Dependența liniară a rândurilor. Independență liniară

Matrice– un tabel dreptunghiular de numere arbitrare dispuse într-o anumită ordine, mărimea m*n (rânduri pe coloane). Elementele matricei sunt desemnate unde i este numărul rândului, aj este numărul coloanei.

Adăugare (scădere) matricele sunt definite numai pentru matricele unidimensionale. Suma (diferența) matricelor este o matrice ale cărei elemente sunt, respectiv, suma (diferența) elementelor matricelor originale.

Înmulțire (împărțire)pe număr– înmulțirea (împărțirea) fiecărui element de matrice cu acest număr.

Înmulțirea matricelor este definită numai pentru matrice, numărul de coloane al primei dintre ele este egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea.

Înmulțirea matricei– o matrice ale cărei elemente sunt date prin formulele:

Transpunerea matricei– o astfel de matrice B, ale cărei rânduri (coloane) sunt coloanele (rândurile) din matricea originală A. Desemnat

matrice inversă

Ecuații matriceale– ecuațiile de forma A*X=B sunt un produs de matrici, răspunsul la această ecuație este matricea X, care se găsește folosind regulile:

1. Dependența liniară și independența coloanelor (rândurilor) unei matrice. Criteriul dependenței liniare, condiții suficiente pentru dependența liniară a coloanelor (rândurilor) matricei.

Se numește sistemul de rânduri (coloane). liniar independent, dacă combinația liniară este banală (egalitatea este satisfăcută numai când a1...n=0), unde A1...n sunt coloane (rânduri), aa1...n sunt coeficienți de expansiune.

Criteriu: pentru ca un sistem de vectori să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar prin vectorii rămași ai sistemului.

Stare suficientă:

1. Determinanții matricei și proprietățile lor

Determinant matrice (determinant)– un număr care pentru o matrice pătrată A poate fi calculat din elementele matricei folosind formula:

, unde este minorul suplimentar al elementului

Proprietăți:

1. Matrice inversă, algoritm de calcul al matricei inverse.

matrice inversă este o matrice pătrată X astfel încât, împreună cu matrice pătrată A de același ordin, îndeplinește condiția:, unde E este matricea de identitate, de același ordin ca A. Orice matrice pătrată cu determinant diferit de zero are 1 matrice inversă. Găsit folosind metoda transformărilor elementare și folosind formula:

Conceptul de rang de matrice. Teorema pe baza minoră. Criteriul pentru ca determinantul unei matrice să fie egal cu zero. Transformări elementare ale matricelor. Calculul rangului prin metoda transformărilor elementare. Calculul matricei inverse folosind metoda transformărilor elementare.

rangul matricei - ordinea bazei minore (rg A)

minor de bază - un minor de ordinul r nu este egal cu zero, astfel încât toți minorii de ordinul r+1 și mai mari sunt egali cu zero sau nu există.

Teorema minoră a bazei -Într-o matrice arbitrară A, fiecare coloană (rând) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) în care se află minor de bază.

Dovada: Fie ca baza minoră dintr-o matrice A de dimensiuni m*n să fie situată în primele r rânduri și primele r coloane. Să considerăm determinantul, care se obține prin atribuirea elementelor corespunzătoare bazei minore a matricei A al doilea rândși a k-a coloană.

Rețineți că pentru orice u acest determinant este egal cu zero. Dacă sau, atunci determinantul D conține două linii identice sau două coloane identice. Dacă sunt, atunci determinantul D este egal cu zero, deoarece este un minor de ordinul (r+λ)-ro. Extinzând determinantul de-a lungul ultimului rând, obținem:, unde sunt complementele algebrice ale elementelor ultimului rând. Rețineți că, deoarece acesta este un minor de bază. Prin urmare, unde Scriind ultima egalitate pentru, obținem , adică a k-a coloană(pentru orice) există o combinație liniară a coloanelor de bază minoră, ceea ce trebuia să dovedim.

Criteriul detA=0– Un determinant este egal cu zero dacă și numai dacă rândurile (coloanele) sale sunt dependente liniar.

Transformări elementare:

1) înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;

2) adăugarea elementelor unei alte linii la elementele unei linii;

3) rearanjarea corzilor;

4) tăierea unuia dintre rândurile (coloanele) identice;

5) transpunere;

Calculul rangului - Din teorema bazată pe baza minoră rezultă că rangul matricei A este egal cu numărul maxim de rânduri liniar independente (coloane din matrice), prin urmare sarcina transformărilor elementare este de a găsi toate liniar independente rânduri dependente(coloane).

Calcularea matricei inverse- Transformările pot fi implementate prin înmulțirea unei anumite matrice T cu matricea A, care este produsul matricelor elementare corespunzătoare: TA = E.

Această ecuație înseamnă că matricea de transformare T este inversa matricei matricei. Atunci, prin urmare,

Un sistem de vectori de același ordin se numește dependent liniar dacă un vector zero poate fi obținut din acești vectori printr-o combinație liniară adecvată. (Nu este permis ca toți coeficienții unei combinații liniare să fie egali cu zero, deoarece acest lucru ar fi banal.) În caz contrar, vectorii sunt numiți liniar independenți. De exemplu, următorii trei vectori:

sunt dependente liniar, deoarece acest lucru este ușor de verificat. În cazul unei dependențe liniare, orice vector poate fi întotdeauna exprimat printr-o combinație liniară de alți vectori. În exemplul nostru: fie sau Acest lucru este ușor de verificat cu calculele corespunzătoare. Aceasta conduce la următoarea definiție: un vector este independent liniar de alți vectori dacă nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară a acestor vectori.

Să considerăm un sistem de vectori fără a specifica dacă este liniar dependent sau liniar independent. Pentru fiecare sistem format din vectori coloană a, este posibil să se identifice numărul maxim posibil de vectori liniar independenți. Acest număr, notat cu litera , este rangul acestui sistem vectorial. Deoarece fiecare matrice poate fi privită ca un sistem de vectori coloană, rangul unei matrice este definit ca numărul maxim de vectori coloană liniar independenți pe care îi conține. Vectorii rând sunt, de asemenea, utilizați pentru a determina rangul unei matrice. Ambele metode dau același rezultat pentru aceeași matrice și nu pot depăși cel mai mic dintre sau Rangul unei matrice pătrate de ordin variază de la 0 la . Dacă toți vectorii sunt zero, atunci rangul unei astfel de matrice este zero. Dacă toți vectorii sunt liniar independenți unul de celălalt, atunci rangul matricei este egal. Dacă formăm o matrice din vectorii de mai sus, atunci rangul acestei matrice este 2, deoarece fiecare doi vectori poate fi redus la o treime printr-o combinație liniară, atunci rangul este mai mic de 3.

Dar ne putem asigura că oricare doi vectori ai acestora sunt independenți liniar, de unde și rangul

O matrice pătrată se numește singulară dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt dependenți liniar. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero și matricea sa inversă nu există, așa cum s-a menționat mai sus. Aceste concluzii sunt echivalente între ele. Ca rezultat, o matrice pătrată este numită nesingulară sau nesingulară, dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt independenți unul de celălalt. Determinantul unei astfel de matrice nu este egal cu zero și matricea sa inversă există (comparați cu p. 43)

Rangul matricei are o interpretare geometrică destul de evidentă. Dacă rangul matricei este egal cu , atunci se spune că spațiul -dimensional este acoperit de vectori. Dacă rangul este, atunci vectorii se află într-un subspațiu -dimensional care îi include pe toți. Deci, rangul matricei corespunde dimensiunii minime necesare a spațiului „care conține toți vectorii” un subspațiu -dimensional într-un spațiu -dimensional se numește hiperplan -dimensional. Rangul matricei corespunde celei mai mici dimensiuni a hiperplanului în care se află încă toți vectorii.

Ortogonalitatea. Se spune că doi vectori a și b sunt reciproc ortogonali dacă produsul lor scalar este zero. Dacă matricea de ordine are egalitatea în care D este o matrice diagonală, atunci vectorii coloană ai matricei A sunt perechi ortogonali reciproc. Dacă acești vectori coloană sunt normalizați, adică redusi la o lungime egală cu 1, atunci apare egalitatea și vorbim de vectori ortonormali. Dacă B este o matrice pătrată și egalitatea este valabilă, atunci matricea B se numește ortogonală. În acest caz, din formula (1.22) rezultă că matricea ortogonală este întotdeauna nesingulară. Prin urmare, din ortogonalitatea matricei, urmează independența liniară a vectorilor ei rând sau a vectorilor coloană. Afirmația inversă nu este adevărată: independența liniară a unui sistem de vectori nu implică ortogonalitatea pe perechi a acestor vectori.

Conceptele de dependență liniară și independență liniară sunt definite în mod egal pentru rânduri și coloane. Prin urmare, proprietățile asociate acestor concepte formulate pentru coloane sunt, desigur, valabile și pentru rânduri.

1. Dacă un sistem de coloane include o coloană zero, atunci aceasta este dependentă liniar.

2. Dacă un sistem de coloane are două coloane egale, atunci este dependent liniar.

3. Dacă un sistem de coloane are două coloane proporționale, atunci este dependent liniar.

4. Un sistem de coloane este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre coloane este o combinație liniară a celorlalte.

5. Orice coloane incluse în liniar sistem independent, formează un subsistem liniar independent.

6. Un sistem de coloane care conțin un subsistem dependent liniar este dependent liniar.

7. Dacă un sistem de coloane este liniar independent și, după adăugarea unei coloane la acesta, se dovedește a fi liniar dependent, atunci coloana poate fi descompusă în coloane și, în plus, într-un mod unic, de exemplu. coeficienții de expansiune pot fi găsiți în mod unic.

Să demonstrăm, de exemplu, ultima proprietate. Deoarece sistemul de coloane este dependent liniar, există numere care nu sunt toate egale cu 0, care

În această egalitate. De fapt, dacă , atunci

Aceasta înseamnă că o combinație liniară netrivială de coloane este egală cu coloana zero, ceea ce contrazice independența liniară a sistemului. Prin urmare, și apoi, adică. o coloană este o combinație liniară de coloane. Rămâne să arătăm unicitatea unei astfel de reprezentări. Să presupunem contrariul. Să fie două expansiuni și , și nu toți coeficienții expansiunilor sunt, respectiv, egali între ei (de exemplu, ). Apoi de la egalitate

Obținem (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

secvenţial, combinaţia liniară de coloane este egală cu coloana zero. Deoarece nu toți coeficienții săi sunt egali cu zero (cel puțin), această combinație este netrivială, ceea ce contrazice condiția independenței liniare a coloanelor. Contradicția rezultată confirmă unicitatea expansiunii.

Exemplul 3.2. Demonstrați că două coloane diferite de zero și sunt dependente liniar dacă și numai dacă sunt proporționale, i.e. .

Soluţie. De fapt, dacă coloanele sunt dependente liniar, atunci există numere care nu sunt egale cu zero în același timp, astfel încât . Și în această egalitate. Într-adevăr, presupunând că , obținem o contradicție, deoarece coloana este și ea diferită de zero. Mijloace, . Prin urmare, există un număr astfel încât . Necesitatea a fost dovedită.

În schimb, dacă , atunci . Am obținut o combinație liniară netrivială de coloane egală cu coloana zero. Aceasta înseamnă că coloanele sunt dependente liniar.

Exemplul 3.3. Luați în considerare toate tipurile de sisteme formate din coloane

Examinați fiecare sistem pentru dependența liniară.
Soluţie. Să luăm în considerare cinci sisteme care conțin câte o coloană fiecare. Conform paragrafului 1 din Observațiile 3.1: sistemele sunt liniar independente, iar un sistem format dintr-o coloană zero este dependent liniar.

Să luăm în considerare sistemele care conțin două coloane:

– fiecare dintre cele patru sisteme este dependent liniar, deoarece conține o coloană zero (proprietatea 1);

– sistemul este dependent liniar, deoarece coloanele sunt proporţionale (proprietatea 3): ;

– fiecare dintre cele cinci sisteme este liniar independent, deoarece coloanele sunt disproporționate (vezi enunțul exemplului 3.2).

Luați în considerare sistemele care conțin trei coloane:

– fiecare dintre cele șase sisteme este dependent liniar, deoarece conține o coloană zero (proprietatea 1);

– sistemele sunt dependente liniar, deoarece conțin un subsistem dependent liniar (proprietatea 6);

– sisteme și sunt liniar dependente, deoarece ultima coloană este exprimată liniar prin restul (proprietatea 4): și, respectiv.

În cele din urmă, sistemele de patru sau cinci coloane sunt dependente liniar (prin proprietatea 6).

Rangul matricei

În această secțiune, vom lua în considerare o altă caracteristică numerică importantă a unei matrice, legată de măsura în care rândurile (coloanele) acesteia depind unele de altele.

Definiția 14.10 Fie o matrice de dimensiuni și un număr care să nu depășească cel mai mic dintre numere și să fie dat: . Să alegem aleatoriu rândurile și coloanele matricei (numerele rândurilor pot diferi de numerele coloanelor). Determinantul unei matrice compuse din elemente la intersecția rândurilor și coloanelor selectate se numește ordinea minoră a matricei.

Exemplul 14.9 Lăsa .

Un minor de ordinul întâi este orice element al matricei. Deci 2, , sunt minori de ordinul întâi.

Minori de ordinul doi:

1. luăm rândurile 1, 2, coloanele 1, 2, obținem un minor ;

2. luăm rândurile 1, 3, coloanele 2, 4, obținem minor ;

3. luați rândurile 2, 3, coloanele 1, 4, obținem minore

Minori de ordin al treilea:

rândurile de aici pot fi selectate doar într-un singur fel,

1. luăm coloanele 1, 3, 4, obținem minore ;

2. luăm coloanele 1, 2, 3, obținem minore .

Propunerea 14.23 Dacă toate minorele unei matrice de ordine sunt egale cu zero, atunci toate minorii de ordin, dacă există, sunt de asemenea egale cu zero.

Dovada. Să luăm un minor arbitrar de ordine. Acesta este determinantul matricei de ordine. Să o descompunem de-a lungul primei linii. Apoi, în fiecare termen al expansiunii, unul dintre factori va fi un minor de ordinul matricei originale. După condiție, ordinul minorilor sunt egali cu zero. Prin urmare, minorul ordinului va fi egal cu zero.

Definiția 14.11 Rangul unei matrice este cel mai mare ordin al matricei minore, altele decât zero. Rang matrice zero este considerat egal cu zero.

Nu există o desemnare unică, standard, pentru rangul matricei. În urma manualului, îl vom nota.

Exemplul 14.10 Matricea din Exemplul 14.9 are rangul 3 deoarece există un minor de ordinul al treilea, altul decât zero, dar nu există minori de ordinul al patrulea.

Rangul matricei este egal cu 1, deoarece există un minor de ordinul întâi (element de matrice) diferit de zero și toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero.

Rangul unei matrice pătrate de ordin nesingular este egal cu , deoarece determinantul său este un minor al ordinului și este diferit de zero pentru o matrice nesingulară.

Propunerea 14.24 Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă, adică .

Dovada. Un minor transpus al matricei originale va fi un minor al matricei transpuse și invers, orice minor este un minor transpus al matricei originale. La transpunere, determinantul (minor) nu se modifică (Propunerea 14.6). Prin urmare, dacă toți minorii unui ordin din matricea originală sunt egali cu zero, atunci toți minorii din același ordin sunt, de asemenea, egali cu zero. Dacă minorul de ordine din matricea originală este diferit de zero, atunci b este un minor de același ordin, diferit de zero. Prin urmare, .

Definiția 14.12 Fie rangul matricei . Atunci orice minor de ordin, altul decât zero, se numește bază minoră.

Exemplul 14.11 Lăsa . Determinantul matricei este zero, deoarece al treilea rând este egal cu suma primelor două. Minorul de ordinul doi, situat în primele două rânduri și primele două coloane, este egal cu . În consecință, rangul matricei este doi, iar minorul considerat este de bază.

Un minor de bază este, de asemenea, un minor situat, de exemplu, în primul și al treilea rând, prima și a treia coloană: . Baza va fi minorul pe al doilea și al treilea rând, prima și a treia coloană: .

Minorul din primul și al doilea rând și din a doua și a treia coloană este zero și, prin urmare, nu va fi o bază. Cititorul poate verifica independent care alți minori de ordinul doi vor fi de bază și care nu.

Deoarece coloanele (rândurile) unei matrice pot fi adăugate, înmulțite cu numere și formate combinații liniare, este posibil să se introducă definiții ale dependenței liniare și ale independenței liniare a unui sistem de coloane (rânduri) ale unei matrice. Aceste definiții sunt similare cu aceleași definiții 10.14, 10.15 pentru vectori.

Definiția 14.13 Un sistem de coloane (rânduri) se numește dependent liniar dacă există un astfel de set de coeficienți, dintre care cel puțin unul este diferit de zero, încât o combinație liniară de coloane (rânduri) cu acești coeficienți să fie egală cu zero.

Definiția 14.14 Un sistem de coloane (rânduri) este liniar independent dacă egalitatea cu zero a unei combinații liniare a acestor coloane (rânduri) implică faptul că toți coeficienții acestei combinații liniare sunt egali cu zero.

Următoarea propoziție, similară cu Propoziția 10.6, este de asemenea adevărată.

Teza 14.25 Un sistem de coloane (rânduri) este dependent liniar dacă și numai dacă una dintre coloane (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a altor coloane (rânduri) ale acestui sistem.

Să formulăm o teoremă numită teorema minoră a bazei.

Teorema 14.2 Orice coloană matrice este o combinație liniară a coloanelor care trec prin baza minoră.

Dovada poate fi găsită în manualele de algebră liniară, de exemplu, în,.

Propunerea 14.26 Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al coloanelor sale care formează un sistem liniar independent.

Dovada. Fie rangul matricei . Să luăm coloanele care trec prin baza minoră. Să presupunem că aceste coloane formează un sistem dependent liniar. Apoi, una dintre coloane este o combinație liniară a celorlalte. Prin urmare, într-o bază minoră, o coloană va fi o combinație liniară a celorlalte coloane. Prin Propozițiile 14.15 și 14.18, această bază minoră trebuie să fie egală cu zero, ceea ce contrazice definiția unei baze minore. Prin urmare, ipoteza că coloanele care trec prin baza minoră sunt dependente liniar nu este adevărată. Deci, numărul maxim de coloane care formează un sistem liniar independent este mai mare sau egal cu .

Să presupunem că coloanele formează un sistem liniar independent. Să facem o matrice din ele. Toți minorii de matrice sunt minori de matrice. Prin urmare, baza minoră a matricei are un ordin nu mai mare decât . Conform teoremei minore a bazei, o coloană care nu trece prin baza minoră a unei matrice este o combinație liniară a coloanelor care trec prin baza minoră, adică coloanele matricei formează un sistem dependent liniar. Acest lucru este contrar alegerii coloanelor care formează matricea. În consecință, numărul maxim de coloane care formează un sistem liniar independent nu poate fi mai mare de . Aceasta înseamnă că este egal cu ceea ce a fost declarat.

Propunerea 14.27 Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri ale acesteia formând un sistem liniar independent.

Dovada. Conform Propoziției 14.24, rangul matricei nu se modifică în timpul transpunerii. Rândurile matricei devin coloanele acesteia. Numărul maxim de coloane noi ale matricei transpuse (foste rânduri ale originalului) care formează un sistem liniar independent este egal cu rangul matricei.

Propunerea 14.28 Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci una dintre coloanele sale (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.

Dovada. Fie ordinea matricei egală cu . Determinantul este singurul minor al unei matrice pătrate care are ordine. Deoarece este egal cu zero, atunci . În consecință, un sistem de coloane (rânduri) este dependent liniar, adică una dintre coloane (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a celorlalte.

Rezultatele Propozițiilor 14.15, 14.18 și 14.28 dau următoarea teoremă.

Teorema 14.3 Determinantul unei matrice este egal cu zero dacă și numai dacă una dintre coloanele sale (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.

Găsirea rangului unei matrice prin calcularea tuturor minorilor ei necesită prea mult munca de calcul. (Cititorul poate verifica dacă există 36 de minori de ordinul doi într-o matrice pătrată de ordinul al patrulea.) Prin urmare, se folosește un alt algoritm pentru a găsi rangul. Pentru a-l descrie, vor fi necesare o serie de informații suplimentare.

Definiția 14.15 Să numim următoarele acțiuni asupra lor transformări elementare ale matricelor:

1) rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
2) înmulțirea unui rând sau a unei coloane cu un alt număr decât zero;
3) adăugarea la unul dintre rânduri a unui alt rând înmulțit cu un număr sau adăugarea la una dintre coloane a unei alte coloane înmulțite cu un număr.

Propunerea 14.29 La transformări elementare rangul matricei nu se modifică.

Dovada. Fie rangul matricei egal cu , - matricea rezultată din efectuarea unei transformări elementare.

Să luăm în considerare permutarea șirurilor. Fie un minor al matricei, atunci matricea are un minor care fie coincide sau diferă de ea prin rearanjarea rândurilor. Și invers, orice matrice minoră poate fi asociată cu o matrice minoră care fie coincide sau diferă de ea în ordinea rândurilor. Prin urmare, din faptul că toți minorii unui ordin dintr-o matrice sunt egali cu zero, rezultă că în matrice toți minorii din acest ordin sunt, de asemenea, egali cu zero. Și întrucât matricea are un minor de ordin , diferit de zero, atunci matricea are și un minor de ordin, diferit de zero, adică .

Luați în considerare înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero. Un minor dintr-o matrice îi corespunde unui minor dintr-o matrice care fie coincide, fie diferă de ea într-un singur rând, care se obține din rândul minor prin înmulțirea cu un alt număr decât zero. In ultimul caz. În toate cazurile, fie și sunt simultan egale cu zero sau, în același timp, diferite de zero. Prin urmare, .

unde sunt unele numere (unele dintre aceste numere sau chiar toate pot fi egale cu zero). Aceasta înseamnă că există următoarele egalități între elementele coloanelor:

sau ,.

Din (3.3.1) rezultă că

(3.3.2)

unde este șirul zero.

Definiție. Rândurile matricei A sunt dependente liniar dacă există numere care nu sunt toate egale cu zero în același timp, astfel încât

(3.3.3)

Dacă egalitatea (3.3.3) este adevărată dacă și numai dacă , atunci rândurile se numesc liniar independente. Relația (3.3.2) arată că dacă unul dintre rânduri este exprimat liniar în termenii celorlalte, atunci rândurile sunt dependente liniar.

Este ușor de observat contrariul: dacă șirurile sunt dependente liniar, atunci există un șir care va fi o combinație liniară a șirurilor rămase.

Fie, de exemplu, în (3.3.3), atunci .

Definiție. Să fie selectat un anumit minor în matricea A r comandă și lasă minor ( r Ordinul +1) al aceleiași matrice conține în întregime minorul . Vom spune că în acest caz minorul se învecinează cu minorul (sau se limitează pentru ).

Acum vom demonstra o lemă importantă.

Lemadespre minorii învecinați. Dacă minorul este de ordine r matricea A = este diferită de zero și toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero, atunci orice rând (coloană) a matricei A este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) ale acesteia care alcătuiesc .

Dovada. Fără a pierde generalitatea raționamentului, vom presupune că un minor non-zero r - ordinea este în stânga colțul de sus matrice A=:

.

Pentru primul k rânduri ale matricei A, afirmația lemei este evidentă: este suficient să includeți într-o combinație liniară același rând cu un coeficient egal cu unu, iar restul - cu coeficienți egal cu zero.

Să demonstrăm acum că rândurile rămase ale matricei A sunt exprimate liniar în termenii primului k linii. Pentru a face acest lucru, vom construi un minor ( r Ordinea +1) prin adăugarea la minor k -a linie () și l a coloana():

.

Minorul rezultat este egal cu zero pentru toți k și l . Dacă , atunci este egal cu zero, deoarece conține două coloane identice. Dacă , atunci minorul rezultat este o muchie minoră pentru și, prin urmare, este egal cu zero în condițiile lemei.

Să extindem minorul în funcție de elementele ultimuluil a coloana:

(3.3.4)

unde sunt complementele algebrice ale elementelor. Adunarea algebrică este un minor al matricei A, prin urmare . Împărțiți (3.3.4) cu și exprimați-l prin:

(3.3.5)

Unde , .

Presupunând că obținem:

(3.3.6)

Expresia (3.3.6) înseamnă că k Al treilea rând al matricei A este exprimat liniar prin primul linii r.

Deoarece atunci când o matrice este transpusă, valorile minorilor ei nu se modifică (datorită proprietății determinanților), atunci tot ceea ce dovedit este valabil și pentru coloane. Teorema este demonstrată.

Corolarul I . Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază. Într-adevăr, baza minoră a matricei este diferită de zero, iar toți minorii care o mărginesc sunt egale cu zero.

Corolarul II. Determinant n de ordin este egal cu zero dacă și numai dacă conține rânduri (coloane) dependente liniar. Suficiența dependenței liniare a rândurilor (coloanelor) pentru ca determinantul să fie egal cu zero a fost dovedită mai devreme ca o proprietate a determinanților.

Să dovedim necesitatea. Să fie dată o matrice pătrată n -al-lea ordin, al cărui singur minor este zero. Rezultă că rangul acestei matrice este mai mic n , adică există cel puțin un rând care este o combinație liniară a rândurilor de bază ale acestei matrice.

Să demonstrăm o altă teoremă despre rangul matricei.

Teorema.Numărul maxim de rânduri liniar independente ale unei matrice este egal cu numărul maxim al coloanelor sale liniar independente și este egal cu rangul acestei matrice.

Dovada. Fie rangul matricei A= egal cu r. Atunci oricare dintre k Rândurile de bază sunt liniar independente, altfel baza minoră ar fi zero. Pe de altă parte, orice r +1 sau mai multe rânduri sunt dependente liniar. Presupunând contrariul, am putea găsi un minor de ordin mai mare decât r , diferit de zero prin Corolarul 2 al lemei anterioare. Acesta din urmă contrazice ce comanda maxima minori non-zero este egal cu r . Tot ceea ce este dovedit pentru rânduri este valabil și pentru coloane.

În concluzie, vom schița o altă metodă de găsire a rangului unei matrice. Rangul unei matrice poate fi determinat prin găsirea unui minor de ordin maxim care este diferit de zero.

La prima vedere, acest lucru necesită un calcul, deși finit, dar poate foarte un numar mare minorii acestei matrice.

Următoarea teoremă permite, totuși, introducerea unor simplificări semnificative în acest sens.

Teorema.Dacă minorul matricei A este diferit de zero și toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Dovada. Este suficient să arătăm că orice subsistem de rânduri matrice cu S>r va fi dependent liniar în condițiile teoremei (de aici rezultă că r este numărul maxim de rânduri liniar independente ale matricei sau oricare dintre minorele sale de ordin mai mare decât k sunt egale cu zero).

Să presupunem contrariul. Lasă rândurile să fie liniar independente. Prin lema despre minorii învecinați, fiecare dintre ei va fi exprimat liniar în termenii liniilor care conțin minorul și care, datorită faptului că sunt nenulos, sunt liniar independente:

(3.3.7)

Se consideră matricea K din coeficienții expresiilor liniare (3.3.7):

.

Rândurile acestei matrice vor fi notate cu . Ele vor fi dependente liniar, deoarece rangul matricei K, i.e. numărul maxim al liniilor sale liniar independente nu depășește r< S . Prin urmare, există astfel de numere, nu toate egale cu zero, care

Să trecem la egalitatea componentelor

(3.3.8)

Acum luați în considerare următoarea combinație liniară:

sau

Lăsa

Coloane cu matrice de dimensiuni. Combinație liniară de coloane matrice numită matrice coloane, cu unele numere reale sau complexe numite coeficienți de combinație liniară. Dacă într-o combinație liniară luăm toți coeficienții egali cu zero, atunci combinația liniară este egală cu matricea coloanei zero.

Se numesc coloanele matricei liniar independent , dacă combinația lor liniară este egală cu zero numai atunci când toți coeficienții combinației liniare sunt egale cu zero. Se numesc coloanele matricei dependent liniar , dacă există o mulțime de numere dintre care cel puțin unul este diferit de zero, iar combinația liniară de coloane cu acești coeficienți este egală cu zero

În mod similar, pot fi date definițiile dependenței liniare și ale independenței liniare a rândurilor matricei. În cele ce urmează, toate teoremele sunt formulate pentru coloanele matricei.

Teorema 5

Dacă există un zero între coloanele matricei, atunci coloanele matricei sunt dependente liniar.

Dovada. Luați în considerare o combinație liniară în care toți coeficienții sunt egali cu zero pentru toate coloanele diferite de zero și unul pentru toate coloanele zero. Este egal cu zero, iar printre coeficienții combinației liniare există un coeficient diferit de zero. Prin urmare, coloanele matricei sunt dependente liniar.

Teorema 6

Dacă coloane de matrice sunt dependente liniar, asta-i tot coloanele matricei sunt dependente liniar.

Dovada. Pentru certitudine, vom presupune că primele coloane ale matricei dependent liniar. Apoi, prin definiția dependenței liniare, există o mulțime de numere dintre care cel puțin unul este diferit de zero, iar combinația liniară de coloane cu acești coeficienți este egală cu zero.

Să facem o combinație liniară a tuturor coloanelor matricei, inclusiv a coloanelor rămase cu coeficienți zero

Dar . Prin urmare, toate coloanele matricei sunt dependente liniar.

Consecinţă. Printre coloanele de matrice liniar independente, oricare sunt liniar independente. (Această afirmație poate fi dovedită cu ușurință prin contradicție.)

Teorema 7

Pentru ca coloanele unei matrice să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca cel puțin o coloană a matricei să fie o combinație liniară a celorlalte.

Dovada.

Necesitate. Fie coloanele matricei dependente liniar, adică există o mulțime de numere dintre care cel puțin unul este diferit de zero, iar combinația liniară de coloane cu acești coeficienți este egală cu zero

Să presupunem pentru certitudine că . Atunci, adică prima coloană este o combinație liniară a restului.

Adecvarea. Fie cel puțin o coloană a matricei o combinație liniară a celorlalte, de exemplu, , unde sunt unele numere.

Atunci , adică combinația liniară de coloane este egală cu zero, iar dintre numerele din combinația liniară cel puțin unul (la ) este diferit de zero.

Fie rangul matricei . Orice minor diferit de zero de ordinul al treilea este numit de bază . Se numesc rânduri și coloane la intersecția cărora există o bază minoră de bază .