán (3).

Nếu con đường đi qua đỉnh núi thì điểm cao nhất của nó sẽ là điểm cao nhất trong khu vực và có thể bỏ qua hạn chế.

Nếu đường không đi qua đỉnh, thì bằng cách lệch khỏi mặt đường một chút, người ta có thể lên cao hơn so với việc di chuyển dọc theo đường. Độ lệch khỏi đường tương ứng với các điểm va chạm trong đó g(X) 0; đối với những sai lệch nhỏ, độ cao có thể đạt được có thể được coi là tỷ lệ gần đúng với sai lệch.

Ý tưởng giải quyết vấn đề Lagrange có thể được trình bày như sau: bạn có thể cố gắng “sửa” địa hình sao cho việc lệch khỏi đường không mang lại lợi thế trong việc đạt được độ cao. Để làm điều này, bạn cần thay thế chiều cao f(X) bằng một hàm.

L(X) = f(X) - g(X),

trong đó hệ số nhân được chọn sao cho phần dốc ở vùng lân cận điểm M nằm ngang (quá nhỏ sẽ không loại bỏ được lợi ích của việc lệch khỏi đường và quá lớn sẽ mang lại lợi thế cho các sai lệch theo hướng ngược lại ).

Bây giờ, vì hình nổi L(X) làm cho vùng lân cận điểm tối ưu nằm ngang, nên điểm này thỏa mãn các đẳng thức

và vì điểm nằm trên đường nên ràng buộc g(X) = 0.

Ví dụ về ngọn núi và con đường chỉ là một minh họa cho ý tưởng; tương tự, trường hợp hai chiều chỉ được sử dụng để làm rõ. Người ta có thể suy luận theo cách tương tự trong trường hợp n chiều tổng quát.

Tuyên bố sau đây là đúng:

Nếu f(x 1 ,…,x n) và g(x 1 ,…,x n) là các hàm khả vi liên tục của tất cả các đối số của chúng, thì lời giải của bài toán

f(x 1,…,x n) max

cho rằng

g(x 1,…,xn) = 0

thỏa mãn đẳng thức

L(x 1,...,x n;) = f(x 1,...,x n) - g(x 1,...,x n).

Hàm L(X;) được gọi là Hàm Lagrange(hoặc Lagrange) của bài toán (3), và hệ số là hệ số Lagrange.

Lưu ý rằng đẳng thức (5) là ràng buộc g(X) = 0 được trình bày dưới dạng khác.

Tất nhiên, lý do trên không phải là bằng chứng cho tuyên bố được đưa ra ở đây; chúng chỉ giúp hiểu được bản chất của phương pháp: thành phần g(X) trong hàm Lagrange phải cân bằng mức tăng có thể có của giá trị cực đại của hàm g(X) từ 0. Tình huống này sẽ rất hữu ích trong tương lai khi thảo luận về ý nghĩa của số nhân Lagrange.

Hãy xem xét một ví dụ cực kỳ đơn giản. Dùng dây có chiều dài A, bạn cần rào một khu vực hình chữ nhật có diện tích lớn nhất trên bờ biển (bờ biển được coi là thẳng).

Hình 3. Bài toán của Dido

Hãy ký hiệu các cạnh của hình chữ nhật là x 1 và x 2 (xem Hình 3). Đầu tiên chúng ta giải bài toán này mà không sử dụng phương pháp Lagrange.

Rõ ràng x 2 = A - 2 x 1 và diện tích hình chữ nhật là S = x 1 x 2 = x 1 (A - 2x 1). Xem nó như một hàm của một đối số x1, không khó để tìm thấy giá trị của nó tại đó diện tích lớn nhất: x 1 = A/4. Do đó x 2 = A/2. Diện tích lớn nhất là S* = A 2/8.

Bây giờ hãy xem xét bài toán tương tự dưới dạng bài toán Lagrange:

cho rằng

2 x 1 + x 2 - A = 0

Lagrange của bài toán này bằng

L(x 1,x 2 ;) = x 1 x 2 - (2x 1 + x 2 - A),

và điều kiện cực trị có dạng

2 x 1 + x 2 = A

Thay các giá trị x 1 và x 2 từ đẳng thức thứ nhất và thứ hai vào đẳng thức thứ ba, ta thấy 4 = A, từ đó

A/4; x 1 = A/4; x 2 =A/2,

như trong giải pháp đầu tiên.

Ví dụ này cho thấy một cách phổ biến để giải bài toán Lagrange. Hệ thức (4) và (5) tạo thành hệ phương trình x 1,..., xn và,. Hệ gồm n + 1 phương trình - n phương trình dạng (4) và một phương trình dạng (5). Số lượng phương trình bằng số lượng ẩn số. Từ các phương trình dạng (4), bạn có thể thử biểu diễn từng ẩn x 1,..., x 2 thông qua, tức là giải nó dưới dạng hệ n phương trình, coi nó như một tham số. Thay thế các biểu thức thu được vào phương trình (5) - chúng ta biết rằng nó trùng với ràng buộc - chúng ta thu được phương trình tương đối. Bằng cách giải nó, họ tìm thấy nó, sau đó xác định được các ẩn số ban đầu x 1,..., xn.

4. Ý nghĩa của số nhân Lagrange

Khi giải bài toán Lagrange, ta quan tâm đến các giá trị x 1,..., xn; Ngoài ra, chúng ta có thể quan tâm đến giá trị cực trị của hàm mục tiêu f(X). Nhưng trong quá trình giải, giá trị của một đại lượng khác đã được xác định đồng thời - hệ số nhân Lagrange.

Hóa ra hệ số nhân Lagrange là một đặc tính rất quan trọng của bài toán đang được giải. Để làm cho ý nghĩa của nó rõ ràng hơn, chúng ta hãy thay đổi một chút cách diễn đạt của hạn chế mà không thay đổi bất cứ điều gì về bản chất.

Một tình huống kinh tế điển hình được đặc trưng bởi thực tế là người ta phải tìm kiếm giải pháp có lợi nhất với số lượng hạn chế của một nguồn lực nhất định. Nếu r là một lượng tài nguyên nhất định và hàm h(X) mô tả lượng cần thiết để đạt đến điểm X, thì việc đưa ra ràng buộc có dạng là điều tự nhiên

Với bản chất của vấn đề, rõ ràng là để đạt được mức tối ưu, nguồn lực phải được sử dụng đầy đủ, do đó ràng buộc có thể được viết là

Điều kiện này có thể được biểu diễn dưới dạng g(X) = h(X) - r = 0. Nhưng điều đáng quan tâm là mức tối đa có thể đạt được của hàm f(x) tùy thuộc vào lượng tài nguyên r sẵn có. Hãy biểu thị

F(r) = tối đa f(X) h(X) = r.

Ở phía bên phải là ký hiệu được chấp nhận cho cực trị có điều kiện: sau đường thẳng đứng một điều kiện được viết.

Chúng ta hãy nhớ lại rằng khi thảo luận về cấu trúc của hàm Lagrangian, chúng ta đã hiểu g(X) là một thành phần cân bằng mức tăng có thể có của f(X) cực đại khi g(X) lệch khỏi 0. Nhưng độ lệch của g(X) so với 0 là độ lệch của h(X) so với r. Nếu lượng tài nguyên sẵn có tăng thêm r thì chúng ta kỳ vọng giá trị lớn nhất của hàm f(X) sẽ tăng thêm r.

Trong thực tế, tỷ lệ này là gần đúng. Chúng ta sẽ nhận được kết quả chính xác ở giới hạn ở r 0:

Do đó, hệ số nhân Lagrange đặc trưng cho tốc độ thay đổi ở mức cực đại của hàm mục tiêu khi hằng số giới hạn r trong ràng buộc của dạng (6) thay đổi.

Trong phiên bản của bài toán Dido được xem xét ở đoạn trước, nguồn lực có hạn là chiều dài của sợi dây A. Diện tích tối đa hóa ra bằng S(A) = A 2/8. Do đó dS(A)/dA = A/4, tương ứng chính xác với giá trị tìm được trong nghiệm.

Hãy để chúng tôi đưa ra thêm một lý do. Đối với tất cả các điểm X có thể có, chúng ta tìm các giá trị của f(X) và h(X) và vẽ các giá trị này dưới dạng các điểm trong tọa độ Descartes (Hình 4). Nếu với mỗi giá trị của h(X) có cực đại của hàm f(X), thì tất cả các điểm sẽ nằm bên dưới một đường cong nhất định, được thể hiện trong hình bằng một đường đậm.

Chúng ta quan tâm đến các điểm tương ứng với điều kiện h(X) = r. Điểm cực đại của f(X) được đánh dấu bằng điểm M*; Hãy biểu thị độ dốc của đường cong tại điểm này. Nếu chúng ta không lấy f(X) làm tọa độ mà lấy L(X;) = f(X) - , thì ranh giới trên mới sẽ có tiếp tuyến ngang tại điểm M*. Điều này có nghĩa là trong không gian n chiều ban đầu, điểm M tương ứng là điểm dừng của hàm L(X;) với một giá trị tham số cho trước. Do đó, là số nhân Lagrange.

Nhưng đường cong dày màu đen là đồ thị của hàm F(r) và là độ dốc của nó, ngụ ý sự bằng nhau (7).

4.1 Định lý Lagrange

Giả sử một hàm?(x) được cho trên mặt phẳng và một đường cong g(x) = 0. Nếu hàm?, giới hạn trong một đường cong cho trước, đạt cực tiểu hoặc cực đại tại một điểm thì các vectơ?() và g"() thẳng hàng (với điều kiện là cả hai hàm số đều có đạo hàm tại một điểm).

Trong định lý tổng quát Lagrange, hàm số? không phụ thuộc vào hai mà vào n biến, và có một số hàm g(x) xác định các ràng buộc (x)=0, i=l,..., m. Chúng ta sẽ để định lý này mà không chứng minh, nó sẽ khiến chúng ta lạc lối quá xa phân tích toán học. Hãy xem nó hoạt động tốt như thế nào trong việc tìm cực đại và cực tiểu.

Định lý (Định luật Snell về khúc xạ ánh sáng). Hai môi trường được ngăn cách bởi một đường thẳng, trong môi trường thứ nhất tốc độ truyền ánh sáng bằng nhau và trong môi trường thứ hai - . Nếu một tia sáng rời khỏi môi trường thứ nhất một góc so với pháp tuyến và đi vào môi trường thứ hai một góc thì

Bằng chứng. Đường thẳng trên mặt phẳng được cho bởi phương trình

một điểm tùy ý ở đâu trên một đường thẳng,

n là vectơ vuông góc với một đường thẳng. Chúng ta hãy chọn một điểm tùy ý trên chùm ánh sáng tới và một điểm trên tia khúc xạ (Hình 30). Ánh sáng luôn truyền đi theo con đường tốn ít thời gian nhất. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm một điểm x trên ranh giới của môi trường mà đại lượng?(x) = có giá trị nhỏ nhất. Chúng tôi nhận được nhiệm vụ:

?(x)=-min với điều kiện g(x) = n (x--) = 0.

Theo nguyên lý Lagrange, tại điểm cực tiểu các vectơ “(x) và g”(x) thẳng hàng. Đạo hàm?(x) bằng tổng của một vectơ có độ dài 1/ và cùng hướng với vectơ x--, và một vectơ có độ dài 1/, cùng hướng với vectơ x--. Và đạo hàm g"(x) bằng vectơ n. Điều kiện cộng tuyến có nghĩa là tổng + vuông góc với đường thẳng, tức là hình chiếu của các vectơ và lên đường thẳng đều bằng nhau. Như vậy, điều cần thiết là.

Chà, bây giờ chúng tôi đã sẵn sàng trình bày các giải pháp đã hứa cho các bài toán về tổng khoảng cách tối thiểu đến một điểm trên đường thẳng và đến một điểm trên mặt phẳng.

66. Bài toán về tổng khoảng cách nhỏ nhất từ ​​k điểm trên mặt phẳng đến một điểm trên đường thẳng. Một đường thẳng và k điểm được cho trên một mặt phẳng. Tìm (hoặc mô tả) vị trí của một điểm trên một đường thẳng sao cho tổng khoảng cách đến các điểm này là nhỏ nhất.

Giải pháp. Gọi l là đường thẳng đã cho và là các điểm đã cho. Hãy giải quyết vấn đề ở mức tối thiểu:

?(x) = |x--|+...+|x--|^min với điều kiện g(x) = n (x--) = 0,

ở đây là một điểm tùy ý trên đường thẳng l và n là vectơ vuông góc với đường thẳng này. Chúng ta hãy biểu thị bằng một vectơ có độ dài đơn vị, cùng hướng với vectơ x--. Vậy thì?"(x)=+...+, a g"(x)=n. Theo định lý Lagrange, tại điểm cực tiểu vectơ?(x) thẳng hàng với n, nghĩa là vuông góc với đường thẳng l. Như vậy: Lời giải của bài toán là một điểm trên đường thẳng l mà tổng các hình chiếu lên đường k của các vectơ đơn vị hướng từ nó tới các điểm đã cho bằng 0.

Nếu trong k điểm đã cho có ít nhất một điểm không nằm trên đường thẳng l thì bài toán có nghiệm duy nhất. Khá đơn giản để chứng minh điều này nếu bạn sử dụng kỹ thuật từ bài toán 62. Nếu k? 3, thì nói chung, một điểm như vậy không thể được xây dựng bằng la bàn và thước (tính tọa độ của nó dẫn đến một phương trình bậc cao) . Vì vậy trong trường hợp chung chúng tôi không có gì tốt hơn mô tả về điểm tối thiểu mà chúng tôi đã đưa ra.

Bài toán về tổng khoảng cách tối thiểu từ k điểm trong không gian đến một điểm trên mặt phẳng cho trước. Một mặt phẳng và k điểm được cho trong không gian. Tìm (hoặc mô tả) vị trí của một điểm trên mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách đến các điểm này là nhỏ nhất.

Giải pháp cho vấn đề này không khác gì giải pháp trước và dẫn đến một câu trả lời tương tự:

Mức tối thiểu đạt được tại điểm x của mặt phẳng, trong đó tổng các hình chiếu lên mặt phẳng của k vectơ đơn vị hướng từ x đến các điểm này bằng 0.

4.2 Phương pháp nhân Lagrange

Phương pháp tìm cực trị có điều kiện của hàm số f(x), ở đâu, tương đối tôi những hạn chế Tôi(x) = 0, Tôi thay đổi từ một đến tôi.

Giả sử bài toán NP được đưa ra dưới các ràng buộc đẳng thức có dạng

Giảm thiểu (4.2.1)

dưới những hạn chế

Giả sử rằng tất cả các hàm đều khả vi. Hãy để chúng tôi giới thiệu một tập hợp các biến (số lượng bằng số lượng ràng buộc), được gọi là Các nhân đấu Lagrange và soạn hàm Lagrange có dạng sau:

Nhận định này đúng: để một vectơ là nghiệm của bài toán (4.2.1) theo ràng buộc (5.2.2) thì cần phải tồn tại một vectơ sao cho một cặp vectơ thỏa mãn hệ phương trình

Chúng ta hãy chỉ ra sự cần thiết của các điều kiện (4.2.4), (4.2.5) bằng một ví dụ đơn giản:

giảm thiểu (4.2.6)

dưới những hạn chế

Các ràng buộc (5.2.7) xác định vùng khả thi, là một đường cong trong không gian và là kết quả của giao điểm của và.

Giả sử rằng bài toán đang xét có điểm cực tiểu tại: , các hàm có đạo hàm bậc nhất liên tục trên một số tập mở và gradient

độc lập tuyến tính.

Nếu hai biến trong phương trình (4.2.7) có thể được biểu diễn thông qua biến thứ ba ở dạng, sau đó thay chúng vào hàm mục tiêu (5.2.6), chúng ta chuyển bài toán ban đầu thành bài toán sau mà không bị hạn chế, chỉ chứa một biến Biến đổi:

giảm thiểu. (4.2.8)

Vì các gradient là liên tục và độc lập tuyến tính, nên chúng ta có thể áp dụng định lý phân tích toán học nổi tiếng về hàm ẩn và tìm điểm dừng, sau đó.

Về nguyên tắc, cách tiếp cận trên có thể được mở rộng cho trường hợp hàm của các biến khi có các ràng buộc đẳng thức:

Nếu các hàm thỏa mãn các điều kiện của định lý hàm ẩn thì các phương trình biến (4.2.9) có thể được biểu diễn theo các biến còn lại, thay thế chúng vào và do đó chuyển bài toán tối thiểu hóa ràng buộc thành bài toán tối thiểu hóa vô điều kiện với các biến. Tuy nhiên, cách tiếp cận này khó thực hiện trong thực tế vì rất khó giải phương trình (4.2.9) đối với một số biến. Trong trường hợp tổng quát điều này là hoàn toàn không thể.

Vì vậy, hãy xem xét một cách tiếp cận khác, dựa trên phương pháp nhân tử Lagrange.

Gọi là điểm nhỏ nhất được xác định bởi biểu thức (4.2.8). Theo định lý nổi tiếng về phân tích toán học về hàm ẩn, chúng ta có thể viết

Chúng tôi có được mối quan hệ tương tự cho các hạn chế

Ta hãy viết các phương trình (4.2.10), (4.2.11) dưới dạng

Vì vectơ khác 0 nên nó suy ra từ (4.2.12). Từ đó suy ra rằng các vectơ hàng
ma trận A phải phụ thuộc tuyến tính. Do đó, có ba đại lượng vô hướng như vậy không đều bằng 0, sao cho

Vô hướng MỘT không thể bằng 0, vì theo giả định, và độc lập tuyến tính. Do đó, sau khi chia (5.2.13) cho, ta được

Vì vậy, đối với một bài toán tối thiểu hóa với các ràng buộc (4.2.6), có những phương trình (4.2.14) hợp lệ và đồng thời không biến mất. Vì vậy, tính hợp lệ của điều kiện (4.2.4) cho trường hợp n=3 được chỉ ra.

Vì vậy, để tìm cực tiểu (4.2.6) trong điều kiện (4.2.7), cần tìm điểm dừng của hàm Lagrange:

Để tìm được các giá trị cần tìm, cần phải cùng nhau giải hệ phương trình (4.2.14), (4.2.5). Từ quan điểm hình học, điều kiện (4.2.14) có nghĩa là nó nằm trong mặt phẳng được bao bọc bởi các vectơ

Bây giờ hãy xem xét trường hợp tổng quát cho những trường hợp tùy ý. Cho bài toán NP có dạng (4.2.1), (4.2.2), mọi hàm số đều có đạo hàm riêng liên tục trên tập hợp. Giả sử là tập con của tập hợp mà tất cả các hàm trên đó, nghĩa là Khi đó định lý sau đây về số nhân Lagrange là đúng.

Định lý. Hãy cùng nói nàoThứ nămồ có một điểm như vậy , trong đó đạt được cực trị tương đối của bài toán NP (5.2.1) theo điều kiện (4.2.2). Nếu xếp hạngma trận tại điểm bằng , thì có con số , không phải tất cả chúng đều bằng 0 cùng một lúc, do đó

Định lý này biện minh cho phương pháp nhân tử Lagrange, bao gồm các bước sau.

Soạn hàm Lagrange

Tìm đạo hàm riêng

Giải hệ phương trình

và tìm các điểm thỏa mãn hệ (4.2.16).

4.3 Phương pháp nhân tử không xác định Lagrange

Nó được sử dụng để giải các bài toán có biểu thức giải tích theo tiêu chí tối ưu và khi có các hạn chế về tính độc lập biến kiểu bằng Để có được Giải pháp phân tích yêu cầu các hạn chế phải có dạng phân tích. Việc sử dụng hệ số nhân Lagrange không xác định cho phép chúng ta giảm bài toán tối ưu có ràng buộc đối với một bài toán được giải bằng phương pháp nghiên cứu hàm phân tích cổ điển. Trong trường hợp này, thứ tự của hệ phương trình giải để tìm cực trị của tiêu chuẩn tối ưu tăng theo số ràng buộc. Phương pháp này có hiệu quả khi số lượng biến là ba hoặc ít hơn. Phương pháp này cũng được sử dụng khi số lượng biến lớn hơn ba, nếu quá trình được mô tả bằng phương trình hữu hạn.

Cần tìm cực trị của hàm số phụ thuộc vào n biến, các biến này được kết nối bằng các mối quan hệ. Điểm cực trị mà một hàm đạt được, có tính đến việc đáp ứng các điều kiện, được gọi là tương đối hoặc có điều kiện. Nếu số biến bằng số quan hệ (), thì ẩn số cần tìm được tìm bằng cách giải hệ phương trình được mô tả bởi các quan hệ. Việc giải quyết vấn đề tối ưu hóa liên quan đến việc kiểm tra giá trị của các biến được tìm thấy theo cách này so với các hàm. Vì vậy, bài toán cực trị có thể được giải bằng cách liệt kê các biến thỏa mãn điều kiện.

Nếu như tôi< n , khi đó chúng ta có thể tìm được sự phụ thuộc từ các phương trình ghép tôi biến từ n - m các biến còn lại, tức là

Hàm có thể thu được bằng cách thay thế các biến kết quả vào hàm. Khi đó nó sẽ chỉ phụ thuộc vào các biến không liên quan điều kiện bổ sung. Do đó, bằng cách loại bỏ các hạn chế, có thể giảm được kích thước của bài toán tối ưu hóa ban đầu. Thường thì vấn đề không thể được giải quyết bằng phương pháp phân tích theo cách này. Vì vậy, để giải bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến người ta thường sử dụng phương pháp Lagrange của nhân tử không xác định.

Khi giới thiệu các biến mới gọi là hệ số nhân Lagrange không xác định, có thể đưa ra một hàm mới

những thứ kia. chức năng m+n các biến, trong đó các hạn chế do hệ thống hàm áp đặt được đưa vào như một phần không thể thiếu.

Giá trị cực trị của hàm trùng với giá trị cực trị của hàm nếu điều kiện ràng buộc được đáp ứng. Điều kiện cần để đạt cực trị của một hàm nhiều biến là vi phân của hàm này tại điểm cực trị bằng 0, tức là.

Để biểu thức này được thỏa mãn đối với bất kỳ giá trị nào của vi phân độc lập, điều cần thiết là các hệ số của các vi phân này phải bằng 0, điều này sẽ tạo ra hệ phương trình

Trong trường hợp này, những cái độc lập mới được xác định từ điều kiện

Có thể thu được sự kết hợp của hệ (4.3.1) và (4.3.2)

Như vậy, bài toán ở dạng (4.3.3) rút gọn thành nhiệm vụ: tìm

Riêng biệt, cần lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát, phương pháp nhân tử Lagrange chỉ cho phép tìm các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại cực trị có điều kiện của các hàm liên tục có đạo hàm liên tục. Tuy nhiên, từ ý nghĩa vật lý bài toán đang được giải thường biết chúng ta đang nói về cực đại hay cực tiểu của hàm; ngoài ra, theo quy luật, trong các bài toán thiết kế, hàm trên đoạn đang xét là đơn thức. Do đó, trong các bài toán thiết kế, không cần thiết phải kiểm tra giá trị của các biến tìm được khi giải các hệ phương trình cực trị đã xét bằng cách sử dụng phân tích đạo hàm bậc cao.

4.4 trường hợp hai chiều

Giả sử chúng ta cần tìm cực trị của hàm hai biến f(x,y) trong điều kiện xác định bởi phương trình w( x,y) = 0. Chúng ta sẽ giả sử rằng tất cả các hàm số đều khả vi liên tục và phương trình này xác định một đường cong trơn S trên bề mặt ( x,y). Khi đó bài toán quy về việc tìm cực trị của hàm số f trên đường cong S. Chúng ta cũng sẽ giả định rằng S không đi qua các điểm có độ dốc f chuyển sang 0.

Đường mức f(x,y) và đường cong S

Hãy vẽ trên mặt phẳng ( x,y) đường mức hàm f(tức là đường cong f(x,y) = const). Từ các xem xét hình học, rõ ràng là cực trị của hàm f trên đường cong S chỉ có thể có những điểm tiếp tuyến với S và đường mức tương ứng trùng nhau. Thật vậy, nếu đường cong S vượt qua đường cấp fỞ điểm ( x 0 ,y 0) theo chiều ngang (nghĩa là ở một số góc khác 0), sau đó di chuyển dọc theo đường cong S từ điểm ( x 0 ,y 0) chúng ta có thể đạt đến các mức tương ứng với Giá trị cao hơn f, và ít hơn. Do đó, điểm như vậy không thể là điểm cực trị.

Vì vậy, điều kiện cần để có cực trị trong trường hợp của chúng ta sẽ là sự trùng khớp của các tiếp tuyến. Để viết nó ở dạng phân tích, lưu ý rằng nó tương đương với sự song song của gradient của các hàm f và w tại điểm này, vì vectơ gradient vuông góc với tiếp tuyến của đường mức. Điều kiện này được thể hiện dưới dạng sau:

trong đó l là số khác 0 là số nhân Lagrange.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét Hàm Lagrange, phụ thuộc vào x,y và tôi:

L(x,y,l) = f(x,y) ? lsh( x,y)

Điều kiện cần để đạt cực trị của nó là gradient bằng 0. Theo quy tắc lấy vi phân, nó được viết dưới dạng

Chúng ta đã thu được một hệ, hai phương trình đầu tiên tương đương với điều kiện cần cho cực trị cục bộ (1), và phương trình thứ ba tương đương với phương trình w( x,y) = 0. Từ đó ta tìm được ( x 0 ,y 0, l 0). Hơn nữa, vì nếu không thì độ dốc của hàm f biến mất tại một điểm, điều này mâu thuẫn với giả định của chúng tôi. Cần lưu ý rằng các điểm được tìm thấy theo cách này ( x 0 ,y 0) có thể không phải là điểm mong muốn của cực trị có điều kiện - điều kiện được xem xét là cần nhưng chưa đủ. Tìm cực trị có điều kiện bằng cách sử dụng chức năng phụ trợ L và tạo thành cơ sở của phương pháp nhân tử Lagrange, được áp dụng ở đây cho trường hợp đơn giản nhất có hai biến. Hóa ra cách suy luận trên có thể được khái quát hóa cho trường hợp số lượng biến và phương trình tùy ý xác định các điều kiện

Phần kết luận

Việc sử dụng các mô hình toán học hiện nay đã trở thành một vấn đề rất cấp bách trong bối cảnh nền kinh tế không ngừng phát triển.

Việc xây dựng mô hình toán học (ký hiệu) của một hệ thống có thể được bắt đầu bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của hệ thống ảnh hưởng đến hiệu quả của hệ thống. Nếu “tổng chi phí dự kiến” được sử dụng làm thước đo hiệu quả tổng thể thì người ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra mô hình hình ảnh hoặc mô hình tương tự thu được ở giai đoạn hình thành vấn đề.

Phương pháp nhân tử Lagrange cho phép bạn tìm cực đại hoặc cực tiểu của hàm dưới các ràng buộc đẳng thức. Ý tưởng chính của phương pháp là chuyển từ bài toán tìm cực trị có điều kiện sang bài toán tìm cực trị vô điều kiện của một số hàm Lagrange đã xây dựng.

Như vậy, phương pháp nhân tử Lagrange đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển, dự đoán, xây dựng phương án tối ưu, lĩnh vực hoạt động của con người.

. Danh sách tài liệu được sử dụng

1. V.I. Varfolomeev “Mô hình hóa các yếu tố của hệ thống kinh tế.” Mátxcơva 2000

2. Buslenko N.P. “Mô hình hóa các hệ thống phức tạp” Moscow, 1999.

3. W. Churchman, R. Akof, L. Artof. “Giới thiệu về nghiên cứu hoạt động.” Khoa học: Mátxcơva, 1968.

4. A. Budylin “Các vấn đề cơ bản”. Mátxcơva, 2002

5. Vanko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N. Biến thể “Tính toán và điều khiển tối ưu”. Mátxcơva, 1999

6. Ashmanov S.A., Timokhov A.V. “Lý thuyết tối ưu hóa trong các vấn đề và bài tập.” Mátxcơva, 1991

7. “Hội thảo thí nghiệm về các phương pháp tối ưu hóa.” A.G.Kovalenko, I.A.Vlasova, A.F.Fedechev. - Samara, 1998

Tài liệu tương tự

    Phương pháp giải bài toán trong đó các hệ số a[i] được xác định bằng cách giải trực tiếp hệ phương trình - phương pháp hệ số bất xác định. Công thức nội suy của Newton và các biến thể của nó. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho một hàm đã cho.

    công việc trong phòng thí nghiệm, được thêm vào ngày 16/11/2015

    Ứng dụng hàm Lagrange trong lập trình lồi và tuyến tính. Nhiệm vụ đơn giản nhất Boltz và phép tính biến phân cổ điển. Sử dụng phương trình Euler-Lagrange để giải bài toán đẳng tích. Điều kiện biên để tìm hằng số.

    bài tập khóa học, được thêm vào ngày 16/01/2013

    Tìm cực trị của hàm nhiều biến không phải trên toàn bộ miền định nghĩa mà trên một tập hợp thỏa mãn một điều kiện nhất định. Nghiên cứu điển hình tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Đặc điểm chính của phương pháp nhân tử Lagrange.

    trình bày, thêm vào ngày 17/09/2013

    Các phương pháp tối ưu hóa phi tuyến có điều kiện và không điều kiện. Nghiên cứu hàm cho cực trị vô điều kiện. Các phương pháp số để tối thiểu hóa hàm số. Giảm thiểu với các ràng buộc hỗn hợp. Điểm yên của hàm Lagrange. Sử dụng các gói MS Excel và Matlab.

    công việc trong phòng thí nghiệm, thêm vào ngày 06/07/2009

    Ưu điểm của phương trình Lagrange và ứng dụng của chúng. Phân loại các kết nối bên trong hệ thống cơ khí. Các chuyển động có thể có của hệ cơ khí và số bậc tự do. Ứng dụng phương trình Lagrange loại hai vào nghiên cứu hệ cơ học.

    bài tập khóa học, được thêm vào ngày 21/08/2009

    Ứng dụng định lý Lagrange vào việc giải các bài toán. Công dụng của nó trong việc giải các bất đẳng thức và phương trình, khi tìm số nghiệm của một số phương trình. Giải bài toán bằng điều kiện đơn điệu. Mối quan hệ giữa các hàm tăng hoặc giảm.

    tóm tắt, được thêm vào ngày 14/03/2013

    Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của đa thức nội suy Lagrange. Khái niệm hệ số Lagrange. Các phương pháp xác định độ dốc của đường trục bậc ba nội suy, cách sử dụng nó để tính gần đúng các hàm trong các khoảng lớn.

    trình bày, được thêm vào ngày 29/10/2013

    Tìm cực trị của hàm số bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Biểu thức hàm mục tiêu mở rộng. Sơ đồ thuật toán giải số của bài toán bằng phương pháp hàm phạt kết hợp với phương pháp cực tiểu hóa vô điều kiện. Xây dựng các đường giới hạn.

    bài tập khóa học, được thêm vào ngày 04/05/2011

    Sự hình thành hàm Lagrange, điều kiện Kuhn và Tucker. Phương pháp tối ưu hóa số và sơ đồ. Ứng dụng các phương pháp hàm phạt, điểm ngoài, gốc tọa độ, gradient liên hợp để giảm bài toán tối ưu hóa có điều kiệnđến vô điều kiện.

    bài tập khóa học, được thêm vào ngày 27/11/2012

    Vẽ đồ thị của hàm số liên tục. Định nghĩa của số nhân Lagrange. Điểm tới hạn là các giá trị của đối số từ miền định nghĩa của hàm tại đó đạo hàm của hàm biến mất. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn.

Xét một bài toán tối ưu hóa có ràng buộc chỉ chứa các ràng buộc ở dạng đẳng thức

phút

bị hạn chế

,
.

Về nguyên tắc, vấn đề này có thể được giải như một vấn đề tối ưu hóa không bị ràng buộc thu được bằng cách loại bỏ m biến độc lập khỏi hàm mục tiêu bằng cách sử dụng các đẳng thức đã cho. Sự hiện diện của các ràng buộc dưới dạng đẳng thức thực sự có thể làm giảm kích thước của bài toán ban đầu. Nhiệm vụ mới có thể được giải quyết bằng phương pháp tối ưu hóa không bị ràng buộc phù hợp.

Ví dụ. Cần giảm thiểu chức năng

khi bị hạn chế

Bằng cách loại trừ biến sử dụng phương trình, chúng ta thu được bài toán tối ưu hóa với hai biến không hạn chế:

giảm thiểu,

có thể được giải quyết bằng cách sử dụng một trong các phương pháp tối ưu hóa vô điều kiện.

Tuy nhiên, phương pháp loại bỏ biến chỉ được áp dụng trong trường hợp các phương trình biểu diễn các ràng buộc có thể giải được đối với một tập biến nhất định. Nếu có một số lượng lớn các ràng buộc ở dạng đẳng thức, quá trình loại bỏ các biến sẽ trở thành một quy trình tốn rất nhiều công sức. Ngoài ra, có thể có những tình huống mà phương trình không thể giải được đối với một biến. Trong trường hợp này, nên sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange.

Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, các điều kiện cần thiết về cơ bản được thiết lập để cho phép xác định các điểm tối ưu trong các bài toán tối ưu hóa có ràng buộc đẳng thức.

Hãy xem xét vấn đề

phút

bị hạn chế

,
.

Từ quá trình phân tích toán học, người ta biết rằng điểm cực tiểu có điều kiện của hàm trùng với điểm yên của hàm Lagrange:

,

trong trường hợp này, điểm yên ngựa phải cung cấp mức tối thiểu về mặt biến số và thông số tối đa . Những tham số này được gọi là số nhân Lagrange. Phương trình đạo hàm riêng của hàm số Qua và bởi về 0, chúng ta thu được các điều kiện cần thiết cho một điểm dừng:

,
,

,
.

Giải pháp hệ thống
phương trình xác định điểm dừng của hàm Lagrange. Ngoài những điều kiện nêu trên, các điều kiện đủ để tồn tại cực tiểu của bài toán ban đầu còn chứa tính xác định dương của ma trận Hessian của hàm mục tiêu.

4.2. Điều kiện coon-tucker

Chúng ta hãy xem xét một bài toán quy hoạch phi tuyến với các ràng buộc ở dạng bất đẳng thức

phút

dưới những hạn chế

,
.

Chúng ta hãy giảm các ràng buộc dưới dạng bất bình đẳng thành các ràng buộc đẳng thức bằng cách thêm các biến suy yếu vào mỗi chúng ,
:



.

Hãy xây dựng hàm Lagrange:

Khi đó điều kiện cần để đạt cực tiểu có dạng

,
;

,
;

,
.

Bạn có thể nhân phương trình cuối cùng với và thay thế các biến suy giảm bằng cách biểu thị chúng từ phương trình thứ hai. Phương trình thứ hai có thể được biến đổi bằng cách loại bỏ các biến suy giảm và chuyển sang ràng buộc bất đẳng thức. Cần thêm một điều kiện nữa
, phải được đáp ứng tại điểm tối thiểu có điều kiện.

Cuối cùng, chúng ta thu được các điều kiện cần thiết để tồn tại tối thiểu một bài toán quy hoạch phi tuyến với các ràng buộc bất đẳng thức, được gọi là các điều kiện Kuhn-Tucker:

,
; (1)

,
; (2)

,
; (3)

,
. (4)

Hạn chế bất bình đẳng
được gọi là hoạt động tại một điểm , nếu nó trở thành đẳng thức
, và được gọi là không hoạt động nếu
. Nếu có thể phát hiện, trước khi trực tiếp giải quyết vấn đề, các ràng buộc không hoạt động ở điểm tối ưu thì các ràng buộc này có thể được loại trừ khỏi mô hình và do đó làm giảm kích thước của mô hình.

Phương trình (3) có nghĩa là
, hoặc
. Nếu như
, Cái đó
và ràng buộc đang hoạt động và thể hiện một ràng buộc bình đẳng. Mặt khác, nếu ràng buộc là một bất đẳng thức nghiêm ngặt
, thì số nhân Lagrange sẽ có dạng
những thứ kia. giới hạn
không hoạt động và có thể được bỏ qua. Tất nhiên, người ta không biết trước những hạn chế nào có thể được bỏ qua.

Phương pháp nhân Lagrange.

Phương pháp nhân tử Lagrange là một trong những phương pháp cho phép bạn giải các bài toán quy hoạch phi tuyến.

Lập trình phi tuyến tính là một nhánh của lập trình toán học nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán cực trị với hàm mục tiêu phi tuyến và một vùng các giải pháp khả thi được xác định bởi các ràng buộc phi tuyến. Trong kinh tế học, điều này tương ứng với thực tế là kết quả (hiệu quả) tăng hoặc giảm không tương xứng với những thay đổi trong quy mô sử dụng tài nguyên (hoặc, cũng tương tự, quy mô sản xuất): ví dụ, do sự phân chia chi phí sản xuất trong doanh nghiệp thành biến và bán cố định; do nhu cầu hàng hóa đã bão hòa, mỗi chiếc sau khó bán hơn chiếc trước, v.v.

Bài toán quy hoạch phi tuyến được đặt ra là bài toán tìm điểm tối ưu của một hàm mục tiêu nào đó

F(x 1,…xn), F (x) → tối đa

khi điều kiện được đáp ứng

g j (x 1,…x n) ≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

Ở đâu x-vector của các biến cần thiết;

F (x) -hàm mục tiêu;

g (x) - hàm ràng buộc (có thể vi phân liên tục);

b - vectơ các hằng số ràng buộc.

Lời giải của bài toán quy hoạch phi tuyến (cực đại hoặc cực tiểu toàn cục) có thể thuộc về biên hoặc thuộc về phần trong của tập hợp được chấp nhận.

Không giống như bài toán quy hoạch tuyến tính, trong bài toán quy hoạch phi tuyến, điểm tối ưu không nhất thiết nằm trên ranh giới của miền, được xác định bởi các hạn chế. Nói cách khác, nhiệm vụ là chọn các giá trị không âm như vậy của các biến, tuân theo một hệ thống các hạn chế dưới dạng bất đẳng thức, theo đó đạt được mức tối đa (hoặc tối thiểu) của một hàm nhất định. Trong trường hợp này, dạng của hàm mục tiêu cũng như các bất đẳng thức đều không được xác định. Có thể trường hợp khác nhau: hàm mục tiêu là phi tuyến và các ràng buộc là tuyến tính; hàm mục tiêu là tuyến tính và các ràng buộc (ít nhất một trong số chúng) là phi tuyến; cả hàm mục tiêu và các ràng buộc đều phi tuyến.

Bài toán quy hoạch phi tuyến được tìm thấy trong khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế, toán học, quan hệ kinh doanh và chính phủ.



Ví dụ, lập trình phi tuyến có liên quan đến cơ bản nhiệm vụ kinh tế. Do đó, trong vấn đề phân bổ nguồn lực hạn chế, hoặc hiệu quả hoặc, nếu người tiêu dùng đang được nghiên cứu, mức tiêu thụ sẽ được tối đa hóa khi có những hạn chế thể hiện tình trạng khan hiếm tài nguyên. Trong một công thức tổng quát như vậy, việc xây dựng công thức toán học của bài toán có thể là không thể, nhưng trong các ứng dụng cụ thể, dạng định lượng của tất cả các hàm có thể được xác định trực tiếp. Ví dụ, một doanh nghiệp công nghiệp sản xuất sản phẩm nhựa. Hiệu quả sản xuất ở đây được đo bằng lợi nhuận và các hạn chế được hiểu là lao động sẵn có, không gian sản xuất, năng suất thiết bị, v.v.

Phương pháp hiệu quả chi phí cũng phù hợp với sơ đồ quy hoạch phi tuyến. Phương pháp nàyđược phát triển để sử dụng trong việc ra quyết định trong chính phủ. Chức năng chung hiệu quả là hạnh phúc. Ở đây phát sinh hai vấn đề quy hoạch phi tuyến: thứ nhất là tối đa hóa hiệu quả với chi phí hạn chế, thứ hai là giảm thiểu chi phí với điều kiện hiệu quả cao hơn một mức nhất định. cấp độ thấp nhất. Vấn đề này thường được mô hình hóa tốt bằng lập trình phi tuyến.

Kết quả của việc giải bài toán quy hoạch phi tuyến rất hữu ích trong việc đưa ra các quyết định của chính phủ. Tất nhiên, giải pháp thu được là được khuyến nghị, vì vậy cần kiểm tra các giả định và độ chính xác của bài toán quy hoạch phi tuyến trước khi đưa ra quyết định cuối cùng.

Các bài toán phi tuyến rất phức tạp; chúng thường được đơn giản hóa bằng cách đưa đến các bài toán tuyến tính. Để làm điều này, người ta thường giả định rằng trong một khu vực cụ thể, hàm mục tiêu tăng hoặc giảm tỷ lệ với sự thay đổi của các biến độc lập. Cách tiếp cận này được gọi là phương pháp xấp xỉ tuyến tính từng đoạn; tuy nhiên, nó chỉ có thể áp dụng cho một số loại bài toán phi tuyến nhất định.

Các vấn đề phi tuyến trong những điều kiện nhất định được giải bằng hàm Lagrange: đã tìm thấy nó điểm yên ngựa, từ đó tìm ra cách giải quyết vấn đề. Trong số các thuật toán tính toán N. p. nơi tuyệt vời chiếm các phương pháp gradient. Không có một phương pháp chung nào cho các bài toán phi tuyến và rõ ràng là có thể không có vì chúng cực kỳ đa dạng. Các vấn đề đa cực đặc biệt khó giải quyết.

Một trong những phương pháp cho phép bạn biến bài toán lập trình phi tuyến thành giải hệ phương trình là phương pháp Lagrange của số nhân không xác định.

Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, các điều kiện cần thiết về cơ bản được thiết lập để cho phép xác định các điểm tối ưu trong các bài toán tối ưu hóa có ràng buộc đẳng thức. Trong trường hợp này, bài toán ràng buộc được chuyển thành bài toán tối ưu hóa vô điều kiện tương đương, bao gồm một số tham số chưa biết gọi là số nhân Lagrange.

Phương pháp nhân tử Lagrange bao gồm việc quy giản các bài toán về cực trị có điều kiện thành các bài toán về cực trị vô điều kiện của hàm phụ - gọi là. Hàm Lagrange.

Đối với bài toán cực trị của hàm số f(x 1, x 2,..., xn) trong các điều kiện (phương trình ràng buộc) φ Tôi(x 1 , x 2 , ..., xn) = 0, Tôi= 1, 2,..., tôi, hàm Lagrange có dạng

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Số nhân λ 1 , λ 2 , ..., λm gọi điện Các nhân đấu Lagrange.

Nếu các giá trị x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm bản chất của nghiệm của các phương trình xác định điểm dừng của hàm Lagrange, cụ thể là đối với hàm khả vi là nghiệm của hệ phương trình

khi đó, theo các giả định khá tổng quát, x 1 , x 2 , ..., x n cung cấp một cực trị của hàm f.

Xét bài toán cực tiểu hóa hàm n biến tuân theo một ràng buộc dưới dạng đẳng thức:

Giảm thiểu f(x 1, x 2… x n) (1)

theo giới hạn h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Theo phương pháp nhân tử Lagrange, bài toán này được chuyển thành bài toán tối ưu không ràng buộc sau:

cực tiểu hóa L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

trong đó Hàm L(x;λ) được gọi là hàm Lagrange,

λ là một hằng số chưa biết, được gọi là số nhân Lagrange. Không có yêu cầu nào về dấu của λ.

Hãy để tại đặt giá trịλ=λ 0 mức tối thiểu vô điều kiện của hàm L(x,λ) đối với x đạt được tại điểm x=x 0 và x 0 thỏa mãn phương trình h 1 (x 0)=0. Khi đó, như dễ thấy, x 0 cực tiểu hóa (1) có tính đến (2), vì với mọi giá trị của x thỏa mãn (2), h 1 (x)=0 và L(x,λ)=min f(x).

Tất nhiên, cần phải chọn giá trị λ=λ 0 sao cho tọa độ của điểm cực tiểu vô điều kiện x 0 thỏa mãn đẳng thức (2). Điều này có thể được thực hiện nếu, coi λ là một biến, tìm mức tối thiểu vô điều kiện của hàm (3) dưới dạng hàm λ, sau đó chọn giá trị λ tại đó đẳng thức (2) được thỏa mãn. Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ cụ thể.

Giảm thiểu f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

dưới ràng buộc h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Bài toán tối ưu không ràng buộc tương ứng được viết như sau:

cực tiểu hóa L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Giải pháp. Đánh đồng hai thành phần của gradient L bằng 0, chúng ta thu được

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Để kiểm tra xem điểm dừng x° có tương ứng với điểm cực tiểu hay không, chúng ta tính các phần tử của ma trận Hessian của hàm L(x;u), được coi là hàm của x,

hóa ra là xác định dương.

Điều này có nghĩa là L(x,u) là hàm lồi của x. Do đó, tọa độ x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 xác định điểm cực tiểu toàn cục. Giá trị tối ưuλ được tìm bằng cách thay các giá trị x 1 0 và x 2 0 vào phương trình 2x 1 + x 2 =2, từ đó 2λ+λ/2=2 hoặc λ 0 =4/5. Do đó, mức tối thiểu có điều kiện đạt được tại x 1 0 =4/5 và x 2 0 =2/5 và bằng min f(x) = 4/5.

Khi giải bài toán từ ví dụ, chúng ta coi L(x;λ) là hàm của hai biến x 1 và x 2, ngoài ra, giả sử rằng giá trị của tham số λ được chọn sao cho thỏa mãn ràng buộc. Nếu giải pháp của hệ thống

J=1,2,3,…,n

λ không thể thu được dưới dạng hàm tường minh, khi đó các giá trị của x và λ được tìm bằng cách giải hệ phương trình sau gồm n+1 với n+1 ẩn số:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Để tìm mọi người phương pháp khả thi Hệ thống này có thể sử dụng các phương pháp tìm kiếm số (ví dụ: phương pháp Newton). Đối với mỗi nghiệm (), chúng ta hãy tính các phần tử của ma trận Hessian của hàm L, được coi là hàm của x và tìm hiểu xem ma trận này là xác định dương (cực tiểu cục bộ) hay xác định âm (cực đại cục bộ ).

Phương pháp nhân tử Lagrange có thể được mở rộng cho trường hợp bài toán có một số ràng buộc ở dạng đẳng thức. Xét một bài toán tổng quát đòi hỏi

Giảm thiểu f(x)

dưới các giới hạn h k =0, k=1, 2, ..., K.

Hàm Lagrange có lượt xem tiếp theo:

Đây λ 1 , λ 2 , ..., λk-Số nhân Lagrange, tức là các tham số chưa biết có giá trị cần được xác định. Đánh đồng đạo hàm riêng của L theo x bằng 0, ta thu được hệ thống sau n phương trình với n ẩn số:

Nếu khó tìm được nghiệm của hệ trên dưới dạng hàm của vectơ λ, thì bạn có thể mở rộng hệ thống bằng cách đưa vào các hạn chế ở dạng đẳng thức

Lời giải của hệ mở rộng gồm n + K phương trình với n + K ẩn số xác định điểm dừng của hàm L. Sau đó thực hiện quy trình kiểm tra giá trị cực tiểu hoặc cực đại, được thực hiện trên cơ sở tính toán các phần tử của ma trận Hessian của hàm L, được coi là hàm của x, tương tự như đã thực hiện trong trường hợp bài toán có một ràng buộc. Đối với một số bài toán, một hệ phương trình n+K mở rộng với n+K ẩn số có thể không có nghiệm, và phương pháp nhân tử Lagrange hóa ra không thể áp dụng được. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng những nhiệm vụ như vậy khá hiếm trong thực tế.

Hãy xem xét trương hợp đặc biệt nhiệm vụ chung quy hoạch phi tuyến, giả sử rằng hệ ràng buộc chỉ chứa các phương trình, không có điều kiện nào cho tính không âm của các biến và - các hàm số liên tục cùng với đạo hàm riêng của chúng. Do đó, bằng cách giải hệ phương trình (7), chúng ta thu được tất cả các điểm tại đó hàm (6) có thể có giá trị cực trị.

Thuật toán cho phương pháp nhân tử Lagrange

1. Soạn hàm Lagrange.

2. Tìm đạo hàm riêng của hàm Lagrange đối với các biến x J ,λ i và cho chúng bằng 0.

3. Giải hệ phương trình (7), tìm các điểm mà hàm mục tiêu của bài toán có cực trị.

4. Trong số các điểm nghi ngờ về một điểm cực trị, chúng ta tìm những điểm đạt đến cực trị và tính các giá trị của hàm (6) tại các điểm này.

Ví dụ.

Dữ liệu ban đầu: Theo kế hoạch sản xuất, công ty cần sản xuất 180 sản phẩm. Những sản phẩm này có thể được sản xuất theo hai cách công nghệ. Khi sản xuất x 1 sản phẩm bằng phương pháp thứ nhất, chi phí là 4x 1 +x 1 2 rúp và khi sản xuất x 2 sản phẩm bằng phương pháp thứ 2, chi phí là 8x 2 +x 2 2 rúp. Xác định số lượng sản phẩm sẽ được sản xuất bằng mỗi phương pháp sao cho chi phí sản xuất là tối thiểu.

Hàm mục tiêu của bài toán đã nêu có dạng
® phút với điều kiện x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Soạn hàm Lagrange
.
2. Ta tính đạo hàm riêng theo x 1, x 2, λ và cho chúng bằng 0:

3. Giải hệ phương trình thu được ta tìm được x 1 =91,x 2 =89

4. Thay thế hàm mục tiêu x 2 =180-x 1, chúng ta thu được hàm một biến, cụ thể là f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Chúng tôi tính toán hoặc 4x 1 -364=0 ,

từ đó ta có x 1 * =91, x 2 * =89.

Trả lời: Số sản phẩm được sản xuất theo phương pháp thứ nhất là x 1 = 91, theo phương pháp thứ hai x 2 = 89, trong khi giá trị của hàm mục tiêu bằng 17.278 rúp.