Chuyển đổi số sang các hệ thống số khác nhau trực tuyến. Quy tắc chuyển đổi từ hệ thống số này sang hệ thống số khác. Chuyển đổi số nguyên từ hệ thống số này sang hệ thống số khác

Lưu ý 1

Nếu bạn muốn chuyển đổi một số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác, thì trước tiên bạn nên chuyển đổi nó sang hệ thống số thập phân, sau đó chỉ chuyển đổi nó từ hệ thống số thập phân sang bất kỳ hệ thống số nào khác.

Quy tắc chuyển đổi số từ bất kỳ hệ số nào sang số thập phân

TRONG công nghệ máy tính, bằng cách sử dụng số học máy, việc chuyển đổi các số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác đóng một vai trò quan trọng. Dưới đây chúng tôi đưa ra các quy tắc cơ bản cho các phép biến đổi (bản dịch) như vậy.

Khi chuyển Số nhị phân trong số thập phân cần biểu diễn số nhị phân dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của số đó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, theo trong trường hợp này$2$, và sau đó bạn cần tính đa thức bằng cách sử dụng các quy tắc số học thập phân:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Hình 1. Bảng 1

ví dụ 1

Chuyển số $11110101_2$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy ​​thừa $1$ của cơ số $2$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Để chuyển một số từ hệ bát phân sang hệ thập phân, bạn cần biểu diễn nó dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của nó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong phần này. trường hợp $8$, thì bạn cần tính đa thức theo quy tắc số học thập phân:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Hình 2. Bảng 2

Ví dụ 2

Chuyển số $75013_8$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy ​​thừa $2$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Để chuyển đổi một số từ hệ thập lục phân sang thập phân, bạn cần biểu diễn nó dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của số đó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong trường hợp này là $16$, sau đó bạn cần tính đa thức theo quy tắc số học thập phân:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Hình 3. Bảng 3

Ví dụ 3

Chuyển số $FFA2_(16)$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy ​​thừa $3$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thập phân sang hệ thập phân khác

• Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, số đó phải được chia tuần tự cho $2$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Biểu diễn một số trong hệ nhị phân dưới dạng một dãy kết quả cuối cùng phép chia và số dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 4

Chuyển đổi số $22_(10)$ thành hệ thống nhị phânĐang tính toán.

Giải pháp:

Hinh 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Để chuyển một số từ hệ thập phân sang bát phân, số đó phải được chia tuần tự cho $8$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $7$. Một số trong hệ bát phân được biểu diễn dưới dạng một dãy các chữ số của phép chia cuối cùng và số dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 5

Hãy chuyển số $571_(10)$ thành hệ bát phânĐang tính toán.

Giải pháp:

Hình 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ thập lục phân nó phải được chia liên tiếp cho $16$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $15$. Một số trong hệ thập lục phân được biểu diễn dưới dạng một chuỗi các chữ số của kết quả phép chia cuối cùng và phần còn lại của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 6

Chuyển số $7467_(10)$ sang hệ thập lục phân.

Giải pháp:

Hình 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Để chuyển một phân số thích hợp từ hệ thập phân sang hệ số không thập phân cần phải phần phân đoạn số được chuyển đổi được nhân tuần tự với cơ sở của hệ thống mà nó cần được chuyển đổi. Các phân số trong hệ thống mới sẽ được thể hiện dưới dạng toàn bộ các phần của sản phẩm, bắt đầu từ phần đầu tiên.

Ví dụ: $0,3125_((10))$ trong hệ bát phân sẽ có dạng $0,24_((8))$.

Trong trường hợp này, bạn có thể gặp phải sự cố khi phân số thập phân hữu hạn có thể tương ứng với phân số vô hạn (định kỳ) trong hệ thống số không thập phân. Trong trường hợp này, số chữ số trong phân số được biểu thị trong hệ thống mới sẽ phụ thuộc vào độ chính xác cần thiết. Cũng cần lưu ý rằng số nguyên vẫn là số nguyên, nhưng phân số thích hợp- phân số trong bất kỳ hệ thống số nào.

Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang hệ thống số nhị phân khác

• Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ bát phân thì phải chia thành các bộ ba (bộ ba chữ số), bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần thì thêm các số 0 vào bộ ba dẫn đầu, sau đó thay mỗi bộ ba bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.

Hình 7. Bảng 4

Ví dụ 7

Chuyển số $1001011_2$ sang hệ bát phân.

Giải pháp. Sử dụng Bảng 4, chúng tôi chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang bát phân:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ thập lục phân, cần chia thành bốn chữ số, bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần, thêm số 0 vào chữ số bốn có nghĩa nhất, sau đó thay từng chữ số bốn bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.

Kết quả đã được nhận rồi!

Hệ thống số

Có vị trí và không vị trí hệ thống định vịĐang tính toán. Hệ thống số Ả Rập mà chúng tôi sử dụng trong Cuộc sống hàng ngày, là vị trí, nhưng Roman thì không. Trong hệ thống số vị trí, vị trí của một số xác định duy nhất độ lớn của số đó. Hãy xem xét điều này bằng ví dụ về số 6372 trong hệ thống số thập phân. Hãy đánh số số này từ phải sang trái bắt đầu từ số 0:

Khi đó số 6372 có thể được biểu diễn như sau:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Số 10 xác định hệ thống số (trong trường hợp này là 10). Các giá trị vị trí của một số cho trước được lấy làm lũy thừa.

Hãy xem xét thực tế số thập phân 1287.923. Hãy đánh số nó bắt đầu từ vị trí 0 của số từ dấu thập phân sang trái và phải:

Khi đó số 1287.923 có thể được biểu diễn dưới dạng:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

TRONG trường hợp chung công thức có thể được biểu diễn như sau:

C n S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

trong đó C n là một số nguyên ở vị trí N, D -k - một số phân sốở vị trí (-k), S- hệ thống số.

Đôi lời về hệ đếm Số trong hệ thập phân gồm nhiều chữ số (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), trong hệ bát phân gồm nhiều chữ số (0,1, 2,3,4,5,6,7), trong hệ thống số nhị phân - từ một tập hợp các chữ số (0,1), trong hệ thống số thập lục phân - từ một tập hợp các chữ số (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), trong đó A,B,C,D,E,F tương ứng với các số 10,11, 12,13,14,15. Trong bảng Tab.1, các số được trình bày theo các hệ thống số khác nhau.

Chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác

Để chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác, cách dễ nhất trước tiên là chuyển đổi số sang hệ thống số thập phân, sau đó chuyển đổi từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số được yêu cầu.

Chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số thập phân

Sử dụng công thức (1), bạn có thể chuyển đổi các số từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số thập phân.

Ví dụ 1. Chuyển đổi số 1011101.001 từ hệ thống số nhị phân (SS) sang SS thập phân. Giải pháp:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Ví dụ2. Chuyển đổi số 1011101.001 từ hệ bát phân (SS) sang SS thập phân. Giải pháp:

Ví dụ 3 . Chuyển đổi số AB572.CDF từ hệ thập lục phân sang SS thập phân. Giải pháp:

Đây MỘT-thay thế bằng 10, B- lúc 11 giờ, C- ở tuổi 12, F- trước 15.

Chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác

Để chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác, bạn cần chuyển đổi riêng phần nguyên của số và phần phân số của số đó.

Phần nguyên của một số được chuyển đổi từ SS thập phân sang hệ thống số khác bằng cách chia tuần tự phần nguyên của số đó cho cơ số của hệ thống số (đối với SS nhị phân - cho 2, đối với SS 8-ary - cho 8, đối với 16 -ary SS - bằng 16, v.v.) cho đến khi thu được toàn bộ cặn, nhỏ hơn CC bazơ.

Ví dụ 4 . Hãy chuyển đổi số 159 từ SS thập phân sang SS nhị phân:

Như có thể thấy từ hình. 1, số 159 khi chia cho 2 được thương 79 và dư 1. Hơn nữa, số 79 khi chia cho 2 được thương 39 và dư 1, v.v. Kết quả, xây dựng một số từ số dư chia (từ phải sang trái), ta thu được một số ở dạng SS nhị phân: 10011111 . Vì vậy chúng ta có thể viết:

159 10 =10011111 2 .

Ví dụ 5 . Hãy chuyển đổi số 615 từ SS thập phân sang SS bát phân.

Khi chuyển đổi một số từ SS thập phân sang SS bát phân, bạn cần chia số đó một cách tuần tự cho 8 cho đến khi nhận được số nguyên còn lại nhỏ hơn 8. Kết quả là xây dựng một số từ số dư chia (từ phải sang trái) chúng ta nhận được một số trong SS bát phân: 1147 (xem hình 2). Vì vậy chúng ta có thể viết:

615 10 =1147 8 .

Ví dụ 6 . Hãy chuyển đổi số 19673 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân.

Như có thể thấy trên Hình 3, khi chia liên tiếp số 19673 cho 16 thì số dư là 4, 12, 13, 9. Trong hệ số thập lục phân, số 12 ứng với C, số 13 ứng với D. Do đó, số thập lục phân là 4CD9.

Để chuyển đổi các phân số thập phân thích hợp ( số thực với phần nguyên bằng 0) vào hệ thống số có cơ số s là cần thiết số đã cho nhân liên tiếp với s cho đến khi phần phân số bằng 0 thuần túy hoặc chúng ta nhận được số chữ số cần thiết. Nếu trong quá trình nhân, thu được một số có phần nguyên khác 0 thì phần nguyên này không được tính đến (chúng được đưa vào kết quả một cách tuần tự).

Hãy nhìn vào những điều trên với các ví dụ.

Ví dụ 7 . Hãy chuyển đổi số 0,214 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân.

Như có thể thấy trong Hình 4, số 0,214 được nhân liên tục với 2. Nếu kết quả của phép nhân là một số có phần nguyên khác 0, thì Toàn bộ phầnđược viết riêng (ở bên trái của số) và số đó được viết bằng phần nguyên bằng 0. Nếu phép nhân tạo ra một số có phần nguyên bằng 0 thì số 0 sẽ được ghi ở bên trái của số đó. Quá trình nhân tiếp tục cho đến khi phần phân số đạt đến số 0 thuần túy hoặc chúng ta thu được số chữ số cần thiết. Viết số in đậm (Hình 4) từ trên xuống dưới ta được số cần tìm trong hệ nhị phân: 0. 0011011 .

Vì vậy chúng ta có thể viết:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Ví dụ 8 . Hãy chuyển đổi số 0,125 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân.

Để chuyển số 0,125 từ SS thập phân sang nhị phân, số này được nhân liên tục với 2. Ở giai đoạn thứ ba, kết quả là 0. Do đó, thu được kết quả sau:

0.125 10 =0.001 2 .

Ví dụ 9 . Hãy chuyển đổi số 0,214 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân.

Theo ví dụ 4 và 5, ta được các số 3, 6, 12, 8, 11, 4. Nhưng trong hệ thập lục phân SS, các số 12 và 11 tương ứng với các số C và B. Do đó, ta có:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Ví dụ 10 . Hãy chuyển đổi số 0,512 từ hệ thống số thập phân sang SS bát phân.

Lấy:

0.512 10 =0.406111 8 .

Ví dụ 11 . Hãy chuyển đổi số 159.125 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân. Để làm điều này, chúng ta dịch riêng phần nguyên của số (Ví dụ 4) và phần phân số của số (Ví dụ 8). Kết hợp thêm các kết quả này chúng tôi nhận được:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Ví dụ 12 . Hãy chuyển đổi số 19673.214 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân. Để làm điều này, chúng ta dịch riêng phần nguyên của số (Ví dụ 6) và phần phân số của số (Ví dụ 9). Hơn nữa, kết hợp những kết quả này, chúng tôi có được.

1. Đếm thứ tự hệ thống khác nhauĐang tính toán.

TRONG cuộc sống hiện đại chúng tôi sử dụng hệ thống số vị trí, nghĩa là hệ thống trong đó số được biểu thị bằng một chữ số phụ thuộc vào vị trí của chữ số trong ký hiệu của số. Vì vậy, trong tương lai chúng ta sẽ chỉ nói về họ mà bỏ qua thuật ngữ “vị trí”.

Để tìm hiểu cách chuyển đổi số từ hệ này sang hệ khác, chúng ta sẽ hiểu cách ghi tuần tự các số xảy ra bằng ví dụ về hệ thập phân.

Vì chúng ta có hệ thống số thập phân nên chúng ta có 10 ký hiệu (chữ số) để cấu tạo nên số. Chúng ta bắt đầu đếm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hết số. Chúng ta tăng độ sâu bit của số và đặt lại chữ số bậc thấp: 10. Sau đó, chúng ta lại tăng chữ số bậc thấp cho đến khi hết các chữ số: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Ta tăng chữ số bậc cao lên 1 và đặt lại chữ số bậc thấp: 20. Khi sử dụng hết chữ số cho cả hai chữ số (ta được số 99), ta lại tăng dung lượng chữ số của số đó và đặt lại chữ số hiện có: 100. Và cứ thế.

Hãy thử làm tương tự ở hệ thống thứ 2, thứ 3 và thứ 5 (chúng tôi giới thiệu ký hiệu cho hệ thống thứ 2, cho hệ thống thứ 3, v.v.):

Nếu hệ thống số có cơ số lớn hơn 10 thì ta sẽ phải nhập ký tự bổ sung, thông lệ là nhập các chữ cái trong bảng chữ cái Latinh. Ví dụ: đối với hệ thống 12 chữ số, ngoài 10 chữ số, chúng ta cần thêm 2 chữ cái ( và ):

2. Chuyển đổi từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số thập phân khác.

Để chuyển đổi một số thập phân nguyên dương sang một hệ thống số có cơ số khác, bạn cần chia số này cho cơ số. Chia thương số thu được cho cơ số một lần nữa và chia tiếp cho đến khi thương nhỏ hơn cơ số. Kết quả là, viết thương số cuối cùng và tất cả số dư vào một dòng, bắt đầu từ dòng cuối cùng.

Ví dụ 1. Hãy chuyển đổi số thập phân 46 sang hệ thống số nhị phân.

Ví dụ 2. Hãy chuyển số thập phân 672 sang hệ bát phân.

Ví dụ 3. Hãy chuyển số thập phân 934 sang hệ thập lục phân.

3. Chuyển đổi từ bất kỳ hệ thống số nào sang số thập phân.

Để tìm hiểu cách chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống nào khác sang số thập phân, hãy phân tích ký hiệu thông thường cho số thập phân.
Ví dụ: số thập phân 325 có 5 đơn vị, 2 chục và 3 trăm, tức là

Tình hình hoàn toàn giống nhau trong các hệ thống số khác, chỉ có điều chúng ta sẽ nhân không phải với 10, 100, v.v. mà với lũy thừa của cơ số của hệ thống số. Ví dụ: hãy lấy số 1201 trong hệ thống bậc baĐang tính toán. Hãy đánh số các chữ số từ phải sang trái bắt đầu từ 0 và tưởng tượng số của chúng ta là tổng của tích của một chữ số và ba lũy thừa của chữ số của số đó:

Đây là ký hiệu thập phân của số của chúng tôi, tức là

Ví dụ 4. Hãy chuyển đổi sang hệ thống số thập phân số bát phân 511.

Ví dụ 5. Hãy chuyển đổi số thập lục phân 1151 sang hệ thống số thập phân.

4. Chuyển đổi từ hệ nhị phân sang hệ có cơ số “lũy thừa hai” (4, 8, 16, v.v.).

Để chuyển một số nhị phân thành một số có lũy thừa cơ số 2, cần chia dãy nhị phân thành các nhóm theo số lũy thừa từ phải sang trái và thay từng nhóm bằng chữ số tương ứng. hệ thống mớiĐang tính toán.

Ví dụ: Hãy chuyển đổi số nhị phân 1100001111010110 sang hệ bát phân. Để làm điều này, chúng ta sẽ chia nó thành các nhóm gồm 3 ký tự bắt đầu từ bên phải (kể từ ), sau đó sử dụng bảng tương ứng và thay thế mỗi nhóm bằng một số mới:

Chúng ta đã học cách xây dựng bảng tương ứng ở bước 1.

Những thứ kia.

Ví dụ 6. Hãy chuyển đổi số nhị phân 1100001111010110 thành thập lục phân.

5. Chuyển đổi từ một hệ thống có “lũy thừa hai” cơ bản (4, 8, 16, v.v.) sang hệ nhị phân.

Bản dịch này tương tự như bản dịch trước, được thực hiện bằng mặt trái: Chúng ta thay thế mỗi chữ số bằng một nhóm chữ số nhị phân từ bảng tra cứu.

Ví dụ 7. Hãy chuyển đổi số thập lục phân C3A6 sang hệ thống số nhị phân.

Để thực hiện việc này, hãy thay thế từng chữ số của số bằng một nhóm gồm 4 chữ số (vì ) từ bảng tương ứng, bổ sung cho nhóm các số 0 ở đầu nếu cần: