Cách chuyển đổi từ hệ ba ngôi sang hệ thập phân. Hệ thống số. Chuyển từ hệ thống này sang hệ thống khác

Hệ thống số ngắn nhất là hệ nhị phân. Cô ấy hoàn toàn có cơ sở ở dạng vị trí ghi số. Đặc điểm chính là nguyên tắc nhân đôi chữ số khi thực hiện chuyển đổi từ vị trí này sang vị trí tiếp theo. Bạn có thể chuyển đổi từ hệ thống số này sang hệ thống số khác bằng chương trình đặc biệt hoặc thủ công.

Liên hệ với

Sự công nhận lịch sử

Sự xuất hiện của SS nhị phân trong lịch sử gắn liền với nhà khoa học nhà toán học V.G. Leibniz. Chính ông là người đầu tiên nói về các quy tắc thực hiện các phép toán với các giá trị số thuộc loại này. Nhưng ban đầu nguyên tắc này vẫn còn không có người nhận. Thuật toán đã nhận được sự công nhận và ứng dụng trên toàn thế giới vào buổi bình minh của máy tính.

Tiện lợi và đơn giản việc thực hiện các phép tính dẫn đến nhu cầu nghiên cứu chi tiết hơn về tiểu mục số học này, điều này trở nên không thể thiếu trong sự phát triển của công nghệ máy tính với phần mềm. Lần đầu tiên, những cơ chế như vậy xuất hiện trên thị trường Đức và Pháp.

Chú ý! Một quan điểm cụ thể về tính ưu việt của hệ nhị phân so với hệ thập phân, chính xác là trong ngành này, đã được đặt ra vào năm 1946 và được chứng minh trong một bài báo của A. Bex, H. Goldstein và J. Von Neumann.

Chuyển đổi một số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân.

Đặc điểm của số học nhị phân

Tất cả CC nhị phân chỉ dựa trên việc áp dụng hai nhân vật, rất phù hợp với các tính năng của mạch kỹ thuật số. Mỗi biểu tượng chịu trách nhiệm cho một hành động cụ thể, thường bao hàm hai trạng thái:

sự hiện diện hay vắng mặt của một lỗ, ví dụ như thẻ đục lỗ hoặc băng giấy;
trên môi trường từ tính chịu trách nhiệm về trạng thái từ hóa hoặc khử từ;
theo mức tín hiệu, cao hay thấp.

Trong khoa học sử dụng SS, một thuật ngữ nhất định đã được đưa vào, bản chất của nó như sau:

Chút - chữ số nhị phân, bao gồm hai thành phần mang một ý nghĩa nhất định. Đặt ở bên trái được xác định là cấp cao hơn và được ưu tiên, còn bên phải là cấp dưới, ít quan trọng hơn.
Một byte là một đơn vị bao gồm tám bit.

Nhiều module nhận biết và xử lý thông tin theo phần hoặc từ. Mỗi từ có trọng lượng khác nhau và có thể bao gồm 8, 16 hoặc 32 bit.

Quy tắc chuyển từ hệ thống này sang hệ thống khác

Một trong những yếu tố quan trọng nhất trong số học máy là chuyển từ SS này sang SS khác. Do đó, chúng ta hãy chú ý đến các thuật toán cơ bản để thực hiện quy trình hướng dẫn cách chuyển đổi một số sang hệ nhị phân.

Chuyển đổi hệ thập phân sang nhị phân

Đầu tiên chúng ta chuyển sang câu hỏi làm thế nào để chuyển đổi hệ thống từ số thập phân sang hệ số nhị phân. Đối với điều này có quy tắc dịch thuật từ số thập phân sang mã nhị phân, ngụ ý Các hoạt động toán học.

Yêu cầu một số viết ở dạng thập phân chia cho 2. Tiếp tục chia cho đến khi không còn thương số nào nữa. đơn vị. Nếu cần hệ thống số nhị phân thì việc dịch được thực hiện như sau:

186:2=93 (còn lại 0)

93:2=46 (còn lại 1)

46:2=23 (nghỉ 0)

23:2=11 (còn lại 1)

11:2=5 (còn lại 1)

5:2=2 (còn lại.1)

Sau khi thực hiện phép chia xong thì ghi 1 vào thương và viết các số dư theo thứ tự theo thứ tự phân chia ngược lại. Tức là 18610=1111010. Phải luôn tuân thủ quy tắc chuyển đổi số thập phân sang SS.

Chuyển đổi một số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân.

Chuyển đổi từ SS thập phân sang bát phân

Quá trình tương tự được thực hiện khi chuyển đổi từ SS thập phân sang bát phân. Nó còn được gọi là " quy tắc thay thế" Nếu trong ví dụ trước dữ liệu được chia cho 2 thì ở đây cần thiết chia cho 8. Thuật toán chuyển đổi số X10 sang bát phân bao gồm các bước sau:

Số X10 bắt đầu chia cho 8. Chúng ta lấy thương số cho phép chia tiếp theo và phần còn lại được viết là bit ít quan trọng nhất.
Ta tiếp tục chia cho đến khi được kết quả thương bằng số không hoặc phần còn lại, theo giá trị của nó ít hơn tám. Trong trường hợp này ta viết tất cả các số dư dưới dạng bit thứ tự thấp.

Ví dụ: bạn cần chuyển số 160110 sang số bát phân.

1601:8=200 (còn lại 1)

200:8=25 (còn lại 0)

25:8=3 (còn lại.1)

Vì vậy, chúng ta nhận được: 161010=31018.

Chuyển đổi từ thập phân sang bát phân.

Viết số thập phân dưới dạng thập lục phân

Việc chuyển đổi từ SS thập phân sang SS thập lục phân được thực hiện tương tự bằng hệ thống thay thế. Nhưng ngoài con số, họ còn sử dụng các chữ cái của bảng chữ cái latinh A, B, C, D, E, F. Trong đó A biểu thị số dư 10 và F ký hiệu số dư 15. Số thập phân được chia cho 16. Ví dụ: chuyển 10710 thành thập lục phân:

107:16=6 (còn lại 11 – thay B)

6 nhỏ hơn mười sáu. Chúng ta dừng chia và viết 10710 = 6B16.

Chuyển từ hệ thống khác sang hệ nhị phân

Câu hỏi tiếp theo là làm thế nào để chuyển đổi một số từ bát phân sang nhị phân. Việc chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống nào sang hệ nhị phân khá đơn giản. Người trợ giúp trong vấn đề này là bảng cho hệ thống số.

Hệ thống số vị trí lần đầu tiên xuất hiện ở Babylon cổ đại. Ở Ấn Độ hệ thống này hoạt động như

đánh số thập phân theo vị trí bằng số 0, người Ấn Độ có hệ thống số này

quốc gia Ả Rập đã vay mượn, và đến lượt người châu Âu lại lấy của họ. Ở châu Âu hệ thống này đã trở thành

gọi nó là tiếng Ả Rập.

Hệ thống vị trí - ý nghĩa của tất cả các chữ số phụ thuộc vào vị trí (chữ số) của một chữ số cho trước trong một số.

Ví dụ, hệ thống số thứ 10 tiêu chuẩn là một hệ thống vị trí. Giả sử số 453 được đưa ra.

Số 4 biểu thị hàng trăm và tương ứng với số 400, 5 - số hàng chục và tương ứng với giá trị 50,

và 3 - đơn vị và giá trị 3. Dễ dàng nhận thấy rằng khi chữ số tăng thì giá trị cũng tăng.

Vì vậy, chúng ta viết số đã cho dưới dạng tổng 400+50+3=453.

Hệ thống số nhị phân.

Ở đây chỉ có 2 chữ số - 0 và 1. Cơ sở của hệ nhị phân- số 2.

Số nằm ở rìa bên phải biểu thị số lượng đơn vị, số thứ hai biểu thị

Trong tất cả các chữ số, chỉ có thể có một chữ số - 0 hoặc một.

Sử dụng hệ thống số nhị phân, có thể mã hóa bất kỳ số tự nhiên nào bằng cách biểu diễn

Số này là một chuỗi các số không và số một.

Ví dụ: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

Hệ thống số nhị phân, giống như hệ thống số thập phân, thường được sử dụng trong máy tính

công nghệ. Máy tính lưu trữ văn bản và số trong bộ nhớ của nó dưới dạng mã nhị phân và chuyển đổi nó theo chương trình

vào hình ảnh trên màn hình.

Cộng, trừ và nhân các số nhị phân.

Bảng cộng trong hệ nhị phân:

10 (chuyển sang

cấp trên)

Bảng trừ trong hệ nhị phân:

(vay từ cấp trên

Loại 1

Ví dụ về phép cộng cột (14 10 + 5 10 = 19 10 hoặc 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

+		1	1	1	0
+			1	0	1
	1	0	0	1	1

Bảng nhân trong hệ nhị phân:

Ví dụ về phép nhân cột (14 10 * 5 10 = 70 10 hoặc 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

*				1	1	1	0
*					1	0	1
+				1	1	1	0
+			1	1	1	0
=	1	0	0	0	1	1	0

Chuyển đổi số trong hệ thống số nhị phân.

Để chuyển đổi từ nhị phân sang thập phân, hãy sử dụng bảng số mũ sau

căn cứ 2:

Bắt đầu từ chữ số một, mỗi chữ số được nhân với 2. Dấu chấm sau số 1 được gọi là điểm nhị phân.

Chuyển số nhị phân sang số thập phân.

Giả sử có số nhị phân 110001 2. Để chuyển sang số thập phân, chúng ta viết nó dưới dạng tổng bằng

xếp hạng như sau:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Khác biệt một chút:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Viết phép tính dưới dạng bảng cũng rất tốt:

Chúng tôi di chuyển từ phải sang trái. Dưới tất cả các đơn vị nhị phân, chúng ta viết giá trị tương đương của nó vào dòng bên dưới.

Chuyển đổi số nhị phân phân số thành số thập phân.

Bài tập: chuyển số 1011010, 101 2 sang hệ thập phân.

Chúng ta viết số đã cho dưới dạng này:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

Một tùy chọn ghi khác:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

Hoặc ở dạng bảng:

								0.25	0.125

									0.125

Chuyển số thập phân sang nhị phân.

Giả sử bạn cần chuyển số 19 sang dạng nhị phân. Chúng ta có thể làm theo cách này:

19 /2 = 9 với phần còn lại 1

9 /2 = 4 với phần còn lại 1

4 /2 = 2 Không một dâu vêt 0

2 /2 = 1 Không một dâu vêt 0

1 /2 = 0 với phần còn lại 1

Nghĩa là, mỗi thương số được chia cho 2 và phần còn lại được ghi vào cuối ký hiệu nhị phân. Phân công

tiếp tục cho đến khi không còn số 0 trong thương số. Chúng tôi viết kết quả từ phải sang trái. Những thứ kia. thấp hơn

số (1) sẽ là số ngoài cùng bên trái, v.v. Vì vậy, chúng ta có số 19 ở dạng nhị phân: 10011.

Chuyển đổi số thập phân phân số sang nhị phân.

Khi một số cho trước chứa phần nguyên, nó sẽ được chuyển đổi riêng biệt với phần phân số. Dịch

Việc chuyển đổi một số phân số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân diễn ra như sau:

Phân số được nhân với cơ số của hệ nhị phân (2);

Trong sản phẩm thu được, toàn bộ phần được tách biệt, phần này được coi là phần chính.

chữ số của một số trong hệ số nhị phân;

Thuật toán kết thúc nếu phần phân số của tích thu được bằng 0 hoặc nếu

đã đạt được độ chính xác tính toán cần thiết. Nếu không, việc tính toán sẽ tiếp tục

một phần nhỏ của sản phẩm.

Ví dụ: Bạn cần chuyển số thập phân phân số 206.116 thành số nhị phân phân số.

Dịch toàn bộ phần này ta được 206 10 =11001110 2. Phần phân số của 0,116 được nhân với cơ số 2,

Chúng tôi đặt toàn bộ các phần của sản phẩm ở vị trí thập phân:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

Kết quả: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Một thuật toán để chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác.

1. Từ hệ số thập phân:

chia số cho cơ số của hệ số đã dịch;

tìm số dư khi chia phần nguyên của một số;

viết tất cả số dư của phép chia theo thứ tự ngược lại;

2. Từ hệ nhị phân:

để chuyển sang hệ thập phân, ta tìm tổng các tích cơ số 2 bằng

mức độ xả thích hợp;

Viết số trong hệ nhị phân và lũy thừa của hai từ phải sang trái. Ví dụ: chúng tôi muốn chuyển đổi số nhị phân 10011011 2 thành số thập phân. Hãy viết nó ra trước. Sau đó chúng ta viết lũy thừa của hai từ phải sang trái. Hãy bắt đầu với 2 0, bằng "1". Chúng tôi tăng mức độ lên một cho mỗi số tiếp theo. Chúng ta dừng khi số phần tử trong danh sách bằng số chữ số trong số nhị phân. Số ví dụ của chúng ta, 10011011, có tám chữ số, do đó, danh sách tám phần tử sẽ trông như thế này: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Viết các chữ số của số nhị phân dưới lũy thừa tương ứng của 2. Bây giờ chỉ cần viết 10011011 dưới các số 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 và 1, sao cho mỗi chữ số nhị phân tương ứng với một lũy thừa 2 khác nhau. Số "1" ngoài cùng bên phải của số nhị phân phải tương ứng với số "1" ngoài cùng bên phải của lũy thừa hai, v.v. Nếu muốn, bạn có thể viết số nhị phân trên lũy thừa hai. Điều quan trọng nhất là chúng phù hợp với nhau.

Ghép các chữ số trong số nhị phân với lũy thừa tương ứng của hai. Vẽ các đường thẳng (từ phải sang trái) nối từng chữ số liên tiếp của số nhị phân với lũy thừa của hai chữ số phía trên nó. Bắt đầu vẽ các đường bằng cách nối chữ số đầu tiên của số nhị phân với lũy thừa đầu tiên của hai số ở trên nó. Sau đó vẽ một đường thẳng từ chữ số thứ hai của số nhị phân đến lũy thừa thứ hai của hai. Tiếp tục kết nối mỗi số với lũy thừa tương ứng của hai. Điều này sẽ giúp bạn nhìn thấy trực quan mối quan hệ giữa hai bộ số khác nhau.

Viết giá trị cuối cùng của mỗi lũy thừa của hai.Đi qua từng chữ số của một số nhị phân. Nếu số đó là 1, hãy viết lũy thừa tương ứng của 2 dưới số đó. Nếu số này là 0 thì viết số 0 dưới số đó.

Vì "1" khớp với "1" nên nó vẫn là "1". Vì "2" khớp với "1" nên nó vẫn là "2". Vì "4" tương ứng với "0" nên nó trở thành "0". Vì "8" khớp với "1" nên nó trở thành "8" và vì "16" khớp với "1" nên nó trở thành "16". "32" khớp với "0" và trở thành "0", "64" khớp với "0" và do đó trở thành "0", trong khi "128" khớp với "1" và do đó trở thành 128.

Cộng các giá trị kết quả. Bây giờ thêm các số kết quả dưới dòng. Đây là những gì bạn phải làm: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Đây là số thập phân tương đương với số nhị phân 10011011.

Viết câu trả lời cùng với chỉ số dưới bằng hệ thống số. Bây giờ tất cả những gì bạn phải làm là viết 155 10 để chứng tỏ rằng bạn đang làm việc với một câu trả lời thập phân, liên quan đến lũy thừa của mười. Bạn càng chuyển đổi số nhị phân thành số thập phân nhiều thì bạn càng dễ nhớ lũy thừa của hai và bạn càng có thể hoàn thành nhiệm vụ nhanh hơn.

Sử dụng phương pháp này để chuyển đổi số nhị phân có dấu thập phân sang dạng thập phân. Bạn có thể sử dụng phương pháp này ngay cả khi bạn muốn chuyển đổi một số nhị phân chẳng hạn như 1,1 2 thành số thập phân. Tất cả những gì bạn cần biết là số ở bên trái của số thập phân là số thông thường và số ở bên phải của số thập phân là số "một nửa", hay 1 x (1/2).

"1" ở bên trái số thập phân tương ứng với 2 0 hoặc 1. 1 ở bên phải số thập phân tương ứng với 2 -1 hoặc .5. Cộng 1 và 0,5 và bạn nhận được 1,5, số thập phân tương đương với 1,1 2.

Xin chào, khách truy cập trang web! Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu giao thức lớp mạng IP và chính xác hơn là phiên bản IPv4 của nó. Thoạt nhìn chủ đề số nhị phân và hệ thống số nhị phân không liên quan gì đến giao thức IP, nhưng nếu chúng ta nhớ rằng máy tính hoạt động với số 0 và số 1, thì hóa ra hệ thống nhị phân và sự hiểu biết về nó là nền tảng của các nguyên tắc cơ bản, chúng ta cần học cách chuyển đổi số từ nhị phân sang thập phân và ngược lại: thập phân sang nhị phân. Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về giao thức IP, cũng như nguyên lý hoạt động của các mặt nạ mạng có độ dài thay đổi. Bắt đầu nào!

Nếu chủ đề về mạng máy tính khiến bạn hứng thú, bạn có thể đọc các bản ghi khóa học khác.

4.4.1 Giới thiệu

Trước khi chúng ta bắt đầu, cần giải thích lý do tại sao một kỹ sư mạng cần chủ đề này. Mặc dù bạn có thể bị thuyết phục về sự cần thiết của nó khi chúng tôi nói chuyện, bạn có thể nói rằng có những máy tính IP hỗ trợ rất nhiều cho nhiệm vụ phân bổ địa chỉ IP, tính toán các mặt nạ mạng/mạng con cần thiết và xác định số mạng và số máy chủ trong địa chỉ IP. Đúng vậy, nhưng không phải lúc nào cũng có sẵn máy tính IP, đây là lý do số một. Lý do thứ hai là trong các kỳ thi của Cisco, họ sẽ không cung cấp cho bạn máy tính IP và chỉ vậy thôi. bạn sẽ phải thực hiện chuyển đổi địa chỉ IP từ thập phân sang nhị phân trên một tờ giấy, và cũng không ít câu hỏi bắt buộc phải có điều này trong kỳ thi/kỳ thi lấy chứng chỉ CCNA, sẽ thật đáng tiếc nếu kỳ thi trượt chỉ vì một chuyện vặt vãnh như vậy. Và cuối cùng, việc hiểu hệ thống số nhị phân sẽ dẫn đến hiểu rõ hơn về nguyên lý hoạt động.

Nói chung, một kỹ sư mạng không bắt buộc phải có khả năng chuyển đổi các số từ nhị phân sang thập phân và ngược lại trong đầu. Hơn nữa, hiếm ai biết cách thực hiện việc này trong đầu, giáo viên của các khóa học khác nhau trên mạng máy tính chủ yếu thuộc loại này, vì họ liên tục gặp phải điều này hàng ngày. Nhưng với một mảnh giấy và một cây bút, bạn nên học cách dịch.

4.4.2 Chữ số và số thập phân, chữ số trong số

Hãy bắt đầu đơn giản và nói về các chữ số và số nhị phân, bạn biết rằng số và số là hai thứ khác nhau. Số là ký hiệu đặc biệt để chỉ định và số là ký hiệu trừu tượng cho số lượng. Ví dụ, để viết rằng bàn tay chúng ta có 5 ngón, chúng ta có thể sử dụng chữ số La Mã và Ả Rập: V và 5. Trong trong trường hợp này năm vừa là số vừa là chữ số. Và, ví dụ, để viết số 20 chúng ta sử dụng hai chữ số: 2 và 0.

Tổng cộng, trong hệ thống số thập phân chúng ta có mười chữ số hoặc mười ký hiệu (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), bằng cách kết hợp chúng ta có thể viết được các số khác nhau. Chúng ta được hướng dẫn nguyên tắc gì khi sử dụng hệ thống số thập phân? Vâng, mọi thứ rất đơn giản, chúng ta nâng 10 lên lũy thừa này hay lũy thừa khác, chẳng hạn, hãy lấy số 321. Làm sao nó có thể được viết khác đi, như thế này: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Như vậy, hóa ra số 321 đại diện cho ba chữ số:

Số 3 có nghĩa là vị trí quan trọng nhất hoặc trong trường hợp này là vị trí hàng trăm, nếu không thì là số của chúng.
Số 2 ở hàng chục nên ta có 2 chục.
Số một đề cập đến chữ số ít quan trọng nhất.

Nghĩa là, trong mục này, hai không chỉ là hai mà là hai chục hoặc hai lần mười. Và ba không chỉ là ba, mà là ba lần một trăm. Ta thu được sự phụ thuộc sau: đơn vị của mỗi chữ số tiếp theo lớn hơn mười lần đơn vị của chữ số trước đó, vì 300 bằng ba lần một trăm. Cần phải có một sự lạc đề liên quan đến hệ thống số thập phân để làm cho hệ thống nhị phân dễ hiểu hơn.

4.4.3 Các chữ số và số nhị phân cũng như cách ghi của chúng

Chỉ có hai chữ số trong hệ thống số nhị phân: 0 và 1. Vì vậy, cách viết số trong hệ nhị phân thường lớn hơn rất nhiều so với cách viết trong hệ thập phân. Ngoại trừ các số 0 và 1, số 0 trong hệ thống số nhị phân bằng 0 trong hệ thống số thập phân và điều này cũng đúng với một. Đôi khi, để không nhầm lẫn số được viết bằng hệ thống số nào, các chỉ số phụ được sử dụng: 267 10, 10100 12, 4712 8. Số trong chỉ mục phụ biểu thị hệ thống số.

Các ký hiệu 0b và &(dấu và) có thể được sử dụng để viết các số nhị phân: 0b10111, &111. Nếu trong hệ thập phân, để phát âm số 245 chúng ta sử dụng cấu trúc: hai trăm bốn mươi lăm, thì trong hệ số nhị phân, để đặt tên cho số, chúng ta cần phát âm một chữ số từ mỗi chữ số, ví dụ: Số 1100 trong hệ nhị phân không được phát âm là nghìn một trăm mà phải đọc như một, một, không, không. Hãy xem cách viết các số từ 0 đến 10 trong hệ thống số nhị phân:

Tôi nghĩ bây giờ logic đã rõ ràng rồi. Nếu trong hệ thống số thập phân cho mỗi chữ số, chúng ta có sẵn mười tùy chọn (bao gồm từ 0 đến 9), thì trong hệ thống số nhị phân ở mỗi chữ số của số nhị phân, chúng ta chỉ có hai tùy chọn: 0 hoặc 1.

Để làm việc với địa chỉ IP và mặt nạ mạng con, chúng ta chỉ cần số tự nhiên trong hệ thống số nhị phân, mặc dù hệ nhị phân cho phép chúng ta viết số phân số và số âm nhưng chúng ta không cần điều này.

4.4.4 Chuyển số từ thập phân sang nhị phân

Chúng ta hãy nhìn rõ hơn về điều này cách chuyển một số từ thập phân sang nhị phân. Và ở đây mọi thứ thực sự rất, rất đơn giản, mặc dù rất khó để giải thích bằng lời, vì vậy tôi sẽ đưa ra ngay ví dụ về chuyển đổi số từ thập phân sang nhị phân. Hãy lấy số 61, để chuyển sang hệ nhị phân, chúng ta cần chia số này cho 2 và xem phần dư của phép chia là bao nhiêu. Và kết quả của phép chia lại được chia cho hai. Trong trường hợp này, 61 là số bị chia, chúng ta sẽ luôn có 2 làm ước số và chúng ta lại chia thương (kết quả của phép chia) cho 2, tiếp tục chia cho đến khi thương chứa 1, đơn vị cuối cùng này sẽ là chữ số ngoài cùng bên trái. Hình ảnh dưới đây chứng minh điều này.

Xin lưu ý rằng số 61 không phải là 101111 mà là 111101, tức là chúng ta viết kết quả từ cuối. Trong trường hợp sau, việc chia một cho hai không có ý nghĩa gì, vì trong trường hợp này phép chia số nguyên được sử dụng, và với cách tiếp cận này kết quả như trong Hình 4.4.2.

Đây không phải là cách nhanh nhất để chuyển đổi một số từ nhị phân sang thập phân.. Chúng tôi có một số máy gia tốc. Ví dụ: số 7 trong hệ nhị phân được viết là 111, số 3 là 11 và số 255 là 11111111. Tất cả những trường hợp này đều cực kỳ đơn giản. Thực tế là các số 8, 4 và 256 là lũy thừa của hai và các số 7, 3 và 255 nhỏ hơn các số này một đơn vị. Vì vậy, đối với các số nhỏ hơn một số bằng lũy thừa của hai, một quy tắc đơn giản được áp dụng: trong hệ nhị phân, số thập phân đó được viết dưới dạng số đơn vị bằng lũy thừa của hai. Vì vậy, ví dụ, số 256 bằng hai lũy thừa tám, do đó, 255 được viết là 11111111, và số 8 là hai lũy thừa thứ ba, và điều này cho chúng ta biết rằng 7 trong hệ thống số nhị phân sẽ được viết là 111 À, hiểu rồi, cách viết 256, 4, 8 trong hệ nhị phân cũng không khó, chỉ cần cộng một: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Bạn có thể kiểm tra bất kỳ kết quả nào của mình trên máy tính và tốt hơn hết bạn nên làm như vậy ngay từ đầu.

Như bạn có thể thấy, chúng ta vẫn chưa quên cách chia. Và bây giờ chúng ta có thể tiếp tục.

4.4.5 Chuyển số từ nhị phân sang thập phân

Chuyển đổi số từ nhị phân dễ dàng hơn nhiều so với chuyển đổi từ thập phân sang nhị phân. Để làm ví dụ về bản dịch, chúng tôi sẽ sử dụng số 11110. Hãy chú ý đến bảng bên dưới, nó cho thấy lũy thừa mà bạn cần tăng hai để cuối cùng có được số thập phân.

Để có được số thập phân từ số nhị phân này, bạn cần nhân từng số có chữ số với lũy thừa của 2, sau đó cộng kết quả của phép nhân, sẽ dễ hiển thị hơn:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Hãy mở máy tính và đảm bảo rằng 30 trong hệ thống số thập phân là 11110 ở hệ nhị phân.

Chúng tôi thấy rằng mọi thứ đã được thực hiện chính xác. Từ ví dụ rõ ràng rằng Chuyển đổi một số từ nhị phân sang thập phân dễ dàng hơn nhiều so với chuyển đổi ngược lại. Để làm việc một cách tự tin, bạn chỉ cần nhớ lũy thừa của hai đến 2 8. Để rõ ràng, tôi sẽ cung cấp một bảng.

Chúng tôi không cần nhiều hơn, vì số lượng tối đa có thể được ghi trong một byte (8 bit hoặc tám giá trị nhị phân) là 255, nghĩa là, trong mỗi octet của địa chỉ IP hoặc mặt nạ mạng con IPv4, giá trị tối đa có thể là 255. Có những trường, trong đó có giá trị lớn hơn 255 nhưng chúng ta không cần tính toán.

4.4.6 Cộng, trừ, nhân số nhị phân và các phép tính khác với số nhị phân

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào các phép toán có thể được thực hiện trên số nhị phân. Hãy bắt đầu với các phép tính số học đơn giản và sau đó chuyển sang các phép tính đại số Boolean.

Thêm số nhị phân

Việc cộng các số nhị phân không khó lắm: 1+0 =1; 1+1=0 (Tôi sẽ giải thích sau); 0+0=0. Đây là những ví dụ đơn giản chỉ sử dụng một chữ số, hãy xem các ví dụ trong đó số chữ số nhiều hơn một.
101+1101 trong hệ thập phân là 5 + 13 = 18. Hãy đếm theo một cột.

Kết quả được tô sáng màu cam, máy tính cho biết chúng tôi đã tính toán chính xác, bạn có thể kiểm tra. Bây giờ chúng ta hãy xem tại sao điều này xảy ra, vì lúc đầu tôi viết 1+1=0, nhưng đây là trường hợp khi chúng ta chỉ có một chữ số, đối với trường hợp có nhiều hơn một chữ số, 1+1=10 (hoặc hai ở dạng thập phân), điều này là hợp lý.

Sau đó hãy xem điều gì xảy ra, chúng ta thực hiện phép cộng theo chữ số từ phải sang trái:

1. 1+1=10, viết số 0 và một số sẽ chuyển sang chữ số tiếp theo.

2. Ở chữ số tiếp theo, chúng ta nhận được 0+0+1=1 (đơn vị này đến với chúng ta từ kết quả của phép cộng ở bước 1).

4. Ở đây chúng ta chỉ có đơn vị là số thứ hai, nhưng nó cũng được chuyển vào đây nên 0+1+1 = 10.

5. Dán mọi thứ lại với nhau: 10|0|1|0.

Nếu lười vào một cột thì hãy đếm như sau: 101011+11011 hoặc 43 + 27 = 70. Chúng ta có thể làm gì ở đây, nhưng hãy xem nhé, vì không ai cấm chúng ta thực hiện các phép biến đổi và thay đổi vị trí của các các số hạng không thay đổi tổng, đối với hệ thống số nhị phân, quy tắc này cũng có liên quan.

101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
100000 + 100000 +110
1000000 + 110.
1000110.

Bạn có thể kiểm tra bằng máy tính, 1000110 ở dạng nhị phân là 70 ở dạng thập phân.

Trừ số nhị phân

Ngay ví dụ về phép trừ số có một chữ số trong hệ nhị phân, chúng ta không nói về số âm nên không tính đến 0-1: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Nếu có nhiều hơn một chữ số thì mọi thứ cũng đơn giản, bạn thậm chí không cần bất kỳ cột hay thủ thuật nào: 110111 – 1000, nó giống như 55 – 8. Kết quả là chúng ta nhận được 101111. Và trái tim đã ngừng đập, đơn vị ở chữ số thứ ba đến từ đâu (đánh số từ trái sang phải và bắt đầu từ 0)? Thật đơn giản! Trong chữ số thứ hai của số 110111 có 0 và ở chữ số thứ nhất có 1 (nếu chúng ta giả sử rằng việc đánh số các chữ số bắt đầu từ 0 và đi từ trái sang phải), nhưng đơn vị của chữ số thứ tư được lấy bằng cộng hai đơn vị của chữ số thứ ba (bạn nhận được một loại hai ảo) và từ số này Đối với hai, chúng ta trừ đi một, nằm ở chữ số 0 của số 1000 và 2 - 1 = 1, và 1 là chữ số hợp lệ trong hệ thống số nhị phân.

Nhân số nhị phân

Chúng ta vẫn còn phải xem xét phép nhân các số nhị phân, được thực hiện bằng cách dịch chuyển một bit sang trái. Nhưng trước tiên, hãy xem kết quả của phép nhân có một chữ số: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Thực ra mọi thứ đều đơn giản, bây giờ chúng ta hãy xem xét thứ gì đó phức tạp hơn. Hãy lấy các số 101001 (41) và 1100 (12). Chúng ta sẽ nhân theo cột.

Nếu trong bảng không rõ điều này xảy ra như thế nào, thì tôi sẽ cố gắng giải thích bằng lời:

Để nhân các số nhị phân trong một cột rất thuận tiện nên ta viết thừa số thứ hai vào dưới số đầu tiên, nếu các số có số chữ số khác nhau thì số lớn hơn ở trên sẽ thuận tiện hơn.
Bước tiếp theo là nhân tất cả các chữ số của số thứ nhất với chữ số thấp nhất của số thứ hai. Ta viết kết quả của phép nhân dưới đây, cần viết sao cho dưới mỗi chữ số tương ứng ghi kết quả của phép nhân.
Bây giờ chúng ta cần nhân tất cả các chữ số của số đầu tiên với chữ số tiếp theo của số thứ hai và viết kết quả thêm một dòng bên dưới, nhưng kết quả này cần được dịch sang trái một chữ số; nếu bạn nhìn vào bảng, điều này là dãy số 0 thứ hai từ trên xuống.
Điều tương tự cũng phải được thực hiện đối với các chữ số tiếp theo, mỗi lần di chuyển một chữ số sang trái và nếu bạn nhìn vào bảng, bạn có thể nói rằng một ô ở bên trái.
Chúng ta có bốn số nhị phân mà bây giờ chúng ta cần cộng và nhận được kết quả. Gần đây chúng tôi đã xem xét phép cộng, chắc không có vấn đề gì cả.

Nhìn chung, phép tính nhân không quá khó, bạn chỉ cần luyện tập một chút là được.

Các phép toán đại số Boolean

Có hai khái niệm rất quan trọng trong đại số Boolean: đúng và sai, tương đương với số 0 và một trong hệ thống số nhị phân. Các toán tử đại số Boolean mở rộng số lượng toán tử có sẵn trên các giá trị này, chúng ta hãy xem xét chúng.

Hoạt động logic AND hoặc AND

Phép toán logic AND hoặc AND tương đương với phép nhân các số nhị phân có một chữ số.

1 VÀ 1 = 1; 1 VÀ 0 = 1; 0 VÀ 0 = 0; 0 VÀ 1 = 0.

1 VÀ 1 = 1 ;

1 VÀ 0 = 1 ;

0 VÀ 0 = 0 ;

0 VÀ 1 = 0.

Kết quả của “Logical AND” sẽ chỉ là một nếu cả hai giá trị đều bằng một; trong tất cả các trường hợp khác, nó sẽ bằng 0.

Hoạt động "Logic OR" hoặc OR

Thao tác “Logical OR” hoặc OR hoạt động theo nguyên tắc sau: nếu có ít nhất một giá trị bằng một thì kết quả sẽ là một.

1 HOẶC 1 = 1; 1 HOẶC 0 = 1; 0 HOẶC 1 = 1; 0 HOẶC 0 = 0.

1 HOẶC 1 = 1 ;

1 HOẶC 0 = 1 ;

0 HOẶC 1 = 1 ;

0 HOẶC 0 = 0.

Hoạt động OR hoặc XOR độc quyền

Phép toán "Độc quyền OR" hoặc XOR sẽ chỉ cho chúng ta kết quả là một nếu một trong các toán hạng bằng một và toán hạng thứ hai bằng 0. Nếu cả hai toán hạng đều bằng 0 thì kết quả sẽ bằng 0 và ngay cả khi cả hai toán hạng đều bằng 1 thì kết quả sẽ bằng 0.

Kết quả đã được nhận rồi!

Hệ thống số

Có hệ thống số vị trí và không vị trí. Hệ thống số Ả Rập mà chúng ta sử dụng trong cuộc sống hàng ngày có tính vị trí, nhưng hệ thống số La Mã thì không. Trong hệ thống số vị trí, vị trí của một số xác định duy nhất độ lớn của số đó. Hãy xem xét điều này bằng ví dụ về số 6372 trong hệ thống số thập phân. Hãy đánh số số này từ phải sang trái bắt đầu từ số 0:

Khi đó số 6372 có thể được biểu diễn như sau:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Số 10 xác định hệ thống số (trong trường hợp này là 10). Các giá trị vị trí của một số cho trước được lấy làm lũy thừa.

Xét số thập phân thực 1287,923. Hãy đánh số nó bắt đầu từ vị trí 0 của số từ dấu thập phân sang trái và phải:

Khi đó số 1287.923 có thể được biểu diễn dưới dạng:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Nói chung, công thức có thể được biểu diễn như sau:

C n S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

trong đó C n là một số nguyên ở vị trí N, D -k - số phân số ở vị trí (-k), S- hệ thống số.

Đôi lời về hệ đếm Số trong hệ thập phân gồm nhiều chữ số (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), trong hệ bát phân gồm nhiều chữ số (0,1, 2,3,4,5,6,7), trong hệ thống số nhị phân - từ một tập hợp các chữ số (0,1), trong hệ thống số thập lục phân - từ một tập hợp các chữ số (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), trong đó A,B,C,D,E,F tương ứng với các số 10,11, 12,13,14,15. Trong bảng Tab.1, các số được trình bày theo các hệ thống số khác nhau.

Bảng 1
Ký hiệu
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	MỘT
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác

Để chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác, cách dễ nhất trước tiên là chuyển đổi số sang hệ thống số thập phân, sau đó chuyển đổi từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số được yêu cầu.

Chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số thập phân

Sử dụng công thức (1), bạn có thể chuyển đổi các số từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số thập phân.

Ví dụ 1. Chuyển đổi số 1011101.001 từ hệ thống số nhị phân (SS) sang SS thập phân. Giải pháp:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Ví dụ2. Chuyển đổi số 1011101.001 từ hệ bát phân (SS) sang SS thập phân. Giải pháp:

Ví dụ 3 . Chuyển đổi số AB572.CDF từ hệ thập lục phân sang SS thập phân. Giải pháp:

Đây MỘT-thay thế bằng 10, B- lúc 11 giờ, C- ở tuổi 12, F- trước 15.

Chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác

Để chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác, bạn cần chuyển đổi riêng phần nguyên của số và phần phân số của số đó.

Phần nguyên của một số được chuyển đổi từ SS thập phân sang hệ thống số khác bằng cách chia tuần tự phần nguyên của số đó cho cơ số của hệ thống số (đối với SS nhị phân - cho 2, đối với SS 8-ary - cho 8, đối với 16 -ary SS - bằng 16, v.v.) cho đến khi thu được toàn bộ cặn, nhỏ hơn CC bazơ.

Ví dụ 4 . Hãy chuyển đổi số 159 từ SS thập phân sang SS nhị phân:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Như có thể thấy từ hình. 1, số 159 khi chia cho 2 được thương 79 và dư 1. Hơn nữa, số 79 khi chia cho 2 được thương 39 và dư 1, v.v. Kết quả, xây dựng một số từ số dư chia (từ phải sang trái), ta thu được một số ở dạng SS nhị phân: 10011111 . Vì vậy chúng ta có thể viết:

159 10 =10011111 2 .

Ví dụ 5 . Hãy chuyển đổi số 615 từ SS thập phân sang SS bát phân.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Khi chuyển đổi một số từ SS thập phân sang SS bát phân, bạn cần chia số đó một cách tuần tự cho 8 cho đến khi nhận được số nguyên còn lại nhỏ hơn 8. Kết quả là xây dựng một số từ số dư chia (từ phải sang trái) chúng ta nhận được một số trong SS bát phân: 1147 (xem hình 2). Vì vậy chúng ta có thể viết:

615 10 =1147 8 .

Ví dụ 6 . Hãy chuyển đổi số 19673 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Như có thể thấy trên Hình 3, khi chia liên tiếp số 19673 cho 16 thì số dư là 4, 12, 13, 9. Trong hệ số thập lục phân, số 12 ứng với C, số 13 ứng với D. Do đó, số thập lục phân là 4CD9.

Để chuyển các phân số thập phân thông thường (một số thực có phần nguyên bằng 0) thành một hệ số có cơ số s, cần phải nhân liên tiếp số này với s cho đến khi phần phân số chứa số 0 thuần túy, hoặc ta thu được số chữ số cần thiết . Nếu trong quá trình nhân, thu được một số có phần nguyên khác 0 thì phần nguyên này không được tính đến (chúng được đưa vào kết quả một cách tuần tự).

Hãy nhìn vào những điều trên với các ví dụ.

Ví dụ 7 . Hãy chuyển đổi số 0,214 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Như có thể thấy trong Hình 4, số 0,214 được nhân liên tục với 2. Nếu kết quả của phép nhân là một số có phần nguyên khác 0 thì phần nguyên được viết riêng (ở bên trái của số), và số được viết với phần nguyên bằng 0. Nếu phép nhân tạo ra một số có phần nguyên bằng 0 thì số 0 sẽ được ghi ở bên trái của số đó. Quá trình nhân tiếp tục cho đến khi phần phân số đạt đến số 0 thuần túy hoặc chúng ta thu được số chữ số cần thiết. Viết số in đậm (Hình 4) từ trên xuống dưới ta được số cần tìm trong hệ nhị phân: 0. 0011011 .

Vì vậy chúng ta có thể viết:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Ví dụ 8 . Hãy chuyển đổi số 0,125 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Để chuyển số 0,125 từ SS thập phân sang nhị phân, số này được nhân liên tục với 2. Ở giai đoạn thứ ba, kết quả là 0. Do đó, thu được kết quả sau:

0.125 10 =0.001 2 .

Ví dụ 9 . Hãy chuyển đổi số 0,214 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Theo ví dụ 4 và 5, ta được các số 3, 6, 12, 8, 11, 4. Nhưng trong hệ thập lục phân SS, các số 12 và 11 tương ứng với các số C và B. Do đó, ta có:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Ví dụ 10 . Hãy chuyển đổi số 0,512 từ hệ thống số thập phân sang SS bát phân.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Lấy:

0.512 10 =0.406111 8 .

Ví dụ 11 . Hãy chuyển đổi số 159.125 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân. Để làm điều này, chúng ta dịch riêng phần nguyên của số (Ví dụ 4) và phần phân số của số (Ví dụ 8). Kết hợp thêm các kết quả này chúng tôi nhận được:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Ví dụ 12 . Hãy chuyển đổi số 19673.214 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân. Để làm điều này, chúng ta dịch riêng phần nguyên của số (Ví dụ 6) và phần phân số của số (Ví dụ 9). Hơn nữa, kết hợp những kết quả này, chúng tôi có được.