Tìm giá trị của toán tử trên vectơ. Vector riêng của toán tử tuyến tính

Cho phép - Chuyển đổi tuyến tính không gian tuyến tính n chiều V. Vectơ khác 0 \boldsymbol(s) của không gian tuyến tính V thỏa mãn điều kiện

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s),

gọi điện vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính\mathcal(A) . Số \lambda trong đẳng thức (9,5) được gọi là giá trị riêng sự biến đổi\mathcal(A) . Vector riêng được cho là tương ứng với (thuộc về) giá trị riêng \lambda . Nếu không gian V là số thực (phức), thì giá trị riêng \lambda là số thực (phức).

Tập hợp tất cả các giá trị riêng của một phép biến đổi tuyến tính được gọi là quang phổ.

Hãy để chúng tôi giải thích ý nghĩa hình học của vectơ riêng. Một vectơ khác 0 s là một vectơ riêng của phép biến đổi \mathcal(A) nếu ảnh của nó \mathcal(A) (\boldsymbol(s)) thẳng hàng với ảnh nghịch đảo của \boldsymbol(s) . Nói cách khác, nếu \boldsymbol(s) là một vectơ riêng thì phép biến đổi \mathcal(A) có không gian con bất biến một chiều. Tuyên bố ngược lại cũng đúng.

Thật vậy, hãy để vectơ riêng \boldsymbol(s) tương ứng với một số giá trị riêng \lambda . Bất kỳ vectơ \boldsymbol(v) nào từ \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s)) giống như \boldsymbol(v)=\alpha \boldsymbol(s), trong đó \alpha là số bất kỳ từ trường đã cho. Hãy tìm hình ảnh của vector này

\mathcal(A)(\boldsymbol(v))= \mathcal(A)(\alpha \boldsymbol(s))= \alpha\cdot \mathcal(A)(\boldsymbol(s))= \alpha\cdot \ lambda\cdot \boldsymbol(s)\in \operatorname(Lin) (\boldsymbol(s)).

Kể từ đây, \mathcal(A)(\boldsymbol(v))\in \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s)) với mọi vectơ \boldsymbol(v)\in \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s)), I E. không gian con \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s)) bất biến dưới phép biến đổi \mathcal(A) . chiều không gian con \operatorname(Lin) (\boldsymbol(s)) bằng một, vì \boldsymbol(s)\ne \boldsymbol(o) a-tu viện.

Mệnh đề ngược lại được chứng minh bằng cách lập luận thứ tự ngược lại.

Mối quan hệ giữa các vectơ riêng của một phép biến đổi tuyến tính (toán tử) và ma trận của nó

Trước đây, các vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận đã được xem xét. Nhớ lại rằng vectơ riêng của ma trận vuông A cấp n được gọi là khác 0 cột số s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_(n)\end(pmatrix)^T, thỏa mãn điều kiện (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

Số \lambda trong (9.6) được gọi là giá trị riêng của ma trận A. Người ta tin rằng giá trị riêng \lambda và các số s_i~(i=1,\ldots,n) thuộc trường số phức.

Các khái niệm này liên quan đến vectơ riêng và giá trị riêng của một phép biến đổi tuyến tính.

Định lý 9.3 về vectơ riêng của một phép biến đổi tuyến tính và ma trận của nó. Cho phép \mathcal(A)\dấu hai chấm V\đến V là một phép biến đổi tuyến tính của không gian tuyến tính n chiều V có cơ sở. Khi đó giá trị riêng \lambda và (các) cột tọa độ của vectơ riêng \boldsymbol(s) của phép biến đổi \mathcal(A) là giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A của phép biến đổi này được xác định theo cơ sở \boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n, I E.

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s)\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s,Ở đâu \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n,~ s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots& s_n\end(pmatrix)^T.

Phát biểu ngược lại đúng với điều kiện bổ sung: nếu cột s=\begin(pmatrix) s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^T và số \lambda là vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận A, còn các số s_1,\ldots,s_n,\lambda thuộc cùng trường số mà không gian tuyến tính V được xác định thì vectơ \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+ \ldots+s_n \boldsymbol(e)_n và số \lambda là vectơ riêng và giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính \mathcal(A)\dấu hai chấm V\đến V với ma trận A làm cơ sở \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n.

Trong thực tế, điều kiện (9.5) ở dạng tọa độ có dạng (9.6), trùng khớp với định nghĩa (7.13) của vectơ riêng ma trận. Ngược lại, đẳng thức (9.6) hàm ý đẳng thức (9.5) với điều kiện là các vectơ và \lambda\cdot \boldsymbolđược xác định, tức là con số s_1,\ldots,s_n,\lambda thuộc về cùng trường số mà không gian tuyến tính được xác định.

Hãy nhớ lại rằng việc tìm các giá trị riêng của ma trận dẫn đến việc giải phương trình đặc trưng của nó \Delta_A(\lambda)=0, Ở đâu \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) là đa thức đặc trưng của ma trận A. Đối với phép biến đổi tuyến tính, chúng tôi giới thiệu các khái niệm tương tự.

Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính \mathcal(A)\dấu hai chấm V\đến V Không gian tuyến tính n chiều là đa thức đặc trưng của ma trận A của phép biến đổi này, được tìm thấy đối với bất kỳ cơ sở nào của không gian V.

Phương trình được gọi là phương trình đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính.

chuyển đổi \mathcal(A)-\lambda\mathcal(E) gọi là đặc tính của phép biến đổi tuyến tính \mathcal(A)\dấu hai chấm V\đến V.

Ghi chú 9.4

1. Đa thức đặc trưng của một phép biến đổi tuyến tính không phụ thuộc vào cơ sở tìm thấy ma trận biến đổi.

Trong thực tế, các ma trận \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e))) Và \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(f))) phép biến đổi tuyến tính \mathcal(A) trong cơ số (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n) Và (\boldsymbol(f))=(\boldsymbol(f)_1,\ldots,\boldsymbol(f)_n) theo (9.4), tương tự: \nathop(A)\limits_((\boldsymbol(f)))=S^(-1)\mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e)))S, trong đó S là ma trận chuyển tiếp từ cơ sở (\boldsymbol(e)) sang cơ sở (\boldsymbol(f)). Như đã trình bày trước đó, các đa thức đặc trưng của các ma trận đó trùng nhau (xem tính chất 3). Vì vậy, đối với đa thức đặc trưng của phép biến đổi \mathcal(A) chúng ta có thể sử dụng ký hiệu \Delta_(\mathcal(A))(\lambda), mà không chỉ định ma trận của phép biến đổi này.

2. Từ Định lý 9.3, suy ra rằng mọi nghiệm phức (thực, hữu tỉ) của phương trình đặc tính đều là giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính \mathcal(A)\dấu hai chấm V\đến V không gian tuyến tính V xác định trên trường số phức (thực, hữu tỉ).

3. Từ Định lý 9.3, suy ra rằng mọi phép biến đổi tuyến tính của một không gian tuyến tính phức đều có không gian con bất biến một chiều, vì phép biến đổi này có một giá trị riêng (xem điểm 2), và do đó có các vectơ riêng. Ví dụ, một không gian con như vậy là khoảng tuyến tính của bất kỳ vectơ riêng nào. Một phép biến đổi của một không gian tuyến tính thực có thể không có các không gian con bất biến một chiều nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính là phức (nhưng không thực).

Định lý 9.4 về không gian con bất biến của toán tử tuyến tính trong không gian thực. Mọi phép biến đổi tuyến tính của không gian tuyến tính thực đều có không gian con bất biến một chiều hoặc hai chiều.

Thật vậy, chúng ta hãy soạn ma trận biến đổi tuyến tính A \mathcal(A)\dấu hai chấm V\đến V không gian tuyến tính thực n chiều V trên cơ sở tùy ý \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n. Các phần tử của ma trận này là số thực. Do đó, đa thức đặc trưng \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E) là đa thức bậc n có hệ số thực. Theo Hệ quả 3 và 4 của định lý cơ bản của đại số, một đa thức như vậy có thể có nghiệm thực và các cặp nghiệm liên hợp phức.

Nếu \lambda=\lambda_1 là nghiệm thực của phương trình đặc tính thì vectơ riêng tương ứng s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^T ma trận A cũng là ma trận thực. Do đó nó định nghĩa một vectơ riêng \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n phép biến đổi tuyến tính (xem Định lý 9.3). Trong trường hợp này, có một bất biến không gian con một chiều dưới \mathcal(A) \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s))(xem ý nghĩa hình học của vectơ riêng).

Nếu như \lambda=\alpha\pm\beta i là một cặp nghiệm phức liên hợp (\beta\ne0) thì vectơ riêng s\ne o của ma trận A cũng có các phần tử phức: s=\begin(pmatrix)x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end(pmatrix)^T. Nó có thể được biểu diễn dưới dạng s=x+yi , trong đó x,\,y là các cột thực. Đẳng thức (9.6) khi đó sẽ có dạng

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

Cô lập phần thực và phần ảo, ta thu được hệ

\begin(case)Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end(case)

Hãy chứng minh rằng các cột (x) và (y) độc lập tuyến tính. Hãy xem xét hai trường hợp. Nếu x=o, thì từ phương trình đầu tiên (9.7) nó suy ra y=o, vì \beta\ne0. Khi đó s=o, mâu thuẫn với điều kiện s\ne o. Giả sử rằng x\ne o và các cột x và y tỷ lệ thuận với nhau, tức là. Có một điều như vậy số thực\gamma y=\gamma x . Khi đó từ hệ (9.7) ta thu được \begin(cases)Ax=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \end(trường hợp) Cộng phương trình thứ nhất nhân với (-\gamma) vào phương trình thứ hai, ta thu được đẳng thức [(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o. Vì x\ne o , biểu thức trong ngoặc vuông bằng 0, tức là (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0. Vì \beta\ne0 , nên \gamma^2=-1 . Điều này không thể xảy ra vì \gamma là số thực. Chúng tôi có một sự mâu thuẫn. Do đó, cột x và y độc lập tuyến tính.

Xét không gian con nơi \boldsymbol(x)= x_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+x_n \boldsymbol(e)_n,~ \boldsymbol(y)= y_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+ y_n \boldsymbol(y)_n. Không gian con này là hai chiều, vì các vectơ \boldsymbol(x),\boldsymbol(y)độc lập tuyến tính (như được hiển thị ở trên, các cột tọa độ x, y của chúng độc lập tuyến tính). Từ (9.7) suy ra rằng \begin(case)\mathcal(A)(\boldsymbol(x))=\alpha \boldsymbol(x)-\beta \boldsymbol(y),\\ \mathcal(A)(\boldsymbol(y))=\ beta \boldsymbol(x)+\alpha \boldsymbol(y),\end(case) những thứ kia. hình ảnh của bất kỳ vector nào thuộc về \operatorname(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)), cũng thuộc về \operatorname(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)). Kể từ đây, \operatorname(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)) là một bất biến không gian con hai chiều dưới phép biến đổi \mathcal(A) , đây là điều chúng ta cần chứng minh.

Tìm vectơ riêng và giá trị của toán tử tuyến tính (phép biến đổi)

Tìm vectơ riêng và giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính \mathcal(A)\dấu hai chấm V\đến V không gian tuyến tính thực V, các bước sau phải được thực hiện.

1. Chọn cơ sở tùy ý \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n không gian tuyến tính V và tìm ma trận biến đổi A \mathcal(A) trên cơ sở này.

2. Soạn đa thức đặc trưng của phép biến đổi \mathcal(A)\colon\, \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E).

3. Tìm tất cả các gốc thực khác nhau \lambda_1,\ldots,\lambda_k phương trình đặc trưng \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=0. Nên loại bỏ các nghiệm phức (nhưng không thực) của phương trình đặc tính (xem đoạn 2 của nhận xét 9.4).

4. Đối với thư mục gốc \lambda=\lambda_1, hãy tìm hệ thống cơ bản \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r) nghiệm của hệ phương trình đồng nhất (A-\lambda_1E)x=o , trong đó r=\operatorname(rg)(A-\lambda_1E). Để làm điều này, bạn có thể sử dụng thuật toán để giải một hệ thống đồng nhất hoặc một trong các phương pháp tìm ma trận cơ bản.

5. Viết các vectơ riêng độc lập tuyến tính của phép biến đổi \mathcal(A) tương ứng với giá trị riêng \lambda_1:

\begin(matrix) \boldsymbol(s)_1=\varphi_(1\,1)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,1)\boldsymbol(e)_n,\\ \boldsymbol(s) _2=\varphi_(1\,2)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,2)\boldsymbol(e)_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol(s)_(n-r)=\ varphi_(1\,n-r) \boldsymbol(e)_1+ \ldots+\varphi_(n\,n-r)\boldsymbol(e)_n. \end(ma trận)

Để tìm tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda_1, hãy tạo các tổ hợp tuyến tính khác 0

\boldsymbol(s)= C_1 \boldsymbol(s)_1+C_2 \boldsymbol(s)_2+\ldots+ C_(n-r)\boldsymbol(s)_(n-r),

Ở đâu C_1,C_2,\ldots,C_(n-r)- hằng số tùy ý, không bằng 0đồng thời.

Lặp lại bước 4, 5 cho các giá trị riêng còn lại \lambda_2,\ldots,\lambda_k phép biến đổi tuyến tính \mathcal(A) .

Để tìm vectơ riêng của một phép biến đổi tuyến tính của không gian tuyến tính phức, bạn cần xác định ở bước 3 tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính và không loại bỏ các nghiệm phức, thực hiện bước 4 và 5 cho chúng.

Ví dụ về vectơ riêng của toán tử tuyến tính (các phép biến đổi)

1. Để chuyển đổi bằng không \mathcal(O)\dấu hai chấm V\đến V mọi vectơ khác 0 đều là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng bằng 0 \lambda=0 , vì \mathcal(O)(\boldsymbol(s))=0\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

2. Để chuyển đổi danh tính \mathcal(E)\dấu hai chấm V\đến V bất kỳ vectơ nào khác 0 \boldsymbol(s)\in V là giá trị riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda=1 , vì \mathcal(E) (\boldsymbol(s))=1\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

3. Đối xứng tâm \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o))\colon V\to V bất kỳ vectơ nào khác 0 \boldsymbol(s)\in V \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o)) (\boldsymbol(s))=(-1)\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

4. Về sự đồng nhất \mathcal(H)_(\lambda)\colon V\to V bất kỳ vectơ nào khác 0 \boldsymbol(s)\in V là giá trị riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda (hệ số đồng nhất), vì \mathcal(H)_(\lambda) (\boldsymbol(\boldsymbol(s)))= \lambda\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

5. Để rẽ \mathcal(R)_(\varphi)\colon V_2\to V_2 mặt phẳng (at ) không có vectơ riêng, vì khi quay một góc không phải là bội số của \pi, ảnh của mỗi vectơ khác 0 sẽ không thẳng hàng với ảnh nghịch đảo. Ở đây chúng ta xét chuyển động quay của mặt phẳng thực, tức là không gian vectơ hai chiều trên trường số thực.

6. Đối với toán tử vi phân \mathcal(D)\colon P_n(\mathbb(R))\to P_n(\mathbb(R)) bất kỳ đa thức khác 0 nào có bậc 0 (không giống hệt 0) đều là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng bằng 0 \lambda=0 , vì \mathcal(D)(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text(const). Bất kỳ đa thức nào có bậc khác 0 đều không phải là vectơ riêng, vì đa thức không tỷ lệ với đạo hàm của nó: \mathcal(D)(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x), vì chúng có mức độ khác nhau.

7. Hãy xem xét toán tử \Pi_(L_1)\dấu hai chấm V\đến V chiếu lên không gian con L_1 song song với không gian con L_2. Ở đây V=L_1\oplus L_2, \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+ \boldsymbol(v)_2)=\boldsymbol(v)_1 Vì \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1)=1\cdot \boldsymbol(v)_1 và bất kỳ vectơ nào khác 0 đều là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda=0 , vì \Pi_(L_2)(\boldsymbol(v)_2)=0\cdot \boldsymbol(v)_2 \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1= \lambda(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2) có thể là tại hoặc tại .

8. Hãy xem xét toán tử \mathcal(Z)_(L_1)\dấu hai chấm V\đến V phản xạ lên không gian con L_1 song song với không gian con L_2. Ở đây V=L_1\oplus L_2 \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2, Vì \boldsymbol(v)=\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2, \boldsymbol(v)_1\in L_1,~ \boldsymbol(v)_2\in L_2. Đối với toán tử này, mọi vectơ khác 0 \boldsymbol(v)_1\trong L_1 là giá trị riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda=1 , vì \mathcal(Z)_(L_1) (\boldsymbol(v)_1)= 1\cdot \boldsymbol(v)_1 và mọi vectơ khác 0 \boldsymbol(v)_2\trong L_2 là giá trị riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda=-1 vì \mathcal(Z)_(L_2) (\boldsymbol(v)_2)= (-1)\cdot \boldsymbol(v)_2. Các vectơ khác không phải là vectơ riêng, vì đẳng thức \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2= \lambda(\boldsymbol()_1+ \boldsymbol(v )_2) có thể với \boldsymbol(v)_1=\boldsymbol(o), hoặc tại \boldsymbol(v)_2= \boldsymbol(o).

9. Trong không gian V_3 bán kính vectơ không gian vẽ từ một điểm cố định O, xét phép quay một góc \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb(Z), xung quanh trục \ell được xác định bởi vectơ bán kính \vec(\ell) . Bất kỳ vectơ khác 0 nào thẳng hàng với vectơ \vec(\ell) đều là một giá trị riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda=1 . Phép biến đổi này không có vectơ riêng nào khác.

Ví dụ 9.1. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử vi phân \mathcal(D)\dấu hai chấm T_1\to T_1, biến đổi không gian của đa thức lượng giác (tần số \omega=1):

a) với hệ số thực T_1=T_1(\mathbb(R))= \operatorname(Lin) (\sin(t),\cos(t));

b) với hệ số phức T_1=T_1(\mathbb(C))= \operatorname(Lin) (\sin(t),\cos(t)).

Giải pháp. 1. Hãy chọn cơ sở tiêu chuẩn e_1(t)=\sin(t),~ e_2(t)=\cos(t) và trên cơ sở này chúng ta soạn ma trận D của toán tử \mathcal(D):

D=\begin(pmatrix)0&-1\\ 1&0 \end(pmatrix)\!.

2. Hãy soạn đa thức đặc trưng của phép biến đổi \mathcal(D)\colon\, \Delta_(\mathcal(D))(\lambda)= \begin(vmatrix)-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end(vmatrix)= \lambda^2+ 1..

3. Phương trình đặc tính \lambda^2+1=0 có nghiệm liên hợp phức \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i. Không có nghiệm thực, do đó phép biến đổi \mathcal(D) của không gian thực T_1(\mathbb(R)) (case (a)) không có giá trị riêng và do đó không có vectơ riêng. Phép biến đổi \mathcal(D) của không gian phức T_1(\mathbb(C)) (trường hợp (b)) có giá trị riêng phức \lambda_1,\,\lambda_2.

4(1). Với nghiệm \lambda_1=i chúng ta tìm được hệ cơ bản \varphi_1 nghiệm của hệ phương trình đồng nhất (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i\end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

Chúng ta hãy chuyển ma trận hệ thống về dạng từng bước bằng cách nhân phương trình thứ nhất với (i) và trừ nó khỏi phương trình thứ hai:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\ \0&0\end(pmatrix)\!.

Chúng ta biểu diễn biến cơ bản x_1 theo biến tự do: x_1=ix_2. Giả sử x_2=1, chúng ta nhận được x_1=i, tức là \varphi=\begin(pmatrix)i&1 \end(pmatrix)^T.

5(1). Chúng ta viết vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). Tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda_1=i tạo thành các hàm khác 0 tỷ lệ với s_1(t) .

4(2). Đối với nghiệm \lambda_2=-i, chúng ta tương tự tìm hệ cơ bản (gồm một vectơ) \varphi_2=\begin(pmatrix)-i&1 \end(pmatrix)^T nghiệm của hệ phương trình thuần nhất (D-\lambda_2E)x=o:

\begin(pmatrix)i&-1\\ 1&i \end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

5(2). Chúng ta viết vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda_2=-i\colon\, s_2(t)=-i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). Tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng \lambda_2=-i tạo thành các hàm khác 0 tỷ lệ với s_2(t) .

Xem thêm Tính chất của vectơ riêng của toán tử tuyến tính (các phép biến đổi) Javascript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.
Để thực hiện tính toán, bạn phải kích hoạt điều khiển ActiveX!

Toán tử tuyến tính đơn giản nhất là nhân một vectơ với một số \(\lambda\). Toán tử này chỉ đơn giản kéo dài tất cả các vectơ theo \(\lambda \) lần. Dạng ma trận của nó trong mọi cơ sở là \(diag(\lambda ,\lambda ,...,\lambda)\). Để xác định, chúng ta sửa cơ sở \(\(e\)\) trong không gian vectơ \(\mathit(L)\) và xem xét một toán tử tuyến tính có dạng ma trận đường chéo trong cơ sở này, \(\alpha = diag( \lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Toán tử này, theo định nghĩa của dạng ma trận, kéo dài \(e_k\) theo \(\lambda _k\) lần, tức là. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) cho tất cả \(k=1,2,...,n\). Thật thuận tiện khi làm việc với các ma trận đường chéo; phép tính hàm số rất đơn giản để xây dựng cho chúng: với bất kỳ hàm \(f(x)\) nào, chúng ta có thể đặt \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,..., \lambda _n))= diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Do đó, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: giả sử có một toán tử tuyến tính \(A\), liệu có thể chọn một cơ sở như vậy trong không gian vectơ sao cho dạng ma trận của toán tử \(A\) là đường chéo trong cơ sở này không? Câu hỏi này dẫn đến định nghĩa về giá trị riêng và vectơ riêng.

Sự định nghĩa. Giả sử toán tử tuyến tính \(A\) tồn tại một vectơ khác 0 \(u\) và một số \(\lambda \) sao cho \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Khi đó vectơ \(u\) được gọi vectơ riêng toán tử \(A\) và số \(\lambda \) - tương ứng giá trị riêng toán tử \(A\). Tập hợp tất cả các giá trị riêng được gọi là phổ của toán tử tuyến tính \(MỘT\).

Một vấn đề tự nhiên nảy sinh: tìm cho một toán tử tuyến tính nhất định các giá trị riêng của nó và các vectơ riêng tương ứng. Bài toán này được gọi là bài toán phổ của toán tử tuyến tính.

Phương trình giá trị riêng

Để xác định, chúng ta cố định cơ sở trong không gian vectơ, tức là Chúng ta sẽ cho rằng nó được trao một lần và mãi mãi. Khi đó, như đã thảo luận ở trên, việc xem xét các toán tử tuyến tính có thể được giảm xuống việc xem xét các ma trận - dạng ma trận của các toán tử tuyến tính. Chúng ta viết lại phương trình (59) ở dạng \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Ở đây \(E\) là ma trận nhận dạng và \(\alpha\) là dạng ma trận của toán tử tuyến tính \(A\) của chúng ta. Mối quan hệ này có thể được hiểu là một hệ thống \(n\) Các phương trình tuyến tínhđối với ẩn số \(n\) - tọa độ của vectơ \(u\). Hơn nữa, đây là hệ phương trình thuần nhất và ta tìm được nó không tầm thường giải pháp. Trước đây, một điều kiện cho sự tồn tại của giải pháp như vậy đã được đưa ra - đối với điều này, điều cần và đủ là thứ hạng của hệ thống phải nhỏ hơn số lượng ẩn số. Điều này suy ra phương trình của các giá trị riêng: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Sự định nghĩa. Phương trình (60) được gọi là phương trình đặc trưng cho toán tử tuyến tính \(A\).

Hãy mô tả các tính chất của phương trình này và nghiệm của nó. Nếu chúng ta viết nó ra một cách rõ ràng, chúng ta sẽ thu được một phương trình có dạng \[ (-1)^n\lambda ^n+...+det(A)=0. \quad \quad(61) \] Ở bên trái có một đa thức trong biến \(\lambda \). Những phương trình như vậy được gọi là đại số bậc \(n\). Hãy cung cấp cho thông tin cần thiết về các phương trình này.

Trợ giúp về phương trình đại số.

Định lý. Đặt tất cả các giá trị riêng của toán tử tuyến tính \(A\) là số nguyên tố. Khi đó tập hợp các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng này tạo thành cơ sở của không gian vectơ.

Từ các điều kiện của định lý, suy ra rằng tất cả các giá trị riêng của toán tử \(A\) đều khác nhau. Giả sử rằng tập hợp các vectơ riêng phụ thuộc tuyến tính, do đó có các hằng số \(c_1,c_2,...,c_n\), không phải tất cả đều bằng 0, thỏa mãn điều kiện: \[ \sum_(k=1)^ nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Trong số các công thức như vậy, chúng ta hãy xem xét một công thức bao gồm số lượng số hạng tối thiểu và hành động theo nó với toán tử \(A\). Do tính tuyến tính của nó, chúng ta thu được: \[ A\left (\sum_(k=1)^nc_ku_k \right)=\sum_(k=1)^nc_kAu_k=\sum_(k=1)^nc_k\lambda _ku_k= 0. \quad \quad(63) \]

Giả sử, để xác định, \(c_1 \neq 0\). Nhân (62) với \(\lambda _1\) và trừ (63), chúng ta thu được quan hệ có dạng (62), nhưng chứa ít số hạng hơn. Sự mâu thuẫn chứng minh định lý.

Vì vậy, theo các điều kiện của định lý, một cơ sở xuất hiện gắn liền với một toán tử tuyến tính nhất định - cơ sở của các vectơ riêng của nó. Chúng ta hãy xem xét dạng ma trận của toán tử trên cơ sở như vậy. Như đã đề cập ở trên, cột thứ \(k\) của ma trận này là sự phân tách của vectơ \(Au_k\) đối với cơ sở. Tuy nhiên, theo định nghĩa, \(Au_k=\lambda _ku_k\), do đó, khai triển này (những gì được viết ở bên phải) chỉ chứa một số hạng và ma trận được xây dựng hóa ra là ma trận đường chéo. Kết quả là, chúng ta thấy rằng trong các điều kiện của định lý, dạng ma trận của toán tử trên cơ sở các vectơ riêng của nó bằng \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\ ). Vì vậy, nếu cần phát triển phép tính hàm cho một toán tử tuyến tính thì việc làm việc dựa trên các vectơ riêng của nó là hợp lý.

Nếu trong số các giá trị riêng của toán tử tuyến tính có bội số thì việc mô tả tình huống sẽ trở nên phức tạp hơn và có thể bao gồm cái gọi là ô Jordan. Chúng tôi giới thiệu cho người đọc những hướng dẫn nâng cao hơn cho các tình huống liên quan.

Ma trận đường chéo có cấu trúc đơn giản nhất. Câu hỏi đặt ra là liệu có thể tìm được cơ sở trong đó ma trận của toán tử tuyến tính có dạng đường chéo hay không. Cơ sở như vậy tồn tại.
Cho một không gian tuyến tính R n và toán tử tuyến tính A tác dụng trong đó; trong trường hợp này, toán tử A lấy R n vào chính nó, tức là A:R n → R n .

Sự định nghĩa. Một vectơ khác 0 được gọi là vectơ riêng của toán tử A nếu toán tử A chuyển thành vectơ cộng tuyến. Số λ được gọi là giá trị riêng hoặc giá trị riêng của toán tử A, tương ứng với vectơ riêng.
Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng.
1. Bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của vectơ riêng toán tử A tương ứng với cùng giá trị riêng λ là một vectơ riêng có cùng giá trị riêng.
2. Vector riêng toán tử A với các giá trị riêng khác nhau từng cặp λ 1 , λ 2 , …, λ m độc lập tuyến tính.
3. Nếu các giá trị riêng λ 1 =λ 2 = λ m = λ thì giá trị riêng λ tương ứng với không quá m vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Vì vậy, nếu có n vectơ riêng độc lập tuyến tính , tương ứng với các giá trị riêng λ 1, λ 2, ..., λ n khác nhau thì chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở của không gian R n. Chúng ta hãy tìm dạng ma trận của toán tử tuyến tính A trên cơ sở các vectơ riêng của nó, mà chúng ta sẽ thao tác với toán tử A trên các vectơ cơ sở: Sau đó .
Do đó, ma trận của toán tử tuyến tính A trên cơ sở các vectơ riêng của nó có dạng đường chéo và các giá trị riêng của toán tử A nằm dọc theo đường chéo.
Có cơ sở nào khác trong đó ma trận có dạng đường chéo không? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý sau đây.

Định lý. Ma trận của toán tử tuyến tính A trong cơ sở (i = 1..n) có dạng đường chéo khi và chỉ khi tất cả các vectơ của cơ sở là vectơ riêng của toán tử A.

Quy tắc tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Cho một vectơ , trong đó x 1, x 2, …, x n là tọa độ của vectơ so với cơ sở và là vectơ riêng của toán tử tuyến tính A tương ứng với giá trị riêng λ, nghĩa là. Mối quan hệ này có thể được viết dưới dạng ma trận

. (*)

Phương trình (*) có thể được coi là một phương trình để tìm , và , nghĩa là, chúng ta quan tâm đến các nghiệm không tầm thường, vì vectơ riêng không thể bằng 0. Người ta biết rằng nghiệm không tầm thường của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tồn tại khi và chỉ khi det(A - λE) = 0. Do đó, để λ là giá trị riêng của toán tử A thì điều cần và đủ là det(A - λE ) = 0.
Nếu phương trình (*) được viết chi tiết dưới dạng tọa độ thì ta thu được hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

(1)
Ở đâu - ma trận toán tử tuyến tính.

Hệ (1) có nghiệm khác 0 nếu định thức D của nó bằng 0

Chúng tôi đã nhận được một phương trình để tìm giá trị riêng.
Phương trình này được gọi là phương trình đặc tính và nó bên trái- đa thức đặc trưng của ma trận (toán tử) A. Nếu đa thức đặc trưng không có nghiệm thực thì ma trận A không có vectơ riêng và không thể quy giản về dạng đường chéo.
Cho λ 1, λ 2, …, λ n là nghiệm thực của phương trình đặc tính và trong số chúng có thể có bội số. Lần lượt thay các giá trị này vào hệ (1), ta tìm được các vectơ riêng.

Ví dụ 12. Toán tử tuyến tính A tác dụng trong R 3 theo định luật, trong đó x 1, x 2,.., xn là tọa độ của vectơ trong cơ sở , , . Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử này.
Giải pháp. Chúng tôi xây dựng ma trận của toán tử này:
.
Chúng tôi tạo ra một hệ thống để xác định tọa độ của các vectơ riêng:

Chúng tôi soạn một phương trình đặc trưng và giải nó:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Thay λ = -1 vào hệ ta có:
hoặc
Bởi vì , thì có hai biến phụ thuộc và một biến tự do.
Giả sử x 1 là ẩn số tự do thì Chúng tôi giải quyết hệ thống này bằng mọi cách và tìm thấy quyết định chung hệ thống này: Hệ thống cơ bản nghiệm gồm một nghiệm, vì n - r = 3 - 2 = 1.
Tập hợp các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -1 có dạng: , trong đó x 1 là số bất kỳ khác 0. Hãy chọn một vectơ từ tập hợp này, ví dụ: đặt x 1 = 1: .
Lý giải tương tự, ta tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 3: .
Trong không gian R 3, cơ sở bao gồm ba vectơ độc lập tuyến tính, nhưng chúng ta chỉ nhận được hai vectơ riêng độc lập tuyến tính, từ đó không thể tạo cơ sở trong R 3. Do đó, chúng ta không thể quy ma trận A của toán tử tuyến tính về dạng đường chéo.

Ví dụ 13. Cho một ma trận .
1. Chứng minh rằng vectơ là vectơ riêng của ma trận A. Tìm giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng này.
2. Tìm cơ sở để ma trận A có dạng đường chéo.
Giải pháp.
1. Nếu , thì là một vectơ riêng

.
Vector (1, 8, -1) là một vectơ riêng. Giá trị riêng λ = -1.
Ma trận có dạng đường chéo trên cơ sở gồm các vectơ riêng. Một trong số họ nổi tiếng. Hãy tìm phần còn lại.
Chúng tôi tìm kiếm các vectơ riêng từ hệ thống:

Phương trình đặc trưng: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Hãy tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -3:

Hạng của ma trận của hệ thống này là hai và bằng sốẩn số nên hệ này chỉ có nghiệm 0 x 1 = x 3 = 0. x 2 ở đây có thể là một giá trị khác 0, ví dụ x 2 = 1. Như vậy, vectơ (0,1,0) là một vectơ riêng , tương ứng với λ = -3. Hãy kiểm tra:
.
Nếu λ = 1 thì ta thu được hệ
Thứ hạng của ma trận là hai. Chúng tôi gạch bỏ phương trình cuối cùng.
Cho x 3 là một ẩn số tự do. Khi đó x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Giả sử x 3 = 1 thì ta có (-3,-9,1) - vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 1. Kiểm tra:

.
Vì các giá trị riêng là số thực và phân biệt nên các vectơ tương ứng với chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở trong R 3. Như vậy, trên cơ sở , , ma trận A có dạng:
.
Không phải mọi ma trận của toán tử tuyến tính A:R n → R n đều có thể rút gọn về dạng đường chéo, vì đối với một số toán tử tuyến tính có thể có ít hơn n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, nếu ma trận đối xứng thì nghiệm của phương trình đặc tính bội m tương ứng với chính xác m vectơ độc lập tuyến tính.

Sự định nghĩa. Ma trận đối xứng là ma trận vuông trong đó các phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau, tức là trong đó .
Ghi chú. 1. Tất cả các giá trị riêng của ma trận đối xứng đều là số thực.
2. Các vectơ riêng của ma trận đối xứng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau theo cặp là trực giao.
Là một trong nhiều ứng dụng của bộ máy được nghiên cứu, chúng tôi xem xét bài toán xác định loại đường cong bậc hai.

Với ma trận A, nếu tồn tại số l sao cho AX = lX.

Trong trường hợp này, số l được gọi là giá trị riêng toán tử (ma trận A) tương ứng với vectơ X.

Nói cách khác, vectơ riêng là một vectơ mà dưới tác dụng của toán tử tuyến tính sẽ biến đổi thành vectơ cộng tuyến, tức là chỉ cần nhân với một số. Ngược lại, các vectơ không đúng thì việc biến đổi phức tạp hơn.

Hãy viết định nghĩa của vectơ riêng dưới dạng hệ phương trình:

Hãy di chuyển tất cả các điều khoản sang phía bên trái:

Hệ sau có thể được viết dưới dạng ma trận như sau:

(A - lE)X = O

Hệ thu được luôn có nghiệm 0 X = O. Những hệ như vậy trong đó mọi số hạng tự do đều bằng 0 được gọi là đồng nhất. Nếu ma trận của một hệ thống như vậy là hình vuông và định thức của nó không bằng 0, thì khi sử dụng các công thức của Cramer, chúng ta sẽ luôn nhận được một nghiệm duy nhất - 0. Có thể chứng minh rằng một hệ có nghiệm khác 0 khi và chỉ khi định thức của ma trận này bằng 0, tức là

|A - lE| = = 0

Phương trình chưa biết l này được gọi là phương trình đặc trưng (Đặc biệt đa thức) ma trận A (toán tử tuyến tính).

Có thể chứng minh rằng đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở.

Ví dụ: hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử tuyến tính được xác định bởi ma trận A =.

Để làm điều này, hãy tạo một phương trình đặc trưng |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; giá trị riêng l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Để tìm vectơ riêng ta giải hai hệ phương trình

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Đối với ma trận đầu tiên, ma trận mở rộng có dạng

,

từ đó x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, tức là X(1) = (-(2/3)s;s).

Đối với ma trận thứ hai, ma trận mở rộng có dạng

,

từ đó x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, tức là X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Như vậy, các vectơ riêng của toán tử tuyến tính này đều là các vectơ có dạng (-(2/3)с; с) có giá trị riêng (-5) và tất cả các vectơ có dạng ((2/3)с 1 ; с 1) với giá trị riêng 7 .

Có thể chứng minh rằng ma trận của toán tử A trên cơ sở gồm các vectơ riêng của nó là ma trận chéo và có dạng:

,

trong đó l i là giá trị riêng của ma trận này.

Điều ngược lại cũng đúng: nếu ma trận A ở một cơ sở nào đó là đường chéo thì tất cả các vectơ của cơ sở này sẽ là vectơ riêng của ma trận này.

Người ta cũng có thể chứng minh rằng nếu một toán tử tuyến tính có n giá trị riêng phân biệt theo cặp thì các vectơ riêng tương ứng là độc lập tuyến tính và ma trận của toán tử này trong cơ sở tương ứng có dạng đường chéo.

Hãy minh họa điều này bằng ví dụ trước. Chúng ta lấy các giá trị khác 0 tùy ý c và c 1, nhưng sao cho các vectơ X (1) và X (2) độc lập tuyến tính, tức là. sẽ tạo thành một cơ sở. Ví dụ: cho c = c 1 = 3 thì X(1) = (-2; 3), X(2) = (2; 3).

Hãy đảm bảo độc lập tuyến tính các vectơ này:

12 ≠ 0. Trong cơ sở mới này, ma trận A sẽ có dạng A * = .

Để xác minh điều này, hãy sử dụng công thức A * = C -1 AC. Đầu tiên, hãy tìm C -1.

C -1 = ;

hình bậc hai

Hình bậc hai f(x 1, x 2, x n) của n biến được gọi là tổng, mỗi số hạng của nó là bình phương của một trong các biến hoặc là tích của hai biến khác nhau, được lấy với một hệ số nhất định: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Ma trận A gồm các hệ số này được gọi là ma trận dạng bậc hai. Nó luôn luôn đối xứng ma trận (tức là ma trận đối xứng qua đường chéo chính, a ij = a ji).

Trong ký hiệu ma trận, dạng bậc hai là f(X) = X T AX, trong đó

Thực vậy

Ví dụ: hãy viết dạng bậc hai ở dạng ma trận.

Để làm điều này, chúng ta tìm một ma trận dạng bậc hai. Các phần tử đường chéo của nó bằng các hệ số của các biến bình phương, và các phần tử còn lại bằng một nửa các hệ số tương ứng của dạng bậc hai. Đó là lý do tại sao

Giả sử cột ma trận của biến X thu được bằng phép biến đổi tuyến tính không suy biến của cột ma trận Y, tức là. X = CY, trong đó C là ma trận không suy biến cấp n. Khi đó dạng bậc hai f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Như vậy, với phép biến đổi tuyến tính không suy biến C, ma trận bậc hai có dạng: A * = C T AC.

Ví dụ: hãy tìm dạng bậc hai f(y 1, y 2), thu được từ dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bằng phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai được gọi là kinh điển(Nó có chế độ xem chuẩn), nếu tất cả các hệ số của nó a ij = 0 với i ≠ j, tức là
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Ma trận của nó là đường chéo.

Định lý(bằng chứng không được đưa ra ở đây). Mọi dạng bậc hai đều có thể rút gọn thành hình thức kinh điển sử dụng phép biến đổi tuyến tính không suy biến.

Ví dụ: chúng ta hãy chuyển dạng bậc hai thành dạng chính tắc
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Để thực hiện việc này, trước tiên hãy chọn một hình vuông hoàn chỉnh có biến x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Bây giờ chúng ta chọn một hình vuông hoàn chỉnh với biến x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Khi đó, phép biến đổi tuyến tính không suy biến y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 và y 3 = x 3 đưa dạng bậc hai này về dạng chính tắc f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Lưu ý rằng dạng chính tắc của dạng bậc hai được xác định một cách mơ hồ (dạng bậc hai tương tự có thể được rút gọn thành dạng chính tắc những cách khác). Tuy nhiên, nhận được những cách khác các hình thức kinh điển có một số tính chất chung. Đặc biệt, số số hạng có hệ số dương (âm) của dạng bậc hai không phụ thuộc vào phương pháp quy giản về dạng này (ví dụ, trong ví dụ đang xét sẽ luôn có hai hệ số âm và một hệ số dương). Tính chất này được gọi là định luật quán tính của dạng bậc hai.

Chúng ta hãy xác minh điều này bằng cách đưa dạng bậc hai tương tự sang dạng chính tắc theo một cách khác. Hãy bắt đầu phép biến đổi với biến x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, trong đó y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 và y 3 = x 1 . Ở đây có hệ số âm -3 tại y 1 và hai hệ số dương 3 và 2 tại y 2 và y 3 (và sử dụng phương pháp khác chúng ta nhận được hệ số âm (-5) tại y 2 và hai hệ số dương: 2 tại y 1 và 1/20 tại y 3).

Cũng cần lưu ý rằng hạng của một ma trận dạng bậc hai, được gọi là hạng của dạng bậc hai, bằng số hệ số khác 0 hình thức kinh điển và không thay đổi dưới các phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai f(X) được gọi là tích cực (tiêu cực) chắc chắn, nếu với tất cả các giá trị của các biến không đồng thời bằng 0 thì giá trị đó là dương, tức là. f(X) > 0 (âm, tức là
f(X)< 0).

Ví dụ, dạng bậc hai f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 là xác định dương, bởi vì là tổng của các bình phương, và dạng bậc hai f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 là xác định âm, bởi vì biểu diễn nó có thể được biểu diễn dưới dạng f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Trong hầu hết các tình huống thực tế, việc thiết lập dấu hiệu xác định của dạng bậc hai khó khăn hơn một chút, vì vậy để làm được điều này, chúng ta sử dụng một trong các định lý sau (chúng ta sẽ xây dựng chúng mà không cần chứng minh).

Định lý. Dạng bậc hai là dương (âm) xác định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của ma trận của nó là dương (âm).

Định lý(Tiêu chí Sylvester). Dạng bậc hai là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các phần tử đứng đầu của ma trận dạng này đều dương.

Chính (góc) phụ Ma trận cấp k A cấp n gọi là định thức của ma trận, gồm k hàng và cột đầu tiên của ma trận A().

Lưu ý rằng đối với dạng bậc hai xác định âm, các dấu của các phân số chính thay thế nhau, và phân thứ nhất phải âm.

Ví dụ, chúng ta hãy xét dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 để biết tính xác định của dấu.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; Đ = 25 - 8 = 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định dương.

Phương pháp 2. Thiếu chính ma trận bậc một A D 1 = a 11 = 2 > 0. Ma trận cấp hai D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Do đó, theo tiêu chí Sylvester, dạng bậc hai là xác định dương.

Chúng ta xét một dạng bậc hai khác để tìm tính xác định của dấu, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Xây dựng ma trận dạng bậc hai A = . Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; Đ = 25 - 8 = 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định âm.

Cách 2. Cấp thứ nhất của ma trận A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Do đó, theo tiêu chuẩn Sylvester, dạng bậc hai là xác định âm (dấu của các dấu phụ chính xen kẽ nhau, bắt đầu bằng dấu trừ).

Và trong một ví dụ khác, chúng ta xét dạng bậc hai xác định bằng dấu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Xây dựng ma trận dạng bậc hai A = . Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Một trong những số này là âm và số kia là dương. Dấu của các giá trị riêng là khác nhau. Do đó, dạng bậc hai có thể không xác định âm hoặc dương, tức là dạng bậc hai này không xác định được dấu (nó có thể lấy giá trị của bất kỳ dấu nào).

Cách 2. Thứ chính cấp 1 ma trận A D 1 = a 11 = 2 > 0. Thứ chính cấp 2 D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Định nghĩa 5.3. Vectơ x khác 0 trong không gian tuyến tính L được gọi là vectơ riêng của toán tử tuyến tính A: L → L, nếu với một số thực A nào đó có quan hệ Ax = λx. Trong trường hợp này, số λ được gọi là giá trị riêng (eigenvalue) của toán tử tuyến tính MỘT.

Ví dụ 5.3. Không gian tuyến tính K n [x] của các đa thức bậc không lớn hơn n chứa các đa thức bậc 0, tức là. các chức năng cố định. Vì dc/dx = 0 = 0 c, nên các đa thức bậc 0 p(x) = c ≠ 0 là các vectơ riêng của toán tử vi phân tuyến tính và số λ = 0 là giá trị riêng của toán tử này. #

Tập hợp tất cả các giá trị riêng của toán tử tuyến tính được gọi là phổ của toán tử tuyến tính . Mỗi vectơ riêng được liên kết với giá trị riêng của nó. Thật vậy, nếu một vectơ x đồng thời thỏa mãn hai đẳng thức Ax = λx và Ax = μx, thì λx = μx, do đó (λ - μ)x = 0. Nếu λ - μ ≠ 0, hãy nhân đẳng thức với số (λ - μ ) -1 và kết quả là chúng ta nhận được x = 0. Nhưng điều này mâu thuẫn với định nghĩa về vectơ riêng, vì vectơ riêng luôn khác 0.

Mỗi giá trị riêng có các vectơ riêng của nó và có vô số vectơ riêng. Thật vậy, nếu x là vectơ riêng của toán tử tuyến tính A có giá trị riêng λ, tức là Ах = λx, khi đó với mọi số thực α khác 0, chúng ta có αx ≠ 0 và А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Điều này có nghĩa là vectơ αx cũng là một vectơ riêng của toán tử tuyến tính.

Nhận xét 5.1. Họ thường nói về giá trị riêng (số), phổ và vectơ riêng của ma trận vuông . Điều này có nghĩa như sau. Ma trận A bậc n là ma trận một số toán tử tuyến tínhở trạng thái cố định nền tảng, Hoạt động trong không gian tuyến tính n chiều. Ví dụ, nếu chúng ta dừng lại ở cơ sở chuẩn trong không gian số học tuyến tính R n , khi đó ma trận A xác định toán tử tuyến tính A, ánh xạ vectơ x ∈ R n với cột tọa độ x tới vectơ có cột tọa độ Ax. Ma trận A chính xác là ma trận A. Việc xác định một toán tử bằng ma trận của nó giống như cách xác định một vectơ số học bằng một cột tọa độ của nó là điều tự nhiên. Việc nhận dạng này, thường được sử dụng và không phải lúc nào cũng được chỉ định, giúp chuyển các số hạng “toán tử” sang ma trận.

Phổ của toán tử tuyến tính có liên quan chặt chẽ với phương trình đặc trưng.

Định lý 5.3.Để số thực λ là giá trị riêng của toán tử tuyến tính thì điều cần và đủ là nó phải là nghiệm của phương trình đặc trưng của toán tử này.

◄ Sự cần thiết. Giả sử số λ là giá trị riêng của toán tử tuyến tính A: L → L. Điều này có nghĩa là có một vectơ x ≠ 0 mà

Ax = λx. (5.2)

Lưu ý rằng trong L có toán tử nhận dạng I: Ix = x với mọi vectơ x. Sử dụng toán tử này, chúng ta biến đổi đẳng thức (5.2): Ах = λIx, hoặc

(A - λI)x = 0. (5.3)

Chúng ta hãy viết đẳng thức vectơ (5.3) theo cơ sở nào đó b. Ma trận của toán tử tuyến tính A - λI sẽ là ma trận A - λE, trong đó A là ma trận của toán tử tuyến tính A trên cơ sở b, E là ma trận đơn vị và gọi x là cột tọa độ của vectơ riêng x . Khi đó x ≠ 0 và đẳng thức vectơ (5.3) tương đương với ma trận

(A - λE)x = 0, (5.4)

là dạng ma trận ghi lại một hệ tuyến tính đồng nhất phương trình đại số(SLAU) với Ma trận vuông A - λE cấp n. Hệ này có nghiệm khác 0, đó là cột tọa độ x của vectơ riêng x. Do đó, ma trận A - λE của hệ (5.4) có định thức bằng 0, tức là det(A - λE) = 0. Điều này có nghĩa là λ là nghiệm của phương trình đặc tính của toán tử tuyến tính A.

Sự đầy đủ. Dễ dàng nhận thấy cách lý luận trên có thể được thực hiện theo thứ tự ngược lại. Nếu λ là nghiệm của phương trình đặc tính thì trong cơ sở b cho trước đẳng thức det (A - λE) = 0. Do đó, ma trận của SLAE thuần nhất (5.4), được viết dưới dạng ma trận, là suy biến và hệ có nghiệm x khác 0. Nghiệm khác 0 này là một tập hợp tọa độ trên cơ sở b của một số vectơ x khác 0 mà đẳng thức vectơ (5.3) hoặc đẳng thức tương đương (5.2) của nó đúng. Chúng ta đi đến kết luận rằng số λ là giá trị riêng của toán tử tuyến tính A.

Mỗi giá trị riêng λ của ma trận (toán tử tuyến tính) được liên kết với sự đa dạng, đặt nó bằng bội số của nghiệm λ của phương trình đặc tính của ma trận này (của toán tử tuyến tính này).

Tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với một giá trị riêng cho trước của toán tử tuyến tính là không không gian con tuyến tính, vì tập hợp này không chứa vectơ không, mà theo định nghĩa, không thể đúng. Nhưng trở ngại chính thức và dễ dàng loại bỏ này là trở ngại duy nhất. Chúng ta hãy ký hiệu £(A, λ) tập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính A trong không gian tuyến tính L tương ứng với giá trị riêng λ, với vectơ 0 được thêm vào tập hợp này.

Định lý 5.4. Tập £(A,λ) là một không gian con tuyến tính trong L.

◄ Hãy chọn tùy ý hai vectơ x, y∈ £(A, λ) và chứng minh rằng với mọi số thực α và β thì vectơ αx + βу cũng thuộc về £(A, λ). Để làm điều này, chúng tôi tính toán hình ảnh của vectơ này dưới tác động của toán tử tuyến tính A:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

Do đó, đối với vectơ z = αх + βу thì hệ thức Az = λz đúng. Nếu z là vectơ 0 thì nó thuộc £(A,λ). Nếu nó khác 0 thì theo quan hệ đã được chứng minh, nó là một giá trị riêng có giá trị riêng λ và lại thuộc tập £(A, λ).

Không gian con tuyến tính £(A,λ) đôi khi được gọi là không gian con riêng của toán tử tuyến tính *. Đó là một trường hợp đặc biệt không gian con bất biến toán tử tuyến tính A - một không gian con tuyến tính sao cho với mọi vectơ x ∈ H thì vectơ Ax cũng thuộc về H.

Không gian con bất biến của toán tử tuyến tính cũng là khoảng tuyến tính của bất kỳ hệ vectơ riêng nào của nó. Một không gian con bất biến của toán tử tuyến tính không liên quan đến vectơ riêng của nó là hình ảnh điều hành.