Conceptul de funcție complexă a mai multor variabile. Funcția a două variabile.Domeniu și linii de nivel
) am întâlnit deja în mod repetat derivate parțiale ale funcțiilor complexe precum și exemple mai dificile. Deci despre ce altceva poți vorbi?! ...Și totul este ca în viață - nu există o complexitate care să nu poată fi complicată =) Dar matematica este scopul pentru care este matematică, pentru a încadra diversitatea lumii noastre într-un cadru strict. Și uneori acest lucru se poate face cu o singură propoziție:
ÎN caz general funcția complexă arată ca 
, Unde, cel puțin unul de litere reprezintă funcţie, care poate depinde de arbitrar numărul de variabile.
Opțiunea minimă și cea mai simplă este funcția complexă de mult familiară a unei variabile, al cărui derivat am învățat cum să găsim semestrul trecut. De asemenea, aveți abilitățile de a diferenția funcții (uitați-vă la aceleași funcții 
)
.
Astfel, acum ne va interesa tocmai cazul. Datorită varietății mari de funcții complexe, formulele generale pentru derivatele lor sunt foarte greoaie și greu de digerat. În acest sens, mă voi limita exemple concrete, din care puteți înțelege principiul general al găsirii acestor derivate:
Exemplul 1
Având în vedere o funcție complexă unde 
. Necesar:
1) găsiți derivata acesteia și notați diferența totală de ordinul 1;
2) calculați valoarea derivatei la .
Soluţie: În primul rând, să ne uităm la funcția în sine. Ni se oferă o funcție în funcție de și , care la rândul său sunt functii o variabila: 
În al doilea rând, să acordăm o atenție deosebită sarcinii în sine - ni se cere să găsim derivat, adică nu vorbim deloc de derivate parțiale, pe care suntem obișnuiți să le găsim! Din moment ce funcţia 
depinde de fapt de o singură variabilă, atunci cuvântul „derivat” înseamnă derivat total. Cum să o găsesc?
Primul lucru care îmi vine în minte este înlocuirea directă și diferențierea ulterioară. Să înlocuim 
a functiona: 
, după care nu există probleme cu derivata dorită:
Și, în consecință, diferența totală: 
Această soluție este corectă din punct de vedere matematic, dar o mică nuanță este că atunci când problema este formulată așa cum este formulată, nimeni nu se așteaptă la o asemenea barbarie de la tine =) Dar serios, poți găsi cu adevărat vina aici. Imaginați-vă că o funcție descrie zborul unui bondar, iar funcțiile imbricate se modifică în funcție de temperatură. Efectuarea unei substituiri directe 
, primim doar informație privată
, care caracterizează zborul, să zicem, doar pe vreme caldă. Mai mult, dacă unei persoane care nu cunoaște bondari i se prezintă rezultatul final și chiar i se spune ce este această funcție, atunci nu va învăța niciodată nimic despre legea fundamentală a zborului!
Așadar, în mod complet neașteptat, fratele nostru zgomotos ne-a ajutat să înțelegem semnificația și importanța formulei universale: 
Obișnuiți-vă cu notația „cu două etaje” pentru derivate - în sarcina luată în considerare, ei sunt cei utilizați. În acest caz, ar trebui să fie unul foarte îngrijiteîn intrare: derivate cu simboluri directe „de” sunt derivate complete, iar derivatele cu pictograme rotunjite sunt derivate parțiale. Să începem cu ultimele: 
Ei bine, cu „cozile” totul este în general elementar:
Să înlocuim derivatele găsite în formula noastră:
Când o funcție este propusă inițial într-un mod complicat, va fi logic (și acest lucru este explicat mai sus!) lăsați rezultatele așa cum sunt: 
În același timp, în răspunsurile „sofisticate” este mai bine să vă abțineți chiar de la simplificări minime (aici, de exemplu, se roagă să fie eliminate 3 minusuri)- și ai mai puțină muncă, iar prietenul tău blănos este bucuros să revizuiască sarcina mai ușor.
Cu toate acestea, o verificare brută nu va fi de prisos. Să înlocuim 
în derivata găsită și efectuează simplificări: 
(pe ultimul pas folosit formule trigonometrice 
, 
)
Ca urmare, s-a obținut același rezultat ca și în cazul metodei soluției „barbare”.
Să calculăm derivata în punct. Mai întâi este convenabil să aflați valorile de „tranzit”. (valorile funcției 
)
:
Acum să formalizăm calcule finale, in care în acest caz, se poate face în moduri diferite. Folosesc o tehnică interesantă în care „etajele” 3 și 4 sunt simplificate nu conform regulilor obișnuite, ci sunt transformate ca câtul a două numere:
Și, desigur, este un păcat să nu verifici folosind o notație mai compactă 
:
Răspuns: 
Se întâmplă ca problema să fie propusă într-o formă „semi-generală”:
„Găsiți derivata funcției unde 
»
Adică, funcția „principală” nu este dată, dar „inserțiile” sale sunt destul de specifice. Răspunsul ar trebui dat în același stil:
Mai mult, condiția poate fi ușor criptată:
„Găsiți derivata funcției 
»
În acest caz aveți nevoie pe cont propriu desemnați funcții imbricate cu unele litere adecvate, de exemplu, prin 
și folosește aceeași formulă:
Apropo, oh denumiri de litere. Am îndemnat în mod repetat să nu „mă agățăm de litere” ca și cum ar fi un salvator, iar acum acest lucru este deosebit de relevant! Analizand diverse surse pe această temă, în general am avut impresia că autorii „au înnebunit” și au început să arunce fără milă studenții în abisul furtunos al matematicii =) Așa că iartă-mă :))
Exemplul 2
Aflați derivata unei funcții 
, Dacă 
Alte denumiri nu ar trebui să încurce! De fiecare dată când întâlniți o sarcină ca aceasta, trebuie să răspundeți la două întrebări simple:
1) De ce depinde funcția „principală”?În acest caz, funcția „zet” depinde de două funcții („y” și „ve”).
2) De ce variabile depind funcțiile imbricate?În acest caz, ambele „inserții” depind doar de „X”.
Așa că nu ar trebui să aveți nicio dificultate în adaptarea formulei la această sarcină!
Soluție rapidăși răspunsul la sfârșitul lecției.
Exemple suplimentare de primul tip pot fi găsite în Cartea cu probleme a lui Ryabushko (IDZ 10.1), ei bine, ne îndreptăm spre funcţia a trei variabile:
Exemplul 3
Având în vedere o funcție unde .
Calculați derivata în punct
Formula pentru derivata unei funcții complexe, după cum mulți presupun, are o formă înrudită: 
Decide odată ce ai ghicit =)
Pentru orice eventualitate, voi da o formulă generală pentru funcție:
, deși în practică este puțin probabil să vedeți ceva mai lung decât Exemplul 3.
În plus, uneori este necesar să se diferențieze o versiune „trunchiată” - de regulă, o funcție a formei sau. Vă las această întrebare să o studiați singur - veniți cu câteva exemple simple, gândiți, experimentați și obțineți formule prescurtate pentru derivate.
Dacă ceva este încă neclar, vă rugăm să recitiți încet și să înțelegeți prima parte a lecției, deoarece acum sarcina va deveni mai complicată:
Exemplul 4
Găsiți derivatele parțiale ale unei funcții complexe, unde 
Soluţie: această funcție are forma , iar după substituție directă și obținem funcția obișnuită a două variabile: 
Dar o astfel de frică nu numai că nu este acceptată, dar nu se mai dorește diferențierea =) Prin urmare, vom folosi formule gata făcute. Pentru a vă ajuta să înțelegeți rapid modelul, voi face câteva note: 
Privește cu atenție poza de sus în jos și de la stânga la dreapta...
Mai întâi, să găsim derivatele parțiale ale funcției „principale”:
Acum găsim derivatele „X” ale „căptușelilor”:
și notează derivata finală „X”:
La fel și cu „jocul”:
Și
Puteți rămâne la un alt stil - găsiți toate „cozile” simultan 
și apoi notați ambele derivate.
Răspuns:
Despre înlocuire 
cumva nu mă gândesc deloc la asta =) =), dar poți modifica puțin rezultatele. Deși, din nou, de ce? – doar face mai dificilă verificarea pentru profesor.
Dacă este necesar, atunci diferenţial complet aici este scris după formula obișnuită și, de altfel, doar pe acest pas Cosmeticele ușoare devin potrivite: 
Acesta este... ...un sicriu pe roți.
Datorită popularității tipului de funcție complexă luată în considerare, câteva sarcini pentru decizie independentă. Un exemplu mai simplu într-o formă „semi-generală” este pentru înțelegerea formulei în sine;-):
Exemplul 5
Găsiți derivatele parțiale ale funcției, unde 
Și mai complicat - cu includerea tehnicilor de diferențiere:
Exemplul 6
Găsiți diferența completă a unei funcții 
, Unde 
Nu, nu încerc deloc să „te trimit în jos” - toate exemplele sunt luate din munca adevarata, iar „pe marea liberă” puteți întâlni orice litere. În orice caz, va trebui să analizați funcția (răspunzând la 2 întrebări – vezi mai sus), prezentați-l în vedere generalași modificați cu atenție formulele derivatelor parțiale. S-ar putea să fii puțin confuz acum, dar vei înțelege însuși principiul construcției lor! Pentru că adevăratele provocări abia încep :)))
Exemplul 7
Găsiți derivate parțiale și creați diferența completă a unei funcții complexe
, Unde
Soluţie: funcția „principală” are forma și depinde în continuare de două variabile – „x” și „y”. Dar, în comparație cu Exemplul 4, a fost adăugată o altă funcție imbricată și, prin urmare, formulele derivatelor parțiale sunt, de asemenea, prelungite. Ca și în acel exemplu, pentru o viziune mai bună a modelului, voi evidenția derivatele parțiale „principale”. Culori diferite:
Și din nou, studiați cu atenție înregistrarea de sus în jos și de la stânga la dreapta.
Deoarece problema este formulată într-o formă „semi-generală”, toată munca noastră se limitează în esență la găsirea derivatelor parțiale ale funcțiilor încorporate: 
Un elev de clasa I se poate ocupa de: 
Și chiar și diferența completă a ieșit destul de frumos:
Nu ți-am oferit în mod deliberat nicio funcție specifică - astfel încât dezordinea inutilă să nu interfereze cu o bună înțelegere a diagramă schematică sarcini.
Răspuns: 
Destul de des puteți găsi investiții „de dimensiuni mixte”, de exemplu:
Aici funcția „principală”, deși are forma , depinde în continuare atât de „x” cât și de „y”. Prin urmare, aceleași formule funcționează - doar unele derivate parțiale vor fi egale cu zero. Mai mult, acest lucru este valabil și pentru funcții precum 
, în care fiecare „căptușeală” depinde de o variabilă.
O situație similară apare în ultimele două exemple ale lecției:
Exemplul 8
Aflați diferența totală a unei funcții complexe într-un punct
Soluţie: condiția este formulată într-un mod „bugetar” și trebuie să etichetăm singuri funcțiile imbricate. Cred că aceasta este o opțiune bună:
„Inserțiile” conțin ( ATENŢIE!) TREI litere sunt vechiul „X-Y-Z”, ceea ce înseamnă că funcția „principală” depinde de fapt de trei variabile. Poate fi rescris oficial ca , iar derivatele parțiale în acest caz sunt determinate de următoarele formule: 
Scanăm, cercetăm, surprindem...
În sarcina noastră: 
Derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile
Să continuăm subiectul preferat al tuturor analiză matematică– derivate. În acest articol vom învăța cum să găsim derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile: derivate primare și derivate secunde. Ce trebuie să știi și să poți face pentru a stăpâni materialul? Credeți sau nu, în primul rând, trebuie să puteți găsi derivate „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile - la un nivel ridicat sau cel puțin mediu. Dacă este cu adevărat dificil cu ei, atunci începe cu o lecție Cum să găsesc derivatul?În al doilea rând, este foarte important să citiți articolul și să înțelegeți și să rezolvați, dacă nu toate, atunci majoritatea exemplelor. Dacă acest lucru a fost deja făcut, atunci mergeți cu mine cu un mers încrezător, va fi interesant, chiar vă veți bucura!
Metode și principii de găsire derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile sunt de fapt foarte asemănătoare cu derivatele parțiale ale funcțiilor a două variabile. O funcție a două variabile, permiteți-mi să vă reamintesc, are forma , unde „x” și „y” sunt variabile independente. Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile este de obicei unele suprafaţăîn spațiul nostru tridimensional.
O funcție de trei variabile are forma , iar variabilele sunt numite variabile independente sau argumente, variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie. De exemplu: – funcţia a trei variabile
Și acum puțin despre filme științifico-fantastice și extratereștri. Puteți auzi adesea despre patru-dimensionale, cinci-dimensionale, zece-dimensionale etc. spatii. Prostii sau nu?
La urma urmei, o funcție de trei variabile implică un spațiu cu patru dimensiuni
(și într-adevăr, există trei variabile + funcția în sine). Graficul unei funcții de trei variabile este așa-numitul hipersuprafață. Este imposibil de imaginat, deoarece trăim în spațiu tridimensional (lungime/lățime/înălțime). Ca să nu te plictisești de mine, îți propun un test. Voi pune câteva întrebări și oricine este interesat poate încerca să răspundă la ele:
– Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii filistei a spațiului (lungime/lățime/înălțime)?
– Este posibil să se construiască un patru-dimensional, cinci-dimensional etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică, dați un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră.
– Este posibil să călătorești în trecut?
– Este posibil să călătorești în viitor?
– Extratereștrii există?
Pentru orice întrebare puteți alege unul dintre cele patru răspunsuri:
Da / Nu (știința interzice acest lucru) / Știința nu interzice acest lucru / Nu știu
Cine răspunde corect la toate întrebările este cel mai probabil să aibă un articol ;-)
Voi da treptat răspunsuri la întrebări pe măsură ce lecția progresează, nu ratați exemplele!
De fapt, au zburat. Și imediat Vești bune: pentru o functie de trei variabile sunt valabile regulile de diferentiere si tabelul derivatelor. De aceea trebuie să fii bun la a face față cu „obișnuitul” derivate ale funcţiilor o variabilă. Sunt foarte putine diferente!
Exemplul 1
Soluţie: Nu este greu de ghicit - pentru o funcție există trei variabile Trei derivate parțiale de ordinul întâi, care sunt notate după cum urmează:
Sau – derivată parțială față de „x”;
sau – derivată parțială în raport cu „y”;
sau – derivată parțială în raport cu „zet”.
Cea mai obișnuită notație este cu un accident vascular cerebral, dar compilatorilor de colecții și manuale de instruire le place foarte mult să folosească notația greoaie în contextul problemelor - așa că nu vă pierdeți! Poate că nu toată lumea știe să citească corect aceste „fracții de temut” cu voce tare. Exemplu: ar trebui citit după cum urmează: „de u po de x”.
Să începem cu derivata față de „x”: . Când găsim derivata parțială în raport cu, apoi variabilele șisunt considerate constante (numerele constante). Și derivata oricărei constante, oh, grație, este egală cu zero:
Acordați atenție imediat la indice - nimeni nu vă interzice să marcați că sunt constante. Este și mai convenabil; recomand ca începătorilor să folosească doar o astfel de înregistrare, există mai puțin risc de a se încurca.
(1) Folosim proprietățile de liniaritate ale derivatei, în special, luăm toate constantele în afara semnului derivatei. Vă rugăm să rețineți că în al doilea termen nu este nevoie să eliminați constanta: deoarece „Y” este o constantă, atunci este și o constantă. În termen, constanta „obișnuită” 8 și constanta „zet” sunt scoase din semnul derivat.
(2) Găsim cele mai simple derivate, fără a uita că sunt constante. Apoi pieptănăm răspunsul.
Derivată parțială. Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilele șisunt considerate constante:
(1) Folosim proprietățile liniarității. Și din nou, rețineți că termenii , sunt constante, ceea ce înseamnă că nimic nu trebuie scos din semnul derivat.
(2) Găsiți derivate, fără a uita că sunt constante. În continuare simplificăm răspunsul.
Și în sfârșit, derivata parțială. Când găsim derivata parțială față de „zet”, atunci variabilele șisunt considerate constante:
Regula generala evident și fără pretenții: Când găsim derivata parțială Pentru orice motiv variabilă independentă, atunci încă doi variabilele independente sunt considerate constante.
Când îndepliniți aceste sarcini, ar trebui să fiți extrem de atenți, în special, Nu poți pierde abonamente(care indică ce variabilă este folosită pentru diferențiere). Pierderea indexului ar fi o CONDIȚIE GROSĂ. Hmmm…. E amuzant dacă după o asemenea intimidare îmi lipsesc undeva)
Exemplul 2
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.
Cele două exemple luate în considerare sunt destul de simple și, după rezolvarea mai multor probleme similare, chiar și un ceainic se va obișnui să le rezolve pe cale orală.
Pentru a scăpa de stres, să revenim la prima întrebare a testului: Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii filistei a spațiului (lungime/lățime/înălțime)?
Răspuns corect: Știința nu interzice acest lucru. Toate axiomaticile matematice fundamentale, teoremele, aparatele matematice sunt frumoase și consistent lucrează în spațiu de orice dimensiune. Este posibil ca undeva în Univers să existe hipersuprafețe dincolo de controlul minții noastre, de exemplu, o hipersuprafață cu patru dimensiuni, care este definită de o funcție a trei variabile. Sau poate că hipersuprafețele sunt lângă noi sau chiar suntem chiar în ele, doar că viziunea, celelalte simțuri și conștiința noastră sunt capabile să perceapă și să înțeleagă doar trei dimensiuni.
Să revenim la exemple. Da, dacă cineva este foarte încărcat cu testul, este mai bine să citiți răspunsurile la următoarele întrebări după ce ați învățat cum să găsiți derivatele parțiale ale unei funcții de trei variabile, altfel vă voi uimi mintea pe parcursul articolului =)
Pe lângă cele mai simple Exemple 1 și 2, în practică există sarcini care pot fi numite un mic puzzle. Spre supărarea mea, astfel de exemple au dispărut din vedere când am creat lecția Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile. Sa prindem din urma:
Exemplul 3
Soluţie: Se pare că „totul este simplu” aici, dar prima impresie este înșelătoare. Când găsesc derivate parțiale, mulți vor ghici frunzele de ceai și vor face greșeli.
Să privim exemplul în mod consecvent, clar și înțeles.
Să începem cu derivata parțială față de „x”. Când găsim derivata parțială față de „x”, variabilele sunt considerate constante. Prin urmare, exponentul funcției noastre este, de asemenea, o constantă. Pentru manechine, recomand următoarea soluție: în schiță, schimbați constanta cu un anumit întreg pozitiv, de exemplu, „cinci”. Rezultatul este o funcție a unei variabile:
sau poți scrie și așa:
Acest putere funcţia cu o bază complexă (sinus). De :
Acum ne amintim că, astfel:
În etapa finală, desigur, soluția ar trebui să fie scrisă astfel:
Găsim derivata parțială față de „y”, acestea sunt considerate constante. Dacă „x” este o constantă, atunci este și o constantă. Pe schiță facem același truc: înlocuiți, de exemplu, cu 3, „Z” - înlocuiți cu același „cinci”. Rezultatul este din nou o funcție a unei variabile:
Acest indicativ funcție cu un exponent complex. De regula de diferentiere a functiilor complexe:
Acum să ne amintim înlocuitorul nostru:
Prin urmare:
Pe pagina finală, desigur, designul ar trebui să arate frumos:
Și cazul în oglindă cu derivata parțială față de „zet” (– constante):
Cu ceva experiență, analiza poate fi efectuată mental.
Să finalizăm a doua parte a sarcinii - alcătuiți un diferențial de ordinul întâi. Este foarte simplu, prin analogie cu o funcție a două variabile, se scrie o diferență de ordinul întâi folosind formula:
În acest caz:
Și asta e afacere. Observ că în probleme practice O diferență completă de ordinul I pentru o funcție de trei variabile necesită o compilare mult mai puțin frecventă decât pentru o funcție de două variabile.
Un exemplu amuzant pentru a o rezolva singur:
Exemplul 4
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile și construiți o diferenţială completă de ordinul întâi 
Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Dacă întâmpinați dificultăți, utilizați algoritmul „Chaynikovsky” discutat, vă va ajuta garantat. Și mai departe sfaturi utile – nu te grabi. Nici măcar eu nu pot rezolva rapid astfel de exemple.
Să ne divagăm și să ne uităm la a doua întrebare: Este posibil să construim un patru-dimensional, cinci-dimensional etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică, dați un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră.
Răspuns corect: da. În plus, este foarte ușor. De exemplu, adăugăm o a patra dimensiune la lungime/lățime/înălțime - timp. Populară spațiu-timp cu patru dimensiuni și binecunoscuta teorie a relativității, compilată cu atenție de Einstein pe baza lucrărilor lui Lobachevsky, Poincaré, Lorentz și Minkowski. Nici toată lumea nu știe. De ce a primit premiul Nobel? A existat un scandal grav în lumea științifică, iar Comitetul Nobel a formulat meritul studentului C Einstein aproximativ după cum urmează: „Pentru contribuția sa generală la dezvoltarea fizicii”. Mai departe, după cum se spune, promovare și PR.
Este ușor să adăugați o a cincea dimensiune spațiului cu patru dimensiuni considerat, de exemplu: presiunea atmosferică. Și așa mai departe, așa mai departe, câte dimensiuni specificați în modelul dvs. - atâtea vor fi. ÎN în sens larg cuvinte, trăim într-un spațiu multidimensional.
Să ne uităm la câteva sarcini obișnuite:
Exemplul 5
Soluţie: O sarcină din această formulare se găsește adesea în practică și implică efectuarea următoarelor două acțiuni:
– trebuie să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi;
– trebuie să calculați valorile derivatelor parțiale de ordinul 1 la punctul respectiv.
Noi decidem:
(1) În fața noastră este o funcție complexă, iar în primul pas ar trebui să luăm derivata arctangentei. În acest caz, folosim, de fapt, cu calm formula tabulară pentru derivata arctangentei 
. De regula de diferentiere a functiilor complexe rezultatul trebuie înmulțit cu derivată funcție internă(atasamente): .
(2) Folosim proprietățile liniarității.
(3) Și luăm derivatele rămase, fără a uita că sunt constante.
În funcție de condițiile sarcinii, este necesar să se găsească valoarea derivatei parțiale găsite 
la punctul . Să substituim coordonatele punctului în derivata găsită:
Avantaj a acestei misiuni este faptul că alte derivate parțiale urmează un model foarte asemănător:
După cum puteți vedea, șablonul de soluție este aproape același.
Să calculăm valoarea derivatei parțiale găsite 
la un moment dat:
Și, în sfârșit, derivata cu privire la „zet”:
Gata. Soluția ar fi putut fi formulată într-un alt mod: mai întâi găsiți toate cele trei derivate parțiale, apoi calculați valorile lor la punctul respectiv. Dar, mi se pare, metoda de mai sus este mai convenabilă - doar găsiți derivata parțială și imediat, fără a părăsi casa de marcat, calculați valoarea acesteia la punctul respectiv.
Este interesant de observat că, din punct de vedere geometric, un punct este un punct foarte real în spațiul nostru tridimensional. Valorile funcției, derivate 
– este deja a patra dimensiune și nimeni nu știe unde este localizată geometric. După cum se spune, nimeni nu s-a târât în jurul Universului cu o bandă de măsurare sau a verificat.
Întrucât subiectul filozofic este din nou în creștere, să luăm în considerare a treia întrebare: Este posibil să călătorești în trecut?
Răspuns corect: Nu. Călătoria în trecut contrazice a doua lege a termodinamicii despre ireversibilitate procese fizice(entropie). Deci, vă rugăm să nu vă scufundați într-o piscină fără apă, evenimentul poate fi reluat doar într-un videoclip =) Nu degeaba înțelepciunea populară a venit cu legea opusă de zi cu zi: „Măsoară de două ori, tăie o dată”. Deși, de fapt, tristul este că timpul este unidirecțional și ireversibil, niciunul dintre noi nu va fi mai tânăr mâine. Și diverse filme științifico-fantastice precum „Terminator” sunt o prostie completă din punct de vedere științific. Este absurd și din punct de vedere filozofic când Efectul, revenind în trecut, își poate distruge propria Cauză.
Exemplul 6
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi într-un punct
Exemplul 7
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi într-un punct 
Acestea sunt două exemple simple pe care le puteți rezolva singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Dar nu fi supărat de a doua lege a termodinamicii, acum îi voi încuraja pe toată lumea mai mult exemple complexe:
Exemplul 8
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile 
Soluţie: Să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi: 
(1) Când începeți să găsiți derivata, ar trebui să urmați aceeași abordare ca și pentru o funcție a unei variabile. Folosim proprietățile liniarității, în acest caz o scoatem din semnul constantei derivate.
(2) Sub semnul derivat avem muncă doua functii, fiecare dintre ele depinde din variabila noastră „în direct” „x”. Prin urmare, este necesar să se folosească regula de diferențiere a produselor 
.
(3) Nu există dificultăți cu derivatul, ci cu derivatul 
este derivata unei funcții complexe: mai întâi trebuie să găsiți, în esență, un logaritm tabular și să-l înmulțiți cu derivata înglobării.
(4) Cred că toată lumea s-a obișnuit deja cu cele mai simple exemple, cum ar fi - aici avem doar „în direct”, al cărui derivat este egal cu
Cazul cu derivata față de „y” este aproape o imagine în oglindă; o voi scrie pe scurt și fără comentarii: 
Este mai interesant cu derivatul „zet”, deși este aproape același: 
(1) Scoatem constantele din semnul derivatei.
(2) Iată din nou produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde din variabila „live” „zet”. În principiu, puteți folosi formula pentru derivata unui cot, dar este mai ușor să mergeți în altă direcție - găsiți derivata produsului.
(3) Derivata este o derivată tabelară. Al doilea termen conține derivata deja familiară a unei funcții complexe.
Exemplul 9
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile 
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Gândiți-vă cum să găsiți mai rațional această sau acea derivată parțială. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Înainte de a trece la exemplele finale ale lecției și de a privi derivate parțiale de ordinul doi funcții a trei variabile, îi voi înveseli pe toată lumea din nou cu a patra întrebare:
Este posibil să călătorești în viitor?
Răspuns corect: Știința nu interzice acest lucru. Paradoxal, nu există nicio lege matematică, fizică, chimică sau de altă natură care să interzică călătoriile în viitor! Pare o prostie? Dar aproape toată lumea în viață a avut o presimțire (și nu susținută de niciun argument logic) că se va întâmpla cutare sau cutare eveniment. Și s-a întâmplat! De unde au venit informatia? Din viitor? Astfel, filmele științifico-fantastice despre călătoriile în viitor și, apropo, predicțiile tuturor tipurilor de ghicitori și psihici nu pot fi numite asemenea prostii. Cel puțin știința nu a respins acest lucru. Totul este posibil! Așa că, când eram la școală, CD-urile și monitoarele cu ecran plat din filme mi s-au părut incredibile.
Celebra comedie „Ivan Vasilyevich își schimbă profesia” este jumătate ficțiune (cel mult). Nicio lege științifică nu a interzis lui Ivan cel Groaznic să existe în viitor, dar este imposibil ca doi ardei să ajungă în trecut și să îndeplinească îndatoririle unui rege.
Derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții a trei variabile
Principiu general găsirea derivatelor parțiale de ordinul doi ale unei funcții a trei variabile este similară cu principiul găsirii derivatelor parțiale de ordinul doi ale unei funcții a două variabile. Prin urmare, dacă ați lucrat bine lecția Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile, atunci totul va fi foarte simplu.
Pentru a găsi derivate parțiale de ordinul doi, mai întâi trebuie să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi sau într-o altă notație: .
Există nouă derivate parțiale de ordinul doi.
Primul grup este derivatele a doua în raport cu aceleași variabile:
sau – a doua derivată în raport cu „x”;
sau – a doua derivată în raport cu „y”;
sau – a doua derivată în raport cu „zet”.
Al doilea grup este amestecat Derivate parțiale de ordinul 2, există șase dintre ele:
sau - amestecat derivată a lui „x prin y”;
sau - amestecat derivată „yy prin x”;
sau - amestecat derivată „x cu z”;
sau - amestecat derivată a lui „Z prin X”;
sau - amestecat derivat din „Igrek by Z”;
sau - amestecat derivat de „zet de igrek”.
Funcții ale multor variabile
§1. Conceptul de funcție a mai multor variabile.
Să fie n cantități variabile. Fiecare set 
denotă un punct n-
set dimensional 
(P-vector dimensional).
Lasă seturile date 
Și 
.
AOD. Dacă fiecare punct 
se potrivește cu numărul singular 
, atunci spunem că este dată o funcție numerică n variabile:
.
se numește domeniul definiției, 
- un set de valori ale unei funcții date.
Când n=2 în schimb 
de obicei scrie X,
y,
z. Atunci funcția a două variabile are forma:
z= f(X, y).
De exemplu, 
- funcţia a două variabile;
- funcţia a trei variabile;
Funcție liniară n variabile.
AOD. Graficul funcției n sunt numite variabile n-
hipersuprafață dimensională în spațiu 
, din care fiecare punct este specificat prin coordonate
De exemplu, un grafic al unei funcții a două variabile z=
f(X,
y)
este o suprafață în spațiu tridimensional, fiecare punct al căruia este specificat prin coordonate ( X,
y,
z)
, Unde 
, Și 
.
Deoarece nu este posibil să descriem un grafic al unei funcții de trei sau mai multe variabile, vom lua în considerare în principal (pentru claritate) funcțiile a două variabile.
Trasarea funcțiilor a două variabile este destul de ușoară sarcina dificila. Construcția așa-numitelor linii de nivel poate oferi un ajutor semnificativ în rezolvarea acestei probleme.
AOD. Linia de nivel a unei funcții a două variabile z= f(X, y) se numeste multimea punctelor planului HOU, care sunt proiecția secțiunii graficului funcției printr-un plan paralel HOU.În fiecare punct al liniei de nivel funcția are aceeași valoare. Liniile de nivel sunt descrise de ecuație f(X, y)=c, Unde Cu– un anumit număr. Există infinit de linii de nivel și una dintre ele poate fi trasată prin fiecare punct al domeniului de definiție.
AOD. Funcția nivel de suprafață n variabile y=
f
(
) se numește hipersuprafață în spațiu 
, în fiecare punct al căruia valoarea funcției este constantă și egală cu o anumită valoare Cu. Ecuația suprafeței de nivel: f
(
)=s.
Exemplu. Reprezentați grafic o funcție a două variabile
.
.
Când c=1: 
;
.
Cu c=4: 
;
.
La c=9: 
;
.
Liniile de nivel sunt cercuri concentrice, a căror rază scade odată cu creșterea z.
§2. Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile.
Pentru funcțiile mai multor variabile, aceleași concepte sunt definite ca și pentru funcțiile unei variabile. De exemplu, puteți da definiții ale limitei și continuității unei funcții.
AOD. Numărul A se numește limita unei funcții a două variabile z=
f(X,
y)
la 
,
si este desemnat 
, dacă pentru orice număr pozitiv 
există un număr pozitiv 
, astfel încât dacă punctul 
departe de punct 
distanta mai mica 
, apoi cantitățile f(X,
y)
și A diferă cu mai puțin decât 
.
AOD. Dacă funcţia z=
f(X,
y)
definit la punct 
și are o limită în acest punct egală cu valoarea funcției 
, atunci se numește continuu într-un punct dat.
.
§3. Derivate parțiale ale funcțiilor mai multor variabile.
Luați în considerare o funcție a două variabile 
.
Să reparăm valoarea unuia dintre argumentele sale, de exemplu 
, punând 
. Apoi funcția 
există o funcție a unei variabile 
. Lasă-l să aibă o derivată la punct 
:
.
Această derivată se numește derivată parțială (sau derivată parțială de ordinul întâi) a funcției 
De 
la punct 
si este desemnata: 
;
;
;
.
Diferența se numește increment parțial 
si este desemnat 
:
Ținând cont de notațiile de mai sus, putem scrie
.
Definit în mod similar
.
Derivată parțială funcțiile mai multor variabile într-una dintre aceste variabile se numește limita raportului dintre creșterea parțială a unei funcții și creșterea variabilei independente corespunzătoare, atunci când această creștere tinde spre zero.
La găsirea derivatei parțiale cu privire la orice argument, celelalte argumente sunt considerate constante. Toate regulile și formulele de diferențiere a funcțiilor unei variabile sunt valabile pentru derivatele parțiale ale funcțiilor mai multor variabile.
Rețineți că derivatele parțiale ale unei funcții sunt funcții ale acelorași variabile. Aceste funcții, la rândul lor, pot avea derivate parțiale, care sunt numite derivate parțiale secunde(sau derivate parțiale de ordinul doi) ale funcției originale.
De exemplu, funcția 
are patru derivate parțiale de ordinul doi, care sunt notate după cum urmează:
;
;
;
.
Și 
- derivate parțiale mixte.
Exemplu. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi pentru o funcție
.
Soluţie.
,
.
,
.
, 
.
Exercițiu.
1. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi pentru funcții
,
;
2. Pentru funcție 
dovedeste asta 
.
Diferenţial complet funcţiile multor variabile.
Cu modificări simultane ale valorilor XȘi la funcţie 
se va modifica cu o sumă numită increment total al funcției z
la punct 
. La fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, se pune problema înlocuirii aproximative a incrementului 
pe funcție liniară din 
Și 
. Rolul aproximării liniare este îndeplinit de diferenţial complet Caracteristici:
Diferenţial total de ordinul doi:
=
.
=
.
În general, un diferențial total P-a ordinea are forma:
Derivată direcțională. Gradient.
Lasă funcția z=
f(X,
y)
este definită în apropierea punctului M( X,
y) Și 
- o anumită direcție specificată de vectorul unitar 
. Coordonatele unui vector unitar sunt exprimate prin cosinusurile unghiurilor formate de vector și axele de coordonate și se numesc cosinus de direcție:
,
.
La mutarea punctului M( X,
y) în această direcţie l
exact 
funcţie z va primi un spor
numită incrementul funcției într-o direcție dată l.
E 
dacă MM 1 =∆ l, Acea
T
DESPRE
funcții z=
f(X,
y)
către
se numește limita raportului dintre incrementul funcției în această direcție și mărimea deplasării ∆ l
deoarece acesta din urmă tinde spre zero:
Derivata direcțională caracterizează viteza de schimbare a unei funcții într-o direcție dată. Este evident că derivatele parțiale 
Și 
reprezintă derivate în direcții paralele cu axele Bou
Și Oi. Este ușor să arăți asta
Exemplu. Calculați derivata unei funcții 
în punctul (1;1) în direcția 
.
AOD. Gradient funcții z= f(X, y) este un vector cu coordonatele egale cu derivatele parțiale:
.
Luați în considerare produsul scalar al vectorilor 
Și 
:
Este ușor să vezi asta 
, adică derivata direcțională este egală cu produsul scalar al gradientului și vectorul direcției unitare 
.
Deoarece 
, atunci produsul scalar este maxim atunci când vectorii au aceleași direcții. Astfel, gradientul unei funcții într-un punct specifică direcția celei mai rapide creșteri a funcției în acest punct, iar modulul gradientului este egal cu rata maximă de creștere a funcției.
Cunoscând gradientul unei funcții, se pot construi local linii de nivel de funcție.
Teorema. Să fie dată o funcție diferențiabilă z=
f(X,
y)
iar la punct 
gradientul funcției nu este zero: 
. Apoi gradientul este perpendicular pe linia de nivel care trece prin punctul dat.
Astfel, dacă, pornind de la un anumit punct, construim gradientul funcției și o mică parte a liniei de nivel perpendiculară pe aceasta în punctele apropiate, atunci putem (cu o oarecare eroare) să construim linii de nivel.
Extremul local al unei funcții a două variabile
Lasă funcția 
definită şi continuă într-o vecinătate a punctului 
.
AOD. Punct 
se numește punctul maxim local al funcției 
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului 
, în care pentru orice punct 
inegalitatea este valabilă:
.
Conceptul de minim local este introdus în mod similar.
Teoremă (condiție necesară pentru extremul local).
Pentru o funcție diferențiabilă 
avea un extremum local la punctul respectiv 
, este necesar ca toate derivatele sale parțiale de ordinul întâi să fie egale cu zero în acest punct:
Deci, punctele de prezență posibilă a unui extremum sunt acele puncte în care funcția este diferențiabilă și gradientul său este egal cu 0: 
. Ca și în cazul unei funcții a unei variabile, astfel de puncte sunt numite staționare.
Funcțiile mai multor variabile. Reprezentarea geometrică a unei funcții a două variabile. Linii și suprafețe de nivel. Limita și continuitatea funcțiilor mai multor variabile, proprietățile acestora. Derivate parțiale, proprietățile lor și semnificația geometrică.
Definiție 1.1. Variabil z(cu zona de schimbare Z) se numește funcţia a două variabile independente X y in abundenta M, dacă fiecare pereche ( X y) din multe M z din Z.
Definiție 1.2. O multime de M, în care sunt specificate variabilele X y, numit domeniul functiei, și ei înșiși X y- a ei argumente.
Denumiri: z = f(x,y), z = z(x,y).
Cometariu. Din moment ce câteva numere ( X y) pot fi considerate coordonatele unui anumit punct din plan, vom folosi ulterior termenul „punct” pentru o pereche de argumente la o funcție de două variabile, precum și pentru un set ordonat de numere care sunt argumente pentru o funcție a mai multor variabile.
Definiție 1.3. . Variabil z(cu zona de schimbare Z) se numește funcţia mai multor variabile independente in abundenta M, dacă fiecare set de numere din set M conform unei reguli sau legi se pune în corespondență valoare specifică z din Z. Conceptele de argumente și domeniu sunt introduse în același mod ca pentru o funcție a două variabile.
Denumiri: z = f , z = z .
Reprezentarea geometrică a unei funcții a două variabile.
Luați în considerare funcția z = f(x,y), (1.1)
Definit într-o anumită zonă M pe planul O X y. Apoi setul de puncte din spațiul tridimensional cu coordonatele ( x,y,z), unde , este graficul unei funcții a două variabile. Deoarece ecuația (1.1) definește o anumită suprafață în spațiul tridimensional, va fi imagine geometrică funcția în cauză.
z = f(x,y)
Exemplele includ ecuațiile plane studiate în semestrul precedent
z = ax + by + c
și suprafețe de ordinul doi:
z = x² + y² (paraboloid al revoluției),
(con), etc.
Cometariu. Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile vom folosi termenul „suprafață în n-spațiu dimensional”, deși este imposibil să descrii o astfel de suprafață.
Linii și suprafețe de nivel.
Pentru o funcție a două variabile date de ecuația (1.1), putem considera o mulțime de puncte ( X y) O avion X y, pentru care z ia aceeași valoare constantă, adică z= const. Aceste puncte formează o dreaptă pe planul numit linie de nivel.
Găsiți liniile de nivel pentru suprafață z = 4 – X² - y². Ecuațiile lor arată ca X² + y² = 4 – c(c=const) – ecuații ale cercurilor concentrice cu centru la origine și cu raze . De exemplu, când Cu=0 obținem un cerc X² + y² = 4.
Pentru o funcție de trei variabile u = u(x, y, z) ecuația u(x, y, z) = c definește o suprafață în spațiul tridimensional, care se numește suprafata plana.
Pentru funcție u = 3X + 5y – 7z–12 suprafețe de nivel vor fi o familie de plane paralele date de ecuația 3 X + 5y – 7z –12 + Cu = 0.
FUNCȚIILE MAI MULTOR VARIABILE
1. CONCEPTE DE BAZĂ
Fie: z - o valoare variabilă cu un interval de modificări R; R - linia numerică; D - zona pe planul de coordonate R2.
Orice mapare D->R se numește funcție a două variabile cu domeniul D și scris z = f(x;y).
Cu alte cuvinte:
Dacă fiecare pereche (x; y) de două variabile independente din domeniul D, conform unei reguli, este asociată cu o anumită valoare z din R, atunci valoare variabilă z se numește funcție a două variabile independente x și y cu domeniul D și scris
http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">
Exemplul 1.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">
Domeniul de definiție este o parte a planului situată în interiorul unui cerc cu raza r = 3, cu centrul la origine, vezi figura.
Exemplul 3. Găsiți și desenați domeniul unei funcții
http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">
2. INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A FUNCȚIEI A DOI
VARIABILE
2.1.Graficul unei funcţii a două variabile
Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu și o regiune D pe planul xOy. În fiecare punct M(x;y) din această zonă restabilim o perpendiculară pe planul xOy și trasăm pe ea valoarea z = f(x;y). Amplasarea geometrică a punctelor obținute
http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">
Acestea sunt cercuri centrate la origine, raza R = C1/2 și ecuația
x2 + y2 = R2, vezi figura.
Liniile de nivel ne permit să reprezentăm suprafața luată în considerare, ceea ce dă cercuri concentrice atunci când sunt secționate de planuri z = C.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> și găsiți .
Soluţie. Să folosim metoda secțiunii.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– în plan – o parabolă.
– în plan – parabolă.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – cerc.
Suprafața necesară este un paraboloid de revoluție.
Distanţă între două puncte arbitrare iar spațiul (euclidian) se numește număr
http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> se numește cerc deschis raza centrată în punctul r.
Se numește un cerc deschis cu raza ε cu centrul în punctul A - ε - împrejurimi punctul A.
3 sarcină
Găsiți și descrieți grafic domeniul de definiție al funcției:
Desenați linii de nivel de funcție:
3. LIMITA UNEI FUNCȚII DE DOUĂ VARIABILE
Conceptele de bază ale analizei matematice introduse pentru o funcție a unei variabile se extind la funcțiile mai multor variabile.
Definiție:
Un număr constant A se numește limita unei funcții a două variabile z = f(x;y) pentru x -> x0, y -> y0, dacă pentru oricare
ε >0 există δ >0 astfel încât |f(x; y) - A|< ε , как только
|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.
Acest fapt este indicat după cum urmează:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Pentru o funcție a două variabile, tendința către un punct limită în plan poate apărea conform număr infinit direcții (și nu neapărat în linie dreaptă), și de aceea cerința existenței unei limite pentru o funcție de două (sau mai multe) variabile este „mai strânsă” în comparație cu o funcție a unei variabile.
Exemplul 1. Găsi .
Soluţie. Lasă dorința de a ajunge la punctul de limitare http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Apoi
http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> depinde de.
Exemplul 2. Găsi .
Soluţie. Pentru orice linie dreaptă limita este aceeași:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Apoi
http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (restul este prin analogie).
Definiție. Numărul este sunat limită funcții pentru și , dacă pentru astfel încât inegalitățile și implică inegalitatea 
. Acest fapt este scris pe scurt după cum urmează:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,
unde este punctul limită http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> cu domeniul definiției și lăsați – punctul limită al mulțimii, adică punctul către care tind argumentele XȘi la.
Definiția 1. Ei spun funcția este continuă într-un punct dacă:
1) ;
2) 
, adică 
.
Să formulăm definiția continuității într-o formă echivalentă..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> este continuă într-un punct dacă egalitatea este valabilă
http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> să dăm un increment arbitrar. Funcția va primi o creștere parțială cu X
http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> este o funcție a unei variabile. În mod similar,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> se numește continuă într-un punct peste o variabilă (peste o variabilă) dacă
http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).
Teorema.Dacă funcţiaeste definită într-o anumită vecinătate a unui punct și este continuă în acest punct, apoi este continuă în acest punct în fiecare dintre variabile.
Afirmația inversă nu este adevărată.
EXEMPLU Să demonstrăm că funcția
continuu la punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > în punctul corespunzător incrementului http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, ceea ce înseamnă că este continuă într-un punct al variabilei.
În mod similar, se poate dovedi continuitatea într-un punct în raport cu o variabilă.
Să arătăm că nu există limită. Fie ca un punct să se apropie de un punct de-a lungul unei drepte care trece prin punct. Apoi primim
.
Astfel, apropiindu-ne de punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, obtinem valori limita diferite. Rezulta ca limita acestui funcția nu există la punct, ceea ce înseamnă funcția http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">
Alte denumiri
http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">
Alte denumiri
http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.
Soluţie. Avem:
, 
Exemplul 2.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">
Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții
http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">
Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții
http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">
5.2. Diferențiale de ordinul întâi ale unei funcții a două variabile
Diferențiale parțiale ale funcției z = f(x, y) față de variabilele x și y sunt determinate, respectiv, de formulele x(x;y) și f"y(x;y) există în punctul ( x0;y0) și în unele din vecinătatea sa și sunt continue în acest punct, apoi, prin analogie cu o funcție a unei variabile, se stabilește o formulă pentru creșterea completă a unei funcții a două variabile
http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">
unde http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">
Cu alte cuvinte, funcția z = f(x, y) este diferențiabilă în punctul (x, y) dacă incrementul său Δz este echivalent cu funcția: 
Expresie
http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">
Ținând cont de faptul că Δх = dx, Δy=dy:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> este diferențiabilă la punct, apoi este continuă în acest punct.
Afirmația inversă este falsă, adică continuitatea este doar o condiție necesară, dar nu suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții. Să o arătăm.
EXEMPLU Să găsim derivatele parțiale ale funcției http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.
Formulele rezultate își pierd sensul în punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> nu are derivate parțiale la punctul. De fapt, 
. Această funcție a unei variabile, după cum se știe, nu are o derivată în punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> nu nu există la punctul. În mod similar, nu există nici o derivată parțială, iar funcția 
, este evident continuu in punctul .
Deci, am arătat că o funcție continuă poate să nu aibă derivate parțiale. Rămâne de stabilit legătura dintre diferențiabilitate și existența derivatelor parțiale.
5.4. Relația dintre diferențiabilitate și existența derivatelor parțiale.
Teorema 1. O condiție necesară pentru diferențiere.
Dacă funcția z = f(x, y) este diferențiabilă în punctul M(x, y), atunci are derivate parțiale față de fiecare variabilă și în punctul M.
Teorema inversă nu este adevărată, adică existența derivatelor parțiale este necesară, dar nu este o condiție suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții.
Teorema 2. Stare suficientă diferentiabilitate. Dacă funcția z = f(x, y) are derivate parțiale continue în punctul , atunci este diferențiabilă în punctul (și diferența sa totală în acest punct este exprimată prin formula http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">
Exemplul 2. Calculați 3.021,97
3 sarcină
Calculați aproximativ folosind diferența:
5.6. Reguli de diferențiere a funcțiilor complexe și implicite. Derivată completă.
Cazul 1.
z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)
Funcțiile u și v sunt funcții continue ale argumentelor x, y.
Astfel, funcția z este o funcție complexă a argumentelor x și y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))
Să presupunem că funcțiile f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) au derivate parțiale continue în raport cu toate argumentele lor.
Să setăm sarcina să calculeze http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.
Să dăm argumentului x un increment Δx, fixând valoarea argumentului y. Atunci funcții a două variabile u= φ(x, y) și
v= φ(x, y) va primi incremente parțiale Δxu și Δxv. În consecință, z=f(u, v) va primi incrementul complet definit în paragraful 5.2 (diferențiale de ordinul întâi ale unei funcții a două variabile):
http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">
Dacă xu→ 0, atunci Δxu → 0 și Δxv → 0 (datorită continuității funcțiilor u și v). Trecând la limita la Δx→ 0, obținem:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)
EXEMPLU
Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.
Apoi folosind formula (*) obținem:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.
Pentru a obține rezultatul final, în ultimele două formule, în loc de u și v, este necesar să se înlocuiască еx+y² și, respectiv, x2+y.
Cazul 2.
Funcțiile x și y sunt funcții continue.
Astfel, funcția z=f(x, y) depinde prin x și y de o variabilă independentă t, adică să presupunem că x și y nu sunt variabile independente, ci funcții ale variabilei independente t și definim derivata http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">
Să împărțim ambele părți ale acestei egalități cu Δt:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)
Cazul 3.
Să presupunem acum că rolul variabilei independente t este jucat de variabila x, adică că funcția z = f(x, y) depinde de variabila independentă x atât direct, cât și prin variabila y, care este o funcția continuă a lui x.
Ținând cont de faptul că http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)
Derivată x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.
Găsirea derivatelor parțiale
http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">
Regula dovedită pentru diferențierea funcțiilor complexe se aplică pentru a găsi derivata unei funcții implicite.
Derivată a unei funcții specificată implicit.
Să presupunem că ecuația
definește y ca o funcție implicită a lui x având derivată
y' = φ'(x)_
Substituind y = φ(x) în ecuația F(x, y) = 0, ar trebui să obținem identitatea 0 = 0, deoarece y = φ(x) este o soluție a acestei ecuații. Vedem, așadar, că constanta zero poate fi considerată ca o funcție complexă a lui x, care depinde de x atât direct, cât și prin y =φ(x).
Derivata fata de x a acestei constante trebuie sa fie zero; aplicând regula (***), obținem
F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">
Prin urmare,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> este valabil atât pentru una, cât și pentru cealaltă funcție.
5.7. Diferenţial total de ordinul întâi. Invarianța formei unei diferențiale de ordinul întâi
Să înlocuim expresiile pentru http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> definite prin egalități (*) (vezi cazul 1 din clauza 5.6 „Reguli de diferențiere a funcțiilor complexe și implicite. Derivată totală”) în formula diferențială totală
Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">
Atunci formula pentru diferența totală de ordinul întâi a unei funcții a două variabile are forma
http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">
Comparând ultima egalitate cu formula pentru prima diferenţială a unei funcţii de două variabile independente, putem spune că expresia pentru diferenţialul complet de ordinul întâi a unei funcţii de mai multe variabile are aceeaşi formă pe care ar avea-o dacă u şi v au fost variabile independente.
Cu alte cuvinte, forma primei diferenţiale este invariantă, adică nu depinde dacă variabilele u şi v sunt variabile independente sau depind de alte variabile.
EXEMPLU
Aflați diferența totală de ordinul întâi a unei funcții complexe
z=u2v3, u=x2 sin y, v=x3·ey.
Rezolvare Folosind formula pentru diferența totală de ordinul întâi, avem
dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =
2uv3 (2x sin y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).
Această expresie poate fi rescrisă astfel
dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 cozy+3u2v2x3 ey) dy=
Proprietatea de invarianță a unui diferențial ne permite să extindem regula pentru găsirea diferențială a unei sume, a unui produs și a unui coeficient la cazul unei funcții a mai multor variabile:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Aceasta
funcția va fi omogenă de gradul trei pentru toate x, y și t reale. Aceeași funcție va fi orice polinom omogen în x și y de gradul al treilea, adică un astfel de polinom în fiecare termen a cărui suma exponenților xn este egală cu trei:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">
sunt funcții omogene de gradele 1, 0 și respectiv (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Într-adevăr,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">
Presupunând t=1, găsim
http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">
Derivate parțiale http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), în general
Cu alte cuvinte, sunt funcții ale variabilelor x și y. Prin urmare, derivate parțiale pot fi găsite din nou din ele. În consecință, există patru derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții a două variabile, deoarece fiecare dintre funcțiile și poate fi diferențiată atât în raport cu x, cât și pe y.
Derivatele a doua parțiale se notează după cum urmează:
este derivata de ordinul al n-lea; aici funcția z a fost mai întâi diferențiată de p ori față de x, și apoi de n - p ori față de y.
Pentru o funcție a oricărui număr de variabile, derivatele parțiale de ordin superior sunt determinate în mod similar.
P R Și m e r 1. Calculați derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții
http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">
Exemplul 2. Calculați și http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">
Exemplul 3. Calculați dacă
http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">
x, f"y, f"xy și f"yx sunt definite și continue în punctul M(x, y) și în unele din vecinătatea acestuia, apoi în acest punct
http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">
Prin urmare,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">
Soluţie.
Derivatele mixte sunt egale.
5.10. Diferențiale de ordin superior ale unei funcțiinvariabile.
Diferenţial total d u funcțiile mai multor variabile sunt la rândul lor o funcție a acelorași variabile și putem determina diferența totală a acesteia ultima functie. Astfel, vom obține o diferențială de ordinul doi d2u a funcției originale și, care va fi și o funcție a acelorași variabile, iar diferența sa completă ne va conduce la o diferențială de ordinul trei d3u a funcției originale etc.
Să considerăm mai detaliat cazul funcției u=f(x, y) a două variabile x și y și să presupunem că variabilele x și y sunt variabile independente. A-prioriu
http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">
Calculând d3u exact în același mod, obținem
http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-
Mai mult, această formulă trebuie înțeleasă după cum urmează: suma în valoare parantezele, trebuie ridicat la puterea n, folosind Formula Binomială a lui Newton, după care exponenții lui y și http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" height="21 src=" >.gif" width="22" height="27"> cu cosinus de direcție cos α, cos β (α + β = 90°). Pe vector, se consideră punctul M1(x + Δx; y + Δy). La trecerea de la punctul M la punctul M1, funcția z = f(x; y) va primi un increment complet
http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> tinzând spre zero (vezi figura).
http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">
unde http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src="> și, prin urmare, obținem:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> la Δs->0 se numește producție
funcția apă z = f(x; y) în punctul (x; y) în direcția vectorului și se notează
http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)
Astfel, cunoscând derivatele parțiale ale funcției
z = f(x; y) puteți găsi derivata acestei funcții în orice direcție, iar fiecare derivată parțială este un caz special al derivatei în direcție.
EXEMPLU Aflați derivata unei funcții
http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">
În consecință, funcția z = f(x;y) crește într-o direcție dată.
5. 12 . Gradient
Gradientul unei funcții z = f(x; y) este un vector ale cărui coordonate sunt derivatele parțiale corespunzătoare acestei funcții
http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">
adică..jpg" width="89" height="33 src=">
în punctul M(3;4).
Soluţie.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">
