Hành động với ma trận. Tìm ma trận nghịch đảo

Ma trận trong toán học là một trong những đối tượng quan trọng nhất có tầm quan trọng thực tiễn. Thông thường, chuyến tham quan lý thuyết ma trận bắt đầu bằng dòng chữ: “Ma trận là một cái bàn hình chữ nhật…”. Chúng ta sẽ bắt đầu chuyến tham quan này từ một hướng hơi khác.

Danh bạ điện thoại ở bất kỳ kích thước nào và với bất kỳ lượng dữ liệu thuê bao nào đều không khác gì ma trận. Những ma trận như vậy trông gần giống như thế này:

Rõ ràng là tất cả chúng ta đều sử dụng những ma trận như vậy hầu như hàng ngày. Các ma trận này có số lượng hàng khác nhau (chúng giống như một danh bạ do công ty điện thoại phát hành, có thể có hàng nghìn, hàng trăm nghìn và thậm chí hàng triệu dòng, và một cuốn sổ tay mới mà bạn vừa mới bắt đầu, có ít hơn 10 dòng) và các cột (một danh mục các quan chức thuộc loại nào đó). một tổ chức nào đó trong đó có thể có các cột như chức vụ, số văn phòng và cùng sổ địa chỉ của bạn, nơi có thể không có bất kỳ dữ liệu nào ngoại trừ tên, và do đó chỉ có hai cột trong đó - tên và số điện thoại).

Tất cả các loại ma trận đều có thể được cộng và nhân, cũng như có thể thực hiện các thao tác khác trên chúng, nhưng không cần phải cộng và nhân danh bạ điện thoại, việc này không mang lại lợi ích gì, ngoài ra, bạn có thể sử dụng trí óc của mình.

Nhưng nhiều ma trận có thể và nên được cộng và nhân và do đó giải quyết được nhiều vấn đề cấp bách khác nhau. Dưới đây là ví dụ về các ma trận như vậy.

Ma trận trong đó các cột là số lượng đơn vị sản xuất của một loại sản phẩm cụ thể và các hàng là số năm mà việc sản xuất sản phẩm này được ghi lại:

Bạn có thể thêm các ma trận loại này, có tính đến đầu ra của các sản phẩm tương tự của các doanh nghiệp khác nhau, để có được dữ liệu tóm tắt cho ngành.

Hoặc các ma trận bao gồm, chẳng hạn như một cột, trong đó các hàng là giá trung bình của một loại sản phẩm cụ thể:

Hai loại ma trận cuối cùng có thể được nhân lên và kết quả là một ma trận hàng chứa giá thành của tất cả các loại sản phẩm theo năm.

Ma trận, định nghĩa cơ bản

Một bảng hình chữ nhật gồm các số được sắp xếp theo thứ tự tôi dòng và N cột được gọi là ma trận mn (hoặc đơn giản ma trận ) và được viết như thế này:

(1)

Trong ma trận (1) các số được gọi là số của nó yếu tố (như trong định thức, chỉ số đầu tiên có nghĩa là số hàng, chỉ số thứ hai - cột tại giao điểm của phần tử đó; Tôi = 1, 2, ..., tôi; j = 1, 2, N).

Ma trận được gọi là hình hộp chữ nhật , Nếu như .

Nếu như tôi = N, khi đó ma trận được gọi quảng trường , và số n là của nó theo thứ tự .

Định thức của ma trận vuông A là định thức mà các phần tử của nó là các phần tử của ma trận MỘT. Nó được biểu thị bằng ký hiệu | MỘT|.

Ma trận vuông được gọi là không đặc biệt (hoặc không thoái hóa , không số ít ), nếu định thức của nó khác 0, và đặc biệt (hoặc thoái hóa , số ít ) nếu định thức của nó bằng 0.

Các ma trận được gọi bình đẳng , nếu chúng có cùng số hàng và cột và tất cả các phần tử tương ứng đều khớp nhau.

Ma trận được gọi là vô giá trị , nếu tất cả các phần tử của nó bằng 0. Chúng ta sẽ biểu thị ma trận 0 bằng ký hiệu 0 hoặc .

Ví dụ,

Hàng ma trận (hoặc chữ thường ) được gọi là 1 N-ma trận, và cột ma trận (hoặc cột ) – tôi 1-ma trận.

Ma trận MỘT", được lấy từ ma trận MỘT hoán đổi hàng và cột trong đó được gọi là chuyển đổi liên quan đến ma trận MỘT. Do đó, đối với ma trận (1), ma trận chuyển vị là

Hoạt động chuyển đổi ma trận MỘT" chuyển đổi đối với ma trận MỘT, được gọi là chuyển vị ma trận MỘT. Vì tôi-ma trận chuyển vị là bước sóng-ma trận.

Ma trận hoán vị đối với ma trận là MỘT, đó là

(MỘT")" = MỘT .

Ví dụ 1. Tìm ma trận MỘT" , được chuyển đổi theo ma trận

và tìm hiểu xem định thức của ma trận gốc và ma trận chuyển vị có bằng nhau hay không.

Đường chéo chính Ma trận vuông là một đường tưởng tượng nối các phần tử của nó mà cả hai chỉ số đều giống nhau. Những phần tử này được gọi đường chéo .

Ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là đường chéo . Không phải tất cả các phần tử đường chéo của ma trận đường chéo đều khác 0. Một số trong số chúng có thể bằng không.

Ma trận vuông trong đó các phần tử trên đường chéo chính bằng nhau, khác 0 và các phần tử khác đều bằng 0, được gọi là ma trận vô hướng .

Ma trận đơn vị được gọi là ma trận đường chéo trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo đều bằng một. Ví dụ: ma trận nhận dạng bậc ba là ma trận

Ví dụ 2. Cho ma trận:

Giải pháp. Hãy tính các định thức của các ma trận này. Áp dụng quy tắc tam giác, ta tìm được

Định thức ma trận B hãy tính toán bằng công thức

Chúng ta dễ dàng có được điều đó

Vì vậy, các ma trận MỘT và không số ít (không suy biến, không số ít) và ma trận B– đặc biệt (suy thoái, số ít).

Định thức của ma trận đồng nhất của bất kỳ cấp nào rõ ràng bằng một.

Hãy tự mình giải bài toán ma trận rồi xem cách giải

Ví dụ 3. Cho ma trận

Xác định cái nào trong số chúng là không số ít (không suy biến, không số ít).

Ứng dụng ma trận trong mô hình toán học và kinh tế

Dữ liệu có cấu trúc về một đối tượng cụ thể được ghi lại một cách đơn giản và thuận tiện dưới dạng ma trận. Các mô hình ma trận được tạo ra không chỉ để lưu trữ dữ liệu có cấu trúc này mà còn để giải quyết các vấn đề khác nhau với dữ liệu này bằng đại số tuyến tính.

Như vậy, mô hình ma trận nổi tiếng của nền kinh tế là mô hình đầu vào-đầu ra do nhà kinh tế học người Mỹ gốc Nga Vasily Leontiev đưa ra. Mô hình này dựa trên giả định rằng toàn bộ khu vực sản xuất của nền kinh tế được chia thành N các ngành công nghiệp sạch. Mỗi ngành chỉ sản xuất một loại sản phẩm và các ngành khác nhau sản xuất những sản phẩm khác nhau. Do sự phân công lao động giữa các ngành nên có sự kết nối giữa các ngành, ý nghĩa của nó là một phần sản phẩm của ngành này được chuyển sang ngành khác làm nguồn lực sản xuất.

khối lượng sản phẩm Tôi- Ngành thứ (được đo bằng một đơn vị đo lường cụ thể) được sản xuất trong kỳ báo cáo, được ký hiệu là và gọi là sản lượng toàn phần Tôi-ngành công nghiệp thứ. Các vấn đề có thể được đặt một cách thuận tiện trong N- dòng thành phần của ma trận.

Số lượng đơn vị Tôi-ngành công nghiệp cần chi tiêu j- Ngành sản xuất một đơn vị sản phẩm của nó được chỉ định và gọi là hệ số chi phí trực tiếp.

Giải ma trận– một khái niệm tổng quát hóa các phép toán trên ma trận. Ma trận toán học là một bảng gồm các phần tử. Một bảng tương tự có m hàng và n cột được gọi là ma trận m x n.
Cái nhìn tổng quát về ma trận

Các phần tử chính của ma trận:
Đường chéo chính. Nó được tạo thành từ các phần tử a 11, a 22.....a mn
Đường chéo bên. Nó bao gồm các phần tử a 1n và 2n-1.....a m1.
Trước khi chuyển sang giải ma trận, chúng ta hãy xem xét các loại ma trận chính:
Quảng trường– trong đó số hàng bằng số cột (m=n)
0 – tất cả các phần tử của ma trận này đều bằng 0.
Ma trận chuyển vị- ma trận B lấy từ ma trận A ban đầu bằng cách thay hàng bằng cột.
Đơn– tất cả các phần tử của đường chéo chính đều bằng 1, tất cả các phần tử khác bằng 0.
ma trận nghịch đảo- một ma trận, khi nhân với ma trận ban đầu sẽ cho kết quả là ma trận đẳng thức.
Ma trận có thể đối xứng qua các đường chéo chính và phụ. Tức là, nếu a 12 = a 21, a 13 = a 31,…. a 23 = a 32…. một m-1n = một mn-1. thì ma trận đối xứng qua đường chéo chính. Chỉ có ma trận vuông là đối xứng.
Bây giờ chúng ta hãy chuyển thẳng sang câu hỏi làm thế nào để giải ma trận.

Phép cộng ma trận.

Ma trận có thể được cộng đại số nếu chúng có cùng thứ nguyên. Để cộng ma trận A với ma trận B, bạn cần cộng phần tử hàng đầu tiên của cột đầu tiên của ma trận A với phần tử đầu tiên của hàng đầu tiên của ma trận B, phần tử của cột thứ hai của hàng đầu tiên của ma trận A. với phần tử cột thứ hai của hàng đầu tiên của ma trận B, v.v.
Tính chất của phép cộng
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Phép nhân ma trận.

Ma trận có thể được nhân lên nếu chúng nhất quán. Ma trận A và B được coi là nhất quán nếu số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B.
Nếu A có kích thước m x n, B có kích thước n x k thì ma trận C=A*B sẽ có kích thước m x k và sẽ gồm các phần tử

Trong đó C 11 là tổng các tích từng cặp của các phần tử của một hàng ma trận A và một cột của ma trận B, nghĩa là phần tử là tổng tích của một phần tử thuộc cột đầu tiên của hàng đầu tiên của ma trận A với phần tử của cột thứ nhất của hàng thứ nhất của ma trận B, phần tử của cột thứ hai của hàng thứ nhất của ma trận A với phần tử của cột thứ nhất của ma trận hàng thứ hai B, v.v.
Khi nhân, thứ tự nhân rất quan trọng. A*B không bằng B*A.

Tìm định thức.

Bất kỳ ma trận vuông nào cũng có thể sinh ra định thức hoặc định thức. Viết det. Hoặc | phần tử ma trận |
Cho các ma trận có chiều 2 x 2. Xác định sự chênh lệch giữa tích các phần tử của đường chéo chính và các phần tử của đường chéo phụ.

Đối với ma trận có kích thước từ 3 x 3 trở lên. Hoạt động tìm định thức phức tạp hơn.
Hãy giới thiệu các khái niệm:
Yếu tố thứ yếu– là định thức của ma trận thu được từ ma trận ban đầu bằng cách gạch bỏ hàng và cột của ma trận ban đầu chứa phần tử này.
Phần bù đại số phần tử của ma trận là tích của phần tử thứ của phần tử này với -1 lũy thừa của tổng hàng và cột của ma trận ban đầu chứa phần tử này.
Định thức của bất kỳ ma trận vuông nào bằng tổng tích các phần tử của hàng bất kỳ của ma trận với phần bù đại số tương ứng của chúng.

Đảo ngược ma trận

Đảo ngược ma trận là quá trình tìm nghịch đảo của ma trận, định nghĩa mà chúng tôi đã đưa ra ở phần đầu. Ma trận nghịch đảo được ký hiệu giống như ma trận ban đầu với việc thêm độ -1.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Trong đó A * T là Ma trận chuyển vị của phần bù đại số.

Chúng tôi đã làm các ví dụ về giải ma trận dưới dạng video hướng dẫn

:

Nếu bạn muốn tìm ra nó, hãy chắc chắn xem nó.

Đây là các phép toán cơ bản để giải ma trận. Nếu bạn có thêm câu hỏi về cách giải ma trận, vui lòng viết bình luận.

Nếu bạn vẫn không thể tìm ra, hãy thử liên hệ với một chuyên gia.

Ma trận toán học là một bảng gồm các phần tử có thứ tự. Kích thước của bảng này được xác định bởi số hàng và cột trong đó. Đối với việc giải ma trận, nó đề cập đến số lượng lớn các phép toán được thực hiện trên cùng các ma trận đó. Các nhà toán học phân biệt một số loại ma trận. Đối với một số người trong số họ, các quy tắc quyết định chung được áp dụng, trong khi đối với những người khác thì không. Ví dụ: nếu các ma trận có cùng thứ nguyên thì chúng có thể được thêm vào và nếu chúng nhất quán với nhau thì chúng có thể được nhân lên. Để giải bất kỳ ma trận nào, cần phải tìm định thức. Ngoài ra, ma trận còn có thể chuyển vị và tìm các ma trận thứ yếu trong đó. Vì vậy, chúng ta hãy xem làm thế nào để giải quyết ma trận.

Thứ tự giải ma trận

Đầu tiên chúng ta viết ra các ma trận đã cho. Chúng tôi đếm xem họ có bao nhiêu hàng và cột. Nếu số hàng và số cột bằng nhau thì ma trận đó được gọi là ma trận vuông. Nếu mọi phần tử của ma trận đều bằng 0 thì ma trận đó bằng 0. Việc tiếp theo chúng ta làm là tìm đường chéo chính của ma trận. Các phần tử của ma trận như vậy nằm từ góc dưới bên phải đến góc trên bên trái. Đường chéo thứ hai trong ma trận là đường chéo phụ. Bây giờ bạn cần chuyển đổi ma trận. Để làm được điều này, cần phải thay thế các phần tử hàng trong mỗi ma trận bằng các phần tử cột tương ứng. Ví dụ: phần tử dưới a21 sẽ trở thành phần tử a12 hoặc ngược lại. Vì vậy, sau thủ tục này, một ma trận hoàn toàn khác sẽ xuất hiện.

Nếu các ma trận có cùng kích thước thì chúng có thể được cộng dễ dàng. Để làm điều này, chúng ta lấy phần tử đầu tiên của ma trận thứ nhất a11 và thêm nó với phần tử tương tự của ma trận thứ hai b11. Chúng ta viết kết quả xảy ra ở cùng một vị trí, chỉ trong một ma trận mới. Bây giờ chúng ta cộng tất cả các phần tử khác của ma trận theo cách tương tự cho đến khi chúng ta có được một ma trận mới hoàn toàn khác. Hãy xem xét một số cách khác để giải ma trận.

Các tùy chọn để làm việc với ma trận

Chúng ta cũng có thể xác định liệu các ma trận có nhất quán hay không. Để làm điều này, chúng ta cần so sánh số hàng trong ma trận thứ nhất với số cột trong ma trận thứ hai. Nếu chúng bằng nhau, bạn có thể nhân chúng lên. Để làm điều này, chúng ta nhân từng cặp phần tử hàng của một ma trận với phần tử cột tương tự của ma trận khác. Chỉ sau đó mới có thể tính tổng các sản phẩm thu được. Dựa trên điều này, phần tử ban đầu của ma trận cần thu được sẽ bằng g11 = a11* b11 + a12*b21 + a13*b31 + … + a1m*bn1. Khi tất cả các sản phẩm đã được cộng và nhân, bạn có thể điền vào ma trận cuối cùng.

Khi giải ma trận, bạn cũng có thể tìm định thức và định thức của chúng cho từng ma trận. Nếu ma trận là hình vuông và có kích thước 2 x 2 thì định thức có thể được tìm thấy dưới dạng hiệu của tất cả tích của các phần tử của đường chéo chính và đường chéo phụ. Nếu ma trận đã là ba chiều thì có thể tìm thấy định thức bằng cách áp dụng công thức sau. D = a11* a22*a33 + a13* a21*a32 + a12* a23*a31 - a21* a12*a33 - a13* a22*a31 - a11* a32*a23.

Để tìm phần tử thứ của một phần tử nhất định, bạn cần gạch bỏ cột và hàng nơi phần tử này nằm. Sau đó, tìm định thức của ma trận này. Anh ấy sẽ là trẻ vị thành niên tương ứng. Một phương pháp ma trận quyết định tương tự đã được phát triển cách đây vài thập kỷ nhằm tăng độ tin cậy của kết quả bằng cách chia bài toán thành các bài toán con. Vì vậy, việc giải ma trận không hề khó nếu bạn biết các phép tính cơ bản.

Hướng dẫn

Số lượng cột và hàng được chỉ định kích thước ma trận. Ví dụ, kích thước yu 5x6 có 5 hàng và 6 cột. Nói chung, kích thước ma trận viết dưới dạng m×n, trong đó số m chỉ số hàng, n – cột.

Nếu mảng có kích thước m×n, nó có thể được nhân với một mảng n×l. Số cột đầu tiên ma trận phải bằng số hàng của hàng thứ hai, nếu không phép nhân sẽ không được xác định.

Kích thước ma trận cho biết số lượng phương trình trong hệ thống và số lượng biến. Số hàng trùng với số phương trình và mỗi cột có một biến riêng. Lời giải của hệ phương trình tuyến tính được “viết” bằng các phép tính trên ma trận. Nhờ hệ thống ghi ma trận, các hệ thống bậc cao có thể thực hiện được.

Nếu số hàng bằng số cột thì ma trận là hình vuông. Trong đó bạn có thể phân biệt các đường chéo chính và phụ. Cái chính đi từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải, cái phụ đi từ góc trên bên phải xuống góc dưới bên trái.

Mảng kích thước yu m×1 hoặc 1×n là các vectơ. Bạn cũng có thể biểu diễn bất kỳ hàng và cột nào của bảng tùy ý dưới dạng vectơ. Đối với các ma trận như vậy, tất cả các phép toán trên vectơ đều được xác định.

Trong lập trình, hai chỉ mục được chỉ định cho một bảng hình chữ nhật, một chỉ mục chạy qua toàn bộ hàng, chỉ mục còn lại – chiều dài của cột. Trong trường hợp này, chu trình cho một chỉ mục được đặt bên trong chu trình cho chỉ mục khác, do đó việc chuyển tiếp tuần tự của toàn bộ chiều ma trận.

Ma trận là một cách hiệu quả để biểu diễn thông tin số. Lời giải của bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào cũng có thể được viết dưới dạng ma trận (một hình chữ nhật được tạo thành từ các số). Khả năng nhân ma trận là một trong những kỹ năng quan trọng nhất được dạy trong các khóa học Đại số tuyến tính ở bậc đại học.

Bạn sẽ cần

Máy tính

Hướng dẫn

Để kiểm tra điều kiện này, cách dễ nhất là sử dụng thuật toán sau - viết thứ nguyên của ma trận đầu tiên dưới dạng (a*b). Khi đó chiều thứ hai là (c*d). Nếu b=c - các ma trận tương xứng thì chúng có thể được nhân lên.

Tiếp theo, thực hiện phép nhân. Hãy nhớ rằng - khi bạn nhân hai ma trận, bạn sẽ nhận được một ma trận. Nghĩa là, bài toán nhân được rút gọn thành bài toán tìm một số mới, có thứ nguyên (a*d). Trong SI, bài toán nhân ma trận có dạng như sau:
void ma trậnmult(int m1[n], int m1_row, int m1_col, int m2[n], int m2_row, int m2_col, int m3[n], int m3_row, int m3_col)
(với (int i = 0; i< m3_row; i++)
vì (int j = 0; j< m3_col; j++)
m3[i][j]=0;
vì (int k = 0; k< m2_col; k++)
vì (int i = 0; tôi< m1_row; i++)
vì (int j = 0; j< m1_col; j++)
m3[i][k] += m1[i][j] * m2[j][k];
}

Nói một cách đơn giản, ma trận mới là tổng tích của các phần tử hàng của ma trận thứ nhất và các phần tử cột của ma trận thứ hai. Nếu bạn là phần tử của ma trận thứ ba có số (1;2), thì bạn chỉ cần nhân hàng đầu tiên của ma trận đầu tiên với cột thứ hai của ma trận thứ hai. Để làm điều này, hãy coi số tiền ban đầu bằng không. Tiếp theo, nhân phần tử đầu tiên của hàng đầu tiên với phần tử đầu tiên của cột thứ hai, cộng giá trị vào tổng. Bạn làm như sau: nhân phần tử thứ i của hàng đầu tiên với phần tử thứ i của cột thứ hai rồi cộng các kết quả vào tổng cho đến khi hết hàng. Tổng số tiền sẽ là yếu tố bắt buộc.

Sau khi bạn đã tìm thấy tất cả các phần tử của ma trận thứ ba, hãy viết nó ra giấy. Bạn đã tìm thấy công việc ma trận

Nguồn:

Cổng thông tin toán học chính của Nga năm 2019
cách tìm tích ma trận năm 2019

Ma trận toán học là một bảng có thứ tự các phần tử. Kích thước ma trậnđược xác định bởi số hàng m và số cột n của nó. Khi giải ma trận, chúng tôi muốn nói đến một tập hợp các phép toán tổng quát hóa được thực hiện trên ma trận. Có một số loại ma trận; một số phép toán không thể áp dụng được cho một số ma trận. Có một phép toán cộng cho các ma trận có cùng chiều. Tích của hai ma trận chỉ có thể tìm được nếu chúng nhất quán. Cho bât ki ai ma trận yếu tố quyết định được xác định. Bạn cũng có thể hoán vị ma trận và xác định phần tử thứ của nó.

Hướng dẫn

Viết ra những cái đã cho. Xác định kích thước của chúng. Để làm điều này, hãy đếm số cột n và hàng m. Nếu vì một ma trận m = n thì ma trận được coi là hình vuông. Nếu tất cả các phần tử ma trậnđều bằng 0 – ma trận bằng 0. Xác định đường chéo chính của ma trận. Các phần tử của nó nằm ở góc trên bên trái ma trận về phía dưới bên phải. Thứ hai, đường chéo ngược ma trận là một tác dụng phụ.

Thực hiện chuyển vị ma trận. Để thực hiện việc này, hãy thay thế các phần tử hàng trong mỗi phần bằng các phần tử cột tương ứng với đường chéo chính. Phần tử a21 sẽ trở thành phần tử a12 ma trận và ngược lại. Kết quả là, từ mỗi lần đầu ma trận bạn sẽ nhận được một ma trận chuyển vị mới.

Cộng lại những gì đã cho ma trận, nếu chúng có cùng kích thước m x n. Để làm điều này, hãy lấy cái đầu tiên ma trận a11 và thêm nó vào phần tử tương tự thứ hai b11 ma trận. Viết kết quả của phép cộng vào một kết quả mới ở cùng vị trí. Sau đó cộng các phần tử a12 và b12 của cả hai ma trận. Vì vậy, hãy điền đầy đủ các hàng và cột của phần tóm tắt ma trận.

Xác định liệu quy định ma trậnđã được thỏa thuận. Để làm điều này, hãy so sánh số dòng n trong dòng đầu tiên ma trận và số cột m giây ma trận. Nếu chúng bằng nhau thì tính tích ma trận. Để làm điều này, nhân từng phần tử của hàng đầu tiên theo cặp ma trậnđến phần tử tương ứng của cột thứ hai ma trận. Sau đó tìm tổng của các sản phẩm này. Vì vậy, phần tử đầu tiên của kết quả ma trận g11 = a11* b11 + a12*b21 + a13*b31 + … + a1m*bn1. Thực hiện phép nhân và cộng tất cả các tích và điền vào ma trận kết quả G.

Tìm định thức hoặc định thức cho mỗi định thức đã cho ma trận. Đối với ma trận thứ hai - có kích thước 2 x 2 - định thức được tìm bằng tích của các phần tử của đường chéo chính và đường chéo phụ ma trận. Đối với ba chiều ma trậnđịnh thức: D = a11* a22*a33 + a13* a21*a32 + a12* a23*a31 - a21* a12*a33 - a13* a22*a31 - a11* a32*a23.

Nguồn:

ma trận cách giải

Ma trận biểu diễn một tập hợp các hàng và cột tại giao điểm của chúng là các phần tử ma trận. Ma trậnđược sử dụng rộng rãi để giải các phương trình khác nhau. Một trong những phép toán đại số cơ bản trên ma trận là phép cộng ma trận. Làm thế nào để thêm ma trận?

Hướng dẫn

Chỉ có thể thêm ma trận một chiều. Nếu một ma trận có m hàng và n cột thì ma trận kia cũng phải có m hàng và n cột. Đảm bảo rằng các khuôn gấp có cùng kích thước.

Nếu các ma trận được trình bày có cùng kích thước, nghĩa là chúng cho phép thực hiện phép cộng đại số, thì ma trận có cùng kích thước. Để làm điều này, bạn cần cộng theo cặp tất cả các phần tử của hai phần tử ở cùng một vị trí... Lấy ma trận đầu tiên nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên. Thêm nó vào phần tử của ma trận thứ hai nằm ở cùng một vị trí. Nhập kết quả vào phần tử hàng đầu tiên của cột ma trận tóm tắt. Thực hiện thao tác này với tất cả các phần tử.

Phép cộng ba ma trận trở lên được rút gọn thành phép cộng hai ma trận. Ví dụ: để tìm tổng các ma trận A+B+C, trước tiên hãy tìm tổng của các ma trận A và B, sau đó cộng tổng kết quả vào ma trận C.

Video về chủ đề

Các ma trận thoạt nhìn có vẻ khó hiểu nhưng thực chất lại không quá phức tạp. Họ tìm thấy ứng dụng thực tế rộng rãi trong kinh tế và kế toán. Ma trận trông giống như bảng, mỗi cột và hàng chứa một số, hàm hoặc bất kỳ giá trị nào khác. Có một số loại ma trận.

Hướng dẫn

Để tìm hiểu ma trận, hãy làm quen với các khái niệm cơ bản của nó. Các phần tử xác định của ma trận là các đường chéo và các đường chéo cạnh của nó. Home bắt đầu từ phần tử ở hàng đầu tiên, cột đầu tiên và tiếp tục đến phần tử ở cột cuối cùng, hàng cuối cùng (tức là đi từ trái sang phải). Đường chéo bên bắt đầu ngược lại ở hàng đầu tiên, nhưng ở cột cuối cùng và tiếp tục đến phần tử có tọa độ của cột đầu tiên và hàng cuối cùng (đi từ phải sang trái).

Để chuyển sang các định nghĩa và phép tính đại số với ma trận sau đây, hãy nghiên cứu các loại ma trận. Những cái đơn giản nhất là hình vuông, đơn vị, số 0 và nghịch đảo. Số lượng cột và hàng khớp nhau. Ma trận chuyển vị, gọi là B, thu được từ ma trận A bằng cách thay thế các cột bằng các hàng. Trong đơn vị, tất cả các phần tử của đường chéo chính là số 1 và các phần tử còn lại là số 0. Và trong số 0, ngay cả các phần tử của đường chéo cũng bằng không. Ma trận nghịch đảo là ma trận mà ma trận ban đầu có dạng đồng nhất.

Ngoài ra, ma trận có thể đối xứng qua trục chính hoặc trục phụ. Nghĩa là, một phần tử có tọa độ a(1;2), trong đó 1 là số hàng và 2 là số cột, thì bằng a(2;1). A(3;1)=A(1;3), v.v. Ma trận phù hợp là ma trận có số cột của ma trận này bằng số hàng của ma trận khác (những ma trận như vậy có thể được nhân lên).

Các hành động chính có thể được thực hiện với ma trận là phép cộng, phép nhân và tìm định thức. Nếu các ma trận có cùng kích thước, tức là chúng có số hàng và số cột bằng nhau thì có thể cộng lại. Cần cộng các phần tử cùng vị trí trong ma trận, tức là cộng a (m; n) với c thuộc (m; n), trong đó m và n là tọa độ tương ứng của cột và hàng. Khi cộng ma trận, quy tắc cơ bản của phép cộng số học thông thường được áp dụng - khi vị trí của các số hạng được thay đổi thì tổng không thay đổi. Vì vậy, nếu thay vì một phần tử đơn giản

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét khái niệm ma trận cũng như các loại ma trận. Vì có rất nhiều thuật ngữ trong chủ đề này nên tôi sẽ thêm một bản tóm tắt ngắn gọn để giúp bạn dễ dàng điều hướng tài liệu hơn.

Định nghĩa ma trận và phần tử của nó. Ký hiệu.

Ma trận là một bảng gồm $m$ hàng và $n$ cột. Các phần tử của ma trận có thể là các đối tượng có bản chất hoàn toàn khác: số, biến hoặc, ví dụ, các ma trận khác. Ví dụ: ma trận $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ chứa 3 hàng và 2 cột; các phần tử của nó là số nguyên. Ma trận $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ gồm 2 hàng và 4 cột.

Các cách viết ma trận khác nhau: show\hide

Ma trận có thể được viết không chỉ bằng hình tròn mà còn có thể viết bằng dấu ngoặc vuông hoặc dấu ngoặc thẳng kép. Nghĩa là, các mục bên dưới có cùng một ma trận:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Tích $m\times n$ được gọi là kích thước ma trận. Ví dụ: nếu một ma trận chứa 5 hàng và 3 cột thì chúng ta gọi là ma trận có kích thước $5\times 3$. Ma trận $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ có kích thước $3 \times 2$.

Thông thường, ma trận được biểu thị bằng chữ in hoa của bảng chữ cái Latinh: $A$, $B$, $C$, v.v. Ví dụ: $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Đánh số dòng đi từ trên xuống dưới; cột - từ trái sang phải. Ví dụ: hàng đầu tiên của ma trận $B$ chứa các phần tử 5 và 3, và cột thứ hai chứa các phần tử 3, -87, 0.

Các phần tử của ma trận thường được ký hiệu bằng chữ nhỏ. Ví dụ: các phần tử của ma trận $A$ được ký hiệu là $a_(ij)$. Chỉ số kép $ij$ chứa thông tin về vị trí của phần tử trong ma trận. Số $i$ là số hàng và số $j$ là số cột, tại giao điểm của số đó là phần tử $a_(ij)$. Ví dụ: tại giao điểm của hàng thứ hai và cột thứ năm của ma trận $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ phần tử $a_(25)= $59:

Theo cách tương tự, tại giao điểm của hàng đầu tiên và cột đầu tiên, chúng ta có phần tử $a_(11)=51$; tại giao điểm của hàng thứ ba và cột thứ hai - phần tử $a_(32)=-15$, v.v. Lưu ý rằng mục $a_(32)$ đọc là “a ba hai”, nhưng không phải là “a ba mươi hai”.

Để viết tắt ma trận $A$, có kích thước là $m\times n$, ký hiệu $A_(m\times n)$ được sử dụng. Bạn có thể viết nó chi tiết hơn một chút:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

trong đó ký hiệu $(a_(ij))$ biểu thị các phần tử của ma trận $A$. Ở dạng mở rộng hoàn toàn, ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ có thể được viết như sau:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Hãy giới thiệu một thuật ngữ khác - ma trận bằng nhau.

Hai ma trận có cùng kích thước $A_(m\times n)=(a_(ij))$ và $B_(m\times n)=(b_(ij))$ được gọi bình đẳng, nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau, tức là $a_(ij)=b_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline(1,n)$.

Giải thích cho mục nhập $i=\overline(1,m)$: show\hide

Ký hiệu "$i=\overline(1,m)$" có nghĩa là tham số $i$ thay đổi từ 1 đến m. Ví dụ: ký hiệu $i=\overline(1,5)$ chỉ ra rằng tham số $i$ lấy các giá trị 1, 2, 3, 4, 5.

Vì vậy, để các ma trận bằng nhau phải thỏa mãn hai điều kiện: sự trùng hợp về kích thước và sự bằng nhau của các phần tử tương ứng. Ví dụ: ma trận $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ không bằng ma trận $B=\left(\begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ vì ma trận $A$ có kích thước $3\times 2$ và ma trận $B$ có kích thước $2\nhân $2. Ngoài ra, ma trận $A$ không bằng ma trận $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , vì $a_( 21)\neq c_(21)$ (tức là $0\neq 98$). Nhưng đối với ma trận $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ chúng ta có thể viết $A= một cách an toàn F$ vì cả kích thước và phần tử tương ứng của ma trận $A$ và $F$ đều trùng nhau.

Ví dụ số 1

Xác định kích thước của ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Cho biết các phần tử $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ bằng nhau.

Ma trận này có 5 hàng và 3 cột nên kích thước của nó là $5\times 3$. Bạn cũng có thể sử dụng ký hiệu $A_(5\times 3)$ cho ma trận này.

Phần tử $a_(12)$ nằm ở giao điểm của hàng đầu tiên và cột thứ hai, do đó $a_(12)=-2$. Phần tử $a_(33)$ nằm ở giao điểm của hàng thứ ba và cột thứ ba, do đó $a_(33)=23$. Phần tử $a_(43)$ nằm ở giao điểm của hàng thứ tư và cột thứ ba, do đó $a_(43)=-5$.

Trả lời: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Các loại ma trận tùy thuộc vào kích thước của chúng. Các đường chéo chính và phụ. Dấu vết ma trận.

Cho trước một ma trận $A_(m\times n)$. Nếu $m=1$ (ma trận gồm một hàng), thì ma trận đã cho được gọi hàng ma trận. Nếu $n=1$ (ma trận gồm một cột), thì ma trận như vậy được gọi cột ma trận. Ví dụ: $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ là một ma trận hàng và $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ là ma trận cột.

Nếu ma trận $A_(m\times n)$ thỏa mãn điều kiện $m\neq n$ (tức là số hàng không bằng số cột), thì người ta thường nói rằng $A$ là hình chữ nhật ma trận. Ví dụ: ma trận $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ có kích thước $2\times 4 $, những cái đó. gồm 2 hàng và 4 cột. Vì số hàng không bằng số cột nên ma trận này có dạng hình chữ nhật.

Nếu ma trận $A_(m\times n)$ thỏa mãn điều kiện $m=n$ (tức là số hàng bằng số cột), thì $A$ được gọi là ma trận vuông cấp $ n$. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ là ma trận vuông bậc hai; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ là ma trận vuông bậc ba. Nói chung, ma trận vuông $A_(n\times n)$ có thể được viết như sau:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Các phần tử $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ được gọi là bật đường chéo chính ma trận $A_(n\times n)$. Những phần tử này được gọi các yếu tố đường chéo chính(hoặc chỉ các phần tử đường chéo). Các phần tử $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ đang bật đường chéo bên (phụ); chúng được gọi là các phần tử đường chéo bên. Ví dụ: đối với ma trận $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ ta có:

Các phần tử $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ là các phần tử đường chéo chính; các phần tử $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ là các phần tử có đường chéo cạnh.

Tổng các phần tử trên đường chéo chính được gọi là theo sau là ma trận và được ký hiệu là $\Tr A$ (hoặc $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Ví dụ: đối với ma trận $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ ta có:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Khái niệm phần tử đường chéo cũng được sử dụng cho ma trận không vuông. Ví dụ: đối với ma trận $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ các phần tử đường chéo chính sẽ là $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Các loại ma trận tùy thuộc vào giá trị của các phần tử của chúng.

Nếu tất cả các phần tử của ma trận $A_(m\times n)$ đều bằng 0 thì ma trận đó được gọi là vô giá trị và thường được ký hiệu bằng chữ $O$. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - ma trận bằng 0.

Cho ma trận $A_(m\times n)$ có dạng sau:

Sau đó ma trận này được gọi hình thang. Nó có thể không chứa hàng 0, nhưng nếu chúng tồn tại thì chúng nằm ở cuối ma trận. Ở dạng tổng quát hơn, ma trận hình thang có thể được viết như sau:

Một lần nữa, các dòng null ở cuối là không cần thiết. Những thứ kia. Về mặt hình thức, chúng ta có thể phân biệt các điều kiện sau cho ma trận hình thang:

Tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính đều bằng 0.
Tất cả các phần tử từ $a_(11)$ đến $a_(rr)$ nằm trên đường chéo chính không bằng 0: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
Hoặc tất cả các phần tử của hàng $m-r$ cuối cùng đều bằng 0 hoặc $m=r$ (tức là không có hàng nào bằng 0).

Ví dụ về ma trận hình thang:

Hãy chuyển sang định nghĩa tiếp theo. Ma trận $A_(m\times n)$ được gọi bước, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Ví dụ: ma trận bước sẽ là:

Để so sánh, ma trận $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ không phải là cấp bậc vì hàng thứ ba có phần 0 giống như hàng thứ hai. Tức là nguyên tắc “đường càng thấp thì phần 0 càng lớn” bị vi phạm. Tôi sẽ nói thêm rằng ma trận hình thang là trường hợp đặc biệt của ma trận bậc thang.

Hãy chuyển sang định nghĩa tiếp theo. Nếu tất cả các phần tử của ma trận vuông nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0 thì ma trận đó được gọi là ma trận tam giác trên. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ là ma trận tam giác trên. Lưu ý rằng định nghĩa của ma trận tam giác trên không nói lên điều gì về giá trị của các phần tử nằm phía trên đường chéo chính hoặc trên đường chéo chính. Chúng có thể bằng 0 hoặc không - không thành vấn đề. Ví dụ: $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ cũng là một ma trận tam giác trên.

Nếu tất cả các phần tử của ma trận vuông nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0 thì ma trận đó được gọi là ma trận tam giác dưới. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - ma trận tam giác dưới. Lưu ý rằng định nghĩa của ma trận tam giác dưới không nói lên điều gì về giá trị của các phần tử nằm dưới hoặc trên đường chéo chính. Chúng có thể bằng 0 hoặc không - không thành vấn đề. Ví dụ: $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ và $\left(\ Begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ cũng là các ma trận tam giác thấp hơn.

Ma trận vuông được gọi là đường chéo, nếu tất cả các phần tử của ma trận này không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ kết thúc(mảng)\right)$. Các phần tử trên đường chéo chính có thể là bất kỳ thứ gì (bằng 0 hoặc không) - không thành vấn đề.

Ma trận đường chéo được gọi là đơn, nếu tất cả các phần tử của ma trận này nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Ví dụ: $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - ma trận nhận dạng bậc bốn; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ là ma trận nhận dạng bậc hai.