Exemple de metode grafice Zlp. Metodă grafică de rezolvare a problemelor de programare liniară: diagramă și exemple

Metoda grafică de rezolvare a ZLP se bazează pe afirmațiile date în paragraful 2.1. Conform teoremei 2, soluția optimă se află în vârful domeniului soluțiilor fezabile și, prin urmare, a rezolva ZLP înseamnă a găsi vârful domeniului soluțiilor fezabile, ale căror coordonate dau valoare optimă funcție obiectivă.

Metoda grafică este folosită pentru a rezolva o clasă limitată de probleme cu două variabile, uneori cu trei variabile. Trebuie remarcat faptul că pentru trei variabile această zonă nu este suficient de clară.

Algoritm pentru metoda grafică de rezolvare a problemelor

Vom lua în considerare implementarea metodei grafice de rezolvare a ZLP folosind exemple.

Exemplul 2.2.1. Decide Grafică ZLP metodă:

(2.2.1)

max z=X 1 + 4X 2 (2.2.2)

Soluţie. Pentru a construi o regiune de soluții fezabile, care constă din intersecția semiplanurilor corespunzătoare fiecărei inegalități a sistemului de constrângeri (2.2.1), scriem ecuațiile liniilor drepte de frontieră:

l 1: X 1 + 5X 2 = 5; l 2: X 1 + X 2 = 6; l 3: 7X 1 + X 2 = 7.

l 1 la forma (2.2.3.) împărțim ambele părți la 5:
. Astfel, drept l 1 taieturi pe axa Oh 1 5 unitati, pe axa Oh 2 1 unitate. La fel avem pentru l 2:
Și l 3:
.

Pentru a determina semiplanuri care îndeplinesc constrângerile sistemului (2.2.1), trebuie să înlocuiți coordonatele oricărui punct care nu se află pe linia de limită în constrângeri. Dacă obținem o inegalitate adevărată, atunci toate punctele din acest semiplan sunt soluții ale acestei inegalități. În caz contrar, alegeți un alt semiplan.

Astfel, primul și al doilea semiplan dorit sunt situate în direcția opusă originii coordonatelor (0 – 5 0). - 5; 7 0 + 0 7), iar al doilea – spre originea coordonatelor (0 + 0 6). Regiunea soluțiilor fezabile din Figura 2.2.1 este umbrită.

Figura 2.2.1 – Zona soluțiilor fezabile

Pentru a găsi planul optim, care va fi situat la vârful poligonului soluție, trebuie să construiți un vector de direcții
=(Cu 1 ,Cu 2), care indică direcția celei mai mari creșteri a funcției obiectiv z=Cu 1 X 1 +Cu 2 X 2 .

În această problemă, vectorul direcție
= (1, 4): începe la punct DESPRE(0,0) și se termină la punct N(1, 4).

În continuare, construim o dreaptă care trece prin regiunea soluțiilor fezabile, perpendiculară pe vector și se numește linia de nivel țintă funcții. Deplasăm linia de nivel în direcția vectorului în cazul maximizării funcției obiectiv z iar în sens invers, în cazul minimizării z, până la ultima intersecție cu regiunea soluțiilor fezabile. Ca urmare, se determină punctul sau punctele în care funcția obiectiv atinge o valoare extremă sau se stabilește nelimitarea funcției obiectiv z pe setul de soluţii ale problemei.

Astfel, punctul maxim al funcției obiectiv z este punctul A intersecții de linii l 2 și l 3 .

Pentru a calcula valoarea optimă a funcției obiectiv z găsiți coordonatele punctului A . De la punctul A este punctul de intersecție al dreptelor l 2 și l 3, atunci coordonatele sale satisfac un sistem de ecuații compus din ecuațiile liniilor de limită corespunzătoare:

Deci ideea A are coordonate X 1 =1/6, X 2 = 35/6.

Pentru a calcula valoarea optimă a funcției obiectiv, trebuie să înlocuiți coordonatele punctului în ea A .

Înlocuind coordonatele punctului A în funcția obiectiv (2.4), obținem

max z = 1/6 + 4·(35/6) = 47/2.

Exemplul 2.2.2. Construiți pe plan regiunea soluțiilor fezabile ale sistemului de inegalități liniare (2.2.4) și găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției obiectiv (2.2.5):

(2.2.4)

z= –2X 1 –X 2 (2.2.5)

Soluţie. Pentru a construi o regiune de soluții fezabile, care constă din intersecția semiplanurilor corespunzătoare fiecărei inegalități a sistemului de constrângeri (2.2.4), scriem ecuațiile liniilor drepte de frontieră:

l 1: 4X 1 – X 2 = 0; l 2: X 1 + 3X 2 = 6; l 3: X 1 – 3X 2 = 6; l 4: X 2 = 1.

Drept l 1 trece prin punctul cu coordonatele (0;0). Pentru a o construi, exprimăm X 2 prin X 1: X 2 = 4X 1 . Să găsim un alt punct prin care trece linia l 1, de exemplu (1;4). Prin punctul cu coordonatele (0;0) și punctul cu coordonatele (1;4) trasăm o linie dreaptă l 1 .

Pentru a reduce ecuația unei linii drepte l 2 la forma în segmente pe axele (2.2.3), împărțim ambele părți la 6:
. Astfel, drept l 2 taieri pe axa Oh 1 6 unitati, pe axa Oh 2 - 2 unitati. La fel avem pentru l 3:
și Direct l 4 paralel cu axa Oh 1 și trece prin punctul cu coordonatele (0;1) .

Pentru a determina semiplanuri care îndeplinesc constrângerile sistemului (2.2.4), este necesar să se substituie coordonatele oricărui punct care nu se află pe linia de limită în constrângeri. Din cauza restricțiilorX 1 0, X 2 0, regiunea soluțiilor admisibile ale ZLP se află în primul sfert al planului de coordonate.

DESPRE
zona soluțiilor fezabile din figura 2.2.2 este umbrită.

Figura 2.2.2 – Zona soluțiilor fezabile

Să construim un vector de direcții
= (–2,–1). În continuare, construim o linie de nivel perpendiculară pe vector .

A găsi cea mai mare valoare a funcției obiectiv, deplasăm linia de nivel în direcția vectorului până la ultima intersecție cu regiunea soluțiilor fezabile. Astfel, punctul maxim al funcției obiectiv z este punctul A(intersecția liniilor l 1 și l 2).

Pentru a calcula valoarea optimă a funcției obiectiv z găsiți coordonatele punctului A. De la punctul A este punctul de intersecție al dreptelor l 1 și l 2, atunci coordonatele sale satisfac un sistem de ecuații compus din ecuațiile liniilor de limită corespunzătoare:

Deci ideea A are coordonate X 1 =6/13, X 2 = 24/13.

Înlocuind coordonatele punctului A în funcția obiectiv (2.2.5), obținem valoarea optimă a funcției obiectiv

max z= – 2·(6/13) – (24/13) = – 36/13.

Pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției obiectiv, deplasăm linia de nivel în direcția opusă vectorului până la ultima intersecție cu regiunea soluțiilor fezabile. În acest caz, funcția obiectiv este nelimitată în regiunea soluțiilor fezabile, adică. ZLP nu are minim.

Ca urmare a deciziei PPP, sunt posibile următoarele cazuri:

Funcția obiectiv atinge valoarea optimă la un singur vârf al poligonului soluție;

Funcția obiectiv își atinge valoarea optimă în orice punct de la marginea poligonului soluție (ZLP are planuri de referință alternative cu aceleași valori z );

PAP nu are planuri optime;

ZLP are un plan optim în cazul unei game nelimitate de soluții fezabile.

Sarcină. Rezolvați problema grafic programare liniară, după ce s-a determinat valoarea extremă a funcției obiectiv:

sub restricții

Să construim o regiune de soluții fezabile, de ex. Să rezolvăm sistemul de inegalități grafic. Pentru a face acest lucru, construim fiecare linie dreaptă și definim semiplanurile definite de inegalități (semiplanurile sunt indicate de un prim).

Să construim ecuația 3x 1 +x 2 = 9 în două puncte.
Pentru a găsi primul punct, echivalăm x 1 = 0. Găsim x 2 = 9. Pentru a găsi al doilea punct, echivalăm x 2 = 0. Găsim x 1 = 3. Legăm punctul (0;9) cu (3;0) cu o linie dreaptă. Să definim semiplanul definit de inegalitate. După ce am ales punctul (0; 0), definim semnul inegalității în semiplan: 3. 0 + 1 . 0 - 9 ≤ 0, adică 3x 1 +x 2 - 9≥ 0 în semiplanul de deasupra dreptei.
Să construim ecuația x 1 +2x 2 = 8 în două puncte.
Pentru a găsi primul punct, echivalăm x 1 = 0. Găsim x 2 = 4. Pentru a găsi al doilea punct, echivalăm x 2 = 0. Găsim x 1 = 8. Legăm punctul (0;4) cu (8;0) cu o linie dreaptă. Să definim semiplanul definit de inegalitate. După ce am ales punctul (0; 0), definim semnul inegalității în semiplan: 1. 0 + 2 . 0 - 8 ≤ 0, adică x 1 +2x 2 - 8≥ 0 în semiplanul de deasupra dreptei.
Să construim ecuația x 1 + x 2 = 8 în două puncte.
Pentru a găsi primul punct, echivalăm x 1 = 0. Găsim x 2 = 8. Pentru a găsi al doilea punct, echivalăm x 2 = 0. Găsim x 1 = 8. Legăm punctul (0;8) cu (8;0) cu o linie dreaptă. Să definim semiplanul definit de inegalitate. După ce am ales punctul (0; 0), definim semnul inegalității în semiplan: 1. 0 + 1 . 0 - 8 ≤ 0, adică x 1 +x 2 - 8≤ 0 în semiplanul de sub linia dreaptă.

Intersecția semiplanurilor va fi o regiune ale cărei coordonate punctuale satisfac inegalitățile sistemului de constrângeri ale problemei.
Să notăm limitele ariei poligonului soluție.

Puteți verifica corectitudinea construcției graficelor de funcții folosind un calculator

Se consideră funcția obiectiv a problemei F = 4x 1 +6x 2 → min.
Să construim o dreaptă corespunzătoare valorii funcției F = 0: F = 4x 1 +6x 2 = 0. Vectorul gradient, compus din coeficienții funcției obiectiv, indică direcția de minimizare a lui F(X). Începutul vectorului este punctul (0; 0), sfârșitul este punctul (4; 6). Vom muta această linie dreaptă în mod paralel. Deoarece suntem interesați de soluția minimă, deci deplasăm linia dreaptă până când atinge prima zonă zona desemnată. Pe grafic, această linie dreaptă este indicată printr-o linie punctată.

Drept F(x) = 4x 1 +6x 2 intersectează regiunea în punctul B. Deoarece punctul B se obține ca rezultat al intersecției dreptelor (1) Și (2) , atunci coordonatele sale satisfac ecuațiile acestor drepte:
3x 1 +x 2 =9
x 1 +2x 2 =8

După ce am rezolvat sistemul de ecuații, obținem: x 1 = 2, x 2 = 3
De unde o găsim? valoarea minima funcție obiectivă:
F(X) = 4*2 + 6*3 = 26

Scurtă teorie

Programarea liniară este o ramură a programării matematice utilizată în dezvoltarea metodelor de găsire a extremului funcțiilor liniare ale mai multor variabile pentru liniare. restricții suplimentare, impus variabilelor. În funcție de tipul de probleme rezolvate, metodele sale sunt împărțite în universale și speciale. Prin utilizarea metode universale Orice problemă de programare liniară (LPP) poate fi rezolvată. Metodele speciale iau în considerare caracteristicile modelului problemei, funcția sa obiectivă și sistemul de constrângeri. O caracteristică a problemelor de programare liniară este că funcția obiectiv atinge un extremum la limita regiunii soluțiilor fezabile.

Metoda grafica rezolvarea problemelor de programare liniară face posibilă vizualizarea structurii acestora, identificarea caracteristicilor și deschide căi de studiu a proprietăților mai complexe. O problemă de programare liniară cu două variabile poate fi întotdeauna rezolvată grafic. Cu toate acestea, deja în spațiul tridimensional o astfel de soluție devine mai complicată, iar în spațiile cu dimensiuni mai mari de trei, o soluție grafică este, în general, imposibilă. Cazul a două variabile nu are o semnificație practică deosebită, dar luarea în considerare clarifică proprietățile constrângerilor LLP, duce la ideea rezolvării acesteia și face ca metodele de soluție și modalitățile de implementare practică a acestora să fie clare geometric.

Dacă constrângerile și funcția obiectiv conțin mai mult de două variabile, atunci este necesar (sau prin metoda îmbunătățirii secvențiale a soluției) - este universal și poate fi folosit pentru a rezolva orice problemă. Pentru unii probleme aplicate au fost dezvoltate programarea liniară, cum ar fi metode speciale de soluții.

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcina

Întreprinderea produce două tipuri de produse: Produsul 1 și Produsul 2. Pentru a fabrica o unitate de Produs 1, este necesar să cheltuiți kg de materii prime de primul tip, kg de materii prime al doilea tip, kg materii prime de al treilea tip. Pentru a fabrica o unitate de Produs 2, este necesar să cheltuiți kg de primul tip, materii prime de al doilea tip și materii prime de al treilea tip. Producția este asigurată cu materii prime de fiecare tip în cantități de kg, kg, respectiv kg. Prețul de piață al unei unități de produs 1 este de mii de ruble, iar o unitate de produs 2 este de mii de ruble.

Necesar:

• Construiți un model matematic al problemei.
• Întocmește un plan de producție pentru produse care să asigure venituri maxime din vânzarea acestora folosind o metodă grafică pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară.

Pentru a se asigura că soluția la o problemă de programare liniară este cât mai exactă și corectă posibil, mulți comandă ieftin Test pe acel site. Puteți citi mai multe detalii (cum depuneți o cerere, prețuri, termene, modalități de plată) pe pagina Cumpărați o lucrare de testare despre programarea liniară...

Rezolvarea problemei

Construirea modelului

Fie și notăm numărul de produse fabricate de tipul 1 și 2.

Apoi restricții de resurse:

În plus, conform sensului sarcinii

Funcția țintă a modelului economico-matematic, exprimând veniturile primite din vânzări:

Obținem următorul model economic și matematic:

Construirea domeniului soluțiilor fezabile

Să rezolvăm problema de programare liniară rezultată grafic:

Pentru a construi o regiune de soluții fezabile, construim linii de limită corespunzătoare acestor inegalități în sistemul de coordonate:

Să găsim punctele prin care trec liniile:

Soluția fiecărei inegalități a sistemului de constrângeri ZLP este un semiplan care conține linia de limită și este situat pe o parte a acesteia.

Pentru a defini un semiplan, luați orice punct, de exemplu, care nu aparține dreptei (1) și înlocuiți coordonatele (0;0) în inegalitatea corespunzătoare. Deoarece inegalitatea este adevarata:

Regiunea soluție a primei inegalități corespunzătoare corespunde semiplanului stâng

Să luăm orice punct, de exemplu, care nu aparține liniei (2) și să înlocuim coordonatele (0;0) în inegalitatea corespunzătoare. Deoarece inegalitatea este adevarata:

Să luăm orice punct, de exemplu, care nu aparține liniei (3) și să înlocuim coordonatele (0;0) în inegalitatea corespunzătoare. Deoarece inegalitatea este adevarata:

Regiunea soluție a celei de-a doua inegalități corespunzătoare corespunde semiplanului stâng

Regiunea soluțiilor fezabile este figura.

Găsirea unei soluții la problema LP

Construim un vector ale cărui coordonate sunt proporționale cu coeficienții funcției obiectiv. Iată coeficientul de proporționalitate.

Desenați o linie de nivel perpendiculară pe vectorul construit.

Mutăm linia de nivel în direcția vectorului, astfel încât să atingă regiunea soluțiilor fezabile în punctul extrem. Soluția la maxim este punctul , ale cărui coordonate se găsesc ca punct de intersecție al dreptelor (2) și (1).

Răspuns

Astfel, este necesar să se producă 56 de produse de tipul I și 64 de produse de tipul II. În acest caz, veniturile din vânzarea produselor vor fi maxime și se vor ridica la 5104 unități monetare.

Metodă solutie grafica, dacă o problemă cu două variabile are constrângeri liniare și funcția obiectiv este pătratică, discutată în detaliu aici
Pagina discută în detaliu soluția problemei de programare liniară metoda simplex, în plus, este prezentată construcția dubla problema programarea liniară și găsirea soluției acesteia prin rezolvarea unei probleme directe.

Problemă de transport și metodă potențială
Problema transportului, modelul său matematic și metodele de rezolvare sunt analizate în detaliu - găsirea planului de referință prin metoda elementului minim și căutarea soluției optime prin metoda potențialului.

Programare convexă - metodă grafică
Este dat un exemplu de rezolvare a unei probleme de programare pătratică convexă folosind o metodă grafică.

Rezolvarea unei probleme de programare liniară (LPP) folosind o metodă grafică

Formularea generală a parcelei

Găsiți valorile n variabile x 1 , x 2 , …, x n care oferă un extremum (minim sau maxim) funcție liniară Z=C 1 x 1 ,+ C 2 x 2+…+ C n x n

şi satisfacând simultan m restricţii ale formei

a 1.1 x 1 +a 1.2 x 2 +…+a 1.n x n£ =≥b 1 ,

a 2.1 x 1 +a 2.2 x 2 +…+a 2.n x n£ = ≥b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

a m,1 x 1 +a m,2 x 2 +…+a m,n x n£ = ≥b m ,

pentru dat a i,j , b i, C j (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n). Semnul relației poate lua oricare dintre cele trei valori date.

Exemplu de problemă de programare liniară

Să luăm în considerare următoarea problemă. Managerul unei companii producătoare de două tipuri de vopsele a descris unui cercetător operațional situația în producția și comercializarea vopselelor. S-a dovedit că fabrica produce două tipuri de vopsele: pentru interior și lucrări exterioare. Intră ambele culori angro. Pentru producerea vopselelor se folosesc două produse inițiale - A și B. Rezervele zilnice maxime posibile ale acestor produse sunt de 6, respectiv 8 tone. Experiența a arătat că cererea zilnică de vopsea exterioară nu depășește niciodată cererea de vopsea interioară cu mai mult de 1 tonă. În plus, se constată că cererea de vopsea exterioară nu depășește niciodată 2 tone pe zi. Prețurile cu ridicata pentru o tonă de vopsea sunt următoarele: 3 mii de ruble pentru vopsea externă și 2 mii de ruble pentru vopsea interioară. Cât din fiecare tip de vopsea ar trebui să producă fabrica pentru a maximiza veniturile din vânzări?

Pentru a rezolva problema pusă cercetătorului, este necesară mai întâi elaborarea unui model matematic al situației descrise.

Când construiește un model matematic, cercetătorul operațional își pune trei întrebări.

• Pentru ce cantitati trebuie construit modelul? Cu alte cuvinte, trebuie să identificați variabilele sarcinii.
• Ce restricții trebuie impuse variabilelor astfel încât să fie îndeplinite condițiile caracteristice sistemului care se modelează?
• Care este scopul, pentru a atinge care dintre toate valorile posibile (admisibile) ale variabilelor, este necesar să se selecteze pe cele care vor corespunde soluției optime (cea mai bună) a problemei?

Să introducem variabilele:

x 1 – volumul zilnic de producție de vopsea externă (în tone),

x 2 – volumul zilnic de producție de vopsea de interior (în tone).

Luand in considerare Preturi angro pe tonă de fiecare tip de vopsea, venitul zilnic din vânzarea produselor fabricate este dat de funcția obiectiv liniară Z = 3x 1 + 2x 2.

Scopul producției este obținerea unui profit maxim, ceea ce înseamnă că este necesar să se găsească valorile lui x 1 și x 2 care maximizează funcția obiectiv Z.

Deoarece producătorul de vopsea nu poate controla valorile variabilelor la întâmplare, deci este necesar să se identifice setul de valori posibile ale acestor variabile, care este determinat de condițiile specifice de producție și vânzare. Acest set se numește regiune valori acceptabile.

Primul tip de constrângere este determinat de stocurile de produse A și B din care sunt produse vopsele. Din tehnologia de producție se știe că două părți din produsul A sunt folosite pentru a produce o tonă de vopsea externă, iar o parte este folosită pentru a produce o tonă de vopsea interioară. Pentru produsul B relația este inversată. Aceste condiții tehnologice sunt descrise de inegalități

2x 1 + x 2 6 GBP (6 tone de produs A în stoc),

x 1 + 2x 2 8 GBP (sunt în stoc 8 tone de produs B).

Ultimele două restricții înseamnă o circumstanță evidentă: nu puteți folosi mai multe produse A și B pentru producția de vopsele decât sunt de fapt în stoc.

Situația cu vânzarea vopselelor pe piață duce la următoarele restricții: x 1 – x 2 £ 1 (vopseaua exterioară se vinde cu cel mult o tonă mai mult decât vopseaua interioară), x 1 £ 2 (vopseaua exterioară nu se mai vinde peste două tone pe zi).

Rezumând tot ceea ce s-a spus, un model matematic care descrie situația actuală a producției poate fi specificat sub următoarea formă:

găsi® max( Z=2× x 1 + 3× x 2 ) la in urma restrictiilor pe valorile variabilelor x 1 și x 2

2 × x 1 + x 2 £ 6 limitare (1),

X 1 + 2 × x 2 £ 8 limitare (2),

X 1 - x 2 £ 1 limitare (3),

X 1 £ 2 constrângere (4)

și cerința ca variabilele x 1 ³ 0 (5), x 2 ³ 0 (6) să fie nenegative.

Primit model matematic este o problemă de programare liniară.

Metoda grafica solutii la problema

Metoda grafică de rezolvare a problemei poate fi implementată doar în cazul bidimensional.

Modelul matematic obţinut pentru problema standard formulată necesită cercetare, deoarece nu se ştie dinainte dacă are (cum problema de matematica) soluție. Vom efectua studiul folosind constructii grafice. Concomitent cu o astfel de cercetare vom găsi (dacă există) o soluție.

Etapa 1. Construirea domeniului soluțiilor fezabile

Scopul este de a construi o regiune în care fiecare punct să satisfacă toate constrângerile.

Fiecare dintre cele șase constrângeri definește geometric un semiplan. Pentru a-l construi, aveți nevoie de:

• · înlocuiți semnul inegalității din constrângere cu egalitate (obținem ecuația unei drepte);

• · construiți o dreaptă folosind două puncte;

• · determinați ce semiplan este specificat de semnul de inegalitate. Pentru a face acest lucru, înlocuiți un punct în inegalitate (de exemplu, originea coordonatelor). Dacă satisface inegalitatea, pictăm semiplanul care o conține.

Efectuăm aceste acțiuni pentru toate restricțiile. Notam fiecare dintre linii prin numerele adoptate la numerotarea restrictiilor (vezi figura).

Zona de soluții fezabile (satisfăcând toate restricțiile) este mulțimea de puncte din primul cadran al planului de coordonate (x 1, x 2), care este intersecția tuturor semiplanurilor definite de inegalitățile restricțiilor.

Setul de puncte care satisfac toate cele șase constrângeri ale problemei este poligonul AFEDCB.

Etapa 2: Construirea liniilor de nivel al funcției țintă și determinarea punctului maxim

Scopul este de a găsi în poligonul construit AFEDCB este punctul în care funcția obiectiv Z=2x 1 + 3x 2 capătă valoarea sa maximă.

Să desenăm o linie dreaptă 2x 1 + 3x 2 = Const (linie de nivel), astfel încât să intersecteze poligonul AFEDCB (de exemplu, Const = 10). Această linie de nivel este prezentată ca o linie punctată în figură.

Dacă luăm în considerare valorile funcției obiective liniare Z pe un set de puncte (x 1 , x 2) aparținând unui segment al liniei punctate situat în interiorul hexagonului, atunci toate sunt egale cu aceeași valoare (Const = 10).

Să determinăm direcția de creștere a funcției. Pentru a face acest lucru, vom construi o linie de nivel cu valoare mai mare. Aceasta va fi o linie dreaptă, paralelă cu cea construită, dar situată la dreapta. Aceasta înseamnă că într-o direcție dată valoarea funcției obiectiv crește și este în interesul nostru să o deplasăm pe cât posibil în această direcție.

Deplasarea poate fi continuată atâta timp cât linia dreaptă în mișcare intersectează poligonul soluțiilor fezabile. Ultima poziție a dreptei, când are un punct comun cu poligonul AFEDCB (punctul C), corespunde valorii maxime a funcției obiectiv Z și se realizează în punctul C cu coordonatele x 1 = 4/3 (" 1.333) , x 2 = 10/3 (" 3,333). În acest caz, Z = 38/3 (» 12,667).

Sarcina a fost complet rezolvată. Din raționamentul geometric efectuat reiese clar că soluția este unică. Să facem câteva generalizări care decurg din interpretarea geometrică a problemei.

Primul. Regiunea soluțiilor fezabile este un poligon convex ( De ce convex? Poate regiunea soluțiilor fezabile să fie o mulțime goală? Perioadă? Segment de linie? Ray? Direct? Dacă da, dați un exemplu de sistem de restricție).

Al doilea. Maximul funcției obiectiv este atins la vârful poligonului soluțiilor fezabile ( Dar poate că nu există o singură soluție? Ar putea să nu existe o soluție?)

Sarcina 1 (finalizată în clasă, arătați profesorului)

Rezolvați grafic

A) x1=6 x2=4 F=24

B) x1=2 x2=3 F=26

C) x1О x2=8-x1 F=24

Sarcina 2 (finalizată în clasă, arătați profesorului)

Răspundeți la întrebări cu caractere cursive.

Sarcina 3 (temă)

Scrieți un program.

Dan fisier text drăguț

2 3 (coeficienți ai funcției obiective)

4 (număr de restricții)

2 2 12 (restricții)

1 2 8

4 0 16

0 4 12

Construiți linii drepte astfel încât poligonul soluțiilor fezabile să fie în întregime pe ecran (pentru definirea scării, a se vedea cartea lui Onegov). Liniile drepte pot fi paralele cu axele!

Construiți mai multe linii la nivelul funcției obiectiv (apăsați tasta - linia dreaptă se mișcă, este afișată valoarea funcției obiectiv). Arată scara.

O metodă importantă de analiză științifică a materialului statistic este imaginile grafice. Primele încercări de utilizare a metodelor grafice în cercetarea economică au început în anii 1780. Cu toate acestea, metoda grafică a primit o utilizare mai largă mai târziu - la mijlocul secolului al XVIII-lea, mai ales după raportul reprezentantului biroului de statistică din Berlin Schwabe, „Teoria”, realizat pentru prima dată în istoria statisticii. imagini grafice"la cel de-al 8-lea Congres Internaţional de Statistică (Sankt Petersburg, 1872). După binecunoscuta expresie a fizicianului german F. Auerbach, secolul XX a fost marcat de "înaintarea triumfală a metodei grafice în ştiinţă".

Ce este un program? Un grafic este o formă reprezentare vizuala date statistice despre fenomene și procese socio-economice prin imagini geometrice, desene sau schematice Hărți geografice si explicatii pentru ele.

Un grafic are cinci elemente principale design general: câmp, grilă de coordonate, semne grafice și plasarea lor în câmpul grafic, scară și legendă (Fig. 10.3).

Orez. 10.3. Elementele de bază ale unei diagrame

Fiecare dintre aceste elemente are propriul său scop și joacă un rol corespunzător în construcție și interpretare. Câmpul grafic este spațiul pe care sunt plasate semnele geometrice și alte semne care alcătuiesc imaginea grafică.

O imagine grafică este un set de diferite semne simbolice cu ajutorul cărora sunt reflectate datele statistice. Aceste semne pot fi reprezentate în următoarele forme: linii, puncte, figuri geometrice, grafice și uneori non-geometrice.

O grilă de coordonate este un sistem de coordonate dreptunghiular în care timpul este reprezentat pe axa absciselor, iar indicatorii cantitativi de scară sunt reprezentați pe axa ordonatelor.

Scara este o măsură condiționată de conversie a valorii numerice a unui fenomen statistic într-unul grafic și invers. Este folosit pentru instalare valori numerice fenomene exprimate pe grafic.

Explicarea unui grafic este o explicație verbală a conținutului său specific, care include de obicei:

1) titlu cu explicațiile suplimentare necesare;

2) o explicație exactă a esenței, prevăzută condiționat în această diagramă semnele sale grafice (geometrice, picturale, de fundal, pur convenționale)

3) alte explicații, note etc.

În plus, puteți pune câteva Informații suplimentare, de exemplu, date numerice care se reflectă în unele semne grafice și le repetă în formă digitală valori exacte, exprimat grafic.

Graficele joacă un rol deosebit de important în studierea interrelațiilor complexe ale fenomenelor și proceselor socio-economice, identificând tendințe, modele și schimbări în dinamică, precum și în analiza în curs. Principalele diferențe și avantaje ale metodei grafice față de altele sunt: ​​vizibilitate mai bună; capacitatea de a acoperi în general datele celor studiati; capacitatea de a exprima unele dependențe analitice care nu sunt foarte clare și greu de identificat cu alte metode de prezentare a datelor.

Cu ajutorul graficelor, puteți exercita controlul operațional asupra producției, vânzărilor de produse, îndeplinirii obligațiilor contractuale și sarcinilor atribuite. Astfel, orarele sunt atribuite:

Pentru a rezuma și analiza datele;

Imagine de distribuție a datelor;

Identificarea tiparelor de dezvoltare a fenomenelor și proceselor studiate în dinamică;

Reflectarea interrelațiilor dintre indicatori;

Monitorizarea productiei, implementarea contractelor de vanzare etc.

Există diferite clasificări ale graficelor - în funcție de formă imagini grafice, în ceea ce privește conținutul și natura sarcinilor.

Pe baza formei imaginilor grafice, acestea se disting următoarele tipuri grafice:

1) punct;

2) liniară;

3) plană;

4) volumetrice;

5) artistic (vizual, convențional).

În diagramele de dispersie, volumul unei populații este exprimat fie printr-un singur punct, fie printr-o acumulare de puncte. Un punct poate însemna un caz sau mai multe (de exemplu, o fabrică, 500 de muncitori).

Graficele liniare constau numai din linii: segmente drepte, linii întrerupte, curbe în trepte, netede (în principal pentru a transmite dinamica populației). Adesea, segmentele drepte sunt înlocuite cu benzi aceeasi latime, care acționează și ca semne grafice dar cu o singură dimensiune (lungime). În astfel de cazuri, graficele se numesc grafice cu bare dacă dungile sunt plasate vertical sau grafice cu bandă când dungile sunt orizontale.

La rândul lor, graficele coloanelor sunt împărțite în diagrame coloane: simple și solide, din grupuri de coloane etc., iar diagramele cu benzi sunt împărțite în diagrame cu benzi: simple și în trepte, pe componente, glisante, direcționate bilateral (de exemplu, un „ piramida de vârstă” a compoziției populației) .

LA tipuri speciale graficele liniare le includ pe cele spiralate (pentru fenomene care se dezvoltă la infinit în timp și în mărime crescândă), diagrame radiale(pentru a afișa modele de fenomene care se repetă periodic, ritmul acestora, caracterul sezonier).

Graficele plane sunt grafice cu două dimensiuni sub formă de planuri de forme geometrice diferite. În funcție de aceasta, ele pot fi pătrate, circulare, sectoriale. Este recomandabil să folosiți aceste grafice pentru a compara fenomene reprezentate prin valori absolute și relative.

Caracteristicile importante ale diagramelor plane sunt „semnul Warzar” bidimensional, banda sau diagrama curentă și diagrama de echilibru.

„Semnul Varzar” bidimensional (numit după inventatorul său, statisticianul rus V.E. Varzar) este un dreptunghi cu baza a, înălțimea b și aria Sab, care este util pentru exprimarea grafică a unor relații similare destul de comune între cele trei mărimi a, de S.

O diagramă în bandă, sau curent, este folosită pentru a exprima schematic volumul și compoziția fluxurilor de marfă între două puncte într-una și a doua direcție.

Un diagramă de bilanț este o diagramă cu bandă pe două fețe, ale cărei panglici se ramifică în două direcții în benzi mai înguste, lățimea lor exprimând valorile corespunzătoare ale elementelor de venituri și cheltuieli, elementelor de activ și pasiv și altele asemenea.

volumetric - Grafică 3D, care sunt rar folosite pentru că sunt mai puțin expresive în comparație cu cele liniare și plane.

Artistice (vizuale, convenționale) - grafice cu semne grafice convenționale care reflectă totalitatea sau semnificațiile sale individuale sub formă de figuri umane, contururi de animale, desene schematice ale obiectelor etc.

Clasificarea graficelor în funcție de conținutul lor este de mare importanță. Luând în considerare acest lucru, graficele sunt împărțite în două clase - diagrame și hărți statistice.

O diagramă este o expresie grafică a volumelor și caracteristicilor unuia sau mai multor agregate folosind simboluri grafice cantitative (geometrice, artistice, de fundal, pur convenționale).

Cu toate acestea, diagrama nu dă reprezentare grafică o plasarea teritorială a populațiilor reprezentate sau modificări teritoriale ale caracteristicilor acestora. În acest scop, se folosesc hărți statistice, concepute pentru a reprezenta distribuția teritorială a populațiilor sau modificările teritoriale ale caracteristicilor acestora. Ele sunt împărțite în două clase - cartograme și diagrame de hărți.

Cartogramele sunt hărți geografice de contur pe care sunt prezentate caracteristicile teritoriale cantitative ale unei populații folosind simboluri grafice.

Diagramele hărților sunt hărți geografice de contur, în care zonele individuale (regiuni, puncte) ale unui teritoriu sunt reprezentate cu același tip de diagramă (una sau mai multe), ilustrând volumul și caracteristicile teritoriale ale populațiilor similare din aceste zone. Deci, de exemplu, sunt descrise fluxul de mărfuri, pasagerii transportați, populația care migrează și altele asemenea.

Diagramele și hărțile statistice îndeplinesc următoarele sarcini importante în cercetarea populației:

Comparația generală a acestora;

Studiul structurii;

Studiul dinamicii;

Studierea relațiilor dintre caracteristicile acestora;

Măsurarea gradului de implementare a planurilor economice și a obligațiilor contractuale în practica de planificare economică.

La rândul lor, atât diagramele cât și cartogramele, în funcție de scopul lor, sunt împărțite în subclase, grupuri și forme (Tabelul 10.27).

La construirea graficelor, trebuie respectate următoarele cerințe:

1) se bazează pe date numerice fiabile;

2) graficele ar trebui să fie semnificative în design și interesante în conținut;

3) trebuie construite în conformitate cu sarcinile atribuite și scopul lor practic;

4) să fie extrem de economic - să conţină un maxim de informaţii şi idei cu un minim de mijloace de exprimare grafică, simple, clare, inteligibile;

5) bine executat din punct de vedere tehnic.

Să aruncăm o privire mai atentă la principalele tipuri și forme de diagrame și hărți statistice, care sunt cel mai des folosite în practica muncii analitice.

O diagramă liniară este unul dintre cele mai comune tipuri de grafice, care servește la reprezentarea dinamicii fenomenelor studiate. Pentru a-l construi, se folosește un sistem de coordonate dreptunghiular. Pe axa absciselor sunt așezate segmente egale - perioade de timp (zile, luni, ani etc.), iar pe axa ordonatelor se adoptă o scară care caracterizează unitățile de măsură. Pe câmpul de coordonate sunt desenate puncte care sunt egale cu valoarea indicatorului activat anumită perioadă. Apoi toate punctele sunt conectate prin linii drepte, rezultând o linie întreruptă care caracterizează modificarea fenomenului studiat într-o anumită perioadă de timp (Tabelul 10.28, Fig. 10.4).

Tabelul 10.28. Investiții în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în perioada 2000-2005 pp., în prețuri reale, milioane UAH

Datele graficului arată că volumul investițiilor în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în prețuri reale a crescut din 2000 până în 2005.

Orez. 10.4. Dinamica volumului investițiilor în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în perioada 2000-2005, în prețuri reale, milioane UAH

Graficele cu linii planificate sunt construite pe o grilă special concepută, în care unitățile de timp sunt așezate orizontal, iar obiectele de cercetare sunt plasate vertical. În plus, fiecărui segment orizontal îi corespunde îndeplinirea în proporție de 100% a sarcinii planificate. Aceste segmente sunt împărțite în 5 părți egale, fiecare dintre acestea corespunzând la 20% din sarcina planificată.

Gradul de implementare a planului pe grafic este reprezentat de două linii: o linie subțire întreruptă - pe unitatea de timp (zi, deceniu) și o linie aldină solidă - pentru perioada de raportare în ansamblu.

Să ne uităm la procedura de construire a unui grafic liniar planificat folosind un exemplu.

Exemplu. Construi grafic liniare indeplinirea sarcinii planificate de catre o echipa de muncitori din lucrari de constructii si instalatii, folosind datele din tabel. 10.29.

Tabelul 10.29. Îndeplinirea sarcinii planificate de către o echipă de muncitori din lucrări de construcții și instalații

Programul de realizare a sarcinii planificate de către echipa de construcție pentru lucrările de construcție și instalare este prezentat în Fig. 10.5.

Linia subțire continuă a primei zile corespunde cu 90% din plan și ocupă patru celule și jumătate, iar linia a doua zi - 80% și ocupă patru celule, linia a treia zi se întinde exact cinci, iar a patra - cinci celule (100%) plus una suplimentară segmentul de mai jos, care ocupă 20% etc.

Prezentarea nivelului de implementare a planului pe bază de angajamente necesită câteva calcule suplimentare. Deci, în prima zi, linia groasă solidă va avea aceeași lungime ca și linia continuă subțire - 90% și va ocupa patru celule și jumătate. În continuare, trebuie făcute următoarele calcule: în două zile s-au finalizat efectiv 513 m2 (225 + 288). Din această sumă, 250 m2 sunt creditați pentru implementarea planului pentru prima zi. Apoi, în a doua zi, vor rămâne 263 m2, ceea ce, conform planului, în această zi este de 91% (263.288).

Conform liniei aldine, ocupă cinci celule din prima zi și 91% din a doua. În trei zile s-au finalizat efectiv 923 m2 (225 + 288 + 410). Se înregistrează 610 m2 pentru finalizarea planului pentru primele două zile, iar 313 m2 pentru a treia zi, ceea ce, conform planului pentru această zi, este de 76% (313: 410). Linia groasă va ocupa 5 celule din prima și a doua zi și 76% din a treia. Toate calculele ulterioare sunt efectuate în mod similar. Gradul de implementare a planului pentru fiecare zi este indicat prin puncte pe linia groasă.

Diagramă cu coloane- un tip foarte comun de grafice într-o singură dimensiune datorită clarității și simplității lor. Datele statistice din ele sunt prezentate sub formă de dreptunghiuri de aceeași lățime, situate vertical de-a lungul unei linii orizontale (Fig. 10.6).

Înălțimea coloanelor ar trebui să corespundă mărimii fenomenelor descrise. Dacă barele sunt așezate orizontal, atunci un astfel de grafic se numește grafic cu bandă (Fig. 10.7).

Diagramele cu coloane și benzi vă permit să comparați valori sensuri diferite, caracterizează același fenomen în dinamică; caracterizează populația.

Diagramele circulare (sau diagramele circulare) sunt diagrame concepute pentru a afișa structura fenomenelor și proceselor studiate. Ele sunt reprezentate sub forma unui cerc împărțit în sectoare, ale căror dimensiuni corespund dimensiunilor fenomenelor descrise (Fig. 10.8).

După cum reiese din grafic (Fig. 10.8), principala sursă de finanțare pentru operațiunile de leasing din Ucraina o reprezintă creditele bancare (80,9%), apoi fondurile proprii (16,1%). Fonduri împrumutate entitati legale reprezintă doar 3,6%.

Orez. 10.6. Dinamica volumului investițiilor în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în perioada 2000-2005 pp., în prețuri reale, milioane UAH

Orez. 10.7. Dinamica volumului investițiilor în capital fix în construcția de locuințe în Ucraina în perioada 2000-2005 pp., în prețuri reale, milioane UAH

ÎN conditii moderne dezvoltarea sistemelor informatice și informatice, a devenit posibilă construirea de grafice folosind pachete programe de calculator, inclusiv electronice tabele EXCEL, „Statistica-6”, etc. Sunt ușor de utilizat și simplifică foarte mult această muncă.

Orez. 10.8. Structura surselor de finanțare pentru operațiunile de leasing în Ucraina la începutul anului 2005 p.,%