Cách chuyển đổi từ hệ thập lục phân sang bát phân. Chuyển đổi số sang hệ nhị phân, thập lục phân, thập phân, bát phân
Chuyển đổi số từ thập lục phân sang bát phân
Để chuyển đổi một số từ hệ thập lục phân sang bát phân:
1. Số này phải được thể hiện dưới dạng hệ nhị phân.
2. Sau đó chia số thu được trong hệ nhị phân thành các bộ ba và chuyển nó sang hệ bát phân.
Ví dụ:
1.7 Thuật toán chuyển các phân số thích hợp từ hệ số bất kỳ sang hệ thập phân
Chuyển số sang hệ thập phân VỚI, cả số nguyên và phân số, được viết trong hệ số q-ary được thực hiện bằng cách phân tách số theo cơ sở theo công thức 1 (xem Phần 1.2).
Tuy nhiên, để chuyển đổi phân số thích hợp, bạn có thể sử dụng phương pháp sau:
1. Chữ số nhỏ nhất của phân số 0.A q chia theo căn cứ q. Với thương số kết quả, thêm chữ số của chữ số tiếp theo (cao hơn) của số 0,A q.
2. Số tiền nhận lại sẽ được chia cho q và lại cộng chữ số của chữ số tiếp theo của số đó.
3. Thực hiện việc này cho đến khi cộng chữ số có nghĩa nhất của phân số.
4. Chia lại số tiền thu được cho q và thêm dấu phẩy và số nguyên bằng 0 vào kết quả.
Ví dụ: Hãy chuyển đổi phân số sang hệ thống số thập phân:
| Một). | 0,1101 2 | b). | 0,356 8 |
| 1/2 + 0 = 0,5 | 6/8+5 = 5,75 | ||
| 0,5/2 + 1 = 1,25 | 5,75/8 + 3 = 3,71875 | ||
| 1,25/2 + 1 = 1,625 | 3,71875/8 = 0,46484375 | ||
| 1,625/2 = 0,8125 | |||
| Trả lời: 0,1101 2 = 0,8125 10 | Đáp án: 0,356 8 = 0,46484375 10 | ||
1.8 Thuật toán chuyển đổi phân số thập phân thích hợp sang bất kỳ hệ thống số nào khác
1. Nhân một số cho trước với một cơ số mới R.
2. Phần nguyên của tích thu được là chữ số cao nhất của phân số mong muốn.
3. Phần phân số của kết quả lại được nhân với R và phần nguyên của kết quả được coi là chữ số tiếp theo của phân số mong muốn.
4. Tiếp tục thực hiện các phép tính cho đến khi phần phân số bằng 0 hoặc đạt được độ chính xác yêu cầu.
5. Sai số tuyệt đối lớn nhất khi chuyển đổi số D bằng q -(k +1) /2, trong đó k là số chữ số thập phân.
Ví dụ: Hãy chuyển đổi phần thập phân 0,375 thành hệ thống số nhị phân, bậc ba và thập lục phân. Thực hiện dịch chính xác đến chữ số thứ ba.
Ví dụ: Hãy chuyển đổi số 0,36 10 thành hệ nhị phân, bát phân và thập lục phân:
Thật thuận tiện khi sử dụng mẫu này để ghi lại:
Chuyển sang Chuyển sang Chuyển sang
s/c nhị phân. bát phân s/c. thập lục phân
| 0, | x 36 | 0, | x 36 | 0, | x 36 | ||
| x 72 | x 88 | x 76 | |||||
| x 44 | x04 | x 16 | |||||
| x 88 | x 32 | x 56 | |||||
| x 76 | x 46 | x 96 | |||||
| x 52 | x 68 | x 36 | |||||
0,36 10 = 0,010111 2 với sai số tuyệt đối tối đa (2 -7)/2=2 -8
0,36 10 = 0,270235 8 với sai số tuyệt đối tối đa
(8 -7)/2=2 -22
0,36 10 = 0,5C28F5 16 với sai số tuyệt đối tối đa
(16 -7)/2=2 -29
Đối với số có cả phần nguyên và phần phân số, việc chuyển đổi từ hệ thập phân sang hệ thập phân khác được thực hiện riêng cho phần nguyên và phần phân số theo quy tắc nêu trên.
1.9 Tăng cấp chữ số trong hệ thống số vị trí
Trong mọi hệ thống số, các chữ số được sắp xếp theo ý nghĩa của chúng: 1 lớn hơn 0, 2 lớn hơn 1, v.v.
Bất kỳ hệ thống số vị trí nào cũng dựa trên cùng các nguyên tắc xây dựng và chuyển đổi từ chữ số phụ sang chữ số cao.
Hãy xem xét sự tiến bộ của các chữ số trong hệ thống số vị trí.
Số liệu quảng bá họ gọi thay thế nó bằng cái lớn nhất tiếp theo (bằng cách thêm một cái).
Trong hệ thập phân, sự tiến triển của các chữ số như sau:
Một lần nữa chúng ta đạt đến số 9, do đó có sự chuyển đổi sang chữ số cao hơn, nhưng ở vị trí của chữ số thứ 1 đã có số 1 nên số 1 của chữ số đầu tiên cũng được thăng cấp, tức là. 1+1=2 (hai chục). Vì vậy, chúng ta tăng dần các số cho đến khi chữ số cao nhất trong hệ thống số xuất hiện ở chữ số đầu tiên (trong ví dụ của chúng ta là 9); bây giờ quá trình chuyển đổi được thực hiện sang chữ số tiếp theo.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét sự tiến triển của các số trong hệ thống số ba, tức là q=3 (các chữ số 0, 1, 2 được sử dụng) và chữ số có ý nghĩa nhất là 2.
| 0+1 | 1+1 | |
| 2+1 | 10+1 | 11+1 |
| 12+1 | 20+1 | 21+1 |
| 22+1 | 100+1 | 101+1 |
| 102+1 | 110+1 | 111+1 |
| vân vân. |
Trong cuộc sống, chúng ta sử dụng hệ thống số thập phân, có lẽ vì từ xa xưa chúng ta đã đếm trên đầu ngón tay, và như bạn đã biết, bàn tay và bàn chân có mười ngón. Mặc dù ở Trung Quốc trong một khoảng thời gian dài Họ đã sử dụng hệ thống số ngũ phân.
Máy tính sử dụng hệ nhị phân vì để thực hiện nó, chúng sử dụng các thiết bị kỹ thuật có hai trạng thái ổn định (không có dòng điện - 0; dòng điện - 1 hoặc không từ hóa - 0; từ hóa - 1, v.v.). Ngoài ra, việc sử dụng hệ thống số nhị phân cho phép bạn sử dụng bộ máy đại số Boolean (xem Phần 2) để thực hiện các phép biến đổi thông tin logic. Số học nhị phân đơn giản hơn nhiều so với số học thập phân, nhưng nhược điểm của nó là số chữ số cần thiết để viết số tăng nhanh.
Ví dụ: Hãy nâng cao các số trong hệ thống số nhị phân, trong đó q=2, (các chữ số 0, 1 được sử dụng) chữ số có nghĩa nhất 1:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, v.v.
Như có thể thấy từ ví dụ, số thứ ba trong chuỗi đã tăng lên một chữ số, tức là. chiếm vị trí (nếu là số thập phân) của “hàng chục”. Số thứ năm là vị trí của “hàng trăm”, số thứ chín là vị trí của “nghìn”, v.v. Trong hệ thập phân, việc chuyển sang chữ số khác chậm hơn nhiều. Hệ thống nhị phân thuận tiện cho máy tính nhưng lại bất tiện cho con người do tính cồng kềnh và khả năng ghi chép bất thường của nó.
Việc chuyển đổi số từ thập phân sang nhị phân và ngược lại được thực hiện bằng chương trình máy tính. Tuy nhiên, để làm việc và sử dụng máy tính một cách chuyên nghiệp, bạn phải hiểu rõ từ máy. Hệ thống bát phân và thập lục phân đã được phát triển cho mục đích này.
Để dễ dàng thao tác với các hệ thống này, bạn cần học cách chuyển đổi số từ hệ thống này sang hệ thống khác và ngược lại, cũng như thực hiện các thao tác đơn giản trên số - cộng, trừ, nhân, chia.
1.10 Thực hiện các phép tính số học trong hệ số vị trí
Các quy tắc thực hiện các phép tính số học cơ bản trong hệ thập phân đã được biết rõ - cộng, trừ, nhân theo cột và chia theo góc. Những quy tắc này áp dụng cho tất cả các hệ thống số vị trí khác. Chỉ có bảng cộng và bảng nhân của mỗi hệ thống là khác nhau.
Các phép tính số học trong hệ thống số vị trí được thực hiện theo các quy tắc chung. Bạn chỉ cần nhớ rằng việc chuyển sang chữ số tiếp theo khi cộng và việc mượn chữ số cao nhất khi trừ được xác định bởi giá trị cơ số của hệ đếm.
Khi thực hiện các phép tính số học, các số được biểu diễn trong các hệ thống số khác nhau trước tiên phải được quy về cùng một cơ số.
Phép cộng
Dễ dàng tạo bảng cộng bằng cách sử dụng quy tắc đếm. Khi cộng, các chữ số được cộng lại bằng các chữ số, nếu thừa thì chuyển sang bên trái thành chữ số tiếp theo.
Bảng 1.4
Bổ sung trong hệ thống nhị phân:
| + | ||
Bảng 1.5
Phép cộng trong hệ bát phân
| + | ||||||||
Bảng 1.6
Phép cộng ở dạng thập lục phân
| + | MỘT | B | C | D | E | F | ||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | B | C | D | E | F | |||||||||||
| MỘT | MỘT | B | C | D | E | F | ||||||||||
| B | B | C | D | E | F | 1A | ||||||||||
| C | C | D | E | F | 1A | 1B | ||||||||||
| D | D | E | F | 1A | 1B | 1C | ||||||||||
| E | E | F | 1A | 1B | 1C | 1D | ||||||||||
| F | F | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E |
Ví dụ:
a) Cộng các số 1111 2 và 110 2:
c) Cộng các số F 16 và 6 16:
b) Cộng các số 17 8 và 6 8:
d) Cộng hai số: 17 8 và 17 16.
Hãy chuyển số 17 16 sang cơ số 8 bằng hệ nhị phân
17 16 =10111 2 =27 8. Hãy thực hiện phép cộng trong hệ bát phân:
d ) Hãy cộng 2 số. 10000111 2 + 89 10
Cách 1: Chuyển số 10000111 2 sang ký hiệu thập phân.
10000111 2 = 1*2 7 + 1*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 =128 + 4 + 2 + 1 = 135 10
135 10 + 89 10 = 224 10
Cách 2: Chuyển số 89 10 sang hệ nhị phân bằng mọi cách.
89 10 = 1011001 2
Hãy thêm những con số này.
Để kiểm tra, hãy chuyển số này sang ký hiệu thập phân.
11100000 2 = 1*2 7 + 1*2 6 +1*2 5 = 128+64+32 = 224 10
Phép trừ
Hãy tìm sự khác biệt giữa các con số:
a) 655 8 và 367 8 b) F5 16 và 6 16
Phép nhân
Bảng 1.7
Phép nhân trong hệ nhị phân:
| * | ||
Bảng 1.8
Phép nhân trong hệ bát phân
| * | ||||||||
Mục đích của dịch vụ. Dịch vụ này được thiết kế để chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác trực tuyến. Để thực hiện việc này, hãy chọn cơ sở của hệ thống mà bạn muốn chuyển đổi số. Bạn có thể nhập cả số nguyên và số bằng dấu phẩy.
Bạn có thể nhập cả số nguyên, ví dụ 34 và số phân số, ví dụ: 637.333. Đối với số phân số, độ chính xác của bản dịch sau dấu thập phân được biểu thị.
Những điều sau đây cũng được sử dụng với máy tính này:
Các cách biểu diễn số
nhị phân số (nhị phân) - mỗi chữ số có nghĩa là giá trị của một bit (0 hoặc 1), bit có ý nghĩa nhất luôn được viết ở bên trái, chữ “b” được đặt sau số đó. Để dễ nhận biết, sổ ghi chép có thể được ngăn cách bằng dấu cách. Ví dụ: 1010 0101b.thập lục phân (thập lục phân) số - mỗi bộ bốn được biểu thị bằng một ký hiệu 0...9, A, B, ..., F. Cách biểu diễn này có thể được chỉ định theo nhiều cách khác nhau, ở đây chỉ có ký hiệu “h” được sử dụng sau số thập lục phân cuối cùng chữ số. Ví dụ: A5h. Trong văn bản chương trình, cùng một số có thể được chỉ định là 0xA5 hoặc 0A5h, tùy thuộc vào cú pháp của ngôn ngữ lập trình. Số 0 đứng đầu (0) được thêm vào bên trái của chữ số thập lục phân có ý nghĩa nhất được biểu thị bằng chữ cái để phân biệt giữa số và tên tượng trưng.
Số thập phân số (thập phân) - mỗi byte (từ, từ kép) được biểu thị bằng một số thông thường và dấu biểu diễn thập phân (chữ cái “d”) thường bị bỏ qua. Byte trong các ví dụ trước có giá trị thập phân là 165. Không giống như ký hiệu nhị phân và thập lục phân, thập phân rất khó xác định giá trị của từng bit trong đầu, điều này đôi khi cần thiết.
bát phân (bát phân) số - mỗi bộ ba bit (phép chia bắt đầu từ số ít quan trọng nhất) được viết dưới dạng số 0–7, với chữ “o” ở cuối. Con số tương tự sẽ được viết là 245o. Hệ bát phân bất tiện vì byte không thể chia đều.
Thuật toán chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác
Việc chuyển đổi toàn bộ số thập phân sang bất kỳ hệ thống số nào khác được thực hiện bằng cách chia số đó cho cơ số của hệ thống số mới cho đến khi số dư nhỏ hơn cơ số của hệ thống số mới. Số mới được viết dưới dạng số dư chia, bắt đầu từ số cuối cùng.Việc chuyển đổi một phần thập phân thông thường sang một PSS khác được thực hiện bằng cách chỉ nhân phần phân số của số với cơ số của hệ thống số mới cho đến khi tất cả các số 0 vẫn nằm trong phần phân số hoặc cho đến khi đạt được độ chính xác dịch được chỉ định. Kết quả của mỗi phép nhân là một chữ số của một số mới được hình thành, bắt đầu từ số cao nhất.
Việc dịch phân số không chính xác được thực hiện theo quy tắc 1 và 2. Phần nguyên và phần phân số được viết cùng nhau, cách nhau bằng dấu phẩy.
Ví dụ số 1. 
Chuyển đổi từ hệ thống số 2 sang số 8 sang số 16.
Các hệ thống này là bội số của hai, do đó việc dịch được thực hiện bằng bảng tương ứng (xem bên dưới).
Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ số bát phân (thập lục phân), cần chia số nhị phân từ dấu thập phân sang phải và trái thành các nhóm có ba chữ số (bốn cho thập lục phân), bổ sung các nhóm bên ngoài. bằng số không nếu cần thiết. Mỗi nhóm được thay thế bằng chữ số bát phân hoặc thập lục phân tương ứng.
Ví dụ số 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ở đây 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Khi chuyển sang hệ thập lục phân, bạn phải chia số thành các phần có bốn chữ số, tuân theo các quy tắc tương tự.
Ví dụ số 3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
ở đây 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Việc chuyển đổi các số từ 2, 8 và 16 sang hệ thập phân được thực hiện bằng cách chia số đó thành các số riêng lẻ và nhân với hệ cơ số (từ đó số được dịch) nâng lên lũy thừa tương ứng với số thứ tự của nó trong số được chuyển đổi. Trong trường hợp này, các số được đánh số ở bên trái dấu thập phân (số đầu tiên được đánh số 0) theo hướng tăng dần và ở bên phải theo hướng giảm dần (tức là có dấu âm). Các kết quả thu được được cộng lại.
Ví dụ số 4.
Một ví dụ về chuyển đổi từ hệ nhị phân sang hệ thập phân.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Một ví dụ về chuyển đổi từ hệ bát phân sang hệ thập phân. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Một ví dụ về chuyển đổi từ hệ thập lục phân sang hệ thập phân. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Một lần nữa chúng tôi lặp lại thuật toán chuyển đổi số từ hệ thống số này sang PSS khác
- Từ hệ thống số thập phân:
- chia số cho cơ số của hệ thống số đang được dịch;
- tìm số dư khi chia một phần nguyên của một số;
- viết tất cả số dư của phép chia theo thứ tự ngược lại;
- Từ hệ thống số nhị phân
- Để chuyển sang hệ thập phân cần tìm tổng các tích cơ số 2 theo bậc tương ứng của chữ số;
- Để chuyển một số sang bát phân, bạn cần chia số đó thành bộ ba.
Ví dụ: 1000110 = 1.000 110 = 106 8 - Để chuyển một số từ nhị phân sang thập lục phân, bạn cần chia số đó thành các nhóm có 4 chữ số.
Ví dụ: 1000110 = 100 0110 = 46 16
Bảng tương ứng hệ thống số:
| SS nhị phân | SS thập lục phân |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | MỘT |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Bảng chuyển đổi sang hệ bát phân
Kết quả đã được nhận rồi!
Hệ thống số
Có hệ thống số vị trí và không vị trí. Hệ thống số Ả Rập mà chúng ta sử dụng trong cuộc sống hàng ngày có tính vị trí, nhưng hệ thống số La Mã thì không. Trong hệ thống số vị trí, vị trí của một số xác định duy nhất độ lớn của số đó. Hãy xem xét điều này bằng ví dụ về số 6372 trong hệ thống số thập phân. Hãy đánh số số này từ phải sang trái bắt đầu từ số 0:
Khi đó số 6372 có thể được biểu diễn như sau:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Số 10 xác định hệ thống số (trong trong trường hợp nàyđây là 10). Các giá trị vị trí của một số cho trước được lấy làm lũy thừa.
Xét số thập phân thực 1287,923. Hãy đánh số nó bắt đầu từ số 0, vị trí của số từ dấu thập phân sang trái và phải:
Khi đó số 1287.923 có thể được biểu diễn dưới dạng:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
Nói chung, công thức có thể được biểu diễn như sau:
C n S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
trong đó C n là một số nguyên ở vị trí N, D -k - số phân số ở vị trí (-k), S- hệ thống số.
Đôi lời về hệ đếm Số trong hệ thập phân gồm nhiều chữ số (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), trong hệ bát phân gồm nhiều chữ số (0,1, 2,3,4,5,6,7), trong hệ thống số nhị phân - từ một tập hợp các chữ số (0,1), trong hệ thống số thập lục phân - từ một tập hợp các chữ số (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), trong đó A,B,C,D,E,F tương ứng với các số 10,11, 12,13,14,15. Trong bảng Tab.1, các số được trình bày theo các hệ thống số khác nhau.
| Bảng 1 | |||
|---|---|---|---|
| Ký hiệu | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | MỘT |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác
Để chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác, cách dễ nhất trước tiên là chuyển đổi số sang hệ thống số thập phân, sau đó chuyển đổi từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số được yêu cầu.
Chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số thập phân
Sử dụng công thức (1), bạn có thể chuyển đổi các số từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số thập phân.
Ví dụ 1. Chuyển đổi số 1011101.001 từ hệ thống số nhị phân (SS) sang SS thập phân. Giải pháp:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Ví dụ2. Chuyển đổi số 1011101.001 từ hệ bát phân (SS) sang SS thập phân. Giải pháp:
Ví dụ 3 . Chuyển đổi số AB572.CDF từ hệ thập lục phân sang SS thập phân. Giải pháp:
Đây MỘT-thay thế bằng 10, B- lúc 11 giờ, C- ở tuổi 12, F- trước 15.
Chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác
Để chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác, bạn cần chuyển đổi riêng phần nguyên của số và phần phân số của số đó.
Phần nguyên của một số được chuyển đổi từ SS thập phân sang hệ thống số khác bằng cách chia tuần tự phần nguyên của số đó cho cơ số của hệ thống số (đối với SS nhị phân - cho 2, đối với SS 8-ary - cho 8, đối với 16 -ary SS - bằng 16, v.v.) cho đến khi thu được toàn bộ cặn, nhỏ hơn CC bazơ.
Ví dụ 4 . Hãy chuyển đổi số 159 từ SS thập phân sang SS nhị phân:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Như có thể thấy từ hình. 1, số 159 khi chia cho 2 được thương 79 và dư 1. Hơn nữa, số 79 khi chia cho 2 được thương 39 và dư 1, v.v. Kết quả, xây dựng một số từ số dư chia (từ phải sang trái), ta thu được một số ở dạng SS nhị phân: 10011111 . Vì vậy chúng ta có thể viết:
159 10 =10011111 2 .
Ví dụ 5 . Hãy chuyển đổi số 615 từ SS thập phân sang SS bát phân.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Khi chuyển đổi một số từ SS thập phân sang SS bát phân, bạn cần chia số đó một cách tuần tự cho 8 cho đến khi nhận được số nguyên còn lại nhỏ hơn 8. Kết quả là xây dựng một số từ số dư chia (từ phải sang trái) chúng ta nhận được một số trong SS bát phân: 1147 (xem hình 2). Vì vậy chúng ta có thể viết:
615 10 =1147 8 .
Ví dụ 6 . Hãy chuyển đổi số 19673 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Như có thể thấy trên Hình 3, khi chia liên tiếp số 19673 cho 16 thì số dư là 4, 12, 13, 9. Trong hệ số thập lục phân, số 12 ứng với C, số 13 ứng với D. Do đó, số thập lục phân là 4CD9.
Để chuyển các phân số thập phân thông thường (một số thực có phần nguyên bằng 0) thành một hệ số có cơ số s, cần phải nhân liên tiếp số này với s cho đến khi phần phân số chứa số 0 thuần túy, hoặc ta thu được số chữ số cần thiết . Nếu trong quá trình nhân, thu được một số có phần nguyên khác 0 thì phần nguyên này không được tính đến (chúng được đưa vào kết quả một cách tuần tự).
Hãy nhìn vào những điều trên với các ví dụ.
Ví dụ 7 . Hãy chuyển đổi số 0,214 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Như có thể thấy trong Hình 4, số 0,214 được nhân liên tục với 2. Nếu kết quả của phép nhân là một số có phần nguyên khác 0 thì phần nguyên được viết riêng (ở bên trái của số), và số được viết với phần nguyên bằng 0. Nếu phép nhân tạo ra một số có phần nguyên bằng 0 thì số 0 sẽ được ghi ở bên trái của số đó. Quá trình nhân tiếp tục cho đến khi phần phân số đạt đến số 0 thuần túy hoặc chúng ta thu được số chữ số cần thiết. Viết số in đậm (Hình 4) từ trên xuống dưới ta được số cần tìm trong hệ nhị phân: 0. 0011011 .
Vì vậy chúng ta có thể viết:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Ví dụ 8 . Hãy chuyển đổi số 0,125 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Để chuyển số 0,125 từ SS thập phân sang nhị phân, số này được nhân liên tục với 2. Ở giai đoạn thứ ba, kết quả là 0. Do đó, thu được kết quả sau:
0.125 10 =0.001 2 .
Ví dụ 9 . Hãy chuyển đổi số 0,214 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Theo ví dụ 4 và 5, ta được các số 3, 6, 12, 8, 11, 4. Nhưng trong hệ thập lục phân SS, các số 12 và 11 tương ứng với các số C và B. Do đó, ta có:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Ví dụ 10 . Hãy chuyển đổi số 0,512 từ hệ thống số thập phân sang SS bát phân.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Lấy:
0.512 10 =0.406111 8 .
Ví dụ 11 . Hãy chuyển đổi số 159.125 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân. Để làm điều này, chúng ta dịch riêng phần nguyên của số (Ví dụ 4) và phần phân số của số (Ví dụ 8). Kết hợp thêm các kết quả này chúng tôi nhận được:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Ví dụ 12 . Hãy chuyển đổi số 19673.214 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân. Để làm điều này, chúng ta dịch riêng phần nguyên của số (Ví dụ 6) và phần phân số của số (Ví dụ 9). Hơn nữa, kết hợp những kết quả này, chúng tôi có được.
Phương pháp chuyển đổi số sang các hệ số khác nhau
Chuyển đổi số thập phân nguyên sang hệ bát phân, thập lục phân và nhị phânđược thực hiện bằng cách chia liên tiếp một số thập phân cho cơ số của hệ mà nó được chuyển đổi cho đến khi thu được thương của cơ số này. Số trong hệ thống mới được viết dưới dạng số dư của phép chia, bắt đầu từ thương số cuối cùng.
a) Chuyển số 19 sang hệ nhị phân.
Vậy 19 = 10011 2
b) Chuyển đổi hệ số 181 10 ->”8”
Kết quả. 181 10 ->265 8
c) Chuyển đổi hệ số 622 10 - “16”
Chuyển số sang hệ thập phânđược thực hiện bằng cách biên soạn một chuỗi lũy thừa với cơ sở của hệ thống mà số được dịch. Giá trị của tổng sau đó được tính toán.
a) Chuyển 10101101.1012 sang hệ thập phân
10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 173.625 10
b) Chuyển 703.048 sang hệ thập phân
703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451,062510
c) Chuyển B2E.416 sang hệ thập phân
B2E.4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2862,25 10
Vì chuyển đổi số bát phân hoặc số thập lục phân sang dạng nhị phân chỉ cần thay thế từng chữ số của số này bằng số nhị phân ba chữ số tương ứng (bộ ba) (Bảng 1) hoặc số nhị phân bốn chữ số (bộ tứ) (Bảng 1), đồng thời loại bỏ các số 0 không cần thiết ở các chữ số cao và thấp.
Vì thay đổi từ hệ nhị phân sang hệ bát phân hoặc thập lục phân tiến hành như sau: di chuyển từ điểm sang trái và phải, các em chia số nhị phân thành các nhóm có ba (bốn) chữ số, bổ sung các số 0 cho nhóm ngoài cùng bên trái và ngoài cùng bên phải, nếu cần. Bộ ba (tetrad) sau đó được thay thế bằng chữ số bát phân (thập lục phân) tương ứng.
Chuyển đổi từ bát phân sang thập lục phân và ngược lạiđược thực hiện thông qua hệ thống nhị phân bằng cách sử dụng bộ ba và bộ tứ.
Các phép tính toán học
Phép cộng
Tương tự như trong hệ thập phân
Phép trừ
Phép trừ các số trong 2 và 8 SS được thực hiện theo các quy tắc tương tự như trong số thập phân. Nếu số trừ lớn hơn số trừ thì xác định hiệu giữa số lớn hơn và số nhỏ hơn và đặt dấu trừ ở phía trước số đó
Phép nhân
Phép nhân được thực hiện giống hệt như trong hệ thập phân
Mã trực tiếp
Được sử dụng khi thực hiện phép nhân và chia các số và các mã khác để thay thế phép trừ bằng phép cộng.
0,011 là số dương
1,011 là số âm
Bằng cách làm phép tính nhân hoặc chia của hai phân số nhị phân, các chữ số dấu được thêm vào bất kể phần phân số
Mã trả lại
Dùng để thay thế phép trừ bằng phép cộng
Đối với số dương: cách biểu diễn phân số nhị phân thích hợp ở mã ngược và mã xuôi đều giống nhau
Để viết một phân số nhị phân âm bằng mã ngược, bạn cần thay số 0 bằng số 1 và ngược lại, đồng thời đặt 1 vào bên trái dấu thập phân thay vì –0
Đó là –0,0101=1,1010
Nên được xem xét:
Trong trường hợp tràn, khi hai chữ số xuất hiện ở bên trái dấu thập phân do phép cộng, chữ số ngoài cùng bên trái sẽ được chuyển sang và thêm vào chữ số bậc thấp của phần phân số và chữ số còn lại ở bên trái của dấu thập phân xác định dấu của kết quả
Nếu số chữ số phần phân số của phân số nhị phân âm nhỏ hơn số chữ số phần phân số của số hạng khác thì trước khi chuyển phân số âm sang mã ngược cần bổ sung bên phải bằng số 0 cho đến khi các chữ số của số hạng thứ hai bằng nhau
Nếu ở chữ số dấu của số MỘT mã ngược lại là 1, sau đó để chuyển sang ký hiệu thông thường, bạn cần thay thế các đơn vị trong phần phân số bằng số 0 và số 0 bằng số 1, đồng thời viết –0 vào bên trái dấu thập phân
Mã bổ sung
Cũng giống như nghịch đảo, nó được dùng để thay thế phép trừ bằng phép cộng.
Trong trường hợp này: hình ảnh của phân số nhị phân dương giống nhau ở mã thuận, mã nghịch và mã bù.
Để chuyển đổi một phân số âm: Cần thay số 0 bằng số 1 và thay số 1 bằng số 0. Thêm một vào chữ số có nghĩa nhỏ nhất, sau đó đặt 1 vào bên trái dấu thập phân.
Cần nhớ:
Tất cả các chữ số của các phần cộng, bao gồm các chữ số của bit dấu nằm ở bên trái dấu thập phân, tham gia vào phép cộng dưới dạng các chữ số của một số
Khi tràn, khi hai chữ số xuất hiện ở bên trái dấu thập phân do phép cộng, chữ số ngoài cùng bên trái sẽ bị loại bỏ và chữ số còn lại ở bên trái dấu thập phân sẽ xác định dấu của kết quả
số chữ số của phần phân số của một số hạng khác, thì trước khi chuyển một phân số âm thành mã ngược lại, cần bổ sung các số 0 vào bên phải cho đến khi các chữ số của số hạng thứ hai bằng nhau
nếu kết quả của phép cộng bên trái dấu thập phân là 1 thì số đó là số âm, nếu bằng 0 thì số đó là số dương (không cần dịch gì cho phù hợp)
