Meniul
Acasăexcela

Funcția liniară și graficul acesteia. Funcția liniară Funcția liniară y x 3

O funcție liniară este o funcție de forma y=kx+b, unde x este variabila independentă, k și b sunt orice numere.
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

1. Pentru a reprezenta graficul unei funcții, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori x, să le înlocuiți în ecuația funcției și să le utilizați pentru a calcula valorile y corespunzătoare.

De exemplu, pentru a reprezenta grafic funcția y= x+2, este convenabil să luăm x=0 și x=3, atunci ordonatele acestor puncte vor fi egale cu y=2 și y=3. Obținem punctele A(0;2) și B(3;3). Să le conectăm și să obținem un grafic al funcției y= x+2:

2. În formula y=kx+b, numărul k se numește coeficient de proporționalitate:
dacă k>0, atunci funcția y=kx+b crește
dacă k
Coeficientul b arată deplasarea graficului funcției de-a lungul axei OY:
dacă b>0, atunci graficul funcției y=kx+b se obține din graficul funcției y=kx prin deplasarea b unități în sus de-a lungul axei OY
dacă b
În figura de mai jos sunt prezentate graficele funcțiilor y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul k Peste zero, iar funcţiile sunt crescând. Mai mult, cu cât valoarea lui k este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a dreptei față de direcția pozitivă a axei OX.

În toate funcțiile b=3 - și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0;3)

Acum luați în considerare graficele funcțiilor y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

De data aceasta în toate funcțiile coeficientul k mai putin de zero si functii sunt în scădere. Coeficientul b=3, iar graficele, ca și în cazul precedent, intersectează axa OY în punctul (0;3)

Se consideră graficele funcțiilor y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Acum, în toate ecuațiile de funcție, coeficienții k sunt egali cu 2. Și avem trei drepte paralele.

Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste grafice intersectează axa OY în puncte diferite:
Graficul funcției y=2x+3 (b=3) intersectează axa OY în punctul (0;3)
Graficul funcției y=2x (b=0) intersectează axa OY în punctul (0;0) - originea.
Graficul funcției y=2x-3 (b=-3) intersectează axa OY în punctul (0;-3)

Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției y=kx+b.
Dacă k 0

Dacă k>0 și b>0, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

Dacă k>0 și b, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

Dacă k, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

Dacă k=0, atunci funcția y=kx+b se transformă în funcția y=b și graficul ei arată astfel:

Ordonatele tuturor punctelor de pe graficul funcției y=b sunt egale cu b Dacă b=0, atunci graficul funcției y=kx (proporționalitate directă) trece prin origine:

3. Să notăm separat graficul ecuației x=a. Graficul acestei ecuații este o dreaptă paralelă cu axa OY, toate punctele care au o abscisă x=a.

De exemplu, graficul ecuației x=3 arată astfel:
Atenţie! Ecuația x=a nu este o funcție, deci o valoare a argumentului corespunde diferitelor valori ale funcției, care nu corespunde definiției unei funcții.


4. Condiție pentru paralelismul a două linii:

Graficul funcției y=k 1 x+b 1 este paralel cu graficul funcției y=k 2 x+b 2 dacă k 1 =k 2

5. Condiția ca două drepte să fie perpendiculare:

Graficul funcției y=k 1 x+b 1 este perpendicular pe graficul funcției y=k 2 x+b 2 dacă k 1 *k 2 =-1 sau k 1 =-1/k 2

6. Puncte de intersecție ale graficului funcției y=kx+b cu axele de coordonate.

Cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de x. Obținem y=b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0; b).

Cu axa OX: ordonata oricărui punct aparținând axei OX este zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de y. Se obține 0=kx+b. Prin urmare, x=-b/k. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonatele (-b/k;0):

Definiția unei funcții liniare

Să introducem definiția unei funcții liniare

Definiție

O funcție de forma $y=kx+b$, unde $k$ este diferit de zero, se numește funcție liniară.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Numărul $k$ se numește panta dreptei.

Când $b=0$ funcția liniară se numește funcție de proporționalitate directă $y=kx$.

Luați în considerare figura 1.

Orez. 1. Sensul geometric al pantei unei drepte

Luați în considerare triunghiul ABC. Vedem că $ВС=kx_0+b$. Să găsim punctul de intersecție al dreptei $y=kx+b$ cu axa $Ox$:

\ \

Deci $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Să găsim raportul dintre aceste laturi:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Pe de altă parte, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Astfel, putem trage următoarea concluzie:

Concluzie

Sensul geometric al coeficientului $k$. Coeficientul unghiular al dreptei $k$ este egal cu tangentei unghiului de înclinare a acestei drepte la axa $Ox$.

Studiul funcției liniare $f\left(x\right)=kx+b$ și graficul acesteia

Mai întâi, luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx+b$, unde $k > 0$.

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. În consecință, această funcție crește pe întregul domeniu de definiție. Nu există puncte extreme.
  2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
  3. Grafic (Fig. 2).

Orez. 2. Grafice ale funcției $y=kx+b$, pentru $k > 0$.

Acum luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx$, unde $k

  1. Domeniul definiției sunt toate numerele.
  2. Gama de valori este toate numerele.
  3. $f\stanga(-x\dreapta)=-kx+b$. Funcția nu este nici pară, nici impară.
  4. Pentru $x=0,f\left(0\right)=b$. Când $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Puncte de intersecție cu axe de coordonate: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ și $\left(0,\b\right)$

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
  2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Prin urmare, funcția nu are puncte de inflexiune.
  3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
  4. Grafic (Fig. 3).

Funcție liniară numită funcţie a formei y = kx + b, definit pe mulțimea tuturor numerelor reale. Aici k– pantă (număr real), b – termen liber (număr real), X- variabila independenta.

În cazul special, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y = b, al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox care trece prin punctul cu coordonate (0; b).

Dacă b = 0, apoi obținem funcția y = kx, care este proporționalitate directă.

b – lungimea segmentului, care este tăiată de o linie dreaptă de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.

Sensul geometric al coeficientului k – unghi de înclinare drept în direcția pozitivă a axei Ox, considerată în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile unei funcții liniare:

1) Domeniul de definire al unei funcții liniare este întreaga axă reală;

2) Dacă k ≠ 0, atunci intervalul de valori al funcției liniare este întreaga axă reală. Dacă k = 0, atunci intervalul de valori al funcției liniare constă din număr b;

3) Uniformitatea și neregulă ale unei funcții liniare depind de valorile coeficienților kȘi b.

A) b ≠ 0, k = 0, prin urmare, y = b – par;

b) b = 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx – impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx + b – funcţie de formă generală;

d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 – atât funcțiile pare, cât și cele impare.

4) O funcție liniară nu are proprietatea de periodicitate;

5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:

Bou: y = kx + b = 0, x = -b/k, prin urmare (-b/k; 0)– punctul de intersecție cu axa absciselor.

Oi: y = 0k + b = b, prin urmare (0; b)– punctul de intersecție cu axa ordonatelor.

Notă: Dacă b = 0Și k = 0, apoi funcția y = 0 merge la zero pentru orice valoare a variabilei X. Dacă b ≠ 0Și k = 0, apoi funcția y = b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei X.

6) Intervalele de constanță ale semnului depind de coeficientul k.

A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozitiv când X din (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativ când X din (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozitiv când X din (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativ când X din (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitiv pe întregul interval de definiție,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativ pe toată gama de definiții.

7) Intervalele de monotonitate ale unei funcţii liniare depind de coeficient k.

k > 0, prin urmare y = kx + b crește în întregul domeniu de definiție,

k< 0 , prin urmare y = kx + b scade pe întregul domeniu de definire.

8) Graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte. Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de valorile coeficienților kȘi b. Mai jos este un tabel care ilustrează clar acest lucru.