Nội suy tuyến tính trực tuyến. Cách thực hiện phép nội suy

Nội suy là một loại phép tính gần đúng trong đó đường cong của hàm được xây dựng đi chính xác qua các điểm dữ liệu có sẵn.

Ngoài ra còn có một nhiệm vụ gần với phép nội suy, bao gồm việc xấp xỉ một số hàm phức tạp chức năng khác đơn giản hơn. Nếu một hàm nào đó quá phức tạp để tính toán hiệu quả, bạn có thể thử tính giá trị của nó tại một số điểm và từ đó xây dựng, tức là nội suy, hơn thế nữa chức năng đơn giản. Tất nhiên, sử dụng hàm đơn giản hóa không cho kết quả chính xác như hàm ban đầu. Nhưng trong một số loại bài toán, kết quả đạt được về tính đơn giản và tốc độ tính toán có thể lớn hơn sai số trong kết quả.

Điều đáng nói nữa là một loại nội suy toán học hoàn toàn khác được gọi là nội suy toán tử. Các công trình cổ điển về nội suy toán tử bao gồm định lý Riesz-Thorin và định lý Marcinkiewicz, là cơ sở cho nhiều công trình khác.

Các định nghĩa

Hãy xem xét một hệ thống các điểm không trùng nhau () từ một khu vực nhất định. Để các giá trị hàm chỉ được biết tại các điểm sau:

Bài toán nội suy là tìm một hàm từ một lớp hàm cho trước sao cho

Ví dụ

1. Hãy để chúng tôi có chức năng bảng, giống như mô tả bên dưới, đối với một số giá trị sẽ xác định các giá trị tương ứng:

Nội suy giúp chúng ta tìm ra giá trị nào mà hàm như vậy có thể có tại một điểm khác với giá trị được chỉ định (ví dụ: tại x = 2,5).

Đến nay đã có rất nhiều theo nhiều cách khác nhau nội suy. Việc lựa chọn thuật toán phù hợp nhất phụ thuộc vào câu trả lời cho các câu hỏi: phương pháp được chọn chính xác đến mức nào, chi phí sử dụng nó là bao nhiêu, hàm nội suy mượt mà như thế nào, cần bao nhiêu điểm dữ liệu, v.v.

2. Tìm giá trị trung gian (bằng nội suy tuyến tính).

Phương pháp nội suy

Nội suy lân cận gần nhất

Phương pháp nội suy đơn giản nhất là nội suy lân cận gần nhất.

Nội suy bằng đa thức

Trong thực tế, phép nội suy bằng đa thức thường được sử dụng nhất. Điều này chủ yếu là do các đa thức dễ tính toán, đạo hàm của chúng dễ tìm thấy bằng phương pháp phân tích và tập hợp các đa thức dày đặc trong không gian của các hàm liên tục (định lý Weierstrass).

• IMN-1 và IMN-2
• Đa thức Lagrange (đa thức nội suy)
• Theo sơ đồ Aitken

Nội suy nghịch đảo (tính x cho y)

• Nội suy ngược sử dụng công thức Newton

Nội suy hàm nhiều biến

Các phương pháp nội suy khác

• nội suy lượng giác

Các khái niệm liên quan

• Ngoại suy - phương pháp tìm điểm bên ngoài khoảng thời gian xác định(mở rộng đường cong)
• Xấp xỉ - phương pháp xây dựng đường cong gần đúng

Xem thêm

• Làm mịn dữ liệu thử nghiệm

Quỹ Wikimedia. 2010.

Xem “Nội suy” là gì trong các từ điển khác:

1) một cách để xác định, từ một chuỗi các giá trị đã cho của bất kỳ biểu thức toán học nào, các giá trị trung gian của nó; vì vậy, ví dụ, theo tầm bay của đạn đại bác ở góc nâng của trục kênh pháo là 1°, 2°, 3°, 4°, v.v., có thể xác định bằng cách sử dụng... ... Từ điển từ nước ngoài của tiếng Nga

Chèn, nội suy, bao gồm, tìm kiếm Từ điển từ đồng nghĩa tiếng Nga. nội suy, xem hộp Từ điển từ đồng nghĩa của tiếng Nga. Hướng dẫn thực hành. M.: Tiếng Nga. Z. E. Alexandrova. 2... Từ điển đồng nghĩa

phép nội suy- Tính các giá trị trung gian giữa hai điểm đã biết. Ví dụ: tuyến tính tuyến tính nội suy nội suy hàm mũ Quá trình xuất ra một hình ảnh màu khi các pixel thuộc vùng giữa hai màu... ... Hướng dẫn dịch thuật kỹ thuật

- (nội suy) Ước tính giá trị của một đại lượng chưa biết nằm giữa hai điểm trong một chuỗi các đại lượng đã biết. Ví dụ, biết các chỉ số về dân số của đất nước thu được từ cuộc điều tra dân số được thực hiện trong khoảng thời gian 10 năm, bạn có thể... ... Từ điển thuật ngữ kinh doanh

Thực ra là từ tiếng Latin, "giả". Đây là tên được đặt cho những sửa đổi sai sót hoặc những phần chèn vào sau này trong các bản thảo do người sao chép hoặc độc giả thực hiện. Thuật ngữ này được sử dụng đặc biệt thường xuyên khi phê bình các bản thảo của các nhà văn cổ đại. Trong những bản thảo này... ... Bách khoa toàn thư văn học

Tìm các giá trị trung gian của một mẫu (hàm) nhất định dựa trên một số giá trị đã biết của nó. Trong tiếng Anh: Nội suy Xem thêm: Biến đổi dữ liệu Từ điển tài chính Finam... Từ điển tài chính

phép nội suy- và, f. nội suy f. lat. thay đổi nội suy; sự thay đổi, biến dạng. 1. Chèn gốc muộn hơn trong đó l. văn bản không thuộc về bản gốc. BAS 1. Trong các bản thảo cổ có rất nhiều lối nội suy được người ghi chép đưa vào. Úp. 1934. 2 … Từ điển lịch sử Chủ nghĩa Gallic của tiếng Nga

NỘI DUNG- (nội suy), bổ sung theo kinh nghiệm. một chuỗi các giá trị của một đại lượng bị thiếu các giá trị trung gian. Nội suy có thể được thực hiện theo ba cách: toán học, đồ họa. và logic. Chúng dựa trên một giả thuyết chung rằng... Bách khoa toàn thư y học lớn

- (từ tiếng Latin nội suy thay đổi, thay đổi), tìm giá trị trung gian của một đại lượng dựa trên một số giá trị đã biết của nó. Ví dụ tìm các giá trị của hàm y = f(x) tại các điểm x nằm giữa các điểm x0 và xn, x0... Bách khoa toàn thư hiện đại

- (từ tiếng Latin thay đổi nội suy), trong toán học và thống kê, tìm các giá trị trung gian của một đại lượng dựa trên một số giá trị đã biết của nó. Ví dụ tìm các giá trị của hàm f(x) tại các điểm x nằm giữa các điểm xo x1 ... xn, by... ... Từ điển bách khoa lớn

Có một tình huống khi bạn cần tìm trong một mảng các giá trị đã biết kết quả trung gian. Trong toán học, điều này được gọi là nội suy. TRONG Excel đã cho Phương pháp này có thể được sử dụng cho cả dữ liệu dạng bảng và vẽ đồ thị. Chúng ta hãy xem xét từng phương pháp này.

Điều kiện chính để có thể sử dụng phép nội suy là giá trị mong muốn phải nằm trong mảng dữ liệu chứ không nằm ngoài giới hạn của nó. Ví dụ: nếu chúng ta có một tập hợp các đối số 15, 21 và 29 thì chúng ta có thể sử dụng phép nội suy để tìm hàm cho đối số 25. Nhưng không còn cách nào để tìm giá trị tương ứng cho đối số 30 nữa. Đây là sự khác biệt chính giữa thủ tục này và phép ngoại suy.

Cách 1: Nội suy cho dữ liệu dạng bảng

Trước hết, chúng ta hãy xem xét các ứng dụng của phép nội suy cho dữ liệu nằm trong bảng. Ví dụ: hãy lấy một mảng các đối số và các giá trị hàm tương ứng của chúng, mối quan hệ của chúng có thể được mô tả phương trình đường thẳng. Dữ liệu này được hiển thị trong bảng dưới đây. Chúng ta cần tìm hàm tương ứng cho đối số 28 . Cách dễ nhất để làm điều này là sử dụng toán tử SỰ DỰ ĐOÁN.

Cách 2: Nội suy biểu đồ bằng cách sử dụng cài đặt của nó

Thủ tục nội suy cũng có thể được sử dụng khi xây dựng đồ thị hàm số. Sẽ có liên quan nếu bảng chứa biểu đồ không chỉ ra giá trị hàm tương ứng cho một trong các đối số, như trong hình bên dưới.

Như bạn có thể thấy, biểu đồ đã được sửa và khoảng cách đã được xóa bằng phép nội suy.

Cách 3: Nội suy đồ thị bằng hàm

Bạn cũng có thể nội suy biểu đồ bằng cách sử dụng chức năng đặc biệt ND. Nó trả về các giá trị không xác định trong ô được chỉ định.

Bạn có thể làm điều đó dễ dàng hơn mà không cần chạy Trình hướng dẫn chức năng, và chỉ cần sử dụng bàn phím để nhập giá trị vào ô trống "#Không có" không có dấu ngoặc kép. Nhưng nó phụ thuộc vào những gì thuận tiện hơn cho người dùng nào.

Như bạn có thể thấy, trong Excel bạn có thể nội suy dưới dạng dữ liệu dạng bảng bằng hàm SỰ DỰ ĐOÁN và đồ họa. Trong trường hợp sau, điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng cài đặt biểu đồ hoặc sử dụng chức năng ND, gây ra lỗi "#Không có". Việc lựa chọn phương pháp nào để sử dụng tùy thuộc vào báo cáo vấn đề cũng như sở thích cá nhân của người dùng.

Có những trường hợp bạn cần biết kết quả của phép tính hàm bên ngoài vùng đã biết. Đặc biệt có liên quan câu hỏi này cho quá trình dự báo. Trong Excel có một số cách bạn có thể thực hiện hoạt động này. Hãy xem xét chúng với các ví dụ cụ thể.

Cách 2: Ngoại suy cho đồ thị

Bạn có thể thực hiện quy trình ngoại suy cho biểu đồ bằng cách vẽ đường xu hướng.

1. Trước hết, chúng tôi tự xây dựng biểu đồ. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng con trỏ trong khi giữ nút chuột trái để chọn toàn bộ khu vực của bảng, bao gồm các đối số và giá trị hàm tương ứng. Sau đó chuyển sang tab "Chèn", nhấn nút "Lịch trình". Biểu tượng này nằm trong khối "Sơ đồ" trên đai dụng cụ. Một danh sách xuất hiện Tùy chọn có sẵnđồ thị. Chúng tôi chọn cái phù hợp nhất theo quyết định của chúng tôi.



2. Sau khi biểu đồ được xây dựng, hãy xóa dòng đối số bổ sung khỏi biểu đồ bằng cách chọn nó và nhấp vào nút Xóa bỏ trên bàn phím máy tính.



3. Tiếp theo, chúng ta cần thay đổi cách chia của tỷ lệ ngang, vì nó không hiển thị các giá trị của đối số như chúng ta cần. Để thực hiện việc này, hãy nhấp vào click chuột phải di chuột qua sơ đồ và trong danh sách xuất hiện, dừng lại ở giá trị "Chọn dữ liệu".



4. Trong cửa sổ chọn nguồn dữ liệu mở ra, nhấp vào nút "Thay đổi" trong khối chỉnh sửa nhãn trục ngang.



5. Cửa sổ cài đặt chữ ký trục sẽ mở ra. Đặt con trỏ vào trường của cửa sổ này, sau đó chọn tất cả dữ liệu trong cột "X" không có tên của nó. Sau đó bấm vào nút "ĐƯỢC RỒI".



6. Sau khi quay lại cửa sổ chọn nguồn dữ liệu, chúng ta lặp lại thao tác tương tự, đó là nhấn vào nút "ĐƯỢC RỒI".



7. Bây giờ biểu đồ của chúng ta đã được chuẩn bị và chúng ta có thể trực tiếp bắt đầu xây dựng đường xu hướng. Nhấp vào biểu đồ, sau đó nó sẽ được kích hoạt trên ribbon bộ bổ sung tab – "Làm việc với sơ đồ". Di chuyển đến tab "Cách trình bày" và nhấn nút “Đường xu hướng” trong khối "Phân tích". Bấm vào mục "Xấp xỉ tuyến tính" hoặc "Xấp xỉ hàm mũ".



8. Đường xu hướng đã được thêm vào, nhưng nó hoàn toàn nằm bên dưới đường của biểu đồ, vì chúng ta chưa chỉ định giá trị của đối số mà nó hướng tới. Để làm điều này, bấm vào nút một lần nữa. “Đường xu hướng”, nhưng bây giờ hãy chọn mục « Tùy chọn bổ sungđường xu hướng".



9. Cửa sổ định dạng đường xu hướng sẽ mở ra. Trong chuong "Tùy chọn đường xu hướng" có một khối cài đặt "Dự báo". Như trong phương pháp trước đó, hãy lấy lập luận cho phép ngoại suy 55 . Như chúng ta có thể thấy, cho đến nay biểu đồ có độ dài bằng đối số 50 bao gồm. Hóa ra là chúng ta sẽ cần phải mở rộng nó cho người khác 5 các đơn vị. Trên trục hoành bạn có thể thấy rằng 5 đơn vị bằng một phép chia. Vì vậy, đây là một thời kỳ. Trong lĩnh vực "Chuyển tiếp" nhập giá trị "1". Nhấn nút "Đóng"ở góc dưới bên phải của cửa sổ.



10. Như bạn có thể thấy, biểu đồ đã được kéo dài theo độ dài xác định bằng cách sử dụng đường xu hướng.

Vì vậy, chúng ta đã xem xét các ví dụ đơn giản nhất về phép ngoại suy cho bảng và đồ thị. Trong trường hợp đầu tiên, hàm được sử dụng SỰ DỰ ĐOÁN, và trong phần thứ hai - một đường xu hướng. Nhưng dựa trên những ví dụ này, bạn có thể quyết định nhiều hơn nhiệm vụ phức tạp dự báo.

Đây là một chương trong cuốn sách của Bill Jelen.

Thách thức: Một số vấn đề thiết kế kỹ thuật yêu cầu sử dụng bảng để tính các giá trị tham số. Vì các bảng là rời rạc nên người thiết kế sử dụng phép nội suy tuyến tính để thu được giá trị tham số trung gian. Bảng (Hình 1) bao gồm độ cao so với mặt đất (tham số điều khiển) và tốc độ gió (tham số tính toán). Ví dụ: nếu bạn cần tìm tốc độ gió tương ứng với độ cao 47 mét thì bạn nên áp dụng công thức: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/giây.

Tải xuống ghi chú ở định dạng hoặc, ví dụ ở định dạng

Nếu có hai tham số điều khiển thì sao? Có thể thực hiện các phép tính bằng một công thức không? Bảng (Hình 2) hiển thị các giá trị áp lực gió cho các độ cao và nhịp khác nhau của kết cấu. Cần tính toán áp lực gió ở độ cao 25 ​​mét và nhịp 300 mét.

Giải pháp: Chúng tôi giải quyết vấn đề bằng cách mở rộng phương pháp được sử dụng cho trường hợp với một tham số điều khiển. Thực hiện theo các bước sau:

Bắt đầu với bảng hiển thị trong Hình. 2. Thêm các ô nguồn cho chiều cao và nhịp tương ứng trong J1 và J2 (Hình 3).

Cơm. 3. Công thức trong ô J3:J17 giải thích hoạt động của công thức lớn

Để dễ sử dụng công thức, hãy xác định tên (Hình 4).

Xem công thức hoạt động bằng cách di chuyển tuần tự từ ô J3 đến ô J17.

Sử dụng phép thế tuần tự ngược để xây dựng công thức lớn. Sao chép văn bản công thức từ ô J17 sang J19. Thay thế tham chiếu đến J15 trong công thức bằng giá trị trong ô J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. Và như thế. Kết quả là một công thức bao gồm 984 ký tự không thể hiểu được ở dạng này. Bạn có thể xem nó trong file Excel đính kèm. Tôi không chắc liệu loại công thức lớn này có hữu ích hay không.

Bản tóm tắt: phép nội suy tuyến tínhđược sử dụng để thu được giá trị tham số trung gian nếu giá trị bảng chỉ được chỉ định cho ranh giới phạm vi; Một phương pháp tính toán sử dụng hai tham số điều khiển được đề xuất.