Ceea ce se numește o linie de nivel de funcție. Funcțiile mai multor variabile

Până acum am considerat cel mai simplu model functional, în care funcţie depinde de singurul lucru argument. Dar atunci când studiem diferite fenomene ale lumii înconjurătoare, întâlnim adesea schimbări simultane în mai mult de două cantități și multe procese pot fi oficializate în mod eficient funcţia mai multor variabile, Unde - argumente sau variabile independente. Să începem să dezvoltăm subiectul cu cel mai des întâlnit în practică. funcţiile a două variabile .

Funcția a două variabile numit drept, conform căreia fiecare pereche de valori variabile independente(argumente) din domeniul definirii corespunde valorii variabilei dependente (funcție).

Această funcție notată după cum urmează:

Oricare sau altul scrisoare standard:

Deoarece perechea ordonată de valori „x” și „y” determină punct din avion, atunci funcția se scrie și prin , unde este un punct din planul cu coordonate . Această notație este utilizată pe scară largă în unele sarcini practice.

Sensul geometric al unei funcții a două variabile foarte simplu. Dacă o funcție a unei variabile corespunde unei anumite drepte pe un plan (de exemplu, parabola școlară familiară), atunci graficul unei funcții a două variabile este situat în spațiul tridimensional. În practică, cel mai adesea avem de-a face suprafaţă, dar uneori graficul unei funcții poate fi, de exemplu, o linii spațiale sau chiar un singur punct.

CU exemplu elementar suprafețe pe care le cunoaștem bine din curs geometrie analitică- Asta avion. Presupunând că , ecuația poate fi ușor rescrisă ca forma functionala:

Cel mai important atribut funcții a 2 variabile - acest lucru este deja anunțat domeniul definirii.

Domeniul unei funcții a două variabile numit set toată lumea perechile pentru care există valoarea.

Grafic, domeniul definiției este întregul avion sau o parte a acestuia. Astfel, domeniul de definire al funcției este întregul plan de coordonate – din motivul că pentru orice punct există valoare.

Dar un astfel de aranjament inactiv nu se întâmplă întotdeauna, desigur:

Ca două variabile?

Având în vedere diverse concepte funcții ale mai multor variabile, este util să trasăm analogii cu conceptele corespunzătoare de funcții ale unei variabile. În special, atunci când vă dați seama domeniul definirii am platit atenție deosebită pentru acele funcții care conțin fracții, chiar rădăcini, logaritmi etc. Totul este exact la fel aici!

Sarcina de a găsi domeniul de definire a unei funcții a două variabile cu aproape 100% probabilitate va fi întâlnită în lucrarea dvs. tematică, așa că voi analiza un număr decent de exemple:

Exemplul 1

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: deoarece numitorul nu poate merge la zero, atunci:

Răspuns: întregul plan de coordonate cu excepția punctelor aparținând dreptei

Da, da, este mai bine să scrieți răspunsul în acest stil. Domeniul de definire a unei funcții a două variabile este rar notat cu un simbol mult mai des pe care îl folosesc descriere verbalăși/sau desen.

Daca prin conditie necesar faceți un desen, atunci ar fi necesar să reprezentați planul de coordonate și linie punctată face o linie dreaptă. Linia punctată indică faptul că linia nu sunt incluseîn domeniul definiţiei.

După cum vom vedea puțin mai târziu, în exemplele mai dificile nu puteți face deloc fără un desen.

Exemplul 2

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă:

Răspuns: semiplan

Reprezentarea grafică aici este de asemenea primitivă: desenăm un sistem de coordonate carteziene, solid trageți o linie dreaptă și umbriți partea de sus semiplan. Linia continuă indică faptul că inclusîn domeniul definiţiei.

Atenţie! Dacă nu înțelegeți NIMIC din al doilea exemplu, vă rugăm să studiați/repetați lecția în detaliu Inegalități liniare– fără el va fi foarte greu!

Miniatură pentru decizie independentă:

Exemplul 3

Găsiți domeniul unei funcții

Soluție pe două rânduri și răspuns la sfârșitul lecției.

Să continuăm să ne încălzim:

Exemplul 4

Și înfățișează-l pe desen

Soluţie: este ușor de înțeles că aceasta este formularea problemei cere executarea desenului (chiar dacă domeniul de definire este foarte simplu). Dar mai întâi, analitică: radicalul expresiei trebuie să fie nenegativ: și, având în vedere că numitorul nu poate merge la zero, inegalitatea devine strictă:

Cum se determină zona pe care o definește inegalitatea? Recomand același algoritm de acțiuni ca în soluție inegalități liniare.

Mai întâi desenăm linia, care este setat egalitatea corespunzătoare. Ecuația determină cerc centrat la originea unei raze care împarte planul de coordonate în două părți - „interiorul” și „exterior” cercului. Din moment ce avem inegalitate strict, atunci cercul în sine nu va fi inclus cu siguranță în domeniul definiției și, prin urmare, trebuie trasat linie punctată.

Acum hai să o luăm arbitrar punct de avion, neaparținând cerc și înlocuiți coordonatele sale în inegalitate. Cel mai simplu mod, desigur, este să alegeți originea:

Primit falsă inegalitate, astfel, punct nu satisface inegalitate În plus, această inegalitate nu este satisfăcută de niciun punct aflat în interiorul cercului și, prin urmare, domeniul de definiție dorit este partea sa exterioară. Zona de definiție este în mod tradițional hașurată:

Oricine poate lua orice punct aparținând zonei umbrite și să se asigure că coordonatele acestuia satisfac inegalitatea. Apropo, inegalitatea opusă dă cerc centrat la origine, raza .

Răspuns: partea exterioară a cercului

Să revenim la sensul geometric al problemei: acum am găsit domeniul de definiție și l-am umbrit, ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că în fiecare punct al zonei umbrite există o valoare „zet” și grafic funcția este urmatoarea suprafaţă:

Desenul schematic arată clar că această suprafață este situată pe alocuri peste avion (octanți aproape și departe de noi), pe alocuri - sub avion (octanții din stânga și din dreapta în raport cu noi). Suprafața trece și prin axe. Dar comportamentul funcției ca atare nu este foarte interesant pentru noi acum - ceea ce este important este că toate acestea se întâmplă exclusiv în domeniul definiţiei. Dacă luăm orice punct aparținând cercului, atunci nu va exista nicio suprafață acolo (deoarece nu există „zet”), după cum demonstrează spațiul rotund din mijlocul imaginii.

Vă rog să înțelegeți bine acest exemplu, pentru că în el eu în detaliu a explicat însăși esența problemei.

Următoarea sarcină pentru soluție independentă:

Exemplul 5

Soluție rapidăși un desen la sfârșitul lecției. În general, în subiectul luat în considerare printre Liniile de ordinul 2 cel mai popular este cercul, dar, ca opțiune, pot „împinge” problema elipsă, hiperbolă sau parabolă.

Să mergem în sus:

Exemplul 6

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă: iar numitorul nu poate fi egal cu zero: . Astfel, domeniul de definire este specificat de sistem.

Ne ocupăm de prima condiție de schema standard discutat în clasă Inegalități liniare: trageți o dreaptă și determinați semiplanul care corespunde inegalității. Pentru că inegalitatea nestrict, atunci linia dreaptă în sine va fi și ea o soluție.

Cu a doua condiție a sistemului, totul este și simplu: ecuația specifică axa ordonatelor și, din moment ce , atunci ar trebui exclusă din domeniul definiției.

Să desenăm desenul, fără a uita că linia continuă indică intrarea sa în zona de definire, iar linia punctată indică excluderea sa din această zonă:

De remarcat că aici suntem deja forţat face un desen. Și această situație este tipică - în multe sarcini, o descriere verbală a zonei este dificilă și, chiar dacă o descrii, cel mai probabil vei fi prost înțeles și forțat să descrii zona.

Răspuns: domeniul de aplicare al definiției:

Apropo, un astfel de răspuns fără desen pare cu adevărat umed.

Să repetăm încă o dată sensul geometric al rezultatului obținut: în zona umbrită există un grafic al funcției, care reprezintă suprafața spațiului tridimensional. Această suprafață poate fi situată deasupra/sub plan, poate intersecta planul - în în acest caz, Avem toate acestea în paralel. Însuși faptul existenței suprafeței este important și este important să găsim corect regiunea în care aceasta există.

Exemplul 7

Găsiți domeniul unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Un exemplu aproximativ de sarcină finală la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca funcții aparent simple să producă o soluție departe de a fi pripită:

Exemplul 8

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: folosind formula diferenței pătrate, să factorizăm expresia radicală: .

Produsul a doi factori este nenegativ , Când ambele multiplicatorii sunt nenegativi: SAU Când ambele nepozitiv: . Aceasta este o caracteristică tipică. Astfel, trebuie să rezolvăm două sisteme de inegalități liniareŞi COMBINA zonele primite. Într-o situație similară, în loc de algoritmul standard, metoda științifică, sau mai degrabă, practică, funcționează mult mai rapid =)

Desenăm linii drepte care împart planul de coordonate în 4 „colțuri”. Luăm un punct aparținând „colțului” superior, de exemplu, un punct și înlocuim coordonatele acestuia în ecuațiile primului sistem: . Se obțin inegalitățile corecte, ceea ce înseamnă că soluția sistemului este toate„colț” de sus. Umbrire.

Acum luăm punctul aparținând „colțului” drept. Rămâne al 2-lea sistem, în care înlocuim coordonatele acestui punct: . A doua inegalitate nu este adevărată, prin urmare, si toate„colțul” din dreapta nu este o soluție pentru sistem.

O poveste similară este cu „colțul din stânga”, care, de asemenea, nu este inclus în domeniul de aplicare al definiției.

Și, în cele din urmă, înlocuim coordonatele punctului experimental al „colțului” inferior în al doilea sistem: . Ambele inegalități sunt adevărate, ceea ce înseamnă că soluția sistemului este si toate„colțul” inferior, care ar trebui să fie și umbrit.

În realitate, desigur, nu este nevoie să o descriem atât de detaliat - toate acțiunile comentate sunt ușor de realizat oral!

Răspuns: domeniul definirii este asociere solutii de sistem .

După cum ați putea ghici, este puțin probabil ca un astfel de răspuns să funcționeze fără un desen și această împrejurare vă obligă să luați o riglă și un creion, chiar dacă condiția nu a cerut acest lucru.

Și asta e nebunia ta:

Exemplul 9

Găsiți domeniul unei funcții

Un elev bun ratează întotdeauna logaritmii:

Exemplul 10

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: argumentul logaritmului este strict pozitiv, deci domeniul de definire este dat de sistem.

Inegalitatea indică semiplanul drept și exclude axa.

Cu a doua condiție situația este mai complicată, dar și transparentă. Să ne amintim sinusoid. Argumentul este „Igrek”, dar acest lucru nu ar trebui să mă încurce – Igrek, deci Igrek, Zyu, deci Zyu. Unde este sinusul mai mare decât zero? Sinusul este mai mare decât zero, de exemplu, pe interval. Deoarece funcția este periodică, există infinit de astfel de intervale și în formă restrânsă soluția inegalității se va scrie după cum urmează:
, unde este un întreg arbitrar.

Un număr infinit de intervale, desigur, nu poate fi descris, așa că ne vom limita la interval și vecinii săi:

Să completăm desenul, fără a uita că, conform primei condiții, domeniul nostru de activitate se limitează strict la semiplanul drept:

hmm... s-a dovedit a fi un fel de desen fantomă... o bună reprezentare a matematicii superioare...

Răspuns:

Următorul logaritm este al tău:

Exemplul 11

Găsiți domeniul unei funcții

În timpul soluției, va trebui să construiți parabolă, care va împărți avionul în 2 părți - „interiorul” situat între ramuri și partea exterioară. Metoda de găsire a piesei necesare a apărut în mod repetat în articol Inegalități liniareși exemplele anterioare din această lecție.

Rezolvare, desen și răspuns la sfârșitul lecției.

Nucile finale ale paragrafului sunt dedicate „arcelor”:

Exemplul 12

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: Argumentul arcsinus trebuie să fie în următoarele limite:

Apoi sunt doi capabilități tehnice: cititori mai pregătiți similari cu ultimele exemple ale lecției Domeniul unei funcții a unei variabile pot „rula” inegalitatea dublă și pot lăsa „Y” la mijloc. Pentru manechine, recomand convertirea „locomotivei” într-un echivalent sistem de inegalități:

Sistemul este rezolvat ca de obicei - construim linii drepte și găsim semiplanurile necesare. Ca urmare:

Vă rugăm să rețineți că aici limitele sunt incluse în zona de definire și liniile drepte sunt desenate ca linii continue. Acest lucru trebuie întotdeauna monitorizat cu atenție pentru a evita o greșeală gravă.

Răspuns: domeniul definiției reprezintă soluția sistemului

Exemplul 13

Găsiți domeniul unei funcții

Soluția eșantion utilizează o tehnică avansată - conversia inegalităților duble.

În practică, uneori întâlnim și probleme care implică găsirea domeniului de definire a unei funcții a trei variabile. Domeniul de definire a unei funcții de trei variabile poate fi Toate spațiu tridimensional sau o parte a acestuia. În primul caz funcția este definită pentru orice puncte din spațiu, în al doilea - numai pentru acele puncte care aparțin unui obiect spațial, cel mai adesea - corp. Poate fi un paralelipiped dreptunghiular, elipsoid, „înăuntru” cilindru parabolic etc. Sarcina de a găsi domeniul de definire a unei funcții de trei variabile constă de obicei în găsirea acestui corp și realizarea unui desen tridimensional. Cu toate acestea, astfel de exemple sunt destul de rare. (am gasit doar cateva bucati), și, prin urmare, mă voi limita doar la acest paragraf de prezentare generală.

Linii de nivel

Pentru a înțelege mai bine acest termen, vom compara axa cu înălţime: Cum mai multă valoare„Z” – cu cât înălțimea este mai mare, cu atât valoarea „Z” este mai mică – cu atât înălțimea este mai mică. Înălțimea poate fi, de asemenea, negativă.

O funcție din domeniul său de definire este un grafic spațial pentru o definiție și o mai mare claritate, vom presupune că aceasta este o suprafață trivială; Ce sunt liniile de nivel? Figurat vorbind, liniile de nivel sunt „felii” orizontale ale suprafeței la diferite înălțimi. Aceste „felii” sau, mai corect, secțiuni efectuat cu avioane, după care sunt proiectate în plan .

Definiţie: o linie de nivel de funcție este o linie de pe plan în fiecare punct al căruia funcția menține o valoare constantă: .

Astfel, liniile de nivel ajută să ne dăm seama cum arată o anumită suprafață - și ajută fără a construi un desen tridimensional! Să luăm în considerare sarcină specifică:

Exemplul 14

Găsiți și trasați mai multe linii de nivel ale unui grafic al funcției

Soluţie: Examinăm forma unei suprafețe date folosind linii de nivel. Pentru comoditate, să extindem intrarea „înapoi în față”:

Evident, în acest caz „zet” (înălțimea) evident nu poate lua valori negative (deoarece suma pătratelor este nenegativă). Astfel, suprafața este situată în semi-spațiul superior (deasupra planului).

Deoarece condiția nu spune la ce înălțimi specifice trebuie să fie „tăiate” liniile de nivel, suntem liberi să alegem mai multe valori „Z” la discreția noastră.

Examinăm suprafața la înălțime zero, pentru a face acest lucru punem valoarea în egalitate :

Soluția acestei ecuații este punctul. Adică când linia de nivel reprezintă un punct.

Ne ridicăm la o unitate de înălțime și ne „tăiem” suprafața avion (înlocuiți în ecuația de suprafață):

Astfel, pentru înălțime, linia de nivel este un cerc centrat într-un punct cu raza unitară.

iti amintesc ca toate „feliile” sunt proiectate pe plan, și de aceea notez două, nu trei, coordonate pentru puncte!

Acum luăm, de exemplu, un avion și „tăiem” suprafața studiată cu el (substituiîn ecuația de suprafață):

Astfel, pentru inaltimelinia de nivel este un cerc centrat în punctul de rază.

Și, să construim o altă linie de nivel, să zicem :

–cerc centrat într-un punct cu raza 3.

Liniile de nivel, așa cum am subliniat deja, sunt situate pe plan, dar fiecare linie este semnată - la ce înălțime corespunde:

Nu este greu de înțeles că alte linii de nivel ale suprafeței luate în considerare sunt, de asemenea, cercuri, iar cu cât urcăm mai sus (creștem valoarea „Z”), cu atât raza devine mai mare. Astfel, suprafața în sine Este un castron nesfârșit cu fundul ovoid, al cărui vârf se află pe un plan. Acest „castron”, împreună cu axa, „ie iese direct la tine” de pe ecranul monitorului, adică te uiți în fundul lui =) Și asta nu este fără motiv! Numai eu îl turnez pe drum atât de letal =) =)

Răspuns: liniile de nivel ale unei suprafețe date sunt cercuri concentrice ale formei

Nota : când se obţine un cerc degenerat de rază (punct) zero

Însuși conceptul de linie de nivel provine din cartografie. Pentru a parafraza expresia matematică stabilită, putem spune că linia de nivel este locația geografică a punctelor aceeasi inaltime . Luați în considerare un anumit munte cu linii de nivel de 1000, 3000 și 5000 de metri:

Figura arată clar că versantul din stânga sus al muntelui este mult mai abrupt decât versantul din dreapta jos. Astfel, liniile de nivel vă permit să reflectați terenul pe o hartă „plată”. Apropo, aici valorile negative de altitudine dobândesc, de asemenea, o semnificație foarte specifică - la urma urmei, unele zone ale suprafeței Pământului sunt situate sub nivelul zero al oceanelor lumii.

∙ trece printr-un punct dintr-un plan paralel cu o dreaptă paralelă cu acel plan.

Un exemplu de construire a unei linii drepte pe un plan (Fig. 3.12):








Orez. 3.12 Sarcină: construiți o dreaptă pe planul ABC, dat
		proiecție frontală

3.4 Liniile planului principal

Pentru a rezolva multe probleme de geometrie descriptivă, se folosesc linii de poziție specială - linii de nivel.

Liniile de nivel sunt linii pe un plan paralel cu PP. O linie paralelă cu orizontală PP este orizontală, Frontal este frontală, Profilul PP este o linie de profil.

Deoarece liniile de nivel sunt paralele cu planurile lor de proiecție, pe alte PP proiecțiile lor vor fi paralele cu axele de coordonate. De exemplu, proiecția frontală a orizontalei este paralelă cu axa x 12.

Exemple de construire a liniilor de nivel: ∙ orizontal h (Fig. 3.13);

h 11 1

Orez. 3.13 Orizontal pe un plan

Dacă planul este definit de urme, liniile de nivel h și f vor fi paralele cu urmele de pe planurile lor de proiecție: urme orizontale spre orizontale, urme frontale către frontale etc. (Fig. 3.14). În esență, urma planului este o linie de nivel infinit aproape de planul de proiecție.




			f 1≡ h 2

Orez. 3.14 Linii de nivel ale unui plan definite prin urme

3.5 Punct pe un avion

Un punct se află pe un plan dacă aparține unei drepte din acest plan. Astfel, pentru a construi un punct pe un plan, este necesar să construiți mai întâi o linie auxiliară pe plan astfel încât să treacă printr-o proiecție dată a punctului dorit și, apoi, să găsiți un punct pe linia auxiliară construită de-a lungul liniei de legătură. .

Exemple de construire a unui punct pe un plan (Fig. 3.15):







		D1 - ?
		D1 - ?


	D1 - ?

Orez. 3.15 Punct pe un plan

Construirea unui punct pe un plan definit prin urme.

Dacă planul este specificat prin urme, drepte de nivel sunt folosite drept linii aparținând planului, cu ajutorul cărora se verifică apartenența unui punct la plan, care se construiesc ușor prin trasarea paralelă cu urmele date (Fig. 3.16). De reținut că proiecția unui punct aparținând urmei planului pe un alt plan de proiecție va fi pe axa care separă planurile de proiecție (vezi (.)1).




				f 1≡ h 2

Orez. 3.16 Utilizarea liniilor de nivel pentru a construi ochelari pe un plan definit de piste

Subiectul 4 Poziție reciprocă forme geometrice: linie dreaptă și plan, două plane.

O linie dreaptă și un plan, precum și două plane, pot fi:

∙ paralele între ele

∙ intersectare,

∙ perpendiculare unele pe altele.

4.1 Figuri paralele

4.1.1 Linie dreaptă paralelă cu planul

Exemplul 1 (Fig. 4.1). Există un plan Σ(a Ç b).

Dat (.)A și proiecția frontală 2 dreaptă. Desenați o dreaptă prin (.)A paralelă cu planul Σ

A 2l 2

Orez. 4.1 Construcția unei drepte paralele cu planul

Exemplul 2. Prin (.)A trageți o linie orizontală paralelă cu planul

Σ(ABC) (Fig. 4.2).

Orez. 4.2 Orizontal paralel cu planul

4.1.2 Planuri reciproc paralele

Două plane sunt reciproc paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan (Fig. 4.3).

a // d
	ý Þ a // d
	ý Þ a // d
a 2// d 2þ
a 2// d 2þ
b // c		Þ b// c
		Þ b// c
b 2// c 2þ
pl .Q (a Ç b ) //pl .D (c //v )
pl .Q (a Ç b ) //pl .D (c //v )

Orez. 4.3 Planuri reciproc paralele

Liniile pot fi selectate ca linii de intersectare
situație privată. De aici:
Dacă urmele cu același nume a două plane sunt paralele. Că
avioanele în sine sunt paralele.


			pl .S (f Ç h ) //pl .T (f "Ç h ")

		h′

Orez. 4.4 Planuri paralele,
	dat de urme
Exemplul 4.3: Prin (.)A se trasează un plan Θ paralel cu planul
Γ definit de două drepte paralele (Fig. 4.5).



















	Orez. 4.5 Planuri paralele

Tehnica de construcție:

1. Pe planul Г, folosind o dreaptă, este selectat un punct auxiliar arbitrar1.

2. Prin (.) 1, trageți două drepte arbitrare l și k astfel încât acestea să intersecteze o altă dreaptă, definind planul - linia b.

3. Printr-un punct datȘi trageți două drepte m și n, paralele cu liniile auxiliare l și, respectiv, k. Aceşti doi

dreptele care se intersectează l și k vor defini planul dorit Q, paralel cu planul dat Г.

Exemplul 4.4: Desenați prin (.)A

avion

paralel

planul proiectant frontalΣ (m ||n) (Fig. 4.6).

≡ l 2

Orez. 4.6 Planuri paralele

Tehnica de construcție:

1. Pe frontala PP prin proiectia frontalaȘi 2 punct dat A, se trasează o dreaptă A 2 C 2 ||m 2 ≡ n 2. Această linie dreaptă va fi urma frontală a planului dorit D. Planul paralel cu planul de proiectare frontală trebuie să fie însuși planul de proiectare frontală!

2. Două puncte sunt selectate aleatoriu pe un PP orizontal La 1 si

C1.

3. Proiecții frontaleÎn 2 și C 2 punctele B și C sunt căutate de-a lungul liniilor de comunicație pe traseul construit al planului dorit D.

NB! În ciuda faptului că punctele B și C au fost alese arbitrar pe orizontală PP, planul definit de punctele АВС va fi paralel cu planul frontal-proiectat dat deoarece pe frontal PP punctele АВС sunt situate pe aceeași linie paralelă cu urma frontală a planului datΣ.

4.2 Intersecția unei drepte și a unui plan. Punct de intersecție

Să luăm în considerare caz special, când este necesar să se găsească (.)K intersecții ale unei drepte pozitia generala l și planul de proiectare orizontalΣ.

Exemplul 4.9: Construiți punctul de intersecție al dreptei l cu planul orizontal proiectant Σ (Fig. 4.7):


	å ^ P 1
	å ^ P 1

Orez. 4.7 Intersecția unei drepte cu un plan proeminent

Construcția este foarte simplă. Deoarece planul proiectant Σ are o proprietate colectivă, punctul de intersecție cu dreapta

este situată ca punct de intersecție a urmei orizontale Σ 1 a planului și proiecția orizontală a dreptei 1. Proiecția frontală a punctului de intersecție se găsește de-a lungul liniei de comunicație.

Pentru a construi punctul de intersecție al unei linii drepte arbitrare cu un plan general, planurile proeminente auxiliare ar trebui folosite ca element auxiliar.

Exemplul 4.10: Construiți punctul de intersecție al dreptei m cu planul

(a Ç b) (Fig. 4.8).

å ^ P 2; å º m

å Ç D(aÇb) => l

l1 11

Orez. 4.8 Intersecțiile unei drepte și unui plan

Pentru construcție s-a folosit un plan auxiliar proiectat frontal Σ, care trece prin linia m.

Linia l de intersecție a planurilor Σ Ç se află în același plan cu dreapta m, deoarece planul auxiliar a fost trasat special prin linie dreaptă. Prin urmare, fiind în același plan, dreptele l și m, dacă se intersectează, vor da un punct care va fi punctul de intersecție dorit al dreptei date m și planul.

Dacă dreptele l și m se dovedesc a fi paralele, aceasta va însemna că linia dată m și planul sunt paralele.

	Intersecția a două plane.
Pentru a construi linia de intersecție a două plane, este suficient
găsiți oricare două puncte ale acestei drepte sau un punct și o direcție
linii de intersecție.
Dacă cauți o linie de intersecție a două plane, dintre care unul
proiectand, linia de intersectie este determinata de cel mai simplu
constructii.
Exemplul 4.5: Construiți o linie de intersecție plană			dat
două drepte l \|\|m și un plan de nivel orizontal Σ (Fig.



		S 2≡ S 2






	Orez. 4.9 Intersecția planurilor

NB! Linia de intersecție aparține planului orizontal al nivelului Σ, deci este orizontală.

Simplitatea construirii liniei de intersecție a planurilor generale cu planuri particulare dă instrument la îndemână construirea liniei de intersecție a două plane în poziție generală.

Orez. 4.10 Planuri auxiliare de tăiere

Un astfel de instrument este planuri de tăiere auxiliare de o anumită poziție, de exemplu, planuri de nivel (Fig. 4.10).

Pentru a construi linia de intersecție a planurilor Φ și Θ s-au folosit două plane orizontale Г" și Г"". Punctele de intersecție M și N

perechi de linii a"

S "X lX m

Orez. 4.11 Construirea liniei de intersecție a planelor

Pentru construcție s-au folosit planuri orizontale Σ" și Σ"".

Exemplul 4.7: Construiți dreapta de intersecție a planului Φ(ABC) 6

5 1X 6 1

Orez. 4.12 Construirea liniei de intersecție a planelor

Pentru construcție, se folosesc planuri auxiliare care se proiectează frontal „și”, care pe frontala PP trec de-a lungul proiecțiilor frontale ale dreptelor paralele l și m, definind planul T. Planul auxiliar „intersectează planul dat Φ (ABC) de-a lungul linia 12. Proiecția orizontală a acestei linii intersectează proiecția orizontală a dreptei în punctul E 1. Acest punct este căutat pe frontala PP de-a lungul liniei de comunicație. Punctul E este comun planului Φ(ABC) și Τ(l ||m). Astfel, acest punct este unul dintre punctele de pe dreapta de intersecție a planelor Φ(ABC) și Τ(l ||m). S-a găsit și punctul F de intersecție a planului „” cu dreapta m. Punctul F este și punctul dreptei de intersecție a planelor Φ(ABC) și Τ(l ||m). Conectând punctele obţinute E şi

h"1 M 1 h 1

Orez. 4.13 Construirea liniei de intersecție a planelor

Punctele dreptei de intersecție sunt (.)M intersecții ale urmei orizontale și h" ale unor planuri date și (.)N intersecții ale urmelor frontalef și f" . Conectarea acestor puncte pe planurile de proiecție corespunzătoare dă proiecția dreptei de intersecție a planurilor date.

mai multe funcții

descărcare diagramă

Reprezentarea grafică a unei funcții online

imediat.

Serviciu online desenează instantaneu un grafic

Absolut susținut Toate functii matematice

Funcții trigonometrice
		Cosecant	Cotangentă	arcsinus	arc cosinus	Arctangent	Arcsecant	Arccosecant	Arccotangent

Funcții hiperbolice

Alte
Logaritmul natural	Logaritm	Rădăcină pătrată				Rotunjiți în jos		Ridica

Minim				Maxim
min(expresie1,expresie2,...)				max(expresie1,expresie2,...)

Reprezentați grafic funcția

Construcția unei suprafețe 3D

Introduceți ecuația

Să construim o suprafață definită de ecuația f(x, y, z) = 0, unde a< x < b, c < y < d, m < z < n.

Alte exemple:

y = x^2
z = x^2 + y^2
0,3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
z = sin((x^2 + y^2)^(1/2))
x^4+y^4+z^4-5,0*(x^2+y^2+z^2)+11,8=0

Vedere canonică a curbei și a suprafeței

Puteți determina tipul de curbă și suprafața de ordinul 2 online cu o soluție detaliată:

Reguli de introducere a expresiilor și funcțiilor

Expresiile pot consta din funcții (notațiile sunt date în ordine alfabetică):

absolut (x) Valoare absolută x
(modul x sau |x|) arccos(x) Funcția - arc cosinus al xarccosh(x) Arc cosinus hiperbolic de la xarcsin(x) Arcsine din xarcsinh(x) Arcsin hiperbolic din xarctan(x) Funcția - arctangent de xarctgh(x) Arctangent hiperbolic din xee un număr care este aproximativ egal cu 2,7 exp(x) Funcție - exponent al x(care este e^x) log(x) sau ln(x) Logaritmul natural al x
(A obține log7(x), trebuie să introduceți log(x)/log(7) (sau, de exemplu, pentru log10(x)=log(x)/log(10)) pi Numărul este „Pi”, care este aproximativ egal cu 3,14 sin(x) Funcția - Sinus de xcos(x) Funcția - Cosinus de xsinh(x) Funcția - Sinus hiperbolic al xcosh(x) Funcția — Cosinus hiperbolic al xsqrt(x) Funcție - rădăcină pătrată din xsqr(x) sau x^2 Funcție - Pătrat xtan(x) Functie - Tangenta de la xtgh(x) Funcție — Tangent hiperbolic de la xcbrt(x) Funcție - rădăcină cubă a xpodea(x) Funcție - rotunjire xîn jos (exemplu etaj(4,5)==4,0) semn(x) Funcție - Semn xerf(x) Funcție de eroare (Laplace sau integrală de probabilitate)

Următoarele operații pot fi utilizate în expresii:

Numerele reale intra ca 7.5 , Nu 7,5 2*x- înmulțirea 3/x- diviziune x^3- exponentiarea x+7- adaos x - 6- scăderea

Cum să grafic o funcție online pe acest site?

La trasează o funcție online, trebuie doar să introduceți funcția dvs. într-un câmp special și să faceți clic undeva în afara acestuia. După aceasta, graficul funcției introduse va fi desenat automat. Să presupunem că doriți să construiți un grafic clasic al funcției „x pătrat”. În consecință, trebuie să introduceți „x^2” în câmp.

Dacă trebuie să complotezi mai multe funcțiiîn același timp, apoi faceți clic pe butonul albastru „Adăugați mai multe”. După aceasta, se va deschide un alt câmp în care va trebui să introduceți a doua funcție. Programul său va fi, de asemenea, construit automat.

Puteți ajusta culoarea liniilor graficului făcând clic pe pătratul situat în dreapta câmpului de introducere a funcției. Setările rămase sunt situate direct deasupra zonei graficului. Cu ajutorul lor, puteți seta culoarea de fundal, prezența și culoarea grilei, prezența și culoarea axelor, prezența semnelor, precum și prezența și culoarea numerotării segmentelor de grafic. Dacă este necesar, puteți scala graficul funcției folosind rotița mouse-ului sau pictogramele speciale din colțul din dreapta jos al zonei de desen.

După complot și intrat modificările necesareîn setări, poți descărcare diagramă prin folosire verde mare Butoanele „Descărcare” din partea de jos. Vi se va solicita să salvați graficul funcției ca imagine PNG.

De ce trebuie să reprezentați grafic o funcție?

Pe această pagină puteți construi diagramă interactivă funcții online.

Reprezentați grafic o funcție online

Trasarea unui grafic al unei funcții vă permite să vedeți imaginea geometrică a unei anumite funcții matematice. Pentru a vă face mai convenabil să construiți un astfel de grafic, am creat un special aplicație online. Este complet gratuit, nu necesită înregistrare și poate fi folosit direct în browser-ul dvs. fără nicio bătaie de cap. setări suplimentareși manipulare. Construiți grafice pentru diverse funcții Cel mai adesea este necesar elevilor de gimnaziu și liceu care studiază algebra și geometria, precum și studenții din anul I și II ca parte a cursurilor superioare de matematică. De regulă, acest proces Este nevoie de mult timp și necesită o mulțime de rechizite de birou pentru a desena axele graficului pe hârtie, a pune puncte de coordonate, a le conecta cu o linie dreaptă etc. Folosind asta serviciu online puteți calcula și crea imagine grafică funcții imediat.

Cum funcționează un calculator grafic pentru funcții grafice?

Serviciu online Funcționează foarte simplu. Funcția (adică ecuația însăși, al cărei grafic trebuie să fie reprezentat) este introdusă în câmpul din partea de sus. Imediat după intrarea în aplicație desenează instantaneu un graficîn zona de sub acest câmp. Totul se întâmplă fără a reîmprospăta pagina. În continuare, puteți introduce diverse setări de culoare, precum și ascunde/afișează unele elemente ale graficului funcției. După aceasta, program gata poate fi descărcat făcând clic pe butonul corespunzător din partea de jos a aplicației. Desenul va fi descărcat pe computer în format .png, pe care îl puteți imprima sau transfera pe un caiet de hârtie.

Ce caracteristici acceptă generatorul de grafice?

Absolut susținut toate funcțiile matematice, care poate fi util la trasarea graficelor. Este important de subliniat aici că, spre deosebire de limbajul clasic al matematicii adoptat în școli și universități, semnul gradului în cadrul aplicației este desemnat semn internaţional„^”. Acest lucru se datorează lipsei capacității de a scrie o diplomă în formatul obișnuit pe tastatura unui computer. Mai jos este un tabel cu lista completa funcții suportate.

Aplicația acceptă următoarele funcții:

Funcții trigonometrice
		Cosecant	Cotangentă	arcsinus	arc cosinus	Arctangent	Arcsecant	Arccosecant	Arccotangent

Funcții hiperbolice

Alte
Logaritmul natural	Logaritm	Rădăcină pătrată				Rotunjiți în jos		Ridica

Minim				Maxim
min(expresie1,expresie2,...)				max(expresie1,expresie2,...)

Exemple. Construiți linii de nivel de funcție corespunzătoare valorilor

Construiți linii de nivel de funcție corespunzătoare valorilor .

Presupunând , obținem ecuațiile liniilor de nivel corespunzătoare:

Construind aceste drepte în sistemul de coordonate cartezian xOy, obținem drepte paralele cu bisectoarea celui de-al doilea și al patrulea unghi de coordonate (Fig. 1)

Să scriem ecuațiile liniilor de nivel:

, , , Şi .

Construindu-le în planul xOy, obținem cercuri concentrice cu centrul la originea coordonatelor (Fig. 2)

Liniile de nivel ale acestei funcții , , , și sunt parabole simetrice față de Oy cu un vârf comun la origine (Fig. 3).

2. Derivată direcțională

O caracteristică importantă a unui câmp scalar este rata de schimbare a câmpului într-o direcție dată.

Pentru a caracteriza viteza de schimbare a câmpului în direcția vectorului, se introduce conceptul de derivată a câmpului în direcție.

Luați în considerare funcția la punct și punct.

Să desenăm prin puncte și prin vector. Unghiurile de înclinare ale acestui vector față de direcția axelor de coordonate x, y, z să notăm a, b, g, respectiv. Cosinusurile acestor unghiuri se numesc cosinus de direcție vector

FUNCȚIILE MAI MULTOR VARIABILE

1. CONCEPTE DE BAZĂ

Fie: z - o valoare variabilă cu un interval de modificări R; R - linie numerică; D - zona pe planul de coordonate R2.

Orice mapare D->R se numește funcție a două variabile cu domeniul D și scris z = f(x;y).

Cu alte cuvinte:

Dacă fiecare pereche (x; y) de două variabile independente din domeniul D, conform unei reguli, este asociată cu una valoare specifică z din R, atunci valoare variabilă z se numește o funcție a două variabile independente x și y cu domeniul D și scris

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

Exemplul 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Domeniul de definiție este o parte a planului situată în interiorul unui cerc cu raza r = 3, cu centrul la origine, vezi figura.

Exemplul 3. Găsiți și desenați domeniul unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2. INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A FUNCȚIEI A DOI

VARIABILE

2.1.Graficul unei funcţii a două variabile

Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu și o regiune D pe planul xOy. În fiecare punct M(x;y) din această zonă restabilim o perpendiculară pe planul xOy și trasăm pe ea valoarea z = f(x;y). Amplasarea geometrică a punctelor obținute

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Acestea sunt cercuri centrate la origine, raza R = C1/2 și ecuația

x2 + y2 = R2, vezi figura.

Liniile de nivel fac posibilă reprezentarea suprafeței luate în considerare, care dă cercuri concentrice atunci când sunt secționate de planuri z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> și găsiți .

Soluţie. Să folosim metoda secțiunii.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– în plan – o parabolă.

– în plan – parabolă.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – cerc.

Suprafața necesară este un paraboloid de revoluție.

Distanţă între două puncte arbitrare iar spațiul (euclidian) se numește număr

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> se numește cerc deschis raza centrată în punctul r.

Se numește un cerc deschis cu raza ε cu centrul în punctul A - ε - imprejurimi punctul A.

3 sarcină

Găsiți și descrieți grafic domeniul de definiție al funcției:

Desenați linii de nivel de funcție:

3. LIMITA UNEI FUNCȚII DE DOUĂ VARIABILE

Concepte de bază analiză matematică, introdus pentru o funcție a unei variabile, se extinde la funcțiile mai multor variabile.

Definiţie:

Un număr constant A se numește limita unei funcții a două variabile z = f(x;y) pentru x -> x0, y -> y0, dacă pentru oricare

ε >0 există δ >0 astfel încât |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Acest fapt este indicat după cum urmează:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Pentru o funcție a două variabile, tendința către un punct limită în plan poate apărea conform număr infinit direcții (și nu neapărat în linie dreaptă), și de aceea cerința existenței unei limite pentru o funcție de două (sau mai multe) variabile este „mai strânsă” în comparație cu o funcție a unei variabile.

Exemplul 1. Găsiți .

Soluţie. Lasă dorința de a ajunge la punctul de limitare http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Apoi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> depinde de.

Exemplul 2. Găsiți .

Soluţie. Pentru orice linie dreaptă limita este aceeași:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Apoi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (restul este prin analogie).

Definiţie. Numărul este sunat limită funcții pentru și , dacă pentru astfel încât inegalitățile și implică inegalitatea . Acest fapt este scris pe scurt după cum urmează:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

unde este punctul limită http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> cu domeniul definiției și lăsați – punctul limită al mulțimii, adică punctul către care tind argumentele XŞi la.

Definiția 1. Ei spun funcția este continuă într-un punct dacă:

1) ;

2) , adică .

Să formulăm definiția continuității într-o formă echivalentă..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> este continuă într-un punct dacă egalitatea este valabilă

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> să dăm un increment arbitrar. Funcția va primi o creștere parțială cu X

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> este o funcție a unei variabile. În mod similar,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> se numește continuă într-un punct peste o variabilă (peste o variabilă) dacă

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Teorema.Dacă funcţiaeste definită într-o anumită vecinătate a unui punct și este continuă în acest punct, apoi este continuă în acest punct în fiecare dintre variabile.

Afirmația inversă nu este adevărată.

EXEMPLU Să demonstrăm că funcția

continuu la punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > în punctul corespunzător incrementului http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, ceea ce înseamnă că este continuă într-un punct al variabilei.

În mod similar, se poate dovedi continuitatea într-un punct în raport cu o variabilă.

Să arătăm că nu există limită. Fie ca un punct să se apropie de un punct de-a lungul unei drepte care trece prin punct. Apoi primim

Astfel, apropiindu-ne de punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, obtinem valori limita diferite. Rezulta ca limita acestui funcția nu există la punct, ceea ce înseamnă funcția http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Alte denumiri

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Alte denumiri

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Soluţie. Avem:

Exemplul 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Diferențiale de ordinul întâi ale unei funcții a două variabile

Diferențiale parțiale ale funcției z = f(x, y) față de variabilele x și y sunt determinate, respectiv, de formulele x(x;y) și f"y(x;y) există în punctul ( x0;y0) și în unele din vecinătatea sa și sunt continue în acest punct, apoi, prin analogie cu o funcție a unei variabile, se stabilește o formulă pentru creșterea completă a unei funcții a două variabile

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

unde http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Cu alte cuvinte, funcția z = f(x, y) este diferențiabilă în punctul (x, y) dacă incrementul său Δz este echivalent cu funcția:

Expresie

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

Ținând cont de faptul că Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> este diferențiabilă la punct, apoi este continuă în acest punct.

Afirmația inversă este falsă, adică continuitatea este doar o condiție necesară, dar nu suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții. Să o arătăm.

EXEMPLU Să găsim derivatele parțiale ale funcției http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Formulele rezultate își pierd sensul în punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> nu are derivate parțiale la punctul. De fapt, . Această funcție a unei variabile, după cum se știe, nu are o derivată în punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> nu nu există în acest punct. În mod similar, nu există o derivată parțială. , este evident continuu in punctul .

Deci, am arătat că o funcție continuă poate să nu aibă derivate parțiale. Rămâne de stabilit legătura dintre diferențiabilitate și existența derivatelor parțiale.

5.4. Relația dintre diferențiabilitate și existența derivatelor parțiale.

Teorema 1. O condiție necesară pentru diferențiere.

Dacă funcția z = f(x, y) este diferențiabilă în punctul M(x, y), atunci are derivate parțiale față de fiecare variabilă și în punctul M.

Teorema inversă nu este adevărată, adică existența derivatelor parțiale este necesară, dar nu este o condiție suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții.

Teorema 2. Stare suficientă diferentiabilitate. Dacă funcția z = f(x, y) are derivate parțiale continue în punctul , atunci este diferențiabilă în punctul (și diferența sa totală în acest punct este exprimată prin formula http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">

Exemplul 2. Calculați 3.021,97

3 sarcină

Calculați aproximativ folosind diferența:

5.6. Reguli de diferențiere a funcțiilor complexe și implicite. Derivată completă.

Cazul 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Funcțiile u și v sunt funcții continue ale argumentelor x, y.

Astfel, funcția z este o funcție complexă a argumentelor x și y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Să presupunem că funcțiile f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) au derivate parțiale continue în raport cu toate argumentele lor.

Să setăm sarcina să calculeze http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Să dăm argumentului x un increment Δx, fixând valoarea argumentului y. Atunci funcții a două variabile u= φ(x, y) și

v= φ(x, y) va primi incremente parțiale Δxu și Δxv. În consecință, z=f(u, v) va primi incrementul complet definit în paragraful 5.2 (diferențiale de ordinul întâi ale unei funcții a două variabile):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Dacă xu→ 0, atunci Δxu → 0 și Δxv → 0 (datorită continuității funcțiilor u și v). Trecând la limita la Δx→ 0, obținem:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

EXEMPLU

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Apoi folosind formula (*) obținem:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

Pentru a obține rezultatul final, în ultimele două formule, în loc de u și v, este necesar să se înlocuiască еx+y² și, respectiv, x2+y.

Cazul 2.

Funcțiile x și y sunt funcții continue.

Astfel, funcția z=f(x, y) depinde prin x și y de o variabilă independentă t, adică să presupunem că x și y nu sunt variabile independente, ci funcții ale variabilei independente t și definim derivata http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități cu Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Cazul 3.

Să presupunem acum că rolul variabilei independente t este jucat de variabila x, adică că funcția z = f(x, y) depinde de variabila independentă x atât direct, cât și prin variabila y, care este o funcția continuă a lui x.

Ținând cont de faptul că http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Derivată x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Găsirea derivatelor parțiale

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Regula dovedită pentru diferențierea funcțiilor complexe se aplică pentru a găsi derivata unei funcții implicite.

Derivată a unei funcții specificată implicit.

Să presupunem că ecuația

definește y ca o funcție implicită a lui x având derivată

y' = φ'(x)_

Substituind y = φ(x) în ecuația F(x, y) = 0, ar trebui să obținem identitatea 0 = 0, deoarece y = φ(x) este o soluție a acestei ecuații. Vedem, prin urmare, că constanta zero poate fi considerată ca functie complexa pe x, care depinde de x atât direct, cât și prin y =φ(x).

Derivata fata de x a acestei constante trebuie sa fie zero; aplicând regula (***), obținem

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Prin urmare,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> este valabil atât pentru una, cât și pentru cealaltă funcție.

5.7. Diferenţial total de ordinul întâi. Invarianța formei unei diferențiale de ordinul întâi

Să înlocuim expresiile pentru http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> definite prin egalități (*) (vezi cazul 1 din clauza 5.6 „Reguli de diferențiere a funcțiilor complexe și implicite. Derivată totală”) în formula diferențială totală.

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Atunci formula pentru diferența totală de ordinul întâi a unei funcții a două variabile are forma

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Comparând ultima egalitate cu formula pentru prima diferenţială a unei funcţii de două variabile independente, putem spune că expresia pentru diferenţialul complet de ordinul întâi a unei funcţii de mai multe variabile are aceeaşi formă pe care ar avea-o dacă u şi v au fost variabile independente.

Cu alte cuvinte, forma primei diferenţiale este invariantă, adică nu depinde dacă variabilele u şi v sunt variabile independente sau depind de alte variabile.

EXEMPLU

Aflați diferența totală de ordinul întâi a unei funcții complexe

z=u2v3, u=x2 sin y, v=x3·ey.

Rezolvare Folosind formula pentru diferența totală de ordinul întâi, avem

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x sin y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Această expresie poate fi rescrisă astfel

dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 cozy+3u2v2x3 ey) dy=

Proprietatea de invarianță a unui diferențial ne permite să extindem regula pentru găsirea diferențială a unei sume, a unui produs și a unui coeficient la cazul unei funcții a mai multor variabile:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Aceasta

funcția va fi omogenă de gradul trei pentru toate x, y și t reale. Aceeași funcție va fi orice polinom omogen în x și y de gradul al treilea, adică un astfel de polinom în fiecare termen a cărui suma exponenților xn este egală cu trei:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

sunt funcții omogene de gradele 1, 0 și respectiv (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Într-adevăr,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Presupunând t=1, găsim

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Derivate parțiale http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), în general

Cu alte cuvinte, sunt funcții ale variabilelor x și y. Prin urmare, derivate parțiale pot fi găsite din nou din ele. În consecință, există patru derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții a două variabile, deoarece fiecare dintre funcțiile și poate fi diferențiată atât în raport cu x, cât și pe y.

Derivatele parțiale secundare sunt notate după cum urmează:

este derivata de ordinul al n-lea; aici funcția z a fost mai întâi diferențiată de p ori față de x, și apoi de n - p ori față de y.

Pentru o funcție a oricărui număr de variabile, derivatele parțiale de ordin superior sunt determinate în mod similar.

P r Şi m e r 1. Calculați derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

Exemplul 2. Calculați și http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

Exemplul 3. Calculați dacă

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy și f"yx sunt definite și continue în punctul M(x, y) și în unele din vecinătatea acestuia, apoi în acest punct

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Prin urmare,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Soluţie.

Derivatele mixte sunt egale.

5.10. Diferențiale de ordin superior ale unei funcțiinvariabile.

Diferenţial total d u funcțiile mai multor variabile sunt la rândul lor o funcție a acelorași variabile și putem determina diferența totală a acesteia ultima functie. Astfel, vom obține o diferențială de ordinul doi d2u a funcției originale și, care va fi și o funcție a acelorași variabile, iar diferența sa completă ne va conduce la o diferențială de ordinul trei d3u a funcției originale etc.

Să considerăm mai detaliat cazul funcției u=f(x, y) a două variabile x și y și să presupunem că variabilele x și y sunt variabile independente. Prin definiție

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Calculând d3u exact în același mod, obținem

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

Mai mult, această formulă trebuie înțeleasă după cum urmează: suma în valoare parantezele, trebuie ridicat la puterea n, folosind Formula Binomială a lui Newton, după care exponenții y și http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" height="21 src =" >.gif" width="22" height="27"> cu cosinus de direcție cos α, cos β (α + β = 90°). Pe vector, se consideră punctul M1(x + Δx; y + Δy). La trecerea de la punctul M la punctul M1, funcția z = f(x; y) va primi un increment complet

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> tinzând spre zero (vezi figura).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

unde http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src="> și, prin urmare, obținem:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> la Δs->0 se numește produs

funcția apă z = f(x; y) în punctul (x; y) în direcția vectorului și se notează

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Astfel, cunoscând derivatele parțiale ale funcției

z = f(x; y) puteți găsi derivata acestei funcții în orice direcție, iar fiecare derivată parțială este un caz special al derivatei în direcție.

EXEMPLU Aflați derivata unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

În consecință, funcția z = f(x;y) crește într-o direcție dată.

5. 12 . Gradient

Gradientul unei funcții z = f(x; y) este un vector ale cărui coordonate sunt derivatele parțiale corespunzătoare ale acestei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

adică..jpg" width="89" height="33 src=">

în punctul M(3;4).

Soluţie.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">

NOTE PRIVIND MATANALISĂ

Funcțiile mai multor variabile. Reprezentarea geometrică a unei funcții a două variabile. Linii și suprafețe de nivel. Limita și continuitatea funcțiilor mai multor variabile, proprietățile acestora. Derivate parțiale, proprietățile lor și semnificația geometrică.

Definiție 1.1. Variabilă z (cu zona de schimbare Z) numit funcţia a două variabile independente x,y din belsug M, dacă fiecare pereche ( x,y) din multe M z din Z.

Definiție 1.2. Multe M, în care sunt specificate variabilele x,y, numit domeniul functiei, și ei înșiși x,y- ea argumente.

Denumiri: z = f(x, y), z = z(x, y).

Exemple.

Comentariu. Din moment ce câteva numere ( x,y) pot fi considerate coordonatele unui anumit punct din plan, vom folosi ulterior termenul „punct” pentru o pereche de argumente la o funcție de două variabile, precum și pentru o mulțime ordonată de numere
, care sunt argumente pentru o funcție a mai multor variabile.

Definiție 1.3. . Variabilă z (cu zona de schimbare Z) numit funcţia mai multor variabile independente
din belsug M, dacă fiecare set de numere
din multe M conform unei reguli sau legi, se atribuie o anumită valoare z din Z. Conceptele de argumente și domeniu sunt introduse în același mod ca pentru o funcție a două variabile.

Denumiri: z = f
,z = z
.

Reprezentarea geometrică a unei funcții a două variabile.

Luați în considerare funcția

z = f(x, y) , (1.1)

definite într-o anumită zonă M pe planul O xy. Apoi setul de puncte din spațiul tridimensional cu coordonatele ( x, y, z) , unde , este graficul unei funcții a două variabile. Deoarece ecuația (1.1) definește o anumită suprafață în spațiul tridimensional, aceasta va fi imaginea geometrică a funcției luate în considerare.

z = f(x,y)

M y

Comentariu. Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile vom folosi termenul „suprafață în n-spațiu dimensional”, deși este imposibil să descrii o astfel de suprafață.

Linii și suprafețe de nivel.

Pentru o funcție a două variabile date de ecuația (1.1), putem considera o mulțime de puncte ( x,y) O avion xy, pentru care z ia aceeași valoare constantă, adică z= const. Aceste puncte formează o dreaptă pe planul numit linie de nivel.

Exemplu.

Găsiți liniile de nivel pentru suprafață z = 4 – x² - y². Ecuațiile lor arată ca x² + y² = 4 – c (c=const) – ecuații ale cercurilor concentrice cu un centru la origine și cu raze
. De exemplu, când Cu=0 obținem un cerc x² + y² = 4 .

Pentru o funcție de trei variabile u = u (x, y, z) ecuaţie u (x, y, z) = c definește o suprafață în spațiul tridimensional, care se numește suprafata plana.

Exemplu.

Pentru funcție u = 3x + 5y – 7z–12 suprafețe de nivel vor fi o familie de plane paralele date de ecuații

3x + 5y – 7z –12 + Cu = 0.

Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile.

Să introducem conceptul δ-cartiere puncte M 0 (X 0 , y 0 ) pe planul O xy ca un cerc cu raza δ cu centru într-un punct dat. În mod similar, putem defini o vecinătate δ în spațiul tridimensional ca o minge de rază δ cu centru în punctul M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) . Pentru n-spațiul dimensional vom numi δ-vecinătatea unui punct M 0 set de puncte M cu coordonate
, îndeplinind condiția

Unde
- coordonatele punctului M 0 . Uneori, acest set se numește „minge” în interior n-spaţiul dimensional.

Definiție 1.4. Se numește numărul A limită funcţiile mai multor variabile f
la punct M 0 dacă

astfel încât | f(M) – O| < ε для любой точки M din δ-cartier M 0 .

Denumiri:
.

Trebuie avut în vedere că în acest caz punctul M se poate apropia M 0, relativ vorbind, de-a lungul oricărei traiectorii în interiorul vecinătății δ a punctului M 0 . Prin urmare, ar trebui să distingem limita unei funcții a mai multor variabile în sens general de așa-numita limite repetate obţinute prin treceri succesive la limită pentru fiecare argument separat.

Exemple.

Comentariu. Se poate dovedi că din existența unei limite într-un punct dat în sensul obișnuit și existența în acest punct a limitelor pe argumentele individuale, rezultă existența și egalitatea limitelor repetate. Afirmația inversă nu este adevărată.

Definiția 1.5. Funcţie f
numit continuu la punct M 0
, Dacă
(1.2)

Dacă introducem notaţia

Acea condiție (1.2) poate fi rescrisă sub forma

(1.3)

Definiția 1.6. Punctul interior M 0 domeniul functional z = f (M) numit punct de rupere funcția dacă condițiile (1.2), (1.3) nu sunt îndeplinite în acest moment.

Comentariu. Multe puncte de discontinuitate se pot forma pe un plan sau în spațiu linii sau suprafata de fractura.