Hàm mục tiêu có thể có bao nhiêu giá trị tối ưu? Vấn đề LP tiêu chuẩn. I. Đăng ký dữ liệu ban đầu
Hàm mục tiêu là một hàm có một số biến mà việc đạt được sự tối ưu phụ thuộc trực tiếp vào. Nó cũng có thể hoạt động như một số biến đặc trưng cho một đối tượng cụ thể. Có thể nói rằng, về bản chất, nó cho thấy chúng tôi đã tiến bộ như thế nào để đạt được mục tiêu của mình.
Một ví dụ về các chức năng như vậy là tính toán cường độ và trọng lượng của kết cấu, công suất lắp đặt, khối lượng sản xuất, chi phí vận chuyển và các chức năng khác.
Hàm mục tiêu cho phép bạn trả lời một số câu hỏi:
Việc này việc kia có ích lợi hay không;
Phong trào có đi đúng hướng không?
Sự lựa chọn được thực hiện đúng như thế nào, v.v.
Nếu chúng ta không có cơ hội tác động đến các tham số của hàm, thì có thể nói rằng chúng ta không thể làm bất cứ điều gì, ngoại trừ có lẽ chỉ phân tích mọi thứ. Nhưng để có thể thay đổi một cái gì đó, thường có các tham số hàm có thể thay đổi. nhiệm vụ chinh- điều này nhằm thay đổi các giá trị thành giá trị mà tại đó hàm trở nên tối ưu.
Các hàm mục tiêu không phải lúc nào cũng được trình bày dưới dạng công thức. Đây có thể là một cái bàn chẳng hạn. Ngoài ra, điều kiện có thể ở dạng một số hàm mục tiêu. Ví dụ: nếu bạn muốn đảm bảo độ tin cậy tối đa, chi phí tối thiểu và tiêu thụ vật liệu tối thiểu.
Các bài toán tối ưu hóa phải có điều kiện ban đầu quan trọng nhất - hàm mục tiêu. Nếu làm như vậy thì chúng ta có thể cho rằng tối ưu hóa không tồn tại. Nói cách khác, nếu không có mục tiêu thì không có cách nào để đạt được nó, điều kiện càng kém thuận lợi hơn nhiều.
Nhiệm vụ tối ưu hóa có thể có điều kiện hoặc vô điều kiện. Loại đầu tiên liên quan đến các hạn chế, nghĩa là một số điều kiện nhất định khi đặt vấn đề. Loại thứ hai là tìm mức tối đa hoặc tại thông số hiện có. Thông thường những vấn đề như vậy liên quan đến việc tìm kiếm mức tối thiểu.
Theo cách hiểu cổ điển về tối ưu hóa, các giá trị tham số như vậy được chọn để hàm mục tiêu thỏa mãn kết quả mong muốn. Nó cũng có thể được định nghĩa là quá trình lựa chọn phương án tốt nhất có thể. Ví dụ: chọn phương án phân bổ nguồn lực tốt nhất, phương án thiết kế, v.v.
Có một thứ gọi là tối ưu hóa không đầy đủ. Nó có thể hình thành vì nhiều lý do. Ví dụ:
Số lượng hệ thống đạt đến điểm tối đa là có hạn (độc quyền hoặc độc quyền nhóm đã được thiết lập);
Không có độc quyền nhưng không có nguồn lực (thiếu trình độ trong bất kỳ cuộc thi nào);
Sự vắng mặt của chính nó, hay đúng hơn là “sự thiếu hiểu biết” về nó (một người mơ về một điều gì đó người phụ nữ xinh đẹp, nhưng không biết liệu thứ đó có tồn tại trong tự nhiên hay không), v.v.
Trong điều kiện quan hệ thị trường để quản lý hoạt động sản xuất, bán hàng của doanh nghiệp, cơ sở ra quyết định là thông tin về thị trường và tính hợp lệ của quyết định này được kiểm tra khi đưa sản phẩm, dịch vụ tương ứng vào thị trường. Trong trường hợp này, điểm khởi đầu là nghiên cứu nhu cầu của người tiêu dùng. Để tìm giải pháp, hàm mục tiêu tiêu dùng được thiết lập. Nó cho thấy lượng hàng hóa được tiêu thụ và mức độ thỏa mãn nhu cầu của người tiêu dùng cũng như mối quan hệ giữa chúng.
Trong điều kiện hệ thống thị trường quản lý hoạt động sản xuất, kinh doanh của doanh nghiệp, xí nghiệp, cơ sở để đưa ra quyết định kinh doanh là thông tin thị trường, giá trị pháp lý của các quyết định được thị trường kiểm chứng trong quá trình mua bán hàng hóa, dịch vụ. Với cách tiếp cận này, điểm khởi đầu của toàn bộ chu trình hoạt động kinh doanh là nghiên cứu nhu cầu của người tiêu dùng. Hãy xem xét một số vấn đề về mô hình hóa nhu cầu và tiêu dùng.
Hãy xem xét một người tiêu dùng, nhờ sự tồn tại của mình, sẽ tiêu dùng một số hàng hóa. Mức độ thỏa mãn nhu cầu của người tiêu dùng sẽ được biểu thị bằng bạn.Giả sử rằng có N các loại hàng hóa B 1, B 2,…, B n. Lợi ích có thể bao gồm:
· thực phẩm;
· hàng hoá thiết yếu;
· hàng hoá thiết yếu;
· xa hoa;
· dịch vụ trả phí, v.v.
Giả sử lượng tiêu dùng mỗi hàng hóa bằng nhau X 1 , X 2 ,…, xn. Hàm tiêu dùng mục tiêuđược gọi là mối quan hệ giữa mức độ (mức) thỏa mãn nhu cầu bạn và số lượng hàng hoá tiêu thụ: X 1 , X 2 , …, xn. Chức năng này trông giống như .
Trong không gian hàng tiêu dùng, mỗi phương trình tương ứng với một bề mặt nhất định của các tập hợp hàng hóa tương đương hoặc trung tính, được gọi là bề mặt thờ ơ. Siêu bề mặt của một đường cong như vậy, được gọi là bề mặt bàng quan đa chiều, có thể được biểu diễn dưới dạng , trong đó VỚI- không thay đổi. Để rõ ràng, chúng ta hãy xem xét không gian của hai hàng hóa, ví dụ, dưới dạng hai nhóm hàng hóa tổng hợp: thực phẩm B 1 và hàng hóa phi thực phẩm, bao gồm cả dịch vụ phải trả tiền. B 2. Khi đó các mức của hàm mục tiêu tiêu dùng có thể được biểu diễn trên mặt phẳng dưới dạng các đường bàng quan tương ứng với các giá trị khác nhau của hằng số VỚI.Để làm điều này, hãy thể hiện lượng tiêu thụ một hàng hóa X 1 qua cái khác X 2. Hãy xem một ví dụ.
Ví dụ 6.3. Hàm tiêu dùng mục tiêu có dạng . Tìm đường bàng quan.
Giải pháp.
Đường bàng quan trông giống như 
hoặc , hoặc (cần lưu ý là phải thực hiện).
Nghĩa là, mỗi người tiêu dùng đều cố gắng tối đa hóa mức độ thỏa mãn nhu cầu. Tuy nhiên, việc tối đa hóa mức độ thỏa mãn nhu cầu sẽ bị cản trở bởi khả năng của người tiêu dùng. Chúng ta hãy biểu thị giá mỗi đơn vị của mỗi hàng hóa bằng R 1 , R 2 ,…, р n và thu nhập của người tiêu dùng thông qua D.Sau đó nó sẽ được thực thi giơi hạn ngân sach , mang ý nghĩa của pháp luật, theo đó chi phí tiêu dùng không được vượt quá mức thu nhập:
Do đó, để tìm được tập hợp hàng hóa tối ưu cần phải giải bài toán lập trình tối ưu:
(6.3)
Hãy xem xét hàm tiêu dùng hai yếu tố, trong đó X 1 - khối lượng tiêu thụ thực phẩm và X 2 - tiêu dùng các sản phẩm phi thực phẩm và dịch vụ trả phí. Ngoài ra, chúng ta hãy giả định rằng người tiêu dùng sử dụng tất cả thu nhập của mình để thỏa mãn nhu cầu của mình. Trong trường hợp này, ràng buộc ngân sách sẽ chỉ chứa hai số hạng và sự bất bình đẳng sẽ chuyển thành đẳng thức. Bài toán quy hoạch tối ưu khi đó có dạng:
(6.4)
Về mặt hình học giải pháp tối ưu có ý nghĩa là điểm tiếp tuyến của đường bàng quan với đường tương ứng với đường giới hạn ngân sách.
|
, giá trị lớn nhất có thể tìm được từ phương trình bằng cách cho đạo hàm bằng 0: . Ví dụ 6.4. Hàm mục tiêu tiêu dùng có dạng 
. Giá tốt B 1 bằng 20, giá của hàng hóa B 2 bằng 50. Thu nhập của người tiêu dùng là 1800 đơn vị. Tìm các đường bàng quan, tập hợp hàng tiêu dùng tối ưu, hàm cầu về hàng hóa đầu tiên theo giá, hàm cầu về hàng hóa đầu tiên theo thu nhập.
Giải pháp.Đường bàng quan có dạng:
Chúng ta thu được một tập hợp các hyperbol nằm ở phần tư tọa độ đầu tiên trên ở những khoảng cách khác nhau từ gốc tùy thuộc vào giá trị của hằng số VỚI.
Chúng tôi tìm thấy bộ hàng hóa tối ưu. Bài toán quy hoạch tối ưu có dạng:
Để giải quyết vấn đề này, chúng ta biểu diễn một biến từ ràng buộc ngân sách theo một biến khác: 
. Thay thế vào hàm mục tiêu
Tìm đạo hàm và cho nó bằng 0
Chúng tôi nhận được.
Như vậy, tập hợp hàng hóa tối ưu là 30,5 và 23,8 đơn vị. Bây giờ chúng ta tìm hàm cầu của hàng hóa đầu tiên dựa trên giá của nó. Để làm được điều này, thay vào đó trong ràng buộc ngân sách giá trị cố định chúng ta nhập giá của hàng hóa đầu tiên, thu được phương trình: . Chúng tôi bày tỏ 
hoặc 
, từ đó chúng ta tìm được hàm cầu của hàng hóa đầu tiên ở mức giá: .
Bây giờ chúng ta tìm hàm cầu về hàng hóa đầu tiên theo thu nhập. Để làm điều này, chúng tôi thể hiện từ ràng buộc ngân sách 
một biến thông qua một biến khác: 
. Thay thế vào hàm mục tiêu:
Chúng tôi tìm đạo hàm và đánh đồng nó bằng 0:
Từ đây chúng ta tìm được hàm cầu của hàng hóa đầu tiên theo thu nhập
7. Người mẫu
cân bằng liên ngành
Các mô hình cân bằng được thiết kế để phân tích và lập kế hoạch sản xuất và phân phối sản phẩm nhiều cấp độ khác nhau- Từ một doanh nghiệp riêng lẻ đến toàn bộ nền kinh tế quốc dân. Nếu chúng ta nhớ lại lịch sử của nền kinh tế quốc dân như Liên Xô cả Nga và các nước phát triển khác, có thể nhận thấy rằng trong nền kinh tế của nhiều nước trên thời điểm khác nhauĐã có những cuộc khủng hoảng kinh tế ở nhiều mức độ cực đoan khác nhau, từ khủng hoảng sản xuất thừa (Mỹ, giữa thế kỷ 20) đến khủng hoảng thiếu hụt (Nga, cuối thế kỷ 20). Tất cả những cuộc khủng hoảng kinh tế này đều gắn liền với sự mất cân bằng giữa sản xuất và tiêu dùng. Từ những thực tế này, rõ ràng là sự cân bằng giữa sản xuất và tiêu dùng là tiêu chí quan trọng cho cả kinh tế vĩ mô và kinh tế vi mô.
Nhiều nhà kinh tế và toán học đã cố gắng xây dựng các mô hình cân bằng kinh tế và toán học ngay từ đầu của bài toán, tuy nhiên, mô hình cân bằng hoàn chỉnh nhất được xây dựng vào năm 1936 bởi nhà kinh tế học người Mỹ V. Leontiev (người di cư sang Mỹ sau cách mạng và nhận được giải Nobel trong lĩnh vực kinh tế kiểu mẫu của ông). Mô hình này cho phép tính toán sự cân bằng giữa một số ngành tương tác với nhau, mặc dù nó có thể dễ dàng khái quát hóa cho các tổ chức kinh tế vi mô, ví dụ, để tính toán sự cân bằng giữa một số doanh nghiệp tương tác hoặc giữa các bộ phận của một doanh nghiệp (ví dụ: các phân xưởng của cùng một nhà máy). ).
Mục đích của phân tích cân bằng là để trả lời câu hỏi nảy sinh trong kinh tế vĩ mô và liên quan đến hiệu quả vận hành một nền kinh tế đa dạng: khối lượng sản xuất của mỗi ngành là bao nhiêu? P ngành có đáp ứng được tất cả nhu cầu về sản phẩm của ngành đó không? Hơn nữa, mỗi ngành một mặt đóng vai trò là nhà sản xuất một số sản phẩm nhất định; và mặt khác, với tư cách là người tiêu dùng các sản phẩm của chính họ và của các ngành công nghiệp khác sản xuất.
Giả sử rằng chúng ta đang xem xét P ngành công nghiệp, mỗi ngành sản xuất sản phẩm riêng của mình. Gọi tổng khối lượng sản phẩm sản xuất ra Tôi-ngành công nghiệp thứ bằng . Tổng giá thành sản phẩm sản xuất Tôi ngành này, chúng ta sẽ gọi là tổng sản phẩm của ngành này. Bây giờ chúng ta hãy xem các sản phẩm do ngành sản xuất ra được chi vào việc gì. Một phần sản phẩm được sử dụng cho tiêu dùng nội bộ của ngành này và tiêu dùng của các ngành khác liên quan đến ngành này. Số lượng sản phẩm Tôi-ngành công nghiệp dành cho tiêu dùng cuối cùng (ngoài phạm vi sản xuất vật chất) cá nhân và công cộng j biểu thị ngành thứ bằng . Phần còn lại được dự định thực hiện ở phạm vi bên ngoài. Phần này được gọi là sản phẩm cuối cùng. Cho phép Tôi-Ngành công nghiệp của tôi sản xuất ra sản phẩm cuối cùng.
Hãy xem xét quá trình sản xuất trong một khoảng thời gian nhất định (ví dụ: một năm). Vì tổng khối lượng sản xuất là bất kỳ Tôi- ngành công nghiệp bằng tổng khối lượng sản phẩm tiêu thụ N công nghiệp và sản phẩm cuối cùng thì phương trình cân bằng giữa sản xuất và tiêu dùng sẽ có dạng
, (Tôi= 1, 2, …, N). (7.1)
Phương trình (7.1) được gọi là quan hệ cân bằng.
. (7.2)
Tất cả các chỉ số đã thảo luận trước đây có thể được ghi lại trong bảng cân đối kế toán chính:
| Ngành công nghiệp | Tiêu thụ của các ngành công nghiệp | Sản phẩm cuối cùng, | Tổng sản phẩm, | |||
| … | N | |||||
| … | ||||||
| … | ||||||
| … | … | … | … | |||
| N | … | |||||
| Sản phẩm sạch | … |
Như vậy, bảng cân đối kế toán chính gồm có 4 ma trận: ma trận liên kết sản xuất liên ngành
; ma trận tổng sản lượng; ma trận sản phẩm cuối cùng và ma trận sản phẩm ròng 
.
Một trong những nhiệm vụ của phân tích cân bằng là xác định tổng sản phẩm nếu biết được cách phân phối sản phẩm cuối cùng. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu các hệ số chi phí trực tiếp
Chúng có được bằng cách chia tất cả các phần tử của mỗi cột của ma trận cho phần tử tương ứng của ma trận liên kết sản xuất liên ngành X.Hệ số chi phí trực tiếp có ý nghĩa về số lượng sản phẩm tiêu thụ. j-Ngành thứ cần thiết để sản xuất một đơn vị sản phẩm Tôi ngành công nghiệp thứ. Từ biểu thức (7.3) ta có: . Thay biểu thức cuối cùng vào hệ thức cân bằng (7.1), chúng ta thu được
. (7.4)
Nếu chúng ta ký hiệu ma trận hệ số chi phí trực tiếp là 
, thì quan hệ cân bằng (7.4) ở dạng ma trận có thể được viết là
Từ biểu thức cuối cùng, bạn có thể tìm thấy giá trị của sản phẩm cuối cùng với giá trị tổng đã biết
Ở đâu 
- ma trận nhận dạng có cùng kích thước với MỘT.
Ví dụ 7.1. Cán cân 4 ngành giai đoạn trước có ma trận quan hệ sản xuất liên ngành có dạng 
và ma trận tổng sản lượng có dạng . Cần xác định sản phẩm cuối cùng Y và sản phẩm tinh khiết C mọi ngành công nghiệp.
Sản phẩm cuối cùng Y thu được bằng cách trừ đi mỗi phần tử của ma trận tổng sản lượng tổng các phần tử của các hàng tương ứng của ma trận. Ví dụ: giá trị đầu tiên là 100 – (10 + 20 + 15 + 10) = 45. Sản phẩm nguyên chất VỚI thu được bằng cách trừ tổng sản lượng từ mỗi phần tử của ma trận X tổng các phần tử của các cột tương ứng của ma trận. Ví dụ: giá trị đầu tiên là 100 – (10 + 5 + 25 + 20) = 40. Kết quả chúng ta có được bảng cân đối kế toán chính:
| Ngành công nghiệp | Tiêu thụ của các ngành công nghiệp | Sản phẩm cuối cùng, | Tổng sản phẩm, | |||
| Sản phẩm nguyên chất | S=210 | S = 400 |
Bây giờ chúng ta hãy đặt ra một nhiệm vụ khác: chúng ta sẽ tính toán sản phẩm cuối cùng của từng ngành cho giai đoạn tương lai nếu tổng sản phẩm bằng nhau 
. Để giải bài toán này, ta tìm hệ số chi phí trực tiếp: ngành thứ i.
Ví dụ 7.2. Ở một vùng nhất định có hai lĩnh vực chính của nền kinh tế quốc dân: cơ khí (m/s) và Nông nghiệp(nông nghiệp). Sự cân bằng của các ngành này trong kỳ báo cáo được xác định bởi các ma trận , . Hãy tính toán các chỉ tiêu còn lại và điền vào bảng cân đối kế toán chính
Giả sử rằng số lượng sản phẩm cuối cùng được lên kế hoạch cho giai đoạn tương lai. Cần phải xác định tổng sản phẩm cần lập kế hoạch. Hãy tìm hệ số chi phí trực tiếp:
Những lý do sau đây có thể được xác định tại sao hệ thống kinh tế mang tính ngẫu nhiên:
1) hệ thống phức tạp, đa tiêu chí, được mô tả bằng cấu trúc phân cấp đa cấp;
2) hệ thống bị ảnh hưởng số lượng lớn không thể kiểm soát được yếu tố bên ngoài (thời tiết, chính sách đối ngoại, yếu tố xã hội vân vân.);
3) cố ý bóp méo thông tin, che giấu thông tin và phá hoại kinh tế có chủ đích.
Dựa trên điều này, để mô hình hóa nhiều hệ thống kinh tế sử dụng phương pháp toán học, dựa trên việc áp dụng các định luật của lý thuyết xác suất, được gọi là phương pháp ngẫu nhiên.
Khi sử dụng phương pháp ngẫu nhiên, việc tối ưu hóa hàm mục tiêu được thực hiện theo giá trị trung bình, nghĩa là khi tham số đã cho cần tìm giải pháp khi giá trị của hàm mục tiêu trung bình sẽ tối đa.
Hệ thống ngẫu nhiên trong kinh tế học được mô tả bằng bộ máy Markov, dựa trên Markov quá trình ngẫu nhiên. Chúng được sử dụng trong trường hợp mô hình không thể được chính thức hóa (được mô tả bằng biểu thức phân tích) và trong trường hợp hệ thống là hệ thống kinh tế xác suất đa tham số.
Ngày 27 tháng 8 năm 2017 lúc 2:20 chiềuGiải pháp là trực tiếp và vấn đề kép lập trình tuyến tính sử dụng Python
Giới thiệu
Cần lưu ý rằng các phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính bao gồm không phải về kinh tế mà là về toán học và công nghệ máy tính.Đồng thời, nhà kinh tế cần tạo điều kiện thoải mái nhất để đối thoại bằng phần mềm phù hợp. Đổi lại, những điều kiện như vậy chỉ có thể được cung cấp bởi các môi trường phát triển tương tác và phát triển năng động có trong kho vũ khí của họ một bộ thư viện cần thiết để giải quyết những vấn đề như vậy. Một trong số đó là môi trường phát triển phần mềm chắc chắn là Python.Xây dựng vấn đề
Các công bố đã xem xét giải pháp cho các bài toán tối ưu hóa trực tiếp bằng phương pháp quy hoạch tuyến tính và đề xuất lựa chọn hợp lý bộ giải scipy. tối ưu hóa.Tuy nhiên, người ta biết rằng mỗi bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với một bài toán gọi là bài toán phân biệt (kép). Trong đó, so với bài toán trực tiếp, các hàng biến thành cột, các bất đẳng thức đổi dấu, thay vì cực đại thì tìm cực tiểu (hoặc ngược lại, thay vì cực tiểu thì tìm cực đại). Nhiệm vụ kép đối với nhiệm vụ kép chính là nhiệm vụ ban đầu.
Giải quyết vấn đề kép là rất quan trọng để phân tích việc sử dụng tài nguyên. Trong ấn phẩm này, người ta sẽ chứng minh rằng các giá trị tối ưu của hàm mục tiêu trong bài toán gốc và bài toán kép trùng nhau (tức là giá trị cực đại trong bài toán ban đầu trùng với giá trị cực tiểu trong bài toán kép).
Các giá trị tối ưu của chi phí vật liệu và nhân công sẽ được đánh giá bằng sự đóng góp của chúng vào hàm mục tiêu. Kết quả sẽ là “ước tính được xác định một cách khách quan” về nguyên liệu thô và nhân công không trùng với giá thị trường.
Giải bài toán trực tiếp của chương trình sản xuất tối ưu
Đang xem xét cấp độ caođào tạo toán học của đại đa số người dùng của tài nguyên này Tôi sẽ không trình bày các phương trình cân bằng với các giới hạn trên và dưới cũng như đưa ra các biến bổ sung để chuyển sang đẳng thức. Vì vậy, tôi sẽ đưa ra ngay tên gọi của các biến được sử dụng trong lời giải:N – số loại sản phẩm sản xuất;
m - số loại nguyên liệu sử dụng;
b_ub - vectơ tài nguyên sẵn có có kích thước m;
A_ub là ma trận có chiều m×N, mỗi phần tử của ma trận đó là mức tiêu thụ tài nguyên loại i để sản xuất một đơn vị sản phẩm loại j;
c là vectơ lợi nhuận từ việc sản xuất một đơn vị mỗi loại sản phẩm;
x – khối lượng sản phẩm sản xuất của từng loại sản phẩm (kế hoạch sản xuất tối ưu) đảm bảo lợi nhuận tối đa.
Hàm mục tiêu
maxF(x)=c×x
Những hạn chế Giá trị số của biến: Nhiệm vụ Các ký hiệu dùng để hiển thị kết quả: Liệt kê lời giải của bài toán tối ưu trực tiếp #!/usr/bin/python # -*- mã hóa: utf-8 -*- nhập scipy từ scipy.optimize import linprog # tải thư viện LP c = [-25, -35,-25,-40,-30] # danh sách các hệ số của hàm mục tiêu b_ub = # danh sách khối tài nguyên A_ub = [, # ma trận các giá trị tài nguyên cụ thể, , ] d=linprog(c, A_ub, b_ub) # tìm kiếm giải pháp cho key,val in d.items(): print(key ,val) # đầu ra giải pháp if key=="x": q=#used tài nguyên print("A_ub*x",q) q1= scipy.array(b_ub)-scipy.array (q) #in tài nguyên còn lại(" b_ub-A_ub*x", q1) kết luận Chúng ta hãy giới thiệu một mục đích mới cho biến x mong muốn như một mức giá “bóng” nào đó xác định giá trị của một nguồn lực nhất định liên quan đến lợi nhuận từ việc bán các sản phẩm được sản xuất. C – vectơ tài nguyên sẵn có; Hàm mục tiêu Những hạn chế Giá trị số và mối quan hệ của các biến: Nhiệm vụ: Các tính năng của giải pháp với thư viện scipy. tối ưu hóa Liệt kê lời giải của bài toán tối ưu kép #!/usr/bin/python # -*- mã hóa: utf-8 -*- nhập scipy từ scipy.optimize import linprog A_ub = [, , , ] c= b_ub = [-25, -35,-25,- 40,-30] A_ub_T =-scipy.transpose(A_ub) d=linprog(c, A_ub_T, b_ub) cho khóa,val trong d.items(): print(key,val) Để tìm mức tối đa của hàm mục tiêu, hãy sử dụng hàm tối đa hóa, định dạng của nó là tối đa hóa (<функция>,
<система
ограничений>,
<опции>); Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện hơn khi chỉ định điều kiện cho tính không âm của các biến bằng cách sử dụng tùy chọn KHÔNG PHẢI. >
tối ưu:=tối đa hóa(f,syst_ogr,NONNEGATIVE); Sử dụng lệnh subs, cho phép bạn thay thế các giá trị biến x 1 và x 2 mỗi chức năng f. >
fmax:=subs(x1=83/17,x2=19/17,f); Sử dụng hàm elf để thể hiện phản hồi dưới dạng số thực với 4 chữ số có nghĩa. >
fmax:=elf(fmax,4); Bạn có thể làm quen với giải pháp cho vấn đề LP mà không cần giải thích trong phần phụ lục. Chương trình này được thiết kế để giải các bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình. Nhiệm vụ. Tìm giá trị biến x 1
Và x 2 , tại đó dưới những hạn chế Trình tự công việc: Khởi chạy chương trình SimplexWin và đặt kích thước yêu cầu của ma trận ràng buộc bằng cách chọn lệnh menu Cài đặt – Kích thước ma trận (Hình 13). Cơm. 13. Xác định kích thước ma trận. Nhập dữ liệu (Hình 14). Nếu nhiệm vụ không được nhập vào hình thức kinh điển, sau đó các biến bổ sung và căn cứ nhân tạo(cũng như các hệ số hàm mục tiêu tương ứng) được thêm tự động. Hình 14. Đầu vào dữ liệu. Cơm. 15. Mẫu kết quả. Trong biểu mẫu Kết quả, nhấp vào nút Kết quả, cho phép bạn giải quyết vấn đề trong chế độ tự động và hiển thị mới nhất bảng đơn và kết quả (Hình 16). Cơm. 16. Giải pháp của vấn đề. Giải quyết các vấn đề tối ưu hóa trongExcel Hãy xem một ví dụ về tìm bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây. Nhiệm vụ. Tìm giá trị biến x 1
Và x 2 , tại đó dưới những hạn chế Trình tự công việc: Tạo màn hình nhập điều kiện của bài toán (biến, hàm mục tiêu, ràng buộc) và nhập dữ liệu ban đầu vào đó (hệ số hàm mục tiêu, hệ số các biến trong ràng buộc, vế phải của ràng buộc) (Hình 17). ). Cơm. 17. Dạng màn hình của tác vụ (con trỏ trong ô D6). Bình luận: TRONG hình thức màn hình trong bộ lễ phục. 17 Mỗi biến, mỗi hệ số của bài toán được gán một ô cụ thể trong Excel. Vì vậy, ví dụ, các biến tác vụ tương ứng với các ô B3 ( Nhập các phần phụ thuộc từ mô hình toán học vào biểu mẫu màn hình, tức là. Nhập công thức tính hàm mục tiêu và công thức tính giá trị vế trái của các ràng buộc. Tùy theo điều kiện của bài toán, giá trị của hàm mục tiêu được xác định bởi biểu thức Để đặt công thức phụ thuộc cho hàm mục tiêu, hãy làm như sau:
: – đặt con trỏ vào ô D6; – cửa sổ cuộc gọi Trình hướng dẫn hàm - Bước 1/2 bằng cách nhấn nút - trong cửa sổ Chức năng chọn chức năng TỔNG HỢP SẢN PHẨM; - trong cửa sổ hiện ra TỔNG HỢP SẢN PHẨM xếp hàng Mảng 1 nhập biểu thức B$3:C$3, và đến dòng Mảng 2- sự biểu lộ B6:C 6; - Nhấn nút ĐƯỢC RỒI. Cơm. 18. Nhập công thức tính CF trong cửa sổ Function Wizard. Sau khi nhập ô vào hàng Mảng 1 Và Mảng 2 trong cửa sổ TỔNG HỢP SẢN PHẨM sẽ xuất hiện giá trị số mảng đã nhập (Hình 18) và giá trị hiện tại được tính bằng công thức đã nhập, nghĩa là 0 (vì tại thời điểm nhập công thức, giá trị của các biến tác vụ bằng 0) sẽ xuất hiện ở dạng màn hình ( Hình 19). Bình luận: Ký hiệu $ trước số hàng nghĩa là khi bạn sao chép công thức này sang vị trí khác trong bảng Excel thì hàng số 3 sẽ không thay đổi. Biểu tượng :
có nghĩa là công thức sử dụng tất cả các ô giữa các ô bên trái và bên phải của dấu hai chấm. Vế trái của các ràng buộc của bài toán là tổng hợp sản phẩm mỗi ô được phân bổ cho các giá trị của các biến bài toán (B3, C3) cho đến ô tương ứng được phân bổ cho các hệ số của một ràng buộc cụ thể (B10, C10 – ràng buộc thứ 1; B11, C11 – ràng buộc thứ 2; B12, C12 – ràng buộc thứ 3). Các công thức xác định vế trái của các ràng buộc bài toán khác nhau và khác với công thức trong ô đích D6 chỉ số dòng trong mảng thứ hai. Con số này được xác định bởi dòng ghi hạn chế ở dạng màn hình. Do đó, để xác định sự phụ thuộc cho các phần bên trái của ràng buộc, việc sao chép công thức từ ô đích sang các ô của phần bên trái của ràng buộc là đủ. Để tính các giá trị bên trái của các ràng buộc, hãy làm như sau:
– đặt con trỏ vào ô D6 và sao chép nội dung của ô vào bảng tạm (sử dụng phím Ctrl+C); – lần lượt đặt con trỏ vào các trường bên trái của mỗi hạn chế, nghĩa là D10
,D11
,
D12
và dán nội dung của bộ đệm vào các trường này (sử dụng phím Ctrl+V) (trong trường hợp này, số ô trong mảng thứ hai của công thức sẽ thay đổi thành số hàng mà dán được thực hiện từ đó bộ đệm). Sau khi nhập trên màn hình vào các trường D10
,D11
,
D12
0 (giá trị 0) sẽ xuất hiện (Hình 19). Cơm. 19. Màn hình dạng nhiệm vụ sau nước tất cả các công thức cần thiết. Kiểm tra xem các công thức đã được nhập chính xác chưa. Đối với điều này: - làm từng việc một nhấn đúp chuột trái vào các ô có công thức, đồng thời các ô được sử dụng trong công thức sẽ được đánh dấu trên màn hình bằng khung (Hình 20 và Hình 21). Cơm. 20 công thức để nhắm mục tiêu ô D6. Cơm. 20. Kiểm tra việc chèn đúng các công thức trong ô D10 cho phía bên trái của các ràng buộc. Chỉ định hàm mục tiêu và nhập các ràng buộc trong cửa sổ Tìm giải pháp(Hình 21). Đối với điều này: – đặt con trỏ vào ô D6; – cửa sổ cuộc gọi Tìm giải pháp bằng cách chọn trên thanh công cụ Dữ liệu - Tìm giải pháp; – đặt con trỏ vào trường Đặt ô đích; – nhập địa chỉ của ô mục tiêu $D$6 hoặc thực hiện một cú nhấp chuột bằng nút chuột trái vào ô mục tiêu ở dạng màn hình, thao tác này tương đương với việc nhập địa chỉ từ bàn phím; – chỉ ra hướng tối ưu hóa hàm mục tiêu bằng cách nhấp một lần bằng nút chuột trái vào nút chọn gia trị lơn nhât; - trong cửa sổ Tìm kiếm quyết định trong lĩnh vực Thay đổi ô nhập các ô có giá trị thay đổi $B$3:$C$3, chọn chúng ở dạng màn hình trong khi giữ nút chuột trái; Cơm. 21. Cửa sổ Tìm kiếm giải pháp. - Nhấn nút Thêm vào; – tùy theo điều kiện của nhiệm vụ, chọn dấu bắt buộc trong trường dấu, ví dụ đối với 1 ràng buộc thì đây là dấu - trong lĩnh vực giới hạn nhập địa chỉ ô ở phía bên phải của ràng buộc được đề cập, ví dụ $F$10; – tương tự thiết lập mối quan hệ giữa phần bên phải và bên trái của các hạn chế khác ( $D$11 – xác nhận mục nhập của tất cả các điều kiện được liệt kê bằng cách nhấn nút ĐƯỢC RỒI(Hình 22 và Hình 23). Cơm. 22. Thêm một điều kiện. Bình luận: Nếu khi nhập một điều kiện nhiệm vụ cần thay đổi hoặc xóa các hạn chế đã nhập, việc này có thể được thực hiện bằng cách nhấp vào các nút Thay đổi hoặc Xóa bỏ. Thông số thiết kế. Thuật ngữ này đề cập đến sự độc lập thông số biến, xác định đầy đủ và rõ ràng vấn đề thiết kế đang được giải quyết. Tham số thiết kế là những đại lượng chưa biết, giá trị của chúng được tính toán trong quá trình tối ưu hóa. Bất kỳ đại lượng cơ bản hoặc dẫn xuất nào dùng để mô tả định lượng hệ thống đều có thể dùng làm thông số thiết kế. Vì vậy, đây có thể là những giá trị chưa biết về chiều dài, khối lượng, thời gian, nhiệt độ. Số lượng các tham số thiết kế đặc trưng cho mức độ phức tạp của một vấn đề thiết kế nhất định. Thông thường số lượng tham số thiết kế được ký hiệu là n, bản thân các tham số thiết kế là x với các chỉ số tương ứng. Như vậy, n tham số thiết kế của bài toán này sẽ được ký hiệu là X1, X2, X3,...Xp. Cần lưu ý rằng trong một số nguồn, các tham số thiết kế có thể được coi là các tham số có thể kiểm soát được bên trong. Chức năng mục tiêu. Đây là biểu thức mà giá trị mà kỹ sư cố gắng đạt được là tối đa hoặc tối thiểu. Hàm mục tiêu cho phép bạn so sánh định lượng hai các giải pháp thay thế. Từ quan điểm toán học, hàm mục tiêu mô tả một số bề mặt có (n+1) chiều. Giá trị của nó được xác định bởi các thông số thiết kế M = M(x1,x2,…,xn). Ví dụ về các hàm mục tiêu thường thấy trong thực hành kỹ thuật là chi phí, trọng lượng, độ bền, kích thước, hiệu quả. Nếu chỉ có một tham số thiết kế thì hàm mục tiêu có thể được biểu diễn bằng một đường cong trên mặt phẳng (Hình 1). Nếu có hai tham số thiết kế thì hàm mục tiêu sẽ được mô tả dưới dạng một bề mặt trong không gian ba chiều (Hình 2). Với ba tham số thiết kế trở lên, các bề mặt được chỉ định bởi hàm mục tiêu được gọi là siêu bề mặt và không thể chụp ảnh được bằng phương tiện thông thường. Các đặc tính tôpô của bề mặt của hàm mục tiêu đóng một vai trò lớn trong quá trình tối ưu hóa, vì việc lựa chọn thuật toán hiệu quả nhất phụ thuộc vào chúng. Hình 1. Hàm mục tiêu một chiều. Hình 2. Hàm mục tiêu hai chiều. Hàm mục tiêu trong một số trường hợp có thể có dạng bất ngờ nhất. Ví dụ, nó không phải lúc nào cũng được biểu diễn dưới dạng toán học đóng; trong các trường hợp khác, nó có thể là một hàm tuyến tính từng đoạn. Việc xác định hàm mục tiêu đôi khi có thể yêu cầu một bảng dữ liệu kỹ thuật (ví dụ: bảng trạng thái hơi nước) hoặc có thể yêu cầu một thí nghiệm. Trong một số trường hợp, tham số thiết kế chỉ lấy giá trị nguyên. Một ví dụ là số răng của một bộ truyền bánh răng hoặc số lượng bu lông trên một mặt bích. Đôi khi các thông số thiết kế chỉ có hai nghĩa - có hoặc không. Các thông số định tính, chẳng hạn như sự hài lòng của người mua đã mua sản phẩm, độ tin cậy, tính thẩm mỹ, rất khó tính đến trong quá trình tối ưu hóa, vì chúng hầu như không thể mô tả một cách định lượng. Tuy nhiên, dù hàm mục tiêu được trình bày dưới dạng nào thì nó cũng phải là hàm rõ ràng của các tham số thiết kế. Một số bài toán tối ưu hóa yêu cầu đưa vào nhiều hơn một hàm mục tiêu. Đôi khi một trong số chúng có thể không tương thích với cái kia. Một ví dụ là thiết kế máy bay, trong đó yêu cầu đồng thời về độ bền tối đa, trọng lượng tối thiểu và chi phí tối thiểu. Trong những trường hợp như vậy, người thiết kế phải đưa ra một hệ thống ưu tiên và gán một hệ số không thứ nguyên nhất định cho từng hàm mục tiêu. Kết quả là, một “hàm thỏa hiệp” xuất hiện, cho phép sử dụng một hàm mục tiêu tổng hợp trong quá trình tối ưu hóa. Tìm kiếm tối thiểu và tối đa. Một số thuật toán tối ưu hóa được thiết kế để tìm mức tối đa, một số thuật toán khác - để tìm mức tối thiểu. Tuy nhiên, bất kể loại bài toán cực trị nào đang được giải, bạn có thể sử dụng cùng một thuật toán, vì bài toán cực tiểu có thể dễ dàng chuyển thành bài toán tìm kiếm cực đại bằng cách đảo ngược dấu của hàm mục tiêu. Kỹ thuật này được minh họa trong hình 3. Hình 3. Khi dấu của hàm mục tiêu thay đổi ngược lại trong một bài toán cực tiểu, nó sẽ biến nó thành một bài toán cực đại. Không gian thiết kế. Đây là tên của khu vực được xác định bởi tất cả n tham số thiết kế. Không gian thiết kế không lớn như người ta tưởng, vì nó thường bị giới hạn bởi một số điều kiện liên quan đến bản chất vật lý của vấn đề. Những hạn chế có thể mạnh đến mức vấn đề sẽ không có một giải pháp thỏa đáng nào. Các ràng buộc được chia thành hai nhóm: ràng buộc – bình đẳng và ràng buộc – bất bình đẳng. Ràng buộc bình đẳng là sự phụ thuộc giữa các tham số thiết kế phải được tính đến khi tìm giải pháp. Chúng phản ánh các quy luật tự nhiên, kinh tế, luật pháp, thị hiếu phổ biến và tính sẵn có vật liệu cần thiết. Số lượng ràng buộc - đẳng thức có thể là bất kỳ. Họ trông giống như C1(X1, X2, X3, . . ., Xn) = 0, C2(X1,X2,X3,..,Xn) = 0, ..…………………………….. Cj(X1, X2, X 3,..., Xn) = 0. Ràng buộc bất bình đẳng là một loại ràng buộc đặc biệt được thể hiện bằng bất đẳng thức. TRONG trường hợp chung có thể có bao nhiêu tùy thích và tất cả chúng đều có dạng z1 ?r1(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z1 z2 ?r2(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z2 ……………………………………… zk ?rk(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Zk Cần lưu ý rằng rất thường xuyên, do những hạn chế, giá trị tối ưu của hàm mục tiêu không đạt được khi bề mặt của nó có độ dốc bằng 0. Thường Quyết định tốt nhất tương ứng với một trong các ranh giới của khu vực thiết kế. Hạn chế trực tiếp và chức năng. Hạn chế trực tiếp có dạng xin chào? xi? xin chào tôi? , trong đó xнi, xвi - tối thiểu và tối đa giá trị hợp lệ tham số điều khiển thứ i; n là chiều không gian của các tham số được điều khiển. Ví dụ, đối với nhiều đối tượng, tham số của các phần tử không thể âm: xнi ? 0 (kích thước hình học, điện trở, khối lượng, v.v.). Theo quy tắc, các hạn chế về chức năng thể hiện các điều kiện để thực hiện các tham số đầu ra không có trong hàm đích. Hạn chế về chức năng có thể là: tz (X) > 0, (2.2) trong đó w(X) và q(X) là các hàm vectơ. Các hạn chế trực tiếp và chức năng tạo thành khu vực tìm kiếm được phép: ХД = (Х | w(Х) = 0, ц (Х)>0, xi › xнi , xi ‹ xвi cho tôi ? ). Nếu các hạn chế (2.1) và (2.2) trùng với các điều kiện hiệu suất thì vùng cho phép còn được gọi là vùng hiệu suất XP. Bất kỳ điểm X nào thuộc CD đều là nghiệm khả thi của bài toán. Tổng hợp tham số thường được đặt ra như bài toán xác định bất kỳ giải pháp khả thi nào. Tuy nhiên, điều quan trọng hơn nhiều là giải quyết vấn đề tối ưu hóa - tìm ra giải pháp tối ưu trong số các giải pháp khả thi. Tối ưu cục bộ Đây là tên của điểm trong không gian thiết kế mà hàm mục tiêu có giá trị cao nhất so với giá trị của nó tại tất cả các điểm khác trong vùng lân cận của nó. Hình 4 cho thấy hàm mục tiêu một chiều có hai điểm tối ưu cục bộ. Thông thường, không gian thiết kế chứa nhiều tối ưu cục bộ và phải cẩn thận để không nhầm lẫn cái đầu tiên với giải pháp tối ưu cho vấn đề. Hình 4. Một hàm mục tiêu tùy ý có thể có một số tối ưu cục bộ. Tối ưu toàn cục là giải pháp tối ưu cho toàn bộ không gian thiết kế. Nó tốt hơn tất cả các giải pháp khác tương ứng với tối ưu cục bộ và đó là điều mà nhà thiết kế đang tìm kiếm. Có thể có một số điểm tối ưu toàn cục bằng nhau nằm trong các bộ phận khác nhau không gian thiết kế. Điều này cho phép bạn chọn lựa chọn tốt nhất bằng nhau lựa chọn tối ưu bằng hàm mục tiêu. TRONG trong trường hợp này người thiết kế có thể chọn một phương án một cách trực quan hoặc dựa trên sự so sánh các phương án thu được. Lựa chọn các tiêu chí. Vấn đề chính trong việc thiết lập các bài toán cực trị là việc xây dựng hàm mục tiêu. Khó khăn trong việc lựa chọn hàm mục tiêu nằm ở chỗ, bất kỳ đối tượng kỹ thuật nào ban đầu đều có tính chất vectơ là tiêu chí tối ưu (đa tiêu chí). Hơn nữa, theo quy luật, việc cải thiện một trong các tham số đầu ra sẽ dẫn đến sự suy giảm ở tham số kia, vì tất cả các tham số đầu ra đều là hàm của cùng các tham số được kiểm soát và không thể thay đổi độc lập với nhau. Các tham số đầu ra như vậy được gọi là tham số xung đột. Phải có một hàm mục tiêu (nguyên tắc duy nhất). Rút gọn một bài toán nhiều tiêu chí về một bài toán một tiêu chí được gọi là tích chập của một tiêu chí vectơ. Nhiệm vụ tìm cực trị của nó được quy giản thành một bài toán lập trình toán học. Tùy thuộc vào cách các tham số đầu ra được chọn và kết hợp trong hàm chất lượng vô hướng, các tiêu chí một phần, cộng, nhân, cực tiểu, thống kê và các tiêu chí khác được phân biệt. TRONG điều khoản tham chiếuđối với việc thiết kế một đối tượng kỹ thuật, các yêu cầu đối với các thông số đầu ra chính được chỉ định. Các yêu cầu này được thể hiện dưới dạng dữ liệu số cụ thể, phạm vi biến đổi, điều kiện vận hành và các giá trị tối thiểu hoặc tối đa có thể chấp nhận được. Mối quan hệ bắt buộc giữa các thông số đầu ra và yêu cầu kỹ thuật (TR) được gọi là điều kiện thực hiện và được viết dưới dạng: yi< TTi , i О ; yi >TTj, j O; năm = TTr ± ?năm; r Ô. trong đó yi, yj, yr - tập hợp các tham số đầu ra; TTi, TTj, TTr - giá trị định lượng yêu cầu của các thông số đầu ra tương ứng theo quy định kỹ thuật; Năm- sức chịu đựng Tham số đầu ra thứ r từ giá trị TTr được chỉ định trong thông số kỹ thuật. Điều kiện hoạt động có tầm quan trọng quyết định trong sự phát triển thiết bị kỹ thuật, vì nhiệm vụ thiết kế là chọn một giải pháp thiết kế trong đó cách tốt nhất tất cả các điều kiện hoạt động được đáp ứng trong toàn bộ phạm vi thay đổi thông số bên ngoài và sau khi đáp ứng tất cả các yêu cầu của thông số kỹ thuật. Tiêu chí cụ thể có thể được sử dụng trong trường hợp trong số các tham số đầu ra có thể xác định được một tham số chính yi(X), tham số này phản ánh đầy đủ nhất tính hiệu quả của đối tượng được thiết kế. Tham số này được lấy làm hàm mục tiêu. Ví dụ về các thông số như vậy là: đối với cơ sở năng lượng - năng lượng, đối với máy công nghệ - năng suất, đối với phương tiện giao thông- dung tải. Đối với nhiều đối tượng kỹ thuật, tham số này là chi phí. Các điều kiện hoạt động của tất cả các tham số đầu ra khác của đối tượng được gọi là các hạn chế chức năng. Tối ưu hóa dựa trên công thức như vậy được gọi là tối ưu hóa theo một tiêu chí cụ thể. Ưu điểm của phương pháp này là tính đơn giản; nhược điểm đáng kể là chỉ có thể đạt được biên độ hiệu quả lớn cho tham số chính, được chấp nhận làm hàm mục tiêu và các tham số đầu ra khác sẽ không có biên độ nào cả. Tiêu chí phụ gia có trọng số được sử dụng khi các điều kiện hoạt động cho phép phân biệt hai nhóm thông số đầu ra. Nhóm đầu tiên bao gồm các tham số đầu ra, các giá trị của chúng sẽ được tăng lên trong quá trình tối ưu hóa y+i(X) (hiệu suất, khả năng chống ồn, xác suất hoạt động không bị lỗi, v.v.), nhóm thứ hai bao gồm các tham số đầu ra, các giá trị của nó phải giảm y-i (X) ( mức tiêu thụ nhiên liệu, thời gian của quá trình nhất thời, vượt mức, dịch chuyển, v.v.). Việc kết hợp một số tham số đầu ra, thường có các kích thước vật lý khác nhau, thành một hàm mục tiêu vô hướng đòi hỏi phải chuẩn hóa sơ bộ các tham số này. Các phương pháp chuẩn hóa tham số sẽ được thảo luận dưới đây. Bây giờ, chúng ta sẽ giả sử rằng tất cả y(X) đều không thứ nguyên và trong số chúng không có cái nào tương ứng với các điều kiện thực hiện của loại đẳng thức. Khi đó, đối với trường hợp cực tiểu hóa hàm mục tiêu thì tích chập của tiêu chuẩn vectơ sẽ có dạng trong đó aj>0 là hệ số trọng số xác định mức độ quan trọng của tham số đầu ra thứ j (thường aj được người thiết kế chọn và không đổi trong quá trình tối ưu hóa). Hàm mục tiêu ở dạng (2.1), biểu thị tiêu chí cộng, cũng có thể được viết trong trường hợp khi tất cả hoặc các điều kiện thực hiện chính có dạng đẳng thức. Khi đó hàm mục tiêu xác định xấp xỉ căn bậc hai của yj(X) với các yêu cầu kỹ thuật đã cho TTj. Tiêu chí nhân có thể được sử dụng trong trường hợp không có điều kiện thực hiện kiểu đẳng thức và các tham số đầu ra không thể chấp nhận giá trị 0. Khi đó hàm mục tiêu nhân cần cực tiểu có dạng Một trong những hạn chế đáng kể nhất của cả tiêu chí cộng và tiêu chí nhân là không tính đến các yêu cầu kỹ thuật đối với các tham số đầu ra khi xây dựng bài toán. Tiêu chí dạng hàm được sử dụng khi tác vụ được thiết lập phù hợp nhất với đặc tính (tham chiếu) yCT(X, y) đã cho với đặc tính đầu ra tương ứng y(X, y) của đối tượng được thiết kế, trong đó y là một biến nào đó, ví dụ: tần số, thời gian, biến pha đã chọn. Những nhiệm vụ này bao gồm: thiết kế một hệ thống điều khiển tự động cung cấp loại quy trình nhất thời cần thiết cho tham số được điều khiển; xác định các tham số của mô hình bóng bán dẫn phù hợp tối đa với lý thuyết của nó đặc tính dòng điện-điện áp với những cái thử nghiệm; tìm kiếm các tham số của tiết diện dầm, các giá trị dẫn đến sự trùng khớp tốt nhất của biểu đồ ứng suất đã cho với biểu đồ ứng suất đã tính toán, v.v. Việc sử dụng một tiêu chí tối ưu hóa cụ thể trong những trường hợp này nhằm thay thế các đặc tính liên tục bằng một tập hợp hữu hạn các điểm nút và chọn một trong các hàm mục tiêu sau để được giảm thiểu: trong đó p là số điểm nút uj trên trục của biến u; aj - hệ số trọng số, giá trị của chúng càng lớn thì độ lệch y(X, φj) - yTT(X, φj) càng nhỏ phải lấy tại điểm thứ j. Tiêu chí Maximin (minimax) cho phép đạt được một trong những mục tiêu của thiết kế tối ưu - sự hài lòng tốt nhất về điều kiện hoạt động. Hãy giới thiệu định lượng mức độ đáp ứng của điều kiện hiệu năng thứ j, chúng ta ký hiệu nó bằng zj và gọi nó là dự trữ hiệu năng của tham số yj. Việc tính toán lề cho tham số đầu ra thứ j có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau, ví dụ: trong đó aj là hệ số trọng số; yjnom - giá trị danh nghĩa của tham số đầu ra thứ j; dj là giá trị đặc trưng cho độ phân tán của tham số đầu ra thứ j. Ở đây người ta giả định rằng tất cả các quan hệ được quy giản về dạng yi< TТj. Если yi >TTj, rồi -yj< -TТj . Следует принимать аj >1 (giá trị được đề xuất 5 ? aj ? 20), nếu muốn đạt được thứ j yêu cầu kỹ thuật với dung sai cho trước, tức là yj = TTj ± ?yj; aj=l, nếu cần đạt được ước lượng zj lớn nhất có thể. Chất lượng hiệu suất hệ thống kỹ thuậtđược đặc trưng bởi một vectơ các tham số đầu ra và do đó, một vectơ Z=(zm,zm,…,zm). Do đó, hàm mục tiêu phải được hình thành dưới dạng hàm μ(Z) nào đó của vectơ đánh giá. Ví dụ: nếu hàm mục tiêu chỉ xem xét việc dự trữ tham số đầu ra đó tại một điểm X nhất định là kém nhất xét trên quan điểm đáp ứng các yêu cầu của thông số kỹ thuật, thì trong đó m là số lượng dự trữ năng lực làm việc. Bây giờ, điều tự nhiên là đặt ra vấn đề chọn chiến lược tìm kiếm X để tối đa hóa lượng dự trữ tối thiểu, tức là trong đó HD là khu vực có thể tìm kiếm. Tiêu chí tối ưu hóa với hàm mục tiêu (2.6) được gọi là tiêu chí cực đại. Tiêu chí thống kê. Tối ưu hóa sử dụng tiêu chí thống kê nhằm đạt được xác suất hiệu suất P tối đa. Xác suất này được lấy làm hàm mục tiêu. Thế thì chúng ta có vấn đề Chuẩn hóa các tham số được kiểm soát và đầu ra. Không gian của các tham số được kiểm soát là số liệu. Vì vậy, khi chọn hướng và giá trị của các bước tìm kiếm, cần đưa ra chuẩn mực này hoặc chuẩn mực khác, xác định bằng khoảng cách giữa hai điểm. Cái sau giả định rằng tất cả các tham số được kiểm soát có cùng thứ nguyên hoặc không thứ nguyên. Khả thi nhiều cách khác nhau khẩu phần. Ví dụ, hãy xem xét phương pháp chuẩn hóa logarit, ưu điểm của phương pháp này là chuyển từ mức tăng tuyệt đối của tham số sang mức tương đối. Trong đó trường hợp tôi tham số điều khiển ui được chuyển đổi thành xi không thứ nguyên như sau: trong đó oi là hệ số, về mặt số học bằng một tham số ui. Việc chuẩn hóa các tham số đầu ra có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các hệ số trọng số, như trong tiêu chí phụ gia, hoặc bằng cách chuyển từ уj sang dự trữ hiệu suất zj theo (2.5).
A×x
N=5; m=4; b_ub = ; A_ub = [, , ,]; c = .
1. Tìm x để đảm bảo lợi nhuận tối đa
2. Tìm tài nguyên sử dụng khi thực hiện bước 1
3. Tìm các tài nguyên còn lại (nếu có) khi thực hiện bước 1
Để xác định giá trị lớn nhất (mặc định xác định giá trị nhỏ nhất thì các hệ số của hàm mục tiêu phải viết dấu âm c = [-25, -35,-25,-40,-30] và bỏ qua dấu trừ trong trước lợi nhuận.
x– một mảng các giá trị biến cung cấp mức tối thiểu (tối đa) của hàm mục tiêu;
lười biếng– giá trị của các biến bổ sung. Mỗi biến tương ứng với một ràng buộc bất đẳng thức. Giá trị biến bằng 0 có nghĩa là ràng buộc tương ứng đang hoạt động;
thành công– Đúng, nếu hàm tìm được giải pháp tối ưu;
trạng thái- Trạng thái quyết định:
0 – việc tìm kiếm giải pháp tối ưu đã hoàn thành thành công;
1 – đã đạt đến giới hạn về số lần lặp;
2 – bài toán không có lời giải;
3 – hàm mục tiêu không bị giới hạn.
cái chết- số lần lặp được thực hiện
Kết quả giải quyết vấn đề
nit 3
trạng thái 0
thành công Đúng
x [ 0. 0. 18.18181818 22.72727273 150. ]
A_ub*x
b_ub-A_ub*x [0. 0. 0. 90.90909091]
vui -5863.63636364
chùng xuống [0. 0. 0. 90.90909091] Giải bài toán kép về chương trình sản xuất tối ưu
Loại tài nguyên thứ tư trong nhiệm vụ trực tiếp không được sử dụng đầy đủ. Khi đó giá trị của nguồn lực này đối với doanh nghiệp sẽ thấp hơn so với các nguồn lực hạn chế sản xuất và doanh nghiệp sẵn sàng trả nhiều hơn giá caođể mua lại các nguồn lực nhằm tăng lợi nhuận.
b_ub là vectơ lợi nhuận từ việc sản xuất một đơn vị mỗi loại sản phẩm;
A_ub_T – ma trận chuyển vị A_ub.
minF(x)=c×x
A_ub_T ×x ≥ b_ub
c = ; Chuyển vị A_ub_T(A_ub); b_ub = .
Tìm x cho biết giá trị của nhà sản xuất từng loại tài nguyên.
Để thay thế các hạn chế ở trên bằng các hạn chế ở dưới, cần nhân cả hai phần của ràng buộc với trừ một – A_ub_T ×x ≥ b_ub... Để thực hiện việc này, hãy viết dữ liệu ban đầu dưới dạng: b_ub = [-25, -35,-25,-40,-30]; A_ub_T =- scipy.transpose(A_ub).
Kết quả giải quyết vấn đề
thứ 7
thông báo Tối ưu hóa đã kết thúc thành công.
vui vẻ 5863.63636364
x [ 2.27272727 1.81818182 6.36363636 0. ]
chùng xuống [5.45454545 2.27272727 0. 0. 0. ]
trạng thái 0
thành công Đúng kết luận
Loại nguồn lực thứ ba có giá trị lớn nhất đối với nhà sản xuất, do đó loại này tài nguyên phải được mua trước, sau đó là loại thứ nhất và thứ hai. Loại tài nguyên thứ tư không có giá trị đối với nhà sản xuất và được mua sau cùng. Kết quả so sánh bài toán trực tiếp và bài toán kép
Liên kết
Giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong gói chuyên dụng SimplexWin. http://www.Simplexwin.Narod.Ru/
II. Tìm phương án tối ưu và giá trị tối ưu của hàm mục tiêu.
I. Đăng ký dữ liệu ban đầu.
), C3 ( 
), các hệ số của hàm mục tiêu tương ứng với ô B6 ( 
), C 6 ( 
), phía bên phải của các giới hạn tương ứng với các ô F10 ( 
), F11 ( 
),F12 ( 
)vân vân.
. Sử dụng ký hiệu của các ô tương ứng trong Excel, công thức tính hàm mục tiêu có thể được viết là tổng hợp sản phẩm từng ô được phân bổ cho các giá trị của các biến nhiệm vụ (B3, C3) đến các ô tương ứng được phân bổ cho các hệ số của hàm mục tiêu (B6, C6).
TRÊN bảng tiêu chuẩn công cụ;
;
$F$11
,
$D$12
$F$12)
;
