Ví dụ về công thức nội suy tuyến tính. Sử dụng phép ngoại suy trong Microsoft Excel

Có một tình huống khi bạn cần tìm trong một mảng các giá trị đã biết kết quả trung gian. Trong toán học, điều này được gọi là nội suy. Trong Excel phương pháp này có thể được sử dụng cho cả dữ liệu dạng bảng và để xây dựng biểu đồ. Chúng ta hãy xem xét từng phương pháp này.

Điều kiện chính để có thể sử dụng phép nội suy là giá trị mong muốn phải nằm trong mảng dữ liệu chứ không nằm ngoài giới hạn của nó. Ví dụ: nếu chúng ta có một tập hợp các đối số 15, 21 và 29 thì chúng ta có thể sử dụng phép nội suy để tìm hàm cho đối số 25. Nhưng không còn cách nào để tìm giá trị tương ứng cho đối số 30 nữa. Đây là sự khác biệt chính giữa thủ tục này và phép ngoại suy.

Cách 1: Nội suy cho dữ liệu dạng bảng

Trước hết, chúng ta hãy xem xét các ứng dụng của phép nội suy cho dữ liệu nằm trong bảng. Ví dụ: hãy lấy một mảng các đối số và các giá trị hàm tương ứng của chúng, mối quan hệ của chúng có thể được mô tả phương trình đường thẳng. Dữ liệu này được hiển thị trong bảng dưới đây. Chúng ta cần tìm hàm tương ứng cho đối số 28 . Cách dễ nhất để làm điều này là sử dụng toán tử SỰ DỰ ĐOÁN.

Cách 2: Nội suy biểu đồ bằng cách sử dụng cài đặt của nó

Thủ tục nội suy cũng có thể được sử dụng khi xây dựng đồ thị hàm số. Sẽ có liên quan nếu bảng chứa biểu đồ không chỉ ra giá trị hàm tương ứng cho một trong các đối số, như trong hình bên dưới.

Như bạn có thể thấy, biểu đồ đã được sửa và khoảng cách đã được xóa bằng phép nội suy.

Cách 3: Nội suy đồ thị bằng hàm

Bạn cũng có thể nội suy biểu đồ bằng cách sử dụng chức năng đặc biệt ND. Nó trả về các giá trị không xác định trong ô được chỉ định.

Bạn có thể làm điều đó dễ dàng hơn mà không cần chạy Trình hướng dẫn chức năng, và chỉ cần sử dụng bàn phím để nhập giá trị vào ô trống "#Không có" không có dấu ngoặc kép. Nhưng nó phụ thuộc vào những gì thuận tiện hơn cho người dùng nào.

Như bạn có thể thấy, trong Excel bạn có thể nội suy dưới dạng dữ liệu dạng bảng bằng hàm SỰ DỰ ĐOÁN và đồ họa. Trong trường hợp sau, điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng cài đặt biểu đồ hoặc sử dụng chức năng ND, gây ra lỗi "#Không có". Việc lựa chọn phương pháp nào để sử dụng tùy thuộc vào báo cáo vấn đề cũng như sở thích cá nhân của người dùng.

Đây là một chương trong cuốn sách của Bill Jelen.

Thách thức: Một số vấn đề thiết kế kỹ thuật yêu cầu sử dụng bảng để tính các giá trị tham số. Vì các bảng là rời rạc nên người thiết kế sử dụng phép nội suy tuyến tính để thu được giá trị tham số trung gian. Bảng (Hình 1) bao gồm độ cao so với mặt đất (tham số điều khiển) và tốc độ gió (tham số tính toán). Ví dụ: nếu bạn cần tìm tốc độ gió tương ứng với độ cao 47 mét thì bạn nên áp dụng công thức: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/giây.

Tải xuống ghi chú ở định dạng hoặc, ví dụ ở định dạng

Nếu có hai tham số điều khiển thì sao? Có thể thực hiện các phép tính bằng một công thức không? Bảng (Hình 2) hiển thị các giá trị áp lực gió cho các độ cao và nhịp khác nhau của kết cấu. Cần tính toán áp lực gió ở độ cao 25 ​​mét và nhịp 300 mét.

Giải pháp: Chúng tôi giải quyết vấn đề bằng cách mở rộng phương pháp được sử dụng cho trường hợp với một tham số điều khiển. Thực hiện theo các bước sau:

Bắt đầu với bảng hiển thị trong Hình. 2. Thêm các ô nguồn cho chiều cao và nhịp tương ứng trong J1 và J2 (Hình 3).

Cơm. 3. Công thức trong ô J3:J17 giải thích hoạt động của công thức lớn

Để dễ sử dụng công thức, hãy xác định tên (Hình 4).

Xem công thức hoạt động tuần tự từ ô J3 đến ô J17.

Sử dụng phép thế tuần tự ngược để xây dựng công thức lớn. Sao chép văn bản công thức từ ô J17 sang J19. Thay thế tham chiếu đến J15 trong công thức bằng giá trị trong ô J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. Và như thế. Kết quả là một công thức bao gồm 984 ký tự không thể hiểu được ở dạng này. Bạn có thể xem nó trong file Excel đính kèm. Tôi không chắc liệu loại công thức lớn này có hữu ích hay không.

Tóm tắt: Nội suy tuyến tính được sử dụng để thu được giá trị trung gian của một tham số nếu giá trị bảng chỉ được chỉ định cho ranh giới phạm vi; Một phương pháp tính toán sử dụng hai tham số điều khiển được đề xuất.

Nội suy. Giới thiệu. Tuyên bố chung về vấn đề

Khi giải quyết các vấn đề khác nhau vấn đề thực tế kết quả nghiên cứu được trình bày dưới dạng bảng biểu diễn sự phụ thuộc của một hoặc nhiều đại lượng đo vào một tham số xác định (đối số). Các loại bảng này thường được trình bày dưới dạng hai hàng (cột) trở lên và được sử dụng để tạo thành các mô hình toán học.

Được quy định theo bảng mô hình toán học Hàm thường được viết dưới dạng bảng:

Thông tin hạn chế được cung cấp bởi các bảng như vậy trong một số trường hợp đòi hỏi phải lấy các giá trị của hàm Y j (X) (j=1,2,…,m) tại các điểm X không trùng với các điểm nút của bảng X i (i=0,1,2,… ,n) . Trong những trường hợp như vậy, cần xác định một số biểu thức giải tích φ j(X) để tính các giá trị gần đúng của hàm đang nghiên cứu Yj(X) tại các điểm X tùy ý xác định. Hàm φ j (X) dùng để xác định các giá trị gần đúng của hàm Y j (X) được gọi là hàm gần đúng (từ tiếng Latin xấp xỉ - tiệm cận). Độ gần của hàm xấp xỉ φ j (X) với hàm xấp xỉ Y j (X) được đảm bảo bằng cách chọn thuật toán xấp xỉ thích hợp.

Chúng tôi sẽ thực hiện tất cả những cân nhắc và kết luận sâu hơn đối với các bảng chứa dữ liệu ban đầu của một hàm đang được nghiên cứu (tức là đối với các bảng có m=1).

1. Phương pháp nội suy

1.1 Phát biểu bài toán nội suy

Thông thường, để xác định hàm φ(X), một công thức được sử dụng, gọi là công thức của bài toán nội suy.

Trong công thức cổ điển này của bài toán nội suy, cần phải xác định hàm phân tích gần đúng φ(X), các giá trị của hàm này tại các điểm nút X i khớp các giá trị Y(Х i ) của bảng gốc, tức là điều kiện

Hàm gần đúng φ(X) được xây dựng theo cách này cho phép người ta thu được một giá trị gần đúng khá gần với hàm nội suy Y(X) trong phạm vi giá trị của đối số [X 0 ; X n ], được xác định theo bảng. Khi chỉ định các giá trị của đối số X, không thuộc về khoảng này, bài toán nội suy được chuyển thành bài toán ngoại suy. Trong những trường hợp này, độ chính xác

các giá trị thu được khi tính các giá trị của hàm φ(X) phụ thuộc vào khoảng cách từ giá trị của đối số X đến X 0, nếu X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

Tại mô hình toán học hàm nội suy có thể được sử dụng để tính các giá trị gần đúng của hàm đang nghiên cứu tại các điểm trung gian của các khoảng con [Х i ; X i+1 ]. Thủ tục này được gọi là nén bảng.

Thuật toán nội suy được xác định bằng phương pháp tính các giá trị của hàm φ(X). Tùy chọn đơn giản và rõ ràng nhất để thực hiện hàm nội suy là thay thế hàm đang nghiên cứu Y(X) trên khoảng [X i ; X i+1 ] bằng đường thẳng nối các điểm Y i , Y i+1 . Phương pháp này được gọi là phương pháp phép nội suy tuyến tính.

1.2 Nội suy tuyến tính

Với phép nội suy tuyến tính, giá trị của hàm số tại điểm X nằm giữa nút X i và X i+1 được xác định bằng công thức đường thẳng nối hai điểm liền kề của bảng

Trong bộ lễ phục. Hình 1 thể hiện ví dụ về bảng thu được từ kết quả đo của một đại lượng Y(X) nhất định. Các hàng của bảng nguồn được đánh dấu. Bên phải bảng là biểu đồ phân tán tương ứng với bảng này. Bảng được nén bằng công thức

(3) các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm X tương ứng với trung điểm của các khoảng con (i=0, 1, 2, …, n).

Hình.1. Bảng rút gọn của hàm Y(X) và sơ đồ tương ứng của nó

Khi xem xét đồ thị trong hình. 1 có thể thấy, các điểm thu được do nén bảng bằng phương pháp nội suy tuyến tính nằm trên các đoạn thẳng nối các điểm của bảng gốc. Độ chính xác tuyến tính

nội suy, phụ thuộc đáng kể vào bản chất của hàm nội suy và vào khoảng cách giữa các nút của bảng X i, , X i+1.

Rõ ràng, nếu chức năng hoạt động trơn tru thì ngay cả với tương đối khoảng cách xa giữa các nút, một đồ thị được xây dựng bằng cách nối các điểm với các đoạn thẳng cho phép đánh giá khá chính xác bản chất của hàm Y(X). Nếu hàm thay đổi khá nhanh và khoảng cách giữa các nút lớn thì hàm nội suy tuyến tính không cho phép thu được xấp xỉ đủ chính xác với hàm thực.

Hàm nội suy tuyến tính có thể được sử dụng cho các trường hợp tổng quát phân tích sơ bộ và đánh giá tính đúng đắn của kết quả nội suy, sau đó thu được bằng các phương pháp khác chính xác hơn. Đánh giá này trở nên đặc biệt phù hợp trong trường hợp tính toán được thực hiện thủ công.

1.3 Nội suy theo đa thức chính tắc

Phương pháp nội suy hàm số bằng đa thức chính tắc dựa trên việc xây dựng hàm nội suy dưới dạng đa thức có dạng [1]

Các hệ số c i của đa thức (4) là các tham số nội suy tự do, được xác định từ điều kiện Lagrange:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Sử dụng (4) và (5) chúng ta viết hệ phương trình

Vectơ nghiệm i (i = 0, 1, 2, …, n) của hệ tuyến tính phương trình đại số(6) tồn tại và có thể tìm thấy nếu không có nút nào trùng khớp giữa i. Định thức của hệ (6) được gọi là định thức Vandermonde1 và có biểu thức phân tích [2].

1 định thức Vandermonde gọi là yếu tố quyết định

Anh ta bằng 0 khi và chỉ nếu xi = xj đối với một số. (Tài liệu từ Wikipedia - bách khoa toàn thư miễn phí)

Để xác định giá trị của các hệ số có i (i = 0, 1, 2, …, n)

phương trình (5) có thể viết dưới dạng ma trận vectơ

A* C= Y,

trong đó A, ma trận các hệ số xác định theo bảng độ của vectơ đối số X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

C là vectơ cột của các hệ số i (i = 0, 1, 2, …, n) và Y là vectơ cột của các giá trị Y i (i = 0, 1, 2, …, n) của nội suy chức năng tại các nút nội suy.

Lời giải của hệ phương trình đại số tuyến tính này có thể thu được bằng cách sử dụng một trong các phương pháp được mô tả trong [3]. Ví dụ, theo công thức

trong đó A -1 là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Để có được ma trận nghịch đảo A -1 bạn có thể sử dụng hàm MOBR() có trong bộ tính năng tiêu chuẩn chương trình Microsoft Excel.

Sau khi các giá trị của các hệ số với i được xác định bằng hàm (4), các giá trị của hàm nội suy có thể được tính cho bất kỳ giá trị nào của đối số.

Hãy viết ma trận A cho bảng như trong Hình 1 mà không tính đến các hàng làm gọn bảng.

Hình 2 Ma trận của hệ phương trình tính các hệ số của đa thức chính tắc

Sử dụng hàm MOBR(), chúng ta thu được ma trận A -1 nghịch đảo của ma trận A (Hình 3). Sau đó, theo công thức (9) ta thu được vectơ các hệ số C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T như hình vẽ. 4.

Để tính các giá trị của đa thức chính tắc trong ô của cột chính tắc Y tương ứng với các giá trị x 0, ta nhập biến đổi thành lượt xem tiếp theo công thức tương ứng với đường zero của hệ (6)

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Thay vì viết " c i " trong công thức được nhập vào ô bảng excel, phải đứng tham chiếu tuyệt đối vào ô tương ứng chứa hệ số này (xem Hình 4). Thay vì "x 0" - liên kết tương đối trên mỗi ô của cột X (xem Hình 5).

Y canonical(0) của giá trị khớp với giá trị trong ô Ylin(0) . Khi giãn công thức viết vào ô Y chuẩn (0) thì các giá trị của Y chuẩn (i) tương ứng với các điểm nút của gốc cũng phải trùng nhau

các bảng (xem Hình 5).

Cơm. 5. Sơ đồ được xây dựng bằng bảng nội suy tuyến tính và chính tắc

Chúng ta thấy sự so sánh các đồ thị hàm số được xây dựng từ các bảng được tính toán bằng cách sử dụng các công thức nội suy tuyến tính và chính tắc trong một số nút trung gianđộ lệch đáng kể của các giá trị thu được bằng cách sử dụng các công thức nội suy tuyến tính và chính tắc. Đánh giá hợp lý hơn về tính chính xác của phép nội suy có thể dựa trên việc thu được thông tin thêm về bản chất của quá trình được mô hình hóa.

Kiểu nội suy cục bộ đơn giản và được sử dụng phổ biến nhất là phép nội suy tuyến tính. Đó là cái đó điểm nhất định (x Tôi , y Tôi) Tại ( tôi = 0. 1, ..., n) được nối bằng các đoạn thẳng và hàm số f(x) một đường đa giác có các đỉnh tại các điểm này đang tiến đến gần.

Các phương trình của từng đoạn của đường đứt nét nhìn chung là khác nhau. Vì có n khoảng ( x Tôi - 1, x Tôi), thì với mỗi chúng, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm được sử dụng làm phương trình của đa thức nội suy. Cụ thể, đối với khoảng thứ i chúng ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm ( x Tôi -1, y Tôi -1 ) Và ( x Tôi , y Tôi), BẰNG

tôi =

Do đó, khi sử dụng phép nội suy tuyến tính, trước tiên bạn cần xác định khoảng mà giá trị của đối số x rơi vào, sau đó thay thế vào công thức (*) và tìm giá trị gần đúng của hàm tại thời điểm này

Hình 3-3-Đồ thị nội suy tuyến tính.

1. Giải quyết vấn đề chuyên môn

Chúng tôi duy trì dữ liệu thử nghiệm

ORIGIN:=0 Bắt đầu mảng dữ liệu - đếm từ đầu

Tôi:=1..6 Số phần tử trong mảng

Dữ liệu thực nghiệm được tổ chức thành hai vectơ

Hãy thực hiện phép nội suy bằng các hàm MathCad tích hợp

Phép nội suy tuyến tính

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

Nội suy thông khối

CS:=cspline(x,y)

Xây dựng một spline khối bằng cách sử dụng dữ liệu thực nghiệm

Lf(x i):=linterp(x,y,x i)

Nội suy B-spline

Đặt thứ tự nội suy. Vectơ u phải có ít hơn (n-1) phần tử so với vectơ x và phần tử đầu tiên phải nhỏ hơn hoặc bằng phần tử đầu tiên x và phần tử cuối cùng lớn hơn hoặc bằng phần tử cuối cùng của x.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Chúng tôi xây dựng B-spline dựa trên dữ liệu thực nghiệm

BSf(x i):=(BS, x,y,x i)

Chúng tôi xây dựng một biểu đồ của tất cả các hàm gần đúng trên một mặt phẳng tọa độ.

Hình 4.1-Đồ thị của tất cả các hàm xấp xỉ trên một mặt phẳng tọa độ.

Phần kết luận

Trong toán học tính toán, phép nội suy các hàm đóng một vai trò quan trọng, tức là xây dựng bởi hàm đã cho một cái khác (thường đơn giản hơn), có giá trị trùng với giá trị của một hàm nhất định tại một số điểm nhất định. Hơn nữa, phép nội suy còn có ý nghĩa cả về mặt lý thuyết và thực tiễn. Trong thực tế, vấn đề thường nảy sinh khi khôi phục một hàm liên tục từ các giá trị được lập bảng của nó, chẳng hạn, thu được trong quá trình thử nghiệm. Để đánh giá nhiều hàm, hóa ra việc tính gần đúng chúng bằng đa thức hoặc hàm hữu tỉ phân số là hiệu quả. Lý thuyết nội suy được sử dụng trong việc xây dựng và nghiên cứu các công thức bậc hai để tích phân số, để thu được phương pháp giải các phương trình vi phân và tích phân. Nhược điểm chính của phép nội suy đa thức là nó không ổn định trên một trong những lưới thuận tiện và được sử dụng phổ biến nhất - lưới có các nút cách đều nhau. Nếu nhiệm vụ cho phép, vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách chọn lưới có các nút Chebyshev. Nếu chúng ta không thể tự do lựa chọn các nút nội suy hoặc đơn giản là chúng ta cần một thuật toán không quá khắt khe trong việc lựa chọn các nút thì phép nội suy hợp lý có thể là một giải pháp thay thế phù hợp cho phép nội suy đa thức.

Ưu điểm của nội suy spline bao gồm tốc độ xử lý cao của thuật toán tính toán, vì spline là hàm đa thức từng phần và trong quá trình nội suy, dữ liệu được xử lý đồng thời cho một số lượng nhỏ các điểm đo thuộc đoạn được xem xét trong khoảnh khắc này. Bề mặt nội suy mô tả sự biến đổi không gian quy mô khác nhauđồng thời mượt mà. Trường hợp thứ hai giúp có thể phân tích trực tiếp hình học và cấu trúc liên kết của bề mặt bằng các quy trình phân tích

Có những trường hợp bạn cần biết kết quả của phép tính hàm bên ngoài vùng đã biết. Đặc biệt có liên quan câu hỏi này cho quá trình dự báo. Trong Excel có một số cách bạn có thể thực hiện hoạt động này. Hãy xem xét chúng với các ví dụ cụ thể.

Cách 2: Ngoại suy cho đồ thị

Bạn có thể thực hiện quy trình ngoại suy cho biểu đồ bằng cách vẽ đường xu hướng.

1. Trước hết, chúng tôi tự xây dựng biểu đồ. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng con trỏ trong khi giữ nút chuột trái để chọn toàn bộ khu vực của bảng, bao gồm các đối số và giá trị hàm tương ứng. Sau đó chuyển sang tab "Chèn", nhấn nút "Lịch trình". Biểu tượng này nằm trong khối "Sơ đồ" trên đai dụng cụ. Một danh sách xuất hiện Tùy chọn có sẵnđồ thị. Chúng tôi chọn cái phù hợp nhất theo quyết định của chúng tôi.



2. Sau khi biểu đồ được xây dựng, hãy xóa dòng đối số bổ sung khỏi biểu đồ bằng cách chọn nó và nhấp vào nút Xóa bỏ trên bàn phím máy tính.



3. Tiếp theo, chúng ta cần thay đổi cách chia của tỷ lệ ngang, vì nó không hiển thị các giá trị của đối số như chúng ta cần. Để thực hiện việc này, hãy nhấp vào click chuột phải di chuột qua sơ đồ và trong danh sách xuất hiện, dừng lại ở giá trị "Chọn dữ liệu".



4. Trong cửa sổ chọn nguồn dữ liệu mở ra, nhấp vào nút "Thay đổi" trong khối chỉnh sửa nhãn trục ngang.



5. Cửa sổ cài đặt chữ ký trục sẽ mở ra. Đặt con trỏ vào trường của cửa sổ này, sau đó chọn tất cả dữ liệu trong cột "X" không có tên của nó. Sau đó bấm vào nút "ĐƯỢC RỒI".



6. Sau khi quay lại cửa sổ chọn nguồn dữ liệu, chúng ta lặp lại thao tác tương tự, đó là nhấn vào nút "ĐƯỢC RỒI".



7. Bây giờ biểu đồ của chúng ta đã được chuẩn bị và chúng ta có thể trực tiếp bắt đầu xây dựng đường xu hướng. Nhấp vào biểu đồ, sau đó nó sẽ được kích hoạt trên ribbon bộ bổ sung tab – "Làm việc với sơ đồ". Di chuyển đến tab "Cách trình bày" và nhấn nút “Đường xu hướng” trong khối "Phân tích". Bấm vào mục "Xấp xỉ tuyến tính" hoặc "Xấp xỉ hàm mũ".



8. Đường xu hướng đã được thêm vào, nhưng nó hoàn toàn nằm bên dưới đường của biểu đồ, vì chúng ta chưa chỉ định giá trị của đối số mà nó hướng tới. Để làm điều này, bấm vào nút một lần nữa. “Đường xu hướng”, nhưng bây giờ hãy chọn mục « Tùy chọn bổ sungđường xu hướng".



9. Cửa sổ định dạng đường xu hướng sẽ mở ra. Trong chuong "Tùy chọn đường xu hướng" có một khối cài đặt "Dự báo". Như trong phương pháp trước đó, hãy lấy lập luận cho phép ngoại suy 55 . Như chúng ta có thể thấy, cho đến nay biểu đồ có độ dài bằng đối số 50 bao gồm. Hóa ra là chúng ta sẽ cần phải mở rộng nó cho người khác 5 các đơn vị. Trên trục hoành bạn có thể thấy rằng 5 đơn vị bằng một phép chia. Vì vậy, đây là một thời kỳ. Trong lĩnh vực "Chuyển tiếp" nhập giá trị "1". Nhấn nút "Đóng"ở góc dưới bên phải của cửa sổ.



10. Như bạn có thể thấy, biểu đồ đã được kéo dài theo độ dài xác định bằng cách sử dụng đường xu hướng.

Vì vậy, chúng ta đã xem xét các ví dụ đơn giản nhất về phép ngoại suy cho bảng và đồ thị. Trong trường hợp đầu tiên, hàm được sử dụng SỰ DỰ ĐOÁN, và trong phần thứ hai - một đường xu hướng. Nhưng dựa trên những ví dụ này, bạn có thể quyết định nhiều hơn nhiệm vụ phức tạp dự báo.