Khái niệm hàm phức nhiều biến. Hàm hai biến Miền và đường cấp

) chúng ta đã nhiều lần gặp đạo hàm riêng của các hàm phức như những ví dụ khó hơn. Vậy bạn còn có thể nói về điều gì nữa?! ...Và mọi thứ cũng giống như trong cuộc sống - không có sự phức tạp nào là không thể phức tạp =) Nhưng toán học chính là mục đích của toán học, để phù hợp với sự đa dạng của thế giới chúng ta vào một khuôn khổ chặt chẽ. Và đôi khi điều này có thể được thực hiện chỉ bằng một câu:

TRONG trường hợp chung hàm phức tạp trông giống như , Ở đâu, ít nhất một của các chữ cái đại diện chức năng, điều này có thể phụ thuộc vào Bất kỳ số lượng biến.

Tùy chọn tối thiểu và đơn giản nhất là hàm phức tạp quen thuộc từ lâu của một biến, đạo hàm của ai chúng ta đã học cách tìm trong học kỳ trước. Bạn cũng có kỹ năng phân biệt chức năng (hãy xem các chức năng tương tự ) .

Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến trường hợp này. Do sự đa dạng của các hàm phức tạp nên các công thức chung cho các dẫn xuất của chúng rất cồng kềnh và khó hiểu. Về vấn đề này, tôi sẽ hạn chế bản thân ví dụ cụ thể, từ đó có thể hiểu được nguyên lý chung của việc tìm các đạo hàm này:

ví dụ 1

Cho một hàm phức tạp trong đó . Yêu cầu:
1) tìm đạo hàm của nó và viết tổng vi phân bậc 1;
2) tính giá trị đạo hàm tại .

Giải pháp: Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào chính hàm đó. Chúng ta được cung cấp một hàm phụ thuộc vào và , do đó là các chức năng một biến:

Thứ hai, chúng ta hãy chú ý đến bản thân nhiệm vụ - chúng ta phải tìm phát sinh, tức là chúng ta không nói về đạo hàm riêng mà chúng ta thường tìm! Kể từ khi chức năng thực tế chỉ phụ thuộc vào một biến thì từ “phái sinh” có nghĩa là tổng đạo hàm. Làm thế nào để tìm thấy cô ấy?

Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là sự thay thế trực tiếp và sự khác biệt hơn nữa. Hãy thay thế để hoạt động:
, sau đó không có vấn đề gì với đạo hàm mong muốn:

Và theo đó, tổng chênh lệch:

Giải pháp này đúng về mặt toán học, nhưng có một sắc thái nhỏ là khi vấn đề được hình thành theo cách nó được hình thành, không ai mong đợi sự man rợ như vậy từ bạn =) Nhưng nghiêm túc mà nói, bạn thực sự có thể tìm thấy lỗi ở đây. Hãy tưởng tượng rằng một hàm mô tả chuyến bay của một con ong nghệ và các hàm lồng nhau thay đổi tùy thuộc vào nhiệt độ. Thực hiện thay thế trực tiếp , chúng tôi chỉ nhận được thông tin cá nhân , đặc trưng cho chuyến bay, chẳng hạn, chỉ trong thời tiết nóng. Hơn nữa, nếu một người không am hiểu về ong vò vẽ được đưa ra kết quả cuối cùng và thậm chí cho biết chức năng này là gì, thì anh ta sẽ không bao giờ học được bất cứ điều gì về định luật cơ bản của chuyến bay!

Vì vậy, hoàn toàn bất ngờ, người anh em ù ù của chúng ta đã giúp chúng ta hiểu được ý nghĩa và tầm quan trọng của công thức phổ quát:

Làm quen với ký hiệu “hai tầng” đối với đạo hàm - trong nhiệm vụ đang xem xét, chúng là những ký hiệu được sử dụng. Trong trường hợp này, người ta nên rât gọn gang trong mục: đạo hàm có ký hiệu trực tiếp “de” là đạo hàm hoàn chỉnh và các đạo hàm có biểu tượng tròn là dẫn một phần. Hãy bắt đầu với những cái cuối cùng:

Chà, với những cái đuôi, mọi thứ nói chung đều cơ bản:

Hãy thay thế các dẫn xuất tìm được vào công thức của chúng tôi:

Khi một chức năng ban đầu được đề xuất một cách phức tạp, nó sẽ logic (và điều này đã được giải thích ở trên!)để lại kết quả như cũ:

Đồng thời, trong những câu trả lời “tinh vi”, tốt hơn hết bạn nên hạn chế ngay cả những sự đơn giản hóa tối thiểu (ở đây chẳng hạn xin bỏ đi 3 điểm trừ)- và bạn có ít việc hơn, và người bạn lông xù của bạn rất vui khi xem xét công việc dễ dàng hơn.

Tuy nhiên, việc kiểm tra sơ bộ sẽ không thừa. Hãy thay thế vào đạo hàm tìm được và thực hiện đơn giản hóa:


(TRÊN Bước cuối cùngđã sử dụng công thức lượng giác , )

Kết quả là thu được kết quả tương tự như với phương pháp giải “man rợ”.

Hãy tính đạo hàm tại điểm. Đầu tiên, thật thuận tiện để tìm ra các giá trị “quá cảnh” (giá trị hàm ) :

Bây giờ hãy chính thức hóa tính toán cuối cùng, trong đó trong trường hợp này có thể được thực hiện theo những cách khác nhau. Tôi sử dụng một kỹ thuật thú vị trong đó “tầng” thứ 3 và thứ 4 được đơn giản hóa không theo các quy tắc thông thường mà được chuyển đổi thành thương số của hai số:

Và tất nhiên, sẽ thật tội lỗi nếu không kiểm tra bằng cách sử dụng ký hiệu nhỏ gọn hơn :

Trả lời:

Tình cờ là bài toán được đề xuất ở dạng “bán tổng quát”:

“Tìm đạo hàm của hàm số tại đó »

Nghĩa là, chức năng “chính” không được đưa ra, nhưng “chèn” của nó khá cụ thể. Câu trả lời nên được đưa ra theo cùng một phong cách:

Hơn nữa, điều kiện có thể được mã hóa một chút:

“Tìm đạo hàm của hàm số »

Trong trường hợp này bạn cần một mình chỉ định các hàm lồng nhau bằng một số chữ cái phù hợp, ví dụ: thông qua và sử dụng cùng một công thức:

Nhân tiện, ồ ký hiệu chữ cái. Tôi đã nhiều lần kêu gọi đừng “bám vào những lá thư” như thể chúng là phao cứu sinh, và giờ đây điều này đặc biệt phù hợp! Phân tích có nhiều nguồn Về chủ đề này, tôi nhìn chung có ấn tượng rằng các tác giả đã “nổi điên” và bắt đầu ném học sinh vào vực thẳm giông bão của toán học một cách không thương tiếc =) Vậy hãy tha thứ cho tôi :))

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số , Nếu như

Các chỉ định khác không nên gây nhầm lẫn! Mỗi khi gặp một nhiệm vụ như thế này, bạn cần phải trả lời hai câu hỏi đơn giản:

1) Chức năng “chính” phụ thuộc vào điều gì? Trong trường hợp này, hàm “zet” phụ thuộc vào hai hàm (“y” và “ve”).

2) Các hàm lồng nhau phụ thuộc vào những biến nào? Trong trường hợp này, cả hai "chèn" chỉ phụ thuộc vào "X".

Vì vậy, bạn sẽ không gặp khó khăn gì khi áp dụng công thức cho nhiệm vụ này!

Giải pháp nhanh và đáp án ở cuối bài.

Các ví dụ bổ sung của loại đầu tiên có thể được tìm thấy trong Cuốn sách vấn đề của Ryabushko (IDZ 10.1), chúng tôi đang hướng tới hàm ba biến:

Ví dụ 3

Cho một hàm trong đó .
Tính đạo hàm tại điểm

Công thức đạo hàm của một hàm phức, như nhiều người đoán, có dạng liên quan:

Quyết định một khi bạn đoán nó =)

Để đề phòng, tôi sẽ đưa ra công thức tổng quát cho hàm:
, mặc dù trong thực tế bạn khó có thể nhìn thấy thứ gì dài hơn Ví dụ 3.

Ngoài ra, đôi khi cần phân biệt phiên bản “cắt ngắn” - theo quy luật, chức năng của hình thức hoặc. Tôi để câu hỏi này để các bạn tự nghiên cứu - đưa ra một số ví dụ đơn giản, suy nghĩ, thử nghiệm và rút ra công thức rút gọn cho đạo hàm.

Nếu còn chỗ nào chưa rõ, các bạn hãy từ từ đọc lại và hiểu phần đầu của bài, vì lúc này nhiệm vụ sẽ trở nên phức tạp hơn:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm riêng của hàm phức, trong đó

Giải pháp: Chức năng này có dạng và sau khi thay thế trực tiếp, chúng ta nhận được hàm thông thường của hai biến:

Nhưng nỗi lo sợ như vậy không những không được chấp nhận mà còn không còn muốn phân biệt nữa =) Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng những công thức làm sẵn. Để giúp bạn nhanh chóng nắm bắt được mẫu, tôi sẽ đưa ra một số lưu ý:

Hãy nhìn kỹ bức tranh từ trên xuống dưới và từ trái sang phải….

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm đạo hàm riêng của hàm “chính”:

Bây giờ chúng ta tìm thấy đạo hàm “X” của “liners”:

và viết đạo hàm “X” cuối cùng:

Tương tự với “trò chơi”:

Và

Bạn có thể chọn một phong cách khác - tìm tất cả các “đuôi” cùng một lúc rồi viết cả hai đạo hàm.

Trả lời:

Về sự thay thế bằng cách nào đó tôi không nghĩ về nó chút nào =)) nhưng bạn có thể điều chỉnh kết quả một chút. Mặc dù, một lần nữa, tại sao? – chỉ làm cho giáo viên khó kiểm tra hơn.

Nếu cần thiết thì đầy đủ sự khác biệtở đây nó được viết theo công thức thông thường, và nhân tiện, chỉ trên bước này Mỹ phẩm nhẹ trở nên thích hợp:


Đây là... ...một chiếc quan tài có bánh xe.

Do tính phổ biến của loại hàm phức tạp đang được xem xét, một số nhiệm vụ dành cho quyết định độc lập. Một ví dụ đơn giản hơn ở dạng "bán tổng quát" là để hiểu chính công thức đó ;-):

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm riêng của hàm số, trong đó

Và phức tạp hơn - với việc đưa vào các kỹ thuật phân biệt:

Ví dụ 6

Tìm vi phân đầy đủ của hàm số , Ở đâu

Không, tôi không hề cố gắng “đưa bạn xuống đáy” - tất cả các ví dụ đều được lấy từ công việc thực tế và “trên biển cả” bạn có thể bắt gặp bất kỳ chữ cái nào. Trong mọi trường hợp, bạn sẽ cần phải phân tích chức năng (trả lời 2 câu hỏi – xem ở trên), trình bày nó trong nhìn chung và sửa đổi cẩn thận các công thức đạo hàm từng phần. Bây giờ bạn có thể hơi bối rối, nhưng bạn sẽ hiểu nguyên tắc cấu tạo của chúng! Bởi vì những thử thách thực sự chỉ mới bắt đầu :)))

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm riêng và tạo vi phân đầy đủ của hàm phức
, Ở đâu

Giải pháp: hàm “main” có dạng và vẫn phụ thuộc vào hai biến – “x” và “y”. Nhưng so với Ví dụ 4, một hàm lồng nhau khác đã được thêm vào và do đó các công thức đạo hàm riêng cũng được kéo dài hơn. Như trong ví dụ đó, để có cái nhìn rõ hơn về mô hình, tôi sẽ làm nổi bật các đạo hàm riêng “chính” màu sắc khác nhau:

Và một lần nữa, hãy nghiên cứu kỹ hồ sơ từ trên xuống dưới và từ trái sang phải.

Vì bài toán được phát biểu ở dạng “bán tổng quát”, nên tất cả công việc của chúng ta về cơ bản chỉ giới hạn ở việc tìm đạo hàm riêng của các hàm nhúng:

Một học sinh lớp một có thể xử lý:

Và ngay cả bộ vi sai đầy đủ cũng trở nên khá đẹp:

Tôi đã cố tình không cung cấp cho bạn bất kỳ chức năng cụ thể nào - để sự lộn xộn không cần thiết sẽ không ảnh hưởng đến sự hiểu biết tốt về sơ đồ nhiệm vụ.

Trả lời:

Bạn thường có thể tìm thấy các khoản đầu tư có quy mô hỗn hợp, ví dụ:

Ở đây hàm “main” tuy có dạng , nhưng vẫn phụ thuộc vào cả “x” và “y”. Do đó, các công thức tương tự cũng hoạt động - chỉ một số đạo hàm riêng sẽ bằng 0. Hơn nữa, điều này cũng đúng với các chức năng như , trong đó mỗi “lớp lót” phụ thuộc vào một biến.

Tình huống tương tự cũng xảy ra ở hai ví dụ cuối của bài học:

Ví dụ 8

Tìm vi phân tổng của hàm số phức tại một điểm

Giải pháp: điều kiện được xây dựng theo cách “ngân sách” và chúng ta phải tự dán nhãn cho các hàm lồng nhau. Tôi nghĩ đây là một lựa chọn tốt:

Các phần “chèn” chứa ( CHÚ Ý!) BA chữ cái là “X-Y-Z” cũ, có nghĩa là hàm “chính” thực sự phụ thuộc vào ba biến. Nó có thể được viết lại chính thức thành , và đạo hàm riêng trong trường hợp này được xác định bằng các công thức sau:

Chúng tôi quét, chúng tôi đi sâu vào, chúng tôi nắm bắt….

Trong nhiệm vụ của chúng tôi:

Đạo hàm riêng của hàm ba biến

Hãy tiếp tục chủ đề yêu thích của mọi người phân tích toán học- các dẫn xuất. Trong bài này chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm riêng của hàm ba biến: đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai. Bạn cần biết và có thể làm gì để nắm vững tài liệu? Dù bạn có tin hay không, trước tiên, bạn cần có khả năng tìm đạo hàm “thông thường” của hàm một biến - ở mức cao hoặc ít nhất là trung bình. Nếu việc đó thực sự khó khăn với họ thì hãy bắt đầu bằng một bài học Làm thế nào để tìm đạo hàm? Thứ hai, điều rất quan trọng là phải đọc bài viết, hiểu và giải quyết, nếu không phải tất cả thì hầu hết các ví dụ. Nếu điều này đã được thực hiện rồi thì hãy đi cùng tôi với dáng đi tự tin, nó sẽ rất thú vị, thậm chí bạn sẽ thích thú!

Phương pháp và nguyên tắc tìm đạo hàm riêng của hàm ba biến thực sự rất giống với đạo hàm riêng của hàm hai biến. Để tôi nhắc bạn, hàm hai biến có dạng , trong đó “x” và “y” là các biến độc lập. Về mặt hình học, hàm hai biến thường là một số bề mặt trong không gian ba chiều của chúng ta.

Hàm ba biến có dạng , và các biến được gọi là biến độc lập hoặc tranh luận, biến đó được gọi biến phụ thuộc hoặc chức năng. Ví dụ: – hàm ba biến

Và bây giờ là một chút về phim khoa học viễn tưởng và người ngoài hành tinh. Bạn có thể thường xuyên nghe về bốn chiều, năm chiều, mười chiều, v.v. không gian. Vô lý hay không?
Suy cho cùng, hàm ba biến hàm ý một không gian bốn chiều
(và thực sự, có ba biến + chính hàm đó). Đồ thị của hàm ba biến được gọi là siêu bề mặt. Không thể tưởng tượng được điều đó, vì chúng ta đang sống trong không gian ba chiều (dài/rộng/cao). Để bạn không cảm thấy nhàm chán với tôi, tôi đưa ra một câu đố. Tôi sẽ hỏi một vài câu hỏi và bất cứ ai quan tâm có thể cố gắng trả lời chúng:

– Trên thế giới có cái thứ tư, thứ năm, v.v. không? các phép đo theo nghĩa hiểu biết philistine về không gian (chiều dài/chiều rộng/chiều cao)?

– Có thể xây dựng một không gian bốn chiều, năm chiều, v.v. không gian theo nghĩa rộng của từ này? Tức là hãy đưa ra một ví dụ về một không gian như vậy trong cuộc sống của chúng ta.

– Có thể du hành về quá khứ được không?

- Có thể du hành đến tương lai không?

- Người ngoài hành tinh có tồn tại không?

Đối với bất kỳ câu hỏi nào, bạn có thể chọn một trong bốn câu trả lời:
Có / Không (khoa học cấm điều này) / Khoa học không cấm điều này / Tôi không biết

Ai trả lời đúng tất cả các câu hỏi thì có nhiều khả năng có được một số vật phẩm ;-)

Mình sẽ dần dần đưa ra đáp án các câu hỏi theo diễn biến của bài, đừng bỏ lỡ các ví dụ nhé!

Trên thực tế, họ đã bay. Và ngay lập tức Tin tốt: đối với hàm ba biến thì quy tắc đạo hàm và bảng đạo hàm đúng. Đó là lý do tại sao bạn cần phải giỏi xử lý những việc “bình thường” đạo hàm của hàm một biến. Có rất ít sự khác biệt!

ví dụ 1

Giải pháp: Không khó đoán - đối với một hàm có ba biến bađạo hàm riêng cấp một, được ký hiệu như sau:

Hoặc – đạo hàm riêng đối với “x”;
hoặc - đạo hàm riêng đối với “y”;
hoặc - đạo hàm riêng đối với “zet”.

Ký hiệu có số nguyên tố phổ biến hơn, nhưng những người biên soạn các bộ sưu tập và sách hướng dẫn đào tạo thực sự thích sử dụng các ký hiệu rườm rà cho các vấn đề - vì vậy đừng để bị lạc! Có lẽ không phải ai cũng biết đọc thành tiếng những “phân số đáng sợ” này một cách chính xác. Ví dụ: nên đọc như sau: “de u po de x.”

Hãy bắt đầu với đạo hàm đối với "x": . Khi chúng ta tìm đạo hàm riêng đối với, thì các biến vàđược coi là hằng số (số không đổi). Và đạo hàm của bất kỳ hằng số nào, ồ, ân huệ, đều bằng 0:

Hãy chú ý ngay đến chỉ số dưới - không ai cấm bạn đánh dấu rằng chúng là hằng số. Nó thậm chí còn thuận tiện hơn; tôi khuyên người mới bắt đầu chỉ nên sử dụng bản ghi như vậy, sẽ ít có nguy cơ bị nhầm lẫn hơn.

(1) Ta sử dụng tính chất tuyến tính của đạo hàm, cụ thể là ta di chuyển tất cả các hằng số ra ngoài dấu của đạo hàm. Xin lưu ý rằng trong số hạng thứ hai không cần loại bỏ hằng số: vì “Y” là một hằng số nên nó cũng là một hằng số. Trong thuật ngữ này, hằng số “thông thường” 8 và hằng số “zet” được lấy ra khỏi dấu đạo hàm.

(2) Chúng ta tìm đạo hàm đơn giản nhất, không quên rằng chúng là hằng số. Tiếp theo chúng ta chải câu trả lời.

Đạo hàm một phần. Khi chúng ta tìm đạo hàm riêng theo “y”, thì các biến vàđược coi là hằng số:

(1) Chúng tôi sử dụng các tính chất của tuyến tính. Và một lần nữa, hãy lưu ý rằng các số hạng , là các hằng số, có nghĩa là không cần phải loại bỏ gì khỏi dấu đạo hàm.

(2) Tìm đạo hàm, không quên chúng là hằng số. Tiếp theo chúng tôi đơn giản hóa câu trả lời.

Và cuối cùng là đạo hàm riêng. Khi chúng ta tìm đạo hàm riêng theo “zet”, thì các biến vàđược coi là hằng số:

Nguyên tắc chung rõ ràng và khiêm tốn: Khi chúng ta tìm đạo hàm riêng vì lý do nào biến độc lập thì hai người khác các biến độc lập được coi là hằng số.

Khi hoàn thành các nhiệm vụ này, bạn phải cực kỳ cẩn thận, đặc biệt, Bạn không thể mất đăng ký(cho biết biến nào được sử dụng để phân biệt). Mất chỉ số sẽ là một SỰ SAI LẦM. Ừm…. Thật buồn cười nếu sau khi bị đe dọa như vậy tôi lại nhớ họ ở đâu đó)

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm riêng cấp một của hàm ba biến

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Giải pháp hoàn chỉnh và đáp án ở cuối bài.

Hai ví dụ được xem xét khá đơn giản và sau khi giải quyết một số vấn đề tương tự, ngay cả một ấm trà cũng sẽ quen với việc giải quyết chúng bằng miệng.

Để giảm bớt căng thẳng, chúng ta hãy quay lại câu hỏi đầu tiên của câu đố: Trên thế giới có thứ tư, thứ năm, v.v. không? các phép đo theo nghĩa hiểu biết philistine về không gian (chiều dài/chiều rộng/chiều cao)?

Câu trả lời chính xác: Khoa học không cấm điều này. Tất cả các tiên đề, định lý, bộ máy toán học cơ bản đều đẹp và nhất quán làm việc trong không gian có chiều bất kỳ. Có thể ở đâu đó trong Vũ trụ tồn tại các siêu bề mặt nằm ngoài tầm kiểm soát của tâm trí chúng ta, chẳng hạn như siêu bề mặt bốn chiều, được xác định bởi hàm ba biến. Hoặc có thể các siêu bề mặt ở bên cạnh chúng ta hoặc thậm chí chúng ta ở ngay trong chúng, chỉ là tầm nhìn, các giác quan và ý thức khác của chúng ta chỉ có khả năng nhận thức và hiểu được ba chiều.

Hãy quay lại các ví dụ. Có, nếu ai đó quá bận rộn với bài kiểm tra, tốt hơn hết là bạn nên đọc câu trả lời cho các câu hỏi sau đây sau khi bạn học cách tìm đạo hàm riêng của hàm ba biến, nếu không tôi sẽ khiến bạn phải suy nghĩ trong suốt quá trình của bài viết =)

Ngoài Ví dụ 1 và 2 đơn giản nhất, trong thực tế còn có những nhiệm vụ có thể gọi là một câu đố nhỏ. Những ví dụ như vậy, khiến tôi thất vọng, đã không được nhìn thấy khi tôi tạo ra bài học Đạo hàm riêng của hàm hai biến. Hãy bắt kịp nó:

Ví dụ 3

Giải pháp: Ở đây có vẻ như “mọi thứ đều đơn giản”, nhưng ấn tượng đầu tiên là lừa dối. Khi tìm đạo hàm riêng, nhiều người sẽ đoán lá chè và mắc sai lầm.

Hãy nhìn vào ví dụ một cách nhất quán, rõ ràng và dễ hiểu.

Hãy bắt đầu với đạo hàm riêng đối với "x". Khi chúng ta tìm đạo hàm riêng đối với “x”, các biến được coi là hằng số. Do đó, số mũ của hàm số của chúng ta cũng là một hằng số. Đối với những người giả, tôi đề xuất giải pháp sau: trong bản nháp, hãy thay đổi hằng số thành một số nguyên dương cụ thể, ví dụ: “năm”. Kết quả là hàm một biến:
hoặc bạn cũng có thể viết nó như thế này:

Cái này quyền lực hàm với cơ số phức (sin). Qua :

Bây giờ chúng ta nhớ lại điều đó, do đó:

Tất nhiên, ở giai đoạn cuối, giải pháp nên được viết như thế này:

Chúng ta tìm đạo hàm riêng đối với “y”, chúng được coi là hằng số. Nếu “x” là hằng số thì nó cũng là hằng số. Trên bản nháp, chúng tôi thực hiện thủ thuật tương tự: thay thế, ví dụ: bằng 3, “Z” - thay thế bằng cùng một “năm”. Kết quả lại là một hàm một biến:

Cái này biểu thị hàm với số mũ phức. Qua quy tắc đạo hàm của hàm phức:

Bây giờ hãy nhớ sự thay thế của chúng tôi:

Như vậy:

Tất nhiên, ở trang cuối cùng, thiết kế sẽ trông đẹp mắt:

Và trường hợp gương có đạo hàm riêng theo “zet” ( – hằng số):

Với một số kinh nghiệm, việc phân tích có thể được thực hiện bằng tinh thần.

Hãy hoàn thành phần thứ hai của nhiệm vụ - soạn vi phân bậc một. Rất đơn giản, bằng cách tương tự với hàm hai biến, vi phân bậc nhất được viết bằng công thức:

Trong trường hợp này:

Và đó là công việc kinh doanh. Tôi lưu ý rằng trong vấn đề thực tế Vi phân bậc 1 đầy đủ cho hàm ba biến yêu cầu biên dịch ít thường xuyên hơn nhiều so với hàm hai biến.

Một ví dụ hài hước để tự giải quyết:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm riêng cấp một của hàm ba biến và xây dựng vi phân đầy đủ cấp một

Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài. Nếu bạn gặp bất kỳ khó khăn nào, hãy sử dụng thuật toán “Chaynikovsky” đã thảo luận, nó đảm bảo sẽ hữu ích. Và xa hơn lời khuyên hữu ích – không cần vội. Ngay cả tôi cũng không thể giải quyết những ví dụ như vậy một cách nhanh chóng.

Hãy lạc đề và xem xét câu hỏi thứ hai: Liệu có thể xây dựng một không gian bốn chiều, năm chiều, v.v. không gian theo nghĩa rộng của từ này? Tức là hãy đưa ra một ví dụ về một không gian như vậy trong cuộc sống của chúng ta.

Câu trả lời chính xác: Đúng. Hơn nữa, nó rất dễ dàng. Ví dụ: chúng tôi thêm chiều thứ tư vào chiều dài/chiều rộng/chiều cao - thời gian. Không-thời gian bốn chiều phổ biến và thuyết tương đối nổi tiếng, được Einstein biên soạn cẩn thận dựa trên các tác phẩm của Lobachevsky, Poincaré, Lorentz và Minkowski. Không phải ai cũng biết. Tại sao ông lại nhận được giải Nobel? Đã xảy ra một vụ bê bối nghiêm trọng trong thế giới khoa học, và Ủy ban Nobel đã công bố khen thưởng của sinh viên hạng C Einstein như sau: “Vì những đóng góp chung của ông cho sự phát triển của vật lý”. Hơn nữa, như họ nói, quảng bá và PR.

Thật dễ dàng để thêm chiều thứ năm vào không gian bốn chiều đang được xem xét, ví dụ: áp suất khí quyển. V.v., v.v., bao nhiêu thứ nguyên mà bạn chỉ định trong mô hình của mình - đó sẽ là bao nhiêu thứ nguyên. TRONG theo nghĩa rộng nói cách khác, chúng ta đang sống trong một không gian đa chiều.

Hãy xem xét một vài nhiệm vụ điển hình hơn:

Ví dụ 5

Giải pháp: Một nhiệm vụ trong công thức này thường được tìm thấy trong thực tế và liên quan đến việc thực hiện hai hành động sau:
– bạn cần tìm đạo hàm từng phần cấp một;
– bạn cần tính các giá trị đạo hàm riêng bậc 1 tại điểm.

Chúng tôi quyết định:

(1) Trước mắt chúng ta là một hàm số phức, và trong bước đầu tiên chúng ta phải lấy đạo hàm của arctang. Trong trường hợp này, trên thực tế, chúng tôi bình tĩnh sử dụng công thức dạng bảng cho đạo hàm của arctang . Qua quy tắc đạo hàm của hàm phức kết quả phải được nhân với đạo hàm chức năng nội bộ(đính kèm): .

(2) Chúng tôi sử dụng các tính chất của tuyến tính.

(3) Và chúng ta lấy các đạo hàm còn lại, không quên rằng chúng là hằng số.

Theo điều kiện bài toán cần tìm giá trị đạo hàm riêng tìm được Ở điểm . Hãy thay tọa độ của điểm vào đạo hàm tìm được:

Lợi thế của nhiệm vụ này thực tế là các đạo hàm riêng khác tuân theo một mô hình rất giống nhau:

Như bạn có thể thấy, mẫu giải pháp gần như giống nhau.

Hãy tính giá trị đạo hàm riêng tìm được Ở điểm:

Và cuối cùng, đạo hàm theo “zet”:

Sẵn sàng. Lời giải có thể được xây dựng theo cách khác: trước tiên hãy tìm cả ba đạo hàm riêng, sau đó tính giá trị của chúng tại điểm. Tuy nhiên, đối với tôi, có vẻ như phương pháp trên thuận tiện hơn - chỉ cần tìm đạo hàm riêng và ngay lập tức, không cần rời khỏi máy tính tiền, tính giá trị của nó tại thời điểm đó.

Thật thú vị khi lưu ý rằng về mặt hình học, một điểm là một điểm rất thực trong không gian ba chiều của chúng ta. Các giá trị của hàm số, đạo hàm – đã là chiều thứ tư rồi, và không ai biết nó nằm ở đâu về mặt hình học. Như người ta nói, không ai bò quanh Vũ trụ bằng thước dây hoặc séc.

Vì chủ đề triết học lại được nhắc đến nên chúng ta hãy xem xét câu hỏi thứ ba: Liệu có thể du hành về quá khứ không?

Câu trả lời chính xác: KHÔNG. Du hành về quá khứ mâu thuẫn với định luật nhiệt động thứ hai về tính không thuận nghịch quá trình vật lý(Sự hỗn loạn). Vậy nên xin đừng lặn xuống hồ không có nước, sự việc chỉ có thể phát lại trong video =) Không phải vô cớ mà trí tuệ dân gian đã nghĩ ra định luật ngược lại đời thường: “Đo hai lần, cắt một”. Mặc dù trên thực tế, điều đáng buồn là thời gian là một chiều và không thể đảo ngược nhưng không ai trong chúng ta sẽ trẻ hơn vào ngày mai. Và nhiều bộ phim khoa học viễn tưởng khác nhau như “Kẻ hủy diệt” hoàn toàn vô nghĩa theo quan điểm khoa học. Cũng thật phi lý xét theo quan điểm triết học khi Hiệu ứng quay trở lại quá khứ có thể phá hủy Nguyên nhân của chính nó.

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất tại một điểm

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất tại một điểm

Đây là hai ví dụ đơn giản để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Nhưng đừng buồn về định luật nhiệt động thứ hai nhé, bây giờ tôi sẽ khuyến khích mọi người nhiều hơn ví dụ phức tạp:

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm riêng cấp một của hàm ba biến

Giải pháp: Hãy tìm đạo hàm riêng cấp một:

(1) Khi bắt đầu tìm đạo hàm, bạn nên làm theo cách tiếp cận tương tự như đối với hàm một biến. Chúng tôi sử dụng các tính chất của tuyến tính, trong trường hợp này chúng tôi lấy nó ra khỏi dấu của hằng số đạo hàm.

(2) Theo dấu đạo hàm ta có công việc hai chức năng, mỗi cái đều phụ thuộc từ biến “trực tiếp” của chúng tôi “x”. Vì vậy cần phải sử dụng quy tắc phân biệt sản phẩm .

(3) Không có khó khăn gì với đạo hàm, nhưng đạo hàm là đạo hàm của một hàm phức: về cơ bản, trước tiên bạn cần tìm một logarit dạng bảng và nhân nó với đạo hàm của phép nhúng.

(4) Tôi nghĩ mọi người đều đã quen với những ví dụ đơn giản nhất như - ở đây chúng ta chỉ có “live”, đạo hàm của nó bằng

Trường hợp đạo hàm đối với chữ “y” gần như là một hình ảnh phản chiếu, tôi sẽ viết ngắn gọn và không bình luận:

Nó thú vị hơn với đạo hàm “zet”, mặc dù nó vẫn gần như giống nhau:

(1) Ta lấy các hằng số ra khỏi dấu của đạo hàm.

(2) Đây lại là tích của hai hàm số, mỗi cái đều phụ thuộc từ biến “trực tiếp” “zet”. Về nguyên tắc, bạn có thể sử dụng công thức tính đạo hàm của thương, nhưng sẽ dễ dàng hơn nếu đi theo cách khác - tìm đạo hàm của tích.

(3) Đạo hàm là đạo hàm dạng bảng. Thuật ngữ thứ hai chứa đạo hàm quen thuộc của một hàm phức.

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm riêng cấp một của hàm ba biến

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Hãy suy nghĩ về cách hợp lý hơn để tìm ra đạo hàm riêng này hoặc đạo hàm riêng đó. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Trước khi chuyển sang các ví dụ cuối cùng của bài học và xem xét đạo hàm riêng bậc hai hàm ba biến, tôi sẽ làm mọi người vui lên một lần nữa với câu hỏi thứ tư:

Có thể du hành tới tương lai không?

Câu trả lời chính xác: Khoa học không cấm điều này. Nghịch lý thay, không có luật toán học, vật lý, hóa học hay khoa học tự nhiên nào cấm du hành tới tương lai! Có vẻ như vô nghĩa? Nhưng hầu hết mọi người trong cuộc sống đều có linh cảm (và không được hỗ trợ bởi bất kỳ lập luận logic nào) rằng sự kiện này hay sự kiện kia sẽ xảy ra. Và nó đã xảy ra! Thông tin đến từ đâu? Từ tương lai? Vì vậy, những bộ phim khoa học viễn tưởng về du hành vào tương lai, và nhân tiện, những lời tiên đoán của đủ loại thầy bói và nhà ngoại cảm không thể gọi là vô nghĩa như vậy. Ít nhất khoa học chưa bác bỏ điều này. Mọi thứ đều có thể! Vì vậy, khi tôi còn đi học, đối với tôi, đĩa CD và màn hình phẳng trong phim dường như không thể tin được.

Bộ phim hài nổi tiếng “Ivan Vasilyevich Thay đổi nghề nghiệp” (nhiều nhất là một nửa hư cấu). Không có luật khoa học nào cấm Ivan Bạo chúa đến tương lai, nhưng không thể nào hai quả ớt lại quay về quá khứ và thực hiện nghĩa vụ của một vị vua.

Đạo hàm riêng bậc hai của hàm ba biến

Nguyên tắc chung tìm đạo hàm riêng bậc hai của hàm ba biến cũng tương tự như nguyên lý tìm đạo hàm riêng bậc hai của hàm hai biến. Vì vậy, nếu bạn đã học tốt bài học này Đạo hàm riêng của hàm hai biến, thì mọi chuyện sẽ rất đơn giản.

Để tìm đạo hàm riêng cấp hai, trước tiên bạn cần tìm đạo hàm riêng cấp một hoặc theo ký hiệu khác: .

Có chín đạo hàm riêng bậc hai.

Nhóm đầu tiên là đạo hàm thứ hai đối với cùng một biến:
hoặc - đạo hàm bậc hai đối với “x”;
hoặc - đạo hàm bậc hai đối với “y”;
hoặc - đạo hàm bậc hai đối với “zet”.

Nhóm thứ hai là TrộnĐạo hàm riêng cấp 2, có 6 đạo hàm sau:
hoặc - Trộnđạo hàm của “x by y”;
hoặc - Trộnđạo hàm “yy by x”;
hoặc - Trộnđạo hàm “x by z”;
hoặc - Trộnđạo hàm của “Z by X”;
hoặc - Trộn phái sinh của “Igrek by Z”;
hoặc - Trộn phái sinh của “zet by igrek”.

Hàm nhiều biến

§1. Khái niệm hàm nhiều biến.

Để đó đi N số lượng thay đổi. Mỗi bộ
biểu thị một điểm N- tập chiều
(P vectơ -chiều).

Hãy để các bộ đã cho
Và
.

ODA. Nếu mỗi điểm
trùng với số ít
, thì chúng ta nói rằng một hàm số đã cho N biến:

.

được gọi là miền định nghĩa,
- một tập hợp các giá trị của một hàm nhất định.

Khi N=2 thay vào đó
thường viết x, y, z. Khi đó hàm hai biến có dạng:

z= f(x, y).

Ví dụ,
- hàm hai biến;

- hàm ba biến;

Hàm tuyến tính N biến.

ODA. Đồ thị hàm số N các biến được gọi N- siêu bề mặt chiều trong không gian
, mỗi điểm được xác định bởi tọa độ

Ví dụ: đồ thị của hàm hai biến z= f(x, y) là một bề mặt trong không gian ba chiều, mỗi điểm của nó được xác định bởi tọa độ ( x, y, z) , Ở đâu
, Và
.

Vì không thể vẽ đồ thị của hàm có ba biến trở lên nên chúng ta sẽ chủ yếu (để rõ ràng) xem xét hàm hai biến.

Vẽ hàm hai biến khá dễ dàng nhiệm vụ đầy thử thách. Việc xây dựng cái gọi là đường mức có thể hỗ trợ đáng kể trong việc giải quyết vấn đề này.

ODA. Đường mức của hàm hai biến z= f(x, y) được gọi là tập hợp các điểm của mặt phẳng HOU, là hình chiếu của tiết diện đồ thị hàm số bởi một mặt phẳng song song ỐI. Tại mỗi điểm trên đường mức hàm có cùng giá trị. Đường mức được mô tả bằng phương trình f(x, y)=c, Ở đâu Với- một số nhất định. Có vô số đường mức và một trong số chúng có thể được vẽ qua mỗi điểm của miền định nghĩa.

ODA. Chức năng cấp độ bề mặt N biến y= f (
) được gọi là siêu bề mặt trong không gian
, tại mỗi điểm mà giá trị của hàm không đổi và bằng một giá trị nhất định Với. Phương trình bề mặt cấp độ: f (
)=s.

Ví dụ. Vẽ đồ thị hàm số hai biến

.

.

Khi c=1:
;
.

Với c=4:
;
.

Tại c=9:
;
.

Đường mức là các vòng tròn đồng tâm, bán kính giảm dần khi tăng z.

§2. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến.

Đối với hàm nhiều biến, các khái niệm tương tự được định nghĩa như đối với hàm một biến. Ví dụ: bạn có thể đưa ra định nghĩa về giới hạn và tính liên tục của hàm số.

ODA. Số A được gọi là giới hạn của hàm hai biến z= f(x, y) Tại
,
và được chỉ định
, nếu với mọi số dương có một số dương , sao cho nếu điểm
cách xa điểm
khoảng cách ít hơn , thì số lượng f(x, y) và A khác nhau ít hơn .

ODA. Nếu chức năng z= f(x, y) được xác định tại điểm
và có giới hạn tại điểm này bằng giá trị của hàm
thì nó được gọi là liên tục tại một điểm cho trước.

.

§3. Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến.

Xét hàm hai biến
.

Ví dụ: hãy sửa giá trị của một trong các đối số của nó , đặt
. Sau đó, chức năng
có một hàm một biến . Để nó có đạo hàm tại điểm :

.

Đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng (hoặc đạo hàm riêng cấp 1) của hàm số
Qua tại điểm
và được chỉ định:
;
;
;
.

Sự khác biệt được gọi là mức tăng một phần và được chỉ định
:

Dựa vào các ký hiệu trên, chúng ta có thể viết

.

Được xác định tương tự

.

đạo hàm riêng Hàm số của một số biến trong một trong các biến này được gọi là giới hạn của tỷ lệ giữa mức tăng một phần của hàm và mức tăng của biến độc lập tương ứng, khi mức tăng này có xu hướng bằng 0.

Khi tìm đạo hàm riêng của một đối số bất kỳ, các đối số còn lại được coi là không đổi. Tất cả các quy tắc và công thức đạo hàm riêng của hàm nhiều biến đều đúng.

Lưu ý rằng đạo hàm riêng của một hàm là các hàm có cùng biến. Ngược lại, các hàm số này có thể có đạo hàm riêng, được gọi là đạo hàm riêng thứ hai(hoặc đạo hàm riêng bậc hai) của hàm ban đầu.

Ví dụ, chức năng
có bốn đạo hàm riêng bậc hai, được ký hiệu như sau:

;
;

;
.

Và
- hỗn hợp các dẫn xuất từng phần.

Ví dụ. Tìm đạo hàm riêng bậc hai của hàm số

.

Giải pháp.
,
.

,
.

,
.

Bài tập.

1. Tìm đạo hàm riêng bậc hai của hàm số

,
;

2. Về chức năng
chứng minh rằng
.

đầy đủ sự khác biệt hàm nhiều biến.

Với những thay đổi đồng thời về giá trị X Và Tại chức năng
sẽ thay đổi một lượng gọi là tổng số gia của hàm z tại điểm
. Cũng giống như trong trường hợp hàm một biến, vấn đề phát sinh là thay thế gần đúng số gia
TRÊN hàm tuyến tính từ
Và
. Vai trò của xấp xỉ tuyến tính được thực hiện bởi đầy đủ sự khác biệtĐặc trưng:

Tổng chênh lệch bậc hai:

=
.

=
.

Nói chung là có sự khác biệt tổng thể P- Lệnh thứ có dạng:

Đạo hàm định hướng. Dốc.

Hãy để chức năng z= f(x, y) được xác định trong một lân cận nào đó của điểm M( x, y) Và - một số hướng được chỉ định bởi vectơ đơn vị
. Tọa độ của vectơ đơn vị được biểu diễn thông qua cosin của các góc tạo bởi vectơ và trục tọa độ và gọi là cosin chỉ phương:

,

.

Khi di chuyển điểm M( x, y) theo hướng này tôi chính xác
chức năng z sẽ nhận được một khoản tăng thêm

được gọi là sự gia tăng của hàm theo một hướng nhất định tôi.

E nếu MM 1 =∆ tôi, Cái đó

T

khi

VỀ

vân vân. Phát sinh chức năng z= f(x, y) đối với được gọi là giới hạn của tỷ số giữa độ tăng của hàm theo hướng này với độ lớn của độ dịch chuyển ∆ tôi vì cái sau có xu hướng bằng không:

Đạo hàm có hướng đặc trưng cho tốc độ thay đổi của hàm theo một hướng nhất định. Rõ ràng là đạo hàm riêng Và biểu diễn đạo hàm theo hướng song song với trục Con bò đực Và Ôi. Thật dễ dàng để chứng minh điều đó

Ví dụ. Tính đạo hàm của một hàm số
tại điểm (1;1) theo hướng
.

ODA. Dốc chức năng z= f(x, y) là một vectơ có tọa độ bằng đạo hàm riêng:

.

Xét tích vô hướng của vectơ
Và
:

Thật dễ dàng để thấy điều đó
, I E. đạo hàm có hướng bằng tích vô hướng của gradient và vectơ chỉ hướng đơn vị .

Bởi vì
, thì tích vô hướng sẽ lớn nhất khi các vectơ có cùng hướng. Do đó, độ dốc của hàm tại một điểm chỉ định hướng tăng nhanh nhất của hàm tại điểm này và mô đun của độ dốc bằng tốc độ tăng trưởng tối đa của hàm.

Biết được độ dốc của hàm, người ta có thể xây dựng cục bộ các đường mức hàm.

Định lý. Cho một hàm khả vi z= f(x, y) và tại điểm
độ dốc của hàm không bằng 0:
. Khi đó gradient vuông góc với đường mức đi qua điểm đã cho.

Do đó, nếu bắt đầu từ một điểm nhất định, chúng ta xây dựng gradient của hàm và một phần nhỏ của đường mức vuông góc với nó tại các điểm gần đó, thì chúng ta có thể (có một số lỗi) xây dựng các đường mức.

Cực trị địa phương của hàm hai biến

Hãy để chức năng
xác định và liên tục trong một lân cận nào đó của điểm
.

ODA. chấm
được gọi là điểm cực đại địa phương của hàm
, nếu có một lân cận như vậy của điểm , trong đó với mọi điểm
bất đẳng thức xảy ra:

.

Khái niệm mức tối thiểu cục bộ cũng được đưa ra tương tự.

Định lý (điều kiện cần cho cực trị địa phương).

Để có hàm khả vi
có một cực trị địa phương tại điểm
, điều cần thiết là tất cả các đạo hàm riêng cấp một của nó tại thời điểm này phải bằng 0:

Vì vậy, những điểm có thể có của một cực trị là những điểm mà tại đó hàm khả vi và gradient của nó bằng 0:
. Như trong trường hợp hàm một biến, những điểm như vậy được gọi là điểm dừng.

Chức năng của một số biến. Biểu diễn hình học của hàm hai biến. Đường mức và bề mặt. Giới hạn và tính liên tục của hàm số một số biến, tính chất của chúng. Đạo hàm riêng, tính chất và ý nghĩa hình học của chúng.

Định nghĩa 1.1. Biến đổi z(có diện tích thay đổi Z) được gọi là hàm hai biến độc lập x, y dồi dào M, nếu mỗi cặp ( x, y) từ nhiều M z từ Z.

Định nghĩa 1.2. Một loạt M, trong đó các biến được chỉ định x, y, gọi điện miền của hàm, và chính họ x, y- cô ấy tranh luận.

Chỉ định: z = f(x,y), z = z(x,y).

Bình luận. Vì một vài số ( x, y) có thể được coi là tọa độ của một điểm nhất định trên mặt phẳng, sau đó chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ “điểm” cho một cặp đối số cho hàm hai biến, cũng như cho tập hợp các số có thứ tự là đối số của hàm của một số biến.

Định nghĩa 1.3. . Biến đổi z(có diện tích thay đổi Z) được gọi là hàm của một số biến độc lập dồi dào M, nếu mỗi bộ số từ tập hợp M theo một số quy tắc hoặc luật lệ, người ta được đưa vào thư từ giá trị cụ thể z từ Z. Các khái niệm về đối số và miền xác định được giới thiệu giống như đối với hàm hai biến.

Chỉ định: z = f , z = z .

Biểu diễn hình học của hàm hai biến.

Hãy xem xét chức năng z = f(x,y), (1.1)

Được xác định ở một số khu vực M trên mặt phẳng O xy. Khi đó tập hợp các điểm trong không gian ba chiều có tọa độ ( XYZ), trong đó , là đồ thị của hàm hai biến. Vì phương trình (1.1) xác định một bề mặt nhất định trong không gian ba chiều nên nó sẽ là hình ảnh hình học chức năng được đề cập.

z = f(x,y)

Ví dụ bao gồm các phương trình mặt phẳng đã học ở học kỳ trước

z = ax + by + c

và bề mặt bậc hai:

z = x² + y² (paraboloid của cách mạng),

(hình nón), v.v.

Bình luận. Đối với hàm có ba biến trở lên, chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ “bề mặt trong N không gian có chiều”, mặc dù không thể mô tả được một bề mặt như vậy.

Đường cấp và bề mặt.

Đối với hàm hai biến cho bởi phương trình (1.1), ta có thể xét tập hợp các điểm ( x, y) Hỡi mặt phẳng xy, mà z nhận cùng một giá trị không đổi, tức là z= hằng số Những điểm này tạo thành một đường thẳng trên mặt phẳng gọi là đường mức.

Tìm các đường mức của bề mặt z = 4 – x² - y². phương trình của họ trông giống như x² + y² = 4 – c(c=const) – phương trình đường tròn đồng tâm có tâm ở gốc và có bán kính . Ví dụ, khi Với=0 chúng ta có một vòng tròn x² + y² = 4.

Đối với hàm ba biến u = u(x, y, z) phương trình u(x, y, z) = c xác định một bề mặt trong không gian ba chiều, được gọi là bề mặt bằng phẳng.

Đối với chức năng bạn = 3x + 5y – 7z–Các mặt phẳng 12 sẽ là một họ các mặt phẳng song song được cho bởi phương trình 3 x + 5y – 7z –12 + Với = 0.

CHỨC NĂNG CỦA NHIỀU BIẾN

1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Đặt: z - một giá trị biến có phạm vi thay đổi R; R - trục số; D - diện tích trên mặt phẳng tọa độ R2.

Mọi ánh xạ D->R đều được gọi là hàm hai biến có miền D và được viết z = f(x;y).

Nói cách khác:

Nếu mỗi cặp (x; y) của hai biến độc lập từ miền D, theo một quy tắc nào đó, được liên kết với một giá trị cụ thể z từ R, thì giá trị biến z được gọi là hàm của hai biến độc lập x và y với miền D và được viết

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" Height="32 src=">

Ví dụ 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" Height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg"align="left" width="110" Height="89">

Miền định nghĩa là một phần của mặt phẳng nằm bên trong đường tròn bán kính r = 3, với tâm là gốc, xem hình.

Ví dụ 3. Tìm và vẽ miền xác định của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" Height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" Height="30 src=">

2. GIẢI THÍCH HÌNH HỌC VỀ CHỨC NĂNG CỦA HAI

BIẾN

2.1.Đồ thị của hàm hai biến

Chúng ta hãy xem xét một hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gian và vùng D trên mặt phẳng xOy. Tại mỗi điểm M(x;y) từ vùng này, chúng ta khôi phục đường vuông góc với mặt phẳng xOy và vẽ giá trị z = f(x;y) trên đó. Vị trí hình học của các điểm thu được

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" Height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" Height="23 src=">

Đây là các đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = C1/2 và phương trình

x2 + y2 = R2, xem hình.

Các đường mức cho phép chúng ta biểu diễn bề mặt đang được xem xét, tạo ra các đường tròn đồng tâm khi được cắt bởi các mặt phẳng z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" Height="29"> và tìm .

Giải pháp. Hãy sử dụng phương pháp phần.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 Height=60" Height="60">– trong mặt phẳng – một parabol.

– trong mặt phẳng – parabol.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" Height="24 src="> – hình tròn.

Bề mặt cần tìm là một paraboloid xoay.

Khoảng cách giữa hai điểm tùy ý và không gian (Euclide) được gọi là một số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 Height=24" Height="24"> được gọi vòng tròn mở bán kính có tâm tại điểm r.

Một đường tròn mở bán kính ε có tâm tại điểm A được gọi là - ε - vùng lân cận điểm A

3 nhiệm vụ

Tìm và mô tả bằng đồ họa miền định nghĩa của hàm:

Vẽ đường mức chức năng:

3. GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN

Các khái niệm cơ bản về phân tích toán học được giới thiệu cho hàm một biến mở rộng cho hàm nhiều biến.

Sự định nghĩa:

Một hằng số A được gọi là giới hạn của hàm hai biến z = f(x;y) với x -> x0, y -> y0, nếu với bất kỳ

ε >0 tồn tại δ >0 sao cho |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Thực tế này được chỉ ra như sau:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" Height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" Height="25 src=">. Đối với hàm hai biến, xu hướng đạt đến một điểm giới hạn trên mặt phẳng có thể xảy ra theo số lượng vô hạn hướng (và không nhất thiết phải theo đường thẳng), và do đó yêu cầu về sự tồn tại giới hạn của hàm hai (hoặc nhiều) biến là “chặt chẽ” hơn so với hàm một biến.

Ví dụ 1. Tìm thấy .

Giải pháp. Hãy để mong muốn đạt đến điểm giới hạn http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 Height=24" Height="24">. Sau đó

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 Height=48" Height="48"> tùy thuộc vào.

Ví dụ 2. Tìm thấy .

Giải pháp.Đối với bất kỳ đường thẳng nào, giới hạn là như nhau:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" Height="29">. Sau đó

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" Height="21">, (phần còn lại là bằng cách tương tự).

Sự định nghĩa. Số đó được gọi là giới hạn hàm cho và , nếu cho sao cho các bất đẳng thức và bao hàm bất đẳng thức . Sự thật này được viết ngắn gọn như sau:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" Height="48">.gif" width="236" Height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" Height="60 src=">,

đâu là điểm giới hạn http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" Height="24 src="> với miền định nghĩa và để – điểm giới hạn của tập hợp, tức là điểm mà các đối số có xu hướng hướng tới X Và Tại.

Định nghĩa 1. Người ta nói chức năng liên tục tại một điểm nếu:

1) ;

2) , I E. .

Chúng ta hãy xây dựng định nghĩa về tính liên tục ở dạng tương đương..gif" width="89" Height="25 src=">.gif" width="85 Height=24" Height="24"> liên tục tại một điểm nếu đẳng thức đúng

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" Height="20 src=">.gif" width="15 Height=16" Height="16"> hãy đưa ra một mức tăng tùy ý. Hàm sẽ nhận được mức tăng một phần bằng X

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" Height="25 src="> là hàm của một biến. Tương tự,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" Height="24"> được gọi liên tục tại một điểm trên một biến (trên một biến) nếu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" Height="36">).

Định lý.Nếu chức năngđược xác định trong một lân cận nhất định của một điểm và liên tục tại điểm này, thì nó liên tục tại điểm này trong mỗi biến.

Tuyên bố ngược lại là không đúng sự thật.

VÍ DỤ Hãy chứng minh rằng hàm

liên tục tại điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 chiều cao=16" chiều cao="16">.gif" chiều rộng="57" chiều cao="24 " > tại điểm tương ứng với mức tăng http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" Height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" Height="36 src=">, có nghĩa là nó liên tục tại một điểm trong biến.

Tương tự, người ta có thể chứng minh tính liên tục tại một điểm đối với một biến.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng không có giới hạn. Cho một điểm tiếp cận một điểm dọc theo đường thẳng đi qua điểm đó. Sau đó chúng tôi nhận được

.

Do đó, tiếp cận điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" Height="20">, chúng ta thu được các giá trị giới hạn khác nhau. Theo đó, giới hạn của điều này hàm không tồn tại tại thời điểm đó, có nghĩa là hàm http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" Height="48 src=">

Các chỉ định khác

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" Height="55 src=">

Các chỉ định khác

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" Height="28 src=">.

Giải pháp. Chúng ta có:

,

Ví dụ 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" Height="51 src=">

Ví dụ 3. Tìm đạo hàm riêng của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" Height="58 src=">

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm riêng của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" Height="54 src=">

5.2. Vi phân bậc một của hàm hai biến

Vi phân riêng phần của hàm số z = f(x, y) đối với các biến x và y lần lượt được xác định bởi các công thức x(x;y) và f"y(x;y) tồn tại tại điểm ( x0;y0) và trong một số vùng lân cận của nó và liên tục tại điểm này, sau đó, bằng cách tương tự với hàm một biến, một công thức được thiết lập cho mức tăng hoàn chỉnh của hàm hai biến

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" Height="57 src=">

trong đó http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" Height="39 src=">

Nói cách khác, hàm z = f(x, y) khả vi tại điểm (x, y) nếu gia số Δz của nó tương đương với hàm:

Sự biểu lộ

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" Height="57 src=">

Xét trường hợp Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" Height="24 src="> khả vi tại điểm thì nó liên tục tại điểm này.

Mệnh đề ngược lại là sai, tức là tính liên tục chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ để tính khả vi của hàm số. Hãy thể hiện nó.

VÍ DỤ Hãy tìm đạo hàm riêng của hàm http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" Height="57 src=">.

Các công thức thu được mất ý nghĩa tại điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" Height="33 src="> không có đạo hàm riêng tại điểm đó. Trong thực tế, . Hàm một biến này, như đã biết, không có đạo hàm tại điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" Height="48"> có không tồn tại tại điểm. Tương tự, không có đạo hàm riêng và hàm số , rõ ràng là liên tục tại điểm .

Vì vậy, chúng ta đã chỉ ra rằng một hàm liên tục có thể không có đạo hàm riêng. Vẫn còn phải thiết lập mối liên hệ giữa khả vi và sự tồn tại của đạo hàm riêng.

5.4. Mối quan hệ giữa khả vi và sự tồn tại của đạo hàm riêng.

Định lý 1.Điều kiện cần để có khả năng phân biệt.

Nếu hàm z = f(x, y) khả vi tại điểm M(x, y), thì nó có đạo hàm riêng theo từng biến và tại điểm M.

Định lý ngược lại không đúng, tức là sự tồn tại của đạo hàm riêng là cần thiết nhưng không phải là điều kiện đủ để tính khả vi của hàm số.

Định lý 2. Đủ điều kiện tính khác biệt. Nếu hàm z = f(x, y) có đạo hàm riêng liên tục tại điểm , thì nó khả vi tại điểm đó (và vi phân tổng của nó tại điểm này được biểu thị bằng công thức http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 chiều cao=29" chiều cao="29">

Ví dụ 2. Tính 3.021,97

3 nhiệm vụ

Tính gần đúng bằng cách sử dụng vi phân:

5.6. Quy tắc phân biệt hàm phức và hàm ẩn. Đạo hàm đầy đủ.

Trường hợp 1.

z=f(u,v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Các hàm u và v là các hàm liên tục của các đối số x, y.

Do đó, hàm z là hàm phức của các đối số x và y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Giả sử rằng các hàm f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) có đạo hàm riêng liên tục đối với tất cả các đối số của chúng.

Hãy đặt nhiệm vụ tính toán http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" Height="44 src=">.

Hãy cho đối số x một mức tăng Δx, cố định giá trị của đối số y. Khi đó hàm hai biến u= φ(x, y) và

v= φ(x, y) sẽ nhận được mức tăng một phần Δxu và Δxv. Do đó, z=f(u, v) sẽ nhận được toàn bộ số gia được xác định trong đoạn 5.2 (vi phân bậc một của hàm hai biến):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" Height="43 src=">

Nếu xu→ 0 thì Δxu → 0 và Δxv → 0 (do tính liên tục của hàm u và v). Chuyển đến giới hạn tại Δx→ 0, ta thu được:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" Height="44 src="> (*)

VÍ DỤ

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" Height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" Height="44 src=">.gif" width="45" Height="44 src=">.

Khi đó sử dụng công thức (*) ta có:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" Height="44 src=">.

Để có được kết quả cuối cùng, trong hai công thức cuối, thay vì u và v, cần thay thế lần lượt еx+y² và x2+y.

Trường hợp 2.

Các hàm x và y là các hàm liên tục.

Do đó, hàm z=f(x, y) phụ thuộc thông qua x và y vào một biến độc lập t, tức là giả sử rằng x và y không phải là các biến độc lập mà là hàm của biến độc lập t và xác định đạo hàm http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" Height="44 src=">

Hãy chia cả hai vế của đẳng thức này cho Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" Height="44 src="> (**)

Trường hợp 3.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng vai trò của biến độc lập t được thực hiện bởi biến x, nghĩa là hàm z = f(x, y) phụ thuộc vào biến độc lập x cả trực tiếp và thông qua biến y, đó là a hàm liên tục của x.

Có tính đến điều đó http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" Height="44 src="> (***)

Đạo hàm x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" Height="27 src=">, y=sin x.

Tìm đạo hàm riêng

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" Height="48 src=">.gif" width="383" Height="48 src=">

Quy tắc đã được chứng minh để lấy đạo hàm các hàm phức tạp được áp dụng để tìm đạo hàm của hàm ẩn.

Đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm định.

Giả sử rằng phương trình

định nghĩa y là hàm ẩn của x có đạo hàm

y' = φ'(x)_

Thay y = φ(x) vào phương trình F(x, y) = 0, chúng ta sẽ phải thu được đẳng thức 0 = 0, vì y = φ(x) là nghiệm của phương trình này. Do đó, chúng ta thấy rằng hằng số 0 có thể được coi là một hàm phức của x, phụ thuộc vào x cả trực tiếp và thông qua y =φ(x).

Đạo hàm theo x của hằng số này phải bằng 0; Áp dụng quy tắc (***), ta có

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" Height="41 src=">

Kể từ đây,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" Height="24"> đúng cho cả hàm này và hàm kia.

5.7. Tổng số chênh lệch của đơn hàng đầu tiên. Bất biến dạng vi phân bậc một

Hãy thay thế các biểu thức cho http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" Height="41 src="> được xác định bởi đẳng thức (*) (xem trường hợp 1 trong mệnh đề 5.6 “Quy tắc vi phân hàm phức và hàm ẩn. Đạo hàm tổng”) thành công thức vi phân tổng

Gif" width="33" Height="19 src=">.gif" width="33" Height="19 src=">.gif" width="140" Height="44 src=">

Khi đó công thức vi phân tổng bậc một của hàm hai biến có dạng

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" Height="41 src=">

So sánh đẳng thức cuối cùng với công thức vi phân bậc nhất của hàm hai biến độc lập, chúng ta có thể nói rằng biểu thức vi phân bậc một đầy đủ của hàm nhiều biến có dạng giống như nếu u và v là các biến độc lập.

Nói cách khác, dạng của vi phân thứ nhất là bất biến, nghĩa là nó không phụ thuộc vào việc các biến u và v là các biến độc lập hay phụ thuộc vào các biến khác.

VÍ DỤ

Tìm tổng vi phân cấp một của hàm phức

z=u2v3, u=x2 tội lỗi y, v=x3·ey.

Giải: Sử dụng công thức tính tổng vi phân bậc một, ta có

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x tội lỗi y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Biểu thức này có thể được viết lại như thế này

dz=(2uv3 2x sin+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 ấm+3u2v2x3 ey) dy=

Tính chất bất biến của vi phân cho phép chúng ta mở rộng quy tắc tìm vi phân của tổng, tích và thương cho trường hợp hàm nhiều biến:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" Height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" Height="41 src=">. Cái này

hàm sẽ đồng nhất bậc ba với mọi x, y và t thực. Hàm tương tự sẽ là bất kỳ đa thức đồng nhất nào theo x và y bậc ba, tức là một đa thức như vậy trong mỗi số hạng mà tổng số mũ xn bằng ba:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" Height="47 src=">

lần lượt là các hàm đồng nhất bậc 1, 0 và (- 1)..jpg" width="36" Height="15">. Thật vậy,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" Height="29 src=">

Giả sử t=1, chúng ta tìm thấy

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" Height="22 src=">

Đạo hàm một phần http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" Height="30 src=">), nói chung

Nói cách khác, chúng là hàm của các biến x và y. Do đó, đạo hàm riêng có thể được tìm lại từ chúng. Do đó, có bốn đạo hàm riêng bậc hai của hàm hai biến, vì mỗi hàm và có thể vi phân theo cả x và y.

Đạo hàm riêng thứ hai được ký hiệu như sau:

là đạo hàm cấp n; ở đây hàm z đầu tiên được lấy vi phân p lần đối với x, và sau đó là n - p lần đối với y.

Đối với hàm có số lượng biến bất kỳ, đạo hàm riêng bậc cao hơn được xác định tương tự.

P R Và tôi e r 1. Tính đạo hàm riêng bậc hai của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" Height="87 src=">

Ví dụ 2. Tính toán và http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" Height="97 src=">

Ví dụ 3. Tính toán nếu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" Height="36 src=">

x, f"y, f"xy và f"yx được xác định và liên tục tại điểm M(x, y) và trong một số lân cận của nó thì tại điểm này

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 chiều cao=28" chiều cao="28">.jpg" chiều rộng="523" chiều cao="128 src=">

Kể từ đây,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" Height="30 src=">

Giải pháp.

Các dẫn xuất hỗn hợp đều bằng nhau.

5.10. Vi phân bậc cao của hàm sốNbiến.

Tổng chênh lệch d bạn hàm của nhiều biến lần lượt là hàm của cùng một biến và chúng ta có thể xác định tổng vi phân của hàm này chức năng cuối cùng. Do đó, chúng ta sẽ thu được vi phân bậc hai d2u của hàm ban đầu và cũng sẽ là hàm của cùng các biến và vi phân hoàn chỉnh của nó sẽ dẫn chúng ta đến vi phân bậc ba d3u của hàm ban đầu, v.v.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn trường hợp hàm u=f(x, y) của hai biến x và y và giả sử rằng các biến x và y là các biến độc lập. A-tu viện

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" Height="186 src=">

Tính d3u theo cách tương tự, ta có

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" Height="61 src="> (*)-

Hơn nữa, công thức này nên được hiểu như sau: số tiền trị giá dấu ngoặc đơn, phải được nâng lên lũy thừa n, sử dụng Công thức nhị thức Newton, sau đó số mũ của y và http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" Height="21 src=" >.gif" width="22" Height="27"> với các cosin hướng cos α, cos β (α + β = 90°). Trên vectơ, xét điểm M1(x + Δx; y + Δy). Khi di chuyển từ điểm M đến điểm M1, hàm z = f(x; y) sẽ nhận toàn bộ số gia

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 Height=27" Height="27"> có xu hướng về 0 (xem hình).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" Height="54 src=">

trong đó http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" Height="41 src="> và do đó chúng tôi nhận được:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" Height="41 src="> tại Δs->0 được gọi là sản xuất

hàm nước z = f(x; y) tại điểm (x; y) theo hướng của vectơ và được ký hiệu là

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" Height="51 src="> (*)

Vì vậy, biết đạo hàm riêng của hàm số

z = f(x; y) bạn có thể tìm đạo hàm của hàm số này theo hướng bất kỳ, và mỗi đạo hàm riêng là một trường hợp đặc biệt của đạo hàm theo hướng.

VÍ DỤ Tìm đạo hàm của một hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" Height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" Height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 chiều cao=62" chiều cao="62">

Do đó, hàm z = f(x;y) tăng theo một hướng nhất định.

5. 12 . Dốc

Độ dốc của hàm z = f(x; y) là một vectơ có tọa độ là đạo hàm riêng tương ứng của hàm này

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" Height="56 src=">

tức là..jpg" width="89" Height="33 src=">

tại điểm M(3;4).

Giải pháp.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" Height="56 src=">