Bản chất của việc tối ưu hóa bằng phương pháp nhân tử Lagrange không xác định. Tối ưu hóa có điều kiện. Phương pháp nhân Lagrange
Đầu tiên, hãy xem xét trường hợp hàm hai biến. Cực trị có điều kiện của hàm $z=f(x,y)$ tại điểm $M_0(x_0;y_0)$ là cực trị của hàm này, đạt được với điều kiện là các biến $x$ và $y$ trong vùng lân cận điểm này thỏa mãn phương trình kết nối $\ varphi (x,y)=0$.
Cái tên cực trị “có điều kiện” là do thực tế là các biến phụ thuộc vào Điều kiện bổ sung$\varphi(x,y)=0$. Nếu một biến có thể được biểu diễn từ phương trình kết nối thông qua một biến khác thì bài toán xác định cực trị có điều kiện được rút gọn thành bài toán xác định cực trị thông thường của hàm một biến. Ví dụ: nếu phương trình kết nối ngụ ý $y=\psi(x)$, thì thay $y=\psi(x)$ vào $z=f(x,y)$, chúng ta thu được hàm một biến $z =f\left (x,\psi(x)\right)$. TRONG trường hợp chung Tuy nhiên, phương pháp này ít được sử dụng nên cần phải đưa ra một thuật toán mới.
Phương pháp nhân Lagrange cho hàm hai biến.
Phương pháp nhân tử Lagrange bao gồm việc xây dựng hàm Lagrange để tìm cực trị có điều kiện: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (tham số $\lambda$ được gọi hệ số nhân Lagrange). Những điều kiện cần thiết cực trị được cho bởi hệ phương trình từ đó xác định được điểm dừng:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(căn chỉnh) \right. $$
Điều kiện đủ để xác định bản chất của cực trị là dấu $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Nếu tại một điểm dừng $d^2F > 0$, thì hàm $z=f(x,y)$ có mức tối thiểu có điều kiện tại điểm này, nhưng nếu $d^2F< 0$, то условный максимум.
Có một cách khác để xác định bản chất của cực trị. Từ phương trình ghép chúng ta thu được: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, do đó tại một điểm dừng bất kỳ ta có:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \phải)$$
Yếu tố thứ hai (nằm trong ngoặc) có thể được biểu diễn dưới dạng này:
Các phần tử của định thức $\left| được tô sáng màu đỏ. \begin(mảng) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, là Hessian của hàm Lagrange. Nếu $H > 0$ thì $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, tức là chúng ta có mức tối thiểu có điều kiện của hàm $z=f(x,y)$.
Một lưu ý về ký hiệu của định thức $H$. hiện an
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ kết thúc(mảng) \right| $$
Trong trường hợp này, quy tắc được xây dựng ở trên sẽ thay đổi như sau: nếu $H > 0$, thì hàm có mức tối thiểu có điều kiện và nếu $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Thuật toán nghiên cứu hàm hai biến cho cực trị có điều kiện
- Soạn hàm Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Giải hệ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right.$
- Xác định bản chất của cực trị trong mỗi cực trị tìm được trong đoạn trước các điểm cố định. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng bất kỳ phương pháp nào sau đây:
- Viết định thức của $H$ và tìm dấu của nó
- Xét phương trình ghép, tính dấu của $d^2F$
Phương pháp nhân Lagrange cho hàm n biến
Giả sử chúng ta có một hàm gồm các biến $n$ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ và $m$ phương trình ghép ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Ký hiệu các số nhân Lagrange là $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, chúng ta soạn hàm Lagrange:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Các điều kiện cần thiết cho sự hiện diện của cực trị có điều kiện được đưa ra bởi một hệ phương trình từ đó tìm thấy tọa độ của các điểm dừng và các giá trị của hệ số nhân Lagrange:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
Bạn có thể tìm hiểu xem hàm có mức tối thiểu có điều kiện hay mức tối đa có điều kiện tại điểm tìm thấy hay không, như trước đây, bằng cách sử dụng dấu $d^2F$. Nếu tại điểm tìm thấy $d^2F > 0$ thì hàm có mức tối thiểu có điều kiện, nhưng nếu $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Định thức của ma trận $\left| \begin(mảng) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, được tô sáng màu đỏ trong ma trận $L$, là Hessian của hàm Lagrange. Chúng tôi sử dụng quy tắc sau:
- Nếu dấu các góc phụ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ma trận $L$ trùng dấu $(-1)^m$ thì điểm dừng đang nghiên cứu là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Nếu dấu các góc phụ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ xen kẽ và dấu của số nhỏ $H_(2m+1)$ trùng với dấu của số $(-1)^(m+1 )$, thì điểm dừng là điểm cực đại có điều kiện của hàm $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Ví dụ số 1
Tìm thấy cực đoan có điều kiện hàm $z(x,y)=x+3y$ với điều kiện $x^2+y^2=10$.
Giải thích hình học của bài toán này như sau: cần tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ứng dụng của mặt phẳng $z=x+3y$ cho các điểm giao nhau của nó với hình trụ $x^2+y ^2=10$.
Hơi khó để biểu thị một biến thông qua một biến khác từ phương trình ghép và thay thế nó vào hàm $z(x,y)=x+3y$, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange.
Ký hiệu $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, chúng ta soạn hàm Lagrange:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Hãy viết hệ phương trình xác định các điểm dừng của hàm Lagrange:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (căn chỉnh)\right.$$
Nếu chúng ta giả sử $\lambda=0$ thì phương trình đầu tiên sẽ trở thành: $1=0$. Kết quả mâu thuẫn chỉ ra rằng $\lambda\neq 0$. Trong điều kiện $\lambda\neq 0$, từ phương trình thứ nhất và thứ hai, chúng ta có: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Thay các giá trị thu được vào phương trình thứ ba, ta được:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(căn chỉnh) \right.\\ \begin(căn chỉnh) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(căn chỉnh) $$
Vì vậy, hệ thống có hai nghiệm: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ và $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Chúng ta hãy tìm hiểu bản chất của cực trị tại mỗi điểm dừng: $M_1(1;3)$ và $M_2(-1;-3)$. Để làm điều này, chúng ta tính định thức của $H$ tại mỗi điểm.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(mảng) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \trái| \begin(mảng) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(mảng) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
Tại điểm $M_1(1;3)$ ta có: $H=8\cdot\left| \begin(mảng) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, vậy tại điểm Hàm $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ có mức tối đa có điều kiện, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Tương tự, tại điểm $M_2(-1,-3)$ ta tìm được: $H=8\cdot\left| \begin(mảng) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(mảng) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Vì $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Tôi lưu ý rằng thay vì tính giá trị của định thức $H$ tại mỗi điểm, sẽ thuận tiện hơn nhiều nếu khai triển nó trong nhìn chung. Để không làm văn bản lộn xộn với các chi tiết, tôi sẽ ẩn phương pháp này dưới phần ghi chú.
Viết định thức $H$ ở dạng tổng quát. hiện an
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
Về nguyên tắc, rõ ràng $H$ có ký hiệu gì. Vì không có điểm $M_1$ hoặc $M_2$ nào trùng với gốc tọa độ, nên $y^2+x^2>0$. Do đó, dấu của $H$ ngược với dấu của $\lambda$. Bạn có thể hoàn thành các tính toán:
$$ \begin(căn chỉnh) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(căn chỉnh) $$
Câu hỏi về bản chất của cực trị tại các điểm dừng $M_1(1;3)$ và $M_2(-1;-3)$ có thể được giải mà không cần sử dụng định thức $H$. Hãy tìm dấu của $d^2F$ tại mỗi điểm dừng:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
Hãy để tôi lưu ý rằng ký hiệu $dx^2$ có nghĩa chính xác là $dx$ được nâng lên lũy thừa thứ hai, tức là. $\left(dx \right)^2$. Do đó chúng ta có: $dx^2+dy^2>0$, do đó, với $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ chúng ta nhận được $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Trả lời: tại điểm $(-1;-3)$ hàm có mức tối thiểu có điều kiện, $z_(\min)=-10$. Tại điểm $(1;3)$ hàm có mức tối đa có điều kiện, $z_(\max)=10$
Ví dụ số 2
Tìm cực trị có điều kiện của hàm $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ trong điều kiện $x+y=0$.
Phương pháp đầu tiên (Phương pháp nhân Lagrange)
Biểu thị $\varphi(x,y)=x+y$, chúng ta soạn hàm Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(aligned) \right. $$
Sau khi giải hệ, chúng ta nhận được: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ và $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Chúng ta có hai điểm dừng: $M_1(0;0)$ và $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Chúng ta hãy tìm hiểu bản chất của cực trị tại mỗi điểm dừng bằng cách sử dụng định thức $H$.
$$H=\trái| \begin(mảng) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \trái| \begin(mảng) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
Tại điểm $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, do đó tại thời điểm này hàm có mức tối đa có điều kiện, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Chúng ta nghiên cứu bản chất của cực trị tại mỗi điểm bằng một phương pháp khác, dựa trên dấu của $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Từ phương trình kết nối $x+y=0$ chúng ta có: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Vì $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, nên $M_1(0;0)$ là điểm tối thiểu có điều kiện của hàm $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Tương tự, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Cách thứ hai
Từ phương trình kết nối $x+y=0$ ta có: $y=-x$. Thay $y=-x$ vào hàm $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, chúng ta thu được một số hàm của biến $x$. Hãy biểu thị hàm này là $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Như vậy, ta đã rút gọn bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến thành bài toán xác định cực trị của hàm một biến.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$
Chúng tôi đã nhận được điểm $M_1(0;0)$ và $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Nghiên cứu sâu hơn được biết đến từ quá trình tính toán vi phân các hàm một biến. Bằng cách xét dấu của $u_(xx)^("")$ tại mỗi điểm dừng hoặc kiểm tra sự thay đổi dấu của $u_(x)^(")$ tại các điểm tìm được, ta thu được kết luận tương tự như khi giải theo cách 1. Ví dụ ta sẽ kiểm tra dấu $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Vì $u_(xx)^("")(M_1)>0$, nên $M_1$ là điểm tối thiểu của hàm $u(x)$ và $u_(\min)=u(0)=0 $ . Vì $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Các giá trị của hàm $u(x)$ cho một điều kiện kết nối nhất định trùng với các giá trị của hàm $z(x,y)$, tức là. cực trị tìm được của hàm $u(x)$ là cực trị có điều kiện tìm kiếm của hàm $z(x,y)$.
Trả lời: tại điểm $(0;0)$ hàm có mức tối thiểu có điều kiện, $z_(\min)=0$. Tại điểm $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ hàm có mức cực đại có điều kiện, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Hãy xem xét một ví dụ khác trong đó chúng ta sẽ làm rõ bản chất của cực trị bằng cách xác định dấu của $d^2F$.
Ví dụ số 3
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $z=5xy-4$ nếu các biến $x$ và $y$ dương và thỏa mãn phương trình ghép $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Hãy soạn hàm Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Hãy tìm điểm dừng của hàm Lagrange:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right. $$
Tất cả các phép biến đổi tiếp theo được thực hiện có tính đến $x > 0; \; y > 0$ (điều này được chỉ định trong báo cáo vấn đề). Từ phương trình thứ hai, chúng ta biểu thị $\lambda=-\frac(5x)(y)$ và thay thế giá trị tìm thấy vào phương trình đầu tiên: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Thay $x=2y$ vào phương trình thứ ba, chúng ta nhận được: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
Vì $y=1$, nên $x=2$, $\lambda=-10$. Chúng ta xác định bản chất của cực trị tại điểm $(2;1)$ dựa trên dấu của $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Vì $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, nên:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Về nguyên tắc, ở đây bạn có thể thay thế ngay tọa độ của điểm dừng $x=2$, $y=1$ và tham số $\lambda=-10$, thu được:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Tuy nhiên, trong các bài toán khác về cực trị có điều kiện có thể có một số điểm dừng. Trong những trường hợp như vậy, tốt hơn là biểu diễn $d^2F$ ở dạng tổng quát, sau đó thay thế tọa độ của từng điểm dừng tìm thấy vào biểu thức thu được:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Thay $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, ta có:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Vì $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Trả lời: tại điểm $(2;1)$ hàm có mức tối đa có điều kiện, $z_(\max)=6$.
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xem xét việc áp dụng phương pháp Lagrange cho hàm hơn biến.
Phương pháp nhânLagrange(trong tài liệu tiếng Anh “Phương pháp số nhân không xác định của LaGrange”) ˗ là một phương pháp số để giải các bài toán tối ưu hóa cho phép bạn xác định cực trị “có điều kiện” hàm mục tiêu(giá trị tối thiểu hoặc tối đa)
với sự có mặt của các hạn chế được chỉ định đối với các biến của nó ở dạng đẳng thức (nghĩa là phạm vi các giá trị cho phép được xác định)
˗ đây là các giá trị của đối số hàm ( thông số được kiểm soát) trên miền thực tại đó giá trị của hàm có xu hướng đạt cực trị. Việc sử dụng tên cực trị “có điều kiện” là do một điều kiện bổ sung được áp đặt cho các biến, điều này giới hạn phạm vi giá trị cho phép khi tìm kiếm cực trị của hàm.
Phương pháp nhân tử Lagrange cho phép chuyển bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm mục tiêu trên một tập hợp các giá trị chấp nhận được thành bài toán tối ưu vô điều kiện của hàm.
Trường hợp các hàm 
Và 
là liên tục cùng với đạo hàm riêng của chúng thì tồn tại các biến λ không đồng thời bằng 0 thỏa mãn điều kiện sau:
Do đó, theo phương pháp nhân tử Lagrange, để tìm cực trị của hàm mục tiêu trên tập hợp các giá trị được chấp nhận, tôi soạn hàm Lagrange L(x, λ), được tối ưu hóa hơn nữa:
trong đó λ ˗ là vectơ của các biến bổ sung được gọi là số nhân Lagrange không xác định.
Như vậy, bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm f(x) đã được quy giản thành bài toán tìm cực trị vô điều kiện của hàm L(x, λ).
Và 
Điều kiện cần để đạt cực trị của hàm Lagrange được cho bởi hệ phương trình (hệ phương trình gồm các phương trình “n + m”):
Việc giải hệ phương trình này cho phép xác định các đối số của hàm (X) mà tại đó giá trị của hàm L(x, λ), cũng như giá trị của hàm đích f(x) tương ứng với cực trị.
Độ lớn của các nhân tử Lagrange (λ) được quan tâm trong thực tế nếu các ràng buộc được trình bày dưới dạng với một số hạng tự do trong phương trình (hằng số). Trong trường hợp này, chúng ta có thể xem xét thêm (tăng/giảm) giá trị của hàm mục tiêu bằng cách thay đổi giá trị của hằng số trong hệ phương trình. Do đó, hệ số nhân Lagrange đặc trưng cho tốc độ thay đổi ở mức cực đại của hàm mục tiêu khi hằng số giới hạn thay đổi.
Có một số cách để xác định bản chất của cực trị của hàm kết quả:
Phương pháp thứ nhất: Gọi là tọa độ điểm cực trị và là giá trị tương ứng của hàm mục tiêu. Một điểm gần điểm được lấy và giá trị của hàm mục tiêu được tính:
Nếu như 
, thì tại điểm đó có cực đại.
Nếu như 
, thì có điểm cực tiểu tại điểm đó.
Phương pháp thứ hai: Điều kiện đủ để xác định bản chất của cực trị là dấu vi phân bậc hai của hàm Lagrange. Vi phân thứ hai của hàm Lagrange được định nghĩa như sau:
Nếu ở điểm nhất định 
tối thiểu, nếu như 
, thì hàm mục tiêu f(x) có điều kiện tối đa.
Phương pháp thứ ba: Ngoài ra, bản chất của cực trị của hàm có thể được xác định bằng cách xem xét hàm Hessian của hàm Lagrange. Ma trận Hessian là ma trận đối xứng Ma trận vuôngđạo hàm riêng bậc hai của hàm tại điểm mà tại đó các phần tử ma trận đối xứng qua đường chéo chính.
Để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu của hàm), bạn có thể sử dụng quy tắc Sylvester:
1. Để vi phân bậc hai của hàm Lagrange mang dấu dương 
điều cần thiết là các góc nhỏ của hàm số phải dương. Trong những điều kiện như vậy, hàm số tại điểm này có giá trị cực tiểu.
2. Để vi phân bậc hai của hàm Lagrange âm 
, điều cần thiết là các phần tử góc của hàm xen kẽ nhau và phần tử đầu tiên của ma trận phải là số âmv. Trong điều kiện như vậy, hàm số tại điểm này có giá trị cực đại.
Với góc nhỏ chúng ta muốn nói đến phần nhỏ nằm ở k hàng và k cột đầu tiên của ma trận ban đầu.
Ý nghĩa thực tế chính của phương pháp Lagrange là nó cho phép bạn chuyển từ tối ưu hóa có điều kiện sang tối ưu hóa vô điều kiện và theo đó, mở rộng kho phương pháp có sẵn để giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, bài toán giải hệ phương trình mà phương pháp này rút gọn trong trường hợp tổng quát không đơn giản hơn vấn đề ban đầu tìm kiếm cực trị. Những phương pháp như vậy được gọi là gián tiếp. Việc sử dụng chúng được giải thích là do nhu cầu thu được lời giải cho một bài toán cực trị ở dạng phân tích (ví dụ, đối với một số phép tính lý thuyết nhất định). Khi giải quyết cụ thể vấn đề thực tế Các phương pháp trực tiếp thường được sử dụng, dựa trên các quá trình tính toán và so sánh lặp đi lặp lại các giá trị của các hàm được tối ưu hóa.
Phương pháp tính toán
1 bước: Ta xác định hàm Lagrange từ hàm mục tiêu và hệ ràng buộc đã cho:
Phía trước
Để thêm bình luận của bạn vào bài viết, vui lòng đăng ký trên trang web.
|
Phương pháp Lagrange─ là một phương pháp giải bài toán tối ưu hóa có ràng buộc trong đó các ràng buộc, được viết dưới dạng hàm ẩn, được kết hợp với hàm mục tiêu dưới dạng một phương trình mới gọi là Lagrange.
Hãy xem xét trương hợp đặc biệt nhiệm vụ chung lập trình phi tuyến:
Cho hệ phương trình phi tuyến (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của hàm số (2)
(2) f(x1,x2,…,xn),
nếu không có điều kiện để các biến không âm và f(x1,x2,…,xn) và gi(x1,x2,…,xn) là các hàm số liên tục cùng với đạo hàm riêng của chúng.
Để tìm lời giải cho bài toán này, bạn có thể áp dụng phương pháp sau: 1. Nhập tập hợp các biến λ1, λ2,…, λm, gọi là bộ nhân Lagrange, soạn hàm Lagrange (3)
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. Tìm đạo hàm riêng của hàm Lagrange theo các biến xi và λi và cho chúng bằng 0.
3. Giải hệ phương trình, tìm điểm cực trị của hàm mục tiêu của bài toán.
4. Trong số các điểm nghi ngờ không phải là cực trị, hãy tìm những điểm đạt đến cực trị và tính giá trị của hàm tại các điểm này .
4. So sánh các giá trị thu được của hàm f và chọn giá trị tốt nhất.
Theo kế hoạch sản xuất, công ty cần sản xuất 180 sản phẩm. Những sản phẩm này có thể được sản xuất theo hai cách công nghệ. Khi sản xuất sản phẩm x1 bằng phương pháp I, chi phí là 4*x1+x1^2 rúp và khi sản xuất sản phẩm x2 bằng phương pháp II, chi phí là 8*x2+x2^2 rúp. Xác định số lượng sản phẩm sẽ được sản xuất bằng mỗi phương pháp sao cho tổng chi phí sản xuất là tối thiểu.
Giải: Công thức toán học của bài toán bao gồm việc xác định giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, với điều kiện x1 +x2 = 180.
Hãy soạn hàm Lagrange:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Hãy tính đạo hàm riêng của nó theo x1, x2, λ và cho chúng bằng 0:
Hãy di chuyển λ sang vế phải của hai phương trình đầu tiên và đánh đồng vế trái của chúng, chúng ta nhận được 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, hoặc x1 − x2 = 2.
Giải phương trình cuối cùng với phương trình x1 + x2 = 180, ta tìm được x1 = 91, x2 = 89, tức là ta thu được nghiệm thỏa mãn điều kiện:
Hãy tìm giá trị của hàm mục tiêu f cho các giá trị này của các biến:
F(x1, x2) = 17278
Điểm này đáng nghi ngờ đối với một điểm cực đoan. Sử dụng đạo hàm riêng bậc hai, chúng ta có thể chỉ ra rằng tại điểm (91,89) hàm f đạt cực tiểu.
1.9 Phương pháp nhân tử không xác định Lagrange
Đương nhiên, việc giải các bài toán tối ưu có điều kiện khó hơn nhiều so với việc giải các bài toán tối ưu vô điều kiện. Điều tự nhiên là cố gắng chuyển bài toán tối ưu hóa có điều kiện (tìm cực trị tương đối) thành bài toán đơn giản hơn là tối ưu hóa vô điều kiện (tìm cực trị tuyệt đối). Quá trình này được thực hiện theo phương pháp Lagrange. Hãy xem xét bản chất của phương pháp này.
Cần tìm cực trị có điều kiện của hàm phi tuyến
n biến, với m giới hạn
(1.56)
Các ràng buộc bất đẳng thức được chuyển thành các đẳng thức và các số hạng tự do được chuyển sang vế trái của các ràng buộc, tức là hệ (1.56) được rút gọn về dạng
(1.57)
Theo phương pháp Lagrange, thay vì tìm cực trị tương đối của hàm (1.55) theo giới hạn (1.57), người ta tìm cực trị tuyệt đối của hàm Lagrange, có lượt xem tiếp theo:
Ở đâu - yếu tố không xác định Lagrange, giống như các biến, là các biến được tìm kiếm.
Có thể thấy, hàm Lagrange bao gồm hàm mục tiêu cộng với mỗi ràng buộc nhân với hệ số nhân Lagrange.
Người ta đã chứng minh rằng cực trị tương đối của hàm mục tiêu (1.55) theo ràng buộc (1.57) trùng với cực trị tuyệt đối của hàm Lagrange (1.58).
Việc tìm kiếm cực trị tuyệt đối của hàm (1.58) được thực hiện bằng các phương pháp đã biết. Cụ thể, đạo hàm riêng của hàm Lagrange được xác định và đặt bằng 0:
(1.59)
M phương trình cuối cùng thể hiện các ràng buộc (1.57) của bài toán tối ưu hóa.
Hệ (1.59) chứa các phương trình (m+n) và cùng số ẩn số.
Hệ giải (1.59) sẽ cho tọa độ cực tiểu tuyệt đối của hàm Lagrange (1.58) hoặc cực tiểu tương đối của hàm mục tiêu (1.55) theo giới hạn (1.57).
Việc giải hệ (1.59) được thực hiện bằng các phương pháp toán học tính toán nổi tiếng. Nếu hệ (1.59) là tuyến tính thì phương pháp Gaussian thường được sử dụng. Nếu hệ (1.59) là phi tuyến – phương pháp Newton.
1.10 Lựa chọn phương pháp tối ưu hóa
Trước khi chọn phương pháp tối ưu hóa, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích ngắn gọn về các vấn đề mà phần mềm đang được phát triển cần giải quyết:
chương trình phải giải quyết vấn đề giảm thiểu có điều kiện, tức là tìm cực trị tương đối, vì trong mô hình toán học ngoài các hạn chế tuyến tính, các hạn chế phi tuyến cũng sẽ xảy ra;
vì hàm mục tiêu là hàm của nhiều biến nên nó có thể có một số cực trị, trong trường hợp đó chương trình phải tìm kiếm mức tối thiểu cục bộ.
Sau khi phân tích các phương pháp tối ưu hóa được sử dụng phổ biến nhất, để đạt được mục tiêu này, phương pháp gradient của quy hoạch bậc hai đã được chọn, đây là phương pháp hiệu quả nhất trong các phương pháp gradient trên, được sửa đổi bằng phương pháp xấp xỉ đa thức.
Người ta giả định rằng hàm mục tiêu và các điều kiện biên được tính gần đúng bằng các phụ thuộc bậc hai hoặc đa thức bậc hai. Phương pháp này sẽ được thảo luận chi tiết hơn sau trong phần “Phát triển”. phần mềm phương pháp tối ưu hóa”.
Phương pháp này cho phép bạn tạo chương trình đáng tin cậy, đáp ứng được tất cả các yêu cầu trên.
2. Phát triển phương pháp tối ưu hóa cho nốt Rê điện năng hoạt động
Tổng công suất của các thiết bị bù cần thiết trong hệ thống điện (EPS) được xác định từ phương trình cân bằng công suất phản kháng (6.1). Sức mạnh này phải được đặt trong các nút mạng lưới điện Với chi phí tối thiểu.
tổng công suất phản kháng được tạo ra trong EPS là bao nhiêu, bao gồm cả công suất phản kháng đến từ EPS lân cận;
Tổng công suất phản kháng của các hộ tiêu thụ EPS, bao gồm cả công suất phản kháng cung cấp cho các EPS lân cận;
Tổng công suất phản kháng nhu cầu riêng của các nhà máy điện;
Tổng tổn thất công suất phản kháng;
Tổng công suất phản kháng tiêu thụ tính theo EPS.
Hãy xem xét sơ đồ đơn giản nhất mạng hiện có(Hình 2.1). từ nguồn điện có điện áp U, qua điện trở R của mạng, tải được cấp nguồn S=P+jQ. Một thiết bị bù có công suất Qk được lắp đặt trên các thanh cái tải.
Hình 2.1 – Sơ đồ đơn giản nhất bù công suất phản kháng
Tổn thất điện năng tác dụng trên đường dây nếu hộ tiêu thụ không có thiết bị bù () là
. (2.2)
Khi lắp đặt thiết bị bù () tại hộ tiêu thụ, những tổn thất này sẽ giảm xuống giá trị
. (2.3)
Do đó, bù công suất phản kháng giúp giảm tổn thất công suất tác dụng trong mạch cấp điện và do đó cải thiện các chỉ số kinh tế và kỹ thuật của mạch này.
Hãy đánh giá tác động của CG đến chi phí mạng.
Biểu thức tính tổng chi phí truyền tải điện tới tải khi lắp đặt bộ trao đổi nhiệt sẽ có dạng:
(2.4)
trong đó ZK – chi phí cho CG;
соΔР – chi phí bù đắp tổn thất điện năng tác dụng trên mạng;
с – chi phí trên một đơn vị công suất tác dụng bị mất;
зк – đơn giá cho CG.
Để xác định mức tối thiểu của hàm 3, chúng ta đánh đồng đạo hàm của biến QK bằng 0:
(2.5)
Từ (2.5) xác định được công suất phản kháng khả thi về mặt kinh tế, việc truyền công suất phản kháng từ nguồn tới hộ tiêu thụ tương ứng với chi phí tối thiểu
(2.6)
Giá trị của QE không phụ thuộc vào công suất tác dụng P mà chỉ phụ thuộc vào tỷ số giữa các chỉ số chi phí zk và co và các tham số của mạng U và R mà công suất được truyền qua đó.
Bài toán đặt các thiết bị bù trong mạng điện của EPS thực là một bài toán tối ưu hóa phức tạp. Thách thức đặt ra là hệ thống điện là những hệ thống lớn được tạo thành từ các hệ thống con được kết nối với nhau. Không thể xem xét từng hệ thống con riêng lẻ vì các thuộc tính hệ thống lớnđược xác định bởi bản chất của mối quan hệ qua lại giữa các hệ thống con riêng lẻ.
Khi phân tích các hệ thống lớn, nó được sử dụng phương pháp tiếp cận hệ thống, theo đó việc phân tích hệ thống lớnđược thực hiện khi chia nó thành các hệ thống con không liên quan trực tiếp với nhau mà ảnh hưởng lẫn nhau thông qua hệ thống nhiều hơn. cấp độ cao.
Liên quan đến vấn đề đang được xem xét, mạng lưới điện dường như ở các cấp độ khác nhau, như thể hiện trong hình. 2.2. cấp trên là mạng điện có cấp điện áp từ 110 kV trở lên. Mạng điện phức tạp này, được biểu diễn bằng một mạch tương đương hoàn chỉnh, được hiển thị trong Hình 2.2 theo quy ước là ES1. Công suất phản kháng được tạo ra bởi máy phát điện của nhà máy điện QES, thiết bị bù QK, đường dây điện QС, cũng như công suất phản kháng chạy qua các kết nối với ES2 và ES3 lân cận (Q12, Q21, Q13, Q31) cung cấp công suất phản kháng sẵn có Qр1 trong ES1.
Hình 2.2 – Bố trí bộ điều khiển trong mạng điện
Cấp độ thứ hai là tập hợp n mạng phân phối cục bộ mở có điện áp từ 35 kV trở xuống, được kết nối với n nút của mạng điện cấp cao nhất thông qua máy biến áp T. Các mạng phân phối cục bộ này không được kết nối trực tiếp với nhau mà ảnh hưởng lẫn nhau thông qua mạng cấp trên. Máy phát điện đồng bộ, bộ bù và động cơ trong mỗi loại như vậy mạng lưới phân phốiđược biểu thị bằng một máy điện đồng bộ tương đương G. Các hộ tiêu thụ điện áp thấp P+jQ được cấp điện từ mạng điện cục bộ thông qua máy biến áp phân phối T1.
Các thiết bị bù có thể được lắp đặt trên các bus cao áp (jQkv) và hạ áp (jQks) của máy biến áp T, cũng như trên các bus 0,4 kV của máy biến áp phân phối T1 và trong chính mạng 0,4 kV (jQkn). Giá trị công suất của các HRSG này có thể được xác định.
Nhìn chung, bài toán tối ưu hóa vị trí đặt CP được xây dựng như sau: xác định công suất phản kháng có sẵn trong các nút 6...35 kV máy đồng bộ G, công suất của bộ trao đổi nhiệt trong mạng ở mọi điện áp Qkv, Qks, Qkn, cũng như các giá trị công suất phản kháng Qеi (i=1, 2, …n) được truyền đến mạng tiêu dùng, tại đó mức tối thiểu tổng chi phí được đảm bảo.
Việc tính toán bù công suất phản kháng cho các loại mạng được thực hiện cả khi thiết kế phát triển mạng điện và trong điều kiện vận hành của chúng. Trong quá trình thiết kế, công suất của bộ trao đổi nhiệt được xác định và vấn đề phân phối chúng trong mạng điện được giải quyết. Trong điều kiện hoạt động, các chế độ tối ưu của HRSG hiện tại được xác định trong ngày. Tiêu chí tối ưu trong trường hợp này là tổn thất năng lượng và công suất tối thiểu cũng như sự tuân thủ độ lệch điện áp. giá trị chấp nhận được.
Theo quy luật, khi thiết kế mạch cấp nguồn, chi phí bằng tiền của mạch này sẽ được giảm thiểu. Giảm tổn thất điện năng bằng cách lắp đặt bộ trao đổi nhiệt giúp giảm chi phí mạch điện vì những lý do sau:
mỗi kW điện năng bị mất phải được tạo ra tại các nhà máy điện và do đó được sử dụng cho nó tiền mặt;
Việc tạo ra công suất phản kháng bị mất ở các nhà máy điện đắt hơn nhiều so với mức tiêu thụ (gấp 3 lần!).
Tuy nhiên, thiết bị bù cũng đòi hỏi chi phí tài chính.
Về vấn đề này, vấn đề nảy sinh là xác định công suất tối ưu của các thiết bị bù đáp ứng tổng chi phí tối thiểu. Vấn đề này thuộc về vấn đề tối ưu hóa không bị ràng buộc và có thể được giải quyết, ví dụ, bằng phương pháp gradient.
Hãy xem xét vấn đề như vậy đối với mạch cấp nguồn chính (Hình 2.3). Cần xác định công suất của các thiết bị bù QK1 và QK2 trong nút 1 và 2 dựa trên điều kiện tổng chi phí tối thiểu để lắp đặt các thiết bị này và bù đắp tổn thất điện năng tác dụng trong mạch.
Hình 2.3 – Sơ đồ cấp nguồn
Dữ liệu ban đầu:
điện áp mạch U;
điện trở đường dây R1 và R2;
tải phản kháng của nút 1 và 2 Q1 và Q2;
chi phí cụ thể cho việc lắp đặt thiết bị bù zo;
chi phí cụ thể để bù đắp tổn thất điện năng tác dụng c.
Hàm mục tiêu, biểu thị tổng chi phí lắp đặt các thiết bị bù và bù đắp tổn thất điện năng tác dụng trong mạch, có dạng sau
trong đó a1=R1∙co∙10-3/U2=0,0006;
a2=R2∙co∙10-3/U2=0,0004.
Việc đưa ra hệ số 10-3 là cần thiết để đưa tất cả các thành phần của hàm mục tiêu về một chiều (cu).
Để giải bài toán ta chọn phương pháp hạ tọa độ. Hãy xác định đạo hàm riêng của hàm mục tiêu Z theo các biến Q1 và Q2:
(2.8)
Hãy lấy xấp xỉ ban đầu:
Đối với các giá trị này, chúng tôi tính toán các giá trị của hàm mục tiêu và đạo hàm riêng của nó.
Giả sử rằng theo hướng của biến Qk2, hàm mục tiêu Z giảm mạnh hơn theo hướng của biến Qk1, tức là.
(2.10)
Theo hướng của biến Qk2, chúng ta sẽ bắt đầu đi xuống.
Hãy lấy kích thước bước = 400 kvar. Phép tính gần đúng đầu tiên (bước đầu tiên) sẽ là Qk11=0, Qk21=400 kvar. Chúng ta tính giá trị của hàm mục tiêu Z1.
Bước thứ hai: Qk12=0, Qk22=400 kvar. Chúng ta tính giá trị của hàm mục tiêu Z2.
Việc giảm dọc theo tọa độ Qk2 sẽ tiếp tục cho đến khi Zn Hãy thực hiện một bước mới theo hướng biến Qk1 khác. Một giá trị mới của hàm mục tiêu Z được tìm thấy. Quá trình giảm dần dọc theo biến này tiếp tục theo hướng tương tự như theo hướng Qk2 - cho đến khi Zm Điểm có tọa độ thu được Qk1m-1, Qk2n-1 nằm ở vùng lân cận cực tiểu của hàm mục tiêu Z. Với độ dài bước được chấp nhận = 400kvar thì không thể thu được lời giải chính xác hơn. Để có được lời giải chính xác hơn, cần giảm bước và tiếp tục đi xuống. Điều hoàn toàn chắc chắn là bước càng nhỏ thì kết quả sẽ càng chính xác. Chúng tôi không thể đạt được độ chính xác như vậy thông qua tính toán thủ công. Để giải quyết vấn đề này, nên sử dụng phần mềm được thiết kế để giải các bài toán quy hoạch phi tuyến với các ràng buộc phi tuyến. Một ngôn ngữ lập trình như vậy là C++. Đây được coi là một vấn đề tối ưu hóa không bị ràng buộc, tức là tìm mức tối thiểu tuyệt đối. Khi giải bài toán đặt ra, để tìm được phương thức vận hành tối ưu cho mạng lưới Công trình Gang thép OJSC Ilyich cần phải tìm một mức tối thiểu tương đối, vì hệ các giới hạn sẽ có dạng phi tuyến (xem bên dưới “Phát triển phần mềm”. ”). Vì vậy, chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ tối ưu hóa có điều kiện cho công suất phản kháng, trong đó chúng ta sử dụng phương pháp lập trình bậc hai gradient đã chọn trước đó.
Thông tin về công trình “Phân tích các phương thức vận hành mạng điện của OJSC Ilyich Gang thép và phát triển hệ thống điều khiển thích ứng các phương thức tiêu thụ điện năng” Các sinh viên, nghiên cứu sinh, các nhà khoa học trẻ sử dụng nền tảng kiến thức trong học tập và công việc sẽ rất biết ơn các bạn. Cao đẳng Luật Chelyabinsk KHÓA HỌC trong môn học “Phương pháp toán học” Phương pháp nhân Lagrange Sinh viên gr. PO-3-05, Vụ Luật và Công nghệ thông tin Người giám sát N.R. Khabibullina Chelyabinsk Giới thiệu 1. Xây dựng mô hình 2. Vấn đề Lagrange. Cực đoan vô điều kiện và có điều kiện 3. Bài toán Lagrange với một ràng buộc 4. Ý nghĩa của số nhân Lagrange 4.1. Định lý Lagrange 4. 2. Phương pháp nhân Lagrange 4.3. Phương pháp nhân tử không xác định Lagrange 4.4. trường hợp hai chiều Phần kết luận Danh sách tài liệu được sử dụng Giới thiệu Phương pháp Lagrange dựa trên một số ý tưởng chính. Một trong số đó là làm thế nào để tìm mức tối thiểu của hàm nếu một số hạn chế được áp đặt lên hàm. Kỹ thuật này ngày nay được gọi là “Quy tắc số nhân Lagrange” Chủ đề này có liên quan trong thời hiện đại vì phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để giải các bài toán quy hoạch phi tuyến phát sinh trong nhiều lĩnh vực (ví dụ như trong kinh tế). Một vị trí quan trọng trong bộ máy toán học của kinh tế học là các bài toán tối ưu - những bài toán mà giải pháp tốt nhất theo một nghĩa nào đó được tìm kiếm. Trong thực tiễn kinh tế, cần phải sử dụng các nguồn lực sẵn có một cách có lợi nhất. Trong lý thuyết kinh tế, một trong những điểm khởi đầu là định đề cho rằng mỗi chủ thể kinh tế, có quyền tự do nhất định trong việc lựa chọn hành vi của mình, sẽ tìm kiếm phương án tốt nhất theo quan điểm của mình. Và các bài toán tối ưu hóa được dùng như một phương tiện mô tả hành vi của các thực thể kinh tế, một công cụ để nghiên cứu các mô hình của hành vi này. 1. Xây dựng mô hình Để hình thành vấn đề, cần phân tích hệ thống, nghiên cứu các tính năng của nó và các phương pháp điều khiển hệ thống khả thi. Sơ đồ được xây dựng từ kết quả phân tích như vậy là mô hình hình ảnh hoặc mô hình tương tự. Vì vậy, giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng mô hình được thực hiện trong quá trình hình thành bài toán. Sau khi phân tích hệ thống như vậy, danh sách các lựa chọn khác nhau cho các giải pháp cần được đánh giá sẽ được làm rõ. Sau đó, các thước đo về hiệu quả tổng thể của các lựa chọn này sẽ được xác định. Do đó, bước tiếp theo là xây dựng một mô hình trong đó hiệu quả của hệ thống có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của các biến xác định hệ thống. Một số biến này có thể được thay đổi trong hệ thống thực, nhưng các biến khác thì không thể thay đổi. Chúng tôi gọi những biến số có thể thay đổi đó là “có thể kiểm soát được”. Các phương án khác nhau để giải quyết vấn đề phải được thể hiện bằng cách sử dụng các biến được kiểm soát. Việc xây dựng mô hình toán học (ký hiệu) của một hệ thống có thể được bắt đầu bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của hệ thống ảnh hưởng đến hiệu quả của hệ thống. Nếu “tổng chi phí dự kiến” được sử dụng làm thước đo hiệu quả tổng thể thì người ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra mô hình hình ảnh hoặc mô hình tương tự thu được ở giai đoạn hình thành vấn đề. Bạn có thể chọn các hoạt động và vật liệu mà chi phí nhất định được ấn định. Trong trường hợp này, ví dụ, chúng tôi nhận được danh sách ban đầu sau: Chi phí sản xuất: a) Giá mua nguyên liệu thô; b) chi phí vận chuyển nguyên liệu thô; c) chi phí tiếp nhận nguyên liệu thô; d) chi phí bảo quản nguyên liệu thô; e) chi phí lập kế hoạch sản xuất; f) chi phí điều chỉnh trong xưởng; g) chi phí của quá trình xử lý; h) chi phí lưu kho trong quá trình sản xuất; i) chi phí hoàn thiện sản xuất và chuyển thành phẩm về kho; j) chi phí phân tích kết quả công việc của nhóm lập kế hoạch; k) chi phí bảo quản thành phẩm. Chi phí bán hàng. Chi phí chung. Nhiều bài toán tối ưu hóa được phát biểu như sau. Quyết định mà chủ thể phải đưa ra được mô tả bằng tập hợp các số x 1, x 2,..., xn (hoặc điểm X = (x 1, x 2,..., x n) của không gian n chiều). Giá trị của một giải pháp cụ thể được xác định bởi các giá trị của hàm f(X) = f(x 1, x 2,…,x n) -- hàm mục tiêu. Lời giải tốt nhất là điểm X mà tại đó hàm f(X) có giá trị cao nhất. Bài toán tìm điểm như vậy được mô tả như sau: Từ những phương án nào nên chọn phương án tốt nhất? Nói cách khác, trong số những điểm nào trong không gian chúng ta nên tìm điểm tối ưu. Câu trả lời cho câu hỏi này liên quan đến một yếu tố của bài toán tối ưu hóa như tập hợp các giải pháp khả thi. Trong một số bài toán, tổ hợp số x 1, x 2,..., x n nào cũng đúng, tức là tập phương án khả thi là toàn bộ không gian đang xét. Trong các bài toán khác, các ràng buộc khác nhau phải được tính đến, nghĩa là không phải tất cả các điểm trong không gian đều có sẵn để lựa chọn. Trong các công thức có ý nghĩa của các vấn đề, điều này có thể là do, ví dụ, do số lượng nguồn lực sẵn có có hạn. Các ràng buộc có thể được trình bày dưới dạng các đẳng thức có dạng hoặc bất bình đẳng Nếu các điều kiện có dạng hơi khác một chút, chẳng hạn như g 1 (X) = g 2 (X) hoặc g (X) A, thì chúng có thể được đưa về dạng chuẩn bằng cách chuyển chúng sang các hàm và hằng số ở một trong các phần về sự bình đẳng hoặc bất bình đẳng. Điểm cực trị tìm thấy trong toàn bộ không gian, không có điều kiện giới hạn nào, được gọi là vô điều kiện. Nếu hàm mục tiêu khả vi liên tục thì điều kiện cần để đạt cực trị vô điều kiện của hàm là tất cả các đạo hàm riêng của nó đều bằng 0: Nếu các hạn chế được xác định thì cực trị chỉ được tìm kiếm trong số các điểm thỏa mãn tất cả các hạn chế của bài toán, vì chỉ những điểm đó mới được chấp nhận. Trong trường hợp này, cực trị được gọi là có điều kiện. Xét bài toán tìm cực trị có điều kiện: trong điều kiện (2) g 1 (X) = 0; g 2 (X) = 0, ..., g n (X) = 0, tất cả những ràng buộc của nó là sự bình đẳng. Nếu hàm mục tiêu và tất cả các hàm giới hạn khả vi liên tục thì chúng ta sẽ gọi bài toán đó là Vấn đề Lagrange. Hãy xem một ví dụ. Có một con đường dọc theo sườn núi, bạn cần tìm điểm cao nhất trên đó. Trong bộ lễ phục. 1 hiển thị bản đồ khu vực với các đường được đánh dấu trên đó chiều cao bằng nhau; đường đậm là đường. Điểm M nơi đường tiếp xúc với một vạch là điểm cao nhất của đường. Nếu X = (x 1, x 2) là điểm mật độ, x 1 và x 2 là tọa độ của nó thì bài toán có thể đưa ra dạng sau. Gọi f(X) là độ cao của điểm X so với mực nước biển và phương trình g(X) = 0 mô tả con đường. Khi đó điểm cao nhất của con đường chính là lời giải của bài toán (3). Nếu con đường đi qua đỉnh núi thì điểm cao nhất của nó sẽ là điểm cao nhất trong khu vực và có thể bỏ qua hạn chế. Nếu đường không đi qua đỉnh, thì bằng cách lệch khỏi mặt đường một chút, người ta có thể lên cao hơn so với việc di chuyển dọc theo đường. Độ lệch khỏi đường tương ứng với các điểm va chạm trong đó g(X) 0; đối với những sai lệch nhỏ, độ cao có thể đạt được có thể được coi là tỷ lệ gần đúng với sai lệch. Ý tưởng giải quyết vấn đề Lagrange có thể được trình bày như sau: bạn có thể cố gắng “sửa” địa hình sao cho việc lệch khỏi đường không mang lại lợi thế trong việc đạt được độ cao. Để làm điều này, bạn cần thay thế chiều cao f(X) bằng một hàm. L(X) = f(X) - g(X), trong đó hệ số nhân được chọn sao cho phần dốc ở vùng lân cận điểm M nằm ngang (quá nhỏ sẽ không loại bỏ được lợi ích của việc lệch khỏi đường và quá lớn sẽ mang lại lợi thế cho các sai lệch theo hướng ngược lại ). Bây giờ, vì hình nổi L(X) làm cho vùng lân cận điểm tối ưu nằm ngang, nên điểm này thỏa mãn các đẳng thức và vì điểm nằm trên đường nên ràng buộc g(X) = 0. Ví dụ về ngọn núi và con đường chỉ là một minh họa cho ý tưởng; tương tự, trường hợp hai chiều chỉ được sử dụng để làm rõ. Người ta có thể suy luận theo cách tương tự trong trường hợp n chiều tổng quát. Tuyên bố sau đây là đúng: Nếu f(x 1 ,…,x n) và g(x 1 ,…,x n) là các hàm khả vi liên tục của tất cả các đối số của chúng, thì lời giải của bài toán f(x 1,…,x n) max cho rằng g(x 1,…,xn) = 0 thỏa mãn đẳng thức L(x 1,...,x n;) = f(x 1,...,x n) - g(x 1,...,x n). Hàm L(X;) được gọi là Hàm Lagrange(hoặc Lagrange) của bài toán (3), và hệ số là hệ số Lagrange. Lưu ý rằng đẳng thức (5) là ràng buộc g(X) = 0 được trình bày dưới dạng khác. Tất nhiên, lý do trên không phải là bằng chứng cho tuyên bố được đưa ra ở đây; chúng chỉ giúp hiểu được bản chất của phương pháp: thành phần g(X) trong hàm Lagrange phải cân bằng mức tăng có thể có của giá trị cực đại của hàm g(X) từ 0. Tình huống này sẽ rất hữu ích trong tương lai khi thảo luận về ý nghĩa của số nhân Lagrange. Hãy xem xét một ví dụ cực kỳ đơn giản. Dùng dây có chiều dài A, bạn cần rào một khu vực hình chữ nhật có diện tích lớn nhất trên bờ biển (bờ biển được coi là thẳng). Hình 3. Bài toán của Dido Hãy ký hiệu các cạnh của hình chữ nhật là x 1 và x 2 (xem Hình 3). Đầu tiên chúng ta giải bài toán này mà không sử dụng phương pháp Lagrange. Rõ ràng x 2 = A - 2 x 1 và diện tích hình chữ nhật là S = x 1 x 2 = x 1 (A - 2x 1). Xem nó như một hàm của một đối số x1, không khó để tìm thấy giá trị của nó tại đó diện tích lớn nhất: x 1 = A/4. Do đó x 2 = A/2. Diện tích lớn nhất là S* = A 2/8. Bây giờ hãy xem xét bài toán tương tự dưới dạng bài toán Lagrange: cho rằng 2 x 1 + x 2 - A = 0 Lagrange của bài toán này bằng L(x 1,x 2 ;) = x 1 x 2 - (2x 1 + x 2 - A), và điều kiện cực trị có dạng 2 x 1 + x 2 = A Thay các giá trị x 1 và x 2 từ đẳng thức thứ nhất và thứ hai vào đẳng thức thứ ba, ta thấy 4 = A, từ đó A/4; x 1 = A/4; x 2 =A/2, như trong giải pháp đầu tiên. Ví dụ này cho thấy một cách phổ biến để giải bài toán Lagrange. Hệ thức (4) và (5) tạo thành hệ phương trình x 1,..., xn và,. Hệ gồm n + 1 phương trình - n phương trình dạng (4) và một phương trình dạng (5). Số lượng phương trình bằng số lượng ẩn số. Từ các phương trình dạng (4), bạn có thể thử biểu diễn từng ẩn x 1,..., x 2 thông qua, tức là giải nó dưới dạng hệ n phương trình, coi nó như một tham số. Thay thế các biểu thức thu được vào phương trình (5) - chúng ta biết rằng nó trùng với ràng buộc - chúng ta thu được phương trình tương đối. Bằng cách giải nó, họ tìm thấy nó, sau đó xác định được các ẩn số ban đầu x 1,..., xn. 4. Ý nghĩa của số nhân Lagrange Khi giải bài toán Lagrange, ta quan tâm đến các giá trị x 1,..., xn; Ngoài ra, chúng ta có thể quan tâm đến giá trị cực trị của hàm mục tiêu f(X). Nhưng trong quá trình giải, giá trị của một đại lượng khác đã được xác định đồng thời - hệ số nhân Lagrange. Hóa ra hệ số nhân Lagrange là một đặc tính rất quan trọng của bài toán đang được giải. Để làm cho ý nghĩa của nó rõ ràng hơn, chúng ta hãy thay đổi một chút cách diễn đạt của hạn chế mà không thay đổi bất cứ điều gì về bản chất. Một tình huống kinh tế điển hình được đặc trưng bởi thực tế là người ta phải tìm kiếm giải pháp có lợi nhất với số lượng hạn chế của một nguồn lực nhất định. Nếu r là một lượng tài nguyên nhất định và hàm h(X) mô tả lượng cần thiết để đạt đến điểm X, thì việc đưa ra ràng buộc có dạng là điều tự nhiên Với bản chất của vấn đề, rõ ràng là để đạt được mức tối ưu, nguồn lực phải được sử dụng đầy đủ, do đó ràng buộc có thể được viết là Điều kiện này có thể được biểu diễn dưới dạng g(X) = h(X) - r = 0. Nhưng điều đáng quan tâm là mức tối đa có thể đạt được của hàm f(x) tùy thuộc vào lượng tài nguyên r sẵn có. Hãy biểu thị F(r) = tối đa f(X) h(X) = r. Ở bên phải là ký hiệu được chấp nhận cho cực trị có điều kiện: điều kiện được viết sau đường thẳng đứng. Chúng ta hãy nhớ lại rằng khi thảo luận về cấu trúc của hàm Lagrangian, chúng ta đã hiểu g(X) là một thành phần cân bằng mức tăng có thể có của f(X) cực đại khi g(X) lệch khỏi 0. Nhưng độ lệch của g(X) so với 0 là độ lệch của h(X) so với r. Nếu lượng tài nguyên sẵn có tăng thêm r thì chúng ta kỳ vọng giá trị lớn nhất của hàm f(X) sẽ tăng thêm r. Trong thực tế, tỷ lệ này là gần đúng. Chúng ta sẽ nhận được kết quả chính xác ở giới hạn ở r 0: Do đó, hệ số nhân Lagrange đặc trưng cho tốc độ thay đổi ở mức cực đại của hàm mục tiêu khi hằng số giới hạn r trong ràng buộc của dạng (6) thay đổi. Trong phiên bản của bài toán Dido được xem xét ở đoạn trước, nguồn lực có hạn là chiều dài của sợi dây A. Diện tích tối đa hóa ra bằng S(A) = A 2/8. Do đó dS(A)/dA = A/4, tương ứng chính xác với giá trị tìm được trong nghiệm. Hãy để chúng tôi đưa ra thêm một lý do. Đối với tất cả các điểm X có thể có, chúng ta tìm các giá trị của f(X) và h(X) và vẽ các giá trị này dưới dạng các điểm trong tọa độ Descartes (Hình 4). Nếu với mỗi giá trị của h(X) có cực đại của hàm f(X), thì tất cả các điểm sẽ nằm bên dưới một đường cong nhất định, được thể hiện trong hình bằng một đường đậm. Chúng ta quan tâm đến các điểm tương ứng với điều kiện h(X) = r. Điểm cực đại của f(X) được đánh dấu bằng điểm M*; Hãy biểu thị độ dốc của đường cong tại điểm này. Nếu chúng ta không lấy f(X) làm tọa độ mà lấy L(X;) = f(X) - , thì ranh giới trên mới sẽ có tiếp tuyến ngang tại điểm M*. Điều này có nghĩa là trong không gian n chiều ban đầu, điểm M tương ứng là điểm dừng của hàm L(X;) với một giá trị tham số cho trước. Do đó, là số nhân Lagrange. Nhưng đường cong dày màu đen là đồ thị của hàm F(r) và là độ dốc của nó, ngụ ý sự bằng nhau (7). 4.1 Định lý Lagrange Giả sử một hàm?(x) được cho trên mặt phẳng và một đường cong g(x) = 0. Nếu hàm?, giới hạn trong một đường cong cho trước, đạt cực tiểu hoặc cực đại tại một điểm thì các vectơ?() và g"() thẳng hàng (với điều kiện là cả hai hàm số đều có đạo hàm tại một điểm). Trong định lý tổng quát Lagrange, hàm số? không phụ thuộc vào hai mà vào n biến, và có một số hàm g(x) xác định các ràng buộc (x)=0, i=l,..., m. Chúng ta sẽ để định lý này không có bằng chứng; điều này sẽ dẫn chúng ta đi quá xa tới việc phân tích toán học. Hãy xem nó hoạt động tốt như thế nào trong việc tìm cực đại và cực tiểu. Định lý (Định luật Snell về khúc xạ ánh sáng). Hai môi trường được ngăn cách bởi một đường thẳng, trong môi trường thứ nhất tốc độ truyền ánh sáng bằng nhau và trong môi trường thứ hai - . Nếu một tia sáng rời khỏi môi trường thứ nhất một góc so với pháp tuyến và đi vào môi trường thứ hai một góc thì Bằng chứng. Đường thẳng trên mặt phẳng được cho bởi phương trình một điểm tùy ý ở đâu trên một đường thẳng, n là vectơ vuông góc với một đường thẳng. Chúng ta hãy chọn một điểm tùy ý trên chùm ánh sáng tới và một điểm trên tia khúc xạ (Hình 30). Ánh sáng luôn truyền đi theo con đường tốn ít thời gian nhất. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm một điểm x trên ranh giới của môi trường mà đại lượng?(x) = có giá trị nhỏ nhất. Chúng tôi nhận được nhiệm vụ: ?(x)=-min với điều kiện g(x) = n (x--) = 0. Theo nguyên lý Lagrange, tại điểm cực tiểu các vectơ “(x) và g”(x) thẳng hàng. Đạo hàm?(x) bằng tổng của một vectơ có độ dài 1/ và cùng hướng với vectơ x--, và một vectơ có độ dài 1/, cùng hướng với vectơ x--. Và đạo hàm g"(x) bằng vectơ n. Điều kiện cộng tuyến có nghĩa là tổng + vuông góc với đường thẳng, tức là hình chiếu của các vectơ và lên đường thẳng đều bằng nhau. Như vậy, điều cần thiết là. Chà, bây giờ chúng tôi đã sẵn sàng trình bày các giải pháp đã hứa cho các bài toán về tổng khoảng cách tối thiểu đến một điểm trên đường thẳng và đến một điểm trên mặt phẳng. 66. Bài toán về tổng khoảng cách nhỏ nhất từ k điểm trên mặt phẳng đến một điểm trên đường thẳng. Một đường thẳng và k điểm được cho trên một mặt phẳng. Tìm (hoặc mô tả) vị trí của một điểm trên một đường thẳng sao cho tổng khoảng cách đến các điểm này là nhỏ nhất. Giải pháp. Gọi l là đường thẳng đã cho và là các điểm đã cho. Hãy giải quyết vấn đề ở mức tối thiểu: ?(x) = |x--|+...+|x--|^min với điều kiện g(x) = n (x--) = 0, ở đây là một điểm tùy ý trên đường thẳng l và n là vectơ vuông góc với đường thẳng này. Chúng ta hãy biểu thị bằng một vectơ có độ dài đơn vị, cùng hướng với vectơ x--. Vậy thì?"(x)=+...+, a g"(x)=n. Theo định lý Lagrange, tại điểm cực tiểu vectơ?(x) thẳng hàng với n, nghĩa là vuông góc với đường thẳng l. Như vậy: Lời giải của bài toán là một điểm trên đường thẳng l mà tổng các hình chiếu lên đường k của các vectơ đơn vị hướng từ nó tới các điểm đã cho bằng 0. Nếu trong k điểm đã cho có ít nhất một điểm không nằm trên đường thẳng l thì bài toán có nghiệm duy nhất. Khá đơn giản để chứng minh điều này nếu bạn sử dụng kỹ thuật từ bài toán 62. Nếu k? 3, thì nói chung, một điểm như vậy không thể được xây dựng bằng la bàn và thước (tính tọa độ của nó dẫn đến một phương trình bậc cao) . Vì vậy, trong trường hợp tổng quát, chúng ta không có gì tốt hơn mô tả về điểm tối thiểu mà chúng ta đã đưa ra. Bài toán về tổng khoảng cách tối thiểu từ k điểm trong không gian đến một điểm trên mặt phẳng cho trước. Một mặt phẳng và k điểm được cho trong không gian. Tìm (hoặc mô tả) vị trí của một điểm trên mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách đến các điểm này là nhỏ nhất. Giải pháp cho vấn đề này không khác gì giải pháp trước và dẫn đến một câu trả lời tương tự: Mức tối thiểu đạt được tại điểm x của mặt phẳng, trong đó tổng các hình chiếu lên mặt phẳng của k vectơ đơn vị hướng từ x đến các điểm này bằng 0. 4.2
Phương pháp nhân Lagrange Phương pháp tìm cực trị có điều kiện của hàm số f(x), ở đâu, tương đối tôi những hạn chế Tôi(x) = 0, Tôi thay đổi từ một đến tôi. Giả sử bài toán NP được đưa ra dưới các ràng buộc đẳng thức có dạng Giảm thiểu (4.2.1) dưới những hạn chế Giả sử rằng tất cả các hàm đều khả vi. Hãy để chúng tôi giới thiệu một tập hợp các biến (số lượng bằng số lượng ràng buộc), được gọi là Các nhân đấu Lagrange và soạn hàm Lagrange có dạng sau: Nhận định này đúng: để một vectơ là nghiệm của bài toán (4.2.1) theo ràng buộc (5.2.2) thì cần phải tồn tại một vectơ sao cho một cặp vectơ thỏa mãn hệ phương trình Chúng ta hãy chỉ ra sự cần thiết của các điều kiện (4.2.4), (4.2.5) bằng một ví dụ đơn giản: giảm thiểu (4.2.6) dưới những hạn chế Các ràng buộc (5.2.7) xác định vùng khả thi, là một đường cong trong không gian và là kết quả của giao điểm của và. Giả sử rằng bài toán đang xét có điểm cực tiểu tại: , các hàm có đạo hàm bậc nhất liên tục trên một số tập mở và gradient độc lập tuyến tính. Nếu hai biến trong phương trình (4.2.7) có thể được biểu diễn thông qua biến thứ ba ở dạng, sau đó thay chúng vào hàm mục tiêu (5.2.6), chúng ta chuyển bài toán ban đầu thành bài toán sau mà không bị hạn chế, chỉ chứa một biến Biến đổi: giảm thiểu. (4.2.8) Vì các gradient là liên tục và độc lập tuyến tính, nên chúng ta có thể áp dụng định lý phân tích toán học nổi tiếng về hàm ẩn và tìm điểm dừng, sau đó. Về nguyên tắc, cách tiếp cận trên có thể được mở rộng cho trường hợp hàm của các biến khi có các ràng buộc đẳng thức: Nếu các hàm thỏa mãn các điều kiện của định lý hàm ẩn thì các phương trình biến (4.2.9) có thể được biểu diễn theo các biến còn lại, thay thế chúng vào và do đó chuyển bài toán tối thiểu hóa ràng buộc thành bài toán tối thiểu hóa vô điều kiện với các biến. Tuy nhiên, cách tiếp cận này khó thực hiện trong thực tế vì rất khó giải phương trình (4.2.9) đối với một số biến. Trong trường hợp tổng quát điều này là hoàn toàn không thể. Vì vậy, hãy xem xét một cách tiếp cận khác, dựa trên phương pháp nhân tử Lagrange. Gọi là điểm nhỏ nhất được xác định bởi biểu thức (4.2.8). Theo định lý nổi tiếng về phân tích toán học về hàm ẩn, chúng ta có thể viết Chúng tôi có được mối quan hệ tương tự cho các hạn chế Ta hãy viết các phương trình (4.2.10), (4.2.11) dưới dạng Vì vectơ khác 0 nên nó suy ra từ (4.2.12). Từ đó suy ra rằng các vectơ hàng Vô hướng MỘT không thể bằng 0, vì theo giả định, và độc lập tuyến tính. Do đó, sau khi chia (5.2.13) cho, ta được Vì vậy, đối với một bài toán tối thiểu hóa với các ràng buộc (4.2.6), có những phương trình (4.2.14) hợp lệ và đồng thời không biến mất. Vì vậy, tính hợp lệ của điều kiện (4.2.4) cho trường hợp n=3 được chỉ ra. Vì vậy, để tìm cực tiểu (4.2.6) trong điều kiện (4.2.7), cần tìm điểm dừng của hàm Lagrange: Để tìm được các giá trị cần tìm, cần phải cùng nhau giải hệ phương trình (4.2.14), (4.2.5). Từ quan điểm hình học, điều kiện (4.2.14) có nghĩa là nó nằm trong mặt phẳng được bao bọc bởi các vectơ Bây giờ hãy xem xét trường hợp tổng quát cho những trường hợp tùy ý. Cho bài toán NP có dạng (4.2.1), (4.2.2), mọi hàm số đều có đạo hàm riêng liên tục trên tập hợp. Giả sử là tập con của tập hợp mà tất cả các hàm trên đó, nghĩa là Khi đó định lý sau đây về số nhân Lagrange là đúng. Định lý. Hãy cùng nói nàoThứ nămồ có một điểm như vậy
, trong đó đạt được cực trị tương đối của bài toán NP (5.2.1) theo điều kiện (4.2.2). Nếu xếp hạngma trận
tại điểm
bằng
, thì có
con số
, không phải tất cả chúng đều bằng 0 cùng một lúc, do đó Định lý này biện minh cho phương pháp nhân tử Lagrange, bao gồm các bước sau. Soạn hàm Lagrange Tìm đạo hàm riêng Giải hệ phương trình và tìm các điểm thỏa mãn hệ (4.2.16). 4.3 Phương pháp nhân tử không xác định Lagrange Nó được sử dụng để giải các bài toán có biểu thức phân tích theo tiêu chí tối ưu và khi có các hạn chế đối với các biến độc lập như đẳng thức. Để có được lời giải giải tích, yêu cầu các ràng buộc phải có dạng giải tích. Việc sử dụng hệ số nhân Lagrange không xác định cho phép chúng ta giảm bài toán tối ưu có ràng buộc đối với một bài toán được giải bằng phương pháp nghiên cứu hàm phân tích cổ điển. Trong trường hợp này, thứ tự của hệ phương trình giải để tìm cực trị của tiêu chuẩn tối ưu tăng theo số ràng buộc. Phương pháp này có hiệu quả khi số lượng biến là ba hoặc ít hơn. Phương pháp này cũng được sử dụng khi số lượng biến lớn hơn ba, nếu quá trình được mô tả bằng phương trình hữu hạn. Cần tìm cực trị của hàm số phụ thuộc vào n biến, các biến này được kết nối bằng các mối quan hệ. Điểm cực trị mà một hàm đạt được, có tính đến việc đáp ứng các điều kiện, được gọi là tương đối hoặc có điều kiện. Nếu số biến bằng số quan hệ (), thì ẩn số cần tìm được tìm bằng cách giải hệ phương trình được mô tả bởi các quan hệ. Việc giải quyết vấn đề tối ưu hóa liên quan đến việc kiểm tra giá trị của các biến được tìm thấy theo cách này so với các hàm. Vì vậy, bài toán cực trị có thể được giải bằng cách liệt kê các biến thỏa mãn điều kiện. Nếu như tôi< n
, khi đó chúng ta có thể tìm được sự phụ thuộc từ các phương trình ghép tôi biến từ n - m các biến còn lại, tức là Hàm có thể thu được bằng cách thay thế các biến kết quả vào hàm. Khi đó nó sẽ chỉ phụ thuộc vào các biến không bị ràng buộc bởi các điều kiện bổ sung. Do đó, bằng cách loại bỏ các hạn chế, có thể giảm được kích thước của bài toán tối ưu hóa ban đầu. Thường thì vấn đề không thể được giải quyết bằng phương pháp phân tích theo cách này. Vì vậy, để giải bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến người ta thường sử dụng phương pháp Lagrange của nhân tử không xác định. Khi giới thiệu các biến mới gọi là hệ số nhân Lagrange không xác định, có thể đưa ra một hàm mới những thứ kia. chức năng m+n các biến, trong đó các hạn chế do hệ thống hàm áp đặt được đưa vào như một phần không thể thiếu. Giá trị cực trị của hàm trùng với giá trị cực trị của hàm nếu điều kiện ràng buộc được đáp ứng. Điều kiện cần để đạt cực trị của một hàm nhiều biến là vi phân của hàm này tại điểm cực trị bằng 0, tức là. Để biểu thức này được thỏa mãn đối với bất kỳ giá trị nào của vi phân độc lập, điều cần thiết là các hệ số của các vi phân này phải bằng 0, điều này sẽ tạo ra hệ phương trình Trong trường hợp này, những cái độc lập mới được xác định từ điều kiện Có thể thu được sự kết hợp của hệ (4.3.1) và (4.3.2) Như vậy, bài toán ở dạng (4.3.3) rút gọn thành nhiệm vụ: tìm Riêng biệt, cần lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát, phương pháp nhân tử Lagrange chỉ cho phép tìm các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại cực trị có điều kiện của các hàm liên tục có đạo hàm liên tục. Tuy nhiên, từ ý nghĩa vật lý của bài toán đang được giải, người ta thường biết chúng ta đang nói về cực đại hay cực tiểu của hàm; ngoài ra, theo quy luật, trong các bài toán thiết kế, hàm trên đoạn đang xét là đơn thức. Do đó, trong các bài toán thiết kế, không cần thiết phải kiểm tra giá trị của các biến tìm được khi giải các hệ phương trình cực trị đã xét bằng cách sử dụng phân tích đạo hàm bậc cao. 4.4
trường hợp hai chiều Giả sử chúng ta cần tìm cực trị của hàm hai biến f(x,y) trong điều kiện xác định bởi phương trình w( x,y) = 0. Chúng ta sẽ giả sử rằng tất cả các hàm số đều khả vi liên tục và phương trình này xác định một đường cong trơn S trên bề mặt ( x,y). Khi đó bài toán quy về việc tìm cực trị của hàm số f trên đường cong S. Chúng ta cũng sẽ giả định rằng S không đi qua các điểm có độ dốc f chuyển sang 0. Đường mức f(x,y) và đường cong S Hãy vẽ trên mặt phẳng ( x,y) đường mức hàm f(tức là đường cong f(x,y) = const). Từ các xem xét hình học, rõ ràng là cực trị của hàm f trên đường cong S chỉ có thể có những điểm tiếp tuyến với S và đường mức tương ứng trùng nhau. Thật vậy, nếu đường cong S vượt qua đường cấp fỞ điểm ( x 0 ,y 0) theo chiều ngang (nghĩa là ở một số góc khác 0), sau đó di chuyển dọc theo đường cong S từ điểm ( x 0 ,y 0) chúng ta có thể đạt đến các mức tương ứng với giá trị lớn hơn f, và ít hơn. Do đó, điểm như vậy không thể là điểm cực trị. Vì vậy, điều kiện cần để có cực trị trong trường hợp của chúng ta sẽ là sự trùng khớp của các tiếp tuyến. Để viết nó ở dạng phân tích, lưu ý rằng nó tương đương với sự song song của gradient của các hàm f và w tại điểm này, vì vectơ gradient vuông góc với tiếp tuyến của đường mức. Điều kiện này được thể hiện dưới dạng sau: trong đó l là số khác 0 là số nhân Lagrange. Bây giờ chúng ta hãy xem xét Hàm Lagrange, phụ thuộc vào x,y và tôi: L(x,y,l) = f(x,y) ? lsh( x,y) Điều kiện cần để đạt cực trị của nó là gradient bằng 0. Theo quy tắc lấy vi phân, nó được viết dưới dạng Chúng ta đã thu được một hệ, hai phương trình đầu tiên tương đương với điều kiện cần cho cực trị cục bộ (1), và phương trình thứ ba tương đương với phương trình w( x,y) = 0. Từ đó ta tìm được ( x 0 ,y 0, l 0). Hơn nữa, vì nếu không thì độ dốc của hàm f biến mất tại một điểm, điều này mâu thuẫn với giả định của chúng tôi. Cần lưu ý rằng các điểm được tìm thấy theo cách này ( x 0 ,y 0) có thể không phải là điểm mong muốn của cực trị có điều kiện - điều kiện được xem xét là cần nhưng chưa đủ. Tìm cực trị có điều kiện bằng hàm phụ trợ L và tạo thành cơ sở của phương pháp nhân tử Lagrange, được áp dụng ở đây cho trường hợp đơn giản nhất có hai biến. Hóa ra cách suy luận trên có thể được khái quát hóa cho trường hợp số lượng biến và phương trình tùy ý xác định các điều kiện Phần kết luận Phương pháp giải bài toán trong đó các hệ số a[i] được xác định bằng cách giải trực tiếp hệ phương trình - phương pháp hệ số bất xác định. Công thức nội suy của Newton và các biến thể của nó. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho một hàm đã cho. công việc trong phòng thí nghiệm, được thêm vào ngày 16/11/2015 Ứng dụng hàm Lagrange trong lập trình lồi và tuyến tính. Bài toán đơn giản nhất của Boltz và phép tính biến phân cổ điển. Sử dụng phương trình Euler-Lagrange để giải bài toán đẳng tích. Điều kiện biên để tìm hằng số. bài tập khóa học, được thêm vào ngày 16/01/2013 Tìm cực trị của hàm nhiều biến không phải trên toàn bộ miền định nghĩa mà trên một tập hợp thỏa mãn một điều kiện nhất định. Một ví dụ thực tế về việc tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Đặc điểm chính của phương pháp nhân tử Lagrange. trình bày, thêm vào ngày 17/09/2013 Các phương pháp tối ưu hóa phi tuyến có điều kiện và không điều kiện. Nghiên cứu hàm cho cực trị vô điều kiện. Các phương pháp số để tối thiểu hóa hàm số. Giảm thiểu với các ràng buộc hỗn hợp. Điểm yên của hàm Lagrange. Sử dụng các gói MS Excel và Matlab. công việc trong phòng thí nghiệm, thêm vào ngày 06/07/2009 Ưu điểm của phương trình Lagrange và ứng dụng của chúng. Phân loại các kết nối trong một hệ thống cơ khí. Các chuyển động có thể có của hệ cơ khí và số bậc tự do. Ứng dụng phương trình Lagrange loại hai vào nghiên cứu hệ cơ học. bài tập khóa học, được thêm vào ngày 21/08/2009 Ứng dụng định lý Lagrange vào việc giải các bài toán. Công dụng của nó trong việc giải các bất đẳng thức và phương trình, khi tìm số nghiệm của một số phương trình. Giải bài toán bằng điều kiện đơn điệu. Mối quan hệ giữa các hàm tăng hoặc giảm. tóm tắt, được thêm vào ngày 14/03/2013 Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của đa thức nội suy Lagrange. Khái niệm hệ số Lagrange. Các phương pháp xác định độ dốc của đường trục bậc ba nội suy, cách sử dụng nó để tính gần đúng các hàm trong các khoảng lớn. trình bày, được thêm vào ngày 29/10/2013 Tìm cực trị của hàm số bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Biểu thức hàm mục tiêu mở rộng. Sơ đồ thuật toán giải số của bài toán bằng phương pháp hàm phạt kết hợp với phương pháp cực tiểu hóa vô điều kiện. Xây dựng các đường giới hạn. bài tập khóa học, được thêm vào ngày 04/05/2011 Sự hình thành hàm Lagrange, điều kiện Kuhn và Tucker. Phương pháp tối ưu hóa số và sơ đồ. Ứng dụng các phương pháp hàm phạt, điểm ngoài, gốc tọa độ, gradient liên hợp để chuyển bài toán tối ưu có điều kiện về bài toán tối ưu vô điều kiện. bài tập khóa học, được thêm vào ngày 27/11/2012 Vẽ đồ thị của hàm số liên tục. Định nghĩa của số nhân Lagrange. Điểm tới hạn là các giá trị của đối số từ miền định nghĩa của hàm tại đó đạo hàm của hàm biến mất. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn.Gửi công việc tốt của bạn trong cơ sở kiến thức rất đơn giản. Sử dụng mẫu dưới đây
Khoa Toán và Khoa học Tự nhiên
2. Bài toán Lagrange
.
Cực đoan vô điều kiện và có điều kiện
f(X) tối đa.
Nếu hàm f(X) mô tả các khía cạnh tiêu cực của quyết định (thiệt hại, tổn thất, v.v.), thì điểm X được tìm kiếm tại đó giá trị của f(X) là tối thiểu:
f(X) phút.
Tối thiểu và tối đa được thống nhất bởi khái niệm cực trị. Cụ thể hơn, chúng ta sẽ chỉ nói về vấn đề tối đa hóa. Việc tìm mức tối thiểu không cần phải xem xét đặc biệt, vì bằng cách thay thế hàm mục tiêu f(X) bằng -f(X), bạn luôn có thể “biến nhược điểm thành lợi thế” và giảm tối thiểu hóa thành tối đa hóa.
3. Bài toán Lagrange với một ràng buộc
Hãy xem xét một vấn đề với cấu trúc sau:
f(X) tối đa
tùy thuộc vào (3)
g(X) = 0.
ma trận A phải phụ thuộc tuyến tính. Do đó, có ba đại lượng vô hướng như vậy không đều bằng 0, sao choViệc sử dụng các mô hình toán học hiện nay đã trở thành một vấn đề rất cấp bách trong bối cảnh nền kinh tế không ngừng phát triển.
Việc xây dựng mô hình toán học (ký hiệu) của một hệ thống có thể được bắt đầu bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của hệ thống ảnh hưởng đến hiệu quả của hệ thống. Nếu “tổng chi phí dự kiến” được sử dụng làm thước đo hiệu quả tổng thể thì người ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra mô hình hình ảnh hoặc mô hình tương tự thu được ở giai đoạn hình thành vấn đề.
Phương pháp nhân tử Lagrange cho phép bạn tìm cực đại hoặc cực tiểu của hàm dưới các ràng buộc đẳng thức. Ý tưởng chính của phương pháp là chuyển từ bài toán tìm cực trị có điều kiện sang bài toán tìm cực trị vô điều kiện của một số hàm Lagrange đã xây dựng.
Như vậy, phương pháp nhân tử Lagrange đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển, dự đoán, xây dựng phương án tối ưu, lĩnh vực hoạt động của con người.
.
Danh sách tài liệu được sử dụng
1. V.I. Varfolomeev “Mô hình hóa các yếu tố của hệ thống kinh tế.” Mátxcơva 2000
2. Buslenko N.P. “Mô hình hóa các hệ thống phức tạp” Moscow, 1999.
3. W. Churchman, R. Akof, L. Artof. “Giới thiệu về nghiên cứu hoạt động.” Khoa học: Mátxcơva, 1968.
4. A. Budylin “Các vấn đề cơ bản”. Mátxcơva, 2002
5. Vanko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N. Biến thể “Tính toán và điều khiển tối ưu”. Mátxcơva, 1999
6. Ashmanov S.A., Timokhov A.V. “Lý thuyết tối ưu hóa trong các vấn đề và bài tập.” Mátxcơva, 1991
7. “Hội thảo thí nghiệm về các phương pháp tối ưu hóa.” A.G.Kovalenko, I.A.Vlasova, A.F.Fedechev. - Samara, 1998
Tài liệu tương tự
