Ví dụ về giải pháp của một số biến. Đạo hàm riêng của hàm ba biến

) chúng ta đã nhiều lần gặp đạo hàm riêng của các hàm phức như những ví dụ khó hơn. Vậy bạn còn có thể nói về điều gì nữa?! ...Và mọi thứ cũng giống như trong cuộc sống - không có sự phức tạp nào là không thể phức tạp =) Nhưng toán học chính là mục đích của toán học, để đưa sự đa dạng của thế giới chúng ta vào một khuôn khổ chặt chẽ. Và đôi khi điều này có thể được thực hiện chỉ bằng một câu:

TRONG trường hợp chung hàm phức tạp trông giống như , Ở đâu, ít nhất một của các chữ cái đại diện chức năng, điều này có thể phụ thuộc vào Bất kỳ số lượng biến.

Tùy chọn tối thiểu và đơn giản nhất là hàm phức tạp quen thuộc từ lâu của một biến, đạo hàm của ai chúng ta đã học cách tìm trong học kỳ trước. Bạn cũng có kỹ năng phân biệt chức năng (hãy xem các chức năng tương tự ) .

Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến trường hợp này. Do sự đa dạng của các hàm phức tạp nên các công thức chung cho các dẫn xuất của chúng rất cồng kềnh và khó hiểu. Về vấn đề này, tôi sẽ hạn chế bản thân ví dụ cụ thể, từ đó bạn có thể hiểu Nguyên tắc chung tìm các dẫn xuất này:

ví dụ 1

Cho một hàm phức tạp trong đó . Yêu cầu:
1) tìm đạo hàm của nó và viết tổng vi phân bậc 1;
2) tính giá trị đạo hàm tại .

Giải pháp: Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào chính hàm đó. Chúng ta được cung cấp một hàm phụ thuộc vào và , do đó là các chức năng một biến:

Thứ hai, chúng ta hãy chú ý đến bản thân nhiệm vụ - chúng ta phải tìm phát sinh, tức là chúng ta không nói về đạo hàm riêng mà chúng ta thường tìm! Kể từ khi chức năng thực tế chỉ phụ thuộc vào một biến thì từ “phái sinh” có nghĩa là tổng đạo hàm. Làm thế nào để tìm thấy cô ấy?

Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là sự thay thế trực tiếp và sự khác biệt hơn nữa. Hãy thay thế để hoạt động:
, sau đó không có vấn đề gì với đạo hàm mong muốn:

Và theo đó, tổng chênh lệch:

Giải pháp này đúng về mặt toán học, nhưng có một sắc thái nhỏ là khi vấn đề được hình thành theo cách nó được hình thành, không ai mong đợi sự man rợ như vậy từ bạn =) Nhưng nghiêm túc mà nói, bạn thực sự có thể tìm thấy lỗi ở đây. Hãy tưởng tượng rằng một hàm mô tả chuyến bay của một con ong nghệ và các hàm lồng nhau thay đổi tùy thuộc vào nhiệt độ. Thực hiện thay thế trực tiếp , chúng tôi chỉ nhận được thông tin cá nhân , đặc trưng cho chuyến bay, chẳng hạn, chỉ trong thời tiết nóng. Hơn nữa, nếu một người không am hiểu về ong vò vẽ được đưa ra kết quả cuối cùng và thậm chí cho biết chức năng này là gì, thì anh ta sẽ không bao giờ học được bất cứ điều gì về định luật cơ bản của chuyến bay!

Vì vậy, hoàn toàn bất ngờ, người anh em ù ù của chúng ta đã giúp chúng ta hiểu được ý nghĩa và tầm quan trọng của công thức phổ quát:

Làm quen với ký hiệu “hai tầng” đối với đạo hàm - trong nhiệm vụ đang xem xét, chúng là những ký hiệu được sử dụng. Trong trường hợp này, người ta nên rât gọn gang trong mục: đạo hàm có ký hiệu trực tiếp “de” là đạo hàm hoàn chỉnh và các dẫn xuất có biểu tượng tròn là dẫn một phần. Hãy bắt đầu với những cái cuối cùng:

Chà, với những cái đuôi, mọi thứ nói chung đều cơ bản:

Hãy thay thế các dẫn xuất tìm được vào công thức của chúng tôi:

Khi một hàm ban đầu được đề xuất một cách phức tạp, nó sẽ logic (và điều này đã được giải thích ở trên!)để lại kết quả như cũ:

Đồng thời, trong những câu trả lời “tinh vi”, tốt hơn hết bạn nên hạn chế ngay cả những sự đơn giản hóa tối thiểu. (ở đây chẳng hạn xin bỏ đi 3 điểm trừ)- và bạn có ít việc hơn, và người bạn lông xù của bạn rất vui khi xem xét công việc dễ dàng hơn.

Tuy nhiên, việc kiểm tra sơ bộ sẽ không thừa. Hãy thay thế vào đạo hàm tìm được và thực hiện đơn giản hóa:

(TRÊN Bước cuối cùngđã sử dụng công thức lượng giác , )

Kết quả là thu được kết quả tương tự như với phương pháp giải “man rợ”.

Hãy tính đạo hàm tại điểm. Đầu tiên, thật thuận tiện để tìm ra các giá trị “chuyển tuyến” (giá trị hàm ) :

Bây giờ hãy chính thức hóa tính toán cuối cùng, trong đó trong trường hợp này có thể được thực hiện theo những cách khác nhau. Tôi sử dụng một kỹ thuật thú vị trong đó “tầng” thứ 3 và thứ 4 được đơn giản hóa không theo các quy tắc thông thường mà được chuyển đổi thành thương số của hai số:

Và tất nhiên sẽ là tội lỗi nếu không kiểm tra bằng cách sử dụng ký hiệu nhỏ gọn hơn :

Trả lời:

Tình cờ là bài toán được đề xuất ở dạng “bán tổng quát”:

“Tìm đạo hàm của hàm số tại đó »

Nghĩa là, chức năng “chính” không được đưa ra, nhưng “chèn” của nó khá cụ thể. Câu trả lời nên được đưa ra theo cùng một phong cách:

Hơn nữa, điều kiện có thể được mã hóa một chút:

“Tìm đạo hàm của hàm số »

Trong trường hợp này bạn cần một mình chỉ định các hàm lồng nhau bằng một số chữ cái phù hợp, ví dụ: thông qua và sử dụng cùng một công thức:

Nhân tiện, ồ ký hiệu chữ cái. Tôi đã nhiều lần kêu gọi đừng “bám vào những lá thư” như thể chúng là phao cứu sinh, và giờ đây điều này đặc biệt phù hợp! Phân tích có nhiều nguồn Về chủ đề này, tôi nói chung có ấn tượng là các tác giả đã “nổi điên” và bắt đầu ném học sinh xuống vực thẳm giông bão của toán học một cách không thương tiếc =) Vậy hãy tha thứ cho tôi :))

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số , Nếu như

Các chỉ định khác không nên gây nhầm lẫn! Mỗi khi gặp một nhiệm vụ như thế này, bạn cần phải trả lời hai câu hỏi đơn giản:

1) Chức năng “chính” phụ thuộc vào điều gì? Trong trường hợp này, hàm “zet” phụ thuộc vào hai hàm (“y” và “ve”).

2) Các hàm lồng nhau phụ thuộc vào những biến nào? Trong trường hợp này, cả hai "chèn" chỉ phụ thuộc vào "X".

Vì vậy, bạn sẽ không gặp khó khăn gì khi áp dụng công thức cho nhiệm vụ này!

Giải pháp nhanh và đáp án ở cuối bài.

Các ví dụ bổ sung của loại đầu tiên có thể được tìm thấy trong Cuốn sách vấn đề của Ryabushko (IDZ 10.1), chúng tôi đang hướng tới hàm ba biến:

Ví dụ 3

Cho một hàm trong đó .
Tính đạo hàm tại điểm

Công thức đạo hàm của một hàm phức, như nhiều người đoán, có dạng liên quan:

Quyết định một khi bạn đoán nó =)

Để đề phòng, tôi sẽ đưa ra công thức tổng quát cho hàm:
, mặc dù trong thực tế bạn khó có thể nhìn thấy thứ gì dài hơn Ví dụ 3.

Ngoài ra, đôi khi cần phân biệt phiên bản “cắt ngắn” - theo quy luật, chức năng của hình thức hoặc. Tôi để câu hỏi này để các bạn tự nghiên cứu - đưa ra một số ví dụ đơn giản, suy nghĩ, thử nghiệm và rút ra công thức rút gọn cho đạo hàm.

Nếu còn chỗ nào chưa rõ, các bạn hãy từ từ đọc lại và hiểu phần đầu của bài, vì lúc này nhiệm vụ sẽ trở nên phức tạp hơn:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm riêng của hàm phức, trong đó

Giải pháp: Chức năng này có dạng và sau khi thay thế trực tiếp, chúng ta nhận được hàm thông thường của hai biến:

Nhưng nỗi lo sợ như vậy không những không được chấp nhận mà còn không còn muốn phân biệt nữa =) Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng những công thức làm sẵn. Để giúp bạn nhanh chóng nắm bắt được mẫu, tôi sẽ đưa ra một số lưu ý:

Hãy nhìn kỹ bức tranh từ trên xuống dưới và từ trái qua phải….

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm đạo hàm riêng của hàm “chính”:

Bây giờ chúng ta tìm thấy đạo hàm “X” của “liners”:

và viết đạo hàm “X” cuối cùng:

Tương tự với “trò chơi”:

Và

Bạn có thể chọn một phong cách khác - tìm tất cả các “đuôi” cùng một lúc rồi viết cả hai đạo hàm.

Trả lời:

Về sự thay thế bằng cách nào đó tôi không nghĩ về nó chút nào =)) nhưng bạn có thể điều chỉnh kết quả một chút. Mặc dù, một lần nữa, tại sao? – chỉ làm cho giáo viên khó kiểm tra hơn.

Nếu cần thiết thì đầy đủ sự khác biệtở đây nó được viết theo công thức thông thường, và nhân tiện, chỉ trên bước này Mỹ phẩm nhẹ trở nên thích hợp:

Đây là... ...một chiếc quan tài có bánh xe.

Do tính phổ biến của loại hàm phức tạp đang được xem xét, một số nhiệm vụ dành cho quyết định độc lập. Một ví dụ đơn giản hơn ở dạng "bán tổng quát" là để hiểu chính công thức đó ;-):

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm riêng của hàm số, trong đó

Và phức tạp hơn - với việc đưa vào các kỹ thuật phân biệt:

Ví dụ 6

Tìm vi phân đầy đủ của hàm số , Ở đâu

Không, tôi không hề cố gắng “đưa bạn xuống đáy” - tất cả các ví dụ đều được lấy từ công việc thực sự và “trên biển cả” bạn có thể bắt gặp bất kỳ chữ cái nào. Trong mọi trường hợp, bạn sẽ cần phải phân tích chức năng (trả lời 2 câu hỏi – xem ở trên), trình bày nó trong nhìn chung và sửa đổi cẩn thận các công thức đạo hàm từng phần. Bây giờ bạn có thể hơi bối rối, nhưng bạn sẽ hiểu nguyên tắc cấu tạo của chúng! Bởi vì những thử thách thực sự chỉ mới bắt đầu :)))

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm riêng và tạo vi phân đầy đủ của hàm phức
, Ở đâu

Giải pháp: hàm “main” có dạng và vẫn phụ thuộc vào hai biến – “x” và “y”. Nhưng so với Ví dụ 4, một hàm lồng nhau khác đã được thêm vào và do đó các công thức đạo hàm riêng cũng được kéo dài ra. Như trong ví dụ đó, để có cái nhìn rõ hơn về mô hình, tôi sẽ làm nổi bật các đạo hàm riêng “chính” màu sắc khác nhau:

Và một lần nữa, hãy nghiên cứu kỹ hồ sơ từ trên xuống dưới và từ trái sang phải.

Vì bài toán được phát biểu dưới dạng “bán tổng quát”, nên tất cả công việc của chúng ta về cơ bản chỉ giới hạn ở việc tìm đạo hàm riêng của các hàm nhúng:

Một học sinh lớp một có thể xử lý:

Và ngay cả bộ vi sai đầy đủ cũng trở nên khá đẹp:

Tôi đã cố tình không cung cấp cho bạn bất kỳ chức năng cụ thể nào - để sự lộn xộn không cần thiết sẽ không ảnh hưởng đến sự hiểu biết tốt về sơ đồ nhiệm vụ.

Trả lời:

Bạn thường có thể tìm thấy các khoản đầu tư có quy mô hỗn hợp, ví dụ:

Ở đây hàm “main” tuy có dạng , nhưng vẫn phụ thuộc vào cả “x” và “y”. Do đó, các công thức tương tự đều hoạt động - chỉ một số đạo hàm riêng sẽ bằng 0. Hơn nữa, điều này cũng đúng với các chức năng như , trong đó mỗi “lớp lót” phụ thuộc vào một biến.

Tình huống tương tự cũng xảy ra ở hai ví dụ cuối của bài học:

Ví dụ 8

Tìm vi phân tổng của hàm số phức tại một điểm

Giải pháp: điều kiện được xây dựng theo cách “ngân sách” và chúng ta phải tự dán nhãn cho các hàm lồng nhau. Tôi nghĩ đây là một lựa chọn tốt:

Các phần “chèn” chứa ( CHÚ Ý!) BA chữ cái là “X-Y-Z” cũ, có nghĩa là hàm “chính” thực sự phụ thuộc vào ba biến. Nó có thể được viết lại chính thức thành , và đạo hàm riêng trong trường hợp này được xác định bằng các công thức sau:

Chúng tôi quét, chúng tôi đi sâu vào, chúng tôi nắm bắt….

Trong nhiệm vụ của chúng tôi:

Chức năng của một số biến. Biểu diễn hình học của hàm hai biến. Đường cấp và bề mặt. Giới hạn và tính liên tục của hàm số một số biến, tính chất của chúng. Đạo hàm riêng, tính chất và ý nghĩa hình học của chúng.

Định nghĩa 1.1. Biến đổi z(có diện tích thay đổi Z) được gọi là hàm hai biến độc lập x, y dồi dào M, nếu mỗi cặp ( x, y) từ nhiều M z từ Z.

Định nghĩa 1.2. Một loạt M, trong đó các biến được chỉ định x, y, gọi điện miền của hàm, và chính họ x, y- cô ấy tranh luận.

Chỉ định: z = f(x,y), z = z(x,y).

Bình luận. Vì một vài số ( x, y) có thể được coi là tọa độ của một điểm nhất định trên mặt phẳng, sau đó chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ “điểm” cho một cặp đối số cho hàm hai biến, cũng như cho tập hợp các số có thứ tự là đối số của hàm của một số biến.

Định nghĩa 1.3. . Biến đổi z(có diện tích thay đổi Z) được gọi là hàm của một số biến độc lập dồi dào M, nếu mỗi bộ số từ bộ M theo một số quy tắc hoặc luật lệ, người ta được đưa vào thư từ giá trị cụ thể z từ Z. Các khái niệm về đối số và miền xác định được giới thiệu giống như đối với hàm hai biến.

Chỉ định: z = f , z = z .

Biểu diễn hình học của hàm hai biến.

Hãy xem xét chức năng z = f(x,y), (1.1)

Được xác định ở một số khu vực M trên mặt phẳng O xy. Khi đó tập hợp các điểm trong không gian ba chiều có tọa độ ( XYZ), trong đó , là đồ thị của hàm hai biến. Vì phương trình (1.1) xác định một bề mặt nhất định trong không gian ba chiều nên nó sẽ là hình ảnh hình học chức năng được đề cập.

z = f(x,y)

Ví dụ bao gồm các phương trình mặt phẳng đã học ở học kỳ trước

z = ax + by + c

và bề mặt bậc hai:

z = x² + y² (paraboloid của cách mạng),

(hình nón), v.v.

Bình luận. Đối với hàm có ba biến trở lên, chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ “bề mặt trong N không gian có chiều”, mặc dù không thể mô tả được một bề mặt như vậy.

Đường cấp và bề mặt.

Đối với hàm hai biến cho bởi phương trình (1.1), ta có thể xét tập hợp các điểm ( x, y) Hỡi mặt phẳng xy, mà z nhận cùng một giá trị không đổi, tức là z= hằng số Những điểm này tạo thành một đường thẳng trên mặt phẳng gọi là đường mức.

Tìm các đường mức của bề mặt z = 4 – x² - y². phương trình của họ trông giống như x² + y² = 4 – c(c=const) – phương trình đường tròn đồng tâm có tâm ở gốc và có bán kính . Ví dụ, khi Với=0 chúng ta có được một vòng tròn x² + y² = 4 .

Đối với hàm ba biến u = u(x, y, z) phương trình u(x, y, z) = c xác định một bề mặt trong không gian ba chiều, được gọi là bề mặt bằng phẳng.

Đối với chức năng bạn = 3x + 5y – 7z–Các mặt phẳng 12 sẽ là một họ các mặt phẳng song song được cho bởi phương trình 3 x + 5y – 7z –12 + Với = 0.

Nói chung, hàm phức có dạng , Ở đâu, ít nhất một của các chữ cái đại diện chức năng, điều này có thể phụ thuộc vào Bất kỳ số lượng biến.

Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến trường hợp này. Do sự đa dạng của các hàm phức tạp nên các công thức chung cho các dẫn xuất của chúng rất cồng kềnh và khó hiểu. Về vấn đề này, tôi sẽ giới hạn bản thân trong các ví dụ cụ thể để từ đó bạn có thể hiểu nguyên tắc chung của việc tìm các đạo hàm này:

ví dụ 1

Cho một hàm phức tạp trong đó . Yêu cầu:
1) tìm đạo hàm của nó và viết tổng vi phân bậc 1;
2) tính giá trị đạo hàm tại .

Giải pháp: Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào chính hàm đó. Chúng ta được cung cấp một hàm phụ thuộc vào và , do đó là các chức năng một biến:

Và theo đó, tổng chênh lệch:

Giải pháp này đúng về mặt toán học, nhưng có một sắc thái nhỏ là khi vấn đề được hình thành theo cách nó được hình thành, không ai mong đợi sự man rợ như vậy từ bạn =) Nhưng nghiêm túc mà nói, bạn thực sự có thể tìm thấy lỗi ở đây. Hãy tưởng tượng rằng một hàm mô tả chuyến bay của một con ong nghệ và các hàm lồng nhau thay đổi tùy thuộc vào nhiệt độ. Thực hiện thay thế trực tiếp , chúng tôi chỉ nhận được thông tin cá nhân, đặc trưng cho chuyến bay, chẳng hạn, chỉ trong thời tiết nóng. Hơn nữa, nếu một người không am hiểu về ong vò vẽ được đưa ra kết quả cuối cùng và thậm chí cho biết chức năng này là gì, thì anh ta sẽ không bao giờ học được bất cứ điều gì về định luật cơ bản của chuyến bay!

Vì vậy, hoàn toàn bất ngờ, người anh em ù ù của chúng ta đã giúp chúng ta hiểu được ý nghĩa và tầm quan trọng của công thức phổ quát:

Chà, với những cái đuôi, mọi thứ nói chung đều cơ bản:

Hãy thay thế các dẫn xuất tìm được vào công thức của chúng tôi:

Khi một hàm ban đầu được đề xuất một cách phức tạp, nó sẽ logic (và điều này đã được giải thích ở trên!)để lại kết quả như cũ:

Đồng thời, trong những câu trả lời “tinh vi”, tốt hơn hết là bạn nên kiềm chế ngay cả những sự đơn giản hóa tối thiểu (ở đây chẳng hạn xin bỏ đi 3 điểm trừ)- và bạn có ít việc hơn, và người bạn lông xù của bạn rất vui khi xem xét công việc dễ dàng hơn.

Tuy nhiên, việc kiểm tra sơ bộ sẽ không thừa. Hãy thay thế vào đạo hàm tìm được và thực hiện đơn giản hóa:

(ở bước cuối cùng chúng tôi đã sử dụng công thức lượng giác , )

Kết quả là thu được kết quả tương tự như với phương pháp giải “man rợ”.

Hãy tính đạo hàm tại điểm. Đầu tiên, thật thuận tiện để tìm ra các giá trị “chuyển tuyến” (giá trị hàm ) :

Bây giờ chúng tôi thực hiện các phép tính cuối cùng, trong trường hợp này có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau. Tôi sử dụng một kỹ thuật thú vị trong đó “tầng” thứ 3 và thứ 4 được đơn giản hóa không theo các quy tắc thông thường mà được chuyển đổi thành thương số của hai số:

Và tất nhiên sẽ là tội lỗi nếu không kiểm tra bằng cách sử dụng ký hiệu nhỏ gọn hơn :

Trả lời:

Tình cờ là bài toán được đề xuất ở dạng “bán tổng quát”:

“Tìm đạo hàm của hàm số tại đó »

Nghĩa là, chức năng “chính” không được đưa ra, nhưng “chèn” của nó khá cụ thể. Câu trả lời nên được đưa ra theo cùng một phong cách:

Hơn nữa, điều kiện có thể được mã hóa một chút:

“Tìm đạo hàm của hàm số »

Trong trường hợp này bạn cần một mình chỉ định các hàm lồng nhau bằng một số chữ cái phù hợp, ví dụ: thông qua và sử dụng cùng một công thức:

Nhân tiện, về ký hiệu chữ cái. Tôi đã nhiều lần kêu gọi đừng “bám vào những lá thư” như thể chúng là cứu cánh, và giờ đây điều này đặc biệt phù hợp! Phân tích nhiều nguồn khác nhau về chủ đề này, tôi nhìn chung có ấn tượng rằng các tác giả đã “nổi điên” và bắt đầu ném học sinh xuống vực thẳm giông bão của toán học một cách không thương tiếc =) Vậy hãy tha thứ cho tôi :))

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số , Nếu như

Các chỉ định khác không nên gây nhầm lẫn! Mỗi khi gặp một nhiệm vụ như thế này, bạn cần trả lời hai câu hỏi đơn giản:

1) Chức năng “chính” phụ thuộc vào điều gì? Trong trường hợp này, hàm “zet” phụ thuộc vào hai hàm (“y” và “ve”).

2) Các hàm lồng nhau phụ thuộc vào những biến nào? Trong trường hợp này, cả hai "chèn" chỉ phụ thuộc vào "X".

Vì vậy, bạn sẽ không gặp khó khăn gì khi áp dụng công thức cho nhiệm vụ này!

Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài.

Các ví dụ bổ sung của loại đầu tiên có thể được tìm thấy trong Cuốn sách vấn đề của Ryabushko (IDZ 10.1), chúng tôi đang hướng tới hàm ba biến:

Ví dụ 3

Cho một hàm trong đó .
Tính đạo hàm tại điểm

Công thức đạo hàm của một hàm phức, như nhiều người đoán, có dạng liên quan:

Quyết định một khi bạn đoán nó =)

Để đề phòng, tôi sẽ đưa ra công thức tổng quát cho hàm:
, mặc dù trong thực tế bạn khó có thể nhìn thấy thứ gì dài hơn Ví dụ 3.

Nếu còn chỗ nào chưa rõ, các bạn hãy từ từ đọc lại và hiểu phần đầu của bài, vì lúc này nhiệm vụ sẽ trở nên phức tạp hơn:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm riêng của hàm phức, trong đó

Giải pháp: hàm này có dạng , và sau khi thay thế trực tiếp, chúng ta thu được hàm thông thường của hai biến:

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm đạo hàm riêng của hàm “chính”:

Bây giờ chúng ta tìm thấy đạo hàm “X” của “liners”:

và viết đạo hàm “X” cuối cùng:

Tương tự với “trò chơi”:

Và

Bạn có thể chọn một phong cách khác - tìm tất cả các “đuôi” cùng một lúc rồi viết cả hai đạo hàm.

Trả lời:

Nếu cần thiết thì đầy đủ sự khác biệtở đây nó được viết theo công thức thông thường, và nhân tiện, chính ở bước này, mỹ phẩm nhẹ trở nên phù hợp:

Đây là... ...một chiếc quan tài có bánh xe.

Do tính phổ biến của loại hàm phức đang được xem xét, nên có một số nhiệm vụ cần giải quyết độc lập. Một ví dụ đơn giản hơn ở dạng "bán tổng quát" là để hiểu chính công thức đó ;-):

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm riêng của hàm số, trong đó

Và phức tạp hơn - với việc đưa vào các kỹ thuật phân biệt:

Ví dụ 6

Tìm vi phân đầy đủ của hàm số , Ở đâu

Không, tôi hoàn toàn không cố gắng "đưa bạn xuống đáy" - tất cả các ví dụ đều được lấy từ các tác phẩm có thật và "trên biển cả" bạn có thể bắt gặp bất kỳ bức thư nào. Trong mọi trường hợp, bạn sẽ cần phải phân tích chức năng (trả lời 2 câu hỏi – xem ở trên), trình bày nó ở dạng tổng quát và sửa đổi cẩn thận các công thức đạo hàm từng phần. Bây giờ bạn có thể hơi bối rối, nhưng bạn sẽ hiểu nguyên tắc cấu tạo của chúng! Bởi vì những thử thách thực sự chỉ mới bắt đầu :)))

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm riêng và tạo vi phân đầy đủ của hàm phức
, Ở đâu

Giải pháp: hàm “main” có dạng và vẫn phụ thuộc vào hai biến – “x” và “y”. Nhưng so với Ví dụ 4, một hàm lồng nhau khác đã được thêm vào và do đó các công thức đạo hàm riêng cũng được kéo dài ra. Như trong ví dụ đó, để hình dung rõ hơn về mô hình, tôi sẽ làm nổi bật các đạo hàm riêng “chính” bằng các màu khác nhau:

Và một lần nữa, hãy nghiên cứu kỹ hồ sơ từ trên xuống dưới và từ trái sang phải.

Một học sinh lớp một có thể xử lý:

Và ngay cả bộ vi sai đầy đủ cũng trở nên khá đẹp:

Tôi đã cố tình không cung cấp cho bạn bất kỳ chức năng cụ thể nào - để sự lộn xộn không cần thiết sẽ không cản trở việc hiểu rõ khái niệm của nhiệm vụ.

Trả lời:

Bạn thường có thể tìm thấy các khoản đầu tư có quy mô hỗn hợp, ví dụ:

Tình huống tương tự cũng xảy ra ở hai ví dụ cuối của bài học:

Ví dụ 8

Tìm vi phân tổng của hàm số phức tại một điểm

Giải pháp: điều kiện được xây dựng theo cách “ngân sách” và chúng ta phải tự dán nhãn cho các hàm lồng nhau. Tôi nghĩ đây là một lựa chọn tốt:

Trong nhiệm vụ của chúng tôi:

CHỨC NĂNG CỦA NHIỀU BIẾN

1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Đặt: z - một giá trị biến có phạm vi thay đổi R; R - trục số; D - diện tích trên mặt phẳng tọa độ R2.

Mọi ánh xạ D->R đều được gọi là hàm hai biến có miền D và được viết z = f(x;y).

Nói cách khác:

Nếu mỗi cặp (x; y) của hai biến độc lập từ miền D, theo một quy tắc nào đó, được liên kết với một giá trị z cụ thể từ R, thì giá trị biến z được gọi là hàm của hai biến độc lập x và y với miền D và được viết

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" Height="32 src=">

Ví dụ 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" Height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg"align="left" width="110" Height="89">

Miền định nghĩa là một phần của mặt phẳng nằm bên trong đường tròn bán kính r = 3, với tâm là gốc, xem hình.

Ví dụ 3. Tìm và vẽ miền xác định của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" Height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" Height="30 src=">

2. GIẢI THÍCH HÌNH HỌC VỀ CHỨC NĂNG CỦA HAI

BIẾN

2.1.Đồ thị của hàm hai biến

Chúng ta hãy xem xét một hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gian và vùng D trên mặt phẳng xOy. Tại mỗi điểm M(x;y) từ vùng này, chúng ta khôi phục đường vuông góc với mặt phẳng xOy và vẽ giá trị z = f(x;y) trên đó. Vị trí hình học của các điểm thu được

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" Height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" Height="23 src=">

Đây là các đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = C1/2 và phương trình

x2 + y2 = R2, xem hình.

Các đường mức giúp biểu diễn bề mặt đang được xem xét, tạo ra các đường tròn đồng tâm khi được cắt bởi các mặt phẳng z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" Height="29"> và tìm .

Giải pháp. Hãy sử dụng phương pháp phần.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 Height=60" Height="60">– trong mặt phẳng – một parabol.

– trong mặt phẳng – parabol.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" Height="24 src="> – hình tròn.

Bề mặt cần tìm là một paraboloid xoay.

Khoảng cách giữa hai điểm tùy ý và không gian (Euclide) được gọi là một số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 Height=24" Height="24"> được gọi vòng tròn mở bán kính có tâm tại điểm r.

Một đường tròn mở bán kính ε có tâm tại điểm A được gọi là - ε - vùng lân cận điểm A

3 nhiệm vụ

Tìm và mô tả bằng đồ họa miền định nghĩa của hàm:

Vẽ đường mức chức năng:

3. GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN

Các khái niệm cơ bản phân tích toán học, được giới thiệu cho hàm một biến, mở rộng cho hàm nhiều biến.

Sự định nghĩa:

Một hằng số A được gọi là giới hạn của hàm hai biến z = f(x;y) với x -> x0, y -> y0, nếu với bất kỳ

ε >0 tồn tại một δ >0 sao cho |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Thực tế này được chỉ ra như sau:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" Height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" Height="25 src=">. Đối với hàm hai biến, xu hướng đạt đến một điểm giới hạn trên mặt phẳng có thể xảy ra theo số lượng vô hạn hướng (và không nhất thiết phải theo đường thẳng), và do đó yêu cầu về sự tồn tại giới hạn của hàm hai (hoặc nhiều) biến là “chặt chẽ” hơn so với hàm một biến.

Ví dụ 1. Tìm thấy .

Giải pháp. Hãy để mong muốn đạt đến điểm giới hạn http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 Height=24" Height="24">. Sau đó

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 Height=48" Height="48"> tùy thuộc vào.

Ví dụ 2. Tìm thấy .

Giải pháp.Đối với bất kỳ đường thẳng nào, giới hạn là như nhau:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" Height="29">. Sau đó

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" Height="21">, (phần còn lại là tương tự).

Sự định nghĩa. Số đó được gọi là giới hạn hàm cho và , nếu cho sao cho các bất đẳng thức và bao hàm bất đẳng thức . Sự thật này được viết ngắn gọn như sau:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" Height="48">.gif" width="236" Height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" Height="60 src=">,

đâu là điểm giới hạn http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" Height="24 src="> với miền định nghĩa và để – điểm giới hạn của tập hợp, tức là điểm mà các đối số có xu hướng hướng tới X Và Tại.

Định nghĩa 1. Người ta nói rằng chức năng liên tục tại một điểm nếu:

1) ;

2) , I E. .

Chúng ta hãy xây dựng định nghĩa về tính liên tục ở dạng tương đương..gif" width="89" Height="25 src=">.gif" width="85 Height=24" Height="24"> liên tục tại một điểm nếu đẳng thức đúng

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" Height="20 src=">.gif" width="15 Height=16" Height="16"> hãy đưa ra một mức tăng tùy ý. Hàm sẽ nhận được mức tăng một phần bằng X

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" Height="25 src="> là hàm của một biến. Tương tự,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" Height="24"> được gọi liên tục tại một điểm trên một biến (trên một biến) nếu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" Height="36">).

Định lý.Nếu chức năngđược xác định trong một lân cận nhất định của một điểm và liên tục tại điểm này, thì nó liên tục tại điểm này trong mỗi biến.

Tuyên bố ngược lại là không đúng sự thật.

VÍ DỤ Hãy chứng minh rằng hàm

liên tục tại điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 chiều cao=16" chiều cao="16">.gif" chiều rộng="57" chiều cao="24 " > tại điểm tương ứng với mức tăng http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" Height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" Height="36 src=">, có nghĩa là nó liên tục tại một điểm trong biến.

Tương tự, người ta có thể chứng minh tính liên tục tại một điểm đối với một biến.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng không có giới hạn. Cho một điểm tiếp cận một điểm dọc theo đường thẳng đi qua điểm đó. Sau đó chúng tôi nhận được

Do đó, tiếp cận điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" Height="20">, chúng ta thu được các giá trị giới hạn khác nhau. Theo đó, giới hạn của điều này hàm không tồn tại tại thời điểm đó, có nghĩa là hàm http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" Height="48 src=">

Các chỉ định khác

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" Height="55 src=">

Các chỉ định khác

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" Height="28 src=">.

Giải pháp. Chúng ta có:

Ví dụ 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" Height="51 src=">

Ví dụ 3. Tìm đạo hàm riêng của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" Height="58 src=">

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm riêng của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" Height="54 src=">

5.2. Vi phân bậc một của hàm hai biến

Vi phân riêng phần của hàm số z = f(x, y) đối với các biến x và y lần lượt được xác định bởi các công thức x(x;y) và f"y(x;y) tồn tại tại điểm ( x0;y0) và trong một số vùng lân cận của nó và liên tục tại điểm này, sau đó, bằng cách tương tự với hàm một biến, một công thức được thiết lập cho mức tăng hoàn chỉnh của hàm hai biến

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" Height="57 src=">

trong đó http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" Height="39 src=">

Nói cách khác, hàm z = f(x, y) khả vi tại điểm (x, y) nếu gia số Δz của nó tương đương với hàm:

Sự biểu lộ

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" Height="57 src=">

Xét trường hợp Δx = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" Height="24 src="> khả vi tại điểm thì nó liên tục tại điểm này.

Mệnh đề ngược lại là sai, tức là tính liên tục chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ để tính khả vi của hàm số. Hãy thể hiện nó.

VÍ DỤ Hãy tìm đạo hàm riêng của hàm http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" Height="57 src=">.

Các công thức thu được mất ý nghĩa tại điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" Height="33 src="> không có đạo hàm riêng tại điểm đó. Trong thực tế, . Hàm một biến này, như đã biết, không có đạo hàm tại điểm http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" Height="48"> có không tồn tại tại điểm Tương tự, không có đạo hàm riêng. , rõ ràng là liên tục tại điểm .

Vì vậy, chúng ta đã chỉ ra rằng một hàm liên tục có thể không có đạo hàm riêng. Vẫn còn phải thiết lập mối liên hệ giữa khả vi và sự tồn tại của đạo hàm riêng.

5.4. Mối quan hệ giữa khả vi và sự tồn tại của đạo hàm riêng.

Định lý 1.Điều kiện cần để có khả năng phân biệt.

Nếu hàm z = f(x, y) khả vi tại điểm M(x, y), thì nó có đạo hàm riêng theo từng biến và tại điểm M.

Định lý ngược lại không đúng, tức là sự tồn tại của đạo hàm riêng là cần thiết nhưng không phải là điều kiện đủ để tính khả vi của hàm số.

Định lý 2. Đủ điều kiện tính khác biệt. Nếu hàm z = f(x, y) có đạo hàm riêng liên tục tại điểm , thì nó khả vi tại điểm đó (và tổng vi phân của nó tại điểm này được biểu thị bằng công thức http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 chiều cao=29" chiều cao="29">

Ví dụ 2. Tính 3.021,97

3 nhiệm vụ

Tính gần đúng bằng cách sử dụng vi phân:

5.6. Quy tắc phân biệt hàm phức và hàm ẩn. Đạo hàm đầy đủ.

Trường hợp 1.

z=f(u,v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Các hàm u và v là các hàm liên tục của các đối số x, y.

Do đó, hàm z là hàm phức của các đối số x và y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Giả sử rằng các hàm f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) có đạo hàm riêng liên tục đối với tất cả các đối số của chúng.

Hãy đặt nhiệm vụ tính toán http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" Height="44 src=">.

Hãy cho đối số x một mức tăng Δx, cố định giá trị của đối số y. Khi đó hàm hai biến u= φ(x, y) và

v= φ(x, y) sẽ nhận được mức tăng một phần Δxu và Δxv. Do đó, z=f(u, v) sẽ nhận được toàn bộ số gia được xác định trong đoạn 5.2 (vi phân bậc một của hàm hai biến):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" Height="43 src=">

Nếu xu→ 0 thì Δxu → 0 và Δxv → 0 (do tính liên tục của hàm u và v). Chuyển đến giới hạn tại Δx→ 0, ta thu được:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" Height="44 src="> (*)

VÍ DỤ

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" Height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" Height="44 src=">.gif" width="45" Height="44 src=">.

Khi đó sử dụng công thức (*) ta có:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" Height="44 src=">.

Để có được kết quả cuối cùng, trong hai công thức cuối, thay vì u và v, cần thay thế lần lượt еx+y² và x2+y.

Trường hợp 2.

Các hàm x và y là các hàm liên tục.

Do đó, hàm z=f(x, y) phụ thuộc thông qua x và y vào một biến độc lập t, tức là giả sử rằng x và y không phải là các biến độc lập mà là hàm của biến độc lập t và xác định đạo hàm http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" Height="44 src=">

Hãy chia cả hai vế của đẳng thức này cho Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" Height="44 src="> (**)

Trường hợp 3.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng vai trò của biến độc lập t được thực hiện bởi biến x, nghĩa là hàm z = f(x, y) phụ thuộc vào biến độc lập x cả trực tiếp và thông qua biến y, đó là a hàm liên tục của x.

Có tính đến điều đó http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" Height="44 src="> (***)

Đạo hàm x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" Height="27 src=">, y=sin x.

Tìm đạo hàm riêng

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" Height="48 src=">.gif" width="383" Height="48 src=">

Quy tắc đã được chứng minh để lấy đạo hàm các hàm phức tạp được áp dụng để tìm đạo hàm của hàm ẩn.

Đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm định.

Giả sử rằng phương trình

định nghĩa y là hàm ẩn của x có đạo hàm

y' = φ'(x)_

Thay y = φ(x) vào phương trình F(x, y) = 0, chúng ta sẽ phải thu được đẳng thức 0 = 0, vì y = φ(x) là một nghiệm của phương trình này. Do đó, chúng ta thấy rằng hằng số 0 có thể được coi là hàm phức tạp vào x, phụ thuộc vào x cả trực tiếp và thông qua y =φ(x).

Đạo hàm theo x của hằng số này phải bằng 0; Áp dụng quy tắc (***), ta có

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" Height="41 src=">

Kể từ đây,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" Height="24"> đúng cho cả hàm này và hàm kia.

5.7. Tổng số chênh lệch của đơn hàng đầu tiên. Bất biến dạng vi phân bậc nhất

Hãy thay thế các biểu thức cho http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" Height="41 src="> được xác định bởi đẳng thức (*) (xem trường hợp 1 trong mệnh đề 5.6 “Quy tắc vi phân hàm phức và hàm ẩn. Đạo hàm tổng”) thành công thức vi phân tổng.

Gif" width="33" Height="19 src=">.gif" width="33" Height="19 src=">.gif" width="140" Height="44 src=">

Khi đó công thức vi phân tổng bậc một của hàm hai biến có dạng

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" Height="41 src=">

So sánh đẳng thức cuối cùng với công thức vi phân bậc nhất của hàm hai biến độc lập, chúng ta có thể nói rằng biểu thức vi phân bậc một đầy đủ của hàm nhiều biến có dạng giống như nếu u và v là các biến độc lập.

Nói cách khác, dạng của vi phân thứ nhất là bất biến, nghĩa là nó không phụ thuộc vào việc các biến u và v là các biến độc lập hay phụ thuộc vào các biến khác.

VÍ DỤ

Tìm tổng vi phân cấp một của hàm phức

z=u2v3, u=x2 tội lỗi y, v=x3·ey.

Giải. Sử dụng công thức tính tổng vi phân cấp 1, chúng ta có.

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x tội lỗi y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Biểu thức này có thể được viết lại như thế này

dz=(2uv3 2x sin+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 ấm+3u2v2x3 ey) dy=

Tính chất bất biến của vi phân cho phép chúng ta mở rộng quy tắc tìm vi phân của tổng, tích và thương cho trường hợp hàm nhiều biến:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" Height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" Height="41 src=">. Cái này

hàm sẽ đồng nhất bậc ba với mọi x, y và t thực. Hàm tương tự sẽ là bất kỳ đa thức đồng nhất nào theo x và y bậc ba, tức là một đa thức như vậy trong mỗi số hạng mà tổng số mũ xn bằng ba:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" Height="47 src=">

lần lượt là các hàm đồng nhất bậc 1, 0 và (- 1)..jpg" width="36" Height="15">. Thật vậy,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" Height="29 src=">

Giả sử t=1, chúng ta tìm thấy

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" Height="22 src=">

Đạo hàm một phần http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" Height="30 src=">), nói chung

Nói cách khác, chúng là hàm của các biến x và y. Do đó, đạo hàm riêng có thể được tìm lại từ chúng. Do đó, có bốn đạo hàm riêng bậc hai của hàm hai biến, vì mỗi hàm và có thể vi phân theo cả x và y.

Đạo hàm riêng thứ hai được ký hiệu như sau:

là đạo hàm cấp n; ở đây hàm z đầu tiên được lấy vi phân p lần đối với x, và sau đó là n - p lần đối với y.

Đối với hàm có số lượng biến bất kỳ, đạo hàm riêng bậc cao hơn được xác định tương tự.

P R Và tôi e r 1. Tính đạo hàm riêng bậc hai của hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" Height="87 src=">

Ví dụ 2. Tính toán và http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" Height="97 src=">

Ví dụ 3. Tính toán nếu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" Height="36 src=">

x, f"y, f"xy và f"yx được xác định và liên tục tại điểm M(x, y) và trong một số lân cận của nó thì tại điểm này

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 chiều cao=28" chiều cao="28">.jpg" chiều rộng="523" chiều cao="128 src=">

Kể từ đây,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" Height="30 src=">

Giải pháp.

Các dẫn xuất hỗn hợp đều bằng nhau.

5.10. Vi phân bậc cao của hàm sốNbiến.

Tổng chênh lệch d bạn hàm của nhiều biến lần lượt là hàm của cùng một biến và chúng ta có thể xác định tổng vi phân của hàm này chức năng cuối cùng. Do đó, chúng ta sẽ thu được vi phân bậc hai d2u của hàm ban đầu và cũng sẽ là hàm của cùng các biến và vi phân hoàn chỉnh của nó sẽ dẫn chúng ta đến vi phân bậc ba d3u của hàm ban đầu, v.v.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn trường hợp hàm u=f(x, y) của hai biến x và y và giả sử rằng các biến x và y là các biến độc lập. A-tu viện

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" Height="186 src=">

Tính d3u theo cách tương tự, ta được

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" Height="61 src="> (*)-

Hơn nữa, công thức này nên được hiểu như sau: số tiền trị giá dấu ngoặc đơn, phải được nâng lên lũy thừa n, sử dụng Công thức nhị thức Newton, sau đó số mũ của y và http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" Height="21 src=" >.gif" width="22" Height="27"> với các cosin hướng cos α, cos β (α + β = 90°). Trên vectơ, xét điểm M1(x + Δx; y + Δy). Khi di chuyển từ điểm M đến điểm M1, hàm z = f(x; y) sẽ nhận toàn bộ số gia

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 Height=27" Height="27"> có xu hướng về 0 (xem hình).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" Height="54 src=">

trong đó http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" Height="41 src="> và do đó chúng tôi nhận được:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" Height="41 src="> tại Δs->0 được gọi là sản xuất

hàm nước z = f(x; y) tại điểm (x; y) theo hướng của vectơ và được ký hiệu là

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" Height="51 src="> (*)

Vì vậy, biết đạo hàm riêng của hàm số

z = f(x; y) bạn có thể tìm đạo hàm của hàm này theo bất kỳ hướng nào và mỗi đạo hàm riêng là một trường hợp đặc biệt của đạo hàm có hướng.

VÍ DỤ Tìm đạo hàm của một hàm số

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" Height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" Height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 chiều cao=62" chiều cao="62">

Do đó, hàm z = f(x;y) tăng theo một hướng nhất định.

5. 12 . Dốc

Độ dốc của hàm z = f(x; y) là một vectơ có tọa độ là đạo hàm riêng tương ứng của hàm này

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" Height="56 src=">

tức là..jpg" width="89" Height="33 src=">

tại điểm M(3;4).

Giải pháp.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" Height="56 src=">