Rangul matricei zero este egal cu. Rangul matricei. Transformări elementare ale rândurilor matriceale

Considerăm o matrice \(A\) de tip \((m,n)\). Fie, pentru certitudine, \(m \leq n\). Să luăm \(m\) rânduri și să alegem \(m\) coloane ale matricei \(A\), la intersecția acestor rânduri și coloane obținem o matrice pătrată de ordinul \(m\), al cărei determinant se numește comanda minora \(m\) matrice \(A\). Dacă acest minor este diferit de 0, se numește minor de bază iar ei spun că rangul matricei \(A\) este egal cu \(m\). Daca acest determinant este egal cu 0, atunci se aleg alte coloane \(m\), la intersectia lor exista elemente care formeaza un alt minor de ordin \(m\). Dacă minorul este 0, continuăm procedura. Dacă dintre toate posibilele minore de ordin \(m\) nu există zerouri, selectăm \(m-1\) rânduri și coloane din matricea \(A\), la intersecția lor o matrice pătrată de ordin \(m- 1\) apare , determinantul său se numește minor de ordin \(m-1\) al matricei originale. Continuând procedura, căutăm un minor non-zero, trecând prin toți minorii posibili, coborându-le ordinea.

Definiție.

Se numește minorul diferit de zero al unei matrice date de ordinul cel mai înalt minor de bază din matricea originală, ordinea acesteia se numește rang matricele \(A\), rândurile și coloanele, la intersecția cărora există o bază minoră, se numesc rânduri și coloane de bază. Rangul unei matrice este notat cu \(rang(A)\).

Din această definiție rezultă proprietăți simple ale rangului unei matrice: este un număr întreg, iar rangul unei matrice non-nule satisface inegalitățile: \(1 \leq rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

Cum se va schimba rangul matricei dacă un rând este șters? Adăugați o linie?

Verifică răspunsul

1) Rangul poate scădea cu 1.

2) Rangul poate crește cu 1.

Fie \(A\) o matrice de tip \((m,n)\). Luați în considerare coloanele matricei \(A\) - acestea sunt coloane cu numere \(m\) fiecare. Să le notăm \(A_1,A_2,...,A_n\). Fie \(c_1,c_2,...,c_n\) niște numere.

Definiție.

Coloana \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] se numește o combinație liniară de coloane \(A_1,A_2,...,A_n\), numere \( c_1,c_2 ,...,c_n\) se numesc coeficienții acestei combinații liniare.

Definiție.

Fie date \(p\) coloane \(A_1, A_2, ..., A_p\). Dacă există numere \(c_1,c_2,...,c_p\) astfel încât

1. nu toate aceste numere sunt egale cu zero,

2. combinația liniară \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) este egală cu o coloană zero (adică o coloană ale cărei toate elementele sunt zero), atunci spunem că coloanele \( A_1, A_2, ..., A_p\) sunt dependente liniar. Dacă pentru un anumit set de coloane astfel de numere \(c_1,c_2,...,c_n\) nu există, coloanele se numesc liniar independente.

Exemplu. Luați în considerare 2 coloane

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] atunci pentru orice numere \(c_1,c_2\) avem: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Această combinație liniară este egală cu coloana zero dacă și numai dacă ambele numere \(c_1,c_2\) sunt egale cu zero. Astfel, aceste coloane sunt liniar independente.

Afirmație. Pentru ca coloanele să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca unul dintre ele să fie o combinație liniară a celorlalte.

Fie coloanele \(A_1,A_2,...,A_m\) să fie dependente liniar, adică. pentru unele constante \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), care nu sunt toate egale cu 0, este valabilă următoarele: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (în partea dreaptă este coloana zero). Fie, de exemplu, \(\lambda _1 \neq 0\). Apoi \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] i.e. prima coloană este o combinație liniară a celorlalte.

Pentru orice matrice diferită de zero \(A\) este adevărată următoarea:

1. Coloanele de bază sunt liniar independente.

2. Orice coloană matrice este o combinație liniară a coloanelor sale de bază.

(Același lucru este valabil și pentru șiruri).

Fie, pentru certitudine, \((m,n)\) tipul de matrice \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) iar baza minoră este situată în primul \(r \) matrice de rânduri și coloane \(A\). Fie \(s\) orice număr între 1 și \(m\), \(k\) orice număr între 1 și \(n\). Luați în considerare un minor de următoarea formă: \[ D=\left| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] adică Am atribuit \(s-\)-a coloană și \(k-\)-lea rând minorului de bază. Prin definiția rangului unei matrice, acest determinant este egal cu zero (dacă alegem \(s\leq r\) sau \(k \leq r\), atunci acest minor are 2 coloane identice sau 2 rânduri identice, dacă \(s>r\) și \(k>r\) - prin definiția rangului, un minor de mărime mai mare decât \(r\) devine zero). Să extindem acest determinant de-a lungul ultimei linii, obținem: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks)=0. \quad \quad(16) \]

Aici numerele \(A_(kp)\) sunt complementele algebrice ale elementelor din rândul de jos \(D\). Valorile lor nu depind de \(k\), deoarece sunt formate folosind elemente din primele \(r\) rânduri. În acest caz, valoarea \(A_(ks)\) este un minor de bază, diferit de 0. Să notăm \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Să rescriem (16) în notație nouă: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] sau, împărțind la \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Această egalitate este valabilă pentru orice valoare a lui \(k\), deci \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Deci, coloana \(s-\)-a este o combinație liniară a primelor coloane \(r\). Teorema a fost demonstrată.

Cometariu.

Din teorema minoră de bază rezultă că rangul unei matrice este egal cu numărul coloanelor sale liniar independente (care este egal cu numărul de rânduri liniar independente).

Corolarul 1.

Dacă determinantul este zero, atunci are o coloană care este o combinație liniară a celorlalte coloane.

Corolarul 2.

Dacă rangul unei matrice este mai mic decât numărul de coloane, atunci coloanele matricei sunt dependente liniar.

Unele transformări de matrice nu își schimbă rangul. Astfel de transformări pot fi numite elementare. Faptele corespunzătoare pot fi ușor verificate folosind proprietățile determinanților și determinând rangul unei matrice.

1. Rearanjarea coloanelor.

2. Înmulțirea elementelor oricărei coloane cu un factor diferit de zero.

3. Adăugând la o coloană orice altă coloană înmulțită cu un număr arbitrar.

4. Trimiterea coloanei zero.

Același lucru este valabil și pentru șiruri.

Folosind aceste transformări, matricea poate fi transformată în așa-numita formă „trapezoidală” - o matrice cu doar zerouri sub diagonala principală. Pentru o matrice „trapezoidală”, rangul este numărul de elemente nenule de pe diagonala principală, iar baza minoră este minora a cărei diagonală coincide cu mulțimea elementelor nenule de pe diagonala principală a matricei transformate.

Exemplu. Luați în considerare matricea

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(matrice) \right).

Aici luăm secvențial următorii pași: 1) rearanjați a doua linie în partea de sus, 2) scădeți prima linie din restul cu un factor adecvat, 3) scădeți a doua linie din a treia de 4 ori, adăugați a doua linie la a patra, 4) tăiați liniile zero - a treia și a patra. Matricea noastră finală a căpătat forma dorită: există numere diferite de zero pe diagonala principală și zerouri sub diagonala principală. După aceasta, procedura se oprește și numărul de elemente nenule de pe diagonala principală este egal cu rangul matricei. Minorul de bază este primele două rânduri și primele două coloane. La intersecția lor există o matrice de ordinul 2 cu un determinant diferit de zero. În același timp, mergând înapoi de-a lungul lanțului de transformări, puteți urmări de unde provine acest sau acel rând (acesta sau acea coloană) din matricea finală, adică. determinați rândurile și coloanele de bază din matricea originală. În acest caz, primele două rânduri și primele două coloane formează baza minoră.

Să fie dată o matrice:

.

Să selectăm în această matrice șiruri arbitrare și coloane arbitrare
. Apoi determinantul ordinul al-lea, compus din elemente de matrice
, situat la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, se numește minor matricea de ordinul al-lea
.

Definiția 1.13. Rangul matricei
este cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Pentru a calcula rangul unei matrice, trebuie să luăm în considerare toți minorii ei de ordinul cel mai mic și, dacă cel puțin unul dintre ei este diferit de zero, să trecem la luarea în considerare a minorilor de ordinul cel mai înalt. Această abordare de determinare a rangului unei matrice se numește metoda de limită (sau metoda de limită a minorilor).

Problema 1.4. Folosind metoda limitării minorilor, determinați rangul matricei
.

.

Luați în considerare marginile de ordinul întâi, de exemplu,
. Apoi trecem la considerarea unor margini de ordinul doi.

De exemplu,
.

În cele din urmă, să analizăm granița de ordinul trei.

.

Deci, cel mai înalt ordin al unui minor diferit de zero este 2, prin urmare
.

Când rezolvați Problema 1.4, puteți observa că un număr de minori de ordinul doi sunt diferit de zero. În acest sens, se aplică următorul concept.

Definiția 1.14. O bază minoră a unei matrice este orice minor diferit de zero a cărui ordine este egală cu rangul matricei.

Teorema 1.2.(Teorema de bază minoră). Rândurile de bază (coloanele de bază) sunt liniar independente.

Rețineți că rândurile (coloanele) unei matrice sunt dependente liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre ele poate fi reprezentată ca o combinație liniară a celorlalte.

Teorema 1.3. Numărul de rânduri de matrice liniar independente este egal cu numărul de coloane de matrice liniar independente și este egal cu rangul matricei.

Teorema 1.4.(Condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero). Pentru ca determinantul -a ordine a fost egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

Calcularea rangului unei matrice pe baza definiției sale este prea greoaie. Acest lucru devine deosebit de important pentru matricele de ordin înalt. În acest sens, în practică, rangul unei matrice este calculat pe baza aplicării teoremelor 10.2 - 10.4, precum și a utilizării conceptelor de echivalență a matricei și transformări elementare.

Definiția 1.15. Două matrice
Și sunt numite echivalente dacă rangurile lor sunt egale, adică.
.

Dacă matrice
Și sunt echivalente, apoi rețineți
 .

Teorema 1.5. Rangul matricei nu se modifică din cauza transformărilor elementare.

Vom numi transformări matrice elementare
oricare dintre următoarele operații pe o matrice:

Înlocuirea rândurilor cu coloane și coloanelor cu rândurile corespunzătoare;

Rearanjarea rândurilor matricei;

Tăierea unei linii ale cărei elemente sunt toate zero;

Înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;

Adăugând elementelor unei linii elementele corespunzătoare ale altei linii înmulțite cu același număr
.

Corolarul teoremei 1.5. Dacă matricea
obtinut din matrice folosind un număr finit de transformări elementare, apoi matricea
Și sunt echivalente.

Când se calculează rangul unei matrice, aceasta ar trebui redusă la o formă trapezoidală utilizând un număr finit de transformări elementare.

Definiția 1.16. Vom numi trapezoidală o formă de reprezentare a unei matrice atunci când, în marginea minoră de ordinul cel mai înalt decât zero, toate elementele de sub cele diagonale dispar. De exemplu:

.

Aici
, elemente de matrice
mergi la zero. Apoi forma de reprezentare a unei astfel de matrice va fi trapezoidală.

De regulă, matricele sunt reduse la o formă trapezoidală folosind algoritmul gaussian. Ideea algoritmului Gauss este că, prin înmulțirea elementelor primului rând al matricei cu factorii corespunzători, se realizează ca toate elementele primei coloane situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi, înmulțind elementele coloanei a doua cu factorii corespunzători, ne asigurăm că toate elementele coloanei a doua situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi procedați în același mod.

Problema 1.5. Determinați rangul unei matrice prin reducerea acesteia la o formă trapezoidală.

.

Pentru a facilita utilizarea algoritmului gaussian, puteți schimba prima și a treia linie.








.

Este evident că aici
. Cu toate acestea, pentru a aduce rezultatul într-o formă mai elegantă, puteți continua transformarea coloanelor.










.

Fie A o matrice de dimensiuni m\x n și k un număr natural care nu depășește m și n: k\leqslant\min\(m;n\). Ordine K-a minoră matricea A este determinantul unei matrice de ordin k formată din elementele de la intersecția dintre k rânduri și k coloane alese în mod arbitrar ale matricei A. La desemnarea minorilor, vom indica numerele rândurilor selectate ca indici superiori, iar numerele coloanelor selectate ca indici inferiori, aranjandu-le în ordine crescătoare.

Exemplul 3.4. Scrieți minori de diferite ordine ale matricei

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Soluţie. Matricea A are dimensiuni de 3\x4 . Are: 12 minori de ordinul I, de exemplu, minor M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 minori de ordinul 2, de exemplu, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 minori de ordinul 3, de exemplu,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Într-o matrice A de dimensiuni m\x n se numește ordinul al r-lea minor de bază, dacă este diferit de zero și toți minorii de ordin (r+1)-ro sunt egali cu zero sau nu există deloc.

Rangul matricei se numeşte ordinea de bază minoră. Nu există o bază minoră într-o matrice zero. Prin urmare, rangul unei matrice zero este, prin definiție, egal cu zero. Rangul matricei A este notat cu \operatorname(rg)A.

Exemplul 3.5. Găsiți toate minorii de bază și rangul matricei

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Soluţie. Toți minorii de ordinul trei ai acestei matrice sunt egali cu zero, deoarece acești determinanți au un al treilea rând zero. Prin urmare, doar un minor de ordinul doi situat în primele două rânduri ale matricei poate fi de bază. Trecând prin 6 minori posibili, selectăm non-zero

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Fiecare dintre acești cinci minori este unul de bază. Prin urmare, rangul matricei este 2.

Note 3.2

1. Dacă toate minorele de ordinul k dintr-o matrice sunt egale cu zero, atunci și minorele de ordin superior sunt egale cu zero. Într-adevăr, extinzând ordinul minor de (k+1)-ro peste orice rând, obținem suma produselor elementelor acestui rând prin minore de ordinul k, iar acestea sunt egale cu zero.

2. Rangul unei matrice este egal cu cel mai înalt ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

3. Dacă o matrice pătrată este nesingulară, atunci rangul ei este egal cu ordinea sa. Dacă o matrice pătrată este singulară, atunci rangul ei este mai mic decât ordinul său.

4. Desemnările sunt folosite și pentru rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Rangul matricei bloc este definit ca rangul unei matrice obișnuite (numerice), adică indiferent de structura sa bloc. În acest caz, rangul unei matrice de bloc nu este mai mic decât rangurile blocurilor sale: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)AȘi \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, deoarece toate minorele matricei A (sau B ) sunt și minore ale matricei bloc (A\mid B) .

Teoreme pe baza minorului și rangul matricei

Să luăm în considerare principalele teoreme care exprimă proprietățile dependenței liniare și ale independenței liniare ale coloanelor (rândurilor) unei matrice.

Teorema 3.1 pe baza minoră.Într-o matrice arbitrară A, fiecare coloană (rând) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) în care se află baza minoră.

Într-adevăr, fără pierderi de generalitate, presupunem că într-o matrice A de dimensiunea m\x n baza minoră este situată în primele r rânduri și primele r coloane. Luați în considerare determinantul

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

care se obține prin alocarea elementelor corespunzătoare ale rândului și coloanei a k-a bazei minore a matricei A. Rețineți că pentru orice 1\leqslant s\leqslant m iar acest determinant este egal cu zero. Dacă s\leqslant r sau k\leqslant r , atunci determinantul D conține două rânduri identice sau două coloane identice. Dacă s>r și k>r, atunci determinantul D este egal cu zero, deoarece este minor de ordinul (r+l)-ro. Extinderea determinantului de-a lungul ultimei linii, obținem

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

unde D_(r+1\,j) sunt complementele algebrice ale elementelor ultimului rând. Rețineți că D_(r+1\,r+1)\ne0 deoarece aceasta este o bază minoră. De aceea

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Unde \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

acestea. a k-a coloană (pentru orice 1\leqslant k\leqslant n) este o combinație liniară a coloanelor bazei minore, ceea ce trebuia să dovedim.

Teorema minoră a bazei servește la demonstrarea următoarelor teoreme importante.

Condiție pentru ca determinantul să fie zero

Teorema 3.2 (condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie zero). Pentru ca un determinant să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca una dintre coloanele sale (unul dintre rândurile sale) să fie o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.

Într-adevăr, necesitatea decurge din teorema minoră de bază. Dacă determinantul unei matrici pătrate de ordinul n este egal cu zero, atunci rangul său este mai mic decât n, adică. cel puțin o coloană nu este inclusă în baza minoră. Atunci această coloană aleasă, de teorema 3.1, este o combinație liniară a coloanelor în care se află baza minoră. Adăugând, dacă este necesar, la această combinație alte coloane cu coeficienți zero, obținem că coloana selectată este o combinație liniară a coloanelor rămase ale matricei. Suficiența rezultă din proprietățile determinantului. Dacă, de exemplu, ultima coloană A_n a determinantului \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) exprimată liniar prin restul

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

apoi adăugând la A_n coloana A_1 înmulțită cu (-\lambda_1), apoi coloana A_2 înmulțită cu (-\lambda_2), etc. coloana A_(n-1) înmulțită cu (-\lambda_(n-1)) obținem determinantul \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) cu o coloană nulă care este egală cu zero (proprietatea 2 a determinantului).

Invarianța rangului matricei sub transformări elementare

Teorema 3.3 (asupra invarianței rangului sub transformări elementare). În timpul transformărilor elementare ale coloanelor (rândurilor) unei matrice, rangul acesteia nu se modifică.

Într-adevăr, să fie. Să presupunem că în urma unei transformări elementare a coloanelor matricei A am obţinut matricea A". Dacă s-a efectuat o transformare de tip I (permutarea a două coloane), atunci orice minor (r+l)-ro de ordinul matricei. A" este fie egal cu minorul corespunzător (r+l )-ro de ordinul matricei A, fie diferă de acesta prin semn (proprietatea 3 a determinantului). Dacă a fost efectuată o transformare de tip II (înmulțirea coloanei cu numărul \lambda\ne0 ), atunci orice minor (r+l)-ro de ordinul matricei A" este fie egal cu minorul corespunzător (r+l) -ro de ordinul matricei A sau diferit de acesta factor \lambda\ne0 (proprietatea 6 a determinantului Dacă s-a efectuat o transformare de tip III (adăugând la o coloană o altă coloană înmulțită cu numărul \Lambda), atunci oricare minor al ordinului (r+1) al matricei A" este fie egal cu minorul corespunzător. (r+1) al-lea ordin al matricei A (proprietatea 9 a determinantului), fie este egal cu suma două minore (r+l)-ro de ordinul matricei A (proprietatea 8 a determinantului). Prin urmare, la o transformare elementară de orice tip, toate minorele (r+l)-ro de ordinul matricei A" sunt egale cu zero, deoarece toate minorele (r+l)-ro de ordinul matricei A sunt egal cu zero Astfel, s-a dovedit că la transformările elementare ale coloanelor matricea de rang nu poate crește Deoarece transformările inverse cu cele elementare sunt elementare, rangul matricei nu poate scădea la transformările elementare ale coloanelor, adică este similar. a demonstrat că rangul matricei nu se modifică la transformări elementare ale rândurilor.

Corolarul 1. Dacă un rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a celorlalte rânduri (coloane), atunci acest rând (coloană) poate fi șters din matrice fără a-și schimba rangul.

Într-adevăr, un astfel de șir poate fi făcut zero folosind transformări elementare, iar un șir zero nu poate fi inclus în baza minoră.

Corolarul 2. Dacă matricea este redusă la cea mai simplă formă (1.7), atunci

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Într-adevăr, matricea formei celei mai simple (1.7) are o bază minoră de ordinul r-a.

Corolarul 3. Orice matrice pătrată nesingulară este elementară, cu alte cuvinte, orice matrice pătrată nesingulară este echivalentă cu o matrice de identitate de același ordin.

Într-adevăr, dacă A este o matrice pătrată nesingulară de ordinul al n-lea, atunci \operatorname(rg)A=n(a se vedea punctul 3 din comentariile 3.2). Prin urmare, aducând matricea A la forma cea mai simplă (1.7) prin transformări elementare, se obține matricea identitate \Lambda=E_n , deoarece \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(vezi Corolarul 2). Prin urmare, matricea A este echivalentă cu matricea de identitate E_n și poate fi obținută din aceasta ca urmare a unui număr finit de transformări elementare. Aceasta înseamnă că matricea A este elementară.

Teorema 3.4 (despre rangul matricei). Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri liniar independente ale acestei matrice.

De fapt, lasă \operatorname(rg)A=r. Atunci matricea A are r rânduri liniar independente. Acestea sunt liniile în care se află baza minoră. Dacă ar fi dependente liniar, atunci acest minor ar fi egal cu zero prin Teorema 3.2, iar rangul matricei A nu ar fi egal cu r. Să arătăm că r este numărul maxim de rânduri liniar independente, adică. orice p rânduri sunt dependente liniar pentru p>r . Într-adevăr, formăm matricea B din aceste p rânduri. Deoarece matricea B face parte din matricea A, atunci \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Aceasta înseamnă că cel puțin un rând al matricei B nu este inclus în baza minoră a acestei matrice. Apoi, după teorema bazei minore, este egală cu o combinație liniară a rândurilor în care este situată baza minoră. Prin urmare, rândurile matricei B sunt dependente liniar. Astfel, matricea A are cel mult r rânduri liniar independente.

Corolarul 1. Numărul maxim de rânduri liniar independente dintr-o matrice este egal cu numărul maxim de coloane liniar independente:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Această afirmație rezultă din Teorema 3.4 dacă o aplicăm rândurilor unei matrice transpuse și ținem cont de faptul că minorii nu se modifică în timpul transpunerii (proprietatea 1 a determinantului).

Corolarul 2. În timpul transformărilor elementare ale rândurilor unei matrice, dependența liniară (sau independența liniară) a oricărui sistem de coloane ale acestei matrice este păstrată.

De fapt, să alegem oricare k coloane ale unei matrice A date și să compunem matricea B din ele. Să presupunem că în urma transformărilor elementare ale rândurilor matricei A s-a obţinut matricea A" şi ca urmare a aceloraşi transformări ale rândurilor matricei B s-a obţinut matricea B". Prin teorema 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Prin urmare, dacă coloanele matricei B au fost liniar independente, i.e. k=\operatorname(rg)B(vezi Corolarul 1), atunci coloanele matricei B" sunt de asemenea independente liniar, deoarece k=\operatorname(rg)B". Dacă coloanele matricei B ar fi liniar dependente (k>\operatorname(rg)B), atunci coloanele matricei B" sunt de asemenea dependente liniar (k>\operatorname(rg)B"). În consecință, pentru orice coloană a matricei A, dependența liniară sau independența liniară este păstrată sub transformări elementare de rând.

Note 3.3

1. În virtutea corolarului 1 al teoremei 3.4, proprietatea coloanelor indicată în corolarul 2 este valabilă și pentru orice sistem de rânduri matrice dacă transformările elementare sunt efectuate numai pe coloanele sale.

2. Corolarul 3 al teoremei 3.3 poate fi rafinat după cum urmează: orice matrice pătrată nesingulară, folosind transformări elementare doar ale rândurilor sale (sau numai coloanelor sale), poate fi redusă la o matrice de identitate de același ordin.

De fapt, folosind doar transformări elementare de rând, orice matrice A poate fi redusă la forma simplificată \Lambda (Fig. 1.5) (vezi Teorema 1.1). Deoarece matricea A este nesingulară (\det(A)\ne0), coloanele sale sunt liniar independente. Aceasta înseamnă că și coloanele matricei \Lambda sunt liniar independente (Corolarul 2 al Teoremei 3.4). Prin urmare, forma simplificată \Lambda a unei matrice nesingulare A coincide cu forma sa cea mai simplă (Fig. 1.6) și este matricea de identitate \Lambda=E (vezi corolarul 3 al teoremei 3.3). Astfel, transformând doar rândurile unei matrice nesingulare, aceasta poate fi redusă la matricea identitară. Raționament similar este valabil pentru transformările elementare ale coloanelor unei matrice nesingulare.

Rangul produsului și suma matricelor

Teorema 3.5 (cu privire la rangul produsului matricelor). Rangul produsului matricelor nu depășește rangul factorilor:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Într-adevăr, să fie matricele A și B dimensiunile m\x p și p\times n . Să atribuim matricei A matricea C=AB\colon\,(A\mid C). Desigur că \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), deoarece C face parte din matrice (A\mid C) (vezi paragraful 5 al observațiilor 3.2). Rețineți că fiecare coloană C_j, conform operației de înmulțire a matricei, este o combinație liniară de coloane A_1,A_2,\ldots,A_p matrici A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

O astfel de coloană poate fi ștearsă din matrice (A\mid C) fără a-și schimba rangul (Corolarul 1 al Teoremei 3.3). Tăiind toate coloanele matricei C, obținem: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. De aici, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. În mod similar, putem demonstra că condiția este îndeplinită simultan \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, și trageți o concluzie despre validitatea teoremei.

Consecinţă. Dacă A este o matrice pătrată nesingulară, atunci \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)BȘi \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, adică rangul unei matrice nu se schimbă atunci când este înmulțită din stânga sau din dreapta cu o matrice pătrată nesingulară.

Teorema 3.6 privind rangul sumelor matricelor. Rangul sumei matricelor nu depășește suma rândurilor termenilor:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Într-adevăr, să creăm o matrice (A+B\mid A\mid B). Rețineți că fiecare coloană a matricei A+B este o combinație liniară de coloane ale matricelor A și B. De aceea \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Avand in vedere ca numarul de coloane liniar independente din matrice (A\mid B) nu depaseste \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, A \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(vezi secțiunea 5 din Observațiile 3.2), obținem inegalitatea care se dovedește.

Elementar Următoarele transformări de matrice se numesc:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu un număr diferit de zero,

3) adăugarea la un rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană), înmulțit cu un anumit număr.

Cele două matrici sunt numite echivalent, dacă una dintre ele este obținută de la cealaltă folosind o mulțime finită de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci se scrie după cum urmează: A ~ B.

Canonic O matrice este o matrice în care la începutul diagonalei principale există mai multe pe rând (al căror număr poate fi zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero, de exemplu,

Folosind transformări elementare de rânduri și coloane, orice matrice poate fi redusă la canonică. Rangul unei matrice canonice este egal cu numărul celor de pe diagonala sa principală.

Exemplul 2 Aflați rangul unei matrice

A=

și să-l aducă la forma canonică.

Soluţie. Din a doua linie, scădeți prima și rearanjați aceste linii:

.

Acum din a doua și a treia linie o scădem pe prima, înmulțită cu 2 și, respectiv, 5:

;

scădeți primul din a treia linie; obținem o matrice

B = ,

care este echivalentă cu matricea A, deoarece se obține din ea folosind o mulțime finită de transformări elementare. În mod evident, rangul matricei B este 2 și, prin urmare, r(A)=2. Matricea B poate fi ușor redusă la canonică. Scăzând prima coloană, înmulțită cu numere potrivite, din toate cele ulterioare, întoarcem la zero toate elementele primului rând, cu excepția primului, iar elementele rândurilor rămase nu se modifică.

.

Apoi, scăzând a doua coloană, înmulțită cu numerele potrivite, din toate cele ulterioare, trecem la zero toate elementele din al doilea rând, cu excepția celui de-al doilea, și obținem matricea canonică: Kronecker - teorema Capelli

- criteriul de compatibilitate pentru un sistem de ecuații algebrice liniare:

Pentru ca un sistem liniar să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale.

Dovada (condiții de compatibilitate a sistemului)

Necesitate Lăsa sistem

comun Apoi, există numere astfel încât .

Prin urmare, coloana este o combinație liniară a coloanelor matricei. Din faptul că rangul unei matrice nu se va schimba dacă un rând (coloană) este șters sau adăugat din sistemul rândurilor sale (coloanelor), care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), rezultă că . Adecvarea

Lăsa . Să luăm unele minore de bază în matrice. Din moment ce, atunci va fi și baza minoră a matricei.

Apoi, conform teoremei de bază minor, ultima coloană a matricei va fi o combinație liniară a coloanelor de bază, adică coloanele matricei.

Prin urmare, coloana de termeni liberi ai sistemului este o combinație liniară a coloanelor matricei. Lăsa Consecințe

Numărul de variabile principale

sisteme15 . 2 egal cu rangul sistemului.

Comun

va fi definit (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale. Sistem omogen de ecuații

Oferi

sisteme15 . 3 Sistem omogen de ecuații

va fi definit (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale. este întotdeauna comună.

Dovada

. Pentru acest sistem, mulțimea numerelor , , , este o soluție.

Dovada

În această secțiune vom folosi notația matricială a sistemului: .15 . 1 Suma soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare este o soluție a acestui sistem. O soluție înmulțită cu un număr este și ea o soluție.

Într-adevăr, înmulțind o soluție diferită de zero cu diverse numere, vom obține soluții diferite.

Definiție15 . 5 Vom spune că soluțiile forme de sisteme sistem fundamental de soluții, dacă coloane formează un sistem liniar independent și orice soluție a sistemului este o combinație liniară a acestor coloane.