Metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită. Exemple de soluții. Schimbarea variabilei și integrarea pe părți în integrala nedefinită
A moduri de reducere a integralelor la cele tabulare Am enumerat pentru tine:
metoda de înlocuire variabilă;
metoda de integrare pe părți;
Metoda de integrare directă
metode de reprezentare a integralelor nedefinite prin integrale tabulare pentru integrale ale fracțiilor raționale;
metode de reprezentare a integralelor nedefinite prin integrale de tabel pentru integrale ale expresiilor iraționale;
modalități de exprimare a integralelor nedefinite prin intermediul unor integrale tabelare pentru integralele funcțiilor trigonometrice.
Integrală nedefinită a unei funcții de putere
Integrală nedefinită a funcției exponențiale
Dar integrala nedefinită a logaritmului nu este o integrală tabelară; în schimb, formula este tabelară:
Integrale nedefinite ale funcțiilor trigonometrice: Integrale de sinus, cosinus și tangente
Integrale nedefinite cu funcții trigonometrice inverse
Reducere la formă tabelară sau metoda integrarii directe. Folosind transformări identice ale integrandului, integrala este redusă la o integrală căreia îi sunt aplicabile regulile de bază de integrare și este posibil să se folosească un tabel de integrale de bază.
Exemplu
Exercițiu. Găsiți integrala
Soluţie. Să folosim proprietățile integralei și să reducem această integrală la formă tabelară.
Răspuns. 
Tehnic metoda de înlocuire a variabilei în integrala nedefinită este implementată în două moduri:
– Subsumând o funcție sub semnul diferențial. – Schimbarea efectivă a variabilei.
Subsumând o funcție sub semnul diferențial
Exemplul 2
Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.
Să analizăm funcția integrand. Aici avem o fracție, iar numitorul este o funcție liniară (cu „x” la prima putere). Ne uităm la tabelul integralelor și găsim cel mai asemănător lucru: .
Aducem funcția sub semnul diferențial: 
Cei cărora le este greu să-și dea seama imediat cu ce fracție să se înmulțească pot dezvălui rapid diferența într-o schiță: . Da, se pare că asta înseamnă că, pentru ca nimic să nu se schimbe, trebuie să înmulțesc integrala cu . În continuare folosim formula tabelară:
Examinare: 
S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.
Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită
Exemplul 5
Aflați integrala nedefinită.
Ca exemplu, am luat integrala pe care ne-am uitat chiar la începutul lecției. După cum am spus deja, pentru a rezolva integrala ne-a plăcut formula tabelară 
, și aș dori să reduc întreaga problemă la ea.
Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.În acest caz, se sugerează: A doua cea mai populară scrisoare pentru înlocuire este litera . În principiu, puteți folosi și alte litere, dar vom adera în continuare la tradiții.
Asa de: 
Dar când îl înlocuim, rămânem cu! Probabil, mulți au ghicit că, dacă se face o tranziție la o nouă variabilă, atunci în noua integrală totul ar trebui să fie exprimat prin litera , și nu există deloc loc pentru o diferență acolo. Concluzia logică este că este necesar se transformă într-o expresie care depinde numai de.
Acțiunea este următoarea. După ce am selectat un înlocuitor, în acest exemplu, trebuie să găsim diferența. Cu diferențele, cred că toată lumea și-a stabilit deja prietenie.
De atunci
După sortarea diferenţialului, recomand să rescriem rezultatul final cât mai pe scurt posibil: Acum, conform regulilor de proporţie, îl exprimăm pe cel de care avem nevoie:
În cele din urmă: 
Prin urmare: 
Și aceasta este deja cea mai tabelară integrală 
(tabelul de integrale este, desigur, valabil și pentru variabila ).
În cele din urmă, tot ce rămâne este să efectuați înlocuirea inversă. Să ne amintim asta.
Gata.
Designul final al exemplului luat în considerare ar trebui să arate cam așa:
“
Să înlocuim: 
“
Icoana nu are nicio semnificație matematică, înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.
Când pregătiți un exemplu într-un caiet, este mai bine să marcați înlocuirea inversă cu un simplu creion.
Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.
Și acum este timpul să ne amintim prima soluție: 
Care este diferența? Nu există nicio diferență fundamentală. De fapt, este același lucru. Dar din punctul de vedere al proiectării sarcinii, metoda de subsumare a unei funcții sub semnul diferențial este mult mai scurtă. Se pune întrebarea. Dacă prima metodă este mai scurtă, atunci de ce să folosiți metoda de înlocuire? Faptul este că pentru un număr de integrale nu este atât de ușor să „potriviți” funcția la semnul diferenţialului.
Integrare pe părți. Exemple de soluții
Integrale ale logaritmilor
Exemplul 1
Aflați integrala nedefinită.
Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este recomandabil să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are deficiență de vitamină de primăvară și va înjura din greu. Deoarece integrala luată în considerare nu este nicidecum tabelară - este luată în părți. Noi decidem:
Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.
Folosim formula de integrare prin părți: 
Formula se aplică de la stânga la dreapta
Ne uităm în partea stângă: . Evident, în exemplul nostru (și în toate celelalte pe care le vom lua în considerare), ceva trebuie desemnat ca , iar ceva ca .
În integrale de tipul luat în considerare pentruîntotdeauna notat cu logaritm.
Din punct de vedere tehnic, proiectarea soluției este implementată după cum urmează; scriem în coloană:
Adică am notat logaritmul ca și partea rămasă expresie integrand.
Etapa următoare: găsiți diferența:
Un diferențial este aproape același cu un derivat; am discutat deja cum să o găsim în lecțiile anterioare.
Acum găsim funcția. Pentru a găsi funcția trebuie să o integrați partea dreapta egalitate mai scăzută:
Acum deschidem soluția noastră și construim partea dreaptă a formulei: . Apropo, iată o mostră a soluției finale cu note mici.
Dacă funcția x=φ(t) are o derivată continuă, atunci într-o integrală nedefinită dată ∫f(x)dx puteți merge întotdeauna la o nouă variabilă t folosind formula
∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt
Apoi găsiți integrala din partea dreaptă și reveniți la variabila inițială. În acest caz, integrala din partea dreaptă a acestei egalități se poate dovedi a fi mai simplă decât integrala din partea stângă a acestei egalități, sau chiar tabulară. Această metodă de găsire a integralei se numește metoda schimbării variabilei.
Exemplul 7. ∫x√x-5dx
Pentru a scăpa de rădăcină, setăm √x-5=t. Prin urmare, x=t 2 +5 și deci dx=2tdt. Făcând înlocuirea, avem în mod constant:
∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=
III. Metoda de integrare pe părți
Metoda integrării pe părți se bazează pe următoarea formulă:
∫udv=uv-∫vdu
unde u(x),v(x) sunt funcții diferențiabile continuu. Formula se numește formula de integrare prin părți. Această formulă arată că integrala ∫udv duce la integrala ∫vdu, care se poate dovedi a fi mai simplă decât cea originală, sau chiar tabelară.
Exemplul 12. Aflați integrala nedefinită ∫xe -2x dx
Să folosim metoda integrării pe părți. Să punem u=x, dv=e -2x dx. Atunci du=dx, v=∫xe -2x dx=-e -2x +C Prin urmare, conform formulei avem: ∫xe -2x dx=x(-e -2x)-∫- -2 dx=-e -2x -e -2x +C
23 . Fracția rațională este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame.
Fracții raționale. Cele mai simple fracții raționale și integrarea lor
Orice funcție rațională poate fi reprezentată ca o fracție rațională, adică ca raport a două polinoame:
Dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, atunci se numește fracția corect, altfel se numește fracția gresit.
Dacă fracția este improprie, atunci prin împărțirea numărătorului la numitor (conform regulii de împărțire a polinoamelor), puteți reprezenta această fracție ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii: 
, Unde M(x)- un polinom, dar o fracție proprie.
Exemplu: Să ni se dea o fracție rațională improprie.
Apoi 
, deoarece la împărțirea la un colț obținem un rest (4x-6).
Întrucât integrarea polinoamelor nu prezintă dificultăți fundamentale, principala dificultate în integrarea fracțiilor raționale constă în integrarea fracțiilor raționale proprii.
Există mai multe tipuri de fracții raționale:
II. Tip: (întreg k-pozitiv ³2).
IY. Vedere: 
(k-întreg³2).
Să luăm în considerare integralele celor mai simple fracții raționale.
eu. 
.
II. 
=A 
.
24 .Integrarea fracțiilor raționale
Fie integrandul o fracție rațională unde și sunt polinoame (polinoame) de grade k Și n respectiv. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că k < n, deoarece altfel puteți prezenta întotdeauna numărătorul sub forma P(x) = Q(x)R(x) + S(x) unde R(x) și S(x) sunt polinoame, numite de obicei, ca în cazul numere reale, cât și rest, iar gradul polinomului S(x) este mai mic n. Apoi
,
(1.1)
și putem calcula integrala polinomului R(x). Să arătăm prin exemplu cum se obține expansiunea (1.1). Fie P(x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 – 3x 3 + 4x 2 + x -2, Q(x) = x + 3x 2 + x-2. Să împărțim polinomul P(x) la polinomul Q(x) în același mod în care împărțim numerele reale (obținem soluția folosind un calculator de diviziune pe coloană). Astfel, am primit întreaga parte a fracției (coeficientul din împărțirea polinomului P la polinomul Q) R(x) = x 4 + 2x 2 – 4x + 7 iar restul S(x) = 9x 2 – 14x +12 din această diviziune. Conform teoremei de bază a algebrei, orice polinom poate fi descompus în factori simpli, adică reprezentați sub forma , unde rădăcinile polinomului Q(x) se repetă de câte ori sunt multiplicitatea lor. Fie polinomul Q(x) să aibă n rădăcini diferite. Atunci o fracție rațională adecvată poate fi reprezentată ca 
, unde sunt numerele de determinat. Dacă este o rădăcină a multiplicității α, atunci în descompunerea în fracții simple îi corespund α termeni 
. Dacă x j este rădăcina complexă a multiplicității unui polinom cu coeficienți reali, atunci numărul complex conjugat este și rădăcina multiplicității α a acestui polinom. Pentru a nu avea de-a face cu numerele complexe la integrarea fracțiilor raționale, termenii din expansiunea unei fracții raționale propriu-zise corespunzătoare perechilor de rădăcini complexe conjugate se combină și se scriu ca un singur termen de forma , dacă - rădăcini ale multiplicității unu. Dacă sunt rădăcini ale multiplicității, atunci ele corespund termenilor și expansiunea corespunzătoare are forma
Astfel, integrarea fracțiilor raționale proprii s-a redus la integrarea celor mai simple fracții, dintre care cele tabulare pot fi găsite folosind formula de recurență, care se obține prin integrare pe părți. Integralele, în cazul în care numitorul are rădăcini complexe (discriminante), se reduc, folosind selecția unui pătrat complet, la integrale, prin înlocuire. O modalitate de a găsi coeficienți în expansiunea unei fracții raționale adecvate este următoarea. Partea dreaptă a expansiunii rezultate cu coeficienți nedeterminați este redusă la un numitor comun. Deoarece numitorii laturilor drepte și stângi sunt egali, numărătorii, care sunt polinoame, trebuie să fie și ei egali. Echivalând coeficienții de aceleași grade (deoarece polinoamele sunt egale dacă coeficienții de aceleași grade sunt egali), obținem un sistem de ecuații liniare pentru determinarea acestor coeficienți.
25. Integrarea funcțiilor iraționale - Principiul general al integrării expresiilor iraționale este înlocuirea variabilei, ceea ce vă permite să scăpați de rădăcinile din integrand. Pentru unele clase de funcții, acest obiectiv este atins folosind substituții standard.
Integrale ale formei 
.
Integrale ale formei 
se calculează prin înlocuirea sau .
Integrale ale formei 
se calculează prin înlocuirea sau .
26 . Integrarea funcțiilor iraționale - Principiul general al integrării expresiilor iraționale este înlocuirea variabilei, ceea ce vă permite să scăpați de rădăcinile din integrand. Pentru unele clase de funcții, acest obiectiv este atins folosind substituții standard.
Integrale ale formei 
, unde este funcția rațională a argumentelor sale, se calculează prin înlocuire 
.
Integrale ale formei 
se calculează prin înlocuirea sau .
Integrale ale formei 
se calculează prin înlocuirea sau . Integrale ale formei 
se calculează prin înlocuirea sau .
Integrare prin substituire (înlocuire variabilă). Să presupunem că trebuie să calculați o integrală care nu este tabelară. Esența metodei substituției este aceea că în integrală variabila x este înlocuită cu variabila t după formula x = q(t), din care dx = q"(t)dt.
Teorema. Fie definită și diferențiabilă funcția x=t(t) pe o anumită mulțime T și fie X mulțimea de valori a acestei funcții pe care este definită funcția f(x). Atunci dacă pe mulțimea X funcția f(x) are o antiderivată, atunci pe mulțimea T este valabilă formula:
Formula (1) se numește modificarea formulei variabilei în integrala nedefinită.
Integrare pe părți. Metoda de integrare pe părți decurge din formula pentru diferența produsului a două funcții. Fie u(x) și v(x) două funcții diferențiabile ale variabilei x. Apoi:
d(uv)=udv+vdu. - (3)
Integrând ambele părți ale egalității (3), obținem:
Dar de atunci:
Relația (4) se numește formula de integrare prin părți. Folosind această formulă, găsiți integrala. Este recomandabil să îl utilizați atunci când integrala din partea dreaptă a formulei (4) este mai simplu de calculat decât cea inițială.
În formula (4) nu există o constantă arbitrară C, deoarece în partea dreaptă a acestei formule există o integrală nedefinită care conține o constantă arbitrară.
Prezentăm câteva tipuri de integrale frecvent întâlnite calculate prin metoda integrării pe părți.
I. Integrale de forma, (P n (x) este un polinom de grad n, k este un anumit număr). Pentru a găsi aceste integrale, este suficient să setați u=P n (x) și să aplicați formula (4) de n ori.
II. Integrale de forma, (Pn(x) este un polinom de grad n în raport cu x). Ele pot fi găsite folosind frecvențe, luând pentru u o funcție care este un multiplicator pentru P n (x).
Integrare directă
Formule de integrare de bază
| 1. C – constantă | 1*. | |
2.  , n ≠ –1 | ||
| 3. +C | ||
4.  |  | |
5. |  | |
6.  |  | |
7.  |  | |
8.  |  | |
9.  |  | |
10.  |  |  |
11.  |  |  |
| 12. |  | |
| 13. |  | |
| 14. |  |
Se numește calculul integralelor prin utilizarea directă a tabelului de integrale simple și a proprietăților de bază ale integralelor nedefinite integrare directă.
Exemplul 1.
Exemplul 2.
Exemplul 3.
Aceasta este cea mai comună metodă de integrare a unei funcții complexe, constând în transformarea integralei prin trecerea la o altă variabilă de integrare.
Dacă este dificil să reduceți integrala la una tabelară folosind transformări elementare, atunci în acest caz se utilizează metoda substituției. Esența acestei metode este că prin introducerea unei noi variabile este posibilă reducerea acestei integrale la o nouă integrală, care este relativ ușor de luat direct.
Pentru a integra prin metoda de substituție, utilizați schema de soluții:
2) găsiți diferența de la ambele piese de schimb;
3) exprima întregul integrand printr-o nouă variabilă (după care ar trebui să se obțină o integrală de tabel);
4) găsiți integrala tabelului rezultat;
5) efectuați o înlocuire inversă.
Aflați integralele:
Exemplul 1 . Substituţie:cosx=t,-sinxdx=dt,
Soluţie:
Exemplul 2.∫e -x3 x 2 dx Substituţie:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Soluţie:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C
Exemplul 3.
Substituţie: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,
Soluţie: .
SECȚIUNEA 1.5. Integrală definită, metode de calcul a acesteia.
itemul 1 Conceptul de integrală definită
Sarcină. Găsiți incrementul unei funcții care este antiderivată a unei funcții f(x), la trecerea argumentului X din valoare A a valorifica b.
Soluţie. Să presupunem că integrarea a găsit: ∫ (x)dx = F(x)+C.
Apoi F(x)+C 1, Unde C 1- orice număr dat va fi una dintre funcțiile antiderivate pentru această funcție f(x). Să găsim incrementul său atunci când argumentul se mută de la valoare A a valorifica b. Primim:
x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)
După cum vedem, în expresia pentru creșterea funcției antiderivative F(x)+C 1 nicio valoare constantă C 1. Iar de sub C 1 a fost implicat orice număr dat, rezultatul obținut duce la următoarea concluzie: asupra tranziției argumentelor X din valoare x=a a valorifica x=b toate functiile F(x)+C, antiderivate pentru o funcție dată f(x), au același increment egal cu F(b)-F(a).
Această creștere este de obicei numită integrală definităși notat cu simbolul: și se citește: integrală a A inainte de b din funcția f(x) peste dх sau, pe scurt, integrala lui A inainte de b din f(x)dx.
Număr A numit limita inferioara integrare, număr b - top; segment a ≤ x ≤ b – segment de integrare. Se presupune că funcția integrand f(x) continuu pentru toate valorile X, îndeplinind condițiile: A X b
Definiție. Creșterea funcțiilor antiderivate F(x)+C asupra tranziției argumentelor X din valoare x=a a valorifica x=b, egal cu diferența F(b)-F(a), se numește integrală definită și se notează prin simbolul: astfel încât dacă ∫ (x)dx = F(x)+C, apoi = F(b)-F(a) - dat egalitatea se numește formula Newton-Leibniz.
itemul 2 Proprietăţile de bază ale integralei definite
Toate proprietățile sunt formulate în propoziția că funcțiile luate în considerare sunt integrabile în intervalele corespunzătoare.
punctul 3 Calculul direct al integralei definite
Pentru a calcula integrala definită, când puteți găsi integrala nedefinită corespunzătoare, utilizați formula Newton-Leibniz
acestea. o integrală definită este egală cu diferența dintre valorile oricărei funcții antiderivate la limitele superioare și inferioare ale integrării.
Această formulă arată procedura de calcul a unei integrale definite:
1) găsiți integrala nedefinită a acestei funcții;
2) în antiderivată rezultată, înlocuiți mai întâi limita superioară și apoi limita inferioară a integralei în locul argumentului;
3) scădeți rezultatul înlocuirii limitei inferioare din rezultatul înlocuirii limitei superioare.
Exemplul 1: 
Calculați integrala:
Exemplul 2: Calculați integrala:
p.4 Calculul unei integrale definite prin metoda substituției
Calculul integralei definite prin metoda substituției este următorul:
1) înlocuiți o parte din integrand cu o nouă variabilă;
2) găsiți noi limite ale integralei definite;
3) găsiți diferența de la ambele piese de schimb;
4) exprimă întregul integrand printr-o nouă variabilă (după care ar trebui să se obțină o integrală de tabel); 5) se calculează integrala definită rezultată.
Exemplul 1: Calculați integrala:
Substituţie: 1+cosx=t,-sinxdx=dt, 
SECȚIUNEA 1.6. Sensul geometric al unei integrale definite.
Aria unui trapez curbat:
Se știe că o integrală definită pe un segment reprezintă aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției f(x).
Aria unei figuri delimitate de anumite drepte poate fi găsită folosind anumite integrale dacă ecuațiile acestor drepte sunt cunoscute.
Fie pe segmentul [a; b] o funcție continuă este dată y = ƒ(x) ≥ 0. Să găsim aria acestui trapez.
Aria figurii delimitată de axa 0 X, două linii drepte verticale x = a, x = b iar graficul funcției y = ƒ(x) (figura), determinat de formula:
Acesta este sensul geometric al integralei definite.
Exemplul 1:
Calculați aria figurii delimitată de liniile: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.
Soluţie: Să facem un desen (rețineți că ecuația y=0 definește axa Ox).
Răspuns: S = 9 unități 2
Exemplul 2:
Calculați aria figurii delimitată de liniile: y= - e x, x=1 și axele de coordonate.
Soluție: Să facem un desen.
Dacă un trapez curbat complet situat sub axa Ox, atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz: 
Atenţie! Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
SECȚIUNEA 1.7. Aplicarea integralei definite
p.1 Calculul volumului unui corp de revoluție
Dacă un trapez curbat este adiacent axei Ox, iar liniile drepte y=a, y=b și graficul funcției y= F(x) (Fig. 1), atunci volumul corpului de revoluție este determinat printr-o formulă care conține o integrală.
Volumul corpului de revoluție este egal cu:
Exemplu:
Aflați volumul corpului limitat de suprafața de rotație a liniei în jurul axei Ox la 0≤ x ≤4.
Soluţie: V
unitățile 3. Răspuns: unitatea 3.
SECȚIUNEA 3.1. Ecuații diferențiale obișnuite
itemul 1 Conceptul de ecuație diferențială
Definiție. Ecuație diferențială este o ecuație care conține o funcție a unui set de variabile și derivatele acestora.
Forma generală a unei astfel de ecuații 
=0, unde F este o funcție cunoscută a argumentelor sale, specificată într-o zonă fixă; x - variabila independenta (variabila prin care se diferentiaza);y - variabila dependenta (cea din care se iau derivatele si cea de determinat); - derivata variabilei dependente y fata de variabila independenta x.
itemul 2 Concepte de bază ale ecuaţiei diferenţiale
În ordine a unei ecuații diferențiale se numește ordinea celei mai mari derivate incluse în ea.
De exemplu:
O ecuație de ordinul doi este o ecuație de ordinul întâi.
Se numește orice funcție care conectează variabile și transformă o ecuație diferențială într-o egalitate adevărată decizie ecuație diferențială.
Solutie generala a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi este o funcție a și o constantă arbitrară C care transformă această ecuație într-o identitate în .
Soluția generală, scrisă sub forma implicită =0, se numește integrală generală.
Decizie privată ecuația =0 este o soluție obținută din soluția generală pentru o valoare fixă - un număr fix.
Problema găsirii unei anumite soluții la o ecuație diferențială de ordinul n-a (n= 1,2,3,...), care să îndeplinească condițiile inițiale ale formei
numit Problema Cauchy.
itemul 3 Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile
O ecuație diferențială de ordinul întâi se numește ecuație separabilă dacă poate fi reprezentată ca 
poate fi rescris sub formă 
. Dacă 
. Să integrăm: 
.
Pentru a rezolva o ecuație de acest tip aveți nevoie de:
1. Variabile separate;
2. Prin integrarea ecuației cu variabile separate, găsiți soluția generală a acestei ecuații;
3. Găsiți o anumită soluție care să îndeplinească condițiile inițiale (dacă sunt date).
Exemplul 1. Rezolvați ecuația. Găsiți o anumită soluție care îndeplinește condiția y=4 la x=-2.
Soluţie: Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Integrând, găsim soluția generală a ecuației: . Pentru a obține o soluție generală mai simplă, reprezentăm termenul constant din partea dreaptă sub forma C/2. Avem sau este o soluție generală. Înlocuind valorile y=4 și x=-2 în soluția generală, obținem 16=4+C, din care C=12.
Deci, o soluție particulară a ecuației care satisface această condiție are forma
Exemplul 2. Găsiți o anumită soluție a ecuației dacă .
Soluţie: 
, 
, 
, 
, 
, 
decizie comună.
Înlocuim valorile lui x și y în soluția particulară: , , 
soluție privată.
Exemplul 3. Găsiți soluția generală a ecuației . Soluție: ,, 
, 
- decizie comună.
itemul 4 Ecuații diferențiale de ordin mai mare decât prima
O ecuație de forma sau se rezolvă prin dublă integrare: , , de unde . După ce am integrat această funcție, obținem o nouă funcție a lui f(x), pe care o notăm cu F(x). Prin urmare, ; 
. Să integrăm din nou: sau y=Ф(x). Am obținut o soluție generală a ecuației care conține două constante arbitrare și .
Exemplul 1. Rezolvați ecuația.
Soluţie:, 
, ,
Exemplul 2. Rezolvați ecuația . Soluţie: 
, , 
.
SECȚIUNEA 3.2. Seria de numere, membrii săi
Definiția 1.Seria de numere se numește o expresie de forma ++…++…, (1)
Unde , , …, , … - numere aparținând unui anumit sistem de numere.
Astfel, putem vorbi despre seriale reale pentru care R, despre serii complexe pentru care C,i= 1, 2, …, n,...
Anterior, dată fiind o funcție dată, ghidată de diverse formule și reguli, am găsit derivata ei. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.
Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.
Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).De fapt
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite, se inventează notații speciale, de exemplu: pătrat (x 2) și rădăcină pătrată (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x) și etc Procesul de găsire a derivatei unei funcții date se numește diferenţiere, iar operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, este integrare.
Termenul „derivat” însuși poate fi justificat „în termeni de zi cu zi”: funcția y = f(x) „da naștere” unei noi funcții y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător”; ei spun că este, în raport cu funcția y" = f"( x), imagine primară sau primitivă.
Definiție. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)
În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).
Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată
Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.
Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).
Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.
Metode de integrare
Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)
Metoda integrării prin substituție presupune introducerea unei noi variabile de integrare (adică substituția). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Nu există metode generale de selectare a substituțiilor. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.
Integrare pe părți
Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă pentru integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
