Thực đơn
trang chủĐiện thoại

Sự phụ thuộc tuyến tính của hàng. Độc lập tuyến tính

Ma trận– một bảng hình chữ nhật gồm các số tùy ý sắp xếp theo một thứ tự nhất định, kích thước m*n (hàng theo cột). Các phần tử của ma trận được ký hiệu trong đó i là số hàng, aj là số cột.

Phép cộng (phép trừ) ma trận chỉ được định nghĩa cho ma trận một chiều. Tổng (hiệu) của các ma trận là ma trận có các phần tử lần lượt là tổng (hiệu) các phần tử của ma trận ban đầu.

Nhân (chia)mỗi số– nhân (chia) từng phần tử ma trận với số này.

Phép nhân ma trận chỉ được xác định cho ma trận, số cột của ma trận đầu tiên bằng số hàng của ma trận thứ hai.

Phép nhân ma trận– một ma trận có các phần tử được xác định bởi các công thức:

Chuyển đổi ma trận– chẳng hạn một ma trận B có các hàng (cột) là các cột (hàng) trong ma trận A ban đầu. được chỉ định

ma trận nghịch đảo

Phương trình ma trận– các phương trình có dạng A*X=B là tích của các ma trận, đáp án của phương trình này là ma trận X, được tìm bằng các quy tắc:

  1. Sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập của các cột ma trận (hàng). Tiêu chí phụ thuộc tuyến tính, điều kiện đủ cho sự phụ thuộc tuyến tính của cột (hàng) ma trận.

Hệ thống hàng (cột) được gọi là độc lập tuyến tính, nếu tổ hợp tuyến tính là tầm thường (bình đẳng chỉ được thỏa mãn khi a1...n=0), trong đó A1...n là các cột (hàng), aa1...n là các hệ số mở rộng.

Tiêu chuẩn: để một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thì điều cần và đủ là ít nhất một trong các vectơ của hệ được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ còn lại của hệ.

Đủ điều kiện:

  1. Định thức ma trận và tính chất của chúng

Định thức ma trận (định thức) là số mà đối với ma trận vuông A có thể được tính từ các phần tử của ma trận bằng công thức:

, đâu là phần phụ bổ sung của phần tử

Của cải:

  1. Ma trận nghịch đảo, thuật toán tính ma trận nghịch đảo.

ma trận nghịch đảo là ma trận vuông X sao cho cùng với Ma trận vuông th A cùng cấp, thỏa mãn điều kiện:, trong đó E là ma trận đẳng thức, cùng cấp với A. Bất kỳ ma trận vuông nào có định thức không bằng 0 đều có 1 ma trận nghịch đảo. Được tìm thấy bằng phương pháp biến đổi cơ bản và sử dụng công thức:

    Khái niệm về thứ hạng ma trận. Định lý trên cơ sở nhỏ. Tiêu chí để định thức của ma trận bằng 0. Các phép biến đổi cơ bản của ma trận. Tính hạng bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Tính toán ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi cơ bản.

Xếp hạng ma trận – bậc cơ sở thứ (rg A)

Tiểu học cơ bản – một cấp thứ r không bằng 0, sao cho tất cả các cấp thứ r+1 trở lên đều bằng 0 hoặc không tồn tại.

Định lý nhỏ cơ sở - Trong ma trận A tùy ý, mỗi cột (hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) chứa nó thứ yếu cơ bản.

Bằng chứng:Đặt cơ sở thứ trong ma trận A có kích thước m*n nằm ở r hàng và r cột đầu tiên. Chúng ta hãy xét định thức thu được bằng cách gán các phần tử tương ứng cho phần tử cơ sở của ma trận A hàng thứ và cột thứ k.

Lưu ý rằng với mọi u, định thức này bằng 0. Nếu hoặc thì định thức D chứa hai dòng giống hệt nhau hoặc hai cột giống nhau. Nếu đúng như vậy thì định thức D bằng 0, vì nó là thứ của cấp (r+λ)-ro. Khai triển định thức dọc theo hàng cuối cùng, chúng ta thu được:, đâu là phần bù đại số của các phần tử ở hàng cuối cùng. Lưu ý rằng vì đây là một trẻ vị thành niên cơ bản. Vì vậy, ở đâu Viết đẳng thức cuối cùng cho, ta được , I E. cột thứ k(với bất kỳ) có một tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở thứ, đó là điều ta cần chứng minh.

Tiêu chí detA=0– Định thức bằng 0 khi và chỉ nếu các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Các phép biến đổi cơ bản:

1) nhân một chuỗi với một số khác 0;

2) thêm các phần tử của dòng khác vào các phần tử của một dòng;

3) sắp xếp lại các chuỗi;

4) gạch bỏ một trong các hàng (cột giống hệt nhau);

5) chuyển vị;

Tính toán xếp hạng – Từ định lý cơ sở thứ suy ra rằng hạng của ma trận A bằng số lượng tối đa các hàng (cột trong ma trận) độc lập tuyến tính, do đó nhiệm vụ của các phép biến đổi cơ bản là tìm tất cả các hàng độc lập tuyến tính hàng phụ thuộc(cột).

Tính ma trận nghịch đảo- Phép biến đổi có thể được thực hiện bằng cách nhân với ma trận A một số ma trận T là tích của các ma trận cơ bản tương ứng: TA = E.

Phương trình này có nghĩa là ma trận biến đổi T là ma trận nghịch đảo của ma trận . Sau đó, do đó,

Một hệ các vectơ cùng cấp được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có thể thu được một vectơ 0 từ các vectơ này thông qua một tổ hợp tuyến tính thích hợp. (Không được phép tất cả các hệ số của tổ hợp tuyến tính bằng 0, vì điều này sẽ tầm thường.) Ngược lại, các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính. Ví dụ: ba vectơ sau:

phụ thuộc tuyến tính vì điều đó dễ kiểm tra. Trong trường hợp phụ thuộc tuyến tính, bất kỳ vectơ nào luôn có thể được biểu diễn thông qua sự kết hợp tuyến tính của các vectơ khác. Trong ví dụ của chúng tôi: hoặc hoặc Điều này rất dễ kiểm tra bằng các phép tính thích hợp. Điều này dẫn đến định nghĩa sau: một vectơ độc lập tuyến tính với các vectơ khác nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ này.

Chúng ta hãy xem xét một hệ vectơ mà không chỉ rõ nó phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính. Đối với mỗi hệ thống bao gồm các vectơ cột a, có thể xác định số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa có thể. Con số này, được ký hiệu bằng chữ cái , là cấp bậc của hệ vectơ này. Vì mỗi ma trận có thể được xem như một hệ thống các vectơ cột, nên thứ hạng của ma trận được định nghĩa là số lượng tối đa các vectơ cột độc lập tuyến tính mà nó chứa. Các vectơ hàng cũng được sử dụng để xác định thứ hạng của ma trận. Cả hai phương pháp đều cho kết quả như nhau đối với cùng một ma trận và không thể vượt quá giá trị nhỏ nhất hoặc Thứ hạng của ma trận vuông có thứ tự nằm trong khoảng từ 0 đến . Nếu tất cả các vectơ đều bằng 0 thì hạng của ma trận đó bằng 0. Nếu tất cả các vectơ độc lập tuyến tính với nhau thì hạng của ma trận bằng nhau. Nếu chúng ta tạo thành một ma trận từ các vectơ trên, thì thứ hạng của ma trận này là 2. Vì cứ hai vectơ có thể giảm xuống một phần ba bằng tổ hợp tuyến tính, thì thứ hạng nhỏ hơn 3.

Nhưng chúng ta có thể đảm bảo rằng hai vectơ bất kỳ trong số chúng độc lập tuyến tính, do đó hạng

Một ma trận vuông được gọi là ma trận số ít nếu vectơ cột hoặc vectơ hàng của nó phụ thuộc tuyến tính. Định thức của ma trận như vậy bằng 0 và ma trận nghịch đảo của nó không tồn tại, như đã nói ở trên. Những kết luận này là tương đương với nhau. Kết quả là, một ma trận vuông được gọi là ma trận không số ít hoặc không số ít nếu các vectơ cột hoặc vectơ hàng của nó độc lập với nhau. Định thức của ma trận như vậy không bằng 0 và tồn tại ma trận nghịch đảo của nó (so sánh với trang 43)

Thứ hạng của ma trận có cách giải thích hình học khá rõ ràng. Nếu hạng của ma trận bằng , thì không gian có chiều được cho là được kéo dài bởi các vectơ. Nếu thứ hạng thì các vectơ nằm trong một không gian con có chiều bao gồm tất cả chúng. Vì vậy, hạng của ma trận tương ứng với số chiều yêu cầu tối thiểu của không gian “chứa tất cả các vectơ”; không gian con có chiều trong không gian có chiều được gọi là siêu phẳng có chiều. Thứ hạng của ma trận tương ứng với chiều nhỏ nhất của siêu phẳng mà tất cả các vectơ vẫn nằm trong đó.

Tính trực giao. Hai vectơ a và b được gọi là trực giao lẫn nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Nếu ma trận thứ tự có đẳng thức trong đó D là ma trận đường chéo thì các vectơ cột của ma trận A là cặp trực giao lẫn nhau. Nếu các vectơ cột này được chuẩn hóa, tức là giảm xuống độ dài bằng 1, thì sự bằng nhau xảy ra và chúng ta nói đến các vectơ trực chuẩn. Nếu B là ma trận vuông và đẳng thức giữ nguyên thì ma trận B được gọi là trực giao. Trong trường hợp này, theo công thức (1.22) ma trận trực giao luôn không suy biến. Do đó, từ tính trực giao của ma trận, suy ra tính độc lập tuyến tính của vectơ hàng hoặc vectơ cột của nó. Phát biểu ngược lại không đúng: tính độc lập tuyến tính của một hệ vectơ không bao hàm tính trực giao từng cặp của các vectơ này.

Các khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính được định nghĩa như nhau cho các hàng và cột. Do đó, các thuộc tính liên quan đến các khái niệm này được xây dựng cho cột tất nhiên cũng có giá trị cho các hàng.

1. Nếu một hệ thống cột bao gồm một cột bằng 0 thì nó phụ thuộc tuyến tính.

2. Nếu một hệ thống cột có hai cột bằng nhau thì hệ thống đó phụ thuộc tuyến tính.

3. Nếu một hệ thống cột có hai cột tỷ lệ thì nó phụ thuộc tuyến tính.

4. Một hệ thống các cột phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ nếu ít nhất một trong các cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

5. Bất kỳ cột nào có trong tuyến tính hệ thống độc lập, tạo thành một hệ thống con độc lập tuyến tính.

6. Một hệ thống các cột chứa hệ thống con phụ thuộc tuyến tính là phụ thuộc tuyến tính.

7. Nếu một hệ thống các cột độc lập tuyến tính và sau khi thêm một cột vào nó, nó trở nên phụ thuộc tuyến tính, thì cột đó có thể được mở rộng thành các cột và hơn nữa, theo một cách duy nhất, tức là. các hệ số giãn nở có thể được tìm thấy duy nhất.

Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh tính chất cuối cùng. Vì hệ cột phụ thuộc tuyến tính nên có những số không bằng 0, tức là

Trong sự bình đẳng này. Trong thực tế, nếu , thì

Điều này có nghĩa là sự kết hợp tuyến tính không tầm thường của các cột bằng cột 0, điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của hệ thống. Do đó, và sau đó, tức là. một cột là sự kết hợp tuyến tính của các cột. Nó vẫn còn để thể hiện tính độc đáo của một đại diện như vậy. Hãy giả sử điều ngược lại. Giả sử có hai khai triển và , và không phải tất cả các hệ số của khai triển tương ứng đều bằng nhau (ví dụ, ). Khi đó từ đẳng thức

Chúng tôi nhận được (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

tuần tự, sự kết hợp tuyến tính của các cột bằng cột 0. Vì không phải tất cả các hệ số của nó đều bằng 0 (ít nhất), sự kết hợp này là không tầm thường, mâu thuẫn với điều kiện độc lập tuyến tính của các cột. Mâu thuẫn thu được khẳng định tính duy nhất của khai triển.

Ví dụ 3.2. Chứng minh rằng hai cột khác 0 và phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỉ lệ, tức là .

Giải pháp. Trong thực tế, nếu các cột phụ thuộc tuyến tính thì có những số không bằng 0 cùng một lúc, sao cho . Và trong sự bình đẳng này. Thật vậy, giả sử rằng , chúng ta gặp mâu thuẫn vì cột cũng khác 0. Có nghĩa, . Do đó, có một số như vậy. Sự cần thiết đã được chứng minh.

Ngược lại, nếu , thì . Chúng tôi thu được một tổ hợp tuyến tính không cần thiết của các cột bằng cột 0. Điều này có nghĩa là các cột phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 3.3. Xem xét tất cả các loại hệ thống được hình thành từ các cột

Kiểm tra từng hệ thống về sự phụ thuộc tuyến tính.
Giải pháp. Hãy xem xét năm hệ thống chứa một cột mỗi hệ thống. Theo đoạn 1 của Nhận xét 3.1: các hệ thống độc lập tuyến tính và hệ thống gồm một cột 0 là phụ thuộc tuyến tính.

Hãy xem xét các hệ thống có chứa hai cột:

– mỗi hệ trong bốn hệ phụ thuộc tuyến tính, vì nó chứa cột 0 (thuộc tính 1);

– hệ thống phụ thuộc tuyến tính, vì các cột tỷ lệ thuận (thuộc tính 3): ;

– mỗi hệ thống trong số năm hệ thống đều độc lập tuyến tính, vì các cột không cân xứng (xem phát biểu ở ví dụ 3.2).

Hãy xem xét các hệ thống có chứa ba cột:

– mỗi hệ thống trong số sáu hệ thống đều phụ thuộc tuyến tính, vì nó chứa cột 0 (thuộc tính 1);

– các hệ thống phụ thuộc tuyến tính, vì chúng chứa một hệ thống con phụ thuộc tuyến tính (tính chất 6);

– các hệ thống và phụ thuộc tuyến tính, vì cột cuối cùng được biểu diễn tuyến tính qua phần còn lại (tính chất 4): và, tương ứng.

Cuối cùng, hệ thống gồm bốn hoặc năm cột phụ thuộc tuyến tính (theo tính chất 6).

Xếp hạng ma trận

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một đặc tính số quan trọng khác của ma trận, liên quan đến mức độ các hàng (cột) của nó phụ thuộc lẫn nhau.

Định nghĩa 14.10 Cho một ma trận có kích thước và một số không vượt quá số nhỏ nhất và được cho: . Hãy chọn ngẫu nhiên các hàng và cột của ma trận (số hàng có thể khác với số cột). Định thức của ma trận gồm các phần tử giao nhau giữa các hàng và cột đã chọn được gọi là ma trận bậc nhỏ.

Ví dụ 14.9 Cho phép .

Phần tử bậc nhất là bất kỳ phần tử nào của ma trận. Vậy 2, , là số trẻ cấp một.

Trẻ vị thành niên cấp hai:

1. lấy hàng 1, 2, cột 1, 2 ta được một thứ ;

2. lấy hàng 1, 3, cột 2, 4 ta được thứ ;

3. lấy hàng 2, 3, cột 1, 4 ta được thứ

Trẻ vị thành niên cấp ba:

các hàng ở đây chỉ có thể được chọn theo một cách,

1. lấy cột 1, 3, 4 ta được thứ ;

2. lấy cột 1, 2, 3 ta được thứ .

Dự luật 14.23 Nếu tất cả các cấp số của ma trận cấp đều bằng 0 thì tất cả các cấp số nhân, nếu chúng tồn tại, cũng bằng 0.

Bằng chứng. Hãy lấy một thứ tự nhỏ tùy ý . Đây là yếu tố quyết định của ma trận thứ tự. Hãy chia nhỏ nó dọc theo dòng đầu tiên. Khi đó, trong mỗi số hạng của khai triển, một trong các thừa số sẽ nhỏ hơn cấp của ma trận ban đầu. Theo điều kiện, thứ tự thứ tự bằng 0. Do đó, thứ tự nhỏ sẽ bằng 0.

Định nghĩa 14.11 Thứ hạng của ma trận là cấp lớn nhất trong số các cấp con của ma trận khác 0. Thứ hạng ma trận khôngđược coi là bằng 0.

Không có một chỉ định tiêu chuẩn duy nhất nào cho thứ hạng ma trận. Theo sách giáo khoa, chúng tôi sẽ biểu thị nó.

Ví dụ 14.10 Ma trận của Ví dụ 14.9 có hạng 3 vì có tồn tại cấp thứ ba khác 0 nhưng không có cấp thứ tư.

Xếp hạng ma trận bằng 1, vì có một phần tử thứ nhất khác 0 (phần tử ma trận) và tất cả các phần tử thứ cấp thứ hai đều bằng 0.

Hạng của một ma trận vuông cấp không số ít bằng , vì định thức của nó là cấp số nhỏ và khác 0 đối với ma trận không số ít.

Dự luật 14.24 Khi một ma trận được hoán vị, thứ hạng của nó không thay đổi, tức là .

Bằng chứng. Một chuyển vị thứ của ma trận gốc sẽ là một chuyển vị thứ của ma trận chuyển vị, và ngược lại, bất kỳ chuyển vị thứ nào cũng là chuyển vị thứ của ma trận gốc. Khi hoán vị, định thức (thứ) không thay đổi (Mệnh đề 14.6). Do đó, nếu tất cả các số hạng của một cấp trong ma trận ban đầu đều bằng 0 thì tất cả các cấp số của cùng một cấp trong ma trận ban đầu cũng bằng 0. Nếu bậc thứ trong ma trận ban đầu khác 0 thì b là bậc thứ cùng bậc, khác 0. Kể từ đây, .

Định nghĩa 14.12Đặt hạng của ma trận là . Khi đó bất kỳ bậc thứ nào , khác 0, được gọi là bậc cơ sở.

Ví dụ 14.11 Cho phép . Định thức của ma trận bằng 0, vì hàng thứ ba bằng tổng của hai hàng đầu tiên. Bậc thứ hai ở hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên bằng . Do đó, thứ hạng của ma trận là hai và thứ được coi là cơ bản.

Một phần phụ cơ bản cũng là một phần phụ nằm ở hàng đầu tiên và thứ ba, cột thứ nhất và thứ ba: . Phần nhỏ sẽ cơ bản ở hàng thứ hai và thứ ba, cột thứ nhất và thứ ba: .

Số thứ nhất ở hàng thứ nhất và thứ hai cũng như cột thứ hai và thứ ba bằng 0 và do đó sẽ không phải là cơ sở. Người đọc có thể kiểm tra độc lập xem những trẻ vị thành niên bậc hai nào khác sẽ là cơ bản và trẻ vị thành niên nào không.

Do các cột (hàng) của ma trận có thể cộng, nhân với số và hình thành tổ hợp tuyến tính nên có thể đưa ra định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập tuyến tính của hệ thống các cột (hàng) của ma trận. Các định nghĩa này tương tự như các định nghĩa 10.14, 10.15 cho vectơ.

Định nghĩa 14.13 Một hệ thống gồm các cột (hàng) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có một tập hợp các hệ số như vậy, ít nhất một trong số đó khác 0, mà tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) với các hệ số này sẽ bằng 0.

Định nghĩa 14.14 Một hệ thống các cột (hàng) độc lập tuyến tính nếu đẳng thức bằng 0 của tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) này ngụ ý rằng tất cả các hệ số của tổ hợp tuyến tính này đều bằng 0.

Mệnh đề sau đây, tương tự như Mệnh đề 10.6, cũng đúng.

Câu 14.25 Một hệ thống gồm các cột (hàng) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một trong các cột (một trong các hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) khác của hệ thống này.

Chúng ta hãy xây dựng một định lý gọi là định lý nhỏ cơ sở.

Định lý 14.2 Bất kỳ cột ma trận nào cũng là tổ hợp tuyến tính của các cột đi qua cơ sở thứ.

Việc chứng minh có thể tìm thấy trong sách giáo khoa đại số tuyến tính, chẳng hạn như trong,.

Dự luật 14.26 Thứ hạng của ma trận bằng số cột tối đa của nó tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính.

Bằng chứng. Đặt hạng của ma trận là . Hãy lấy các cột đi qua cơ sở nhỏ. Giả sử rằng các cột này tạo thành một hệ thống phụ thuộc tuyến tính. Sau đó, một trong các cột là sự kết hợp tuyến tính của các cột khác. Do đó, trong một cột cơ sở, một cột sẽ là sự kết hợp tuyến tính của các cột khác. Theo Dự luật 14.15 và 14.18, âm cơ bản thứ phải bằng 0, điều này mâu thuẫn với định nghĩa về âm cơ bản thứ. Vì vậy, giả định rằng các cột đi qua phần cơ sở phụ thuộc tuyến tính là không đúng. Vì vậy, số cột tối đa tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính lớn hơn hoặc bằng .

Giả sử rằng các cột tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính. Hãy tạo một ma trận từ chúng. Tất cả các ma trận thứ đều là ma trận thứ. Do đó, phần cơ sở nhỏ của ma trận có cấp không lớn hơn . Theo định lý vi cơ sở, cột không đi qua vi cơ sở của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các cột đi qua vi cơ sở, tức là các cột của ma trận tạo thành một hệ phụ thuộc tuyến tính. Điều này trái với việc lựa chọn các cột tạo thành ma trận. Do đó, số lượng cột tối đa tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính không thể lớn hơn . Điều này có nghĩa là nó tương đương với những gì đã nêu.

Dự luật 14.27 Thứ hạng của ma trận bằng số hàng tối đa của nó tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính.

Bằng chứng. Theo Dự luật 14.24, thứ hạng của ma trận không thay đổi trong quá trình chuyển vị. Các hàng của ma trận trở thành các cột của nó. Số cột mới tối đa của ma trận chuyển vị (các hàng cũ của ma trận gốc) tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính bằng hạng của ma trận.

Dự luật 14.28 Nếu định thức của ma trận bằng 0 thì một trong các cột của nó (một trong các hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) còn lại.

Bằng chứng. Cho thứ tự ma trận bằng . Định thức là định thức thứ duy nhất của ma trận vuông có cấp . Vì nó bằng 0 nên . Do đó, một hệ thống các cột (hàng) phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là một trong các cột (một trong các hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Kết quả của Mệnh đề 14.15, 14.18 và 14.28 cho định lý sau.

Định lý 14.3 Định thức của ma trận bằng 0 khi và chỉ khi một trong các cột của nó (một trong các hàng) là tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) còn lại.

Việc tìm hạng của một ma trận bằng cách tính tất cả các phần tử phụ của nó đòi hỏi quá nhiều công việc tính toán. (Người đọc có thể kiểm tra xem có 36 số hạng bậc hai trong ma trận vuông bậc bốn hay không.) Do đó, một thuật toán khác được sử dụng để tìm hạng. Để mô tả nó, một số thông tin bổ sung sẽ được yêu cầu.

Định nghĩa 14.15 Chúng ta hãy gọi các hành động sau đây là các phép biến đổi cơ bản của ma trận:

1) sắp xếp lại hàng hoặc cột;
2) nhân một hàng hoặc cột với một số khác 0;
3) thêm vào một trong các hàng một hàng khác nhân với một số hoặc thêm vào một trong các cột một cột khác nhân với một số.

Dự luật 14.29 Tại các phép biến đổi cơ bản hạng của ma trận không thay đổi.

Bằng chứng. Đặt hạng của ma trận bằng , - ma trận thu được từ việc thực hiện một phép biến đổi cơ bản.

Hãy xem xét hoán vị của chuỗi. Giả sử là phần thứ của ma trận, khi đó ma trận có phần nhỏ trùng hoặc khác với nó bằng cách sắp xếp lại các hàng. Và ngược lại, bất kỳ ma trận thứ nào cũng có thể được liên kết với một ma trận thứ trùng hoặc khác với ma trận đó theo thứ tự hàng. Do đó, từ thực tế là tất cả các cấp số nhân của một cấp trong ma trận đều bằng 0, suy ra rằng trong ma trận tất cả các cấp số thứ của cấp này cũng bằng 0. Và vì ma trận có cấp bậc nhỏ khác 0 nên ma trận cũng có cấp thứ thứ khác 0, đó là .

Hãy xem xét việc nhân một chuỗi với một số khác 0. Một phần tử thứ trong ma trận tương ứng với một phần tử thứ trong ma trận trùng hoặc khác với ma trận đó chỉ trong một hàng, được lấy từ hàng phụ bằng cách nhân với một số khác 0. Trong trường hợp sau. Trong mọi trường hợp, một trong hai và đồng thời bằng 0 hoặc đồng thời khác 0. Kể từ đây, .

một số số ở đâu (một số số này hoặc thậm chí tất cả chúng có thể bằng 0). Điều này có nghĩa là có sự bình đẳng sau đây giữa các phần tử của cột:

hoặc , .

Từ (3.3.1) suy ra rằng

(3.3.2)

chuỗi số 0 ở đâu

Sự định nghĩa. Các hàng của ma trận A phụ thuộc tuyến tính nếu có các số không bằng 0 cùng một lúc, sao cho

(3.3.3)

Nếu đẳng thức (3.3.3) đúng khi và chỉ khi , thì các hàng được gọi là độc lập tuyến tính. Hệ thức (3.3.2) chỉ ra rằng nếu một trong các hàng được biểu diễn tuyến tính theo các hàng khác thì các hàng đó phụ thuộc tuyến tính.

Dễ dàng nhận thấy điều ngược lại: nếu các chuỗi phụ thuộc tuyến tính thì có một chuỗi sẽ là tổ hợp tuyến tính của các chuỗi còn lại.

Ví dụ, giả sử trong (3.3.3), thì .

Sự định nghĩa. Cho một số nhỏ nhất định được chọn trong ma trận A r thứ tự và để thứ ( r Thứ +1) của cùng một ma trận hoàn toàn chứa số thứ . Chúng ta sẽ nói rằng trong trường hợp này phần phụ giáp phần thứ (hoặc giáp với ).

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh một bổ đề quan trọng.

bổ đềvề giáp ranh với trẻ vị thành niên. Nếu trẻ vị thành niên có trật tự r ma trận A = khác 0 và tất cả các phần tử phụ giáp nó đều bằng 0, khi đó bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận A là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) của nó tạo nên .

Bằng chứng. Không làm mất tính tổng quát của lý luận, chúng ta sẽ giả sử rằng số thứ khác 0 r - thứ tự ở bên trái góc trên cùng ma trận A=:

.

Đối với k đầu tiên các hàng của ma trận A, phát biểu của bổ đề rất rõ ràng: chỉ cần đưa vào tổ hợp tuyến tính cùng một hàng có hệ số bằng một và phần còn lại - có các hệ số bằng 0.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng các hàng còn lại của ma trận A được biểu diễn tuyến tính theo hàng đầu tiên k dòng. Để làm điều này, chúng ta sẽ xây dựng một trẻ vị thành niên ( r +1)thứ tự bằng cách thêm vào thứ yếu dòng k -th () và tôi cột thứ():

.

Trẻ vị thành niên kết quả bằng 0 với mọi k và tôi . Nếu , thì nó bằng 0 vì chứa hai cột giống hệt nhau. Nếu , thì phân thứ thu được là cạnh thứ của và do đó, bằng 0 theo các điều kiện của bổ đề.

Hãy phân tách thứ yếu theo các yếu tố của phần cuối cùngtôi cột thứ:

(3.3.4)

đâu là phần bù đại số của các phần tử. phép cộng đại số là phần thứ của ma trận A, do đó . Chia (3.3.4) cho và biểu diễn nó thông qua:

(3.3.5)

Ở đâu , .

Giả sử , chúng tôi nhận được:

(3.3.6)

Biểu thức (3.3.6) có nghĩa là k Hàng thứ của ma trận A được biểu diễn tuyến tính thông qua hàng đầu tiên dòng r.

Vì khi một ma trận được hoán vị, các giá trị của các phần tử phụ của nó không thay đổi (do tính chất của định thức), nên mọi thứ đã được chứng minh cũng đúng đối với các cột. Định lý đã được chứng minh.

Hệ quả I . Bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận đều là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ sở của nó. Thật vậy, phần cơ bản của ma trận là khác 0 và tất cả các phần nhỏ giáp nó đều bằng 0.

Hệ quả II. định thức n thứ tự bằng 0 khi và chỉ khi nó chứa các hàng (cột) phụ thuộc tuyến tính. Tính đủ của sự phụ thuộc tuyến tính của các hàng (cột) để định thức bằng 0 đã được chứng minh trước đó như một tính chất của định thức.

Hãy chứng minh sự cần thiết. Cho một ma trận vuông N thứ tự, thứ duy nhất trong số đó bằng không. Theo đó thứ hạng của ma trận này thấp hơn N , I E. có ít nhất một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ sở của ma trận này.

Chúng ta hãy chứng minh một định lý khác về hạng của ma trận.

Định lý.Số hàng độc lập tuyến tính tối đa của một ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính tối đa của nó và bằng hạng của ma trận này.

Bằng chứng. Đặt thứ hạng của ma trận A= bằng r. Sau đó, bất kỳ k nào của nó các hàng cơ sở độc lập tuyến tính, nếu không thì cơ sở thứ sẽ bằng 0. Mặt khác, bất kỳ r +1 hoặc nhiều hàng phụ thuộc tuyến tính. Giả sử ngược lại, chúng ta có thể tìm được cấp bậc nhỏ hơn r , khác 0 theo Hệ quả 2 của bổ đề trước. Cái sau mâu thuẫn với những gì thứ tự tối đa số trẻ vị thành niên khác 0 bằng r . Mọi điều đã được chứng minh cho hàng cũng đúng cho cột.

Để kết luận, chúng tôi sẽ phác thảo một phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận. Thứ hạng của ma trận có thể được xác định bằng cách tìm phần nhỏ của cấp tối đa khác 0.

Thoạt nhìn, điều này đòi hỏi một sự tính toán, tuy hữu hạn nhưng có lẽ rất số lượng lớn trẻ vị thành niên của ma trận này.

Tuy nhiên, định lý sau đây cho phép đưa ra sự đơn giản hóa đáng kể về vấn đề này.

Định lý.Nếu phần nhỏ của ma trận A khác 0 và tất cả các phần nhỏ giáp nó đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r.

Bằng chứng. Nó đủ để chỉ ra rằng bất kỳ hệ thống con nào của các hàng ma trận với S>r sẽ phụ thuộc tuyến tính theo các điều kiện của định lý (từ đó r là số lượng tối đa các hàng độc lập tuyến tính của ma trận hoặc bất kỳ cấp con nào của nó lớn hơn k bằng 0).

Hãy giả sử điều ngược lại. Cho các hàng độc lập tuyến tính. Theo bổ đề về các phần tử bao quanh, mỗi phần trong số chúng sẽ được biểu diễn tuyến tính theo các dòng chứa phần tử thứ và do chúng khác 0 nên độc lập tuyến tính:

(3.3.7)

Xét ma trận K từ các hệ số của biểu thức tuyến tính (3.3.7):

.

Các hàng của ma trận này sẽ được ký hiệu là . Chúng sẽ phụ thuộc tuyến tính vì hạng của ma trận K, tức là số lượng tối đa các đường độc lập tuyến tính của nó không vượt quá r< S . Do đó, có những số như vậy, không phải tất cả đều bằng 0, mà

Hãy chuyển sang sự bình đẳng của các thành phần

(3.3.8)

Bây giờ hãy xem xét sự kết hợp tuyến tính sau:

hoặc

Cho phép

Cột ma trận thứ nguyên. Sự kết hợp tuyến tính của các cột ma trậnđược gọi là ma trận cột, với một số số thực hoặc số phức được gọi là hệ số kết hợp tuyến tính. Nếu trong một tổ hợp tuyến tính, chúng ta lấy tất cả các hệ số bằng 0 thì tổ hợp tuyến tính bằng ma trận cột 0.

Các cột của ma trận được gọi là độc lập tuyến tính , nếu tổ hợp tuyến tính của chúng chỉ bằng 0 khi tất cả các hệ số của tổ hợp tuyến tính bằng 0. Các cột của ma trận được gọi là phụ thuộc tuyến tính , nếu có một tập hợp các số trong đó ít nhất một số khác 0 và tổ hợp tuyến tính của các cột có các hệ số này bằng 0

Tương tự, có thể đưa ra các định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập tuyến tính của các hàng ma trận. Trong phần tiếp theo, tất cả các định lý được xây dựng cho các cột của ma trận.

Định lý 5

Nếu có số 0 trong số các cột ma trận thì các cột ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Bằng chứng. Hãy xem xét một tổ hợp tuyến tính trong đó tất cả các hệ số bằng 0 đối với tất cả các cột khác 0 và một hệ số cho tất cả các cột bằng 0. Nó bằng 0 và trong số các hệ số của tổ hợp tuyến tính có một hệ số khác 0. Do đó, các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Định lý 6

Nếu như cột ma trận phụ thuộc tuyến tính, thế thôi cột ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Bằng chứng. Để rõ ràng, chúng ta sẽ giả sử rằng các cột đầu tiên của ma trận phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, theo định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính, có một tập hợp các số trong đó ít nhất một số khác 0 và tổ hợp tuyến tính của các cột với các hệ số này bằng 0

Hãy tạo một tổ hợp tuyến tính của tất cả các cột của ma trận, bao gồm các cột còn lại có hệ số bằng 0

Nhưng . Do đó, tất cả các cột của ma trận đều phụ thuộc tuyến tính.

Kết quả. Trong số các cột ma trận độc lập tuyến tính, bất kỳ cột nào cũng độc lập tuyến tính. (Phát biểu này có thể dễ dàng được chứng minh bằng phản chứng.)

Định lý 7

Để các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính, điều cần và đủ là ít nhất một cột của ma trận phải là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Bằng chứng.

Sự cần thiết. Giả sử các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là có một tập hợp số trong đó ít nhất một số khác 0 và tổ hợp tuyến tính của các cột có các hệ số này bằng 0

Chúng ta hãy giả sử cho chắc chắn rằng . Nghĩa là, cột đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của phần còn lại.

sự đầy đủ. Giả sử ít nhất một cột của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các cột khác, ví dụ: , ở đâu có một số số.

Khi đó , tức là tổ hợp tuyến tính của các cột bằng 0 và trong số các số trong tổ hợp tuyến tính ít nhất một (at ) khác 0.

Đặt hạng của ma trận là . Mọi thứ khác 0 của bậc thứ đều được gọi là nền tảng . Hàng và cột tại giao nhau có phần cơ sở được gọi là nền tảng .