Căn bậc hai số học của lũy thừa tự nhiên. Root và các thuộc tính của nó. Lý thuyết chi tiết kèm ví dụ (2019)

chúng ta sẽ quyết định nhiệm vụ đơn giản bằng cách tìm cạnh của hình vuông có diện tích là 9 cm 2. Nếu chúng ta giả sử rằng cạnh của hình vuông MỘT cm thì ta soạn phương trình theo điều kiện của bài toán:

MỘT X A = 9

A 2 = 9

A 2 -9 = 0

(A-3)(A+3)=0

A=3 hoặc A=-3

Độ dài cạnh của hình vuông không thể là số âm nên cạnh hình vuông cần tìm là 3 cm.

Khi giải phương trình, ta tìm được các số 3 và -3, bình phương của chúng là 9. Mỗi số này được gọi là căn bậc hai của số 9. Số không âm của các căn này, tức là số 3, được gọi là căn số học của số đó.

Sẽ khá hợp lý khi chấp nhận thực tế rằng căn bậc ba có thể được tìm thấy từ các số đến lũy thừa thứ ba (căn bậc ba), lũy thừa thứ tư, v.v. Và về cơ bản gốc là hoạt động ngược lạiđể lũy thừa.

Nguồn gốcN bằng cấp từ số α là một con số như vậy b, Ở đâu b n = α .

Đây N- số tự nhiên thường được gọi là chỉ số gốc(hoặc mức độ gốc); theo quy luật, nó lớn hơn hoặc bằng 2, vì trường hợp N = 1 xưa.

Được chỉ định trên chữ cái là ký hiệu (dấu gốc) ở bên phải được gọi là căn bản. Con số α - biểu thức căn bản. Đối với ví dụ của chúng tôi với một bữa tiệc, giải pháp có thể như thế này: bởi vì (± 3) 2 = 9 .

Chúng tôi nhận được giá trị dương và âm của gốc. Tính năng này làm phức tạp việc tính toán. Để đạt được sự rõ ràng, khái niệm này đã được đưa ra gốc số học, giá trị của nó luôn có dấu cộng, nghĩa là chỉ dương.

Nguồn gốc gọi điện Môn số học, nếu nó được trích ra từ một số dương và bản thân nó là một số dương.

Ví dụ,

Căn bậc số học của một bậc nhất định số đã cho chỉ có một.

Hoạt động tính toán thường được gọi là “ chiết xuất rễ N bậc thứ" trong số α . Về bản chất, chúng ta thực hiện thao tác ngược lại với việc nâng lũy thừa, tức là tìm cơ số của lũy thừa b theo một chỉ số đã biết N và kết quả của việc nâng lên quyền lực

α = bn.

Các gốc bậc hai và bậc ba được sử dụng trong thực tế thường xuyên hơn các gốc khác và do đó chúng được đặt những cái tên đặc biệt.

Căn bậc hai: Trong trường hợp này, người ta thường không viết số mũ 2 và thuật ngữ “gốc” mà không chỉ ra số mũ thường có nghĩa là Căn bậc hai. Giải thích về mặt hình học, là chiều dài cạnh của một hình vuông có diện tích bằng α .

Căn bậc ba: Giải thích về mặt hình học, độ dài của một cạnh của khối lập phương có thể tích bằng α .

Tính chất của các nghiệm số học.

1) Khi tính toán nghiệm số học của tích, cần phải trích xuất nó từ từng yếu tố riêng biệt

Ví dụ,

2) Để tính toán gốc của một phân số, cần phải tách nó ra khỏi tử số và mẫu số của phân số này

Ví dụ,

3) Khi tính toán gốc của bằng cấp, bạn cần chia số mũ cho số mũ gốc

Ví dụ,

Những phép tính đầu tiên liên quan đến việc trích căn bậc hai được tìm thấy trong công trình của các nhà toán học ở Babylon cổ đại và Trung Quốc, Ấn Độ, Hy Lạp (không có thông tin nào trong các nguồn về thành tựu của Ai Cập cổ đại về vấn đề này).

Các nhà toán học của Babylon cổ đại (thiên niên kỷ thứ 2 trước Công nguyên) đã sử dụng một phương pháp số đặc biệt để rút ra căn bậc hai. Xấp xỉ ban đầu cho căn bậc hai được tìm thấy dựa trên số tự nhiên gần căn bậc nhất (theo hướng nhỏ hơn) N. Biểu diễn biểu thức căn thức dưới dạng: α=n 2 +r, chúng tôi nhận được: x 0 =n+r/2n, sau đó một quy trình sàng lọc lặp lại được áp dụng:

Các phép lặp trong phương pháp này hội tụ rất nhanh. Vì ,

Ví dụ, α=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2,25 và chúng ta nhận được một chuỗi các phép tính gần đúng:

Ở giá trị cuối cùng, tất cả các chữ số đều đúng ngoại trừ chữ số cuối cùng.

Người Hy Lạp đã đưa ra bài toán nhân đôi khối lập phương, rút gọn lại là việc xây dựng căn bậc ba bằng compa và thước kẻ. Các quy tắc tính bất kỳ bậc nào của một số nguyên đã được các nhà toán học ở Ấn Độ và các quốc gia Ả Rập nghiên cứu. Sau đó chúng được phát triển rộng rãi ở châu Âu thời trung cổ.

Ngày nay, để thuận tiện cho việc tính căn bậc hai và căn bậc ba, máy tính được sử dụng rộng rãi.

Cấp độ đầu tiên

Root và các thuộc tính của nó. Lý thuyết chi tiết với các ví dụ (2019)

Chúng ta hãy thử tìm hiểu khái niệm “gốc” này là gì và “nó được ăn với cái gì”. Để làm điều này, hãy xem các ví dụ mà bạn đã gặp trong lớp (tốt, hoặc bạn sắp gặp phải điều này).

Ví dụ, chúng ta có một phương trình. Giải pháp cho phương trình này là gì? Những số nào có thể được bình phương và thu được? Nhớ lại bảng nhân, bạn có thể dễ dàng đưa ra câu trả lời: và (xét cho cùng, khi nhân hai số âm thì thu được số dương)! Để đơn giản hóa, các nhà toán học đã đưa ra một khái niệm đặc biệt về căn bậc hai và gán nó tính cách đặc biệt.

Chúng ta hãy định nghĩa căn bậc hai số học.

Tại sao số đó phải không âm? Ví dụ, nó bằng bao nhiêu? Được rồi, chúng ta hãy thử chọn một cái. Có lẽ là ba? Hãy kiểm tra: , không. Có lẽ, ? Một lần nữa, chúng tôi kiểm tra: . Chà, nó không vừa à? Điều này được mong đợi - bởi vì không có con số nào mà khi bình phương sẽ cho một số âm!
Đây là điều bạn cần nhớ: số hoặc biểu thức dưới dấu gốc phải không âm!

Tuy nhiên, những người chú ý nhất có lẽ đã nhận thấy rằng định nghĩa nói rằng nghiệm căn bậc hai của “một số được gọi là thế này” không tiêu cực số có bình phương bằng ". Một số bạn sẽ nói rằng ngay từ đầu chúng ta đã phân tích ví dụ, những số được chọn có thể bình phương và thu được, câu trả lời là và, nhưng ở đây chúng ta đang nói về một loại “số không âm” nào đó! Nhận xét này khá phù hợp. Ở đây bạn chỉ cần phân biệt giữa các khái niệm về phương trình bậc hai và căn bậc hai số học của một số. Ví dụ: không tương đương với biểu thức.

Nó theo sau đó, nghĩa là, hoặc. (Đọc chủ đề "")

Và nó theo sau điều đó.

Tất nhiên, điều này rất khó hiểu, nhưng cần nhớ rằng các dấu là kết quả của việc giải phương trình, vì khi giải phương trình, chúng ta phải viết ra tất cả các chữ X, khi thay thế vào phương trình ban đầu sẽ cho kết quả kết quả đúng. Cả hai đều phù hợp với phương trình bậc hai của chúng tôi.

Tuy nhiên, nếu chỉ cần lấy căn bậc hai từ một cái gì đó, thì luôn luôn chúng tôi nhận được một kết quả không âm.

Bây giờ hãy thử giải phương trình này. Mọi thứ không còn đơn giản và suôn sẻ nữa phải không? Hãy thử xem xét các con số, có thể điều gì đó sẽ xảy ra? Hãy bắt đầu lại từ đầu - từ đầu: - không vừa, đi tiếp - ít hơn ba, cũng gạt sang một bên, lỡ như. Hãy kiểm tra: - cũng không phù hợp, vì... đó là nhiều hơn ba. Đó là câu chuyện tương tự với số âm. Vậy chúng ta nên làm gì bây giờ? Việc tìm kiếm có thực sự không mang lại cho chúng tôi điều gì không? Không hề, bây giờ chúng ta biết chắc rằng câu trả lời sẽ là một con số nào đó giữa và, cũng như giữa và. Ngoài ra, rõ ràng các giải pháp sẽ không phải là số nguyên. Hơn nữa, họ không có lý trí. Vậy tiếp theo là gì? Hãy vẽ đồ thị của hàm số và đánh dấu các giải pháp trên đó.

Hãy thử gian lận hệ thống và nhận câu trả lời bằng máy tính! Chúng ta hãy lấy gốc ra khỏi nó! Ồ-ồ-ồ, hóa ra là thế. Con số này không bao giờ kết thúc. Làm sao bạn có thể nhớ được điều này, vì sẽ không có máy tính trong bài thi!? Mọi thứ đều rất đơn giản, bạn không cần phải nhớ mà chỉ cần nhớ (hoặc có thể ước tính nhanh) giá trị gần đúng. và chính câu trả lời. Những số như vậy được gọi là số vô tỷ; để đơn giản hóa việc viết những số đó mà khái niệm căn bậc hai đã được đưa ra.

Hãy xem một ví dụ khác để củng cố điều này. Chúng ta xét bài toán sau: bạn cần đi qua một thửa ruộng hình vuông có cạnh là km, bạn phải đi bao nhiêu km?

Điều dễ thấy nhất ở đây là xét tam giác một cách riêng biệt và sử dụng định lý Pythagore: . Như vậy, . Vậy khoảng cách cần thiết ở đây là bao nhiêu? Rõ ràng, khoảng cách không thể âm, chúng ta hiểu điều đó. Căn bậc hai gần như bằng nhau, nhưng, như chúng tôi đã lưu ý trước đó, - đã là một câu trả lời hoàn chỉnh.

Để giải các ví dụ có gốc mà không gây ra vấn đề, bạn cần nhìn và nhận biết chúng. Để làm được điều này, bạn cần biết ít nhất bình phương của các số từ đến và cũng có thể nhận ra chúng. Ví dụ, bạn cần biết thế nào là hình vuông và ngược lại, thế nào là hình vuông.

Bạn có hiểu căn bậc hai là gì không? Sau đó giải một số ví dụ.

Ví dụ.

Vâng, nó diễn ra như thế nào? Bây giờ chúng ta hãy xem những ví dụ sau:

Câu trả lời:

Khối lập phương gốc

Chà, có vẻ như chúng ta đã hiểu rõ khái niệm căn bậc hai, bây giờ chúng ta hãy thử tìm hiểu xem căn bậc ba là gì và sự khác biệt của chúng là gì.

Căn bậc ba của một số là số có khối lập phương bằng. Bạn có nhận thấy rằng mọi thứ ở đây đơn giản hơn nhiều không? Không có hạn chế nào về các giá trị có thể có của cả giá trị dưới dấu căn bậc ba và số được trích xuất. Nghĩa là, căn bậc ba có thể được trích ra từ bất kỳ số nào: .

Bạn có hiểu căn bậc ba là gì và làm thế nào để giải nén nó không? Sau đó hãy tiếp tục và giải các ví dụ.

Ví dụ.

Câu trả lời:

Gốc - ồ độ

Như vậy là chúng ta đã hiểu được khái niệm căn bậc hai và căn bậc ba. Bây giờ hãy tóm tắt lại những kiến thức đã thu được với khái niệm gốc thứ 1.

gốc thứ 1 của một số là một số có lũy thừa thứ bằng nhau, tức là

tương đương.

Nếu ngay cả, Cái đó:

với tiêu cực, biểu thức không có ý nghĩa (căn bậc chẵn của số âm không thể được gỡ bỏ!);
cho không âm() biểu thức có một nghiệm không âm.

Nếu - là số lẻ thì biểu thức có gốc duy nhất cho bất kỳ.

Đừng lo lắng, ở đây các nguyên tắc tương tự cũng được áp dụng như với căn bậc hai và căn bậc ba. Tức là những nguyên tắc mà chúng tôi đã áp dụng khi xem xét căn bậc hai, mở rộng đến mọi nghiệm bậc chẵn.

Và các tính chất được sử dụng cho căn bậc ba cũng áp dụng cho các căn bậc lẻ.

Vâng, nó đã trở nên rõ ràng hơn? Hãy xem xét các ví dụ:

Ở đây mọi thứ ít nhiều rõ ràng: đầu tiên chúng ta nhìn - vâng, mức độ chẵn, số ở dưới gốc là dương, có nghĩa là nhiệm vụ của chúng ta là tìm một số có lũy thừa thứ tư sẽ cho chúng ta. Vâng, có dự đoán nào không? Có lẽ, ? Chính xác!

Vậy bậc bằng - lẻ, số nằm dưới căn là số âm. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm một số mà khi nâng lên lũy thừa sẽ tạo ra. Khá khó để nhận ra ngay gốc rễ. Tuy nhiên, bạn có thể thu hẹp phạm vi tìm kiếm của mình ngay lập tức phải không? Thứ nhất, số được yêu cầu chắc chắn là số âm và thứ hai, người ta có thể nhận thấy rằng số đó là số lẻ và do đó số mong muốn là số lẻ. Hãy cố gắng tìm ra gốc rễ. Tất nhiên, bạn có thể loại bỏ nó một cách an toàn. Có lẽ, ?

Vâng, đây là những gì chúng tôi đang tìm kiếm! Lưu ý rằng để đơn giản hóa phép tính, chúng tôi đã sử dụng các thuộc tính của độ: .

Đặc tính cơ bản của rễ

Rõ ràng? Nếu không, thì sau khi xem các ví dụ, mọi thứ sẽ đâu vào đấy.

Nhân rễ

Làm thế nào để nhân giống rễ? Thuộc tính đơn giản và cơ bản nhất giúp trả lời câu hỏi này:

Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản:

Có phải gốc của các số kết quả không được trích xuất chính xác? Không vấn đề gì - đây là một số ví dụ:

Điều gì sẽ xảy ra nếu không có hai mà có nhiều số nhân hơn? Giống nhau! Công thức nhân rễ có tác dụng với bất kỳ số lượng yếu tố nào:

Chúng ta có thể làm gì với nó? Tất nhiên, hãy giấu số ba dưới gốc, nhớ rằng số ba là căn bậc hai của!

Tại sao chúng ta cần điều này? Có, chỉ để mở rộng khả năng của chúng tôi khi giải các ví dụ:

Bạn thích đặc tính này của rễ như thế nào? Nó có làm cho cuộc sống dễ dàng hơn nhiều không? Đối với tôi điều đó hoàn toàn đúng! Bạn chỉ cần nhớ điều đó Chúng ta chỉ có thể nhập số dương dưới dấu căn của bậc chẵn.

Hãy xem nơi nào khác điều này có thể hữu ích. Ví dụ: bài toán yêu cầu so sánh hai số:

Còn nữa:

Bạn không thể nói ngay được. Chà, chúng ta hãy sử dụng thuộc tính đã tách rời của việc nhập một số dưới dấu gốc? Rồi đi thẳng:

Vâng, biết những gì số lớn hơn dưới dấu hiệu của gốc, bản thân gốc càng lớn! Những thứ kia. nếu thì, . Từ đó chúng tôi kết luận chắc chắn rằng. Và không ai sẽ thuyết phục chúng tôi bằng cách khác!

Trước đó, chúng ta đã nhập một số nhân dưới dấu căn, nhưng làm cách nào để loại bỏ nó? Bạn chỉ cần phân tích nó thành thừa số và trích xuất những gì bạn trích xuất được!

Có thể đi một con đường khác và mở rộng sang các yếu tố khác:

Không tệ, phải không? Bất kỳ cách tiếp cận nào trong số này đều đúng, hãy quyết định theo ý muốn của bạn.

Ví dụ: đây là một biểu thức:

Trong ví dụ này, bậc là chẵn, nhưng nếu nó là bậc lẻ thì sao? Một lần nữa, hãy áp dụng các tính chất của số mũ và phân tích mọi thứ:

Mọi thứ có vẻ rõ ràng với điều này, nhưng làm thế nào để trích xuất căn nguyên của một số thành lũy thừa? Ví dụ, đây là:

Khá đơn giản phải không? Nếu mức độ lớn hơn hai thì sao? Chúng ta tuân theo logic tương tự bằng cách sử dụng các thuộc tính của độ:

Chà, mọi thứ đã rõ ràng chưa? Sau đây là một ví dụ:

Cái này đá dưới nước, về họ luôn đáng nhớ. Điều này thực sự được phản ánh trong các ví dụ về thuộc tính:

cho số lẻ:
cho số chẵn và:

Rõ ràng? Củng cố bằng ví dụ:

Vâng, chúng ta thấy rằng căn thức là lũy thừa chẵn, số âm bên dưới căn thức cũng là lũy thừa chẵn. Chà, nó có hoạt động giống nhau không? Đây là những gì:

Đó là tất cả! Bây giờ đây là một số ví dụ:

Hiểu rồi? Sau đó hãy tiếp tục và giải các ví dụ.

Ví dụ.

Câu trả lời.

Nếu bạn đã nhận được câu trả lời, thì bạn có thể yên tâm bước tiếp. Nếu không, hãy hiểu những ví dụ sau:

Chúng ta hãy xem xét hai tính chất khác của rễ:

Những tính chất này phải được phân tích trong các ví dụ. Vâng, chúng ta hãy làm điều này?

Hiểu rồi? Hãy bảo vệ nó.

Ví dụ.

Câu trả lời.

ROOTS VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG. MỨC TRUNG BÌNH

Căn bậc hai số học

Phương trình có hai nghiệm: và. Đây là những số có bình phương bằng.

Hãy xem xét phương trình. Hãy giải quyết nó bằng đồ họa. Hãy vẽ đồ thị của hàm số và một đường thẳng ở mức đó. Giao điểm của các đường này sẽ là nghiệm. Chúng ta thấy rằng phương trình này cũng có hai nghiệm - một dương, một âm:

Nhưng ở trong trường hợp này nghiệm không phải là số nguyên. Hơn nữa, họ không có lý trí. Để viết ra những quyết định phi lý này, chúng tôi giới thiệu một ký hiệu căn bậc hai đặc biệt.

Căn bậc hai số học là số không âm có bình phương bằng. Khi biểu thức không được xác định, bởi vì Không có số nào mà bình phương của nó bằng số âm.

Căn bậc hai: .

Ví dụ, . Và nó theo sau đó hoặc.

Hãy để tôi thu hút sự chú ý của bạn một lần nữa, điều này rất quan trọng: Căn bậc hai luôn là số không âm: !

Khối lập phương gốc của một số là số có lập phương bằng. Căn bậc ba được xác định cho tất cả mọi người. Nó có thể được trích xuất từ bất kỳ số nào: . Như bạn có thể thấy, nó cũng có thể nhận giá trị âm.

Căn bậc thứ của một số là một số có lũy thừa thứ bằng nhau, tức là

Nếu chẵn thì:

nếu thì căn bậc thứ của a không được xác định.
nếu thì căn không âm của phương trình được gọi là căn số học bậc thứ và được ký hiệu là.

Nếu - là số lẻ thì phương trình có nghiệm duy nhất cho bất kỳ.

Bạn có nhận thấy rằng ở bên trái phía trên dấu căn chúng ta viết mức độ của nó không? Nhưng không phải cho căn bậc hai! Nếu bạn nhìn thấy một căn bậc không có bậc thì có nghĩa là nó có hình vuông (độ).

Ví dụ.

Đặc tính cơ bản của rễ

ROOTS VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Căn bậc hai (căn bậc hai số học) từ một số không âm được gọi là số này số không âm có bình phương là

Tính chất của rễ:

Đã đến lúc sắp xếp nó ra phương pháp chiết xuất rễ. Chúng dựa trên các tính chất của nghiệm, đặc biệt là dựa trên đẳng thức, điều này đúng với mọi số không âm b.

Dưới đây chúng ta sẽ xem xét từng phương pháp chính để chiết xuất rễ.

Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất - trích xuất căn từ các số tự nhiên bằng cách sử dụng bảng bình phương, bảng hình khối, v.v.

Nếu các bảng hình vuông, hình khối, v.v... Nếu bạn không có nó trong tay, sẽ hợp lý khi sử dụng phương pháp trích xuất gốc, bao gồm việc phân tách số căn thành thừa số nguyên tố.

Điều đáng đặc biệt cần đề cập là những gì có thể xảy ra đối với các nghiệm có số mũ lẻ.

Cuối cùng, hãy xem xét một phương pháp cho phép chúng ta tìm tuần tự các chữ số của giá trị gốc.

Bắt đầu nào.

Sử dụng bảng hình vuông, bảng hình khối, v.v.

Trong hầu hết trường hợp đơn giản các bảng hình vuông, hình khối, v.v. cho phép bạn trích xuất các căn. Những bảng này là gì?

Bảng bình phương các số nguyên từ 0 đến 99 (hiển thị bên dưới) bao gồm hai vùng. Vùng đầu tiên của bảng nằm ở nền màu xám, cô ấy đang sử dụng sự lựa chọn chuỗi cụ thể và một cột cụ thể cho phép bạn soạn một số từ 0 đến 99. Ví dụ: hãy chọn một hàng gồm 8 chục và một cột gồm 3 đơn vị, với điều này chúng tôi đã cố định số 83. Khu vực thứ hai chiếm phần còn lại của bảng. Mỗi ô nằm ở giao điểm của một hàng nhất định và một cột nhất định và chứa bình phương của số tương ứng từ 0 đến 99. Tại giao điểm của hàng 8 chục và cột 3 hàng đơn vị đã chọn của chúng ta có một ô có số 6,889, là bình phương của số 83.

Bảng hình lập phương, bảng lũy thừa bậc 4 của các số từ 0 đến 99, v.v., tương tự như bảng bình phương, chỉ khác là chúng chứa các hình lập phương, lũy thừa thứ tư, v.v. ở vùng thứ hai. số tương ứng.

Bảng hình vuông, hình khối, lũy thừa bậc 4, v.v. cho phép bạn trích xuất căn bậc hai, căn bậc ba, căn bậc bốn, v.v. tương ứng từ các con số trong các bảng này. Hãy để chúng tôi giải thích nguyên tắc sử dụng của chúng khi chiết xuất rễ.

Giả sử chúng ta cần trích xuất căn bậc n của số a, trong khi số a nằm trong bảng lũy thừa thứ n. Sử dụng bảng này chúng ta tìm được số b sao cho a=b n. Sau đó , do đó, số b sẽ là nghiệm mong muốn của bậc n.

Ví dụ: hãy trình bày cách sử dụng bảng khối để trích xuất căn bậc ba của 19.683. Ta tìm số 19.683 trong bảng lập phương, từ đó ta thấy số này là lập phương của số 27, do đó, .

Rõ ràng là các bảng lũy thừa bậc n rất thuận tiện cho việc rút ra nghiệm. Tuy nhiên, chúng thường không có sẵn và việc biên soạn chúng cần một chút thời gian. Hơn nữa, thường cần phải trích rút các nghiệm từ các số không có trong các bảng tương ứng. Trong những trường hợp này, bạn phải dùng đến các phương pháp chiết gốc khác.

Phân tích số căn thành thừa số nguyên tố

Đủ một cách thuận tiện, giúp có thể trích rút căn từ một số tự nhiên (tất nhiên nếu căn được rút ra), là sự phân tách số căn thành thừa số nguyên tố. Của anh ấy vấn đề là thế này: sau đó khá dễ dàng để biểu diễn nó như một sức mạnh với chỉ số cần thiết, cho phép bạn lấy giá trị của gốc. Hãy làm rõ điểm này.

Lấy căn bậc n của một số tự nhiên a và giá trị của nó bằng b. Trong trường hợp này, đẳng thức a=b n là đúng. Số b thích cái nào số tự nhiên có thể được biểu diễn dưới dạng tích của tất cả các thừa số nguyên tố p 1 , p 2 , …, p m ở dạng p 1 · p 2 · … · p m , và số căn a trong trường hợp này được biểu diễn dưới dạng (p 1 · p 2 · … · p m) n. Vì việc phân tách một số thành thừa số nguyên tố là duy nhất nên việc phân tách số căn a thành thừa số nguyên tố sẽ có dạng (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, giúp tính được giá trị của căn thức BẰNG.

Lưu ý rằng nếu phép phân tách thành thừa số nguyên tố của một số căn a không thể biểu diễn dưới dạng (p 1 ·p 2 ·…·p m) n thì căn bậc n của số a đó không được trích xuất hoàn toàn.

Hãy tìm ra điều này khi giải các ví dụ.

Ví dụ.

Lấy căn bậc hai của 144.

Giải pháp.

Nếu chúng ta tham khảo bảng bình phương ở đoạn trước, thì rõ ràng 144 = 12 2, từ đó ta thấy căn bậc hai của 144 bằng 12.

Nhưng xét theo điểm này, chúng ta quan tâm đến cách rút ra nghiệm bằng cách phân tích căn số 144 thành thừa số nguyên tố. Hãy nhìn vào giải pháp này.

Hãy phân hủy 144 đến thừa số nguyên tố:

Tức là 144=2·2·2·2·3·3. Dựa trên sự phân hủy kết quả, các phép biến đổi sau có thể được thực hiện: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Kể từ đây, .

Sử dụng các tính chất của bậc và các tính chất của nghiệm, nghiệm có thể được xây dựng hơi khác một chút: .

Trả lời:

Để củng cố tài liệu, hãy xem xét các giải pháp cho hai ví dụ nữa.

Ví dụ.

Tính giá trị của gốc.

Giải pháp.

Phân tích thừa số nguyên tố của căn số 243 có dạng 243=3 5 . Như vậy, .

Trả lời:

Ví dụ.

Giá trị gốc có phải là số nguyên không?

Giải pháp.

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy phân tích số căn thức thành thừa số nguyên tố và xem liệu nó có thể được biểu diễn dưới dạng lập phương của một số nguyên hay không.

Chúng ta có 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Việc khai triển kết quả không thể được biểu diễn dưới dạng lập phương của một số nguyên, vì lũy thừa của thừa số nguyên tố 7 không phải là bội số của ba. Do đó, căn bậc ba của 285.768 không thể được trích xuất hoàn toàn.

Trả lời:

KHÔNG.

Trích xuất gốc từ số phân số

Đã đến lúc tìm ra cách trích xuất root từ Số phân số. Gọi số căn bậc hai được viết là p/q. Theo tính chất nghiệm của thương, đẳng thức sau đây đúng. Từ sự bình đẳng này suy ra quy tắc rút căn của phân số: Căn thức của một phân số bằng thương của căn của tử số chia cho căn của mẫu số.

Hãy xem một ví dụ về việc rút ra nghiệm từ một phân số.

Ví dụ.

Căn bậc hai của phân số chung 25/169 là bao nhiêu?

Giải pháp.

Sử dụng bảng bình phương, ta thấy căn bậc hai của tử số của phân số ban đầu bằng 5 và căn bậc hai của mẫu số bằng 13. Sau đó . Điều này hoàn thành việc trích xuất gốc của phân số chung 25/169.

Trả lời:

Căn nguyên của một phân số thập phân hoặc hỗn số được rút ra sau khi thay thế số căn bằng phân số thông thường.

Ví dụ.

Lấy căn bậc ba của phân số thập phân 474,552.

Giải pháp.

Hãy tưởng tượng bản gốc số thập phân dưới dạng phân số chung: 474,552=474552/1000. Sau đó . Nó vẫn còn để trích xuất các căn bậc ba nằm trong tử số và mẫu số của phân số kết quả. Bởi vì 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 và 1 000 = 10 3 thì Và . Tất cả những gì còn lại là hoàn thành các tính toán .

Trả lời:

Lấy căn của số âm

Rất đáng để tập trung vào việc rút ra các nghiệm từ các số âm. Khi nghiên cứu căn, chúng ta đã nói rằng khi số mũ căn là số lẻ thì dưới dấu căn có thể có số âm. Chúng tôi đặt cho những mục này ý nghĩa như sau: với số âm −a và số mũ lẻ của căn 2 n−1, . Sự bình đẳng này mang lại quy tắc rút căn lẻ từ số âm: để trích căn của một số âm, bạn cần lấy căn của số dương đối diện và đặt dấu trừ trước kết quả.

Hãy xem giải pháp ví dụ.

Ví dụ.

Tìm giá trị của gốc.

Giải pháp.

Hãy biến đổi biểu thức ban đầu để có một số dương dưới dấu căn: . Bây giờ thay thế hỗn số bằng một phân số thông thường: . Ta áp dụng quy tắc rút căn của một phân số thông thường: . Vẫn còn phải tính căn bậc hai ở tử số và mẫu số của phân số thu được: .

Dưới đây là một bản tóm tắt ngắn gọn về giải pháp: .

Trả lời:

Xác định bitwise của giá trị gốc

TRONG trường hợp chung dưới gốc có một số mà khi sử dụng các kỹ thuật đã thảo luận ở trên thì không thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa bậc n của bất kỳ số nào. Nhưng trong trường hợp này cần phải biết ý nghĩa của một gốc nhất định, ít nhất là ở một dấu hiệu nhất định. Trong trường hợp này, để trích xuất gốc, bạn có thể sử dụng thuật toán cho phép bạn tuần tự lấy đủ số giá trị chữ số của số mong muốn.

Ở bước đầu tiên của thuật toán này bạn cần tìm ra bit quan trọng nhất của giá trị gốc là gì. Để làm được điều này, các số 0, 10, 100, ... được tuần tự nâng lên lũy thừa n cho đến khi thu được một số vượt quá số căn. Khi đó số mà chúng ta lũy thừa n ở bước trước sẽ chỉ ra chữ số có nghĩa lớn nhất tương ứng.

Ví dụ, hãy xem xét bước này của thuật toán khi trích căn bậc hai của 5. Lấy các số 0, 10, 100, ... và bình phương chúng cho đến khi chúng ta nhận được số lớn hơn 5. Chúng ta có 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, nghĩa là chữ số có nghĩa lớn nhất sẽ là chữ số hàng đơn vị. Giá trị của bit này cũng như các giá trị thấp hơn sẽ được tìm thấy trong các bước tiếp theo của thuật toán trích xuất gốc.

Tất cả các bước tiếp theo của thuật toán đều nhằm mục đích làm rõ tuần tự giá trị của gốc bằng cách tìm giá trị của các bit tiếp theo của giá trị gốc mong muốn, bắt đầu từ giá trị cao nhất và di chuyển đến giá trị thấp nhất. Ví dụ: giá trị của gốc ở bước đầu tiên hóa ra là 2, ở bước thứ hai – 2,2, ở bước thứ ba – 2,23, v.v. 2.236067977…. Hãy để chúng tôi mô tả cách tìm thấy các giá trị của các chữ số.

Các chữ số được tìm thấy bằng cách tìm kiếm thông qua các giá trị có thể có của chúng là 0, 1, 2, ..., 9. Trong trường hợp này, lũy thừa bậc n của các số tương ứng được tính song song và chúng được so sánh với số căn. Nếu ở một giai đoạn nào đó giá trị của độ vượt quá số căn thì giá trị của chữ số tương ứng với giá trị trước đó được coi là đã tìm thấy và quá trình chuyển đổi được thực hiện thành bước tiếp theo thuật toán trích xuất gốc, nhưng nếu điều này không xảy ra thì giá trị của bit này là 9.

Hãy để chúng tôi giải thích những điểm này bằng cách sử dụng cùng một ví dụ về việc lấy căn bậc hai của 5.

Đầu tiên ta tìm giá trị của chữ số hàng đơn vị. Chúng ta sẽ lần lượt đi qua các giá trị 0, 1, 2, ..., 9, tính 0 2, 1 2, ..., 9 2 cho đến khi thu được giá trị lớn hơn căn số 5. Thật thuận tiện để trình bày tất cả các tính toán này dưới dạng bảng:

Vậy giá trị của chữ số hàng đơn vị là 2 (vì 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Hãy chuyển sang tìm giá trị của vị trí phần mười. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ bình phương các số 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, so sánh các giá trị thu được với căn số 5:

Kể từ 2,2 2<5 , а 2,3 2 >5 thì giá trị của vị trí thứ mười là 2. Bạn có thể tiến hành tìm giá trị của vị trí hàng trăm:

Đây là cách tìm ra giá trị tiếp theo của căn bậc 5, nó bằng 2,23. Và vì vậy bạn có thể tiếp tục tìm thấy các giá trị: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích việc trích xuất gốc với độ chính xác hàng trăm bằng thuật toán được xem xét.

Đầu tiên chúng ta xác định chữ số có ý nghĩa nhất. Để làm điều này, chúng ta lập phương các số 0, 10, 100, v.v. cho đến khi chúng ta nhận được số lớn hơn 2.151.186. Chúng ta có 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , vậy chữ số có ý nghĩa lớn nhất là chữ số hàng chục.

Hãy xác định giá trị của nó.

Kể từ ngày 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 thì giá trị hàng chục là 1. Hãy chuyển sang đơn vị.

Vậy giá trị của chữ số hàng đơn vị là 2. Hãy chuyển sang phần mười.

Vì số chẵn 12,9 3 nhỏ hơn số căn 2 151,186 nên giá trị của vị trí phần mười là 9. Vẫn còn phải thực hiện bước cuối cùng của thuật toán, nó sẽ cho chúng ta giá trị của nghiệm với độ chính xác cần thiết.

Ở giai đoạn này, giá trị của gốc được tìm thấy chính xác đến phần trăm: .

Để kết thúc bài viết này, tôi muốn nói rằng có nhiều cách khác để rút rễ. Nhưng đối với hầu hết các nhiệm vụ, những nhiệm vụ chúng tôi đã nghiên cứu ở trên là đủ.

Thư mục.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: SGK lớp 8. các cơ sở giáo dục.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Đại số và khởi đầu của giải tích: Sách giáo khoa lớp 10 - 11 cơ sở giáo dục phổ thông.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán (sổ tay dành cho học sinh vào các trường kỹ thuật).

Xin chúc mừng: hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về cội nguồn - một trong những chủ đề gây ấn tượng nhất ở lớp 8. :)

Nhiều người nhầm lẫn về căn số, không phải vì chúng phức tạp (điều phức tạp về nó - một vài định nghĩa và một vài tính chất nữa), mà bởi vì trong hầu hết các sách giáo khoa phổ thông, căn số được định nghĩa qua một khu rừng rậm mà chỉ có các tác giả của sách giáo khoa mới xác định được. bản thân họ có thể hiểu được văn bản này. Và thậm chí chỉ với một chai rượu whisky ngon. :)

Vì vậy, bây giờ tôi sẽ đưa ra định nghĩa chính xác nhất và hợp lý nhất về gốc - định nghĩa duy nhất mà bạn thực sự nên nhớ. Và sau đó tôi sẽ giải thích: tại sao tất cả những điều này lại cần thiết và cách áp dụng nó vào thực tế.

Nhưng trước tiên, hãy nhớ một điểm quan trọng mà nhiều người biên soạn sách giáo khoa vì lý do nào đó mà “quên”:

Các nghiệm có thể có mức độ chẵn ($\sqrt(a)$ yêu thích của chúng tôi, cũng như tất cả các loại $\sqrt(a)$ và thậm chí $\sqrt(a)$) và mức độ lẻ (tất cả các loại $\sqrt (a)$, $\sqrt(a)$, v.v.). Và định nghĩa của nghiệm bậc lẻ có phần khác với định nghĩa của bậc chẵn.

Có lẽ 95% tất cả các lỗi và hiểu lầm liên quan đến nguồn gốc đều được ẩn giấu trong cái "hơi khác" chết tiệt này. Vì vậy, hãy làm rõ thuật ngữ này một lần và mãi mãi:

Sự định nghĩa. Ngay cả gốc N từ số $a$ là bất kỳ không tiêu cực số $b$ sao cho $((b)^(n))=a$. Và căn lẻ của cùng một số $a$ nói chung là bất kỳ số $b$ nào có cùng đẳng thức: $((b)^(n))=a$.

Trong mọi trường hợp, gốc được biểu thị như sau:

\(Một)\]

Số $n$ trong ký hiệu như vậy được gọi là số mũ gốc và số $a$ được gọi là biểu thức căn thức. Cụ thể, với $n=2$, chúng ta nhận được căn bậc hai “yêu thích” (nhân tiện, đây là căn bậc hai) và với $n=3$, chúng ta nhận được căn bậc ba (bậc lẻ), tức là cũng thường thấy trong các bài toán và phương trình.

Ví dụ. Ví dụ cổ điển về căn bậc hai:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nhân tiện, $\sqrt(0)=0$ và $\sqrt(1)=1$. Điều này khá logic, vì $((0)^(2))=0$ và $((1)^(2))=1$.

Rễ hình khối cũng rất phổ biến - không cần phải sợ chúng:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(căn chỉnh)\]

Chà, một vài “ví dụ kỳ lạ”:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nếu bạn không hiểu sự khác biệt giữa mức chẵn và mức lẻ là gì, hãy đọc lại định nghĩa. Rất quan trọng!

Trong khi chờ đợi, chúng ta sẽ xem xét một đặc điểm khó chịu của nghiệm, do đó chúng ta cần đưa ra một định nghĩa riêng cho số mũ chẵn và số lẻ.

Tại sao lại cần đến rễ?

Sau khi đọc định nghĩa, nhiều học sinh sẽ hỏi: “Các nhà toán học đã hút gì khi họ nghĩ ra định nghĩa này?” Và thực sự: tại sao tất cả những gốc rễ này lại cần thiết?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy quay lại trường tiểu học một lát. Hãy nhớ rằng: vào thời xa xưa, khi cây cối xanh hơn và bánh bao ngon hơn, mối quan tâm chính của chúng ta là nhân các số một cách chính xác. Chà, đại loại như “năm giờ – hai mươi lăm”, thế thôi. Nhưng bạn có thể nhân các số không phải theo cặp mà theo bộ ba, bộ bốn và nói chung là cả bộ:

\[\begin(căn chỉnh) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(căn chỉnh)\]

Tuy nhiên, đây không phải là vấn đề. Thủ thuật lại khác: các nhà toán học là những người lười biếng, nên họ gặp khó khăn khi viết ra phép nhân của mười số năm như thế này:

Đó là lý do tại sao họ nghĩ ra bằng cấp. Tại sao không viết số thừa số dưới dạng chỉ số trên thay vì một chuỗi dài? Một cái gì đó như thế này:

Nó rất tiện lợi! Tất cả các phép tính được giảm đi đáng kể và bạn không cần phải lãng phí một đống giấy da và sổ ghi chép để viết ra khoảng 5.183. Kỷ lục này được gọi là sức mạnh của một con số, một loạt tài sản được tìm thấy trong đó, nhưng hạnh phúc hóa ra chỉ tồn tại trong thời gian ngắn.

Sau một bữa tiệc rượu hoành tráng được tổ chức chỉ để “khám phá” độ, một nhà toán học đặc biệt bướng bỉnh nào đó đột nhiên hỏi: “Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta biết độ của một số, nhưng bản thân số đó lại chưa biết?” Bây giờ, thực sự, nếu chúng ta biết rằng một số $b$ nhất định, chẳng hạn, lũy thừa 5 cho 243, thì làm sao chúng ta có thể đoán chính số $b$ đó bằng bao nhiêu?

Vấn đề này hóa ra mang tính toàn cầu hơn nhiều so với cái nhìn đầu tiên. Bởi vì hóa ra đối với hầu hết các quyền hạn “làm sẵn” đều không có những con số “ban đầu” như vậy. Phán xét cho chính mình:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(căn chỉnh)\]

Điều gì sẽ xảy ra nếu $((b)^(3))=50$? Hóa ra chúng ta cần tìm một số nhất định mà khi nhân với chính nó ba lần sẽ cho ta kết quả 50. Nhưng con số này là gì? Rõ ràng nó lớn hơn 3, vì 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Đó là con số này nằm ở khoảng từ ba đến bốn, nhưng bạn sẽ không hiểu nó bằng bao nhiêu.

Đây chính xác là lý do tại sao các nhà toán học nghĩ ra căn bậc $n$. Đây chính xác là lý do tại sao ký hiệu căn $\sqrt(*)$ được giới thiệu. Để chỉ định chính số $b$, ở mức độ được chỉ định sẽ cho chúng ta một giá trị đã biết trước đó

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Tôi không tranh luận: thường những gốc này được tính toán dễ dàng - chúng ta đã thấy một số ví dụ như vậy ở trên. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, nếu bạn nghĩ về một số tùy ý và sau đó cố gắng rút ra nghiệm của một bậc tùy ý từ nó, thì bạn sẽ gặp một sai lầm khủng khiếp.

Ở đó có gì vậy! Ngay cả $\sqrt(2)$ đơn giản và quen thuộc nhất cũng không thể được biểu diễn ở dạng thông thường của chúng ta - dưới dạng số nguyên hoặc phân số. Và nếu bạn nhập số này vào máy tính, bạn sẽ thấy điều này:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Như bạn có thể thấy, sau dấu thập phân có một dãy số vô tận không tuân theo bất kỳ logic nào. Tất nhiên, bạn có thể làm tròn số này để so sánh nhanh với các số khác. Ví dụ:

\[\sqrt(2)=1.4142...\khoảng 1,4 \lt 1,5\]

Hoặc đây là một ví dụ khác:

\[\sqrt(3)=1.73205...\khoảng 1,7 \gt 1,5\]

Nhưng tất cả những vòng tròn này, trước hết, khá thô; và thứ hai, bạn cũng cần có khả năng làm việc với các giá trị gần đúng, nếu không bạn có thể mắc phải một loạt lỗi không rõ ràng (nhân tiện, kỹ năng so sánh và làm tròn số bắt buộc kiểm tra trên hồ sơ Kỳ thi Thống nhất).

Do đó, trong toán học nghiêm túc, bạn không thể làm được nếu không có gốc - chúng là những đại diện ngang nhau của tập hợp tất cả số thực$\mathbb(R)$, giống như phân số và số nguyên mà chúng ta đã biết từ lâu.

Việc không thể biểu diễn một nghiệm dưới dạng một phân số của dạng $\frac(p)(q)$ có nghĩa là nghiệm này không phải là một số hữu tỉ. Những con số như vậy được gọi là số vô tỷ và chúng không thể được biểu diễn chính xác trừ khi có sự trợ giúp của căn thức hoặc các công trình khác được thiết kế đặc biệt cho việc này (logarit, lũy thừa, giới hạn, v.v.). Nhưng sẽ nói nhiều hơn vào lúc khác.

Hãy xem xét một số ví dụ trong đó, sau tất cả các phép tính, các số vô tỷ sẽ vẫn còn trong câu trả lời.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1.2599... \\ \end(căn chỉnh)\]

Đương nhiên, theo vẻ bề ngoài root thì gần như không thể đoán được số nào sẽ đứng sau dấu thập phân. Tuy nhiên, bạn có thể tin tưởng vào máy tính, nhưng ngay cả máy tính ngày tiên tiến nhất cũng chỉ cung cấp cho chúng ta một vài chữ số đầu tiên của một số vô tỷ. Vì vậy, sẽ đúng hơn nhiều nếu viết câu trả lời dưới dạng $\sqrt(5)$ và $\sqrt(-2)$.

Đây chính xác là lý do tại sao chúng được phát minh. Để thuận tiện ghi lại câu trả lời.

Tại sao cần có hai định nghĩa?

Người đọc chú ý có lẽ đã nhận thấy rằng tất cả các căn bậc hai trong các ví dụ đều được lấy từ số dương. Vâng, ít nhất là từ đầu. Nhưng căn bậc ba có thể được rút ra một cách dễ dàng từ bất kỳ số nào - dù là số dương hay số âm.

Tại sao chuyện này đang xảy ra? Hãy nhìn vào đồ thị của hàm $y=((x)^(2))$:

Lịch trình hàm bậc hai cho hai gốc: tích cực và tiêu cực

Hãy thử tính $\sqrt(4)$ bằng biểu đồ này. Với mục đích này, đồ thị đã được vẽ đường chân trời$y=4$ (được đánh dấu màu đỏ), cắt parabol tại hai điểm: $((x)_(1))=2$ và $((x)_(2))=-2$. Điều này khá logic, vì

Mọi thứ đều rõ ràng với số đầu tiên - nó dương, vì vậy nó là gốc:

Nhưng sau đó phải làm gì với điểm thứ hai? Giống như bốn có hai gốc cùng một lúc? Rốt cuộc, nếu chúng ta bình phương số −2, chúng ta cũng nhận được 4. Vậy tại sao không viết $\sqrt(4)=-2$? Và tại sao thầy cô nhìn những bài viết như vậy như muốn ăn thịt bạn vậy? :)

Đó là rắc rối nếu bạn không áp dụng bất kỳ điều kiện bổ sung, thì bộ tứ sẽ có hai căn bậc hai - dương và âm. Và bất kỳ số dương nào cũng sẽ có hai trong số đó. Nhưng các số âm sẽ không có gốc nào cả - điều này có thể được nhìn thấy từ cùng một biểu đồ, vì parabol không bao giờ nằm dưới trục y, I E. không chấp nhận giá trị âm.

Một vấn đề tương tự xảy ra với tất cả các nghiệm có số mũ chẵn:

Nói đúng ra, mỗi số dương sẽ có hai nghiệm với số mũ chẵn $n$;
Từ các số âm, gốc có $n$ chẵn không được trích xuất.

Đó là lý do tại sao trong định nghĩa nghiệm của bậc chẵn $n$, người ta quy định cụ thể rằng đáp án phải là một số không âm. Đây là cách chúng ta thoát khỏi sự mơ hồ.

Nhưng đối với $n$ lẻ thì không có vấn đề như vậy. Để thấy điều này, chúng ta hãy nhìn vào biểu đồ của hàm $y=((x)^(3))$:

Một parabol lập phương có thể nhận bất kỳ giá trị nào, do đó căn bậc ba có thể được lấy từ bất kỳ số nào

Hai kết luận có thể được rút ra từ biểu đồ này:

Các nhánh của parabol hình khối, không giống như parabol thông thường, đi đến vô cực theo cả hai hướng - cả hướng lên và hướng xuống. Do đó, dù chúng ta vẽ đường ngang ở độ cao nào thì đường này chắc chắn sẽ giao nhau với đồ thị của chúng ta. Do đó, căn bậc ba luôn có thể được rút ra từ bất kỳ số nào;
Ngoài ra, giao điểm như vậy sẽ luôn là duy nhất, vì vậy bạn không cần phải suy nghĩ xem số nào được coi là gốc “đúng” và số nào cần bỏ qua. Đó là lý do tại sao việc xác định nghiệm của bậc lẻ lại đơn giản hơn so với bậc chẵn (không có yêu cầu về tính không âm).

Thật đáng tiếc là những điều đơn giản này không được giải thích trong hầu hết các sách giáo khoa. Thay vào đó, bộ não của chúng ta bắt đầu bay bổng với đủ loại nghiệm số học và tính chất của chúng.

Vâng, tôi không tranh luận: bạn cũng cần biết căn số học là gì. Và tôi sẽ nói chi tiết về điều này trong một bài học riêng. Hôm nay chúng ta cũng sẽ nói về nó, bởi vì nếu không có nó thì mọi suy nghĩ về nghiệm của bội số thứ $n$ sẽ không đầy đủ.

Nhưng trước tiên bạn cần hiểu rõ định nghĩa mà tôi đưa ra ở trên. Nếu không, do có quá nhiều thuật ngữ, một mớ hỗn độn như vậy sẽ bắt đầu trong đầu bạn đến mức cuối cùng bạn sẽ không hiểu gì cả.

Tất cả những gì bạn cần làm là hiểu sự khác biệt giữa các chỉ báo chẵn và lẻ. Do đó, một lần nữa chúng ta hãy thu thập mọi thứ bạn thực sự cần biết về rễ:

Căn bậc chẵn chỉ tồn tại từ một số không âm và bản thân nó luôn là một số không âm. Đối với số âm, gốc như vậy không được xác định.

Nhưng căn bậc lẻ tồn tại từ bất kỳ số nào và bản thân nó có thể là số bất kỳ: đối với số dương thì nó là dương, và đối với số âm, như gợi ý ở đầu, nó là âm.

Là khó khăn? Không, nó không khó. Rõ ràng? Vâng, điều đó hoàn toàn rõ ràng! Vì vậy bây giờ chúng ta sẽ thực hành một chút về tính toán.

Thuộc tính cơ bản và hạn chế

Rễ có nhiều đặc tính và hạn chế kỳ lạ - điều này sẽ được thảo luận trong một bài học riêng. Do đó, bây giờ chúng ta sẽ chỉ xem xét "thủ thuật" quan trọng nhất, chỉ áp dụng cho các nghiệm có chỉ số chẵn. Hãy viết thuộc tính này dưới dạng công thức:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\phải|\]

Nói cách khác, nếu chúng ta nâng một số lên lũy thừa chẵn và sau đó lấy căn của cùng lũy thừa đó, chúng ta sẽ không nhận được số ban đầu mà là mô đun của nó. Đây là một định lý đơn giản có thể được chứng minh dễ dàng (chỉ cần xem xét $x$ không âm một cách riêng biệt và sau đó là các giá trị âm riêng biệt). Các giáo viên liên tục nói về nó, nó được đưa ra trong mọi sách giáo khoa của trường. Nhưng ngay khi phải giải phương trình vô tỉ (tức là phương trình chứa dấu căn), học sinh nhất trí quên công thức này.

Để hiểu vấn đề một cách chi tiết, chúng ta hãy quên tất cả các công thức trong một phút và thử tính thẳng hai số:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Cái này rất ví dụ đơn giản. Hầu hết mọi người sẽ giải quyết được ví dụ đầu tiên, nhưng nhiều người lại mắc kẹt ở ví dụ thứ hai. Để giải quyết mọi chuyện tào lao như vậy mà không gặp vấn đề gì, hãy luôn xem xét quy trình:

Đầu tiên, con số được nâng lên lũy thừa thứ tư. Vâng, nó khá dễ dàng. Bạn sẽ nhận được một số mới có thể tìm thấy ngay cả trong bảng cửu chương;
Và bây giờ từ số mới này cần phải rút ra căn bậc 4. Những thứ kia. không xảy ra hiện tượng “giảm” rễ và sức mạnh - đây là những hành động tuần tự.

Hãy xem biểu thức đầu tiên: $\sqrt(((3)^(4)))$. Rõ ràng, trước tiên bạn cần tính biểu thức dưới gốc:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Sau đó chúng ta trích ra căn bậc 4 của số 81:

Bây giờ hãy làm tương tự với biểu thức thứ hai. Đầu tiên, chúng ta nâng số −3 lên lũy thừa bốn, đòi hỏi phải nhân nó với chính nó 4 lần:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ trái(-3 \right)=81\]

Chúng tôi nhận được một số dương, vì tổng số điểm trừ trong sản phẩm là 4 và tất cả chúng sẽ triệt tiêu lẫn nhau (xét cho cùng, điểm trừ cho điểm trừ sẽ là điểm cộng). Sau đó chúng ta giải nén lại root:

Về nguyên tắc, dòng này không thể được viết ra, vì chắc chắn câu trả lời sẽ giống nhau. Những thứ kia. một gốc chẵn có cùng công suất chẵn sẽ “đốt cháy” các điểm trừ và theo nghĩa này, kết quả không thể phân biệt được với một mô-đun thông thường:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(căn chỉnh)\]

Những phép tính này phù hợp tốt với định nghĩa nghiệm của bậc chẵn: kết quả luôn không âm và dấu căn cũng luôn chứa một số không âm. Nếu không thì gốc không được xác định.

Lưu ý về thủ tục

Ký hiệu $\sqrt(((a)^(2)))$ có nghĩa là trước tiên chúng ta bình phương số $a$ và sau đó lấy căn bậc hai của giá trị kết quả. Do đó, chúng ta có thể chắc chắn rằng luôn có một số không âm dưới dấu gốc, vì $((a)^(2))\ge 0$ trong mọi trường hợp;
Nhưng ngược lại, ký hiệu $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ có nghĩa là trước tiên chúng ta lấy căn của một số nhất định $a$ và chỉ sau đó bình phương kết quả. Do đó, số $a$ trong mọi trường hợp không thể âm - đây là yêu cầu bắt buộc có trong định nghĩa.

Vì vậy, trong mọi trường hợp, người ta không nên giảm bớt gốc và mức độ một cách thiếu suy nghĩ, từ đó được cho là “đơn giản hóa” cách diễn đạt ban đầu. Bởi vì nếu căn nguyên có số âm và số mũ của nó là số chẵn thì chúng ta sẽ gặp rất nhiều vấn đề.

Tuy nhiên, tất cả những vấn đề này chỉ liên quan đến các chỉ số chẵn.

Xóa dấu trừ ở dưới dấu gốc

Đương nhiên, các nghiệm có số mũ lẻ cũng có đặc điểm riêng, về nguyên tắc không tồn tại với các số chẵn. Cụ thể là:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Nói tóm lại, bạn có thể loại bỏ dấu trừ dưới dấu căn bậc lẻ. Cái này rất tài sản hữu ích, cho phép bạn "vứt bỏ" tất cả những điều tiêu cực:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(căn chỉnh)\]

Thuộc tính đơn giản này giúp đơn giản hóa rất nhiều phép tính. Bây giờ bạn không cần phải lo lắng: điều gì sẽ xảy ra nếu một biểu thức phủ định bị ẩn dưới gốc, nhưng mức độ ở gốc lại là chẵn? Chỉ cần “vứt bỏ” tất cả các điểm trừ bên ngoài các gốc là đủ, sau đó chúng có thể được nhân với nhau, chia nhỏ và nói chung là làm nhiều điều đáng ngờ, mà trong trường hợp các gốc “cổ điển” chắc chắn sẽ dẫn chúng ta đến một lỗi.

Và ở đây một định nghĩa khác xuất hiện - cùng một định nghĩa mà hầu hết các trường học bắt đầu nghiên cứu biểu thức vô lý. Và nếu không có nó thì lý luận của chúng ta sẽ không đầy đủ. Gặp!

Căn bậc số học

Hãy giả sử trong giây lát rằng dưới dấu căn chỉ có thể là số dương hoặc trong trường hợp cực đoan là bằng 0. Hãy quên đi các chỉ số chẵn/lẻ, hãy quên tất cả các định nghĩa được đưa ra ở trên - chúng ta sẽ chỉ làm việc với các số không âm. Vậy thì sao?

Và sau đó chúng ta sẽ có được một gốc số học - nó trùng lặp một phần với các định nghĩa “tiêu chuẩn” của chúng ta, nhưng vẫn khác với chúng.

Sự định nghĩa. Căn số học $n$th của một số không âm $a$ là một số không âm $b$ sao cho $((b)^(n))=a$.

Như chúng ta có thể thấy, chúng ta không còn quan tâm đến tính chẵn lẻ nữa. Thay vào đó, một hạn chế mới xuất hiện: biểu thức căn thức lúc này luôn không âm và bản thân nghiệm cũng không âm.

Để hiểu rõ hơn căn thức số học khác với căn thức thông thường như thế nào, hãy xem biểu đồ của parabol bình phương và parabol bậc ba mà chúng ta đã quen thuộc:

Vùng tìm kiếm gốc số học - số không âm

Như bạn có thể thấy, từ bây giờ chúng ta chỉ quan tâm đến những phần đồ thị nằm trong phần tư tọa độ đầu tiên - trong đó tọa độ $x$ và $y$ là dương (hoặc ít nhất là bằng 0). Bạn không cần phải nhìn vào chỉ báo để hiểu liệu chúng ta có quyền đặt số âm dưới gốc hay không. Bởi vì về nguyên tắc số âm không còn được xem xét nữa.

Bạn có thể hỏi: “Ồ, tại sao chúng ta lại cần một định nghĩa trung tính như vậy?” Hoặc: “Tại sao chúng ta không thể thực hiện được với định nghĩa tiêu chuẩn nêu trên?”

Vâng, tôi sẽ chỉ đưa ra một tính chất mà định nghĩa mới trở nên phù hợp. Ví dụ: quy tắc lũy thừa:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Xin lưu ý: chúng ta có thể nâng biểu thức căn thức lên bất kỳ lũy thừa nào, đồng thời nhân số mũ gốc với cùng lũy thừa - và kết quả sẽ là cùng một số! Dưới đây là ví dụ:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(căn chỉnh)\]

Vậy thỏa thuận lớn nào? Tại sao chúng ta không thể làm điều này trước đây? Đây là lý do tại sao. Hãy xem xét một biểu thức đơn giản: $\sqrt(-2)$ - con số này khá bình thường theo cách hiểu cổ điển của chúng ta, nhưng hoàn toàn không thể chấp nhận được từ quan điểm của căn số học. Hãy thử chuyển đổi nó:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Như bạn có thể thấy, trong trường hợp đầu tiên chúng ta đã loại bỏ dấu trừ ở dưới căn thức (chúng ta có luôn đúng, bởi vì chỉ báo là số lẻ) và trong lần thứ hai, chúng tôi đã sử dụng công thức trên. Những thứ kia. Từ quan điểm toán học, mọi thứ đều được thực hiện theo các quy tắc.

Cái quái gì vậy?! Làm sao cùng một số có thể vừa dương vừa âm? Không đời nào. Chỉ là công thức lũy thừa, vốn hoạt động tốt với số dương và số 0, bắt đầu tạo ra sự sai lệch hoàn toàn trong trường hợp số âm.

Để thoát khỏi sự mơ hồ như vậy, các căn bậc số học đã được phát minh. Một cái riêng biệt dành riêng cho họ bài học tuyệt vời, nơi chúng tôi xem xét chi tiết tất cả các thuộc tính của chúng. Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ không tập trung vào chúng - bài học hóa ra đã quá dài.

Căn bậc đại số: dành cho những ai muốn biết thêm

Tôi đã suy nghĩ rất lâu có nên đặt chủ đề này thành một đoạn riêng hay không. Cuối cùng tôi quyết định để nó ở đây. Tài liệu này dành cho những ai muốn hiểu rõ hơn về nguồn gốc - không còn ở cấp độ “trường học” trung bình nữa mà ở cấp độ gần với cấp độ Olympic.

Vì vậy: ngoài định nghĩa “cổ điển” về căn bậc $n$ của một số và cách chia liên quan thành số mũ chẵn và số lẻ, còn có một định nghĩa “người lớn” hơn không phụ thuộc chút nào vào tính chẵn lẻ và các yếu tố tinh tế khác. Đây được gọi là nghiệm đại số.

Sự định nghĩa. Căn bậc đại số $n$th của bất kỳ $a$ nào là tập hợp tất cả các số $b$ sao cho $((b)^(n))=a$. Không có chỉ định nào được thiết lập cho các gốc như vậy, vì vậy chúng tôi sẽ chỉ đặt một dấu gạch ngang lên trên:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left$ b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right$ \]

Sự khác biệt cơ bản so với định nghĩa tiêu chuẩn được đưa ra ở đầu bài học là căn đại số không phải là một số cụ thể mà là một tập hợp. Và vì chúng ta làm việc với số thực nên tập hợp này chỉ có ba loại:

Bộ trống. Xảy ra khi bạn cần tìm căn bậc đại số chẵn từ một số âm;
Một tập hợp bao gồm một phần tử duy nhất. Tất cả các rễ độ lẻ, cũng như nghiệm của các lũy thừa chẵn từ 0 thuộc loại này;
Cuối cùng, tập hợp có thể bao gồm hai số - giống $((x)_(1))$ và $((x)_(2))=-((x)_(1))$ mà chúng ta đã thấy trên đồ thị hàm số bậc hai. Theo đó, sự sắp xếp như vậy chỉ có thể thực hiện được khi trích rút căn bậc chẵn từ một số dương.

Trường hợp cuối cùng xứng đáng được xem xét chi tiết hơn. Hãy đếm một vài ví dụ để hiểu sự khác biệt.

Ví dụ. Đánh giá các biểu thức:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Giải pháp. Biểu thức đầu tiên rất đơn giản:

\[\overline(\sqrt(4))=\left$ 2;-2 \right$\]

Đó là hai số là một phần của tập hợp. Bởi vì mỗi người trong số họ bình phương sẽ có kết quả là bốn.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left$ -3 \right$\]

Ở đây chúng ta thấy một tập hợp chỉ bao gồm một số. Điều này khá hợp lý vì số mũ gốc là số lẻ.

Cuối cùng, biểu thức cuối cùng:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Chúng tôi đã nhận được một bộ trống. Bởi vì không có một số thực nào mà khi nâng lên lũy thừa thứ tư (tức là số chẵn!), sẽ cho chúng ta số âm −16.

Lưu ý cuối cùng. Xin lưu ý: không phải ngẫu nhiên mà tôi nhận thấy ở mọi nơi chúng ta làm việc với số thực. Bởi vì cũng có những số phức - hoàn toàn có thể tính được $\sqrt(-16)$ ở đó, và nhiều điều kỳ lạ khác.

Tuy nhiên, trong thời hiện đại khóa học Trong toán học, số phức hầu như không bao giờ gặp. Chúng đã bị xóa khỏi hầu hết sách giáo khoa vì các quan chức của chúng tôi cho rằng chủ đề này “quá khó hiểu”.

Căn bậc hai của số học

Định nghĩa 1

Căn bậc hai (hoặc căn bậc hai) của $a$ gọi một số mà khi bình phương sẽ bằng $a$.

ví dụ 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, nghĩa là số $7$ là căn bậc 2 của số $49$;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, có nghĩa là số $0,9$ là căn bậc 2 của số $0,81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, có nghĩa là số $1$ là căn bậc 2 của số $1$.

Lưu ý 2

Nói một cách đơn giản, với mọi số $a

$a=b^2$ cho $a$ âm là không chính xác, bởi vì $a=b^2$ không thể âm với bất kỳ giá trị nào của $b$.

Có thể kết luận rằng đối với số thực không thể có căn bậc 2 của số âm.

Lưu ý 3

Bởi vì $0^2=0 \cdot 0=0$, thì từ định nghĩa, số 0 là căn bậc 2 của số 0.

Định nghĩa 2

Căn bậc 2 của số $a$($a \ge 0$) là một số không âm, khi bình phương sẽ bằng $a$.

Các nghiệm bậc 2 còn được gọi là căn bậc hai.

Căn bậc 2 của số $a$ được ký hiệu là $\sqrt(a)$ hoặc bạn có thể thấy ký hiệu $\sqrt(a)$. Nhưng thông thường nhất đối với căn bậc hai thì số $2$ là số mũ gốc– không được chỉ định. Dấu “$\sqrt( )$” là dấu của nghiệm số học bậc 2, còn gọi là “ dấu căn thức" Các khái niệm “gốc” và “cấp tiến” là tên của cùng một đối tượng.

Nếu có một số nằm dưới dấu căn số học thì nó được gọi là số căn bản, và nếu biểu thức thì – biểu thức căn bản.

Mục nhập $\sqrt(8)$ được đọc là "căn số học cấp 2 của 8" và từ "số học" thường không được sử dụng.

Định nghĩa 3

Theo định nghĩa căn bậc 2 có thể được viết:

Với mọi $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Chúng tôi đã chỉ ra sự khác biệt giữa căn bậc hai và căn bậc hai số học. Hơn nữa, chúng tôi sẽ chỉ xem xét gốc của các số và biểu thức không âm, tức là chỉ có số học.

Căn bậc ba của số học

Định nghĩa 4

Căn bậc ba (hoặc căn bậc ba) của số $a$($a \ge 0$) là một số không âm mà khi lập phương sẽ bằng $a$.

Thường thì từ số học bị bỏ qua và họ nói “căn bậc 3 của số $a$”.

Căn số học bậc 3 của $a$ được ký hiệu là $\sqrt(a)$, ký hiệu “$\sqrt( )$” là dấu của căn số học bậc 3 và số $3$ trong ký hiệu này được gọi là chỉ số gốc. Số hoặc biểu thức xuất hiện dưới dấu gốc được gọi là căn bản.

Ví dụ 2

$\sqrt(3,5)$ – căn bậc 3 của $3,5$ hoặc căn bậc ba của $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – căn bậc ba của $x+5$ hoặc căn bậc ba của $x+5$.