Funcții cu rădăcini cum se rezolvă. Să luăm în considerare un exemplu de găsire a domeniului de definiție al unei funcții cu o rădăcină de grad impar. Restricții suplimentare privind domeniul de aplicare al unei funcții

Definiție
Funcţie y = f (X) se numește lege (regulă, mapare), conform căreia, fiecare element x al mulțimii X este asociat cu unul și un singur element y al mulțimii Y.

Se numește mulțimea X domeniul functiei.
Set de elemente y ∈ Y, care au preimagini în setul X, se numește set de valori ale funcției(sau intervalul de valori).

Domeniu funcțiile sunt uneori numite set de definiții sau multe sarcini funcții.

Elementul x ∈ X numit argumentul funcției sau variabila independenta.
Elementul y ∈ Y numit valoarea functiei sau variabilă dependentă.

Maparea f însăși este numită caracteristică funcţiei.

Caracteristica f are proprietatea ca daca doua elemente si din multimea definitiei au valori egale: , atunci .

Simbolul care denotă caracteristica poate fi același cu simbolul elementului valoare funcției. Adică îl poți scrie așa: . Merită să ne amintim că y este un element din setul de valori ale funcției și este regula prin care elementul x este asociat cu elementul y.

Procesul de calcul al unei funcții în sine constă din trei pași. În primul pas, selectăm un element x din mulțimea X. Apoi, folosind regula, elementul x este asociat cu un element al mulțimii Y. În a treia etapă, acest element este atribuit variabilei y.

Valoarea privată a funcției apelați valoarea unei funcții având în vedere o valoare selectată (particulară) a argumentului acesteia.

Graficul funcției f numit un set de perechi.

Funcții complexe

Definiție
Lasă funcțiile și să fie date. Mai mult, domeniul de definire al funcției f conține un set de valori ale funcției g. Atunci fiecărui element t din domeniul de definiție al funcției g îi corespunde un element x, iar acest x îi corespunde y. Această corespondență se numește functie complexa: .

Se mai numește și o funcție complexă alcătuirea sau suprapunerea funcţiilor iar uneori notat astfel: .

În analiza matematică, se acceptă în general că, dacă o caracteristică a unei funcții este notă cu o literă sau simbol, atunci ea specifică aceeași corespondență. Totuși, în alte discipline, există un alt mod de notare, conform căruia mapările cu aceeași caracteristică, dar argumente diferite, sunt considerate diferite. Adică, mapările sunt considerate diferite. Să dăm un exemplu din fizică. Să presupunem că luăm în considerare dependența impulsului de coordonate. Și să avem o dependență de coordonate de timp. Atunci dependența impulsului de timp este o funcție complexă. Dar, pentru concizie, se desemnează astfel: . Cu această abordare, și - aceasta diverse funcții. La valori identice argumente pot da înțelesuri diferite. Această notație nu este acceptată în matematică. Dacă este necesară o reducere, ar trebui să introduceți noua caracteristica. De exemplu . Atunci se vede clar că și este diferite funcții.

Funcții valide

Domeniul unei funcții și setul de valori ale acesteia pot fi orice set.
De exemplu, secvențele de numere sunt funcții al căror domeniu de definiție este mulțimea numere naturale, iar setul de valori sunt numere reale sau complexe.
Produsul încrucișat este, de asemenea, o funcție, deoarece pentru doi vectori există o singură valoare a vectorului. Aici domeniul definiției este mulțimea tuturor perechilor posibile de vectori. Setul de valori este mulțimea tuturor vectorilor.
Expresie booleană este o funcție. Domeniul său de definiție este mulțimea numere reale(sau orice set în care este definită o operație de comparare cu elementul „0”). Setul de valori este format din două elemente - „adevărat” și „fals”.

Funcțiile numerice joacă un rol important în analiza matematică.

Funcția numerică este o funcție ale cărei valori sunt numere reale sau complexe.

Funcție reală sau reală este o funcție ale cărei valori sunt numere reale.

Maxim și minim

Numerele reale au o operație de comparare. Prin urmare, setul de valori ale unei funcții reale poate fi limitat și are cele mai mari și cele mai mici valori.

Funcția reală este numită limitat de sus (de jos), dacă există un număr M astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toți:
.

Se apelează funcția de număr limitat, dacă există un număr M astfel încât pentru toate:
.

Maxim M (minimum m) funcția f, pe o mulțime X, valoarea funcției este chemată pentru o anumită valoare a argumentului său, pentru care pentru toate,
.

Marginea superioară sau limita superioară exactă O funcție reală mărginită mai sus este cel mai mic număr care își delimitează intervalul de valori de sus. Adică acesta este un număr s pentru care, pentru toată lumea și pentru oricare, există un argument a cărui valoare a funcției depășește s′: .
Limita superioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.

Limita superioară a unei funcții cu limite superioare

Marginea de jos sau exacte limita inferioara O funcție reală mărginită de jos este cel mai mare număr care își limitează intervalul de valori de jos. Adică acesta este un număr i pentru care, pentru toată lumea și pentru oricare, există un argument a cărui valoare a funcției este mai mică decât i′: .
Infimul unei funcții poate fi notat astfel:
.

Infimul unei funcții mărginite inferioară este infinit punct îndepărtat.

Astfel, orice funcție reală, pe o mulțime nevidă X, are o limită superioară și inferioară. Dar nu orice funcție are un maxim și un minim.

Ca exemplu, luați în considerare o funcție definită pe un interval deschis.
Este limitat, pe acest interval, de sus de valoare 1 iar mai jos - valoarea 0 :
pentru toți .
Această funcție are o limită superioară și inferioară:
.
Dar nu are maxim și minim.

Dacă luăm în considerare aceeași funcție pe segment, atunci pe această mulțime este mărginită deasupra și dedesubt, are o limită superioară și inferioară și are un maxim și un minim:
pentru toți ;
;
.

Funcții monotone

Definiții ale funcțiilor crescătoare și descrescătoare
Fie definită funcția pe o mulțime de numere reale X. Funcția este numită strict în creștere (strict în scădere)
.
Funcția este numită nedescrescător (necrescător), dacă pentru toate acestea sunt valabile următoarea inegalitate:
.

Definiția unei funcții monotone
Funcția este numită monoton, dacă nu este în scădere sau în creștere.

Funcții cu mai multe valori

Un exemplu de funcție cu mai multe valori. Diverse culori ramurile sale sunt indicate. Fiecare ramură este o funcție.

După cum rezultă din definiția funcției, fiecare element x din domeniul definiției este asociat cu un singur element din setul de valori. Dar există mapări în care elementul x are mai multe sau număr infinit imagini

Ca exemplu, luați în considerare funcția arcsinus: . Este inversul funcției sinusuluiși se determină din ecuația:
(1) .
Pentru o valoare dată a variabilei independente x, aparținând intervalului, această ecuație este satisfăcută de un număr infinit de valori ale lui y (vezi figura).

Să impunem o restricție soluțiilor ecuației (1). Lăsa
(2) .
În această condiție, valoarea stabilită, există o singură soluție pentru ecuația (1). Adică, corespondența definită de ecuația (1) în condiția (2) este o funcție.

În loc de condiția (2), puteți impune orice altă condiție de forma:
(2.n) ,
unde n este un număr întreg. Ca urmare, pentru fiecare valoare a lui n, vom obține propria noastră funcție, diferită de celelalte. Multe funcții similare sunt funcţie multivalorică. Și funcția determinată din (1) în condiția (2.n) este ramură a unei funcții cu mai multe valori.

Acesta este un set de funcții definite pe un anumit set.

Ramura funcției cu mai multe valori este una dintre funcțiile incluse în funcția cu mai multe valori.

Funcție cu o singură valoare este o funcție.

Referinte:
O.I. Besov. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. Moscova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Bine analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau legătura cu el.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Funcția rădăcină pătrată este definită numai pentru acele valori ale lui „x” când expresia radicală este nenegativă: . Dacă rădăcina este situată în numitor , atunci condiția este în mod evident strânsă: . Calcule similare sunt valabile pentru orice rădăcină de grad par pozitiv: , totuși, rădăcina este deja de gradul 4 în studii functionale Nu-mi amintesc.

Exemplul 5

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă:

Înainte de a continua cu soluția, permiteți-mi să vă reamintesc regulile de bază de lucru cu inegalitățile, cunoscute de la școală.

Vă rugăm să rețineți Atentie speciala! Acum luăm în considerare inegalitățile cu o variabilă- adică pentru noi există doar o dimensiune de-a lungul axei. Vă rugăm să nu confundați cu inegalitățile a două variabile, unde întregul plan de coordonate este implicat geometric. Există însă și coincidențe plăcute! Deci, pentru inegalitate, următoarele transformări sunt echivalente:

1) Condițiile pot fi transferate din parte în parte cu schimbarea semnului.

2) Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite cu un număr pozitiv.

3) Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu negativ numărul, atunci trebuie să îl schimbați semn al inegalității în sine. De exemplu, dacă a existat „mai mult”, atunci va deveni „mai puțin”; dacă a fost „mai mic decât sau egal”, atunci va deveni „mai mare decât sau egal”.

În inegalitatea în care mutăm „trei”. partea dreapta cu schimbarea semnului (regula nr. 1):

Să înmulțim ambele părți ale inegalității cu –1 (regula nr. 3):

Să înmulțim ambele părți ale inegalității cu (regula nr. 2):

Răspuns: domeniu:

Răspunsul poate fi scris și într-o frază echivalentă: „funcția este definită la ”.
Geometric, zona de definire este reprezentată prin umbrirea intervalelor corespunzătoare pe axa absciselor. ÎN în acest caz,:

Încă o dată vă reamintesc de semnificația geometrică a domeniului de definiție - graficul funcției există doar în zona umbrită și lipsește la .

În cele mai multe cazuri, o determinare pur analitică a domeniului definiției este potrivită, dar atunci când funcția este foarte complicată, ar trebui să desenați o axă și să faceți note.

Exemplul 6

Găsiți domeniul unei funcții

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă.

Când există un binom pătrat sau un trinom sub rădăcina pătrată, situația devine puțin mai complicată, iar acum vom analiza în detaliu tehnica soluției:

Exemplul 7

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie strict pozitivă, adică trebuie să rezolvăm inegalitatea. La primul pas, încercăm să factorăm trinomul pătratic:

Discriminantul este pozitiv, căutăm rădăcini:

Deci parabola intersectează axa absciselor în două puncte, ceea ce înseamnă că o parte a parabolei este situată sub axă (inegalitatea), iar o parte a parabolei este situată deasupra axei (inegalitatea de care avem nevoie).

Deoarece coeficientul este , ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Din cele de mai sus rezultă că inegalitatea este satisfăcută pe intervale (ramurile parabolei merg în sus la infinit), iar vârful parabolei este situat pe intervalul de sub axa x, care corespunde inegalității:

! Notă: Dacă nu înțelegeți pe deplin explicațiile, vă rugăm să desenați a doua axă și întreaga parabola! Este indicat să reveniți la articol Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareși manual de instruire Formule fierbinți curs şcolar matematicienii.

Vă rugăm să rețineți că punctele în sine sunt eliminate (nu sunt incluse în soluție), deoarece inegalitatea noastră este strictă.

Răspuns: domeniu:

În general, multe inegalități (inclusiv cea considerată) sunt rezolvate de universal metoda intervalului, cunoscut din nou din curiculumul scolar. Dar în cazul binoamelor pătrate și trinoamelor, după părerea mea, este mult mai convenabil și mai rapid să analizăm locația parabolei în raport cu axa. Și vom analiza metoda principală - metoda intervalului - în detaliu în articol. Zerourile funcției. Intervalele de constanță.

Exemplul 8

Găsiți domeniul unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Eșantionul comentează în detaliu logica raționamentului + a doua metodă de rezolvare și o altă transformare importantă a inegalității, fără cunoștință de care elevul va șchiopăta pe un picior..., ...hmm... poate m-am entuziasmat despre picior, mai probabil pe un deget. Deget mare.

Poate fi definită o funcție rădăcină pătrată pe întreaga linie numerică? Cu siguranță. Toate fețele cunoscute: . Sau o sumă similară cu un exponent: . Într-adevăr, pentru orice valoare a lui „x” și „ka”: , prin urmare în mod egal și .. De exemplu, funcția este definită pe întreaga linie numerică. Cu toate acestea, funcția are un singur punct care încă nu este inclus în domeniul definiției, deoarece numitorul este setat la zero. Din același motiv pentru funcție punctele sunt excluse.

Pentru unii vizitatori ai site-ului, exemplele în cauză le vor părea elementare și primitive, dar acesta nu este un accident - în primul rând, încerc să „ascut” materialul pentru noob și, în al doilea rând, selectez lucruri realiste pentru sarcinile viitoare: studiu complet al funcției, constatare domeniul de definire a unei funcţii a două variabile si altii unii. Totul în matematică se lipește unul de celălalt. Deși cei cărora le plac dificultățile nu vor fi, de asemenea, lăsați lipsiți, sarcini mai serioase vor fi găsite atât aici, cât și în lecție.
despre metoda intervalului.

Există destule în matematică o cantitate mică de funcţii elementare a căror sferă de definire este limitată. Toate celelalte funcții „complexe” sunt doar combinații și combinații ale acestora.

1. Funcție fracțională - restricție asupra numitorului.

2. Rădăcină de grad par - restricție asupra expresiei radicale.

3. Logaritmi - restricții pe baza logaritmului și a expresiei sublogaritmice.

3. Trigonometric tg(x) și ctg(x) - restricție asupra argumentului.

Pentru tangentă:

4. Funcții trigonometrice inverse.

arcsinus	arc cosinus	Arctangent, Arctangent

În continuare, următoarele exemple sunt rezolvate pe tema „Domeniul de definire a funcțiilor”.

Un exemplu de găsire a domeniului de definire a funcției nr. 1

Găsirea domeniului de definire al oricărei funcții liniare, i.e. functii de gradul I:

y = 2x + 3 - ecuația definește o dreaptă pe un plan.

Să ne uităm cu atenție la funcție și să ne gândim la ce valori numerice putem înlocui în ecuație în loc de variabila x?

Să încercăm să înlocuim valoarea x=0

Deoarece y = 2 0 + 3 = 3 - avem valoare numerica, prin urmare funcția există pentru valoarea dată a variabilei x=0.

Să încercăm să înlocuim valoarea x=10

întrucât y = 2·10 + 3 = 23 - funcția există pentru valoarea dată a variabilei x=10.

Să încercăm să înlocuim valoarea x=-10

întrucât y = 2·(-10) + 3 = -17 - funcția există pentru valoarea dată a variabilei x = -10.

Ecuația definește o linie dreaptă pe un plan, iar o linie dreaptă nu are nici început, nici sfârșit, de aceea există pentru orice valoare a lui x.

Rețineți că, indiferent de valorile numerice pe care le înlocuim într-o funcție dată în loc de x, vom obține întotdeauna valoarea numerică a variabilei y.

Prin urmare, funcția există pentru orice valoare x ∈ R, sau o scriem astfel: D(f) = R

Forme de scriere a răspunsului: D(f)=R sau D(f)=(-∞:+∞)sau x∈R sau x∈(-∞:+∞)

Să conchidem:

Pentru orice funcție de forma y = ax + b, domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale.

Un exemplu de găsire a domeniului de definire a funcției nr. 2

O functie de forma:

y = 10/(x + 5) - ecuația hiperbolei

Când aveți de-a face cu o funcție fracțională, amintiți-vă că nu puteți împărți la zero. Prin urmare, funcția va exista pentru toate valorile lui x care nu sunt

setați numitorul la zero. Să încercăm să înlocuim câteva valori arbitrare ale lui x.

La x = 0 avem y = 10/(0 + 5) = 2 - funcția există.

Pentru x = 10 avem y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- funcția există.

La x = -5 avem y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - funcția nu există în acest moment.

Acestea. Dacă funcţie dată fracțional, atunci este necesar să echivalăm numitorul cu zero și să găsim un punct în care funcția nu există.

În cazul nostru:

x + 5 = 0 → x = -5 - în acest moment funcția dată nu există.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Pentru claritate, să-l descriem grafic:

Pe grafic vedem, de asemenea, că hiperbola se apropie cât mai mult de dreapta x = -5, dar nu atinge însăși valoarea -5.

Vedem că funcția dată există în toate punctele axei reale, cu excepția punctului x = -5

Formulare de înregistrare a răspunsurilor: D(f)=R\(-5) sau D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) sau X ∈ R\(-5) sau X ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Dacă funcția dată este fracțională, atunci prezența unui numitor impune condiția ca numitorul să nu fie egal cu zero.

Un exemplu de găsire a domeniului de definire a funcției nr. 3

Să luăm în considerare un exemplu de găsire a domeniului de definire al unei funcții cu rădăcină de grad par:

Deoarece putem extrage doar rădăcina pătrată dintr-un număr nenegativ, prin urmare, funcția de sub rădăcină este nenegativă.

2x - 8 ≥ 0

Să rezolvăm o inegalitate simplă:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Funcția specificată există numai pentru valorile găsite ale lui x ≥ 4 sau D(f)=)