Lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc. Bài học đại số. Đặt dấu ngoặc cho yếu tố chung: quy tắc, ví dụ

Định nghĩa 1

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ Quy tắc nhân một đơn thức với một đơn thức:

Để nhân một đơn thức với một đơn thức, trước tiên bạn phải nhân các hệ số của các đơn thức, sau đó, sử dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, nhân các biến có trong đơn thức.

ví dụ 1

Tìm tích của các đơn thức $(2x)^3y^2z$ và $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Giải pháp:

Đầu tiên hãy tính tích của các hệ số

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ trong bài tập này, chúng ta đã sử dụng quy tắc nhân một số với một phân số - để nhân một số nguyên với một phân số, bạn cần nhân số đó với tử số của phân số và mẫu số không thay đổi

Bây giờ, hãy sử dụng thuộc tính cơ bản của một phân số - tử số và mẫu số của một phân số có thể chia cho cùng một số, khác với $0$. Hãy chia tử số và mẫu số của phân số này cho $2$, nghĩa là giảm phân số này xuống $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ phân đoạn(3 )(2)$

Kết quả thu được hóa ra là một phân số không chính xác, tức là một phân số trong đó tử số lớn hơn mẫu số.

Hãy biến đổi phân số này bằng cách cô lập toàn bộ phần. Chúng ta nhớ rằng để tách một phần nguyên, cần viết phần dư của phép chia vào tử số của phần phân số, chia số vào mẫu số.

Chúng tôi đã tìm thấy hệ số của sản phẩm trong tương lai.

Bây giờ chúng ta sẽ nhân tuần tự các biến $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Ở đây chúng ta đã sử dụng quy tắc nhân lũy thừa có cùng cơ số: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Khi đó kết quả của phép nhân đơn thức sẽ là:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Sau đó, dựa trên quy tắc này, bạn có thể thực hiện tác vụ sau:

Ví dụ 2

Biểu diễn một đa thức đã cho dưới dạng tích của một đa thức và một đơn thức $(4x)^3y+8x^2$

Chúng ta hãy biểu diễn từng đơn thức có trong đa thức dưới dạng tích của hai đơn thức để tách ra một đơn thức chung, sẽ là thừa số của cả đơn thức thứ nhất và thứ hai.

Đầu tiên, hãy bắt đầu với đơn thức đầu tiên $(4x)^3y$. Hãy phân tích hệ số của nó thành các thừa số đơn giản: $4=2\cdot 2$. Chúng ta sẽ làm tương tự với hệ số của đơn thức thứ hai $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Lưu ý rằng hai thừa số $2\cdot 2$ được bao gồm trong cả hệ số thứ nhất và thứ hai, có nghĩa là $2\cdot 2=4$ - số này sẽ được đưa vào đơn thức tổng quát dưới dạng hệ số

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng trong đơn thức thứ nhất có $x^3$, và trong đơn thức thứ hai có cùng một biến với lũy thừa của $2:x^2$. Điều này có nghĩa là sẽ thuận tiện hơn khi biểu diễn biến $x^3$ như thế này:

Biến $y$ chỉ được bao gồm trong một số hạng của đa thức, có nghĩa là nó không thể được bao gồm trong đơn thức tổng quát.

Hãy tưởng tượng đơn thức thứ nhất và thứ hai có trong đa thức dưới dạng tích:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Lưu ý rằng đơn thức chung, sẽ là thừa số của cả đơn thức thứ nhất và thứ hai, là $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Bây giờ chúng ta áp dụng luật phân phối của phép nhân, khi đó biểu thức thu được có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai thừa số. Một trong các số nhân sẽ là tổng số nhân: $4x^2$ và số còn lại sẽ là tổng của các số nhân còn lại: $xy + 2$. Có nghĩa:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Phương pháp này được gọi là nhân tử hóa bằng cách loại bỏ một yếu tố chung.

Thừa số chung trong trường hợp này là đơn thức $4x^2$.

Thuật toán

Lưu ý 1

Tìm ước chung lớn nhất của các hệ số của tất cả các đơn thức có trong đa thức - đó sẽ là hệ số của thừa số chung-đơn thức, mà chúng ta sẽ đặt ngoài ngoặc

Đơn thức bao gồm hệ số ở đoạn 2 và các biến ở đoạn 3 sẽ là một thừa số chung. có thể được lấy ra khỏi ngoặc như một yếu tố chung.

Ví dụ 3

Loại bỏ nhân tử chung $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Giải pháp:

Hãy tìm gcd của các hệ số; để làm được điều này chúng ta sẽ phân tách các hệ số thành các thừa số đơn giản

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Và chúng tôi tìm thấy sản phẩm của những thứ được bao gồm trong việc mở rộng từng loại:

Xác định các biến tạo nên mỗi đơn thức và chọn biến có số mũ nhỏ nhất

$a^3=a^2\cdot a$

Biến $b$ chỉ được đưa vào đơn thức thứ hai và thứ ba, nghĩa là nó sẽ không được đưa vào thừa số chung.

Hãy soạn một đơn thức gồm hệ số tìm được ở bước 2, các biến tìm được ở bước 3, ta được: $3a$ - đây sẽ là ước chung. Sau đó:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với các quy tắc đóng ngoặc của thừa số chung và học cách tìm nó trong các ví dụ và biểu thức khác nhau. Hãy nói về cách một thao tác đơn giản, lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc, cho phép bạn đơn giản hóa các phép tính. Chúng ta sẽ củng cố kiến thức và kỹ năng có được bằng cách xem xét các ví dụ về độ phức tạp khác nhau.

Yếu tố chung là gì, tại sao phải tìm nó và nó được lấy ra khỏi ngoặc với mục đích gì? Hãy trả lời những câu hỏi này bằng cách xem xét một ví dụ đơn giản.

Hãy giải phương trình. Vế trái của phương trình là một đa thức bao gồm các số hạng tương tự. Phần chữ cái chung cho các số hạng này, nghĩa là nó sẽ là thừa số chung. Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc:

Trong trường hợp này, việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc đã giúp chúng ta chuyển đa thức thành đơn thức. Vì vậy, chúng tôi đã có thể đơn giản hóa đa thức và phép biến đổi của nó đã giúp chúng tôi giải phương trình.

Trong ví dụ đã xem xét, thừa số chung là hiển nhiên, nhưng liệu có dễ dàng tìm thấy nó trong một đa thức tùy ý không?

Hãy tìm ý nghĩa của biểu thức: .

Trong ví dụ này, việc đưa hệ số chung ra khỏi ngoặc đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh tính chia hết thành biểu thức.

Biểu thức thu được có thể chia hết cho , theo yêu cầu cần chứng minh. Một lần nữa, việc lấy nhân tử chung đã cho phép chúng ta giải được bài toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh rằng biểu thức chia hết cho mọi số tự nhiên: .

Biểu thức là tích của hai số tự nhiên liền kề. Một trong hai số chắc chắn sẽ là số chẵn, nghĩa là biểu thức sẽ chia hết cho .

Chúng tôi đã xem xét các ví dụ khác nhau, nhưng chúng tôi sử dụng cùng một phương pháp giải: chúng tôi đã lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc. Chúng tôi thấy rằng thao tác đơn giản này giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán. Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung cho những trường hợp đặc biệt này, nhưng phải làm gì trong trường hợp tổng quát, với một đa thức tùy ý?

Nhắc lại rằng đa thức là tổng của các đơn thức.

Xét đa thức . Đa thức này là tổng của hai đơn thức. Đơn thức là tích của một số, một hệ số và một phần chữ cái. Như vậy, trong đa thức của chúng ta, mỗi đơn thức được biểu diễn bằng tích của một số và lũy thừa, tích của các thừa số. Các thừa số có thể giống nhau đối với mọi đơn thức. Chính những yếu tố này cần được xác định và đưa ra khỏi khung. Đầu tiên, chúng ta tìm nhân tử chung cho các hệ số, là các số nguyên.

Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung, nhưng hãy xác định gcd của các hệ số: .

Hãy xem một ví dụ khác: .

Hãy tìm , điều này sẽ cho phép chúng ta xác định ước chung cho biểu thức này: .

Chúng ta đã rút ra được quy tắc cho hệ số nguyên. Bạn cần tìm gcd của họ và lấy nó ra khỏi khung. Hãy củng cố quy tắc này bằng cách giải thêm một ví dụ nữa.

Chúng ta đã xem xét quy tắc gán thừa số chung cho hệ số nguyên, hãy chuyển sang phần chữ cái. Đầu tiên, chúng tôi tìm kiếm những chữ cái có trong tất cả các đơn thức, sau đó chúng tôi xác định cấp độ cao nhất của chữ cái có trong tất cả các đơn thức: .

Trong ví dụ này chỉ có một biến chữ cái chung, nhưng có thể có nhiều biến, như trong ví dụ sau:

Hãy làm phức tạp ví dụ bằng cách tăng số lượng đơn thức:

Sau khi loại bỏ nhân tử chung, ta chuyển tổng đại số thành tích.

Chúng ta đã xem xét các quy tắc trừ cho các hệ số nguyên và biến chữ cái một cách riêng biệt, nhưng thông thường bạn cần áp dụng chúng cùng nhau để giải ví dụ. Hãy xem một ví dụ:

Đôi khi có thể khó xác định biểu thức nào còn lại trong ngoặc đơn, hãy xem một thủ thuật đơn giản sẽ cho phép bạn giải quyết nhanh chóng vấn đề này.

Hệ số chung cũng có thể là giá trị mong muốn:

Thừa số chung có thể không chỉ là một số hoặc một đơn thức mà còn có thể là bất kỳ biểu thức nào, chẳng hạn như trong phương trình sau.

Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số, tổng các đơn thức chiếm một vị trí quan trọng. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
$5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8$
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2$

Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức cũng được phân loại là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.

Ví dụ, một đa thức
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 $
có thể được đơn giản hóa.

Chúng ta hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức của dạng chuẩn:
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16$

Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Kết quả là một đa thức, tất cả các số hạng của nó đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có số hạng nào giống nhau trong số chúng. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.

Phía sau bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Do đó, nhị thức $12a^2b - 7b$ có bậc ba, và tam thức $2b^2 -7b + 6$ có bậc hai.

Thông thường, các số hạng của đa thức dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự số mũ giảm dần. Ví dụ:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1$

Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn.

Đôi khi các số hạng của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn kèm theo là phép biến đổi nghịch đảo của dấu ngoặc đơn mở nên dễ dàng lập công thức Quy tắc mở ngoặc:

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.

Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức

Sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân, bạn có thể biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức thành đa thức. Ví dụ:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.

Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.

Để nhân một đơn thức với một đa thức, bạn phải nhân đơn thức đó với mỗi số hạng của đa thức.

Chúng ta đã sử dụng quy tắc này nhiều lần để nhân với một tổng.

Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức

Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.

Thông thường quy tắc sau được sử dụng.

Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.

Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương

Bạn phải xử lý một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số thường xuyên hơn những biểu thức khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ và $a^2 - b^2 $, tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: $(a + b)^2 $ tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không xảy ra thường xuyên, theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.

Các biểu thức $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn; trên thực tế, bạn đã gặp phải nhiệm vụ này khi nhân các đa thức:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kết quả nhận dạng và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - bình phương của tổng bằng tổng bình phương và tích kép.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - bình phương của hiệu bằng tổng các bình phương không có tích nhân đôi.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.

Ba đặc tính này cho phép người ta thay thế phần bên trái bằng phần bên phải trong các phép biến đổi và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất là xem các biểu thức tương ứng và hiểu cách thay thế các biến a và b trong chúng. Hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.

$5x+xy$ có thể được biểu diễn dưới dạng $x(5+y)$. Đây thực sự là những biểu thức giống hệt nhau, chúng ta có thể xác minh điều này nếu chúng ta mở ngoặc: $x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy$. Như bạn có thể thấy, kết quả là chúng ta có được biểu thức ban đầu. Điều này có nghĩa là $5x+xy$ thực sự bằng $x(5+y)$. Nhân tiện, đây là một cách đáng tin cậy để kiểm tra tính đúng đắn của các thừa số chung - mở dấu ngoặc kết quả và so sánh kết quả với biểu thức ban đầu.

Nguyên tắc chính cho dấu ngoặc:

Ví dụ: trong biểu thức $3ab+5bc-abc$ chỉ có thể đưa $b$ ra khỏi ngoặc vì đây là từ duy nhất có mặt trong cả ba số hạng. Quá trình lấy các thừa số chung ra khỏi ngoặc được thể hiện ở sơ đồ dưới đây:

Quy tắc đóng khung

Trong toán học, người ta thường loại bỏ tất cả các thừa số chung cùng một lúc.

Ví dụ:$3xy-3xz=3x(y-z)$
Xin lưu ý rằng ở đây chúng ta có thể mở rộng như thế này: $3(xy-xz)$ hoặc như thế này: $x(3y-3z)$. Tuy nhiên, đây sẽ là những phân hủy không đầy đủ. Cả C và X đều phải được loại bỏ.

Đôi khi các thành viên chung không được nhìn thấy ngay lập tức.

Ví dụ:$10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)$
Trong trường hợp này, thuật ngữ chung (năm) đã bị ẩn. Tuy nhiên, sau khi mở rộng $10$ thành $2$ nhân với $5$ và $15$ thành $3$ nhân với $5$ - chúng tôi “đã kéo năm vào ánh sáng của Chúa”, sau đó họ dễ dàng đưa nó ra khỏi khung.

Nếu một đơn thức bị loại bỏ hoàn toàn thì còn lại một đơn thức.

Ví dụ: $5xy+axy-x=x(5y+ay-1)$
Chúng ta đặt $x$ ra khỏi ngoặc và đơn thức thứ ba chỉ bao gồm x. Tại sao người ta vẫn còn ở lại với nó? Bởi vì nếu bất kỳ biểu thức nào được nhân với một thì nó sẽ không thay đổi. Nghĩa là, $x$ này có thể được biểu diễn dưới dạng $1\cdot x$. Khi đó ta có chuỗi biến đổi sau:

$5xy+axy-$$x$ $=5xy+axy-$$1 \cdot x$ $=$$x$ $(5y+ay-$\ (1\) $)$

Hơn nữa, đây là cách duy nhất để trích xuất nó, bởi vì nếu chúng ta không để lại một dấu ngoặc, thì khi mở dấu ngoặc, chúng ta sẽ không trở về biểu thức ban đầu. Thật vậy, nếu chúng ta thực hiện trích xuất như thế này $5xy+axy-x=x(5y+ay)$, thì khi mở rộng chúng ta sẽ nhận được $x(5y+ay)=5xy+axy$. Thành viên thứ ba đang mất tích. Điều này có nghĩa là tuyên bố như vậy là không chính xác.

Bạn có thể đặt dấu trừ bên ngoài dấu ngoặc và dấu của các số hạng trong ngoặc sẽ bị đảo ngược.

Ví dụ:$x-y=-(-x+y)=-(y-x)$
Về cơ bản, ở đây chúng ta đang đưa ra “số trừ”, có thể được “chọn” trước bất kỳ đơn thức nào, ngay cả khi không có số trừ nào ở phía trước nó. Ở đây chúng ta sử dụng thực tế là một cái có thể được viết là $(-1) \cdot (-1)$. Đây là ví dụ tương tự, được mô tả chi tiết:

$x-y=$
$=1·x+(-1)·y=$
$=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=$
$=(-1)·((-1)·x+y)=$
$=-(-x+y)=$
$-(y-x)$

Dấu ngoặc đơn cũng có thể là một yếu tố phổ biến.

Ví dụ:$3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)$
Chúng ta thường gặp phải tình huống này nhất (bỏ dấu ngoặc khỏi ngoặc) khi phân tích nhân tử bằng phương pháp nhóm hoặc