Tích hợp các biểu thức vô tỷ bằng phương pháp thay thế biến. Giải tích phân trực tuyến
Hãy nhớ lại những năm học hạnh phúc của chúng ta. Những người tiên phong trong các bài toán, khi bắt đầu nghiên cứu căn thức, trước hết phải làm quen với căn bậc hai. Chúng tôi Vậy thì đi thôi cùng một cách.
ví dụ 1
Tìm tích phân không xác định
Phân tích tích phân, bạn đi đến kết luận đáng buồn rằng nó hoàn toàn không giống tích phân bảng. Bây giờ, nếu tất cả những thứ này đều ở trong tử số thì sẽ đơn giản. Hoặc sẽ không có root bên dưới. Hoặc một đa thức. Không có phương pháp tích phân phân số Họ cũng không giúp được gì. Phải làm gì?
Kỹ thuật chính để giải tích phân vô tỉ là phép đổi biến, điều này sẽ loại bỏ TẤT CẢ các nghiệm của tích phân.
Lưu ý rằng sự thay thế này hơi đặc biệt, nó Triển khai kỹ thuật khác với phương pháp thay thế “cổ điển” đã được thảo luận trong bài học Phương pháp thay thế trong tích phân không xác định.
TRONG trong ví dụ này cần được thay thế x = t 2, tức là thay vì “X” dưới gốc chúng ta sẽ có t 2. Tại sao phải thay thế? Bởi vì, kết quả của việc thay thế là gốc sẽ biến mất.
Nếu thay vì căn bậc hai mà chúng ta có trong số nguyên, thì chúng ta đã thực hiện phép thay thế. Nếu nó ở đó thì họ đã tiến hành rồi và cứ thế.
Được rồi, chúng ta sẽ biến thành . Điều gì xảy ra với đa thức? Không có khó khăn gì: nếu , thì 
.
Vẫn còn phải xem sự khác biệt sẽ biến thành gì. Điều này được thực hiện như thế này:
Chúng tôi thực hiện thay thế của chúng tôi và treo vi sai trên cả hai phần:
(chúng tôi sẽ mô tả nó càng chi tiết càng tốt).
Định dạng giải pháp sẽ trông giống như thế này:
.
Hãy thay thế: 
.
.
(1) Chúng tôi tiến hành thay thế sau khi thay thế (như thế nào, cái gì và ở đâu đã được xem xét).
(2) Chúng ta lấy hằng số bên ngoài tích phân. Tử số và mẫu số giảm đi bằng t.
(3) Tích phân thu được có dạng bảng; chúng ta chuẩn bị tích phân bằng cách chọn hình vuông.
(4) Tích phân trên bảng bằng công thức
.
(5) Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại. Nó được thực hiện như thế nào? Chúng ta nhớ lý do tại sao chúng ta khiêu vũ: nếu, thì.
Ví dụ 2
Tìm tích phân không xác định
Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập. Giải pháp hoàn chỉnh và đáp án ở cuối bài.
Bằng cách nào đó, hóa ra trong Ví dụ 1, 2 có một tử số “trần trụi” với một vi phân đơn độc. Hãy khắc phục tình hình.
Ví dụ 3
Tìm tích phân không xác định
Phân tích sơ bộ tích phân một lần nữa cho thấy rằng không có cách nào dễ dàng. Và do đó bạn cần phải loại bỏ tận gốc.
Hãy thay thế: .
Phía sau chúng tôi biểu thị biểu thức TOÀN BỘ dưới gốc. Việc thay thế từ các ví dụ trước không phù hợp ở đây (chính xác hơn là có thể thực hiện được, nhưng nó sẽ không loại bỏ được gốc).
Chúng tôi treo vi sai trên cả hai phần:
Chúng tôi đã sắp xếp xong tử số. Phải làm gì với mẫu số?
Chúng tôi lấy sự thay thế của chúng tôi và thể hiện từ nó: .
Nếu thì.
(1) Chúng tôi thực hiện việc thay thế phù hợp với việc thay thế được thực hiện.
(2) Lược tử số. Ở đây mình chọn không lấy hằng số ra khỏi dấu tích phân (bạn có thể làm theo cách này, sẽ không sai đâu)
(3) Chúng ta khai triển tử số thành một tổng. Một lần nữa, chúng tôi thực sự khuyên bạn nên đọc đoạn đầu tiên của bài học Tích phân một số phân số. Gimp với việc mở rộng tử số thành tổng trong tích phân vô tỉ sẽ có rất nhiều, việc thực hành kỹ thuật này là rất quan trọng.
(4) Chia tử số cho mẫu số theo số hạng.
(5) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân không xác định. Trong tích phân thứ hai, chúng ta chọn một hình vuông để tích phân tiếp theo theo bảng.
(6) Chúng tôi tích hợp theo bảng. Tích phân thứ nhất khá đơn giản, trong tích phân thứ hai chúng ta sử dụng công thức dạng bảng của logarit cao 
.
(7) Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại. Nếu chúng tôi tiến hành thay thế thì quay lại: .
Ví dụ 4
Tìm tích phân không xác định
Đây là ví dụ để các bạn tự giải, nếu không xem kỹ các ví dụ trước sẽ mắc sai lầm! Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.
Về nguyên tắc, tích phân với một số giống hệt nhau rễ chẳng hạn
Vân vân. Phải làm gì nếu số nguyên có gốc khác biệt?
Ví dụ 5
Tìm tích phân không xác định
Đây là cách tính toán cho các tử số trần. Khi gặp một tích phân như vậy, nó thường trở nên đáng sợ. Nhưng nỗi sợ hãi là vô ích; sau khi thực hiện một sự thay thế phù hợp, tích phân trở nên đơn giản hơn. Nhiệm vụ như sau: thực hiện thay thế thành công để loại bỏ TẤT CẢ rễ ngay lập tức.
Khi có các gốc khác nhau, sẽ thuận tiện hơn khi tuân thủ một sơ đồ giải pháp nhất định.
Đầu tiên, chúng ta viết hàm tích phân trên một bản nháp và trình bày tất cả các nghiệm dưới dạng:
Chúng tôi sẽ quan tâm mẫu sốđộ:
Hàm vô tỷ của một biến là hàm được hình thành từ một biến và các hằng số tùy ý sử dụng một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân (nâng lên lũy thừa số nguyên), chia và lấy căn. Hàm vô tỉ khác với hàm hữu tỉ ở chỗ hàm vô tỉ chứa các phép toán để rút ra nghiệm.
Có ba loại hàm số vô tỉ chính, các tích phân không xác định của chúng được rút gọn thành tích phân của các hàm hữu tỉ. Đây là các tích phân chứa các nghiệm của các lũy thừa số nguyên tùy ý từ một hàm phân số tuyến tính (các nghiệm có thể có các lũy thừa khác nhau, nhưng từ cùng một hàm phân số tuyến tính); tích phân của một nhị thức vi phân và tích phân với căn bậc hai của một tam thức bình phương.
Lưu ý quan trọng. Rễ có nhiều ý nghĩa!
Khi tính tích phân chứa các nghiệm, thường gặp các biểu thức có dạng, trong đó có một số hàm của biến tích hợp. Cần lưu ý điều đó. Tức là tại t > 0 , |t| = t. Tại t< 0 , |t| = -t. Vì vậy, khi tính tích phân như vậy cần xét riêng các trường hợp t > 0 và t< 0 . Điều này có thể được thực hiện bằng cách viết các dấu hiệu hoặc bất cứ nơi nào cần thiết. Giả sử dấu trên đề cập đến trường hợp t > 0 , và cái dưới - đối với trường hợp t< 0 . Với sự biến đổi hơn nữa, những dấu hiệu này, như một quy luật, sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
Cách tiếp cận thứ hai cũng có thể thực hiện được, trong đó tích phân và kết quả của tích phân có thể được coi là chức năng toàn diện từ các biến phức tạp. Khi đó bạn không cần phải chú ý đến các dấu hiệu trong biểu thức căn thức. Cách tiếp cận này có thể áp dụng nếu số nguyên là hàm giải tích, tức là hàm khả vi của một biến phức. Trong trường hợp này, cả tích phân và tích phân của nó đều là các hàm đa giá trị. Do đó, sau khi tích phân, khi thay thế các giá trị số, cần chọn một nhánh có giá trị đơn (bề mặt Riemann) của tích phân và đối với nó chọn nhánh tương ứng của kết quả tích phân.
Sự bất hợp lý tuyến tính phân số
Đây là các tích phân có nghiệm từ cùng một hàm tuyến tính phân số:
,
trong đó R là hàm hữu tỉ, là các số hữu tỉ, m 1, n 1, ..., m s, n s là các số nguyên, α, β, γ, δ - số thực.
Những tích phân như vậy rút gọn thành tích phân của phân thức hữu tỉ hàm thay thế:
, trong đó n là mẫu số chung của các số r 1, ..., r s.
Các nghiệm có thể không nhất thiết đến từ hàm phân số tuyến tính, mà còn từ hàm tuyến tính (γ = 0 , δ = 1), hoặc trên biến tích phân x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Dưới đây là ví dụ về tích phân như vậy:
,
.
Tích phân từ nhị thức vi phân
Tích phân của nhị thức vi phân có dạng:
,
trong đó m, n, p là số hữu tỉ, a, b là số thực.
Những tích phân như vậy quy về tích phân của các hàm hữu tỉ trong ba trường hợp.
1) Nếu p là số nguyên. Thay thế x = t N, trong đó N là mẫu số chung của phân số m và n.
2) Nếu - một số nguyên. Thay thế a x n + b = t M, trong đó M là mẫu số của số p.
3) Nếu - một số nguyên. Thay thế a + b x - n = t M, trong đó M là mẫu số của số p.
Trong các trường hợp khác, tích phân như vậy không được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản.
Đôi khi các tích phân như vậy có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng các công thức rút gọn:
;
.
Tích phân chứa căn bậc hai của tam thức vuông
Các tích phân như vậy có dạng:
,
trong đó R là hàm hữu tỉ. Đối với mỗi tích phân như vậy, có một số phương pháp để giải nó.
1)
Sử dụng các phép biến đổi dẫn đến tích phân đơn giản hơn.
2)
Áp dụng phép thay thế lượng giác hoặc hyperbol.
3)
Áp dụng phép thế Euler.
Chúng ta hãy xem xét các phương pháp này chi tiết hơn.
1) Biến đổi hàm tích phân
Áp dụng công thức và thực hiện các phép biến đổi đại số, chúng ta rút gọn hàm tích phân về dạng:
,
trong đó φ(x), ω(x) là các hàm hữu tỉ.
Loại I
Tích phân có dạng:
,
trong đó Pn(x) là đa thức bậc n.
Các tích phân như vậy được tìm thấy bằng phương pháp hệ số không xác định bằng cách sử dụng đồng nhất thức:
.
Vi phân phương trình này và đánh đồng vế trái và vế phải, ta tìm được hệ số A i.
Loại II
Tích phân có dạng:
,
trong đó P m(x) là đa thức bậc m.
Thay thế t = (x - α) -1 tích phân này giảm xuống còn loại trước. Nếu m ≥ n thì phân số phải có phần nguyên.
loại III
Ở đây chúng tôi thực hiện thay thế:
.
Khi đó tích phân sẽ có dạng:
.
Tiếp theo, các hằng số α, β phải được chọn sao cho các hệ số của t ở mẫu số bằng 0:
B = 0, B 1 = 0.
Khi đó tích phân phân hủy thành tổng của tích phân hai loại:
,
,
được tích hợp bằng cách thay thế:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .
2) Phép thay thế lượng giác và hyperbol
Đối với tích phân có dạng , a > 0
,
chúng tôi có ba sự thay thế chính:
;
;
;
Đối với tích phân, a > 0
,
ta có các thay thế sau:
;
;
;
Và cuối cùng, đối với tích phân, a > 0
,
sự thay thế như sau:
;
;
;
3) Sự thay thế Euler
Ngoài ra, tích phân có thể được quy về tích phân của các hàm hữu tỷ của một trong ba phép thế Euler:
, với a > 0;
, với c > 0 ;
, trong đó x 1 là nghiệm của phương trình a x 2 + b x + c = 0. Nếu phương trình này có nghiệm thực.
tích phân elip
Tóm lại, xét tích phân có dạng:
,
trong đó R là hàm hữu tỷ, . Những tích phân như vậy được gọi là elliptic. TRONG nhìn chung chúng không được thể hiện thông qua các hàm cơ bản. Tuy nhiên, có trường hợp có mối liên hệ giữa các hệ số A, B, C, D, E mà các tích phân đó được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản.
Dưới đây là một ví dụ liên quan đến đa thức phản xạ. Việc tính toán các tích phân như vậy được thực hiện bằng cách sử dụng phép thay thế:
.
Ví dụ
Tính tích phân:
.
Giải pháp
Hãy thực hiện một sự thay thế.
.
Ở đây tại x > 0
(u> 0
) lấy dấu trên ′+ ′. Tại x< 0
(bạn< 0
) - thấp hơn '- '.
.
Trả lời
Người giới thiệu:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Tuyển tập các bài toán cao cấp, “Lan”, 2003.
Định nghĩa 1
Tập hợp tất cả các nguyên hàm hàm đã cho$y=f(x)$ được xác định trên một phân đoạn nhất định được gọi là tích phân không xác định của hàm $y=f(x)$ đã cho. Không xác định, không thể thiếuđược ký hiệu bằng ký hiệu $\int f(x)dx $.
Bình luận
Định nghĩa 2 có thể được viết như sau:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
Không phải từ tất cả mọi người hàm vô tỉ tích phân có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản. Tuy nhiên, hầu hết các tích phân này có thể được rút gọn bằng cách thay thế các tích phân của các hàm hữu tỷ, có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản.
$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.
TÔI
Khi tìm tích phân có dạng $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ cần thực hiện phép thay thế sau:
Với sự thay thế này, mỗi lũy thừa phân số của biến $x$ được biểu thị thông qua lũy thừa nguyên của biến $t$. Kết quả là hàm tích phân được chuyển thành hàm hữu tỷ của biến $t$.
ví dụ 1
Thực hiện tích hợp:
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]
Giải pháp:
$k=4$ là mẫu số chung của các phân số $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.
\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(mảng)\]
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]
II
Khi tìm tích phân có dạng $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ cần phải thực hiện phép thay thế sau:
trong đó $k$ là mẫu số chung của các phân số $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.
Kết quả của sự thay thế này là hàm số nguyên được chuyển thành hàm hữu tỷ của biến $t$.
Ví dụ 2
Thực hiện tích hợp:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]
Giải pháp:
Hãy thực hiện phép thay thế sau:
\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]
Sau khi thực hiện thay thế ngược lại, chúng ta nhận được kết quả cuối cùng:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]
III
Khi tìm tích phân có dạng $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, cái gọi là phép thay thế Euler được thực hiện (một trong ba phép thay thế có thể là đã sử dụng).
Euler thay người đầu tiên
Đối với trường hợp $a>
Lấy dấu “+” trước $\sqrt(a) $, ta có
Ví dụ 3
Thực hiện tích hợp:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]
Giải pháp:
Hãy thực hiện phép thay thế sau (trường hợp $a=1>0$):
\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]
Sau khi thực hiện thay thế ngược lại, chúng ta nhận được kết quả cuối cùng:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]
Euler thay người thứ hai
Đối với trường hợp $c>0$ cần thực hiện phép thay thế sau:
Lấy dấu “+” đứng trước $\sqrt(c) $, ta có
Ví dụ 4
Thực hiện tích hợp:
\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]
Giải pháp:
Hãy thực hiện phép thay thế sau:
\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]
\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \
$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Đã làm ngược lại thay thế, chúng tôi nhận được kết quả cuối cùng:
\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( mảng)\]
Euler thay người thứ ba
Lớp các hàm vô tỷ rất rộng, do đó đơn giản là không thể có một cách phổ biến để tích hợp chúng. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng xác định các loại hàm tích phân vô tỷ đặc trưng nhất và liên kết phương pháp tích phân với chúng.
Có những trường hợp sử dụng phương pháp đăng ký dấu vi phân là thích hợp. Ví dụ: khi tìm tích phân không xác định có dạng, trong đó P- phân số hợp lý.
Ví dụ.
Tìm tích phân không xác định 
.
Giải pháp.
Không khó để nhận ra điều đó. Do đó, chúng ta đặt nó dưới dấu vi phân và sử dụng bảng nguyên hàm: 
Trả lời:
.
13. Thay thế tuyến tính phân số
Tích phân loại trong đó a, b, c, d là số thực, a, b,..., d, g là số tự nhiên, được quy giản thành tích phân của hàm số hữu tỉ bằng cách thay thế, trong đó K là bội số chung nhỏ nhất của mẫu số của các phân số
Thật vậy, từ sự thay thế suy ra rằng
tức là x và dx được biểu thị thông qua các hàm hữu tỷ của t. Hơn nữa, mỗi bậc của phân số được biểu diễn thông qua hàm hữu tỉ của t.
Ví dụ 33.4. Tìm tích phân 
Giải: bội số chung nhỏ nhất của mẫu số của phân số 2/3 và 1/2 là 6.
Do đó, chúng ta đặt x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Do đó,
Ví dụ 33.5. Chỉ định sự thay thế để tìm tích phân:
Giải: Với sự thay thế I 1 x=t 2, với sự thay thế I 2
14. Thay thế lượng giác
Tích phân loại được rút gọn thành tích phân của các hàm phụ thuộc hợp lý vào các hàm lượng giác bằng cách sử dụng các phép thay thế lượng giác sau: x = a sint cho tích phân thứ nhất; x=a tgt đối với tích phân thứ hai, đối với tích phân thứ ba.
Ví dụ 33.6. Tìm tích phân 
Giải: Đặt x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Sau đó
Ở đây tích phân là một hàm hữu tỷ đối với x và 
Bằng cách chọn một hình vuông hoàn chỉnh dưới căn thức và thực hiện phép thay thế, các tích phân của loại đã chỉ định sẽ được rút gọn thành tích phân của loại đã được xem xét, tức là thành tích phân của loại 
Những tích phân này có thể được tính bằng cách sử dụng phép thay thế lượng giác thích hợp.
Ví dụ 33.7. Tìm tích phân 
Giải: Vì x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, nên x+1=t, x=t-1, dx=dt. Đó là lý do tại sao 
Chúng ta hãy đặt 
Lưu ý: Kiểu tích phân 
Sẽ tốt hơn nếu tìm bằng cách thay thế x=1/t.
15. Tích phân xác định
Giả sử một hàm được xác định trên một đoạn và có nguyên hàm trên đó. Sự khác biệt được gọi là tích phân xác định chức năng dọc theo phân khúc và biểu thị. Vì thế,
Sự khác biệt được viết dưới dạng, sau đó 
. Các số được gọi giới hạn hội nhập
.
Ví dụ, một trong những nguyên hàm của một hàm số. Đó là lý do tại sao
16 . Nếu c là một số không đổi và hàm ƒ(x) có thể tích phân trên , thì
nghĩa là, hằng số c có thể được lấy ra khỏi dấu của tích phân xác định.
▼Hãy tính tổng tích phân của hàm với ƒ(x). Chúng ta có:
Khi đó, hàm c ƒ(x) khả tích trên [a; b] và công thức (38.1) là hợp lệ.▲
2. Nếu các hàm ƒ 1 (x) và ƒ 2 (x) khả tích trên [a;b] thì khả tích trên [a; b] tổng của họ u
nghĩa là tích phân của tổng bằng tổng của các tích phân.
▼ 
▲
Tính chất 2 áp dụng cho tổng của một số hữu hạn số hạng bất kỳ.
3.
Thuộc tính này có thể được chấp nhận theo định nghĩa. Tính chất này cũng được xác nhận bởi công thức Newton-Leibniz.
4. Nếu hàm ƒ(x) khả tích trên [a; b] và a< с < b, то
nghĩa là tích phân trên toàn bộ đoạn bằng tổng các tích phân trên các phần của đoạn này. Tính chất này được gọi là tính cộng của một tích phân xác định (hoặc tính chất cộng).
Khi chia đoạn [a;b] thành các phần, ta gộp điểm c vào số điểm chia (điều này có thể thực hiện được do tính độc lập của giới hạn của tổng tích phân với phương pháp chia đoạn [a;b] thành từng phần). Nếu c = x m thì tổng tích phân có thể chia thành hai tổng:
Mỗi tổng được viết lần lượt là tích phân cho các phân đoạn [a; ba; s] và [s; b]. Chuyển đến giới hạn ở đẳng thức cuối cùng là n → ∞ (λ → 0), ta thu được đẳng thức (38.3).
Thuộc tính 4 có giá trị cho bất kỳ vị trí nào của các điểm a, b, c (chúng tôi giả sử rằng hàm ƒ (x) có thể tích phân trên phân đoạn lớn hơn trong kết quả).
Vì vậy, ví dụ, nếu một< b < с, то
(thuộc tính 4 và 3 đã được sử dụng).
5. “Định lý về giá trị trung bình.” Nếu hàm ƒ(x) liên tục trên đoạn [a; b], thì có tonka với є [a; b] như vậy
▼Theo công thức Newton-Leibniz ta có
trong đó F"(x) = ƒ(x). Áp dụng định lý Lagrange (định lý về mức tăng hữu hạn của hàm số) cho hiệu F(b)-F(a), chúng ta thu được
F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲
Thuộc tính 5 (“định lý giá trị trung bình”) cho ƒ (x) ≥ 0 có ý nghĩa hình học đơn giản: giá trị của tích phân xác định bằng, đối với một số c є (a; b), bằng diện tích hình chữ nhật với chiều cao ƒ (c) và đáy b-a ( xem Hình 170). Con số 
được gọi là giá trị trung bình của hàm ƒ(x) trên khoảng [a; b].
6. Nếu hàm ƒ (x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b], trong đó a< b, то интегралимеет
тот же знак, что и функция. Так, если
ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то
▼Theo “định lý giá trị trung bình” (thuộc tính 5)
trong đó c є [a; b]. Và vì ƒ(x) ≥ 0 với mọi x О [a; b] thì
ƒ(с) ≥0, b-а>0.
Do đó ƒ(с) (b-а) ≥ 0, tức là 
▲
7. Bất đẳng thức giữa các hàm số liên tục trên đoạn [a; ba
▼Vì ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x) ≥0 nên khi a< b, согласно свойству 6, имеем
Hoặc theo tính chất 2,
Lưu ý rằng không thể phân biệt được các bất đẳng thức.
8. Ước lượng tích phân. Nếu m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm y = ƒ(x) trên đoạn [a; ba< b), то
▼Vì với mọi x є [a;b] chúng ta có m
(x)<М, nên theo tính chất 7, chúng ta có
Áp dụng Tính chất 5 cho tích phân cực trị, ta thu được
▲
Nếu ƒ(x) ≥0, thì tính chất 8 được minh họa bằng hình học: diện tích của một hình thang cong được bao bọc giữa các diện tích của các hình chữ nhật có đáy là , và có chiều cao là m và M (xem Hình 171).
9. Mô đun của tích phân xác định không vượt quá tích phân mô đun của tích phân:
▼Áp dụng tính chất 7 cho các bất đẳng thức hiển nhiên -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, ta thu được
Nó theo sau đó
▲
10. Đạo hàm của tích phân xác định đối với giới hạn trên thay đổi bằng tích phân trong đó biến tích phân được thay thế bằng giới hạn này, tức là.
Tính diện tích của một hình là một trong những bài toán khó nhất trong lý thuyết diện tích. Trong môn hình học ở trường, chúng ta đã học cách tìm diện tích của các hình hình học cơ bản, ví dụ như hình tròn, hình tam giác, hình thoi, v.v. Tuy nhiên, bạn thường phải đối mặt với việc tính diện tích của những hình phức tạp hơn. Khi giải những bài toán như vậy người ta phải dùng đến phép tính tích phân.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét vấn đề tính diện tích của một hình thang cong và chúng ta sẽ tiếp cận nó theo nghĩa hình học. Điều này sẽ cho phép chúng ta tìm ra mối liên hệ trực tiếp giữa tích phân xác định và diện tích của hình thang cong.
Dưới không hợp lý hiểu một biểu thức trong đó biến độc lập %%x%% hoặc đa thức %%P_n(x)%% bậc %%n \in \mathbb(N)%% được bao gồm dưới dấu căn bản(từ tiếng Latinh cơ số- gốc), tức là được nâng lên lũy thừa phân số. Bằng cách thay thế một biến, một số lớp số nguyên không hợp lý đối với %%x%% có thể được rút gọn thành các biểu thức hữu tỷ đối với một biến mới.
Khái niệm hàm hữu tỉ một biến có thể được mở rộng cho nhiều đối số. Nếu với mỗi đối số %%u, v, \dotsc, w%% khi tính giá trị của hàm, chỉ cung cấp các phép toán số học và lũy thừa số nguyên, thì chúng ta nói về hàm hữu tỷ của các đối số này, thường là được ký hiệu là %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Bản thân các đối số của một hàm như vậy có thể là các hàm của biến độc lập %%x%%, bao gồm các căn thức có dạng %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Ví dụ: hàm hữu tỷ $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ với %%u = x, v = \sqrt(x)%% và %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% là hàm hữu tỉ của $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ từ %%x%% và các căn thức %%\sqrt(x)%% và %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, trong khi hàm %%f(x)%% sẽ là hàm vô tỷ (đại số) của một biến độc lập %%x%%.
Hãy xem xét tích phân có dạng %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Những tích phân như vậy được hợp lý hóa bằng cách thay thế biến %%t = \sqrt[n](x)%%, sau đó %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.
ví dụ 1
Tìm %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.
Số nguyên của đối số mong muốn được viết dưới dạng hàm của các căn bậc %%2%% và %%3%%. Vì bội số chung nhỏ nhất của %%2%% và %%3%% là %%6%%, tích phân này là tích phân của loại %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% và có thể hợp lý hóa bằng cách thay thế %%\sqrt(x) = t%%. Khi đó %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Do đó, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Hãy lấy %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% và $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(mảng) $$
Tích phân có dạng %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% là trường hợp đặc biệt của các số vô tỷ tuyến tính phân số, tức là. tích phân có dạng %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, trong đó %% ad - bc \neq 0%%, có thể hợp lý hóa bằng cách thay thế biến %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, sau đó %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Khi đó $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$
Ví dụ 2
Tìm %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.
Hãy lấy %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, sau đó %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Do đó, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$
Hãy xem xét tích phân có dạng %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Trong những trường hợp đơn giản nhất, các tích phân như vậy được rút gọn thành dạng bảng nếu sau khi tách hình vuông hoàn chỉnh, thực hiện thay đổi các biến.
Ví dụ 3
Tìm tích phân %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.
Xét rằng %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, chúng ta lấy %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, thì $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(mảng) $$
Trong những trường hợp phức tạp hơn, để tìm tích phân có dạng %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% được sử dụng
