Xây dựng các đường mức của hàm z x y. Một lớp đơn giản để vẽ các đường mức của hàm lưới 2D

CHỨC NĂNG CỦA NHIỀU BIẾN

1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Đặt: z - một giá trị biến có phạm vi thay đổi R; R - trục số; D - diện tích trên mặt phẳng tọa độ R2.

Mọi ánh xạ D->R đều được gọi là hàm hai biến có miền D và được viết z = f(x;y).

Nói cách khác:

Nếu mỗi cặp (x; y) của hai biến độc lập từ miền D, theo một quy tắc nào đó, được liên kết với một biến giá trị cụ thể z từ R thì biến z được gọi là hàm của hai biến độc lập x và y có miền D và được viết

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" Height="32 src=">

Ví dụ 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" Height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg"align="left" width="110" Height="89">

Miền định nghĩa là một phần của mặt phẳng nằm bên trong đường tròn bán kính r = 3, với tâm là gốc, xem hình.

Ví dụ 3. Tìm và vẽ miền xác định của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" Height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" Height="30 src=">

2. GIẢI THÍCH HÌNH HỌC VỀ CHỨC NĂNG CỦA HAI

BIẾN

2.1.Đồ thị của hàm hai biến

Chúng ta hãy xem xét một hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gian và vùng D trên mặt phẳng xOy. Tại mỗi điểm M(x;y) từ vùng này, chúng ta khôi phục đường vuông góc với mặt phẳng xOy và vẽ giá trị z = f(x;y) trên đó. Vị trí hình học của các điểm thu được

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" Height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" Height="23 src=">

Đây là các đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = C1/2 và phương trình

x2 + y2 = R2, xem hình.

Các đường mức cho phép chúng ta biểu diễn bề mặt đang được xem xét, tạo ra các đường tròn đồng tâm khi được cắt bởi các mặt phẳng z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" Height="29"> và tìm .

Giải pháp. Hãy sử dụng phương pháp phần.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 Height=60" Height="60">– trong mặt phẳng – một parabol.

– trong mặt phẳng – parabol.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" Height="24 src="> – vòng tròn.

Bề mặt cần tìm là một paraboloid xoay.

Khoảng cách giữa hai điểm tùy ý và không gian (Euclide) được gọi là một số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 Height=24" Height="24"> được gọi vòng tròn mở bán kính có tâm tại điểm r.

Một đường tròn mở bán kính ε có tâm tại điểm A được gọi là - ε - vùng lân cận điểm A

3 nhiệm vụ

Tìm và mô tả bằng đồ họa miền định nghĩa của hàm:

Vẽ đường mức chức năng:

3. GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN

Các khái niệm cơ bản phân tích toán học, được giới thiệu cho hàm một biến, mở rộng cho hàm nhiều biến.

Sự định nghĩa:

Một hằng số A được gọi là giới hạn của hàm hai biến z = f(x;y) với x -> x0, y -> y0, nếu với bất kỳ

ε >0 tồn tại δ >0 sao cho |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Thực tế này được chỉ ra như sau:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" Height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" Height="25 src=">. Đối với hàm hai biến, xu hướng đạt đến một điểm giới hạn trên mặt phẳng có thể xảy ra theo số lượng vô hạn hướng (và không nhất thiết phải theo đường thẳng), và do đó yêu cầu về sự tồn tại giới hạn của hàm hai (hoặc nhiều) biến là “chặt chẽ” hơn so với hàm một biến.

Ví dụ 1. Tìm thấy .

Giải pháp. Hãy để mong muốn đạt đến điểm giới hạn http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 Height=24" Height="24">. Sau đó

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 Height=48" Height="48"> tùy thuộc vào.

Ví dụ 2. Tìm thấy .

Giải pháp.Đối với bất kỳ đường thẳng nào, giới hạn là như nhau:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" Height="29">. Sau đó

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" Height="21">, (phần còn lại là bằng cách tương tự).

Sự định nghĩa. Số đó được gọi là giới hạn hàm cho và , nếu cho sao cho các bất đẳng thức và bao hàm bất đẳng thức . Sự thật này được viết ngắn gọn như sau:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" Height="48">.gif" width="236" Height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" Height="60 src=">,

đâu là điểm giới hạn http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" Height="24 src="> với miền định nghĩa và để – điểm giới hạn của tập hợp, tức là điểm mà các đối số có xu hướng hướng tới X Và Tại.

Định nghĩa 1. Người ta nói chức năng liên tục tại một điểm nếu:

1) ;

2) , I E. .

Chúng ta hãy xây dựng định nghĩa về tính liên tục ở dạng tương đương..gif" width="89" Height="25 src=">.gif" width="85 Height=24" Height="24"> liên tục tại một điểm nếu đẳng thức đúng

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" Height="20 src=">.gif" width="15 Height=16" Height="16"> hãy đưa ra một mức tăng tùy ý. Hàm sẽ nhận được mức tăng một phần bằng X

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" Height="25 src="> là hàm của một biến. Tương tự,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" Height="24"> được gọi liên tục tại một điểm trên một biến (trên một biến) nếu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" Height="36">).

Định lý.Nếu chức năngđược xác định trong một lân cận nhất định của một điểm và liên tục tại điểm này, thì nó liên tục tại điểm này trong mỗi biến.

Tuyên bố ngược lại là không đúng sự thật.

VÍ DỤ Hãy chứng minh rằng hàm

liên tục tại điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 chiều cao=16" chiều cao="16">.gif" chiều rộng="57" chiều cao="24 " > tại điểm tương ứng với mức tăng http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" Height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" Height="36 src=">, có nghĩa là nó liên tục tại một điểm trong biến.

Tương tự, người ta có thể chứng minh tính liên tục tại một điểm đối với một biến.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng không có giới hạn. Cho một điểm tiếp cận một điểm dọc theo đường thẳng đi qua điểm đó. Sau đó chúng tôi nhận được

Do đó, tiếp cận điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" Height="20">, chúng ta thu được các giá trị giới hạn khác nhau. Theo đó, giới hạn của điều này hàm không tồn tại tại thời điểm đó, có nghĩa là hàm http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" Height="48 src=">

Các chỉ định khác

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" Height="55 src=">

Các chỉ định khác

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" Height="28 src=">.

Giải pháp. Chúng ta có:

Ví dụ 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" Height="51 src=">

Ví dụ 3. Tìm đạo hàm riêng của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" Height="58 src=">

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm riêng của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" Height="54 src=">

5.2. Vi phân bậc một của hàm hai biến

Vi phân riêng phần của hàm số z = f(x, y) đối với các biến x và y lần lượt được xác định bởi các công thức x(x;y) và f"y(x;y) tồn tại tại điểm ( x0;y0) và trong một số vùng lân cận của nó và liên tục tại điểm này, sau đó, bằng cách tương tự với hàm một biến, một công thức được thiết lập cho mức tăng hoàn chỉnh của hàm hai biến

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" Height="57 src=">

trong đó http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" Height="39 src=">

Nói cách khác, hàm z = f(x, y) khả vi tại điểm (x, y) nếu gia số Δz của nó tương đương với hàm:

Sự biểu lộ

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" Height="57 src=">

Xét trường hợp Δx = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" Height="24 src="> khả vi tại điểm thì nó liên tục tại điểm này.

Mệnh đề ngược lại là sai, tức là tính liên tục chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ để tính khả vi của hàm số. Hãy thể hiện nó.

VÍ DỤ Hãy tìm đạo hàm riêng của hàm http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" Height="57 src=">.

Các công thức thu được mất ý nghĩa tại điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" Height="33 src="> không có đạo hàm riêng tại điểm đó. Trong thực tế, . Hàm một biến này, như đã biết, không có đạo hàm tại điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" Height="48"> có không tồn tại tại điểm. Tương tự, không có đạo hàm riêng và hàm số , rõ ràng là liên tục tại điểm .

Vì vậy, chúng ta đã chỉ ra rằng một hàm liên tục có thể không có đạo hàm riêng. Vẫn còn phải thiết lập mối liên hệ giữa khả vi và sự tồn tại của đạo hàm riêng.

5.4. Mối quan hệ giữa khả vi và sự tồn tại của đạo hàm riêng.

Định lý 1.Điều kiện cần để có khả năng phân biệt.

Nếu hàm z = f(x, y) khả vi tại điểm M(x, y), thì nó có đạo hàm riêng theo từng biến và tại điểm M.

Định lý ngược lại không đúng, tức là sự tồn tại của đạo hàm riêng là cần thiết nhưng không phải là điều kiện đủ để tính khả vi của hàm số.

Định lý 2. Đủ điều kiện tính khác biệt. Nếu hàm z = f(x, y) có đạo hàm riêng liên tục tại điểm , thì nó khả vi tại điểm đó (và vi phân tổng của nó tại điểm này được biểu thị bằng công thức http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 chiều cao=29" chiều cao="29">

Ví dụ 2. Tính 3.021,97

3 nhiệm vụ

Tính gần đúng bằng cách sử dụng vi phân:

5.6. Quy tắc phân biệt hàm phức và hàm ẩn. Đạo hàm đầy đủ.

Trường hợp 1.

z=f(u,v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Các hàm u và v là các hàm liên tục của các đối số x, y.

Do đó, hàm z là hàm phức của các đối số x và y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Giả sử rằng các hàm f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) có đạo hàm riêng liên tục đối với tất cả các đối số của chúng.

Hãy đặt nhiệm vụ tính toán http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" Height="44 src=">.

Hãy cho đối số x một mức tăng Δx, cố định giá trị của đối số y. Khi đó hàm hai biến u= φ(x, y) và

v= φ(x, y) sẽ nhận được mức tăng một phần Δxu và Δxv. Do đó, z=f(u, v) sẽ nhận được toàn bộ số gia được xác định trong đoạn 5.2 (vi phân bậc một của hàm hai biến):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" Height="43 src=">

Nếu xu→ 0 thì Δxu → 0 và Δxv → 0 (do tính liên tục của hàm u và v). Chuyển đến giới hạn tại Δx→ 0, ta thu được:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" Height="44 src="> (*)

VÍ DỤ

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" Height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" Height="44 src=">.gif" width="45" Height="44 src=">.

Khi đó sử dụng công thức (*) ta có:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" Height="44 src=">.

Để có được kết quả cuối cùng, trong hai công thức cuối, thay vì u và v, cần thay thế lần lượt еx+y² và x2+y.

Trường hợp 2.

Các hàm x và y là các hàm liên tục.

Do đó, hàm z=f(x, y) phụ thuộc thông qua x và y vào một biến độc lập t, tức là giả sử rằng x và y không phải là các biến độc lập mà là hàm của biến độc lập t và xác định đạo hàm http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" Height="44 src=">

Hãy chia cả hai vế của đẳng thức này cho Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" Height="44 src="> (**)

Trường hợp 3.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng vai trò của biến độc lập t được thực hiện bởi biến x, nghĩa là hàm z = f(x, y) phụ thuộc vào biến độc lập x cả trực tiếp và thông qua biến y, đó là a hàm liên tục của x.

Có tính đến điều đó http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" Height="44 src="> (***)

Đạo hàm x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" Height="27 src=">, y=sin x.

Tìm đạo hàm riêng

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" Height="48 src=">.gif" width="383" Height="48 src=">

Quy tắc đã được chứng minh để lấy đạo hàm các hàm phức tạp được áp dụng để tìm đạo hàm của hàm ẩn.

Đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm định.

Giả sử rằng phương trình

định nghĩa y là hàm ẩn của x có đạo hàm

y' = φ'(x)_

Thay y = φ(x) vào phương trình F(x, y) = 0, chúng ta sẽ phải thu được đẳng thức 0 = 0, vì y = φ(x) là một nghiệm của phương trình này. Do đó, chúng ta thấy rằng hằng số 0 có thể được coi là hàm phức tạp vào x, phụ thuộc vào x cả trực tiếp và thông qua y =φ(x).

Đạo hàm theo x của hằng số này phải bằng 0; Áp dụng quy tắc (***), ta có

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" Height="41 src=">

Kể từ đây,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" Height="24"> đúng cho cả hàm này và hàm kia.

5.7. Tổng số chênh lệch của đơn hàng đầu tiên. Bất biến dạng vi phân bậc một

Hãy thay thế các biểu thức cho http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" Height="41 src="> được xác định bởi đẳng thức (*) (xem trường hợp 1 trong mệnh đề 5.6 “Quy tắc vi phân hàm phức và hàm ẩn. Đạo hàm tổng”) thành công thức vi phân tổng

Gif" width="33" Height="19 src=">.gif" width="33" Height="19 src=">.gif" width="140" Height="44 src=">

Khi đó công thức vi phân tổng bậc một của hàm hai biến có dạng

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" Height="41 src=">

So sánh đẳng thức cuối cùng với công thức vi phân bậc nhất của hàm hai biến độc lập, chúng ta có thể nói rằng biểu thức vi phân bậc một đầy đủ của hàm nhiều biến có dạng giống như nếu u và v là các biến độc lập.

Nói cách khác, dạng của vi phân thứ nhất là bất biến, nghĩa là nó không phụ thuộc vào việc các biến u và v là các biến độc lập hay phụ thuộc vào các biến khác.

VÍ DỤ

Tìm tổng vi phân cấp một của hàm phức

z=u2v3, u=x2 tội lỗi y, v=x3·ey.

Giải: Sử dụng công thức tính tổng vi phân bậc một, ta có

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x tội lỗi y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Biểu thức này có thể được viết lại như thế này

dz=(2uv3 2x sin+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 ấm+3u2v2x3 ey) dy=

Tính chất bất biến của vi phân cho phép chúng ta mở rộng quy tắc tìm vi phân của tổng, tích và thương cho trường hợp hàm nhiều biến:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" Height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" Height="41 src=">. Cái này

hàm sẽ đồng nhất bậc ba với mọi x, y và t thực. Hàm tương tự sẽ là bất kỳ đa thức đồng nhất nào theo x và y bậc ba, tức là một đa thức như vậy trong mỗi số hạng mà tổng số mũ xn bằng ba:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" Height="47 src=">

lần lượt là các hàm đồng nhất bậc 1, 0 và (- 1)..jpg" width="36" Height="15">. Thật vậy,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" Height="29 src=">

Giả sử t=1, chúng ta tìm thấy

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" Height="22 src=">

Đạo hàm một phần http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" Height="30 src=">), nói chung

Nói cách khác, chúng là hàm của các biến x và y. Do đó, đạo hàm riêng có thể được tìm lại từ chúng. Do đó, có bốn đạo hàm riêng bậc hai của hàm hai biến, vì mỗi hàm và có thể vi phân theo cả x và y.

Đạo hàm riêng thứ hai được ký hiệu như sau:

là đạo hàm cấp n; ở đây hàm z đầu tiên được lấy vi phân p lần đối với x, và sau đó là n - p lần đối với y.

Đối với hàm có số lượng biến bất kỳ, đạo hàm riêng bậc cao hơn được xác định tương tự.

P R Và tôi e r 1. Tính đạo hàm riêng bậc hai của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" Height="87 src=">

Ví dụ 2. Tính toán và http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" Height="97 src=">

Ví dụ 3. Tính toán nếu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" Height="36 src=">

x, f"y, f"xy và f"yx được xác định và liên tục tại điểm M(x, y) và trong một số lân cận của nó thì tại điểm này

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 chiều cao=28" chiều cao="28">.jpg" chiều rộng="523" chiều cao="128 src=">

Kể từ đây,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" Height="30 src=">

Giải pháp.

Các dẫn xuất hỗn hợp đều bằng nhau.

5.10. Vi phân bậc cao của hàm sốNbiến.

Tổng chênh lệch d bạn hàm của nhiều biến lần lượt là hàm của cùng một biến và chúng ta có thể xác định tổng vi phân của hàm này chức năng cuối cùng. Do đó, chúng ta sẽ thu được vi phân bậc hai d2u của hàm ban đầu và cũng sẽ là hàm của cùng các biến và vi phân hoàn chỉnh của nó sẽ dẫn chúng ta đến vi phân bậc ba d3u của hàm ban đầu, v.v.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn trường hợp hàm u=f(x, y) của hai biến x và y và giả sử rằng các biến x và y là các biến độc lập. A-tu viện

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" Height="186 src=">

Tính d3u theo cách tương tự, ta có

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" Height="61 src="> (*)-

Hơn nữa, công thức này nên được hiểu như sau: số tiền trị giá dấu ngoặc đơn, phải được nâng lên lũy thừa n, sử dụng Công thức nhị thức Newton, sau đó số mũ của y và http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" Height="21 src=" >.gif" width="22" Height="27"> với các cosin hướng cos α, cos β (α + β = 90°). Trên vectơ, xét điểm M1(x + Δx; y + Δy). Khi di chuyển từ điểm M đến điểm M1, hàm z = f(x; y) sẽ nhận toàn bộ số gia

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 Height=27" Height="27"> có xu hướng về 0 (xem hình).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" Height="54 src=">

trong đó http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" Height="41 src="> và do đó chúng tôi nhận được:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" Height="41 src="> tại Δs->0 được gọi là sản xuất

hàm nước z = f(x; y) tại điểm (x; y) theo hướng của vectơ và được ký hiệu là

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" Height="51 src="> (*)

Vì vậy, biết đạo hàm riêng của hàm số

z = f(x; y) bạn có thể tìm đạo hàm của hàm số này theo hướng bất kỳ, và mỗi đạo hàm riêng là một trường hợp đặc biệt của đạo hàm theo hướng.

VÍ DỤ Tìm đạo hàm của một hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" Height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" Height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 chiều cao=62" chiều cao="62">

Do đó, hàm z = f(x;y) tăng theo một hướng nhất định.

5. 12 . Dốc

Độ dốc của hàm z = f(x; y) là một vectơ có tọa độ là đạo hàm riêng tương ứng của hàm này

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" Height="56 src=">

tức là..jpg" width="89" Height="33 src=">

tại điểm M(3;4).

Giải pháp.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" Height="56 src=">

ĐẾN

một số chức năng

tải biểu đồ

Vẽ đồ thị hàm số trực tuyến

ngay lập tức.

Dịch vụ trực tuyến ngay lập tức vẽ một biểu đồ

Hoàn toàn được hỗ trợ Tất cả hàm toán học

Hàm lượng giác
		Cosecant	cotang	arcsin	cung cosin	Arctang	Arcsecant	Arccosecant	Arccotang

Hàm hyperbol

Khác
logarit tự nhiên	logarit	Căn bậc hai				Làm tròn xuống		làm tròn lên

tối thiểu				Tối đa
phút(biểu thức1,biểu thức2,…)				max(biểu thức1,biểu thức2,…)

Vẽ đồ thị hàm số

Xây dựng bề mặt 3D

Nhập phương trình

Chúng ta hãy xây dựng một bề mặt được xác định bởi phương trình f(x, y, z) = 0, trong đó a< x < b, c < y < d, m < z < n.

Những ví dụ khác:

y = x^2
z = x^2 + y^2
0,3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
z = sin((x^2 + y^2)^(1/2))
x^4+y^4+z^4-5.0*(x^2+y^2+z^2)+11.8=0

Chế độ xem chính tắc của đường cong và bề mặt

Bạn có thể xác định trực tuyến loại đường cong và bề mặt bậc 2 bằng giải pháp chi tiết:

Quy tắc nhập biểu thức và hàm

Biểu thức có thể bao gồm các hàm (ký hiệu được đưa ra theo thứ tự bảng chữ cái):

tuyệt đối(x) Giá trị tuyệt đối x
(mô-đun x hoặc |x|) arccos(x) Hàm số - cung cosin của xarccosh(x) Arc cosin hyperbol từ xarcsin(x) Arcsin từ xarcsinh(x) Arcsine hyperbol từ xarctan(x) Hàm - arctang của xarctgh(x) Arctangent hyperbol từ xee một số xấp xỉ bằng 2,7 kinh nghiệm(x) Hàm - số mũ của x(đó là e^x) nhật ký(x) hoặc ln(x) logarit tự nhiên của x
(Để có được log7(x), bạn cần nhập log(x)/log(7) (hoặc, ví dụ, đối với log10(x)=log(x)/log(10)) số Pi Số đó là "Pi", xấp xỉ bằng 3,14 tội lỗi(x) Hàm - Sin của xcos(x) Hàm số - Cosin của xsinh(x) Hàm - Sin hyperbol của xcos(x) Chức năng - cosin hyperbol của xmét vuông(x) Chức năng - Căn bậc hai từ xmét vuông(x) hoặc x^2 Chức năng - Hình vuông xtan(x) Hàm - Tiếp tuyến từ xtgh(x) Hàm — Hyperbol tiếp tuyến từ xcbrt(x) Chức năng - căn bậc ba của xtầng(x) Chức năng - làm tròn xđi xuống (ví dụ tầng(4.5)==4.0) ký hiệu(x) Chức năng - Ký hiệu xerf(x) Hàm lỗi (Laplace hoặc tích phân xác suất)

Các thao tác sau có thể được sử dụng trong biểu thức:

Số thực nhập như 7.5 , Không 7,5 2*x- phép nhân 3/x- phân công x^3- lũy thừa x+7- phép cộng x - 6- phép trừ

Làm thế nào để vẽ đồ thị hàm số trực tuyến trên trang web này?

ĐẾN vẽ một hàm trực tuyến, bạn chỉ cần nhập hàm của mình vào một trường đặc biệt và nhấp vào đâu đó bên ngoài nó. Sau đó, đồ thị của hàm đã nhập sẽ được vẽ tự động. Giả sử bạn muốn xây dựng một biểu đồ cổ điển của hàm "x bình phương". Theo đó, bạn cần nhập “x^2” vào trường này.

Nếu bạn cần vẽ đồ thị một số chức năngđồng thời nhấn vào nút “Thêm nữa” màu xanh lam. Sau đó, một trường khác sẽ mở ra, trong đó bạn sẽ cần nhập chức năng thứ hai. Lịch trình của nó cũng sẽ được xây dựng tự động.

Bạn có thể điều chỉnh màu sắc của các đường đồ thị bằng cách nhấp vào hình vuông nằm bên phải trường nhập hàm. Các cài đặt còn lại nằm ngay phía trên khu vực biểu đồ. Với sự trợ giúp của họ, bạn có thể đặt màu nền, sự hiện diện và màu sắc của lưới, sự hiện diện và màu sắc của các trục, sự hiện diện của các dấu, cũng như sự hiện diện và màu sắc của việc đánh số các đoạn biểu đồ. Nếu cần, bạn có thể chia tỷ lệ đồ thị hàm số bằng con lăn chuột hoặc các biểu tượng đặc biệt ở góc dưới bên phải của vùng vẽ.

Sau khi vẽ đồ thị và nhập sự thay đổi cần thiết trong cài đặt, bạn có thể tải biểu đồ bằng cách sử dụng Xanh lớn Nút "Tải xuống" ở dưới cùng. Bạn sẽ được nhắc lưu đồ thị hàm số dưới dạng hình ảnh PNG.

Tại sao cần vẽ đồ thị hàm số?

Trên trang này bạn có thể xây dựng biểu đồ tương tác chức năng trực tuyến.

Vẽ đồ thị hàm số trực tuyến

Vẽ đồ thị hàm số cho phép bạn xem hình ảnh hình học của một hàm toán học cụ thể. Để giúp bạn xây dựng một biểu đồ như vậy thuận tiện hơn, chúng tôi đã tạo một biểu đồ đặc biệt ứng dụng trực tuyến. Nó hoàn toàn miễn phí, không cần đăng ký và có thể được sử dụng trực tiếp trong trình duyệt của bạn mà không gặp bất kỳ rắc rối nào. cài đặt thêm và sự thao túng. Xây dựng đồ thị cho các chức năng khác nhau Thông thường, nó là bắt buộc đối với học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông đang học đại số và hình học, cũng như sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai như một phần của các khóa học toán cao hơn. Thường xuyên, quá trình này Phải mất rất nhiều thời gian và cần nhiều đồ dùng văn phòng để vẽ các trục đồ thị trên giấy, ghi các điểm tọa độ, nối chúng bằng một đường thẳng, v.v. Sử dụng cái này dịch vụ trực tuyến bạn có thể tính toán và tạo ra hình ảnh đồ họa chức năng ngay lập tức.

Máy tính vẽ đồ thị hoạt động như thế nào đối với các hàm vẽ đồ thị?

Dịch vụ trực tuyến Nó hoạt động rất đơn giản. Hàm (tức là chính phương trình, đồ thị của nó cần được vẽ) được nhập vào trường ở trên cùng. Ngay sau khi vào ứng dụng ngay lập tức vẽ một biểu đồ trong khu vực bên dưới trường này. Mọi thứ diễn ra mà không cần làm mới trang. Tiếp theo, bạn có thể nhập nhiều cài đặt màu sắc, cũng như ẩn/hiện một số phần tử của đồ thị hàm số. Sau đó, lịch trình sẵn sàng có thể được tải xuống bằng cách nhấp vào nút thích hợp ở cuối ứng dụng. Bản vẽ sẽ được tải xuống máy tính của bạn ở định dạng .png, bạn có thể in hoặc chuyển sang sổ tay giấy.

Trình tạo biểu đồ hỗ trợ những tính năng nào?

Hoàn toàn được hỗ trợ tất cả các hàm toán học, có thể hữu ích khi vẽ đồ thị. Điều quan trọng cần nhấn mạnh ở đây là, trái ngược với ngôn ngữ toán học cổ điển được áp dụng trong các trường phổ thông và đại học, ký hiệu bằng cấp trong đơn đăng ký được chỉ định ký hiệu quốc tế"^". Điều này là do thiếu khả năng viết bằng ở định dạng thông thường trên bàn phím máy tính. Dưới đây là một bảng với danh sách đầy đủ các chức năng được hỗ trợ.

Ứng dụng hỗ trợ các chức năng sau:

Hàm lượng giác
		Cosecant	cotang	arcsin	cung cosin	Arctang	Arcsecant	Arccosecant	Arccotang

Hàm hyperbol

Khác
logarit tự nhiên	logarit	Căn bậc hai				Làm tròn xuống		làm tròn lên

tối thiểu				Tối đa
phút(biểu thức1,biểu thức2,…)				max(biểu thức1,biểu thức2,…)

Ví dụ. Xây dựng các đường cấp hàm tương ứng với các giá trị

Xây dựng các đường cấp hàm tương ứng với các giá trị .

Giả sử , ta thu được phương trình của các đường mức tương ứng:

Bằng cách xây dựng các đường thẳng này trong hệ tọa độ Descartes xOy, chúng ta thu được các đường thẳng song song với đường phân giác của góc tọa độ thứ hai và thứ tư (Hình 1)

Viết phương trình đường mức:

, , , Và .

Bằng cách xây dựng chúng trong mặt phẳng xOy, chúng ta thu được các đường tròn đồng tâm với tâm là gốc tọa độ (Hình 2)

Các đường mức của hàm này , , và là các parabol đối xứng với Oy có một đỉnh chung ở gốc tọa độ (Hình 3).

2. Đạo hàm có hướng

Một đặc tính quan trọng của trường vô hướng là tốc độ thay đổi của trường theo một hướng nhất định.

Để mô tả tốc độ thay đổi của trường theo hướng của vectơ, khái niệm đạo hàm của trường theo hướng được đưa ra.

Hãy xem xét chức năng tại điểm và điểm.

Hãy vẽ qua các điểm và vectơ. Góc nghiêng của vectơ này với hướng của trục tọa độ XYZ hãy ký hiệu lần lượt là a, b, g. Cosin của các góc này được gọi là cosin phương hướng vectơ

BÀI GIẢNG VỀ MATANALYSIS

Chức năng của một số biến. Biểu diễn hình học của hàm hai biến. Đường mức và bề mặt. Giới hạn và tính liên tục của hàm số một số biến, tính chất của chúng. Đạo hàm riêng, tính chất và ý nghĩa hình học của chúng.

Định nghĩa 1.1. Biến đổi z (có diện tích thay đổi Z) gọi điện hàm hai biến độc lập x, y dồi dào M, nếu mỗi cặp ( x, y) từ nhiều M z từ Z.

Định nghĩa 1.2. Một loạt M, trong đó các biến được chỉ định x, y, gọi điện miền của hàm, và chính họ x, y- cô ấy tranh luận.

Chỉ định: z = f(x, y), z = z(x, y).

Ví dụ.

Bình luận. Vì một vài số ( x, y) có thể được coi là tọa độ của một điểm nhất định trên mặt phẳng, sau đó chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ “điểm” cho một cặp đối số cho hàm hai biến, cũng như cho một tập hợp số có thứ tự
, là các đối số của một hàm nhiều biến.

Định nghĩa 1.3. . Biến đổi z (có diện tích thay đổi Z) gọi điện hàm của một số biến độc lập
dồi dào M, nếu mỗi bộ số
từ nhiều M theo một số quy tắc hoặc luật, một giá trị cụ thể được gán z từ Z. Các khái niệm về đối số và miền xác định được giới thiệu giống như đối với hàm hai biến.

Chỉ định: z = f
,z = z
.

Biểu diễn hình học của hàm hai biến.

Hãy xem xét chức năng

z = f(x, y) , (1.1)

được xác định ở một khu vực nào đó M trên mặt phẳng O xy. Khi đó tập hợp các điểm trong không gian ba chiều có tọa độ ( x, y, z) , trong đó , là đồ thị của hàm hai biến. Vì phương trình (1.1) xác định một bề mặt nhất định trong không gian ba chiều nên nó sẽ là ảnh hình học của hàm đang xét.

z = f(x,y)

M y

Bình luận. Đối với hàm có ba biến trở lên, chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ “bề mặt trong N không gian có chiều”, mặc dù không thể mô tả được một bề mặt như vậy.

Đường mức và bề mặt.

Đối với hàm hai biến cho bởi phương trình (1.1), ta có thể xét tập hợp các điểm ( x, y) Hỡi mặt phẳng xy, mà z nhận cùng một giá trị không đổi, tức là z= hằng số Những điểm này tạo thành một đường thẳng trên mặt phẳng gọi là đường mức.

Ví dụ.

Tìm các đường mức của bề mặt z = 4 – x² - y². phương trình của họ trông giống như x² + y² = 4 – c (c=const) – phương trình đường tròn đồng tâm có tâm ở gốc và có bán kính
. Ví dụ, khi Với=0 chúng ta có một vòng tròn x² + y² = 4.

Đối với hàm ba biến bạn = bạn (x, y, z) phương trình bạn (x, y, z) = c xác định một bề mặt trong không gian ba chiều, được gọi là bề mặt bằng phẳng.

Ví dụ.

Đối với chức năng bạn = 3x + 5y – 7z–Các mặt phẳng 12 sẽ là một họ các mặt phẳng song song được cho bởi các phương trình

3x + 5y – 7z –12 + Với = 0.

Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến.

Hãy giới thiệu khái niệm δ-vùng lân cậnđiểm M 0 (X 0 , y 0 ) trên mặt phẳng O xy là một đường tròn bán kính δ có tâm tại một điểm cho trước. Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa lân cận δ trong không gian ba chiều là một quả cầu có bán kính δ với tâm là điểm M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) . Vì N không gian có chiều chúng ta sẽ gọi là lân cận δ của một điểm M 0 tập hợp điểm M có tọa độ
, thỏa mãn điều kiện

Ở đâu
- tọa độ điểm M 0 . Đôi khi bộ này được gọi là “quả bóng” trong N-không gian chiều.

Định nghĩa 1.4. Số A được gọi là giới hạn hàm nhiều biến f
tại điểm M 0 nếu

như vậy | f(M) – MỘT| < ε для любой точки M từ vùng lân cận δ M 0 .

Chỉ định:
.

Cần phải lưu ý rằng trong trường hợp này điểm M có thể đang đến gần M 0, nói một cách tương đối, dọc theo bất kỳ quỹ đạo nào bên trong vùng lân cận δ của điểm M 0 . Vì vậy, người ta nên phân biệt giới hạn của hàm nhiều biến theo nghĩa tổng quát với cái gọi là giới hạn lặp đi lặp lại thu được bằng các đoạn liên tiếp đến giới hạn cho từng đối số riêng biệt.

Ví dụ.

Bình luận. Có thể chứng minh rằng từ sự tồn tại giới hạn tại một điểm cho trước theo nghĩa thông thường và sự tồn tại ở điểm này các giới hạn đối với các lập luận riêng lẻ, suy ra sự tồn tại và đẳng thức của các giới hạn lặp lại. Tuyên bố ngược lại là không đúng sự thật.

Định nghĩa 1.5. Chức năng f
gọi điện tiếp diễn tại điểm M 0
, Nếu như
(1.2)

Nếu chúng ta giới thiệu ký hiệu

Điều kiện (1.2) có thể viết lại dưới dạng

(1.3)

Định nghĩa 1.6.Điểm trong M 0 miền chức năng z = f (M) gọi điện điểm dừng hàm nếu điều kiện (1.2), (1.3) không được thỏa mãn tại điểm này.

Bình luận. Nhiều điểm gián đoạn có thể hình thành trên mặt phẳng hoặc trong không gian dòng hoặc bề mặt gãy.

Khi xử lý dữ liệu ở Các môn học có quan hệ với hoạt động khoa học, thường cần phải xây dựng và trực quan hóa hàm của hai biến độc lập. Một ví dụ điển hình là một điều cần thiết đại diện trực quan kết quả giải hai chiều phương trình vi phân trong các đạo hàm riêng, thu được dưới dạng được gọi là hàm lưới.

Một lớp đơn giản được đề xuất để xây dựng các đường mức (đường đẳng) của hàm: Z=F(X,Y) ở dạng các đường trên Mặt phẳng X-Y, thỏa mãn các phương trình Z=const (trong đó const là tập hợp các giá trị đã cho).

Giả sử rằng hàm Z được chỉ định là một mảng z trên một lưới tùy ý có các ô hình tứ giác. Lưới được xác định bởi hai mảng x, y, trong đó J và K là kích thước lưới.

Các giá trị hàm được xác định ở các góc của ô tứ giác. Trong mỗi ô, việc đi qua đường mức được tính toán qua các mặt của nó được kiểm tra và với điều kiện là đường đó đi qua ô, tọa độ giao điểm của đường mức với các mặt sẽ được tính toán. Bên trong ô, đường thẳng được vẽ dưới dạng một đoạn thẳng.

Các văn bản nguồn được cung cấp với ý kiến chi tiết.

Tệp LinesLevels.cs:

Sử dụng System.Collections.Generic; sử dụng System.Linq; sử dụng System.Windows; namespace WpfLinesLevels ( public class LinesOfLevels ( Private int J, K; Private double[,] X; Private double[,] Y; Private double[,] Z; // Danh sách các isolines public List Các dòng ( get; set; ) ///

/// Sự chuẩn bị ///

/// Mảng cấp độ /// Tọa độ vùng X /// Tọa độ Y của khu vực /// Chức năng lưới public LinesOfLevels(double _levels, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z) ( Lines = new List (_levels.Count()); foreach (nhân đôi l trong _levels) ( Lines.Add(new LineLevel(l)); ) X = _x; Y = _y; Z = _z; J = X.GetLength(0); K = X.GetLength(1); ) ///

/// Tính toán các chất cô lập. ///

public void Tính toán() ( for (int j = 0; j< J - 1; j++) for (int k = 0; k < K - 1; k++) { Ceil ir = new Ceil(j, k, X, Y, Z); for (int l = 0; l < Lines.Count(); l++) ir.AddIntoLineLevel(Lines[l]); } } } ///

/// Một cô lập ///

public class LineLevel ( // Danh sách các điểm cô lập ở dạng cặp điểm // thuộc cùng một ô tứ giác public List Cặp ( get; set; ) // Cấp cô lập public double Level ( get; set; ) public LineLevel(double _level) ( Level = _level; Pairs = new List (); } } ///

/// Một cặp điểm cô lập thuộc cùng một ô ///

lớp công khai PairOfPoints ( Danh sách công khai Điểm ( get; set; ) public PairOfPoints() ( Điểm = Danh sách mới (); } } ///

/// Góc ô. /// Các chỉ số xác định một góc của ô tứ giác ///

nội bộ struct Dot ( nội bộ int j ( get; set; ) nội bộ int k ( get; set; ) nội bộ Dot(int _j, int _k) ( j = _j; k = _k; ) ) ///

/// Ô lưới tứ giác. Xác định ô hiện tại. /// Tính toán các phân đoạn cô lập trong một ô ///

nội lớp Ceil ( // Ô các góc riêng tư Dot d = new Dot; // Tọa độ các điểm của các góc riêng tư Point r = new Point; // Mảng tọa độ của toàn bộ khu vực riêng tư double[,] X; riêng tư double[,] Y ; // Hàm lưới mảng riêng double[,] Z; ///

/// Định nghĩa ô /// Được xác định bởi góc dưới bên trái. Chu kỳ lặp lại chỉ mục phải ít hơn 1 kích thước J, K mảng ///

/// j - chỉ số của góc dưới bên trái /// k - chỉ số của góc dưới bên trái /// Mảng X /// Mảng Y /// Mảng hàm lưới Z nội bộ Ceil(int _j, int _k, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z) ( d = new Dot(_j, _k); d = new Dot(_j + 1, _k); d = Dấu chấm mới(_j + 1, _k + 1); d = Dấu chấm mới(_j, _k + 1); X = _x; Y = _y; Z = _z; r = dotPoint(d); r = dotPoint(d ); r = dotPoint(d); r = dotPoint(d); ) ///

/// Định nghĩa tọa độ điểm Điểm góc ///

/// Góc được xác định bởi cấu trúc Dot /// Điểm riêng dotPoint(Dot _d) ( return new Point(X[_d.j, _d.k], Y[_d.j, _d.k]); ) ///

/// Định nghĩa hàm trong góc đã cho ///

/// Góc được xác định bởi cấu trúc Dot /// riêng tư double dotZ(Dot _d) ( return Z[_d.j, _d.k]; ) ///

/// Xác định một cặp điểm mà đường mức đi qua /// Các điểm trên ranh giới ô được xác định bằng phép nội suy tuyến tính. ///

/// Giá trị cấp độ tính năng /// Private PairOfPoints ByLevel(double _l) ( PairOfPoints p = new PairOfPoints(); // Edge 0 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d)< _l) || (dotZ(d) >_l && chấmZ(d)<= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); } // Ребро 1 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d)< _l) || (dotZ(d) >_l && chấmZ(d)<= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); if (p.Points.Count == 2) return p; } // Ребро 2 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d)< _l) || (dotZ(d) >_l && chấmZ(d)<= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); if (p.Points.Count == 2) return p; } // Ребро 3 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d)< _l) || (dotZ(d) >_l && chấmZ(d)<= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); } return p; } ///

/// Thêm một cặp điểm vào dòng phương trình ///

/// Đường mức nội bộ void AddIntoLineLevel(LineLevel _lL) ( PairOfPoints lp = ByLevel(_lL.Level); if (lp.Points.Count > 0) _lL.Pairs.Add(lp); ) ) )
Để chứng minh cách hoạt động của lớp, một ứng dụng thử nghiệm WPF nhỏ được cung cấp để xây dựng các đường mức cho một hàm có dạng: z = x^2 + y^2 trên lưới 10 x 10.

Tệp MainWindow.xaml:

Và tệp mã MainWindow.xaml.cs:

Sử dụng System.Linq; sử dụng System.Windows; sử dụng System.Windows.Controls; sử dụng System.Windows.Media; sử dụng System.Windows.Shapes; không gian tên WpfLinesLevels ( ///

/// Logic tương tác cho MainWindow.xaml ///

public một phần lớp MainWindow: Window ( riêng đôi Xmax; riêng đôi Xmin; riêng tư đôi Ymax; riêng tư đôi Ymin; riêng tư đôi xSt; riêng tư đôi ySt; public MainWindow() ( Khởi tạoComponent(); // Xác định các cấp độ sẽ được hiển thị gấp đôi cấp độ = ( 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 ); double[,] X = new double; double[,] Y = new double[,] Z = new double; // Các biến chuyển đổi tọa độ vật lý sang tọa độ màn hình Xmax = 10; Xmin = 0; Ymax = 10; Ymin = 0; xSt = 525 / (Xmax - Xmin); ySt = 525 / (Ymax - Ymin); / / Định nghĩa mảng tọa độ và hàm cho (int k = 0; k< 10; k++) for (int j = 0; j < 10; j++) { X = j; Y = k; Z = j * j + k * k; } // Создание изолиний LinesOfLevels lol = new LinesOfLevels(levels, X, Y, Z); // Их расчет lol.Calculate(); // Построение DrowLevelLine(lol, X, Y); } ///

/// Phương pháp xây dựng đường phân lập ///

/// Đối tượng được tính toán với các cô lập /// mảng tọa độ X /// mảng tọa độ Y void void DrowLevelLine(LinesOfLevels lL, double[,] x, double[,] y) ( Canvas can = new Canvas(); foreach (LineLevel l in lL.Lines) ( foreach (PairOfPoints pp in l.Pairs) ( if ( pp.Points.Count() == 2) ( Line pl = new Line(); pl.Stroke = new SolidColorBrush(Colors.BlueViolet); pl.X1 = xCalc(pp.Points.X); pl.X2 = xCalc (pp.Points.X); pl.Y1 = yCalc(pp.Points.Y); pl.Y2 = yCalc(pp.Points.Y); can.Children.Add(pl); ) ) ) can.Margin = new Độ dày(10, 10, 10, 10);can.VerticalAlignment = VerticalAlignment.Stretch; can.HorizontalAlignment = HorizontalAlignment.Stretch;grid1.Children.Add(can); ) ///

/// Chuyển đổi tọa độ vật lý X sang tọa độ màn hình ///

/// Tọa độ vật lý X /// Màn hình tọa độ X riêng tư double xCalc(double _x) ( return xSt * (_x - Xmin); ) ///

/// Chuyển đổi tọa độ Y vật lý sang tọa độ màn hình ///

/// Tọa độ vật lý Y /// Màn hình tọa độ Y riêng tư yCalc(double _y) ( return ySt * (Ymax - _y); ) ) )
Kết quả của ví dụ thử nghiệm được thể hiện trong hình.

Nếu mỗi điểm X = (x 1, x 2, ... x n) từ tập hợp (X) các điểm trong không gian n chiều được liên kết với một giá trị được xác định rõ ràng của biến z, thì người ta nói rằng đã cho hàm n biến z = f(x 1, x 2, ...x n) = f(X).

Trong trường hợp này các biến x 1, x 2,... x n được gọi là biến độc lập hoặc tranh luận hàm số, z - biến phụ thuộc, và ký hiệu f biểu thị luật tương ứng. Tập hợp (X) được gọi là miền định nghĩa các hàm (đây là một tập hợp con nhất định của không gian n chiều).

Ví dụ, hàm z = 1/(x 1 x 2) là hàm hai biến. Đối số của nó là các biến x 1 và x 2 và z là biến phụ thuộc. Miền định nghĩa là toàn bộ mặt phẳng tọa độ, ngoại trừ các đường thẳng x 1 = 0 và x 2 = 0, tức là. không có trục x và trục tọa độ. Bằng cách thay thế bất kỳ điểm nào từ miền định nghĩa vào hàm, theo luật tương ứng, chúng ta thu được một số nhất định. Ví dụ: lấy điểm (2; 5), tức là x 1 = 2, x 2 = 5, ta được
z = 1/(2*5) = 0,1 (tức là z(2; 5) = 0,1).

Hàm số có dạng z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b, trong đó a 1, a 2,…, và n, b là các số không đổi, được gọi là tuyến tính. Có thể coi nó là tổng của n hàm tuyến tính của các biến x 1, x 2, ... x n. Tất cả các chức năng khác được gọi phi tuyến.

Ví dụ: hàm z = 1/(x 1 x 2) là hàm phi tuyến và hàm z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – tuyến tính.

Bất kỳ hàm z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) đều có thể liên kết với n hàm của một biến nếu chúng ta sửa giá trị của tất cả các biến ngoại trừ một biến.

Ví dụ, hàm ba biến z = 1/(x 1 x 2 x 3) có thể liên kết với ba hàm của một biến. Nếu cố định x 2 = a và x 3 = b thì hàm số sẽ có dạng z = 1/(abx 1); nếu cố định x 1 = a và x 3 = b thì nó sẽ có dạng z = 1/(abx 2); nếu chúng ta cố định x 1 = a và x 2 = b thì nó sẽ có dạng z = 1/(abx 3). Trong trường hợp này, cả ba hàm đều có dạng giống nhau. Nó không phải luôn luôn như vậy. Ví dụ: nếu đối với hàm hai biến, chúng ta cố định x 2 = a, thì nó sẽ có dạng z = 5x 1 a, tức là. hàm lũy thừa và nếu chúng ta cố định x 1 = a thì nó sẽ có dạng, tức là hàm số mũ.

Lịch trình hàm số hai biến z = f(x, y) là tập hợp các điểm trong không gian ba chiều (x, y, z), ứng dụng z của nó liên hệ với hoành độ x và tọa độ y bằng một quan hệ hàm số
z = f(x,y). Đồ thị này biểu diễn một bề mặt nào đó trong không gian ba chiều (ví dụ như trong Hình 5.3).

Có thể chứng minh rằng nếu một hàm là tuyến tính (tức là z = ax + by + c), thì đồ thị của nó là một mặt phẳng trong không gian ba chiều. Những ví dụ khác đồ thị 3D Nên nghiên cứu độc lập bằng sách giáo khoa của Kremer (trang 405-406).

Nếu có nhiều hơn hai biến (n biến) thì lịch trình hàm số là tập hợp các điểm trong không gian (n+1) chiều mà tọa độ x n+1 được tính theo một định luật hàm số cho trước. Đồ thị như vậy được gọi là siêu bề mặt(Vì hàm tuyến tính – siêu phẳng), và nó cũng thể hiện sự trừu tượng khoa học (không thể mô tả được nó).

Hình 5.3 – Đồ thị hàm số hai biến trong không gian ba chiều

Bề mặt bằng phẳng hàm n biến là một tập hợp các điểm trong không gian n chiều sao cho tại tất cả các điểm này giá trị của hàm giống nhau và bằng C. Bản thân số C trong trường hợp này được gọi là mức độ.

Thông thường, với cùng một chức năng, có thể xây dựng vô số mặt phẳng (tương ứng với các mức khác nhau).

Đối với hàm hai biến, mặt phẳng có dạng đường mức.

Ví dụ, xét z = 1/(x 1 x 2). Hãy lấy C = 10, tức là 1/(x 1 x 2) = 10. Khi đó x 2 = 1/(10x 1), tức là trên mặt phẳng, đường mức sẽ có dạng như trong Hình 5.4 dưới dạng đường liền nét. Lấy một mức khác, ví dụ, C = 5, chúng ta thu được đường mức ở dạng đồ thị của hàm x 2 = 1/(5x 1) (được thể hiện bằng một đường chấm trong Hình 5.4).

Hình 5.4 - Đường mức hàm z = 1/(x 1 x 2)

Hãy xem một ví dụ khác. Đặt z = 2x 1 + x 2. Hãy lấy C = 2, tức là 2x 1 + x 2 = 2. Khi đó x 2 = 2 - 2x 1, tức là trên mặt phẳng, đường mức sẽ có dạng một đường thẳng, được biểu diễn trong Hình 5.5 bằng một đường liền nét. Lấy một mức khác, ví dụ C = 4, chúng ta thu được một đường mức có dạng đường thẳng x 2 = 4 - 2x 1 (được thể hiện bằng đường chấm trong Hình 5.5). Đường mức cho 2x 1 + x 2 = 3 được thể hiện trong Hình 5.5 dưới dạng đường chấm.

Thật dễ dàng để xác minh rằng đối với hàm tuyến tính hai biến, bất kỳ đường mức nào cũng sẽ là một đường thẳng trên mặt phẳng và tất cả các đường mức sẽ song song với nhau.

Hình 5.5 - Đường mức chức năng z = 2x 1 + x 2

Xác định hàm của một số biến

Khi xem xét hàm một biến, chúng tôi đã chỉ ra rằng khi nghiên cứu nhiều hiện tượng người ta phải gặp hàm hàm của hai biến độc lập trở lên. Hãy đưa ra một vài ví dụ.

Ví dụ 1. Quảng trường S hình chữ nhật có cạnh dài bằng nhau X Và Tại, được thể hiện bằng công thức S = xy. Mỗi cặp giá trị X Và Tại tương ứng với một giá trị diện tích nhất định S; S là hàm hai biến.

Ví dụ 2. Âm lượng V. hình chữ nhật có các cạnh có độ dài bằng nhau X, Tại, z, được thể hiện bằng công thức V.= XYZ. Đây V. có một hàm ba biến X, Tại, z.

Ví dụ 3. Phạm vi Rđường bay của đạn được bắn với tốc độ ban đầu v 0 của súng có nòng nghiêng so với phương ngang một góc  được biểu thị bằng công thức
(nếu bỏ qua sức cản của không khí). Đây g- Gia tốc trọng lực. Với mỗi cặp giá trị v 0 và  công thức này cho một giá trị nhất định R, I E. R là hàm hai biến v 0 và .

Ví dụ 4.
. Đây Và có một hàm bốn biến X, Tại, z, t.

Định nghĩa 1. Nếu mỗi cặp ( X, Tại) giá trị của hai giá trị độc lập với nhau biến X Và Tại từ một số lĩnh vực thay đổi của họ D, tương ứng với một giá trị nhất định của đại lượng z, thì chúng ta nói rằng z có một chức năng hai biến độc lập x Và Tại, được xác định trong khu vực D.

Một cách tượng trưng, hàm hai biến được ký hiệu như sau:

z= f(x, y), z = F(x, y) vân vân.

Ví dụ: có thể chỉ định hàm hai biến bằng cách sử dụng bảng hoặc phân tích - sử dụng công thức, như đã được thực hiện trong các ví dụ được thảo luận ở trên. Dựa vào công thức, bạn có thể tạo bảng giá trị hàm cho một số cặp giá trị của biến độc lập. Vì vậy, với ví dụ đầu tiên, bạn có thể tạo bảng sau:

S = xy

Trong bảng này, tại giao điểm của một hàng và một cột tương ứng với các giá trị nhất định X Và Tại, giá trị hàm tương ứng được nhập S. Nếu như sự phụ thuộc chức năng z= f(x, y) thu được nhờ phép đo đại lượng z Khi nghiên cứu thực nghiệm bất kỳ hiện tượng nào, ngay lập tức thu được bảng xác định z như là một hàm của hai biến. Trong trường hợp này, hàm chỉ được chỉ định bởi bảng.

Như trong trường hợp một biến độc lập, nói chung, hàm của hai biến không tồn tại với bất kỳ giá trị nào. X Và Tại.

Định nghĩa 2. Một tập hợp các cặp ( X, Tại) giá trị X Và Tại, tại đó hàm số được xác định z= f(x, y), gọi điện miền định nghĩa hoặc khu vực tồn tại Chức năng này.

Miền định nghĩa của hàm số được minh họa rõ ràng bằng hình học. Nếu mỗi cặp giá trị X Và Tại chúng ta sẽ biểu thị nó bằng một dấu chấm M(X, Tại) trên máy bay ôi thì miền định nghĩa của hàm số sẽ được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các điểm nhất định trên mặt phẳng. Chúng ta cũng sẽ gọi tập hợp các điểm này là miền định nghĩa của hàm. Đặc biệt, miền định nghĩa có thể là toàn bộ mặt phẳng. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ chủ yếu giải quyết các lĩnh vực đại diện cho các bộ phận của máy bay, được giới hạn bởi các đường. Đường giới hạn khu vực này, chúng tôi sẽ gọi ranh giới khu vực. Các điểm của miền không nằm trên đường biên sẽ được gọi là nội bộđiểm của khu vực. Một khu vực chỉ gồm các điểm bên trong được gọi là mở hoặc mở. Nếu các điểm biên cũng thuộc miền thì miền đó được gọi là đóng cửa. Một diện tích được gọi là giới hạn nếu tồn tại một hằng số như vậy VỚI, rằng khoảng cách của một điểm bất kỳ M khu vực từ nguồn VỀít hơn VỚI, I E. | ôi| < VỚI.

Ví dụ 5. Xác định miền tự nhiên của hàm

z = 2X – Tại.

Biểu thức phân tích 2 X – Tại có ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị nào X Và Tại. Do đó, miền tự nhiên của định nghĩa hàm số là toàn bộ mặt phẳng ôi.

Ví dụ 6.
.

Để z có một giá trị thực thì cần phải có một số không âm ở dưới gốc, tức là X Và Tại phải thỏa mãn bất đẳng thức 1 – X 2 – Tại 2  0, hoặc X 2 + Tại 2  1.

Tất cả các điểm M(X, Tại), có tọa độ thỏa mãn bất đẳng thức đã chỉ ra, nằm trong một đường tròn bán kính 1 với tâm ở gốc và trên ranh giới của đường tròn này.

Ví dụ 7.
.

Vì logarit chỉ được xác định cho số dương nên bất đẳng thức phải được thỏa mãn X + Tại> 0, hoặc Tại >  X.

Điều này có nghĩa là miền định nghĩa của hàm z là nửa mặt phẳng nằm phía trên đường thẳng Tại =  X, không bao gồm đường thẳng đó.

Ví dụ 8. Diện tích của một hình tam giác Sđại diện cho hàm cơ sở X và độ cao Tại: S= xy/2.

Miền định nghĩa của hàm này là miền X  0, Tại 0 (vì đáy của một tam giác và chiều cao của nó không thể âm hay bằng 0). Lưu ý rằng miền định nghĩa của hàm đang được xem xét không trùng với miền định nghĩa tự nhiên của biểu thức phân tích mà hàm được chỉ định, vì miền định nghĩa tự nhiên của biểu thức xy/ 2 rõ ràng là toàn bộ mặt phẳng ôi.

Định nghĩa của hàm hai biến có thể dễ dàng được khái quát hóa cho trường hợp có ba biến trở lên.

Định nghĩa 3. Nếu mỗi tập hợp các giá trị biến được xem xét X, Tại, z, …, bạn, t tương ứng với một giá trị biến nhất định w, sau đó chúng tôi sẽ gọi w hàm của các biến độc lập X, Tại, z, …, bạn, t và viết w= F(X, Tại, z, …, bạn, t) hoặc w= f(X, Tại, z, …, bạn, t) và như thế.

Cũng giống như hàm hai biến, chúng ta có thể nói về miền định nghĩa của hàm ba, bốn biến trở lên.

Vì vậy, ví dụ, đối với hàm số ba diện tích thay đổiĐịnh nghĩa là một tập hợp các bộ ba số ( X, Tại, z). Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng mỗi bộ ba số xác định một điểm nhất định M(X, Tại, z) trong không gian ôiz. Do đó, miền định nghĩa của hàm ba biến là một tập hợp các điểm nhất định trong không gian.

Tương tự, chúng ta có thể nói về miền định nghĩa của hàm bốn biến bạn= f(x, y, z, t) về một số tập hợp bốn số ( x, y, z, t). Tuy nhiên, miền định nghĩa của hàm bốn hoặc hơn các biến không còn cho phép diễn giải hình học đơn giản nữa.

Ví dụ 2 cho thấy hàm ba biến được xác định cho tất cả các giá trị X, Tại, z.

Ví dụ 4 cho thấy hàm bốn biến.

Ví dụ 9. .

Đây w– hàm bốn biến X, Tại, z, Và, được xác định bằng các giá trị của biến thỏa mãn quan hệ:

Khái niệm về hàm nhiều biến

Hãy giới thiệu khái niệm hàm nhiều biến.

Định nghĩa 1. Hãy để mọi điểm M từ một tập hợp điểm ( M) Không gian Euclide Etôi theo một số luật, một số lượng nhất định được đưa vào thư từ Và từ một tập hợp số U. Sau đó chúng ta sẽ nói điều đó trên trường quay ( M) hàm đã cho và =f(M). Hơn nữa, các tập ( M) Và bạn lần lượt được gọi là miền định nghĩa (gán) và miền thay đổi của hàm f(M).

Như bạn đã biết, hàm một biến Tại = f(x) được biểu diễn trên mặt phẳng dưới dạng một đường thẳng. Trong trường hợp có hai biến, miền định nghĩa ( M P) chức năng z = f(x, y) biểu diễn một tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ ôi(Hình 8.1). Điều phối z gọi điện áp dụng, và sau đó bản thân hàm số được mô tả như một bề mặt trong không gian E3 . Tương tự, hàm từ T biến