Số nhị phân, chữ số và hệ thống số nhị phân. Chuyển đổi một số sang hệ thống số nhị phân từ hệ thống số thập phân. Hệ thống số. Dịch hệ thống số

Kết quả đã được nhận rồi!

Hệ thống số

Có hệ thống số vị trí và không vị trí. Hệ thống số Ả Rập mà chúng ta sử dụng trong cuộc sống hàng ngày có tính vị trí, nhưng hệ thống số La Mã thì không. Trong hệ thống số vị trí, vị trí của một số xác định duy nhất độ lớn của số đó. Hãy xem xét điều này bằng ví dụ về số 6372 trong hệ thống số thập phân. Hãy đánh số số này từ phải sang trái bắt đầu từ số 0:

Khi đó số 6372 có thể được biểu diễn như sau:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Số 10 xác định hệ thống số (trong trường hợp này là 10). Các giá trị vị trí của một số cho trước được lấy làm lũy thừa.

Xét số thập phân thực 1287,923. Hãy đánh số nó bắt đầu từ vị trí 0 của số từ dấu thập phân sang trái và phải:

Khi đó số 1287.923 có thể được biểu diễn dưới dạng:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Nói chung, công thức có thể được biểu diễn như sau:

C n S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

trong đó C n là một số nguyên ở vị trí N, D -k - số phân số ở vị trí (-k), S- hệ thống số.

Đôi lời về hệ đếm Số trong hệ thập phân gồm nhiều chữ số (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), trong hệ bát phân gồm nhiều chữ số (0,1, 2,3,4,5,6,7), trong hệ thống số nhị phân - từ một tập hợp các chữ số (0,1), trong hệ thống số thập lục phân - từ một tập hợp các chữ số (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), trong đó A,B,C,D,E,F tương ứng với các số 10,11, 12,13,14,15. Trong bảng Tab.1, các số được trình bày theo các hệ thống số khác nhau.

Chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác

Để chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác, cách dễ nhất trước tiên là chuyển đổi số sang hệ thống số thập phân, sau đó chuyển đổi từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số được yêu cầu.

Chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số thập phân

Sử dụng công thức (1), bạn có thể chuyển đổi các số từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số thập phân.

Ví dụ 1. Chuyển đổi số 1011101.001 từ hệ thống số nhị phân (SS) sang SS thập phân. Giải pháp:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Ví dụ2. Chuyển đổi số 1011101.001 từ hệ bát phân (SS) sang SS thập phân. Giải pháp:

Ví dụ 3 . Chuyển đổi số AB572.CDF từ hệ thập lục phân sang SS thập phân. Giải pháp:

Đây MỘT-thay thế bằng 10, B- lúc 11 giờ, C- ở tuổi 12, F- trước 15.

Chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác

Để chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác, bạn cần chuyển đổi riêng phần nguyên của số và phần phân số của số đó.

Phần nguyên của một số được chuyển đổi từ SS thập phân sang hệ thống số khác bằng cách chia tuần tự phần nguyên của số đó cho cơ số của hệ thống số (đối với SS nhị phân - cho 2, đối với SS 8-ary - cho 8, đối với 16 -ary SS - bằng 16, v.v.) cho đến khi thu được toàn bộ cặn, nhỏ hơn CC bazơ.

Ví dụ 4 . Hãy chuyển đổi số 159 từ SS thập phân sang SS nhị phân:

Như có thể thấy từ hình. 1, số 159 khi chia cho 2 được thương 79 và dư 1. Hơn nữa, số 79 khi chia cho 2 được thương 39 và dư 1, v.v. Kết quả, xây dựng một số từ số dư chia (từ phải sang trái), ta thu được một số ở dạng SS nhị phân: 10011111 . Vì vậy chúng ta có thể viết:

159 10 =10011111 2 .

Ví dụ 5 . Hãy chuyển đổi số 615 từ SS thập phân sang SS bát phân.

Khi chuyển đổi một số từ SS thập phân sang SS bát phân, bạn cần chia số đó một cách tuần tự cho 8 cho đến khi nhận được số nguyên còn lại nhỏ hơn 8. Kết quả là xây dựng một số từ số dư chia (từ phải sang trái) chúng ta nhận được một số trong SS bát phân: 1147 (xem hình 2). Vì vậy chúng ta có thể viết:

615 10 =1147 8 .

Ví dụ 6 . Hãy chuyển đổi số 19673 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân.

Như có thể thấy trên Hình 3, khi chia liên tiếp số 19673 cho 16 thì số dư là 4, 12, 13, 9. Trong hệ số thập lục phân, số 12 ứng với C, số 13 ứng với D. Do đó, số thập lục phân là 4CD9.

Để chuyển các phân số thập phân thông thường (một số thực có phần nguyên bằng 0) thành một hệ số có cơ số s, cần phải nhân liên tiếp số này với s cho đến khi phần phân số chứa số 0 thuần túy, hoặc ta thu được số chữ số cần thiết . Nếu trong quá trình nhân, thu được một số có phần nguyên khác 0 thì phần nguyên này không được tính đến (chúng được đưa vào kết quả một cách tuần tự).

Hãy nhìn vào những điều trên với các ví dụ.

Ví dụ 7 . Hãy chuyển đổi số 0,214 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân.

Như có thể thấy trong Hình 4, số 0,214 được nhân liên tục với 2. Nếu kết quả của phép nhân là một số có phần nguyên khác 0 thì phần nguyên được viết riêng (ở bên trái của số), và số được viết với phần nguyên bằng 0. Nếu phép nhân tạo ra một số có phần nguyên bằng 0 thì số 0 sẽ được ghi ở bên trái của số đó. Quá trình nhân tiếp tục cho đến khi phần phân số đạt đến số 0 thuần túy hoặc chúng ta thu được số chữ số cần thiết. Viết số in đậm (Hình 4) từ trên xuống dưới ta được số cần tìm trong hệ nhị phân: 0. 0011011 .

Vì vậy chúng ta có thể viết:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Ví dụ 8 . Hãy chuyển đổi số 0,125 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân.

Để chuyển số 0,125 từ SS thập phân sang nhị phân, số này được nhân liên tục với 2. Ở giai đoạn thứ ba, kết quả là 0. Do đó, thu được kết quả sau:

0.125 10 =0.001 2 .

Ví dụ 9 . Hãy chuyển đổi số 0,214 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân.

Theo ví dụ 4 và 5, ta được các số 3, 6, 12, 8, 11, 4. Nhưng trong hệ thập lục phân SS, các số 12 và 11 tương ứng với các số C và B. Do đó, ta có:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Ví dụ 10 . Hãy chuyển đổi số 0,512 từ hệ thống số thập phân sang SS bát phân.

Lấy:

0.512 10 =0.406111 8 .

Ví dụ 11 . Hãy chuyển đổi số 159.125 từ hệ thống số thập phân sang SS nhị phân. Để làm điều này, chúng ta dịch riêng phần nguyên của số (Ví dụ 4) và phần phân số của số (Ví dụ 8). Kết hợp thêm các kết quả này chúng tôi nhận được:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Ví dụ 12 . Hãy chuyển đổi số 19673.214 từ hệ thống số thập phân sang SS thập lục phân. Để làm điều này, chúng ta dịch riêng phần nguyên của số (Ví dụ 6) và phần phân số của số (Ví dụ 9). Hơn nữa, kết hợp những kết quả này, chúng tôi có được.

Máy tính cho phép bạn chuyển đổi số nguyên và số phân số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác. Cơ số của hệ thống số không được nhỏ hơn 2 và lớn hơn 36 (rốt cuộc có 10 chữ số và 26 chữ cái Latinh). Độ dài của số không được vượt quá 30 ký tự. Để nhập số phân số, hãy sử dụng ký hiệu. hoặc, . Để chuyển đổi một số từ hệ này sang hệ khác, hãy nhập số gốc vào trường đầu tiên, cơ số của hệ thống số gốc vào trường thứ hai và cơ số của hệ thống số mà bạn muốn chuyển đổi số vào trường thứ ba, sau đó nhấp vào nút "Nhận bản ghi".

Số gốc viết bằng 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - hệ thống số thứ.

Tôi muốn có được một số được viết bằng 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - hệ thống số thứ.

Nhận mục nhập

Bản dịch đã hoàn thành: 1237177

Hệ thống số

Hệ thống số được chia thành hai loại: vị trí Và không có vị trí. Chúng tôi sử dụng hệ thống tiếng Ả Rập, nó mang tính vị trí, nhưng cũng có hệ thống La Mã - nó không mang tính vị trí. Trong hệ thống vị trí, vị trí của một chữ số trong một số xác định duy nhất giá trị của số đó. Điều này rất dễ hiểu khi nhìn vào một số con số làm ví dụ.

ví dụ 1. Hãy lấy số 5921 trong hệ thống số thập phân. Hãy đánh số số từ phải sang trái bắt đầu từ 0:

Số 5921 có thể được viết dưới dạng sau: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Số 10 là một đặc tính xác định hệ thống số. Các giá trị vị trí của một số cho trước được lấy làm lũy thừa.

Ví dụ 2. Xét số thập phân thực 1234,567. Hãy đánh số nó bắt đầu từ vị trí số 0 của số tính từ dấu thập phân sang trái và phải:

Số 1234.567 có thể viết dưới dạng sau: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác

Cách đơn giản nhất để chuyển đổi một số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác là trước tiên chuyển đổi số đó sang hệ thống số thập phân, sau đó kết quả thu được thành hệ thống số được yêu cầu.

Chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống số nào sang hệ thống số thập phân

Để chuyển một số từ hệ số bất kỳ sang số thập phân, chỉ cần đánh số các chữ số của nó, bắt đầu bằng 0 (chữ số bên trái dấu thập phân) tương tự như ví dụ 1 hoặc 2. Hãy tìm tổng các tích của các chữ số của số theo cơ số của hệ thống số lũy thừa vị trí của chữ số này:

1. Chuyển số 1001101.1101 2 sang hệ thập phân.
Giải pháp: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Trả lời: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Chuyển số E8F.2D 16 sang hệ thập phân.
Giải pháp: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727.17578125 10
Trả lời: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác

Để chuyển đổi số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác, phần nguyên và phần phân số của số phải được chuyển đổi riêng.

Chuyển đổi một phần nguyên của một số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác

Một phần nguyên được chuyển đổi từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác bằng cách chia tuần tự phần nguyên của một số cho cơ số của hệ thống số cho đến khi thu được toàn bộ số dư nhỏ hơn cơ số của hệ thống số. Kết quả của bản dịch sẽ là bản ghi phần còn lại, bắt đầu từ bản dịch cuối cùng.

3. Chuyển số 273 10 sang hệ bát phân.
Giải pháp: 273/8 = 34 và dư 1. 34/8 = 4 và dư 2. 4 nhỏ hơn 8 nên phép tính hoàn tất. Bản ghi từ số dư sẽ như thế này: 421
Bài kiểm tra: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, kết quả giống nhau. Điều này có nghĩa là bản dịch đã được thực hiện chính xác.
Trả lời: 273 10 = 421 8

Hãy xem xét việc dịch các phân số thập phân thông thường sang các hệ thống số khác nhau.

Chuyển đổi phần phân số của một số từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số khác

Hãy nhớ lại rằng một phân số thập phân thực sự được gọi là số thực có phần nguyên bằng 0. Để chuyển một số như vậy thành một hệ thống số có cơ số N, bạn cần nhân số đó với N một cách tuần tự cho đến khi phần phân số bằng 0 hoặc đạt được số chữ số cần thiết. Nếu trong quá trình nhân, thu được một số có phần nguyên khác 0 thì phần nguyên sẽ không được tính đến nữa vì nó được nhập tuần tự vào kết quả.

4. Chuyển số 0,125 10 sang hệ nhị phân.
Giải pháp: 0,125·2 = 0,25 (0 là phần nguyên, sẽ trở thành chữ số đầu tiên của kết quả), 0,25·2 = 0,5 (0 là chữ số thứ hai của kết quả), 0,5·2 = 1,0 (1 là chữ số thứ ba của kết quả và vì phần phân số bằng 0 nên bản dịch đã hoàn thành).
Trả lời: 0.125 10 = 0.001 2

Hệ thống số ngắn nhất là hệ nhị phân. Cô ấy hoàn toàn có cơ sở ở dạng vị trí ghi số. Đặc điểm chính là nguyên tắc nhân đôi chữ số khi thực hiện chuyển đổi từ vị trí này sang vị trí tiếp theo. Bạn có thể chuyển đổi từ hệ thống số này sang hệ thống số khác bằng chương trình đặc biệt hoặc thủ công.

Liên hệ với

Sự công nhận lịch sử

Sự xuất hiện của SS nhị phân trong lịch sử gắn liền với nhà khoa học nhà toán học V.G. Leibniz. Chính ông là người đầu tiên nói về các quy tắc thực hiện các phép toán với các giá trị số thuộc loại này. Nhưng ban đầu nguyên tắc này vẫn còn không có người nhận. Thuật toán đã nhận được sự công nhận và ứng dụng trên toàn thế giới vào buổi bình minh của máy tính.

Tiện lợi và đơn giản việc thực hiện các phép tính dẫn đến nhu cầu nghiên cứu chi tiết hơn về tiểu mục số học này, điều này trở nên không thể thiếu trong sự phát triển của công nghệ máy tính với phần mềm. Lần đầu tiên, những cơ chế như vậy xuất hiện trên thị trường Đức và Pháp.

Chú ý! Một quan điểm cụ thể về tính ưu việt của hệ nhị phân so với hệ thập phân, chính xác là trong ngành này, đã được đặt ra vào năm 1946 và được chứng minh trong một bài báo của A. Bex, H. Goldstein và J. Von Neumann.

Chuyển đổi một số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân.

Đặc điểm của số học nhị phân

Tất cả CC nhị phân chỉ dựa trên việc áp dụng hai nhân vật, rất phù hợp với các tính năng của mạch kỹ thuật số. Mỗi biểu tượng chịu trách nhiệm cho một hành động cụ thể, thường bao hàm hai trạng thái:

• sự hiện diện hay vắng mặt của một lỗ, ví dụ như thẻ đục lỗ hoặc băng giấy;
• trên môi trường từ tính chịu trách nhiệm về trạng thái từ hóa hoặc khử từ;
• theo mức tín hiệu, cao hay thấp.

Trong khoa học sử dụng SS, một thuật ngữ nhất định đã được đưa vào, bản chất của nó như sau:

• Chút - chữ số nhị phân, bao gồm hai thành phần mang một ý nghĩa nhất định. Đặt ở bên trái được xác định là cấp cao hơn và được ưu tiên, còn bên phải là cấp dưới, ít quan trọng hơn.
• Một byte là một đơn vị bao gồm tám bit.

Nhiều module nhận biết và xử lý thông tin theo phần hoặc từ. Mỗi từ có trọng lượng khác nhau và có thể bao gồm 8, 16 hoặc 32 bit.

Quy tắc chuyển từ hệ thống này sang hệ thống khác

Một trong những yếu tố quan trọng nhất trong số học máy là chuyển từ SS này sang SS khác. Do đó, chúng ta hãy chú ý đến các thuật toán cơ bản để thực hiện quy trình hướng dẫn cách chuyển đổi một số sang hệ nhị phân.

Chuyển đổi hệ thập phân sang nhị phân

Đầu tiên chúng ta chuyển sang câu hỏi làm thế nào để chuyển đổi hệ thống từ số thập phân sang hệ số nhị phân. Đối với điều này có quy tắc dịch thuật từ số thập phân sang mã nhị phân, ngụ ý Các hoạt động toán học.

Yêu cầu một số viết ở dạng thập phân chia cho 2. Tiếp tục chia cho đến khi không còn thương số nào nữa. đơn vị. Nếu cần hệ thống số nhị phân thì việc dịch được thực hiện như sau:

186:2=93 (còn lại 0)

93:2=46 (còn lại 1)

46:2=23 (nghỉ 0)

23:2=11 (còn lại 1)

11:2=5 (còn lại 1)

5:2=2 (còn lại.1)

Sau khi thực hiện phép chia xong thì ghi 1 vào thương và viết các số dư theo thứ tự theo thứ tự phân chia ngược lại. Tức là 18610=1111010. Phải luôn tuân thủ quy tắc chuyển đổi số thập phân sang SS.

Chuyển đổi một số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân.

Chuyển đổi từ SS thập phân sang bát phân

Quá trình tương tự được thực hiện khi chuyển đổi từ SS thập phân sang bát phân. Nó còn được gọi là " quy tắc thay thế" Nếu trong ví dụ trước dữ liệu được chia cho 2 thì ở đây cần thiết chia cho 8. Thuật toán chuyển đổi số X10 sang bát phân bao gồm các bước sau:

1. Số X10 bắt đầu chia cho 8. Chúng ta lấy thương số cho phép chia tiếp theo và phần còn lại được viết là bit ít quan trọng nhất.
2. Ta tiếp tục chia cho đến khi được kết quả thương bằng số không hoặc phần còn lại, theo giá trị của nó ít hơn tám. Trong trường hợp này ta viết tất cả các số dư dưới dạng bit thứ tự thấp.

Ví dụ: bạn cần chuyển số 160110 sang số bát phân.

1601:8=200 (còn lại 1)

200:8=25 (còn lại 0)

25:8=3 (còn lại.1)

Vì vậy, chúng ta nhận được: 161010=31018.

Chuyển đổi từ thập phân sang bát phân.

Viết số thập phân dưới dạng thập lục phân

Việc chuyển đổi từ SS thập phân sang SS thập lục phân được thực hiện tương tự bằng hệ thống thay thế. Nhưng ngoài con số, họ còn sử dụng các chữ cái của bảng chữ cái latinh A, B, C, D, E, F. Trong đó A biểu thị số dư 10 và F ký hiệu số dư 15. Số thập phân được chia cho 16. Ví dụ: chuyển 10710 thành thập lục phân:

107:16=6 (còn lại 11 – thay B)

6 nhỏ hơn mười sáu. Chúng ta dừng chia và viết 10710 = 6B16.

Chuyển từ hệ thống khác sang hệ nhị phân

Câu hỏi tiếp theo là làm thế nào để chuyển đổi một số từ bát phân sang nhị phân. Việc chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống nào sang hệ nhị phân khá đơn giản. Người trợ giúp trong vấn đề này là bảng cho hệ thống số.

Hướng dẫn

Video về chủ đề

Trong hệ thống đếm mà chúng ta sử dụng hàng ngày, có mười chữ số - từ 0 đến 9. Đó là lý do tại sao nó được gọi là số thập phân. Tuy nhiên, trong tính toán kỹ thuật, đặc biệt là những tính toán liên quan đến máy tính, các vấn đề khác hệ thống, cụ thể là nhị phân và thập lục phân. Vì vậy bạn cần có khả năng dịch con số từ một hệ thốngđếm sang người khác.

Bạn sẽ cần

• - một mẩu giấy;
• - bút chì hoặc bút mực;
• - máy tính.

Hướng dẫn

Hệ thống nhị phân là đơn giản nhất. Nó chỉ có hai chữ số - số không và một. Mỗi chữ số nhị phân con số, bắt đầu từ cuối, tương ứng với lũy thừa của hai. Hai trong bằng một, trong thứ nhất - hai, trong thứ hai - bốn, trong thứ ba - tám, v.v.

Giả sử bạn được cấp số nhị phân 1010110. Đơn vị trong đó nằm ở vị trí thứ hai, thứ ba, thứ năm và thứ bảy. Do đó, trong hệ thập phân số này là 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Bài toán nghịch đảo - số thập phân con số hệ thống. Giả sử bạn có số 57. Để có được số đó, bạn phải chia số đó cho 2 một cách tuần tự và viết phần còn lại. Số nhị phân sẽ được xây dựng từ đầu đến cuối.
Bước đầu tiên sẽ cho bạn chữ số cuối cùng: 57/2 = 28 (còn lại 1).
Sau đó, bạn nhận được số thứ hai từ cuối: 28/2 = 14 (số dư 0).
Các bước tiếp theo: 14/2 = 7 (số dư 0);
7/2 = 3 (dư 1);
3/2 = 1 (dư 1);
1/2 = 0 (dư 1).
Đây là bước cuối cùng vì kết quả của phép chia bằng 0. Kết quả là bạn nhận được số nhị phân 111001.
Kiểm tra câu trả lời của bạn: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Thứ hai, được sử dụng trong các vấn đề máy tính, là hệ thập lục phân. Nó không có mười, mà là mười sáu chữ số. Để tránh các quy ước mới, mười chữ số đầu tiên của hệ thập lục phân hệ thốngđược biểu thị bằng các số thông thường và sáu số còn lại - bằng các chữ cái Latinh: A, B, C, D, E, F. Chúng tương ứng với ký hiệu thập phân con số m từ 10 đến 15. Để tránh nhầm lẫn, số được viết bằng hệ thập lục phân được đặt trước dấu # hoặc ký hiệu 0x.

Để tạo một số từ hệ thập lục phân hệ thống, bạn cần nhân từng chữ số của nó với lũy thừa tương ứng của mười sáu và cộng các kết quả. Ví dụ: số #11A ở dạng thập phân là 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Chuyển đổi ngược từ số thập phân hệ thống sang thập lục phân được thực hiện bằng cách sử dụng cùng một phương pháp tính số dư như đối với nhị phân. Ví dụ: lấy số 10000. Chia nó một cách nhất quán cho 16 và viết phần còn lại, bạn sẽ nhận được:
10000/16 = 625 (số dư 0).
625/16 = 39 (dư 1).
39/16 = 2 (dư 7).
2/16 = 0 (dư 2).
Kết quả tính toán sẽ là số thập lục phân #2710.
Kiểm tra câu trả lời của bạn: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Chuyển khoản con số từ thập lục phân hệ thống Việc chuyển đổi sang nhị phân dễ dàng hơn nhiều. Số 16 là số hai: 16 = 2^4. Do đó, mỗi chữ số thập lục phân có thể được viết dưới dạng số nhị phân có bốn chữ số. Nếu bạn có ít hơn bốn chữ số trong số nhị phân, hãy thêm số 0 đứng đầu.
Ví dụ: #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Kiểm tra câu trả lời: cả hai con số trong ký hiệu thập phân chúng bằng 8062.

Để dịch, bạn cần chia số nhị phân thành các nhóm có bốn chữ số, bắt đầu từ cuối và thay thế mỗi nhóm đó bằng một chữ số thập lục phân.
Ví dụ: 11000110101001 trở thành (0011)(0001)(1010)(1001), theo ký hiệu thập lục phân bằng #31A9. Tính đúng đắn của câu trả lời được xác nhận bằng cách chuyển đổi sang ký hiệu thập phân: cả hai con sốđều bằng 12713.

Mẹo 5: Cách chuyển số sang nhị phân

Do việc sử dụng ký hiệu hạn chế nên hệ thống nhị phân thuận tiện nhất để sử dụng trong máy tính và các thiết bị kỹ thuật số khác. Chỉ có hai ký hiệu: 1 và 0, vì vậy đây hệ thốngđược sử dụng trong hoạt động của các thanh ghi.

Hướng dẫn

Nhị phân là vị trí, tức là. Vị trí của mỗi chữ số trong một số tương ứng với một chữ số nhất định, bằng hai lũy thừa thích hợp. Độ bắt đầu từ 0 và tăng dần khi bạn di chuyển từ phải sang trái. Ví dụ, con số 101 bằng 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Hệ bát phân, thập lục phân và thập phân cũng được sử dụng rộng rãi trong các hệ thống vị trí. Và nếu đối với hai phương pháp đầu tiên, phương pháp thứ hai có thể áp dụng được nhiều hơn thì việc dịch từ cả hai đều có thể áp dụng được.

Xét số thập phân thành nhị phân hệ thống bằng cách chia tuần tự cho 2. Để chuyển đổi một số thập phân con số 25 V

Các phương pháp tính toán phổ biến nhất trong thế giới hiện đại là số thập phân và nhị phân. Chúng được sử dụng trong các lĩnh vực hoàn toàn khác nhau, nhưng cả hai đều quan trọng như nhau. Thường cần phải chuyển đổi từ hệ nhị phân sang hệ thập phân hoặc ngược lại. Các tên đến từ các căn cứ, phụ thuộc vào số lượng dấu hiệu được sử dụng khi viết số. Trong hệ nhị phân, nó chỉ có 0 và 1, còn ở hệ thập phân thì từ 0 đến 9. Trong các hệ thống khác, ngoài số, các chữ cái, các biểu tượng khác và thậm chí cả chữ tượng hình đều được sử dụng, nhưng hầu như tất cả chúng đều đã lỗi thời từ lâu. Vì thậm chí các loại hệ thống số khác ít phổ biến hơn nhiều nên chúng ta sẽ chủ yếu nói về hai loại đã được đề cập. Thật là ngạc nhiên khi tất cả những thứ này có thể được phát minh ra. Hãy nói riêng về chủ đề này.

Lịch sử xuất xứ

Ngay cả bây giờ, khi dường như cả thế giới đều nghĩ giống nhau thì vẫn có rất nhiều hệ thống khác nhau. Ở những nơi xa xôi nhất trên thế giới, họ chỉ hài lòng với các khái niệm “một”, “hai” và “nhiều” hoặc một cái gì đó tương tự. Chúng ta có thể nói gì về những thời điểm mà mọi người liên lạc với nhau khó khăn hơn nhiều nên một số lượng lớn các loại hồ sơ và phương pháp tính toán khác nhau đã được sử dụng. Nhân loại đã không đến ngay với hệ thống hiện có, và điều này được phản ánh qua việc một giờ được chia thành 60 phút chứ không phải thành 100 khoảng thời gian, điều này có vẻ hợp lý hơn. Và đồng thời, người ta thường đếm bằng hàng chục hơn là hàng chục. Tất cả những điều này đều là tiếng vang của thời kỳ mà các ngón tay của chính mình hoặc, ví dụ, các đốt ngón tay của một số ngón tay được dùng làm công cụ để định lượng thứ gì đó. Đây là cách hệ thống thập phân và nhị phân phát sinh. Nhưng nhị phân phát sinh như thế nào? Rất đơn giản và logic. Thực tế là, ví dụ, điốt chỉ có hai vị trí: nó có thể bật hoặc tắt. Do đó, trạng thái đầu tiên có thể được viết là 1 và trạng thái thứ hai là 0. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là hệ thống nhị phân phát sinh đồng thời với các thiết bị điện tử. Nó đã được sử dụng sớm hơn nhiều, chẳng hạn như Leibniz cho rằng nó cực kỳ tiện lợi, thanh lịch và đơn giản. Điều đáng ngạc nhiên là hệ thống số này cuối cùng không trở thành hệ thống chính.

Lĩnh vực ứng dụng

Đối với hầu hết mọi người, hai hệ thống số chính đơn giản là không giao nhau. Vì vậy việc chuyển đổi từ nhị phân sang thập phân không phải là việc khả thi đối với tất cả mọi người. Thực tế là hệ thống thứ hai được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày, giao tiếp giữa con người với nhau, để tính toán đơn giản, v.v. Nhưng tất cả các thiết bị kỹ thuật số, chủ yếu là máy tính, đều nói ngôn ngữ nhị phân. Bất kỳ thông tin nào nằm trong bộ nhớ của mọi máy tính để bàn, máy tính bảng, điện thoại, máy tính xách tay và nhiều thiết bị khác đều là sự kết hợp khác nhau của số 0 và số 1.

Sự khác biệt và tính năng

Khi nói đến hệ thống số, điều bắt buộc là phải phân biệt được chúng bằng cách nào đó. Suy cho cùng, hoàn toàn không thể phân biệt được giữa 11 và 100 trong các phương pháp ghi khác nhau. Đó là lý do tại sao con trỏ bên dưới và bên phải của số đó được sử dụng. Vì vậy, khi bạn nhìn thấy mục 11 2 hoặc 100 10, bạn có thể hiểu chúng ta đang nói về điều gì. Cả hai hệ thống đều có tính vị trí, nghĩa là giá trị của nó phụ thuộc vào vị trí của một chữ số cụ thể. Họ nói về các chữ số của hệ thập phân ở trường: có đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, v.v. Trong hệ nhị phân, mọi thứ đều giống nhau. Nhưng do cơ số của nó - 2 - nhỏ hơn 10 nên nó cần nhiều chữ số hơn, tức là việc ghi các số hóa ra sẽ dài hơn nhiều. Nhân tiện, trong hệ nhị phân, cũng như trong tất cả các hệ thống khác, ngoại trừ hệ thập phân, là hệ thống phổ biến nhất, việc đọc diễn ra theo một cách đặc biệt. Nếu cơ số 10 có thể đọc 101 là "một trăm lẻ một", thì đối với 2 nó sẽ là "một không một".

Quay trở lại vấn đề xả thải, phải nhắc lại rằng do đáy nhỏ hơn nhiều nên cần xả nhiều hơn. Vì vậy, ví dụ, 8 10 là 1000 2. Sự khác biệt là rõ ràng - một cấp và bốn. Một điểm khác biệt lớn nữa là không có số âm trong hệ nhị phân. Tất nhiên, bạn có thể ghi nó ra nhưng nó vẫn sẽ được lưu trữ và mã hóa khác nhau. Vậy việc chuyển đổi từ nhị phân sang thập phân và ngược lại được thực hiện như thế nào?

Thuật toán

Khá hiếm khi xảy ra, nhưng đôi khi bạn vẫn phải chuyển từ cơ sở này sang cơ sở khác. Nói cách khác, cần có sự chuyển đổi từ nhị phân sang thập phân và ngược lại. Các máy tính hiện đại thực hiện việc này một cách dễ dàng và nhanh chóng, ngay cả khi các bản ghi rất dài và đồ sộ. Con người cũng có thể làm điều này, mặc dù chậm hơn và kém hiệu quả hơn nhiều. Thực hiện cả thao tác thứ nhất và thứ hai không quá khó nhưng đòi hỏi kiến ​​​​thức về cách thực hiện, sự chú ý và thực hành. Để chuyển từ cơ sở 2 lên cơ sở 10, bạn cần thực hiện các bước sau:

2) nhân giá trị tuần tự với 2, lũy thừa bằng số vị trí;

3) cộng các kết quả.

Một cách khác là bắt đầu tính tổng các tích của các chữ số theo thứ tự từ phải sang trái. Đây được gọi là phép biến đổi Horner và nhiều người thấy nó tiện lợi hơn thuật toán thông thường.

Để thực hiện thao tác ngược lại, tức là chuyển từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, bạn cần thực hiện thao tác này:

1) chia số ban đầu cho 2 và viết số dư (1 hoặc 0);

2) lặp lại bước 1 cho đến khi chỉ còn 0 hoặc 1;

3) viết các giá trị thu được theo thứ tự.

Có nhiều cách khác để chuyển đổi từ hệ nhị phân sang hệ số thập phân và ngược lại. Nhưng chúng không có lợi thế hơn thuật toán được mô tả và không hiệu quả hơn. Nhưng chúng đòi hỏi những kỹ năng thực hiện các phép tính số học trong hệ nhị phân mà rất ít người có được.

Phân số

May mắn hay không may, thực tế là hệ nhị phân không chỉ sử dụng số nguyên. Việc chuyển đổi phân số không phải là một công việc quá khó khăn nhưng thường tốn nhiều thời gian của con người. Nếu số ban đầu được trình bày trong hệ thập phân, thì sau khi chuyển đổi số nguyên, mọi thứ sau dấu thập phân sẽ không còn được chia nữa mà được nhân với 2, ghi lại các phần nguyên. Nếu bạn đang chuyển đổi từ hệ nhị phân sang hệ thập phân thì mọi thứ thậm chí còn đơn giản hơn. Trong trường hợp này, khi quá trình chuyển đổi phần thập phân bắt đầu, lũy thừa mà 2 được nâng lên sẽ lần lượt là -1, -2, -3, v.v. Tốt nhất nên xem xét điều này trong thực tế.

Ví dụ

Để hiểu cách áp dụng các thuật toán được mô tả, bạn cần phải tự mình thực hiện tất cả các thao tác. Thực hành luôn có thể củng cố lý thuyết, vì vậy tốt nhất nên xem xét các ví dụ sau:

• chuyển đổi 1000101 2 sang hệ thập phân: 1x2 6 + 0x2 5 + 0x2 4 + 0x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 64+0+0+0+4+1 = 69 10 ;
• bằng phương pháp Horner. 00110111010 2 = 0x2+0=0x2+0=0x2+1=1x2+1=3x2+0=6x2+1=13x2+1=27x2+1=55x2+0=110x2+1=221x2+0=442 10 ;
• 1110,01 2: 1x2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 + 0x2 -1 + 1x2 -2 = 8+4+2+0,25 = 14,25 10 ;
• từ hệ thập phân: 15 10 = 15/2=7(1)/2=3(1)/2=1(1)/2=0(1)= 1111 2 ;

Làm thế nào để không bị nhầm lẫn?

Ngay cả khi chỉ sử dụng hệ thống nhị phân và thập phân làm ví dụ, có thể thấy rõ rằng việc thay đổi cơ số theo cách thủ công là một nhiệm vụ không hề nhỏ. Nhưng cũng có những số khác: thập lục phân, bát phân, lục thập phân, v.v. Khi chuyển đổi thủ công từ hệ số này sang hệ số khác, việc cẩn thận là vô cùng cần thiết. Thật sự rất khó để không bị nhầm lẫn, đặc biệt nếu bài viết dài. Ngoài ra, chúng ta không được quên rằng các chữ số được tính từ 0 chứ không phải 1, tức là số chữ số sẽ luôn nhiều hơn một. Tất nhiên, bạn cần đếm cẩn thận số chữ số và không mắc lỗi trong các phép tính số học và tất nhiên không được bỏ qua các bước trong thuật toán. Cuối cùng, có nhiều cách để chuyển đổi giữa các căn cứ bằng phương pháp phần mềm. Nhưng ở đây, việc tự viết một tập lệnh sẽ dễ dàng hơn là tìm kiếm nó trên World Wide Web. Trong mọi trường hợp, kỹ năng dịch thủ công cũng như sự hiểu biết lý thuyết về cách thực hiện việc này cũng phải có.