Tích của 3 ma trận. Nhân ma trận vuông với ma trận cột

Ứng dụng chính của ma trận liên quan đến phép tính phép nhân.

Hai ma trận được cho:

A – kích thước mn

B – cỡ n k

Bởi vì chiều dài của một hàng trong ma trận A trùng với chiều cao của một cột trong ma trận B, bạn có thể xác định ma trận C=AB, sẽ có kích thước m k. Yếu tố ma trận C, nằm ở hàng thứ i tùy ý (i=1,...,m) và cột thứ j tùy ý (j=1,...,k), theo định nghĩa, bằng tích vô hướng của hai vectơ từ
:hàng thứ i của ma trận A và cột thứ j của ma trận B:

Của cải:

Phép nhân ma trận A với số λ được xác định như thế nào?

Tích của A và số λ là một ma trận trong đó mỗi phần tử bằng tích các phần tử tương ứng của A và λ. Hệ quả: Nhân tử chung của các phần tử ma trận có thể rút ra khỏi dấu ma trận.

13. Định nghĩa ma trận nghịch đảo và các tính chất của nó.

Sự định nghĩa. Cho hai ma trận vuông X và A cùng cấp thỏa mãn điều kiện:

trong đó E là ma trận đơn vị cùng bậc với ma trận A thì gọi là ma trận X đảo ngược vào ma trận A và được ký hiệu là A -1.

Tính chất của ma trận nghịch đảo

Hãy chỉ ra các tính chất sau của ma trận nghịch đảo:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

1. Nếu ma trận nghịch đảo tồn tại thì ma trận đó là duy nhất.

2. Không phải mọi ma trận vuông khác 0 đều có ma trận nghịch đảo.

14. Nêu các tính chất cơ bản của định thức. Kiểm tra tính hợp lệ của thuộc tính |AB|=|A|*|B| cho ma trận

A= và B=

Tính chất của định thức:

1. Nếu bất kỳ hàng nào của định thức đều chứa các số 0 thì bản thân định thức đó bằng 0.

2. Khi sắp xếp lại hai hàng, định thức được nhân với -1.

3. Định thức có hai hàng giống nhau thì bằng 0.

4. Thừa số chung của các phần tử của một hàng bất kỳ đều có thể rút ra khỏi dấu định thức.

5. Nếu các phần tử của một hàng định thức A nhất định được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng thì bản thân định thức đó bằng tổng của hai định thức B và D. Trong định thức B, đường thẳng xác định gồm các số hạng đầu tiên, trong D - của số hạng thứ hai. Các dòng còn lại của định thức B và D giống như ở A.

6. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu thêm một dòng nữa vào một trong các dòng, nhân với một số bất kỳ.

7. Tổng tích các phần tử của hàng bất kỳ bằng phần bù đại số với các phần tử tương ứng của hàng khác bằng 0.

8. Định thức của ma trận A bằng định thức của ma trận chuyển vị A m, tức là định thức không thay đổi khi chuyển vị.

15. Xác định mô đun và đối số của số phức. Viết các số √3+ dưới dạng lượng giácTôi, -1+ Tôi.

Mỗi số phức z=a+ib có thể liên kết với một vectơ (a,b)€R 2. Độ dài của vectơ này bằng √a 2 + b 2 được gọi là mô đun của số phức z và được ký hiệu là |z|. Góc φ giữa một vectơ cho trước và chiều dương của trục Ox được gọi là đối số số phức z và được ký hiệu là arg z.

Bất kỳ số phức z≠0 nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng z=|z|(cosφ +isinφ).

Hình thức viết số phức này được gọi là lượng giác.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Mỗi số phức Z = a + ib có thể được gán một vectơ (a; b) thuộc R^2. Độ dài của vectơ này, bằng KB từ a^2 + b^2, được gọi là mô đun của số phức và được ký hiệu là mô đun Z. Góc giữa vectơ này và chiều dương của trục Ox được gọi là đối số của số phức (ký hiệu là arg Z).

Vì vậy, trong bài học trước chúng ta đã xem xét các quy tắc cộng và trừ ma trận. Đây là những thao tác đơn giản đến mức hầu hết học sinh đều hiểu chúng theo nghĩa đen ngay lập tức.

Tuy nhiên, bạn vui mừng sớm. Phần thưởng miễn phí đã kết thúc - hãy chuyển sang phép nhân. Tôi sẽ cảnh báo bạn ngay: nhân hai ma trận hoàn toàn không phải là nhân các số trong các ô có cùng tọa độ như bạn nghĩ. Mọi thứ ở đây vui hơn nhiều. Và chúng ta sẽ phải bắt đầu với những định nghĩa sơ bộ.

Ma trận phù hợp

Một trong những đặc điểm quan trọng nhất của ma trận là kích thước của nó. Chúng ta đã nói về điều này hàng trăm lần: viết $A=\left[ m\times n \right]$ có nghĩa là ma trận có chính xác $m$ hàng và $n$ cột. Chúng ta cũng đã thảo luận về cách không nhầm lẫn hàng với cột. Một cái gì đó khác là quan trọng bây giờ.

Sự định nghĩa. Ma trận có dạng $A=\left[ m\times n \right]$ và $B=\left[ n\times k \right]$, trong đó số cột trong ma trận đầu tiên trùng với số hàng trong thứ hai, được gọi là nhất quán.

Một lần nữa: số cột trong ma trận đầu tiên bằng số hàng trong ma trận thứ hai! Từ đây chúng ta nhận được hai kết luận cùng một lúc:

1. Thứ tự của ma trận rất quan trọng đối với chúng tôi. Ví dụ: các ma trận $A=\left[ 3\times 2 \right]$ và $B=\left[ 2\times 5 \right]$ là nhất quán (2 cột trong ma trận đầu tiên và 2 hàng trong ma trận thứ hai) , nhưng ngược lại - ma trận $B=\left[ 2\times 5 \right]$ và $A=\left[ 3\times 2 \right]$ không còn nhất quán (5 cột trong ma trận đầu tiên không phải là 3 hàng ở phần thứ hai).
2. Tính nhất quán có thể được kiểm tra dễ dàng bằng cách viết ra tất cả các kích thước lần lượt. Sử dụng ví dụ ở đoạn trước: “3 2 2 5” - có các số giống nhau ở giữa nên các ma trận nhất quán. Nhưng “2 5 3 2” không nhất quán vì có các số khác nhau ở giữa.

Ngoài ra, Captain Obviousness dường như đang ám chỉ rằng các ma trận vuông có cùng kích thước $\left[ n\times n \right]$ luôn nhất quán.

Trong toán học, khi thứ tự liệt kê các đối tượng là quan trọng (ví dụ, trong định nghĩa đã thảo luận ở trên, thứ tự của ma trận là quan trọng), chúng ta thường nói về các cặp có thứ tự. Chúng tôi đã gặp họ ở trường: Tôi nghĩ không cần phải đắn đo khi tọa độ $\left(1;0 \right)$ và $\left(0;1 \right)$ xác định các điểm khác nhau trên mặt phẳng.

Vì vậy: tọa độ cũng là các cặp có thứ tự được tạo thành từ các số. Nhưng không có gì ngăn cản bạn tạo ra một cặp như vậy từ ma trận. Khi đó chúng ta có thể nói: “Một cặp ma trận có thứ tự $\left(A;B \right)$ là nhất quán nếu số cột trong ma trận đầu tiên bằng số hàng trong ma trận thứ hai”.

Vâng, vậy thì sao?

Định nghĩa phép nhân

Hãy xem xét hai ma trận nhất quán: $A=\left[ m\times n \right]$ và $B=\left[ n\times k \right]$. Và chúng tôi xác định phép toán nhân cho chúng.

Sự định nghĩa. Tích của hai ma trận trùng khớp $A=\left[ m\times n \right]$ và $B=\left[ n\times k \right]$ là ma trận mới $C=\left[ m\times k \ right] $, các phần tử được tính bằng công thức:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Sản phẩm như vậy được ký hiệu theo cách tiêu chuẩn: $C=A\cdot B$.

Những ai nhìn thấy định nghĩa này lần đầu tiên sẽ ngay lập tức có hai câu hỏi:

1. Đây là loại trò chơi khốc liệt gì vậy?
2. Tại sao lại khó như vậy?

Vâng, điều đầu tiên đầu tiên. Hãy bắt đầu với câu hỏi đầu tiên. Tất cả những chỉ số này có ý nghĩa gì? Và làm thế nào để không mắc lỗi khi làm việc với ma trận thực?

Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng dòng dài để tính $((c)_(i;j))$ (Tôi đặc biệt đặt dấu chấm phẩy giữa các chỉ số để không bị nhầm lẫn, nhưng không cần phải đặt chúng vào chung - Bản thân tôi cảm thấy mệt mỏi khi gõ công thức trong định nghĩa) thực sự đưa ra một quy tắc đơn giản:

1. Lấy hàng thứ $i$ trong ma trận đầu tiên;
2. Lấy cột thứ $j$ trong ma trận thứ hai;
3. Chúng ta nhận được hai dãy số. Chúng tôi nhân các phần tử của các chuỗi này với các số giống nhau, sau đó cộng các kết quả thu được.

Quá trình này rất dễ hiểu từ hình ảnh:

Một lần nữa: chúng ta sửa hàng $i$ trong ma trận đầu tiên, cột $j$ trong ma trận thứ hai, nhân các phần tử có cùng số và sau đó cộng các tích kết quả - chúng ta nhận được $((c)_(ij))$ . Và cứ như vậy với mọi $1\le i\le m$ và $1\le j\le k$. Những thứ kia. Tổng cộng sẽ có $m\times k$ những "sự biến thái" như vậy.

Trên thực tế, chúng ta đã gặp phép nhân ma trận trong chương trình giảng dạy ở trường, chỉ ở dạng rút gọn đáng kể. Cho các vectơ:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(căn chỉnh)\]

Khi đó tích vô hướng của chúng sẽ chính xác bằng tổng của các tích từng cặp:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Về cơ bản, khi cây xanh hơn và bầu trời sáng hơn, chúng ta chỉ cần nhân vectơ hàng $\overrightarrow(a)$ với vectơ cột $\overrightarrow(b)$.

Không có gì thay đổi ngày hôm nay. Chỉ là bây giờ có nhiều vectơ hàng và cột hơn.

Nhưng đủ lý thuyết! Hãy xem xét các ví dụ thực tế. Và hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất - ma trận vuông.

Phép nhân ma trận vuông

Bài 1. Thực hiện phép nhân:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

Giải pháp. Vì vậy, chúng ta có hai ma trận: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ và $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Rõ ràng là chúng nhất quán (ma trận vuông có cùng kích thước luôn nhất quán). Vì vậy, chúng tôi thực hiện phép nhân:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ Begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(mảng) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ kết thúc (mảng)\right]. \end(căn chỉnh)\]

Đó là tất cả!

Trả lời: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Bài 2. Thực hiện phép nhân:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(mảng) \right]\]

Giải pháp. Một lần nữa, ma trận nhất quán, vì vậy chúng tôi thực hiện các hành động sau:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(căn chỉnh)\]

Như bạn có thể thấy, kết quả là một ma trận chứa đầy số không

Trả lời: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Từ các ví dụ trên, rõ ràng phép nhân ma trận không phải là một phép toán phức tạp. Ít nhất là cho ma trận 2 x 2 vuông.

Trong quá trình tính toán, chúng tôi đã biên soạn một ma trận trung gian, trong đó chúng tôi mô tả trực tiếp những số nào được bao gồm trong một ô cụ thể. Đây chính xác là những gì nên làm khi giải quyết các vấn đề thực tế.

Tính chất cơ bản của tích ma trận

Tóm lại. Phép nhân ma trận:

1. Không giao hoán: $A\cdot B\ne B\cdot A$ trong trường hợp tổng quát. Tất nhiên, có những ma trận đặc biệt mà đẳng thức $A\cdot B=B\cdot A$ (ví dụ: nếu $B=E$ là ma trận đồng nhất), nhưng trong phần lớn các trường hợp, điều này không đúng ;
2. Kết hợp: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Không có lựa chọn nào ở đây: các ma trận liền kề có thể được nhân mà không cần quan tâm đến bên trái và bên phải của hai ma trận này.
3. Phân phối: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ và $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (do tính chất không giao hoán của tích số nên cần xác định riêng phân phối phải và phân phối trái.

Và bây giờ - mọi thứ đều giống nhau, nhưng chi tiết hơn.

Phép nhân ma trận về nhiều mặt tương tự như phép nhân số cổ điển. Nhưng có những khác biệt, trong đó quan trọng nhất là Nói chung, phép nhân ma trận là phép nhân không giao hoán.

Chúng ta hãy xem lại các ma trận ở Bài toán 1. Chúng ta đã biết tích trực tiếp của chúng:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(mảng) \right]\]

Nhưng nếu hoán đổi ma trận, chúng ta sẽ nhận được một kết quả hoàn toàn khác:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix )\Phải]\]

Hóa ra $A\cdot B\ne B\cdot A$. Ngoài ra, phép nhân chỉ được xác định cho các ma trận nhất quán $A=\left[ m\times n \right]$ và $B=\left[ n\times k \right]$, nhưng không ai đảm bảo rằng chúng sẽ vẫn nhất quán nếu chúng được hoán đổi. Ví dụ: các ma trận $\left[ 2\times 3 \right]$ và $\left[ 3\times 5 \right]$ khá nhất quán theo thứ tự đã chỉ định, nhưng các ma trận giống nhau $\left[ 3\times 5 \right] $ và $\left[ 2\times 3 \right]$ viết theo thứ tự ngược lại không còn nhất quán nữa. Buồn.:(

Trong số các ma trận vuông có kích thước cho trước $n$ sẽ luôn có những ma trận cho kết quả như nhau cả khi nhân theo chiều thuận và theo chiều ngược lại. Làm thế nào để mô tả tất cả các ma trận như vậy (và nói chung có bao nhiêu ma trận) là một chủ đề cho một bài học riêng. Hôm nay chúng ta sẽ không nói về chuyện đó. :)

Tuy nhiên, phép nhân ma trận có tính chất kết hợp:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Vì vậy, khi cần nhân nhiều ma trận liên tiếp cùng một lúc thì không nhất thiết phải thực hiện ngay: rất có thể một số ma trận liền kề khi nhân sẽ cho một kết quả thú vị. Ví dụ: ma trận 0, như trong Vấn đề 2 đã thảo luận ở trên.

Trong các bài toán thực tế, chúng ta thường phải nhân các ma trận vuông có kích thước $\left[ n\times n \right]$. Tập hợp tất cả các ma trận như vậy được ký hiệu là $((M)^(n))$ (tức là các mục $A=\left[ n\times n \right]$ và \ có nghĩa giống nhau), và nó sẽ nhất thiết phải chứa ma trận $E$, được gọi là ma trận đơn vị.

Sự định nghĩa. Một ma trận đơn vị có kích thước $n$ là một ma trận $E$ sao cho với mọi ma trận vuông $A=\left[ n\times n \right]$ đẳng thức đúng:

Một ma trận như vậy luôn trông giống nhau: có các ma trận trên đường chéo chính của nó và các số 0 ở tất cả các ô khác.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nói cách khác, nếu bạn cần nhân một ma trận với tổng của hai ma trận khác, bạn có thể nhân nó với mỗi “hai ma trận còn lại” này rồi cộng kết quả lại. Trong thực tế, chúng ta thường phải thực hiện thao tác ngược lại: chúng ta nhận thấy cùng một ma trận, lấy nó ra khỏi ngoặc, thực hiện phép cộng và từ đó đơn giản hóa cuộc sống của chúng ta. :)

Lưu ý: để mô tả tính phân phối, chúng ta phải viết hai công thức: tổng nằm ở thừa số thứ hai và tổng nằm ở thừa số thứ nhất. Điều này xảy ra chính xác vì phép nhân ma trận không có tính giao hoán (và nói chung, trong đại số không giao hoán, có rất nhiều điều thú vị mà bạn thậm chí không nghĩ đến khi làm việc với các số thông thường). Và ví dụ, nếu bạn cần viết tính chất này trong một bài kiểm tra, thì hãy nhớ viết cả hai công thức, nếu không giáo viên có thể hơi tức giận.

Được rồi, đây đều là những câu chuyện cổ tích về ma trận vuông. Còn những hình chữ nhật thì sao?

Trường hợp ma trận chữ nhật

Nhưng không có gì - mọi thứ đều giống như với hình vuông.

Bài 3. Thực hiện phép nhân:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Giải pháp. Chúng ta có hai ma trận: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ và $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Hãy viết ra các số chỉ kích thước trong một hàng:

Như bạn có thể thấy, hai số trung tâm trùng nhau. Điều này có nghĩa là các ma trận nhất quán và có thể nhân lên được. Hơn nữa, ở đầu ra chúng ta nhận được ma trận $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(mảng) \right]. \end(căn chỉnh)\]

Mọi thứ đều rõ ràng: ma trận cuối cùng có 3 hàng và 2 cột. Khá $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Trả lời: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(array) \right]$.

Bây giờ chúng ta hãy xem một trong những nhiệm vụ đào tạo tốt nhất dành cho những người mới bắt đầu làm việc với ma trận. Trong đó, bạn không chỉ cần nhân hai viên thuốc mà trước tiên hãy xác định: việc nhân như vậy có được phép không?

Bài toán 4. Tìm tất cả các tích từng cặp có thể có của ma trận:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(ma trận) \\\end(ma trận) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Giải pháp. Đầu tiên, hãy viết kích thước của ma trận:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Ta thấy rằng ma trận $A$ chỉ có thể đối chiếu với ma trận $B$, vì số cột của $A$ là 4, và chỉ $B$ mới có số hàng này. Vì vậy, chúng ta có thể tìm thấy sản phẩm:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Tôi đề nghị người đọc hoàn thành các bước trung gian một cách độc lập. Tôi sẽ chỉ lưu ý rằng tốt hơn là bạn nên xác định trước kích thước của ma trận kết quả, ngay cả trước bất kỳ phép tính nào:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Nói cách khác, chúng tôi chỉ cần loại bỏ các hệ số “chuyển tuyến” đảm bảo tính nhất quán của ma trận.

Những lựa chọn khác có thể là gì? Tất nhiên, người ta có thể tìm thấy $B\cdot A$, vì $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, nên cặp thứ tự $\ left(B ;A \right)$ nhất quán và kích thước của sản phẩm sẽ là:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Nói tóm lại, đầu ra sẽ là một ma trận $\left[ 4\times 4 \right]$, các hệ số của ma trận này có thể dễ dàng tính toán:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(mảng) \right]\]

Rõ ràng, bạn cũng có thể đồng ý về $C\cdot A$ và $B\cdot C$ - và thế là xong. Do đó, chúng tôi chỉ cần viết ra các sản phẩm thu được:

Thật dễ dàng. :)

Trả lời: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

Nói chung, tôi thực sự khuyên bạn nên tự mình thực hiện nhiệm vụ này. Và một nhiệm vụ tương tự nữa đó là bài tập về nhà. Những suy nghĩ tưởng chừng đơn giản này sẽ giúp bạn thực hành tất cả các giai đoạn chính của phép nhân ma trận.

Nhưng câu chuyện không kết thúc ở đó. Hãy chuyển sang các trường hợp nhân đặc biệt. :)

Vectơ hàng và vectơ cột

Một trong những phép toán ma trận phổ biến nhất là nhân với ma trận có một hàng hoặc một cột.

Sự định nghĩa. Vectơ cột là một ma trận có kích thước $\left[ m\times 1 \right]$, tức là. gồm nhiều hàng và chỉ một cột.

Một vectơ hàng là một ma trận có kích thước $\left[ 1\times n \right]$, tức là gồm một hàng và nhiều cột.

Trên thực tế, chúng tôi đã gặp những đối tượng này. Ví dụ: một vectơ ba chiều thông thường từ phép lập thể $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ không gì khác hơn là một vectơ hàng. Từ quan điểm lý thuyết, hầu như không có sự khác biệt giữa hàng và cột. Bạn chỉ cần cẩn thận khi phối hợp với các ma trận nhân xung quanh.

Bài 5. Thực hiện phép nhân:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Giải pháp. Ở đây chúng ta có tích của các ma trận trùng khớp: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Chúng ta hãy tìm mảnh này:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(mảng) \right]\]

Trả lời: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Bài 6. Thực hiện phép nhân:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

Giải pháp. Một lần nữa mọi thứ đều được thống nhất: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Chúng tôi đếm sản phẩm:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(mảng) \right]\]

Trả lời: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Như bạn có thể thấy, khi chúng ta nhân một vectơ hàng và một vectơ cột với một ma trận vuông, kết quả đầu ra luôn là một hàng hoặc cột có cùng kích thước. Thực tế này có nhiều ứng dụng - từ việc giải phương trình tuyến tính đến tất cả các loại phép biến đổi tọa độ (cuối cùng cũng dẫn đến hệ phương trình, nhưng đừng nói về những điều đáng buồn).

Tôi nghĩ mọi thứ đều rõ ràng ở đây. Chúng ta cùng chuyển sang phần cuối cùng của bài học hôm nay.

lũy thừa ma trận

Trong số tất cả các phép tính nhân, phép lũy thừa đáng được chú ý đặc biệt - đây là khi chúng ta nhân cùng một đối tượng với chính nó nhiều lần. Ma trận cũng không ngoại lệ; chúng cũng có thể được nâng lên các lũy thừa khác nhau.

Những công việc như vậy luôn được thống nhất:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Và chúng được chỉ định giống hệt như các bằng cấp thông thường:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(căn chỉnh)\]

Thoạt nhìn, mọi thứ đều đơn giản. Hãy xem điều này trông như thế nào trong thực tế:

Nhiệm vụ 7. Nâng ma trận lên lũy thừa chỉ định:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Giải pháp. Được rồi, hãy xây dựng. Đầu tiên hãy bình phương nó:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(mảng) \right] \end(căn chỉnh)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (ma trận) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(ma trận) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( ma trận) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(mảng) \right] \end(căn chỉnh)\]

Đó là tất cả.:)

Trả lời: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Bài 8. Nâng ma trận lên lũy thừa đã cho:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Giải pháp. Bây giờ đừng khóc vì “bằng cấp quá lớn”, “thế giới không công bằng” và “thầy cô đã hoàn toàn mất bến bờ”. Nó thực sự dễ dàng:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (ma trận) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Lưu ý rằng ở dòng thứ hai chúng ta đã sử dụng tính kết hợp của phép nhân. Thực ra chúng ta đã sử dụng nó trong nhiệm vụ trước nhưng nó đã ẩn ở đó.

Trả lời: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi nâng ma trận lên lũy thừa. Ví dụ cuối cùng có thể được tóm tắt:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(mảng) \right]\]

Thực tế này dễ dàng được chứng minh thông qua quy nạp toán học hoặc phép nhân trực tiếp. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể nắm bắt được những mô hình như vậy khi raise lũy thừa. Do đó, hãy cẩn thận: thường nhân một số ma trận một cách “ngẫu nhiên” hóa ra lại dễ dàng và nhanh hơn so với việc tìm kiếm một số loại mẫu.

Nói chung, đừng tìm kiếm ý nghĩa cao hơn ở nơi không có. Để kết luận, chúng ta hãy xem xét lũy thừa của một ma trận lớn hơn - nhiều như $\left[ 3\times 3 \right]$.

Bài 9. Nâng ma trận lên lũy thừa đã cho:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Giải pháp. Chúng ta đừng tìm kiếm các mẫu. Chúng tôi làm việc trước:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (ma trận)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(ma trận) \right]\]

Đầu tiên, hãy bình phương ma trận này:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Bây giờ hãy lập phương nó:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Đó là tất cả. Vấn đề đã được giải quyết.

Trả lời: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Như bạn có thể thấy, khối lượng tính toán đã trở nên lớn hơn nhưng ý nghĩa vẫn không thay đổi chút nào. :)

Điều này kết thúc bài học. Lần tới chúng ta sẽ xem xét phép toán ngược: sử dụng sản phẩm hiện có, chúng ta sẽ tìm các thừa số ban đầu.

Như bạn có thể đã đoán, chúng ta sẽ nói về ma trận nghịch đảo và các phương pháp tìm nó.

Chủ đề này sẽ bao gồm các phép toán như cộng và trừ ma trận, nhân một ma trận với một số, nhân một ma trận với một ma trận và hoán vị một ma trận. Tất cả các ký hiệu được sử dụng trên trang này được lấy từ chủ đề trước.

Phép cộng và phép trừ ma trận.

Tổng $A+B$ của các ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ và $B_(m\times n)=(b_(ij))$ được gọi là ma trận $C_(m \times n) =(c_(ij))$, trong đó $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline( 1, n) $.

Một định nghĩa tương tự được đưa ra cho sự khác biệt của ma trận:

Sự khác biệt giữa ma trận $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ và $B_(m\times n)=(b_(ij))$ là ma trận $C_(m\times n)=( c_(ij))$, trong đó $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline(1, n)$.

Giải thích cho mục nhập $i=\overline(1,m)$: show\hide

Ký hiệu "$i=\overline(1,m)$" có nghĩa là tham số $i$ thay đổi từ 1 đến m. Ví dụ: ký hiệu $i=\overline(1,5)$ chỉ ra rằng tham số $i$ lấy các giá trị 1, 2, 3, 4, 5.

Điều đáng chú ý là các phép tính cộng và trừ chỉ được xác định cho các ma trận có cùng kích thước. Nói chung, phép cộng và trừ ma trận là các phép toán rõ ràng bằng trực giác, vì về cơ bản chúng chỉ có nghĩa là tổng hoặc trừ các phần tử tương ứng.

Ví dụ số 1

Ba ma trận được đưa ra:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Có thể tìm được ma trận $A+F$ không? Tìm ma trận $C$ và $D$ nếu $C=A+B$ và $D=A-B$.

Ma trận $A$ chứa 2 hàng và 3 cột (nói cách khác, kích thước của ma trận $A$ là $2\times 3$) và ma trận $F$ chứa 2 hàng và 2 cột. Kích thước của ma trận $A$ và $F$ không khớp nhau nên chúng ta không thể cộng chúng, tức là. thao tác $A+F$ không được xác định cho các ma trận này.

Kích thước của ma trận $A$ và $B$ là như nhau, tức là Dữ liệu ma trận chứa số hàng và số cột bằng nhau nên phép toán cộng có thể áp dụng cho chúng.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(mảng) \right) $$

Hãy tìm ma trận $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(mảng) \right) $$

Trả lời: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Nhân một ma trận với một số.

Tích của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ với số $\alpha$ là ma trận $B_(m\times n)=(b_(ij))$, trong đó $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline(1,n)$.

Nói một cách đơn giản, nhân một ma trận với một số nhất định có nghĩa là nhân từng phần tử của ma trận đã cho với số đó.

Ví dụ số 2

Ma trận được cho: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Tìm các ma trận $3\cdot A$, $-5\cdot A$ và $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( mảng) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (mảng) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(mảng) \right) =\left(\begin(mảng) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(mảng) \right). $$

Ký hiệu $-A$ là ký hiệu viết tắt của $-1\cdot A$. Nghĩa là, để tìm $-A$ bạn cần nhân tất cả các phần tử của ma trận $A$ với (-1). Về cơ bản, điều này có nghĩa là dấu của tất cả các phần tử của ma trận $A$ sẽ thay đổi ngược lại:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Trả lời: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Tích của hai ma trận.

Định nghĩa của hoạt động này rất phức tạp và thoạt nhìn có vẻ không rõ ràng. Do đó, trước tiên tôi sẽ chỉ ra một định nghĩa chung, sau đó chúng ta sẽ phân tích chi tiết ý nghĩa của nó và cách làm việc với nó.

Tích của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ của ma trận $B_(n\times k)=(b_(ij))$ là ma trận $C_(m\times k )=(c_( ij))$, trong đó mỗi phần tử $c_(ij)$ bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng ở hàng thứ i của ma trận $A$ với các phần tử của j - cột thứ của ma trận $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Chúng ta hãy xem xét phép nhân ma trận từng bước bằng một ví dụ. Tuy nhiên, bạn cần lưu ý ngay rằng không phải tất cả các ma trận đều có thể nhân được. Nếu muốn nhân ma trận $A$ với ma trận $B$ thì trước tiên chúng ta cần đảm bảo rằng số cột của ma trận $A$ bằng số hàng của ma trận $B$ (các ma trận như vậy thường được gọi là đã đồng ý). Ví dụ: ma trận $A_(5\times 4)$ (ma trận chứa 5 hàng và 4 cột) không thể nhân với ma trận $F_(9\times 8)$ (9 hàng và 8 cột), vì số số cột của ma trận $A $ không bằng số hàng của ma trận $F$, tức là. $4\neq 9$. Nhưng bạn có thể nhân ma trận $A_(5\times 4)$ với ma trận $B_(4\times 9)$, vì số cột của ma trận $A$ bằng số hàng của ma trận $ B$. Trong trường hợp này, kết quả của phép nhân các ma trận $A_(5\times 4)$ và $B_(4\times 9)$ sẽ là ma trận $C_(5\times 9)$, chứa 5 hàng và 9 cột:

Ví dụ số 3

Các ma trận đã cho: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (mảng) \right)$ và $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Tìm ma trận $C=A\cdot B$.

Đầu tiên, hãy xác định ngay kích thước của ma trận $C$. Vì ma trận $A$ có kích thước $3\times 4$ và ma trận $B$ có kích thước $4\times 2$, nên kích thước của ma trận $C$ là: $3\times 2$:

Vì vậy, nhờ tích các ma trận $A$ và $B$, chúng ta sẽ thu được một ma trận $C$, bao gồm ba hàng và hai cột: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Nếu việc chỉ định các phần tử đặt ra câu hỏi, thì bạn có thể xem chủ đề trước: "Ma trận. Các loại ma trận. Các thuật ngữ cơ bản", ở phần đầu sẽ giải thích cách chỉ định các phần tử ma trận. Mục tiêu của chúng ta: tìm giá trị của tất cả các phần tử của ma trận $C$.

Hãy bắt đầu với phần tử $c_(11)$. Để thu được phần tử $c_(11)$, bạn cần tìm tổng các tích của các phần tử ở hàng đầu tiên của ma trận $A$ và cột đầu tiên của ma trận $B$:

Để tìm chính phần tử $c_(11)$, bạn cần nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận $A$ với các phần tử tương ứng của cột đầu tiên của ma trận $B$, tức là. phần tử thứ nhất đến phần thứ nhất, phần tử thứ hai đến phần thứ hai, phần tử thứ ba đến phần thứ ba, phần tử thứ tư đến phần thứ tư. Chúng tôi tóm tắt các kết quả thu được:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Hãy tiếp tục giải và tìm $c_(12)$. Để làm điều này, bạn sẽ phải nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận $A$ với cột thứ hai của ma trận $B$:

Tương tự như phần trước, ta có:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận $C$ đã được tìm thấy. Hãy chuyển sang dòng thứ hai, bắt đầu bằng phần tử $c_(21)$. Để tìm nó, bạn sẽ phải nhân các phần tử của hàng thứ hai của ma trận $A$ với cột đầu tiên của ma trận $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Chúng ta tìm phần tử tiếp theo $c_(22)$ bằng cách nhân các phần tử của hàng thứ hai của ma trận $A$ với các phần tử tương ứng của cột thứ hai của ma trận $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Để tìm $c_(31)$, hãy nhân các phần tử của hàng thứ ba của ma trận $A$ với các phần tử của cột đầu tiên của ma trận $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Và cuối cùng, để tìm phần tử $c_(32)$, bạn sẽ phải nhân các phần tử của hàng thứ ba của ma trận $A$ với các phần tử tương ứng của cột thứ hai của ma trận $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Tất cả các phần tử của ma trận $C$ đã được tìm thấy, tất cả những gì còn lại là viết $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( mảng) \right)$ . Hoặc viết đầy đủ:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Trả lời: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Nhân tiện, thường không có lý do gì để mô tả chi tiết vị trí của từng phần tử trong ma trận kết quả. Đối với ma trận có kích thước nhỏ, bạn có thể thực hiện việc này:

Cũng cần lưu ý rằng phép nhân ma trận là không giao hoán. Điều này có nghĩa là trong trường hợp tổng quát $A\cdot B\neq B\cdot A$. Chỉ dành cho một số loại ma trận, được gọi là có thể hoán đổi(hoặc đi lại), đẳng thức $A\cdot B=B\cdot A$ là đúng. Chính xác là dựa trên tính không giao hoán của phép nhân mà chúng ta cần chỉ ra chính xác cách chúng ta nhân biểu thức với một ma trận cụ thể: ở bên phải hoặc bên trái. Ví dụ: cụm từ “nhân cả hai vế của đẳng thức $3E-F=Y$ với ma trận $A$ ở bên phải” có nghĩa là bạn muốn nhận đẳng thức sau: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot Một đô la.

Chuyển đổi đối với ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ là ma trận $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, cho các phần tử $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Nói một cách đơn giản, để có được ma trận chuyển vị $A^T$, bạn cần thay thế các cột trong ma trận ban đầu $A$ bằng các hàng tương ứng theo nguyên tắc sau: có hàng đầu tiên - sẽ có cột đầu tiên ; có hàng thứ hai - sẽ có cột thứ hai; đã có hàng thứ ba - sẽ có cột thứ ba, v.v. Ví dụ: hãy tìm ma trận được chuyển đổi thành ma trận $A_(3\times 5)$:

Theo đó, nếu ma trận ban đầu có kích thước $3\times 5$, thì ma trận chuyển đổi có kích thước $5\times 3$.

Một số tính chất của phép toán trên ma trận.

Ở đây giả định rằng $\alpha$, $\beta$ là một số số và $A$, $B$, $C$ là ma trận. Đối với bốn thuộc tính đầu tiên, tôi đã chỉ ra tên; phần còn lại có thể được đặt tên theo cách tương tự với bốn thuộc tính đầu tiên.

1. $A+B=B+A$ (tính giao hoán của phép cộng)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (tính kết hợp của phép cộng)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (phân phối của phép nhân với ma trận đối với phép cộng các số)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (phân phối của phép nhân với một số so với phép cộng ma trận)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, trong đó $E$ là ma trận đơn vị của thứ tự tương ứng.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, trong đó $O$ là ma trận 0 có kích thước phù hợp.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét phép toán nâng ma trận lên lũy thừa nguyên không âm, đồng thời giải các ví dụ trong đó cần thực hiện một số phép toán trên ma trận.

Chúng tôi sẽ tuần tự “loại trừ” những ẩn số. Để làm điều này, chúng ta sẽ giữ nguyên phương trình đầu tiên của hệ thống và biến đổi phương trình thứ hai và thứ ba:

1) vào phương trình thứ hai, chúng ta cộng phương trình thứ nhất, nhân với –2 và đưa nó về dạng –3 x 2 –2x 3 = –2;

2) vào phương trình thứ ba, chúng ta cộng phương trình thứ nhất, nhân với – 4 và thu về dạng –3 x 2 – 4x 3 = 2.

Kết quả là ẩn số sẽ bị loại khỏi phương trình thứ hai và thứ ba x 1 và hệ thống sẽ có dạng

Nhân phương trình thứ hai và thứ ba của hệ với –1, chúng ta nhận được

Hệ số 1 trong phương trình thứ nhất cho ẩn số thứ nhất X 1 được gọi là yếu tố hàng đầu bước loại bỏ đầu tiên.

Ở bước thứ hai, phương trình thứ nhất và thứ hai không thay đổi và phương pháp loại bỏ biến tương tự được áp dụng cho phương trình thứ ba x 2 . Yếu tố hàng đầu của bước thứ hai là hệ số 3. Vào phương trình thứ ba ta cộng phương trình thứ hai nhân với –1 thì hệ chuyển về dạng

(1.2)

Quá trình khử hệ (1.1) thành dạng (1.2) gọi là trực tiếp tiến bộ của phương pháp Gauss.

Thủ tục giải hệ (1.2) được gọi là ngược lại. Từ phương trình cuối cùng chúng ta nhận được X 3 = –2. Thay giá trị này vào phương trình thứ hai, chúng ta nhận được X 2 = 2. Sau đó, phương trình đầu tiên cho X 1 = 1. Do đó, là nghiệm của hệ (1.1).

Khái niệm ma trận

Chúng ta hãy xem xét các đại lượng có trong hệ (1.1). Một tập hợp chín hệ số xuất hiện trước ẩn số trong phương trình tạo thành một bảng số gọi là ma trận:

Các số bảng được gọi yếu tố ma trận. Dạng phần tử hàng và cột ma trận. Số hàng và số cột hình thành kích thước ma trận. Ma trận MỘT có kích thước 3'3 ("ba nhân ba"), với số đầu tiên biểu thị số hàng và số thứ hai biểu thị số cột. Thông thường, một ma trận được biểu thị bằng cách chỉ ra thứ nguyên A (3 `3). Vì số hàng và số cột trong ma trận MỘT tương tự, ma trận được gọi là quảng trường. Số hàng (và số cột) trong ma trận vuông được gọi là theo thứ tự, Đó là lý do tại sao MỘT- ma trận lệnh thứ ba.

Vế phải của các phương trình cũng tạo thành một bảng số, tức là ma trận:

Mỗi hàng của ma trận này được hình thành bởi một phần tử duy nhất, do đó B(3 `1) được gọi là cột ma trận, kích thước của nó là 3'1. Tập hợp các ẩn số cũng có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận cột:

Nhân ma trận vuông với ma trận cột

Bạn có thể thực hiện nhiều thao tác khác nhau với ma trận, điều này sẽ được thảo luận chi tiết sau. Ở đây chúng ta chỉ phân tích quy tắc nhân ma trận vuông với ma trận cột. Qua sự định nghĩa, kết quả của phép nhân ma trận MỘT(3 `3) mỗi cột TRONG(3 `1) là cột D(3 ` 1) , có các phần tử bằng tổng các tích của các phần tử của các hàng ma trận MỘTđến các phần tử cột TRONG:

2)thứ hai phần tử cột D bằng tổng tích của các phần tử thứ hai hàng ma trận MỘTđến các phần tử cột TRONG:

Từ các công thức trên, rõ ràng là nhân một ma trận với một cột TRONG chỉ có thể thực hiện được nếu số cột ma trận MỘT bằng số phần tử trong cột TRONG.

Hãy xem xét thêm hai ví dụ bằng số về phép nhân ma trận (3 `3) mỗi cột (3 `1):

Ví dụ 1.1

AB =
.

Ví dụ 1.2

AB= .

Phép cộng ma trận:

Phép trừ và phép cộng ma trận giảm xuống các hoạt động tương ứng trên các phần tử của chúng. Phép cộng ma trận chỉ được nhập cho ma trận cùng kích thước, tức là đối với ma trận, trong đó số hàng và số cột tương ứng bằng nhau. Tổng ma trận A và B được gọi là ma trận C, có các phần tử bằng tổng các phần tử tương ứng. C = A + B c ij = a ij + b ij Được định nghĩa tương tự sự khác biệt ma trận.

Nhân một ma trận với một số:

Phép nhân (chia) ma trận có kích thước bất kỳ với một số tùy ý được giảm xuống thành nhân (chia) từng phần tử ma trận cho con số này. Sản phẩm ma trận Và số k được gọi là ma trận B, như vậy

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Ma trận- A = (-1) × A gọi là ngược lại ma trận MỘT.

Tính chất của phép cộng và nhân ma trận với một số:

Phép cộng ma trận Và Phép nhân ma trận trên một số có các tính chất sau: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , trong đó A, B và C là ma trận, α và β là các số.

Phép nhân ma trận (Tích ma trận):

Phép nhân hai ma trận chỉ được nhập trong trường hợp số cột của cột đầu tiên ma trận bằng số dòng thứ hai ma trận. Sản phẩm ma trận Và m×n trên ma trận Trong n×p, được gọi là ma trận Với m×p sao cho với ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , tức là tìm được tổng các tích của các phần tử của hàng thứ i ma trận Và tới các phần tử tương ứng của cột thứ j ma trận B. Nếu ma trận A và B là những hình vuông có cùng kích thước nên tích AB và BA luôn tồn tại. Dễ dàng chứng minh rằng A × E = E × A = A, trong đó A là hình vuông ma trận, E - đơn vị ma trận Cùng kích cỡ.

Tính chất của phép nhân ma trận:

Phép nhân ma trận không giao hoán, tức là AB ≠ BA ngay cả khi cả hai tích đều được xác định. Tuy nhiên, nếu vì bất kỳ ma trận mối quan hệ AB=BA được thỏa mãn thì ma trậnđược gọi là giao hoán. Ví dụ điển hình nhất là một ma trận, đi lại với bất kỳ khác ma trận Cùng kích cỡ. Chỉ có hình vuông mới có thể hoán vị ma trận cùng một thứ tự. A × E = E × A = A

Phép nhân ma trận có các tính chất sau: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Các yếu tố quyết định bậc 2 và bậc 3. Tính chất của định thức.

Định thức ma trận lệnh thứ hai, hoặc bản ngã bậc 2 là số được tính theo công thức:

Định thức ma trận lệnh thứ ba, hoặc bản ngã bậc 3 là số được tính theo công thức:

Con số này đại diện cho một tổng đại số bao gồm sáu số hạng. Mỗi thuật ngữ chứa chính xác một phần tử từ mỗi hàng và mỗi cột ma trận. Mỗi số hạng bao gồm tích của ba yếu tố.

Dấu hiệu với thành viên nào định thức của ma trận có trong công thức tìm định thức của ma trận bậc thứ ba có thể được xác định bằng cách sử dụng sơ đồ đã cho, được gọi là quy tắc tam giác hoặc quy tắc Sarrus. Ba số hạng đầu tiên được lấy bằng dấu cộng và được xác định từ hình bên trái, ba số hạng tiếp theo được lấy bằng dấu trừ và được xác định từ hình bên phải.

Xác định số số hạng cần tìm định thức của ma trận, trong một tổng đại số, bạn có thể tính giai thừa: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Tính chất của định thức ma trận

Tính chất của định thức ma trận:

Thuộc tính số 1:

Định thức ma trận sẽ không thay đổi nếu các hàng của nó được thay thế bằng các cột, mỗi hàng có một cột có cùng số và ngược lại (Chuyển vị). |A| = |A| T

Kết quả:

Cột và hàng định thức của ma trận bằng nhau nên các thuộc tính vốn có của hàng cũng áp dụng cho cột.

Thuộc tính số 2:

Khi sắp xếp lại 2 hàng hoặc cột định thức ma trận sẽ đổi dấu sang dấu ngược lại, duy trì giá trị tuyệt đối, tức là:

Thuộc tính số 3:

Định thức ma trận có hai hàng giống hệt nhau bằng 0.

Thuộc tính số 4:

Yếu tố chung của các phần tử của chuỗi bất kỳ định thức của ma trận có thể được coi là một dấu hiệu bản ngã.

Hệ quả từ tính chất số 3 và tính chất số 4:

Nếu tất cả các phần tử của một chuỗi (hàng hoặc cột) nhất định tỷ lệ với các phần tử tương ứng của một chuỗi song song thì chuỗi đó định thức ma trận bằng không.

Thuộc tính số 5:

định thức của ma trậnđều bằng 0 thì định thức ma trận bằng không.

Thuộc tính số 6:

Nếu tất cả các phần tử của một hàng hoặc cột bản ngãđược trình bày dưới dạng tổng của 2 số hạng thì bản ngã ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của 2 yếu tố quyết định theo công thức:

Thuộc tính số 7:

Nếu đến bất kỳ hàng (hoặc cột) nào bản ngã cộng các phần tử tương ứng của hàng (hoặc cột khác), nhân với cùng một số, sau đó định thức ma trận sẽ không thay đổi giá trị của nó.

Ví dụ về sử dụng các thuộc tính để tính toán định thức của ma trận: