Giá trị tối ưu của hàm mục tiêu. Vấn đề lp Canonical. Phương pháp đơn giản giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Thông số thiết kế. Thuật ngữ này đề cập đến sự độc lập thông số biến, xác định đầy đủ và rõ ràng vấn đề thiết kế đang được giải quyết. Tham số thiết kế là những đại lượng chưa biết, giá trị của chúng được tính toán trong quá trình tối ưu hóa. Bất kỳ đại lượng cơ bản hoặc dẫn xuất nào dùng để mô tả định lượng hệ thống đều có thể dùng làm thông số thiết kế. Vì vậy, đây có thể là những giá trị chưa biết về chiều dài, khối lượng, thời gian, nhiệt độ. Số lượng các tham số thiết kế đặc trưng cho mức độ phức tạp của một vấn đề thiết kế nhất định. Thông thường số lượng tham số thiết kế được ký hiệu là n, bản thân các tham số thiết kế là x với các chỉ số tương ứng. Như vậy, n tham số thiết kế của bài toán này sẽ được ký hiệu là

X1, X2, X3,...Xp.

Cần lưu ý rằng trong một số nguồn, các tham số thiết kế có thể được coi là các tham số có thể kiểm soát được bên trong.

Chức năng mục tiêu. Đây là biểu thức mà giá trị mà kỹ sư cố gắng đạt được là tối đa hoặc tối thiểu. Hàm mục tiêu cho phép bạn so sánh định lượng hai các giải pháp thay thế. Từ quan điểm toán học, hàm mục tiêu mô tả một số bề mặt có (n+1) chiều. Giá trị của nó được xác định bởi các thông số thiết kế

M = M(x1,x2,…,xn).

Ví dụ hàm mục tiêu, thường gặp trong thực hành kỹ thuật, là chi phí, trọng lượng, độ bền, kích thước, hiệu suất. Nếu chỉ có một tham số thiết kế thì hàm mục tiêu có thể được biểu diễn bằng một đường cong trên mặt phẳng (Hình 1). Nếu có hai tham số thiết kế thì hàm mục tiêu sẽ được mô tả dưới dạng một bề mặt trong không gian ba chiều (Hình 2). Với ba tham số thiết kế trở lên, các bề mặt được chỉ định bởi hàm mục tiêu được gọi là siêu bề mặt và không thể chụp ảnh được bằng phương tiện thông thường. Các đặc tính tôpô của bề mặt của hàm mục tiêu đóng một vai trò lớn trong quá trình tối ưu hóa, vì việc lựa chọn thuật toán hiệu quả nhất phụ thuộc vào chúng.

Hình 1. Hàm mục tiêu một chiều.

Hình 2. Hàm mục tiêu hai chiều.

Hàm mục tiêu trong một số trường hợp có thể có dạng bất ngờ nhất. Ví dụ, nó không phải lúc nào cũng được biểu diễn dưới dạng toán học đóng; trong các trường hợp khác, nó có thể là một hàm tuyến tính từng đoạn. Việc xác định hàm mục tiêu đôi khi có thể yêu cầu một bảng dữ liệu kỹ thuật (ví dụ: bảng trạng thái hơi nước) hoặc có thể yêu cầu một thí nghiệm. Trong một số trường hợp, tham số thiết kế chỉ lấy giá trị nguyên. Một ví dụ là số răng của một bộ truyền bánh răng hoặc số lượng bu lông trên một mặt bích. Đôi khi các thông số thiết kế chỉ có hai nghĩa - có hoặc không. Các thông số định tính, chẳng hạn như sự hài lòng của người mua đã mua sản phẩm, độ tin cậy, tính thẩm mỹ, rất khó tính đến trong quá trình tối ưu hóa, vì chúng hầu như không thể mô tả một cách định lượng. Tuy nhiên, dù hàm mục tiêu được trình bày dưới dạng nào thì nó cũng phải là hàm rõ ràng của các tham số thiết kế.

Một số bài toán tối ưu hóa yêu cầu đưa vào nhiều hơn một hàm mục tiêu. Đôi khi một trong số chúng có thể không tương thích với cái kia. Một ví dụ là thiết kế máy bay, trong đó yêu cầu đồng thời về độ bền tối đa, trọng lượng tối thiểu và chi phí tối thiểu. Trong những trường hợp như vậy, người thiết kế phải đưa ra một hệ thống ưu tiên và gán một hệ số không thứ nguyên nhất định cho từng hàm mục tiêu. Kết quả là, một “hàm thỏa hiệp” xuất hiện, cho phép sử dụng một hàm mục tiêu tổng hợp trong quá trình tối ưu hóa.

Tìm kiếm tối thiểu và tối đa. Một số thuật toán tối ưu hóa được thiết kế để tìm mức tối đa, một số thuật toán khác - để tìm mức tối thiểu. Tuy nhiên, bất kể loại bài toán cực trị nào đang được giải, bạn có thể sử dụng cùng một thuật toán, vì bài toán cực tiểu có thể dễ dàng chuyển thành bài toán tìm kiếm cực đại bằng cách đảo ngược dấu của hàm mục tiêu. Kỹ thuật này được minh họa trong hình 3.

Hình 3. Khi dấu của hàm mục tiêu thay đổi ngược lại trong một bài toán cực tiểu, nó sẽ biến nó thành một bài toán cực đại.

Không gian thiết kế. Đây là tên của khu vực được xác định bởi tất cả n thông số thiết kế. Không gian thiết kế không lớn như người ta tưởng, vì nó thường bị giới hạn bởi một số điều kiện liên quan đến bản chất vật lý của vấn đề. Những hạn chế có thể mạnh đến mức vấn đề sẽ không có một giải pháp thỏa đáng nào. Các ràng buộc được chia thành hai nhóm: ràng buộc – bình đẳng và ràng buộc – bất bình đẳng.

Ràng buộc bình đẳng là sự phụ thuộc giữa các tham số thiết kế phải được tính đến khi tìm giải pháp. Chúng phản ánh các quy luật tự nhiên, kinh tế, luật pháp, thị hiếu phổ biến và tính sẵn có vật liệu cần thiết. Số lượng ràng buộc - đẳng thức có thể là bất kỳ. Họ trông giống như

C1(X1, X2, X3, . . ., Xn) = 0,

C2(X1,X2,X3,..,Xn) = 0,

..……………………………..

Cj(X1, X2, X 3,..., Xn) = 0.

Ràng buộc bất bình đẳng là một loại ràng buộc đặc biệt được thể hiện bằng bất đẳng thức. TRONG trường hợp chung có thể có bao nhiêu tùy thích và tất cả chúng đều có dạng

z1 ?r1(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z1

z2 ?r2(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z2

………………………………………

zk ?rk(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Zk

Cần lưu ý rằng rất thường xuyên do hạn chế giá trị tối ưu hàm mục tiêu không đạt được khi bề mặt của nó có độ dốc bằng 0. Thường Quyết định tốt nhất tương ứng với một trong các ranh giới của khu vực thiết kế.

Hạn chế trực tiếp và chức năng. Hạn chế trực tiếp có dạng

xni ? xi? xin chào tôi? ,

trong đó xнi, xвi - tối thiểu và tối đa giá trị hợp lệ tham số điều khiển thứ i; n là chiều không gian của các tham số được điều khiển. Ví dụ, đối với nhiều đối tượng, tham số của các phần tử không thể âm: xнi ? 0 (kích thước hình học, điện trở, khối lượng, v.v.).

Theo quy tắc, các hạn chế về chức năng thể hiện các điều kiện để thực hiện các tham số đầu ra không có trong hàm đích. Hạn chế về chức năng có thể là:

• 1) loại đẳng thức
• w(X) = 0; (2.1)
• 2) loại bất đẳng thức

tz (X) > 0, (2.2)

trong đó w(X) và q(X) là các hàm vectơ.

Các hạn chế trực tiếp và chức năng tạo thành khu vực tìm kiếm được phép:

ХД = (Х | w(Х) = 0, ц (Х)>0, xi › xнi ,

xi ‹ xвi cho tôi ? ).

Nếu các hạn chế (2.1) và (2.2) trùng với các điều kiện hiệu suất thì vùng cho phép còn được gọi là vùng hiệu suất XP.

Bất kỳ điểm X nào thuộc CD đều là nghiệm khả thi của bài toán. Thông thường, tổng hợp tham số được đặt ra như một bài toán xác định bất kỳ giải pháp khả thi nào. Tuy nhiên, điều quan trọng hơn nhiều là giải quyết vấn đề tối ưu hóa - tìm ra giải pháp tối ưu trong số các giải pháp khả thi.

Tối ưu cục bộ Đây là tên của điểm trong không gian thiết kế mà tại đó hàm mục tiêu có giá trị cao nhất so với giá trị của nó tại tất cả các điểm khác trong vùng lân cận của nó. Hình 4 cho thấy hàm mục tiêu một chiều có hai điểm tối ưu cục bộ. Thông thường, không gian thiết kế chứa nhiều tối ưu cục bộ và phải cẩn thận để không nhầm lẫn cái đầu tiên với giải pháp tối ưu cho vấn đề.

Hình 4. Một hàm mục tiêu tùy ý có thể có một số tối ưu cục bộ.

Tối ưu toàn cục là giải pháp tối ưu cho toàn bộ không gian thiết kế. Nó tốt hơn tất cả các giải pháp khác tương ứng với tối ưu cục bộ và đó là điều mà nhà thiết kế đang tìm kiếm. Có thể có một số điểm tối ưu toàn cục bằng nhau nằm trong các bộ phận khác nhau không gian thiết kế. Điều này cho phép bạn chọn tùy chọn tốt nhất trong số các phương án bằng nhau lựa chọn tối ưu bằng hàm mục tiêu. TRONG trong trường hợp này người thiết kế có thể chọn một phương án một cách trực quan hoặc dựa trên sự so sánh các phương án thu được.

Lựa chọn các tiêu chí. Vấn đề chính trong việc thiết lập các bài toán cực trị là việc xây dựng hàm mục tiêu. Khó khăn trong việc lựa chọn hàm mục tiêu nằm ở chỗ, bất kỳ đối tượng kỹ thuật nào ban đầu đều có tính chất vectơ là tiêu chí tối ưu (đa tiêu chí). Hơn nữa, theo quy luật, việc cải thiện một trong các tham số đầu ra sẽ dẫn đến sự suy giảm ở tham số kia, vì tất cả các tham số đầu ra đều là hàm của cùng các tham số được kiểm soát và không thể thay đổi độc lập với nhau. Các tham số đầu ra như vậy được gọi là tham số xung đột.

Phải có một hàm mục tiêu (nguyên tắc duy nhất). Rút gọn một bài toán nhiều tiêu chí về một bài toán một tiêu chí được gọi là tích chập của một tiêu chí vectơ. Nhiệm vụ tìm cực trị của nó được quy giản thành một bài toán lập trình toán học. Tùy thuộc vào cách các tham số đầu ra được chọn và kết hợp trong hàm chất lượng vô hướng, các tiêu chí một phần, cộng, nhân, cực tiểu, thống kê và các tiêu chí khác được phân biệt. TRONG điều khoản tham chiếuđối với việc thiết kế một đối tượng kỹ thuật, các yêu cầu đối với các thông số đầu ra chính được chỉ định. Các yêu cầu này được thể hiện dưới dạng dữ liệu số cụ thể, phạm vi biến đổi, điều kiện vận hành và các giá trị tối thiểu hoặc tối đa có thể chấp nhận được. Mối quan hệ bắt buộc giữa các thông số đầu ra và yêu cầu kỹ thuật (TR) được gọi là điều kiện thực hiện và được viết dưới dạng:

ừ< TTi , i О ; yi >TTj, j O;

năm = TTr ± ?năm; r Ô.

trong đó yi, yj, yr - tập hợp các tham số đầu ra;

TTi, TTj, TTr - giá trị định lượng yêu cầu của các thông số đầu ra tương ứng theo quy định kỹ thuật;

Năm- sức chịu đựng Tham số đầu ra thứ r từ giá trị TTr được chỉ định trong thông số kỹ thuật.

Điều kiện hoạt động có tầm quan trọng quyết định trong sự phát triển thiết bị kỹ thuật, vì nhiệm vụ thiết kế là chọn một giải pháp thiết kế trong đó cách tốt nhất tất cả các điều kiện hoạt động được đáp ứng trong toàn bộ phạm vi thay đổi thông số bên ngoài và sau khi đáp ứng tất cả các yêu cầu của thông số kỹ thuật.

Tiêu chí cụ thể có thể được sử dụng trong trường hợp trong số các tham số đầu ra có thể xác định được một tham số chính yi(X), tham số này phản ánh đầy đủ nhất tính hiệu quả của đối tượng được thiết kế. Tham số này được lấy làm hàm mục tiêu. Ví dụ về các thông số như vậy là: đối với cơ sở năng lượng - năng lượng, đối với máy công nghệ - năng suất, đối với phương tiện giao thông- dung tải. Đối với nhiều đối tượng kỹ thuật, tham số này là chi phí. Các điều kiện hoạt động của tất cả các tham số đầu ra khác của đối tượng được gọi là các hạn chế chức năng. Tối ưu hóa dựa trên công thức như vậy được gọi là tối ưu hóa theo một tiêu chí cụ thể.

Ưu điểm của phương pháp này là tính đơn giản; nhược điểm đáng kể là chỉ có thể đạt được dự trữ hiệu suất lớn cho tham số chính, được chấp nhận làm hàm mục tiêu và các tham số đầu ra khác sẽ không có dự trữ nào cả.

Tiêu chí phụ gia có trọng số được sử dụng khi các điều kiện hoạt động cho phép phân biệt hai nhóm thông số đầu ra. Nhóm đầu tiên bao gồm các tham số đầu ra, các giá trị của chúng sẽ được tăng lên trong quá trình tối ưu hóa y+i(X) (hiệu suất, khả năng chống ồn, xác suất hoạt động không bị lỗi, v.v.), nhóm thứ hai bao gồm các tham số đầu ra, các giá trị của nó phải giảm y-i (X) ( mức tiêu thụ nhiên liệu, thời gian của quá trình nhất thời, vượt mức, dịch chuyển, v.v.). Việc kết hợp một số tham số đầu ra, thường có các kích thước vật lý khác nhau, thành một hàm mục tiêu vô hướng đòi hỏi phải chuẩn hóa sơ bộ các tham số này. Các phương pháp chuẩn hóa tham số sẽ được thảo luận dưới đây. Hiện tại, chúng ta sẽ giả sử rằng tất cả y(X) đều không thứ nguyên và trong số chúng không có cái nào tương ứng với các điều kiện hiệu suất như đẳng thức. Khi đó, đối với trường hợp cực tiểu hóa hàm mục tiêu thì tích chập của tiêu chuẩn vectơ sẽ có dạng

trong đó aj>0 là hệ số trọng số xác định mức độ quan trọng của tham số đầu ra thứ j (thường aj được người thiết kế chọn và không đổi trong quá trình tối ưu hóa).

Hàm mục tiêu ở dạng (2.1), biểu thị tiêu chí cộng, cũng có thể được viết trong trường hợp khi tất cả hoặc các điều kiện thực hiện chính có dạng đẳng thức. Khi đó hàm mục tiêu

xác định xấp xỉ căn bậc hai của yj(X) với các yêu cầu kỹ thuật đã cho TTj.

Tiêu chí nhân có thể được sử dụng trong trường hợp không có điều kiện thực hiện kiểu đẳng thức và các tham số đầu ra không thể chấp nhận giá trị 0. Khi đó hàm mục tiêu nhân cần cực tiểu có dạng

Một trong những hạn chế đáng kể nhất của cả tiêu chí cộng và tiêu chí nhân là không tính đến các yêu cầu kỹ thuật đối với các tham số đầu ra khi xây dựng bài toán.

Tiêu chí dạng hàm được sử dụng khi tác vụ được thiết lập phù hợp nhất với đặc tính (tham chiếu) yCT(X, y) đã cho với đặc tính đầu ra tương ứng y(X, y) của đối tượng được thiết kế, trong đó y là một biến nào đó, ví dụ: tần số, thời gian, biến pha đã chọn. Những nhiệm vụ này bao gồm: thiết kế một hệ thống điều khiển tự động cung cấp loại quy trình nhất thời cần thiết cho tham số được điều khiển; xác định các tham số của mô hình bóng bán dẫn phù hợp tối đa với lý thuyết của nó đặc tính dòng điện-điện áp với những cái thử nghiệm; tìm kiếm các tham số của tiết diện dầm, các giá trị dẫn đến sự trùng khớp tốt nhất của biểu đồ ứng suất đã cho với biểu đồ ứng suất đã tính toán, v.v.

Việc sử dụng một tiêu chí tối ưu hóa cụ thể trong những trường hợp này nhằm thay thế các đặc tính liên tục bằng một tập hợp hữu hạn các điểm nút và chọn một trong các hàm mục tiêu sau để được giảm thiểu:

trong đó p là số điểm nút uj trên trục của biến u; aj - hệ số trọng số, giá trị của chúng càng lớn thì độ lệch y(X, φj) - yTT(X, φj) càng nhỏ phải lấy tại điểm thứ j.

Tiêu chí Maximin (minimax) cho phép đạt được một trong những mục tiêu của thiết kế tối ưu - sự hài lòng tốt nhất về điều kiện hoạt động.

Hãy giới thiệu đánh giá định lượng mức độ đáp ứng của điều kiện hiệu năng thứ j, chúng ta ký hiệu nó bằng zj và gọi nó là dự trữ hiệu năng của tham số yj. Việc tính toán lề cho tham số đầu ra thứ j có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau, ví dụ:

trong đó aj là hệ số trọng số; yjnom - giá trị danh nghĩa của tham số đầu ra thứ j; dj là giá trị đặc trưng cho độ phân tán của tham số đầu ra thứ j.

Ở đây người ta giả định rằng tất cả các quan hệ được quy giản về dạng yi< TТj. Если yi >TTj, rồi -yj< -TТj . Следует принимать аj >1 (giá trị được đề xuất ​​5 ? aj ? 20), nếu muốn đạt được thứ j yêu cầu kỹ thuật với dung sai cho trước, tức là yj = TTj ± ?yj; aj=l, nếu cần đạt được ước lượng zj lớn nhất có thể.

Chất lượng hoạt động hệ thống kỹ thuậtđược đặc trưng bởi một vectơ các tham số đầu ra và do đó, một vectơ Z=(zm,zm,…,zm). Do đó, hàm mục tiêu phải được hình thành dưới dạng hàm μ(Z) nào đó của vectơ đánh giá. Ví dụ: nếu hàm mục tiêu chỉ xem xét việc dự trữ tham số đầu ra đó tại một điểm X nhất định là kém nhất xét trên quan điểm đáp ứng các yêu cầu của thông số kỹ thuật, thì

trong đó m là số lượng dự trữ năng lực làm việc.

Bây giờ, điều tự nhiên là đặt ra vấn đề chọn chiến lược tìm kiếm X để tối đa hóa lượng dự trữ tối thiểu, tức là

trong đó HD là khu vực có thể tìm kiếm.

Tiêu chí tối ưu hóa với hàm mục tiêu (2.6) được gọi là tiêu chí cực đại.

Tiêu chí thống kê. Tối ưu hóa sử dụng tiêu chí thống kê nhằm đạt được xác suất hiệu suất P tối đa. Xác suất này được lấy làm hàm mục tiêu. Thế thì chúng ta có vấn đề

Chuẩn hóa các tham số được kiểm soát và đầu ra. Không gian của các tham số được kiểm soát là số liệu. Vì vậy, khi chọn hướng và giá trị của các bước tìm kiếm, cần phải đưa ra một chuẩn mực nào đó, xác định bằng khoảng cách giữa hai điểm. Cái sau giả định rằng tất cả các tham số được kiểm soát có cùng thứ nguyên hoặc không thứ nguyên.

Khả thi nhiều cách khác nhau khẩu phần. Ví dụ, hãy xem xét phương pháp chuẩn hóa logarit, ưu điểm của phương pháp này là chuyển từ mức tăng tuyệt đối của tham số sang mức tương đối. Trong đó trường hợp tôi tham số điều khiển ui được chuyển đổi thành xi không thứ nguyên như sau:

trong đó oi là hệ số, về mặt số học bằng một tham số ui.

Việc chuẩn hóa các tham số đầu ra có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các hệ số trọng số, như trong tiêu chí phụ gia, hoặc bằng cách chuyển từ уj sang dự trữ hiệu suất zj theo (2.5).

Hàm mục tiêu là hàm có một số biến mà việc đạt được mức tối ưu phụ thuộc trực tiếp vào. Nó cũng có thể hoạt động như một số biến đặc trưng cho một đối tượng cụ thể. Có thể nói rằng, về bản chất, nó cho thấy chúng tôi đã tiến bộ như thế nào để đạt được mục tiêu của mình.

Một ví dụ về các chức năng như vậy là tính toán cường độ và trọng lượng của kết cấu, công suất lắp đặt, khối lượng sản xuất, chi phí vận chuyển và các chức năng khác.

Hàm mục tiêu cho phép bạn trả lời một số câu hỏi:

Việc này việc kia có ích lợi hay không;

Phong trào có đi đúng hướng không?

Sự lựa chọn đã được thực hiện chính xác như thế nào, v.v.

Nếu chúng ta không có cơ hội tác động đến các tham số của hàm, thì có thể nói rằng chúng ta không thể làm bất cứ điều gì, ngoại trừ có lẽ chỉ phân tích mọi thứ. Nhưng để có thể thay đổi một cái gì đó, thường có các tham số hàm có thể thay đổi. nhiệm vụ chinh- điều này nhằm thay đổi các giá trị thành giá trị mà tại đó hàm trở nên tối ưu.

Các hàm mục tiêu không phải lúc nào cũng được trình bày dưới dạng công thức. Đây có thể là một cái bàn chẳng hạn. Ngoài ra, điều kiện có thể ở dạng một số hàm mục tiêu. Ví dụ: nếu bạn muốn đảm bảo độ tin cậy tối đa, chi phí tối thiểu và tiêu thụ vật liệu tối thiểu.

Các bài toán tối ưu hóa phải có điều kiện ban đầu quan trọng nhất - hàm mục tiêu. Nếu làm như vậy thì chúng ta có thể cho rằng tối ưu hóa không tồn tại. Nói cách khác, nếu không có mục tiêu thì không có cách nào để đạt được nó, điều kiện càng kém thuận lợi hơn nhiều.

Nhiệm vụ tối ưu hóa có thể có điều kiện hoặc vô điều kiện. Loại đầu tiên liên quan đến các hạn chế, nghĩa là một số điều kiện nhất định khi đặt vấn đề. Loại thứ hai là tìm mức tối đa hoặc tại thông số hiện có. Thông thường những vấn đề như vậy liên quan đến việc tìm kiếm mức tối thiểu.

Theo cách hiểu cổ điển về tối ưu hóa, các giá trị tham số như vậy được chọn để hàm mục tiêu thỏa mãn kết quả mong muốn. Nó cũng có thể được mô tả như là quá trình lựa chọn nhiều nhất lựa chọn tốt nhất của điều có thể. Ví dụ: chọn phương án phân bổ nguồn lực tốt nhất, phương án thiết kế, v.v.

Có một thứ gọi là tối ưu hóa không đầy đủ. Nó có thể hình thành vì nhiều lý do. Ví dụ:

Số lượng hệ thống đạt đến điểm tối đa là có hạn (độc quyền hoặc độc quyền nhóm đã được thiết lập);

Không có độc quyền nhưng không có nguồn lực (thiếu trình độ trong bất kỳ cuộc thi nào);

Sự vắng mặt của chính nó, hay đúng hơn là “sự thiếu hiểu biết” về nó (một người mơ về một điều gì đó người phụ nữ xinh đẹp, nhưng không biết liệu thứ đó có tồn tại trong tự nhiên hay không), v.v.

Trong điều kiện quan hệ thị trường, hoạt động bán hàng và hoạt động sản xuấtĐối với các công ty, doanh nghiệp, cơ sở để ra quyết định là thông tin về thị trường và tính hợp lệ của quyết định này được kiểm tra khi tham gia thị trường với sản phẩm, dịch vụ tương ứng. Trong trường hợp này, điểm khởi đầu là nghiên cứu nhu cầu của người tiêu dùng. Để tìm giải pháp, hàm mục tiêu tiêu dùng được thiết lập. Nó cho thấy lượng hàng hóa được tiêu thụ và mức độ thỏa mãn nhu cầu của người tiêu dùng cũng như mối quan hệ giữa chúng.

Được tập trung hóa, nó thực hiện các chức năng sau: chức năng điều tiết giá giữa mới và sản phẩm nối tiếp chức năng hỗ trợ có mục tiêu và liên tục - quá trình sản xuất thiết bị mới bằng vốn tiền tệ; chức năng phân phối lại vốn để phát triển thiết bị mới giữa các doanh nghiệp tham gia phát triển ở các mức độ khác nhau; công nghệ mới.  

Đối với chi tiêu nhà nước, chúng đại diện cho các quỹ ủy thác của các quỹ được nhà nước phân bổ và sử dụng thực tế để thực hiện các chức năng của mình. Các chức năng chính của chi tiêu có mục tiêu bao gồm

Bây giờ chúng ta chuyển sang mô tả các hàm mục tiêu. Hàm mục tiêu PM

Chức năng mục tiêu. Hàm mục tiêu xác định vấn đề phải được giải quyết trong quá trình tối ưu hóa. Ví dụ, trong chương này chúng ta quan tâm đến việc giảm thiểu rủi ro của một danh mục tài sản. Hàm mục tiêu điển hình cho danh mục tài sản rủi ro sẽ là

CHỨC NĂNG MỤC TIÊU là hàm kết nối mục tiêu (biến được tối ưu hóa) và các biến được kiểm soát trong bài toán tối ưu hóa.

Biểu thức đầu tiên được gọi là hàm mục tiêu (bằng tích của lợi nhuận trên một đơn vị sản phẩm c, - bằng sản lượng của sản phẩm này Xj). Các phương trình còn lại tạo thành các ràng buộc tuyến tính, có nghĩa là mức tiêu thụ nguyên liệu thô, bán thành phẩm, chất lượng sản phẩm, năng lượng, tức là tài nguyên ban đầu, không được vượt quá các giá trị định trước / /. Hệ số a,7 là các giá trị không đổi thể hiện mức tiêu thụ tài nguyên cho/và sản phẩm. Vấn đề có thể được giải quyết nếu các biến không âm và số lượng ẩn số lớn hơn số lượng ràng buộc. Nếu điều kiện cuối cùng không được thỏa mãn thì bài toán không nhất quán.

Là hàm mục tiêu, chúng ta lấy việc sản xuất xăng A-76

Hàm mục tiêu có dạng

Vì chi phí biến đổi phụ thuộc vào khối lượng sản xuất nên chênh lệch giữa giá và chi phí biến đổi phải được tối đa hóa. Các chi phí cố định có điều kiện (khấu hao, chi phí sửa chữa hiện tại, tiền lương cộng dồn, chi phí chung của cửa hàng và nhà máy) không được đưa vào mô hình và được trừ khỏi hàm mục tiêu thu được trên máy tính. Nếu thời gian vận hành của quá trình cài đặt cho mỗi tùy chọn được coi là không xác định thì chi phí biến đổi sẽ được tính cho một ngày hoạt động của nó.

Điều kiện (4.56) đặc trưng cho hàm mục tiêu, chênh lệch lớn nhất giữa giá bán buôn và giá xăng thương phẩm.

Hàm mục tiêu để giải quyết vấn đề này có thể là lợi nhuận tối đa cho doanh nghiệp (4.52) hoặc khối lượng sản xuất tối đa các sản phẩm có thể bán được trên thị trường tính theo giá trị (4.53)

Mô hình tính giá thành đưa ra đồng thời là mô hình tính lợi nhuận của doanh nghiệp. Tuy nhiên, tác dụng chính của việc thực hiện tính toán chi phí trên máy tính là khả năng sử dụng kết quả tính toán này để tối ưu hóa chương trình sản xuất của doanh nghiệp. Trong trường hợp này, lợi nhuận tối đa từ việc bán sản phẩm có thể được coi là hàm mục tiêu. Khi tối ưu hóa một chương trình sản xuất cần tối đa hóa một hàm dạng

Ưu điểm và nhược điểm của cấu trúc lấy khách hàng làm trung tâm nhìn chung giống như cấu trúc sản phẩm, do có sự khác biệt liên quan đến các chức năng mục tiêu khác nhau.

Do cường độ năng lượng tích hợp được xác định có tính đến chi phí năng lượng trực tiếp và gián tiếp (thông qua các nguồn lực vật chất, kỹ thuật và lao động), nên việc giảm cường độ năng lượng của từng tài nguyên tiêu thụ và sử dụng cũng được tính đến trong tổng mức tiết kiệm kinh tế. Cường độ năng lượng của từng hiệu ứng mục tiêu (sản phẩm, dịch vụ) được tính bằng tổng cường độ năng lượng ở các giai đoạn hình thành. Ví dụ, cường độ năng lượng của đường ống bao gồm cường độ năng lượng của việc khai thác quặng, luyện thép, cán tấm và sản xuất đường ống và được đo bằng kilôgam nhiên liệu tiêu chuẩn trên 1 rúp. Giá trị của nó. Các hình thức kế toán hiện tại và phương pháp đề xuất giúp xác định các chỉ số này cho bất kỳ sản phẩm, dịch vụ nào, v.v. Vì vậy, để tiết kiệm năng lượng, cần giảm mức tiêu thụ các loại nguồn lực sản xuất trong khi vẫn đạt được hiệu quả mục tiêu nhất định. Những nguồn lực này và tác động mục tiêu cuối cùng được đo lường bằng tiền tệ. Chi phí cho chúng phụ thuộc vào quy mô công nghệ được sử dụng, mức độ phức tạp của phương tiện kỹ thuật mà chức năng mục tiêu chính được thực hiện - quy trình công nghệ mục tiêu, số lượng quy mô và phân nhánh chức năng phụđảm bảo thực hiện chức năng chính cũng như trình độ thiết bị, công nghệ được sử dụng.

Biểu thức (I) thường được gọi là hệ phương trình và bất đẳng thức ban đầu và biểu thức (II) - hàm của bài toán quy hoạch tuyến tính hoặc hàm đích. Hàm mục tiêu là một tiêu chí tối ưu. Nhóm bất bình đẳng thứ nhất của hệ thống (I) giúp tính toán những hạn chế về năng lực hiện có của các doanh nghiệp sản xuất nhiên liệu ở đầu thời kỳ quy hoạch. Nhóm bất đẳng thức thứ hai xét đến

Đến M. m. ở phía tây. Và. bao gồm các phần sau đây của toán học ứng dụng, lập trình toán học, lý thuyết trò chơi, lý thuyết xếp hàng, lý thuyết lập kế hoạch, lý thuyết quản lý hàng tồn kho và lý thuyết hao mòn và thay thế thiết bị. Lập trình toán học (hoặc tối ưu) phát triển lý thuyết và phương pháp giải các bài toán cực trị có điều kiện là chính. một phần của bộ máy chính thức để phân tích các vấn đề quản lý, quy hoạch và thiết kế khác nhau. Đóng một vai trò đặc biệt trong các vấn đề tối ưu hóa quy hoạch ngoài trời. kh-va và quản lý nronz-vom. Các vấn đề về lập kế hoạch kinh tế và quản lý công nghệ thường bắt nguồn từ việc lựa chọn một bộ số (được gọi là tham số kiểm soát) cung cấp mức tối ưu của một hàm cụ thể (hàm mục tiêu hoặc chỉ số chất lượng lời giải) dưới sự hạn chế của loại đẳng thức và bất đẳng thức được xác định bởi các điều kiện hoạt động của hệ thống. Tùy thuộc vào tính chất của các hàm xác định chỉ tiêu chất lượng và các hạn chế của bài toán, toán học. lập trình được chia thành tuyến tính và phi tuyến. Các bài toán trong đó hàm mục tiêu là tuyến tính và các điều kiện được viết dưới dạng các đẳng thức và bất đẳng thức tuyến tính, tạo thành chủ đề của một chương trình tuyến tính. Các bài toán trong đó chỉ báo chất lượng của lời giải hoặc một số hàm xác định các ràng buộc là phi tuyến, thuộc về chương trình phi tuyến [) onan p go. Ngược lại, lập trình phi tuyến được chia thành lập trình lồi và lập trình không lồi. Tùy thuộc vào việc các tham số ban đầu đặc trưng cho các điều kiện của bài toán là các số được xác định rõ hay các biến ngẫu nhiên trong toán học. lập kế hoạch, có sự khác biệt giữa phương pháp quản lý và lập kế hoạch trong điều kiện thông tin đầy đủ và không đầy đủ. Các phương pháp thiết lập và giải các bài toán cực trị có điều kiện, trong đó các điều kiện chứa các tham số ngẫu nhiên, là chủ đề của lập trình ngẫu nhiên.

Mục tiêu của mô hình là tối đa hóa tổng thu nhập ròng chiết khấu (tối đa lợi nhuận) cho một tập hợp các mỏ và hệ thống đường ống dẫn khí dưới những hạn chế về công nghệ và kinh tế nhất định. Mô hình cho phép sử dụng các tiêu chí thay thế - giảm thiểu tổng sai lệch có trọng số so với một giá trị nhất định của hàm mục tiêu (lập trình mục tiêu có thể được thực hiện cho một mức đầu tư nhất định, cho một mức sản xuất nhất định, cho một mức độ nhất định); giá trị của ĐPV.

Sự thành công của một nữ doanh nhân như vậy phụ thuộc vào mức độ chính quyền nhận ra những lĩnh vực tiềm năng có thể mang lại sự hài lòng trong công việc. Người ta nhận thấy rằng phụ nữ xử lý tốt các công việc đòi hỏi giao tiếp với mọi người, nhưng nếu đây cũng là một hoạt động trí tuệ - giáo viên, nhà báo, hướng dẫn viên du lịch, v.v. - thì hiệu quả công việc cao và đánh giá tích cực của họ gần như chắc chắn sẽ trùng khớp . Ở Nhật Bản, phụ nữ hiếm khi được học về kỹ thuật và khoa học tự nhiên, đặc biệt là trong các chuyên ngành hiện đại, hứa hẹn nhất, tuy nhiên, việc đưa họ vào các nhóm mục tiêu di động rộng rãi để giải quyết các vấn đề phi tiêu chuẩn hóa ra lại mang lại hiệu quả. Sự khéo léo của trí óc phụ nữ đã được chú ý từ lâu và ở mọi quốc gia. Ở Nhật Bản, khi muốn đưa ra bằng chứng rõ ràng về điều này, họ nhớ đến cuộc thi do hãng nổi tiếng “Aji no Moto” công bố. Cô đưa ra giải thưởng tiền mặt lớn cho những lời khuyên về cách tăng doanh số bán đồ gia vị của mình, thứ trông giống như muối và được bán giống như máy lắc muối. Người ta viết luận và đem vào đủ loại kiến ​​thức khoa học. Nhưng người chiến thắng là một bà nội trợ, người có câu trả lời chỉ gói gọn trong một dòng: “Hãy làm cho các lỗ trên lọ muối lớn hơn”.

Nếu chỉ có một yếu tố hạn chế (ví dụ: máy khan hiếm), có thể tìm ra giải pháp bằng cách sử dụng công thức đơn giản(xem link ở đầu bài viết). Nếu có một số yếu tố hạn chế, phương pháp này được sử dụng lập trình tuyến tính.

Lập trình tuyến tính là tên được đặt cho sự kết hợp của các công cụ được sử dụng trong khoa học quản lý. Phương pháp này giải quyết vấn đề phân bổ nguồn lực khan hiếm giữa các hoạt động cạnh tranh nhằm tối đa hóa hoặc giảm thiểu một số Giá trị kiểu số, chẳng hạn như tỷ lệ đóng góp hoặc chi phí. Trong kinh doanh, nó có thể được sử dụng trong các lĩnh vực như lập kế hoạch sản xuất cho độ phóng đại tối đa lợi nhuận, lựa chọn linh kiện để giảm thiểu chi phí, lựa chọn danh mục đầu tư để tối đa hóa lợi nhuận, tối ưu hóa việc vận chuyển hàng hóa để giảm khoảng cách, phân công nhân sự để tối đa hóa hiệu quả công việc và sắp xếp công việc để tiết kiệm thời gian.

Tải ghi chú theo dạng, hình ảnh theo dạng

Lập trình tuyến tính liên quan đến việc xây dựng mô hình toán học vấn đề đang được xem xét. Sau đó, giải pháp có thể được tìm thấy bằng đồ họa (được thảo luận bên dưới), với sử dụng Excel(sẽ được xem xét riêng) hoặc các chương trình máy tính chuyên dụng.

Có lẽ việc xây dựng một mô hình toán học là phần khó nhất của quy hoạch tuyến tính, đòi hỏi phải chuyển bài toán đang xét thành một hệ biến, phương trình và bất đẳng thức - một quá trình cuối cùng phụ thuộc vào kỹ năng, kinh nghiệm, khả năng và trực giác của người người làm mô hình.

Hãy xem xét một ví dụ về xây dựng mô hình toán học của quy hoạch tuyến tính

Nikolai Kuznetsov điều hành một nhà máy cơ khí nhỏ. Tháng tới, anh dự định sản xuất hai sản phẩm (A và B), với lợi nhuận biên cụ thể ước tính lần lượt là 2.500 và 3.500 rúp.

Cả hai sản phẩm đều yêu cầu chi phí gia công, nguyên liệu thô và nhân công để sản xuất (Hình 1). Để sản xuất ra mỗi đơn vị sản phẩm A mất 3 giờ. gia công, 16 đơn vị nguyên liệu thô và 6 đơn vị lao động. Yêu cầu đơn vị tương ứng cho Sản phẩm B là 10, 4 và 6. Nicholas dự đoán rằng tháng tới anh có thể cung cấp 330 giờ gia công, 400 đơn vị nguyên liệu thô và 240 đơn vị lao động. Công nghệ của quy trình sản xuất phải được sản xuất ít nhất 12 đơn vị sản phẩm B trong bất kỳ tháng nào.

Cơm. 1. Sử dụng và cung cấp nguồn lực

Nikolai muốn xây dựng một mô hình để xác định số lượng đơn vị sản phẩm A và B mà anh phải sản xuất trong tháng tới để tối đa hóa tỷ suất lợi nhuận đóng góp của mình.

Mô hình tuyến tính có thể được xây dựng theo bốn giai đoạn.

Bước 1: Xác định biến

Có một biến mục tiêu (hãy gọi là Z) cần được tối ưu hóa, tức là tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa (ví dụ: lợi nhuận, doanh thu hoặc chi phí). Nikolay tìm cách tối đa hóa tỷ lệ đóng góp, do đó biến mục tiêu:

Z = tổng lợi nhuận cận biên (tính bằng rúp) nhận được trong tháng tiếp theo do sản xuất sản phẩm A và B.

Có một số biến chưa biết (hãy ký hiệu chúng là x 1, x 2, x 3, v.v.), giá trị của chúng phải được xác định để thu được giá trị tối ưu của hàm mục tiêu, trong trường hợp của chúng ta là tổng lợi nhuận cận biên. Tỷ lệ đóng góp này phụ thuộc vào số lượng sản phẩm A và B được sản xuất. Giá trị của các đại lượng này cần được tính toán và do đó chúng đại diện cho các biến mong muốn trong mô hình. Vì vậy, hãy biểu thị:

x 1 = số đơn vị sản phẩm A sản xuất trong tháng tiếp theo.

x 2 = số đơn vị sản phẩm B sản xuất trong tháng tiếp theo.

Điều rất quan trọng là phải xác định rõ ràng mọi thứ biến; Đặc biệt chú ý Hãy chú ý đến đơn vị đo lường và khoảng thời gian mà các biến số đề cập đến.

Sân khấu. 2. Xây dựng hàm mục tiêu

Hàm mục tiêu là một phương trình tuyến tính phải cực đại hoặc cực tiểu. Nó chứa biến mục tiêu được biểu thị bằng các biến mục tiêu, tức là Z được biểu thị dưới dạng x 1, x 2 ... dưới dạng phương trình tuyến tính.

Trong ví dụ của chúng tôi, mỗi sản phẩm A được sản xuất mang lại 2.500 rúp. lợi nhuận cận biên và khi sản xuất x 1 đơn vị sản phẩm A thì lợi nhuận cận biên sẽ là 2500 * x 1. Tương tự, lợi nhuận cận biên từ việc sản xuất x 2 đơn vị sản phẩm B sẽ là 3500 * x 2. Như vậy, tổng lợi nhuận cận biên nhận được trong tháng tiếp theo khi sản xuất x 1 đơn vị sản phẩm A và x 2 đơn vị sản phẩm B, tức là biến mục tiêu Z sẽ là:

Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Nikolay cố gắng tối đa hóa chỉ số này. Do đó, hàm mục tiêu trong mô hình của chúng tôi là:

Tối đa hóa Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Sân khấu. 3. Xác định các ràng buộc

Những hạn chế là một hệ thống Các phương trình tuyến tính và/hoặc các bất đẳng thức giới hạn giá trị của các biến cần tìm. Chúng phản ánh một cách toán học sự sẵn có của các nguồn lực, các yếu tố công nghệ, điều kiện tiếp thị và các yêu cầu khác. Các ràng buộc có thể có ba loại: “nhỏ hơn hoặc bằng”, “lớn hơn hoặc bằng”, “hoàn toàn bằng nhau”.

Trong ví dụ của chúng tôi, việc sản xuất sản phẩm A và B đòi hỏi thời gian gia công, nguyên liệu thô và lao động, đồng thời khả năng sẵn có của các nguồn lực này là hạn chế. Do đó, khối lượng sản xuất của hai sản phẩm này (nghĩa là giá trị x 1 x 2) sẽ bị hạn chế bởi thực tế là lượng tài nguyên cần thiết trong Quy trình sản xuất, không thể vượt quá những gì có sẵn. Hãy xem xét tình huống với thời gian xử lý của máy. Việc sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm A cần ba giờ gia công và nếu sản xuất x 1 đơn vị thì sẽ tiêu tốn 3 * x 1 giờ nguồn lực này. Mỗi đơn vị sản phẩm B cần 10 giờ để sản xuất và do đó nếu sản xuất x 2 sản phẩm thì cần 10 * x 2 giờ. Như vậy, tổng thời gian máy cần thiết để sản xuất ra x 1 đơn vị sản phẩm A và x 2 đơn vị sản phẩm B là 3 * x 1 + 10 * x 2. Tổng thời gian máy này không được vượt quá 330 giờ. Về mặt toán học điều này được viết như sau:

3*x1 + 10*x2 330

Những cân nhắc tương tự cũng áp dụng cho nguyên liệu thô và lao động, điều này cho phép chúng tôi viết ra thêm hai hạn chế:

16*x1 + 4*x2 400

6 * x 1 + 6 * x 2 240

Cuối cùng, cần lưu ý rằng có một điều kiện theo đó phải sản xuất ít nhất 12 đơn vị sản phẩm B:

Bước 4. Viết điều kiện không âm

Các biến được tìm kiếm không thể số âm, phải được viết dưới dạng bất đẳng thức x 1 ≥ 0 và x 2 ≥ 0. Trong ví dụ của chúng ta, điều kiện thứ hai là dư thừa, vì nó đã được xác định ở trên rằng x 2 không thể nhỏ hơn 12.

Một mô hình lập trình tuyến tính hoàn chỉnh cho nhiệm vụ sản xuất Nicholas có thể được viết là:

Tối đa hóa: Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Với điều kiện là: 3*x1 + 10*x2 330

16*x1 + 4*x2 400

6 * x 1 + 6 * x 2 240

Hãy xem xét một phương pháp đồ họa để giải một bài toán quy hoạch tuyến tính.

Phương pháp này chỉ phù hợp với các bài toán có hai biến chưa biết. Mô hình được xây dựng ở trên sẽ được sử dụng để chứng minh phương pháp.

Các trục trên biểu đồ biểu thị hai biến quan tâm (Hình 2). Không quan trọng biến nào được vẽ dọc theo trục nào. Điều quan trọng là chọn một thang đo mà cuối cùng sẽ cho phép bạn tạo một sơ đồ rõ ràng. Vì cả hai biến đều không âm nên chỉ rút ra góc phần tư thứ 1.

Cơm. 2. Trục đồ thị quy hoạch tuyến tính

Ví dụ, hãy xem xét ràng buộc đầu tiên: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330. Bất đẳng thức này mô tả diện tích bên dưới đường thẳng: 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330. Đường này cắt trục x 1 tại x 2 = 0, tức là phương trình có dạng như sau: 3 * x 1 + 10 * 0 = 330 và nghiệm của nó: x 1 = 330/3 = 110

Tương tự, chúng ta tính các điểm giao nhau với trục x1 và x2 cho tất cả các điều kiện ràng buộc:

Phạm vi giá trị chấp nhận được	Giới hạn giá trị chấp nhận được	Giao điểm với trục x 1	Giao điểm với trục x 2
3*x1 + 10*x2 330	3 * x 1 + 10 * x 2 = 330	x 1 = 110; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 33
16 * x 1 + 4 * x 2 400	16 * x 1 + 4 * x 2 = 400	x 1 = 25; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 100
6 * x 1 + 6 * x 2 240	6 * x 1 + 6 * x 2 = 240	x 1 = 40; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 40
x 2 ≥ 12	x 2 = 12	không vượt qua; chạy song song với trục x 1	x 1 = 0; x 2 = 12

Về mặt đồ họa, giới hạn đầu tiên được hiển thị trong Hình. 3.

Cơm. 3. Xây dựng vùng giải pháp khả thi cho hạn chế thứ nhất

Bất kỳ điểm nào trong tam giác đã chọn hoặc trên ranh giới của nó sẽ đáp ứng ràng buộc này. Những điểm như vậy được gọi là hợp lệ và những điểm nằm ngoài tam giác được gọi là không hợp lệ.

Tương tự, chúng tôi hiển thị các hạn chế còn lại trên biểu đồ (Hình 4). Giá trị của x 1 và x 2 trên hoặc bên trong vùng tô bóng ABCDE sẽ thỏa mãn mọi ràng buộc của mô hình. Vùng này được gọi là vùng của các giải pháp khả thi.

Cơm. 4. Vùng giải pháp khả thi cho toàn bộ mô hình

Bây giờ, trong vùng nghiệm khả thi, cần xác định các giá trị x 1 và x 2 sao cho Z cực đại hóa. Để làm được điều này, trong phương trình hàm mục tiêu:

Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

chia (hoặc nhân) các hệ số trước x 1 và x 2 cho cùng một số, sao cho các giá trị thu được nằm trong phạm vi được phản ánh trên biểu đồ; trong trường hợp của chúng tôi, phạm vi này là từ 0 đến 120; vì vậy tỷ lệ cược có thể chia cho 100 (hoặc 50):

Z = 25x1 + 35x2

sau đó gán cho Z một giá trị bằng tích các hệ số trước x 1 và x 2 (25 * 35 = 875):

875 = 25x1 + 35x2

và cuối cùng tìm giao điểm của đường thẳng với trục x 1 và x 2:

Hãy vẽ phương trình mục tiêu này trên một biểu đồ tương tự như các ràng buộc (Hình 5):

Cơm. 5. Áp dụng hàm mục tiêu (đường chấm đen) cho vùng lời giải khả thi

Giá trị Z không đổi trong toàn bộ dòng hàm mục tiêu. Để tìm các giá trị x 1 và x 2 làm Z cực đại hóa, bạn cần di chuyển song song đường của hàm mục tiêu đến một điểm nằm trong ranh giới của miền nghiệm khả thi, nằm ở khoảng cách tối đa so với đường ban đầu. của hàm mục tiêu lên trên và sang bên phải, nghĩa là đến điểm C (Hình 6).

Cơm. 6. Đường hàm mục tiêu đạt cực đại trong vùng phương án khả thi (tại điểm C)

Chúng ta có thể kết luận rằng giải pháp tối ưu sẽ nằm ở một trong những điểm cực trị của vùng quyết định. Cái nào sẽ phụ thuộc vào độ dốc của hàm mục tiêu và vấn đề chúng ta đang giải quyết: cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa. Vì vậy, không cần thiết phải vẽ đồ thị hàm mục tiêu - tất cả những gì cần thiết là xác định giá trị của x 1 và x 2 tại mỗi điểm cực trị bằng cách đọc từ sơ đồ hoặc bằng cách giải cặp phương trình thích hợp. Sau đó, các giá trị tìm được của x1 và x2 được thế vào hàm mục tiêu để tính giá trị Z tương ứng. Giải pháp tối ưu là giá trị tại đó Z đạt được giá trị lớn nhất khi giải bài toán cực đại hóa và giá trị nhỏ nhất đạt được khi giải bài toán cực tiểu hóa.

Ví dụ, chúng ta hãy xác định giá trị của x 1 và x 2 tại điểm C. Lưu ý rằng điểm C nằm ở giao điểm của các đường thẳng: 3x 1 + 10x 2 = 330 và 6x 1 + 6x 2 = 240. Giải hệ phương trình này ta có: x 1 = 10, x 2 = 30. Kết quả tính toán cho tất cả các đỉnh của miền nghiệm khả thi được cho trong bảng:

chấm	Giá trị x 1	Giá trị x 2	Z = 2500x1 + 3500x2
MỘT	22	12	97 000
TRONG	20	20	120 000
VỚI	10	30	130 000
D	0	33	115 500
E	0	12	42 000

Vì vậy, Nikolai Kuznets phải lập kế hoạch sản xuất 10 sản phẩm A và 30 sản phẩm B trong tháng tới, điều này sẽ giúp anh ta nhận được khoản lãi cận biên 130 nghìn rúp.

Tóm tắt bản chất phương pháp đồ họa Lời giải của bài toán quy hoạch tuyến tính có thể phát biểu như sau:

1. Vẽ hai trục trên đồ thị, biểu diễn hai tham số của nghiệm; chỉ vẽ góc phần tư thứ 1.
2. Xác định tọa độ các điểm giao nhau của tất cả các điều kiện biên với các trục, thay lần lượt các giá trị x 1 = 0 và x 2 = 0 vào các phương trình điều kiện biên.
3. Vẽ các đường ràng buộc của mô hình trên biểu đồ.
4. Xác định vùng trên đồ thị (gọi là vùng quyết định khả thi) đáp ứng tất cả các ràng buộc. Nếu không có vùng như vậy thì mô hình không có nghiệm.
5. Xác định giá trị của các biến mục tiêu tại các điểm cực trị của vùng quyết định và trong mỗi trường hợp hãy tính giá trị tương ứng của biến mục tiêu Z.
6. Đối với các bài toán cực đại hóa, nghiệm là điểm tại đó Z là cực đại; đối với các vấn đề cực tiểu hóa, nghiệm là điểm tại đó Z là cực tiểu.

) để giải một số bài toán tối ưu. Thuật ngữ này được sử dụng trong lập trình toán học, nghiên cứu hoạt động, lập trình tuyến tính, lý thuyết quyết định thống kê và các lĩnh vực toán học khác chủ yếu mang tính chất ứng dụng, mặc dù mục tiêu tối ưu hóa cũng có thể là giải pháp. vấn đề toán học. Ngoài hàm mục tiêu trong bài toán tối ưu hóa, các ràng buộc có thể được xác định cho các biến dưới dạng hệ đẳng thức hoặc bất đẳng thức. Nói chung, các đối số của hàm mục tiêu có thể được xác định trên các tập hợp tùy ý.

Ví dụ

Hàm trơn và hệ phương trình

$\backslash left\backslash (\; \backslash begin(matrix)\; F\_1(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; F\_2(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash ldots\; \backslash \backslash \; F\_N(x\_1,\; x\_2,\; \backslash \; ldots,\; x\_M)\; =\; 0\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

có thể được phát biểu như một bài toán tối thiểu hoá hàm mục tiêu

$S\; =\; \backslash sum\_(j=1)^N\; F\_j^2(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; \backslash qquad\; (1)$

Nếu các hàm trơn tru thì vấn đề cực tiểu hóa có thể được giải quyết bằng phương pháp gradient.

Đối với bất kỳ hàm mục tiêu trơn nào có thể được đánh đồng với $0$đạo hàm riêng đối với tất cả các biến. Sự tối ưu của hàm mục tiêu sẽ là một trong những nghiệm của hệ phương trình như vậy. Trong trường hợp chức năng $(1)$đây sẽ là một hệ phương trình bình phương tối thiểu (LSM). Mọi quyết định hệ thống gốc là nghiệm của hệ bình phương tối thiểu. Nếu hệ ban đầu không nhất quán thì hệ bình phương nhỏ nhất, luôn có nghiệm, cho phép chúng ta thu được nghiệm gần đúng của hệ ban đầu. Số phương trình trong hệ bình phương nhỏ nhất trùng với số ẩn, điều này đôi khi tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các hệ ban đầu chung.

Lập trình tuyến tính

Cho người khác ví dụ nổi tiếng Hàm mục tiêu là hàm tuyến tính phát sinh trong các bài toán quy hoạch tuyến tính. Ngược lại với hàm mục tiêu bậc hai, tối ưu hóa hàm tuyến tính chỉ có thể thực hiện được nếu có những hạn chế dưới dạng hệ thống các đẳng thức hoặc bất đẳng thức tuyến tính.

Tối ưu hóa tổ hợp

Một ví dụ điển hình của hàm mục tiêu tổ hợp là hàm mục tiêu của bài toán nhân viên bán hàng du lịch. Hàm này bằng độ dài của chu trình Hamilton trên đồ thị. Nó được định nghĩa trên một tập hợp các hoán vị $n-1$ các đỉnh của đồ thị và được xác định bởi ma trận độ dài các cạnh của đồ thị. Giải pháp chính xác cho những vấn đề như vậy thường nằm ở việc liệt kê các lựa chọn.

Viết nhận xét về bài viết “Hàm mục tiêu”

Ghi chú

Xem thêm

Văn học

• Burak Ya., Ogirko I. V. Gia nhiệt tối ưu vỏ hình trụ với các đặc tính vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ // Mat. phương pháp và cơ lý lĩnh vực. - 1977. - Số phát hành. 5. - P.26-30

Đoạn trích mô tả hàm mục tiêu

Người chồng tội nghiệp của tôi phải chịu đựng lao động và đói khát trong các quán rượu Do Thái; nhưng tin tức tôi có được khiến tôi càng phấn khích hơn.
Chắc hẳn bạn đã từng nghe về chiến công anh hùng của Raevsky, người đã ôm hai con trai của mình và nói: “Tôi sẽ chết cùng họ, nhưng chúng tôi sẽ không dao động!” Và quả thực, dù kẻ thù mạnh gấp đôi chúng tôi nhưng chúng tôi không hề dao động. Chúng ta dành thời gian tốt nhất có thể; nhưng trong chiến tranh, cũng như trong chiến tranh. Công chúa Alina và Sophie ngồi với tôi suốt ngày, và chúng tôi, những góa phụ bất hạnh của những người chồng còn sống, đã có những cuộc trò chuyện thú vị bên lint; chỉ có bạn, bạn của tôi, đang mất tích... vân vân.
Phần lớn Công chúa Marya không hiểu hết ý nghĩa của cuộc chiến này vì vị hoàng tử già chưa bao giờ nói về nó, không thừa nhận và cười nhạo Desalles trong bữa tối khi ông nói về cuộc chiến này. Giọng điệu của hoàng tử bình tĩnh và tự tin đến mức Công chúa Marya không cần lý do cũng tin anh ta.
Trong suốt tháng bảy, hoàng tử già cực kỳ năng động và thậm chí còn hoạt bát. Ông cũng đã xây dựng một khu vườn mới và tòa nhà mới, xây dựng sân. Một điều khiến Công chúa Marya bận tâm là anh ta ngủ rất ít và đã thay đổi thói quen ngủ trong phòng làm việc, thay đổi nơi ở qua đêm hàng ngày. Hoặc là anh ta ra lệnh kê giường cắm trại của mình trong phòng trưng bày, sau đó anh ta vẫn ngồi trên ghế sofa hoặc trên ghế Voltaire trong phòng khách và ngủ gật mà không cởi quần áo, trong khi không phải mlle Bourienne mà là cậu bé Petrusha đọc cho anh ta nghe; sau đó anh ta qua đêm trong phòng ăn.
Vào ngày 1 tháng 8, Hoàng tử Andrei nhận được lá thư thứ hai. Trong bức thư đầu tiên nhận được ngay sau khi ra đi, Hoàng tử Andrei khiêm tốn cầu xin cha mình tha thứ vì những gì ông đã cho phép mình nói với mình và yêu cầu ông trả ơn cho mình. Hoàng tử già đã trả lời bức thư này bằng một lá thư trìu mến và sau bức thư này, ông đã xa lánh người phụ nữ Pháp. Bức thư thứ hai của Hoàng tử Andrei, được viết từ gần Vitebsk, sau khi người Pháp chiếm đóng nó, bao gồm: mô tả ngắn gọn toàn bộ chiến dịch với kế hoạch được nêu trong thư và những cân nhắc cho diễn biến tiếp theo của chiến dịch. Trong bức thư này, Hoàng tử Andrei trình bày với cha mình sự bất tiện khi ở gần chiến trường, ngay trên tuyến đường di chuyển của quân đội, và khuyên ông nên đến Moscow.
Trong bữa tối ngày hôm đó, đáp lại lời Desalles cho biết, nghe nói quân Pháp đã vào Vitebsk, vị hoàng tử già nhớ lại lá thư của Hoàng tử Andrei.
“Hôm nay tôi đã nhận được nó từ Hoàng tử Andrei,” anh ấy nói với Công chúa Marya, “cô chưa đọc nó à?”
“Không, thưa cha,” công chúa sợ hãi trả lời. Cô không thể đọc được một lá thư mà cô chưa từng nghe đến.
“Ông ấy viết về cuộc chiến này,” hoàng tử nói với nụ cười khinh thường quen thuộc mà ông luôn nói về cuộc chiến thực sự.
Desalles nói: “Chắc hẳn là rất thú vị. - Hoàng tử có thể biết...
- Ồ, thú vị lắm! - bà Bourienne nói.
“Đi mang nó đến cho ta,” vị hoàng tử già quay sang Mlle Bourienne. – Bạn biết đấy, trên một chiếc bàn nhỏ có chặn giấy.
Mlle Bourienne nhảy cẫng lên vui sướng.
“Ồ không,” anh hét lên, cau mày. - Thôi nào, Mikhail Ivanovich.
Mikhail Ivanovich đứng dậy và đi vào văn phòng. Nhưng vừa rời đi, vị hoàng tử già lo lắng nhìn quanh, ném khăn ăn xuống và tự mình bỏ đi.
“Họ không biết làm gì cả, họ sẽ làm mọi thứ rối tung lên.”
Trong khi anh bước đi, Công chúa Marya, Desalles, mlle Bourienne và thậm chí cả Nikolushka đều im lặng nhìn nhau. Vị hoàng tử già vội vã quay trở lại, cùng với Mikhail Ivanovich, mang theo một lá thư và một kế hoạch, mà ông không cho ai đọc trong bữa tối, đặt bên cạnh mình.