Nêu nhân tố, quy tắc, ví dụ chung. Phân tích đa thức. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc

Trong khuôn khổ nghiên cứu các phép biến đổi bản sắc, chủ đề lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc là rất quan trọng. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích chính xác sự chuyển đổi như vậy là gì, rút ra quy tắc cơ bản và phân tích các ví dụ điển hình của vấn đề.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Khái niệm lấy hệ số ra khỏi ngoặc

Để áp dụng thành công phép biến đổi này, bạn cần biết nó được sử dụng cho biểu thức nào và cuối cùng sẽ thu được kết quả gì. Hãy để chúng tôi làm rõ những điểm này.

Bạn có thể lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong các biểu thức biểu thị tổng trong đó mỗi số hạng là tích và trong mỗi tích có một thừa số chung (giống nhau) cho mọi người. Đây được gọi là yếu tố chung. Đó là điều mà chúng tôi sẽ đưa ra khỏi dấu ngoặc đơn. Vì vậy, nếu chúng ta có tác phẩm 5 3 Và 5 4, thì chúng ta có thể lấy thừa số chung 5 ra khỏi ngoặc.

Sự chuyển đổi này bao gồm những gì? Trong thời gian đó, chúng ta biểu diễn biểu thức ban đầu dưới dạng tích của một thừa số chung và một biểu thức trong ngoặc đơn chứa tổng của tất cả các số hạng ban đầu ngoại trừ thừa số chung.

Hãy lấy ví dụ được đưa ra ở trên. Hãy cộng ước số chung của 5 vào 5 3 Và 5 4 và chúng tôi nhận được 5 (3 + 4) . Biểu thức cuối cùng là tích của thừa số chung 5 với biểu thức trong ngoặc, là tổng của các số hạng ban đầu không có 5.

Phép biến đổi này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân mà chúng ta đã nghiên cứu trước đây. Ở dạng chữ, nó có thể được viết là a (b + c) = a b + a c. Bằng cách thay đổi vế phải bằng vế trái, chúng ta sẽ thấy sơ đồ lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Quy tắc lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc

Sử dụng mọi điều đã nói ở trên, chúng ta rút ra quy tắc cơ bản cho sự chuyển đổi như vậy:

Định nghĩa 1

Để loại bỏ thừa số chung khỏi ngoặc, bạn cần viết biểu thức ban đầu dưới dạng tích của thừa số chung và dấu ngoặc bao gồm tổng ban đầu không có thừa số chung.

ví dụ 1

Hãy lấy một ví dụ đơn giản về kết xuất. Chúng ta có một biểu thức số 3 7 + 3 2 − 3 5, là tổng của ba số hạng 3 · 7, 3 · 2 và thừa số chung 3. Lấy quy tắc rút ra làm cơ sở, chúng ta viết tích dưới dạng 3 (7 + 2 − 5). Đây là kết quả của sự chuyển đổi của chúng tôi. Toàn bộ giải pháp trông như thế này: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Chúng ta có thể đặt hệ số ra khỏi ngoặc không chỉ bằng số mà còn bằng biểu thức nghĩa đen. Ví dụ, trong 3 x − 7 x + 2 bạn có thể lấy biến x ra và nhận 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, trong biểu thức (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- nhân tố chung (x2+y) và cuối cùng nhận được (x 2 + y) · (x · y − x 3).

Không phải lúc nào cũng có thể xác định ngay yếu tố nào là chung. Đôi khi một biểu thức trước tiên phải được chuyển đổi bằng cách thay thế các số và biểu thức bằng các tích giống hệt nhau.

Ví dụ 2

Vì vậy, ví dụ, trong biểu thức 6 x + 4 y có thể rút ra thừa số chung 2 không được viết ra một cách rõ ràng. Để tìm nó, chúng ta cần biến đổi biểu thức ban đầu, biểu thị sáu là 2 · 3 và bốn là 2 · 2. Đó là 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Hoặc trong cách diễn đạt x 3 + x 2 + 3 x chúng ta có thể loại bỏ thừa số chung x ra khỏi ngoặc, được tìm thấy sau khi thay thế x 3 TRÊN x · x 2 . Sự chuyển đổi này có thể thực hiện được do các tính chất cơ bản của mức độ. Kết quả là, chúng ta nhận được biểu thức x (x 2 + x + 3).

Một trường hợp khác cần được thảo luận riêng là việc loại bỏ dấu trừ trong ngoặc. Sau đó, chúng ta không lấy ra dấu mà là trừ một. Ví dụ: chúng ta hãy biến đổi biểu thức theo cách này − 5 − 12 x + 4 x y. Hãy viết lại biểu thức như (- 1) 5 + (- 1) 12 x − (- 1) 4 x y, để hệ số nhân tổng thể được nhìn thấy rõ ràng hơn. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc và nhận được − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Ví dụ này cho thấy rằng trong ngoặc thu được cùng một lượng, nhưng có dấu hiệu ngược lại.

Trong phần kết luận, chúng tôi lưu ý rằng phép biến đổi bằng cách đặt hệ số chung ra khỏi ngoặc thường được sử dụng trong thực tế, chẳng hạn như để tính giá trị của các biểu thức hữu tỉ. Phương pháp này cũng hữu ích khi bạn cần biểu diễn một biểu thức dưới dạng tích, ví dụ: để phân tích một đa thức thành các thừa số riêng lẻ.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Trong bài viết này chúng tôi sẽ tập trung vào lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm hiểu phép biến đổi biểu thức này bao gồm những gì. Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày quy tắc đặt thừa số chung ra khỏi ngoặc và xem xét các ví dụ chi tiết về ứng dụng của nó.

Điều hướng trang.

Ví dụ, các số hạng trong biểu thức 6 x + 4 y có thừa số chung là 2, hệ số này không được viết ra một cách rõ ràng. Nó chỉ có thể được nhìn thấy sau khi biểu diễn số 6 dưới dạng tích của 2·3 và 4 dưới dạng tích của 2·2. Vì thế, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Một ví dụ khác: trong biểu thức x 3 +x 2 +3 x các số hạng có thừa số chung x, hệ số này sẽ hiển thị rõ ràng sau khi thay x 3 bằng x x 2 (trong trường hợp này chúng tôi đã sử dụng) và x 2 bằng x x. Sau khi lấy nó ra khỏi ngoặc, chúng ta nhận được x·(x 2 +x+3) .

Hãy nói riêng về việc bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc. Trên thực tế, bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc có nghĩa là bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc. Ví dụ: hãy loại bỏ dấu trừ trong biểu thức −5−12·x+4·x·y. Biểu thức ban đầu có thể được viết lại thành (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, từ đó có thể thấy rõ thừa số chung −1 mà chúng ta lấy ra khỏi ngoặc. Kết quả là, chúng ta đi đến biểu thức (−1)·(5+12·x−4·x·y) trong đó hệ số −1 được thay thế đơn giản bằng dấu trừ trước dấu ngoặc, kết quả là chúng ta có −( 5+12·x−4·x· y) . Từ đây có thể thấy rõ rằng khi bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc thì tổng ban đầu vẫn nằm trong ngoặc, trong đó dấu của tất cả các số hạng của nó đã được đổi thành ngược lại.

Để kết luận bài viết này, chúng tôi lưu ý rằng việc khoanh tròn hệ số chung được sử dụng rất rộng rãi. Ví dụ: nó có thể được sử dụng để tính toán hiệu quả hơn các giá trị của biểu thức số. Ngoài ra, việc đặt một thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc cho phép bạn biểu diễn các biểu thức dưới dạng tích; đặc biệt, một trong những phương pháp để phân tích một đa thức là dựa trên việc rút ra dấu ngoặc.

Thư mục.

Toán học. Lớp 6: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [N. Vâng, Vilenkin và những người khác]. - Tái bản lần thứ 22, sửa đổi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00897-2.

Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với các quy tắc đóng ngoặc của thừa số chung và học cách tìm nó trong các ví dụ và biểu thức khác nhau. Hãy nói về cách một thao tác đơn giản, lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc, cho phép bạn đơn giản hóa các phép tính. Chúng ta sẽ củng cố kiến thức và kỹ năng có được bằng cách xem xét các ví dụ về độ phức tạp khác nhau.

Yếu tố chung là gì, tại sao phải tìm nó và nó được lấy ra khỏi ngoặc với mục đích gì? Hãy trả lời những câu hỏi này bằng cách xem xét một ví dụ đơn giản.

Hãy giải phương trình. Vế trái của phương trình là một đa thức bao gồm các số hạng tương tự. Phần chữ cái chung cho các số hạng này, nghĩa là nó sẽ là thừa số chung. Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc:

Trong trường hợp này, việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc đã giúp chúng ta chuyển đa thức thành đơn thức. Vì vậy, chúng tôi đã có thể đơn giản hóa đa thức và phép biến đổi của nó đã giúp chúng tôi giải phương trình.

Trong ví dụ đã xem xét, thừa số chung là hiển nhiên, nhưng liệu có dễ dàng tìm thấy nó trong một đa thức tùy ý không?

Hãy tìm ý nghĩa của biểu thức: .

Trong ví dụ này, việc đưa hệ số chung ra khỏi ngoặc đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh tính chia hết thành biểu thức.

Biểu thức thu được có thể chia hết cho , theo yêu cầu cần chứng minh. Một lần nữa, việc lấy nhân tử chung đã cho phép chúng ta giải được bài toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh rằng biểu thức chia hết cho mọi số tự nhiên: .

Biểu thức là tích của hai số tự nhiên liền kề. Một trong hai số chắc chắn sẽ là số chẵn, nghĩa là biểu thức sẽ chia hết cho .

Chúng tôi đã xem xét các ví dụ khác nhau, nhưng chúng tôi sử dụng cùng một phương pháp giải: chúng tôi đã lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc. Chúng tôi thấy rằng thao tác đơn giản này giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán. Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung cho những trường hợp đặc biệt này, nhưng phải làm gì trong trường hợp tổng quát, với một đa thức tùy ý?

Nhắc lại rằng đa thức là tổng của các đơn thức.

Xét đa thức . Đa thức này là tổng của hai đơn thức. Đơn thức là tích của một số, một hệ số và một phần chữ cái. Như vậy, trong đa thức của chúng ta, mỗi đơn thức được biểu diễn bằng tích của một số và lũy thừa, tích của các thừa số. Các thừa số có thể giống nhau đối với mọi đơn thức. Chính những yếu tố này cần được xác định và đưa ra khỏi khung. Đầu tiên, chúng ta tìm nhân tử chung cho các hệ số, là các số nguyên.

Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung, nhưng hãy xác định gcd của các hệ số: .

Hãy xem một ví dụ khác: .

Hãy tìm , điều này sẽ cho phép chúng ta xác định ước chung cho biểu thức này: .

Chúng ta đã rút ra được quy tắc cho hệ số nguyên. Bạn cần tìm gcd của họ và lấy nó ra khỏi khung. Hãy củng cố quy tắc này bằng cách giải thêm một ví dụ nữa.

Chúng ta đã xem xét quy tắc gán thừa số chung cho hệ số nguyên, hãy chuyển sang phần chữ cái. Đầu tiên, chúng tôi tìm kiếm những chữ cái có trong tất cả các đơn thức, sau đó chúng tôi xác định cấp độ cao nhất của chữ cái có trong tất cả các đơn thức: .

Trong ví dụ này chỉ có một biến chữ cái chung, nhưng có thể có nhiều biến, như trong ví dụ sau:

Hãy làm phức tạp ví dụ bằng cách tăng số lượng đơn thức:

Sau khi loại bỏ nhân tử chung, ta chuyển tổng đại số thành tích.

Chúng ta đã xem xét các quy tắc trừ cho các hệ số nguyên và biến chữ cái một cách riêng biệt, nhưng thông thường bạn cần áp dụng chúng cùng nhau để giải ví dụ. Hãy xem một ví dụ:

Đôi khi có thể khó xác định biểu thức nào còn lại trong ngoặc đơn, hãy xem một thủ thuật đơn giản sẽ cho phép bạn giải quyết nhanh chóng vấn đề này.

Hệ số chung cũng có thể là giá trị mong muốn:

Thừa số chung có thể không chỉ là một số hoặc một đơn thức mà còn có thể là bất kỳ biểu thức nào, chẳng hạn như trong phương trình sau.

Bài học toán lớp 7

1.	Tên đầy đủ (full name)	Trofimenko Nadezhda Pavlovna
2.	Nơi làm việc	Cơ sở giáo dục thành phố "Trường học Miloslavskaya"
3.	Chức danh	Giáo viên toán
4.	Mục
5.	Lớp học
6.	Chủ đề và số bài học trong chủ đề	Lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc (1 bài mỗi chủ đề)
7.	Hướng dẫn cơ bản	Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin. Sách giáo khoa "Đại số lớp 7" dành cho các tổ chức giáo dục phổ thông. M. Prosveshchenie, 2016.

8. Mục tiêu bài học

Đối với giáo viên:

giáo dục

tổ chức các hoạt động giáo dục:

Bằng cách nắm vững thuật toán lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc và hiểu logic xây dựng của nó;

Phát triển khả năng áp dụng thuật toán lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc

đang phát triển

tạo điều kiện phát triển kỹ năng điều tiết:

Độc lập xác định mục tiêu của hoạt động giáo dục;

Lập kế hoạch các cách để đạt được mục tiêu;

Tương quan hành động của bạn với kết quả dự kiến;

Giám sát và đánh giá các hoạt động giáo dục dựa trên kết quả;

Tổ chức hợp tác giáo dục và các hoạt động chung với giáo viên và bạn bè.

- giáo dục

Tạo điều kiện hình thành thái độ có trách nhiệm trong học tập;

Tạo điều kiện phát triển tính độc lập của học sinh trong việc tổ chức và thực hiện các hoạt động giáo dục.

Tạo điều kiện giáo dục lòng yêu nước

Tạo điều kiện cho giáo dục môi trường

Dành cho sinh viên:

Nắm vững thuật toán lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc và hiểu logic xây dựng của nó;