Rezolvați integrala folosind metoda schimbării variabilei. Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

A modalități de reducere a integralelor la cele tabulare Am enumerat pentru tine:

metoda de înlocuire variabilă;

metoda de integrare pe părți;

Metoda de integrare directă

metode de reprezentare a integralelor nedefinite prin integrale tabulare pentru integrale ale fracțiilor raționale;

metode de reprezentare a integralelor nedefinite prin integrale de tabel pentru integrale ale expresiilor iraționale;

modalități de exprimare a integralelor nedefinite prin intermediul unor integrale tabelare pentru integralele funcțiilor trigonometrice.

Integrală nedefinită a unei funcții de putere

Integrală nedefinită a funcției exponențiale

Dar integrala nedefinită a logaritmului nu este o integrală tabelară, formula este tabelară:

Integrale nedefinite ale funcțiilor trigonometrice: Integrale de sinus, cosinus și tangente

Integrale nedefinite cu funcții trigonometrice inverse

Duce la vedere tabelară sau metoda integrarii directe. Folosind transformări identice ale integrandului, integrala este redusă la o integrală căreia îi sunt aplicabile regulile de bază de integrare și este posibil să se folosească un tabel de integrale de bază.

Exemplu

Exercițiu. Găsiți integrala

Soluţie. Să folosim proprietățile integralei și să reducem această integrală la formă tabelară.

Răspuns.

Tehnic metoda de înlocuire a variabilei V integrală nedefinită implementat în două moduri:

– Subsumând o funcție sub semnul diferențial. – Schimbarea efectivă a variabilei.

Subsumând o funcție sub semnul diferențial

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Să analizăm funcția integrand. Aici avem o fracție, iar numitorul este o funcție liniară (cu „X” la prima putere). Ne uităm la tabelul integralelor și găsim cel mai asemănător lucru: .

Aducem funcția sub semnul diferențial:

Cei cărora le este greu să-și dea seama imediat cu ce fracție să se înmulțească pot dezvălui rapid diferența într-o schiță: . Da, se pare că asta înseamnă că, pentru ca nimic să nu se schimbe, trebuie să înmulțesc integrala cu . În continuare folosim formula tabelară:

Examinare: S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Ca exemplu, am luat integrala pe care ne-am uitat chiar la începutul lecției. După cum am spus deja, pentru a rezolva integrala ne-a plăcut formula tabelară , și aș dori să reduc întreaga problemă la ea.

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.ÎN în acest caz, se sugerează: A doua cea mai populară scrisoare pentru înlocuire este litera . În principiu, puteți folosi și alte litere, dar vom adera în continuare la tradiții.

Asa de: Dar când îl înlocuim, rămânem cu! Probabil, mulți au ghicit că, dacă se face o tranziție la o nouă variabilă, atunci în noua integrală totul ar trebui să fie exprimat prin literă și nu există deloc loc pentru o diferență acolo. Concluzia logică este că ai nevoie se transformă într-o expresie care depinde numai de.

Acțiunea este următoarea. După ce am selectat un înlocuitor, în acest exemplu trebuie să găsim diferența. Cu diferențele, cred că toată lumea și-a stabilit deja prietenie.

De atunci

După sortarea diferenţialului, recomand să rescriem rezultatul final cât mai pe scurt posibil: Acum, conform regulilor de proporţie, îl exprimăm pe cel de care avem nevoie:

În cele din urmă: Prin urmare: Și aceasta este deja cea mai tabelă integrală (tabelul de integrale este, desigur, valabil și pentru variabila ).

În cele din urmă, tot ce rămâne este să efectuăm înlocuirea inversă. Să ne amintim asta.

Gata.

Designul final al exemplului luat în considerare ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu are nicio semnificație matematică înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când pregătiți un exemplu într-un caiet, este mai bine să marcați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Și acum este timpul să ne amintim prima soluție:

Care este diferența? Nu există nicio diferență fundamentală. De fapt, este același lucru. Dar din punctul de vedere al proiectării sarcinii, metoda de subsumare a unei funcții sub semnul diferențial este mult mai scurtă. Se pune întrebarea. Dacă prima metodă este mai scurtă, atunci de ce să folosiți metoda de înlocuire? Faptul este că pentru un număr de integrale nu este atât de ușor să „potriviți” funcția la semnul diferenţialului.

Integrare pe părți. Exemple de soluții

Integrale ale logaritmilor

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită.

Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este recomandabil să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are deficiență de vitamină de primăvară și va înjura din greu. Deoarece integrala luată în considerare nu este nicidecum tabelară - este luată în părți. Noi decidem:

Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.

Folosim formula de integrare prin părți:

Formula se aplică de la stânga la dreapta

Să ne uităm la partea stanga: . Evident, în exemplul nostru (și în toate celelalte pe care le vom lua în considerare) ceva trebuie desemnat ca , iar ceva ca .

În integrale de tipul luat în considerare pentruîntotdeauna notat cu logaritm.

Din punct de vedere tehnic, proiectarea soluției este implementată după cum scriem în coloană:

Adică am notat logaritmul ca și partea rămasă expresie integrand.

Etapa următoare: găsiți diferența:

Un diferențial este aproape același cu un derivat, am discutat deja despre cum să-l găsim în lecțiile anterioare.

Acum găsim funcția. Pentru a găsi funcția trebuie să o integrați partea dreapta egalitate mai scăzută:

Acum deschidem soluția noastră și construim partea dreaptă a formulei: . Apropo, iată o mostră a soluției finale cu note mici.

Schimbarea unei variabile într-o integrală nedefinită. Formula pentru conversia diferenţialelor. Exemple de integrare. Exemple de substituții liniare.

Metoda de înlocuire a variabilei

Modificările variabilelor pot fi folosite pentru a evalua integralele simple și, în unele cazuri, pentru a simplifica calculul celor mai complexe.

Metoda de înlocuire a variabilei este că noi din original variabila de integrare, să fie x, să trecem la o altă variabilă, pe care o notăm t. În acest caz, credem că variabilele x și t sunt legate printr-o relație x = x (t), sau t = t (X). De exemplu, x = ln t, x = sin t, t = 2 x + 1, și așa mai departe. Sarcina noastră este să selectăm o astfel de relație între x și t încât integrala inițială fie să fie redusă la una tabelară, fie să devină mai simplă.

Formula de bază de înlocuire a variabilei

Să luăm în considerare expresia care stă sub semnul integral. Constă din produsul integrandului, pe care îl notăm f (X) si diferential dx: . Să trecem la o nouă variabilă t alegând o relație x = x (t). Atunci trebuie să exprimăm funcția f (X) iar diferența dx prin variabila t.

Pentru a exprima funcția integrand f (X) prin variabila t, trebuie doar să înlocuiți relația selectată x = x în loc de variabila x (t).

Conversia diferențială se face astfel:
.
Adică diferența dx este egală cu produsul derivatei lui x față de t și diferența dt.

Apoi
.

În practică, cel mai frecvent caz este în care efectuăm o înlocuire prin alegerea unei variabile noi în funcție de cea veche: t = t (X). Dacă am ghici că funcția integrand poate fi reprezentată ca
,
unde t′ (X) este derivata lui t în raport cu x, atunci
.

Deci, formula de bază de înlocuire a variabilei poate fi prezentată în două forme.
(1) ,
unde x este o funcție a lui t.
(2) ,
unde t este o funcție a lui x.

Notă importantă

În tabelele de integrale, variabila de integrare este cel mai adesea notă cu x. Cu toate acestea, merită luat în considerare faptul că variabila de integrare poate fi notată cu orice literă. Mai mult, orice expresie poate fi folosită ca variabilă de integrare.

Ca exemplu, luați în considerare integrala tabelului
.

Aici x poate fi înlocuit cu orice altă variabilă sau funcție a unei variabile. Iată exemple de opțiuni posibile:
;
;
.

În ultimul exemplu, trebuie să țineți cont de faptul că atunci când treceți la variabila de integrare x, diferența este transformată după cum urmează:
.
Apoi
.

Acest exemplu surprinde esența integrării prin substituție. Adică trebuie să ghicim asta
.
După care integrala se reduce la una tabelară.
.

Puteți evalua această integrală folosind o schimbare de variabilă folosind formula (2) . Să punem t = x 2+x. Apoi
;
;

.

Exemple de integrare prin schimbarea variabilei

1) Să calculăm integrala
.
Observăm că (sin x)′ = cos x. Apoi

.
Aici am folosit substituția t = sin x.

2) Să calculăm integrala
.
Observăm că. Apoi

.
Aici am efectuat integrarea prin schimbarea variabilei t = arctan x.

3) Să ne integrăm
.
Observăm că. Apoi

. Aici, în timpul integrării, variabila t = x este înlocuită 2 + 1 .

Substituții liniare

Poate că cele mai comune sunt substituțiile liniare. Acesta este un înlocuitor pentru o variabilă a formularului
t = ax + b,
unde a și b sunt constante. Cu o astfel de înlocuire, diferențele sunt legate prin relație
.

Exemple de integrare prin substituții liniare

A) Calculați integrala
.
Soluţie.
.

B) Găsiți integrala
.
Soluţie.
Să folosim proprietățile funcției exponențiale.
.
ln 2- aceasta este o constantă. Calculăm integrala.

.

C) Calculați integrala
.
Soluţie.
Să reducem polinomul pătratic din numitorul fracției la suma pătratelor.
.
Calculăm integrala.

.

D) Găsiți integrala
.
Soluţie.
Să transformăm polinomul sub rădăcină.

.
Integram folosind metoda de inlocuire variabila.

.
Anterior am primit formula
.
De aici
.
Înlocuind această expresie, obținem răspunsul final.

Să trecem la considerare caz general– metoda de schimbare a variabilelor în integrala nedefinită.

Exemplul 5

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.
În acest caz, se cere:
A doua cea mai populară scrisoare de înlocuire este litera .
În principiu, puteți folosi și alte litere, dar vom adera în continuare la tradiții.

Asa de:
Dar când îl înlocuim, rămânem cu! Probabil, mulți au ghicit că, dacă se face o tranziție la o nouă variabilă, atunci în noua integrală totul ar trebui să fie exprimat prin literă și nu există deloc loc pentru o diferență acolo.
Concluzia logică este că ai nevoie se transformă într-o expresie care depinde numai de .

Acțiunea este următoarea. După ce am selectat un înlocuitor, în acest exemplu, trebuie să găsim diferența. Cu diferențele, cred că toată lumea și-a stabilit deja prietenie.

De atunci

După dezasamblarea diferențialului, recomand să rescrieți rezultatul final cât mai scurt posibil:
Acum, conform regulilor proporției, exprimăm ceea ce avem nevoie:

În cele din urmă:
Prin urmare:

Și aceasta este deja cea mai tabelă integrală (tabelul de integrale este, desigur, valabil și pentru variabila ).

În cele din urmă, tot ce rămâne este să efectuăm înlocuirea inversă. Să ne amintim asta.

Gata.

Designul final al exemplului luat în considerare ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu are nicio semnificație matematică înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când pregătiți un exemplu într-un caiet, este mai bine să marcați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Și acum este timpul să ne amintim prima soluție:

Se pune întrebarea. Dacă prima metodă este mai scurtă, atunci de ce să folosiți metoda de înlocuire? Faptul este că pentru un număr de integrale nu este atât de ușor să „potriviți” funcția la semnul diferenţialului.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Să facem un înlocuitor: (este greu să te gândești la un alt înlocuitor aici)

După cum puteți vedea, ca urmare a înlocuirii, integrala originală a fost simplificată semnificativ - redusă la o funcție de putere obișnuită. Acesta este scopul înlocuirii - de a simplifica integrala.

Persoanele avansate leneși pot rezolva cu ușurință această integrală subsumând funcția sub semnul diferențial:

Un alt lucru este că o astfel de soluție, evident, nu este pentru toți studenții. În plus, deja în acest exemplu, utilizarea metodei de subsumare a unei funcții sub semnul diferențial crește semnificativ riscul de a fi confuz într-o decizie.

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Înlocuire:
Rămâne de văzut în ce se va transforma

Bine, am exprimat-o, dar ce să facem cu „X” care rămâne în numărător?!
Din când în când, în cursul rezolvării integralelor, întâlnim următorul truc: vom exprima din aceeași înlocuire !

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Răspunsul este la sfârșitul lecției.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Cu siguranță unii oameni au observat că în tabelul meu de căutare nu există o regulă de înlocuire a variabilelor. Acest lucru a fost făcut în mod deliberat. Regula ar crea confuzie în explicație și înțelegere, deoarece nu apare în mod explicit în exemplele de mai sus.

Acum este timpul să vorbim despre premisa de bază a utilizării metodei de substituție a variabilelor: integrandul trebuie să conţină o anumită funcţie și derivatul său : (funcțiile pot să nu fie în produs)

În acest sens, atunci când găsiți integrale, de multe ori trebuie să vă uitați la tabelul derivatelor.

În exemplul luat în considerare, observăm că gradul numărătorului este cu unul mai mic decât gradul numitorului. În tabelul derivatelor găsim formula, care doar reduce gradul cu unu. Și asta înseamnă că dacă îl desemnați ca numitor, atunci șansele sunt mari ca numărătorul să se transforme în ceva bun.

Înlocuire:

Apropo, nu este atât de dificil să subsumați funcția sub semnul diferențial:

Trebuie remarcat faptul că pentru fracții precum , acest truc nu va mai funcționa (mai precis, va fi necesar să se aplice nu numai tehnica de înlocuire). Puteți învăța să integrați unele fracții în clasă. Integrarea unor fracții.

Iată încă câteva exemple tipice pentru o soluție independentă din aceeași operă:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită.

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită.

Soluții la sfârșitul lecției.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită.

Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim arccosinusul nostru: . În integrandul nostru avem arccosinus și ceva similar cu derivata sa.

Regula generala:
In spate notăm funcția în sine(și nu derivatul său).

În acest caz: . Rămâne să aflăm în ce se va transforma partea rămasă a integrandului.

În acest exemplu, voi descrie constatarea în detaliu deoarece este o funcție complexă.

Sau pe scurt:
Folosind regula proporției, exprimăm restul de care avem nevoie:

Prin urmare:

Aici nu mai este atât de ușor să subsumăm funcția sub semnul diferențial.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită.

Un exemplu pentru o soluție independentă. Răspunsul este foarte aproape.

Cititorii atenți vor fi observat că am luat în considerare câteva exemple cu funcții trigonometrice. Și aceasta nu este o coincidență, deoarece o lecție separată este dedicată integralelor funcțiilor trigonometrice. Mai mult, această lecție oferă câteva îndrumări utile pentru înlocuirea unei variabile, ceea ce este deosebit de important pentru manechin, care nu întotdeauna și nu înțeleg imediat ce fel de înlocuire trebuie făcută într-o anumită integrală. Puteti vedea si cateva tipuri de substitutii in articolul Integrala definita. Exemple de soluții.

Elevii mai experimentați se pot familiariza cu substituțiile tipice în integrale cu funcții iraționale. Înlocuirea la integrarea rădăcinilor este specifică, iar tehnica ei de implementare diferă de cea pe care am discutat-o în această lecție.

Vă doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3: Soluție:

Exemplul 4: Soluție:

Exemplul 7: Soluție:

Exemplul 9: Soluție:

Înlocuire:

Exemplul 11: Soluție:

Să înlocuim:

(vezi articolul Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită ) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.

Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorȘi Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, atunci vă rugăm să vizitați camera de depozitare a site-ului meu: Formule matematice si mese. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar, nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.

Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă o problemă foarte importantă vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel; muncă

3) , , – funcții trigonometrice, înmulțit cu un polinom.

4) , – funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri” înmulțite cu un polinom.

Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți, vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau legătura cu el.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt securizate, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Integrare directă

Formule de integrare de bază

1. C – constantă	1*.
2. , n ≠ –1
3. +C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Se numește calculul integralelor prin utilizarea directă a tabelului de integrale simple și a proprietăților de bază ale integralelor nedefinite integrare directă.

Exemplul 1.

Exemplul 2.

Exemplul 3.

Aceasta este cea mai comună metodă de integrare functie complexa, care constă în transformarea integralei prin trecerea la o altă variabilă de integrare.

Dacă este dificil să reduceți integrala la una tabelară folosind transformări elementare, atunci în acest caz se folosește metoda substituției. Esența acestei metode este că prin introducerea unei noi variabile este posibilă reducerea acestei integrale la o nouă integrală, care este relativ ușor de luat direct.

Pentru a integra prin metoda de substituție, utilizați schema de soluții:

2) găsiți diferența de la ambele piese de schimb;

3) exprima întregul integrand printr-o nouă variabilă (după care ar trebui să se obțină o integrală de tabel);

4) găsiți integrala tabelului rezultat;

5) efectuați înlocuirea inversă.

Aflați integralele:

Exemplul 1 . Substituţie:cosx=t,-sinxdx=dt,

Soluţie:

Exemplul 2.∫e -x3 x 2 dx Substituţie:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Soluţie:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Exemplul 3.Substituţie: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Soluţie: .

SECȚIUNEA 1.5. Integrală definită, metode de calcul a acesteia.

clauza 1 Concept integrala definita

Sarcină. Găsiți incrementul unei funcții care este antiderivată a unei funcții f(x), la trecerea argumentului X din valoare A a valorifica b.

Soluţie. Să presupunem că integrarea a găsit: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Apoi F(x)+C 1, Unde C 1- orice număr dat, va fi una dintre funcțiile antiderivate pentru această funcție f(x). Să găsim incrementul său atunci când argumentul se mută de la valoare A a valorifica b. Primim:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

După cum vedem, în expresia pentru creșterea funcției antiderivative F(x)+C 1 nicio valoare constantă C 1. Iar de sub C 1 a fost implicat orice număr dat, rezultatul obținut duce la următoarea concluzie: asupra tranziției argumentelor X din valoare x=a a valorifica x=b toate functiile F(x)+C, antiderivate pentru o funcție dată f(x), au același increment egal cu F(b)-F(a).

Această creștere este de obicei numită integrală definităși notat cu simbolul: și se citește: integrală a A inainte de b din funcția f(x) peste dх sau, pe scurt, integrala lui A inainte de b din f(x)dx.

Număr A numit limita inferioara integrare, număr b - top; segment a ≤ x ≤ b – segment de integrare. Se presupune că funcția integrand f(x) continuu pentru toate valorile X, îndeplinind condițiile: A X b

Definiție. Creșterea funcțiilor antiderivate F(x)+C asupra tranziției argumentelor X din valoare x=a a valorifica x=b, egal cu diferența F(b)-F(a), se numește integrală definită și se notează prin simbolul: astfel încât dacă ∫ (x)dx = F(x)+C, apoi = F(b)-F(a) - dat egalitatea se numește formula Newton-Leibniz.

itemul 2 Proprietăţile de bază ale integralei definite

Toate proprietățile sunt formulate în propoziția că funcțiile luate în considerare sunt integrabile în intervalele corespunzătoare.

punctul 3 Calculul direct al integralei definite

Pentru a calcula integrala definită, când puteți găsi integrala nedefinită corespunzătoare, utilizați formula Newton-Leibniz

acestea. integrala definită este egală cu diferența dintre valorile oricărei funcții antiderivate la limitele superioare și inferioare de integrare.

Această formulă arată procedura de calcul a unei integrale definite:

1) găsiți integrala nedefinită a acestei funcții;

2) în antiderivată rezultată, înlocuiți mai întâi limita superioară și apoi limita inferioară a integralei în locul argumentului;

3) scădeți rezultatul înlocuirii limitei inferioare din rezultatul înlocuirii limitei superioare.

Exemplul 1: Calculați integrala:

Exemplul 2: Calculați integrala:

p.4 Calculul unei integrale definite prin metoda substituției

Calculul integralei definite prin metoda substituției este următorul:

1) înlocuiți o parte din integrand cu o nouă variabilă;

2) găsiți noi limite ale integralei definite;

3) găsiți diferența de la ambele piese de schimb;

4) exprimă întregul integrand printr-o nouă variabilă (după care ar trebui să se obțină o integrală de tabel); 5) se calculează integrala definită rezultată.

Exemplul 1: Calculați integrala:

Substituţie: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

SECȚIUNEA 1.6. Sensul geometric al unei integrale definite.

Aria unui trapez curbat:

Se știe că o integrală definită pe un segment reprezintă aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției f(x).

Aria unei figuri delimitate de anumite drepte poate fi găsită folosind anumite integrale dacă ecuațiile acestor drepte sunt cunoscute.

Fie pe segmentul [a; b] o funcție continuă este dată y = ƒ(x) ≥ 0. Să găsim aria acestui trapez.

Aria figurii delimitată de axa 0 X, două linii drepte verticale x = a, x = b iar graficul funcției y = ƒ(x) (figura), determinat de formula:

Acesta este sensul geometric al integralei definite.

Exemplul 1: Calculați aria figurii delimitată de liniile: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

Soluţie: Să facem un desen (rețineți că ecuația y=0 definește axa Ox).

Răspuns: S = 9 unități 2

Exemplul 2: Calculați aria figurii delimitată de liniile: y= - e x, x=1 și axele de coordonate.

Soluție: Să facem un desen.
Dacă un trapez curbat complet situat sub axa Ox, atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:

În acest caz:

Atenţie! Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

SECȚIUNEA 1.7. Aplicarea integralei definite

p.1 Calculul volumului unui corp de rotație

Dacă un trapez curbat este adiacent axei Ox, iar liniile drepte y=a, y=b și graficul funcției y= F(x) (Fig. 1), atunci volumul corpului de revoluție este determinat printr-o formulă care conține o integrală.

Volumul corpului de revoluție este egal cu:

Exemplu:

Aflați volumul corpului limitat de suprafața de rotație a liniei în jurul axei Ox la 0≤ x ≤4.

Soluţie: V

unitățile 3. Răspuns: unitatea 3.

SECȚIUNEA 3.1. Ecuații diferențiale obișnuite

itemul 1 Conceptul de ecuație diferențială

Definiție. Ecuație diferențială este o ecuație care conține o funcție a unui set de variabile și derivatele acestora.

Forma generală o astfel de ecuație =0, unde F este o funcție cunoscută a argumentelor sale, specificată într-o zonă fixă; x - variabila independenta (variabila prin care se diferentiaza y - variabila dependenta (cea din care se iau derivate si cea de determinat); - derivata variabilei dependente y fata de variabila independenta x.

itemul 2 Concepte de bază ale ecuaţiei diferenţiale

În ordine a unei ecuații diferențiale se numește ordinea celei mai mari derivate incluse în ea.

De exemplu:

O ecuație de ordinul doi este o ecuație de ordinul întâi.

Se numește orice funcție care conectează variabile și transformă o ecuație diferențială într-o egalitate adevărată decizie ecuație diferențială.

Soluție generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi este o funcție a și o constantă arbitrară C care transformă această ecuație într-o identitate în .

Soluția generală, scrisă sub forma implicită =0, se numește integrală generală.

Decizie privată ecuația =0 este soluția obținută din soluția generală pt valoare fixa- număr fix.

Problema găsirii unei anumite soluții la o ecuație diferențială de ordinul al n-lea (n= 1,2,3,...), care să satisfacă condiții inițiale drăguț

numit Problema Cauchy.

clauza 3 Ecuatii diferentiale primul ordin cu variabile separabile

O ecuație diferențială de ordinul întâi se numește ecuație separabilă dacă poate fi reprezentată sub formă poate fi rescris sub formă . Dacă . Să integrăm: .

Pentru a rezolva o ecuație de acest tip aveți nevoie de:

1. Variabile separate;

2. Integrarea ecuației variabile separate, găsiți decizie comună ecuația dată;

3. Găsiți o anumită soluție care să îndeplinească condițiile inițiale (dacă sunt date).

Exemplul 1. Rezolvați ecuația. Găsiți o anumită soluție care îndeplinește condiția y=4 la x=-2.

Soluţie: Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Integrând, găsim soluția generală a ecuației: . Pentru a obține o soluție generală mai simplă, reprezentăm termenul constant din partea dreaptă sub forma C/2. Avem sau este o soluție generală. Înlocuind valorile y=4 și x=-2 în soluția generală, obținem 16=4+C, din care C=12.

Deci, o soluție specială a ecuației care satisface această condiție, are forma

Exemplul 2. Găsiți o anumită soluție a ecuației dacă .

Soluţie: , , , , , decizie comună.

Înlocuim valorile lui x și y în soluția particulară: , , soluție privată.

Exemplul 3. Găsiți soluția generală a ecuației . Soluție: ,, , - decizie comună.

itemul 4 Ecuații diferențiale de ordin mai mare decât prima

O ecuație de forma sau se rezolvă prin dublă integrare: , , de unde . Integrând această funcție, obținem optiune noua din f(x), pe care îl notăm cu F(x). Prin urmare, ; . Să integrăm din nou: sau y=Ф(x). Am obținut o soluție generală a ecuației care conține două constante arbitrare și .