Desemnarea în matricea rândurilor. Aflarea matricei inverse

În acest subiect vom lua în considerare conceptul de matrice, precum și tipurile de matrice. Deoarece există o mulțime de termeni în acest subiect, voi adăuga un scurt rezumat pentru a facilita navigarea materialului.

Definirea unei matrice și a elementului ei. Notaţie.

Matrice este un tabel de $m$ rânduri și $n$ coloane. Elementele unei matrice pot fi obiecte cu totul diferită: numere, variabile sau, de exemplu, alte matrici. De exemplu, matricea $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ conține 3 rânduri și 2 coloane; elementele sale sunt numere întregi. Matricea $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ conține 2 rânduri și 4 coloane.

Diferite moduri de a scrie matrice: show\hide

Matricea poate fi scrisă nu numai rotundă, ci și în paranteze drepte pătrate sau duble. Adică, intrările de mai jos înseamnă aceeași matrice:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Produsul $m\times n$ este numit dimensiunea matricei. De exemplu, dacă o matrice conține 5 rânduri și 3 coloane, atunci vorbim de o matrice de dimensiunea $5\xtime 3$. Matricea $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ are dimensiunea $3 \times 2$.

De obicei, matricele sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin: $A$, $B$, $C$ și așa mai departe. De exemplu, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numerotarea liniilor merge de sus în jos; coloane - de la stânga la dreapta. De exemplu, primul rând al matricei $B$ conține elementele 5 și 3, iar a doua coloană conține elementele 3, -87, 0.

Elementele matricelor sunt de obicei notate cu litere mici. De exemplu, elementele matricei $A$ sunt notate cu $a_(ij)$. Indicele dublu $ij$ contine informatii despre pozitia elementului in matrice. Numărul $i$ este numărul rândului, iar numărul $j$ este numărul coloanei, la intersecția căreia se află elementul $a_(ij)$. De exemplu, la intersecția celui de-al doilea rând și a cincea coloană a matricei $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= $59:

În același mod, la intersecția primului rând și a primei coloane avem elementul $a_(11)=51$; la intersecția celui de-al treilea rând și a doua coloană - elementul $a_(32)=-15$ și așa mai departe. Rețineți că intrarea $a_(32)$ citește „a trei doi”, dar nu „a treizeci și doi”.

Pentru a prescurta matricea $A$, a cărei dimensiune este $m\times n$, se folosește notația $A_(m\times n)$. Îl poți scrie puțin mai detaliat:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

unde notația $(a_(ij))$ indică elementele matricei $A$. În forma sa complet extinsă, matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ poate fi scrisă după cum urmează:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Să introducem un alt termen - matrici egale.

Două matrice de aceeași dimensiune $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ sunt numite egal, dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale, i.e. $a_(ij)=b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.

Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide

Notația „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ variază de la 1 la m. De exemplu, notația $i=\overline(1,5)$ indică faptul că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.

Deci, pentru ca matricele să fie egale, trebuie îndeplinite două condiții: coincidența dimensiunilor și egalitatea elementelor corespunzătoare. De exemplu, matricea $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ nu este egală cu matricea $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 2$ și matricea $B$ are dimensiunea $2\times $2. De asemenea, matricea $A$ nu este egală cu matricea $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , deoarece $a_( 21)\neq c_(21)$ (adică $0\neq 98$). Dar pentru matricea $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ putem scrie în siguranță $A= F$ deoarece atât dimensiunile, cât și elementele corespunzătoare ale matricelor $A$ și $F$ coincid.

Exemplul nr. 1

Determinați dimensiunea matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(matrice) \right)$. Indicați cu ce sunt egale elementele $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Această matrice conține 5 rânduri și 3 coloane, deci dimensiunea ei este de $5\times 3$. De asemenea, puteți utiliza notația $A_(5\times 3)$ pentru această matrice.

Elementul $a_(12)$ se află la intersecția primului rând și a celei de-a doua coloane, deci $a_(12)=-2$. Elementul $a_(33)$ se află la intersecția celui de-al treilea rând și a treia coloană, deci $a_(33)=23$. Elementul $a_(43)$ se află la intersecția celui de-al patrulea rând și a treia coloană, deci $a_(43)=-5$.

Răspuns: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Tipuri de matrice în funcție de dimensiunea acestora. Diagonalele principale și secundare. Urmă matriceală.

Fie dată o anumită matrice $A_(m\times n)$. Dacă $m=1$ (matricea constă dintr-un rând), atunci matricea dată este numită matrice-rând. Dacă $n=1$ (matricea constă dintr-o coloană), atunci se numește o astfel de matrice matrice-coloană. De exemplu, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ este o matrice de rânduri, iar $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ este o matrice de coloană.

Dacă matricea $A_(m\times n)$ satisface condiția $m\neq n$ (adică numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane), atunci se spune adesea că $A$ este un dreptunghiular matrice. De exemplu, matricea $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ are dimensiunea $2\times 4 $, acelea. conține 2 rânduri și 4 coloane. Deoarece numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane, această matrice este dreptunghiulară.

Dacă matricea $A_(m\times n)$ satisface condiția $m=n$ (adică numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane), atunci $A$ se spune că este o matrice pătrată de ordinul $ n$. De exemplu, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ este o matrice pătrată de ordinul doi; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ este o matrice pătrată de ordinul trei. În general, matricea pătrată $A_(n\times n)$ poate fi scrisă după cum urmează:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Elementele $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ se spune că sunt pe diagonala principală matrice $A_(n\ori n)$. Aceste elemente sunt numite elementele diagonale principale(sau doar elemente diagonale). Elementele $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sunt activate diagonală laterală (minor).; ei sunt numiti, cunoscuti elemente diagonale laterale. De exemplu, pentru matricea $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( matrice) \right)$ avem:

Elementele $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sunt principalele elemente diagonale; elementele $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sunt elemente diagonale laterale.

Se numește suma elementelor diagonale principale urmată de matriceși este notat cu $\Tr A$ (sau $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

De exemplu, pentru matricea $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ avem:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Conceptul de elemente diagonale este folosit și pentru matrici nepătrate. De exemplu, pentru matricea $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ elementele diagonale principale vor fi $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Tipuri de matrice în funcție de valorile elementelor lor.

Dacă toate elementele matricei $A_(m\times n)$ sunt egale cu zero, atunci o astfel de matrice se numește nulși este de obicei notat cu litera $O$. De exemplu, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - matrice zero.

Fie matricea $A_(m\times n)$ să aibă următoarea formă:

Apoi această matrice este numită trapezoidal. Este posibil să nu conțină zero rânduri, dar dacă există, acestea sunt situate în partea de jos a matricei. Într-o formă mai generală, o matrice trapezoidală poate fi scrisă după cum urmează:

Din nou, liniile nule finale nu sunt necesare. Acestea. Formal, putem distinge următoarele condiții pentru o matrice trapezoidală:

Toate elementele de sub diagonala principală sunt zero.
Toate elementele de la $a_(11)$ la $a_(rr)$ situate pe diagonala principală nu sunt egale cu zero: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
Fie toate elementele ultimelor $m-r$ rânduri sunt zero, fie $m=r$ (adică nu există niciun rând zero).

Exemple de matrici trapezoidale:

Să trecem la următoarea definiție. Se numește matricea $A_(m\times n)$ călcat, dacă îndeplinește următoarele condiții:

De exemplu, matricele de etape ar fi:

Pentru comparație, matricea $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ nu este eșalon deoarece al treilea rând are aceeași parte zero ca și al doilea rând. Adică, principiul „cu cât linia este mai mică, cu atât partea zero este mai mare” este încălcat. Voi adăuga că o matrice trapezoidală este un caz special al unei matrice în trepte.

Să trecem la următoarea definiție. Dacă toate elementele unei matrice pătrate situate sub diagonala principală sunt egale cu zero, atunci o astfel de matrice se numește matricea triunghiulară superioară. De exemplu, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ este o matrice triunghiulară superioară. Rețineți că definiția unei matrici triunghiulare superioare nu spune nimic despre valorile elementelor situate deasupra diagonalei principale sau a diagonalei principale. Ele pot fi zero sau nu - nu contează. De exemplu, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ este, de asemenea, o matrice triunghiulară superioară.

Dacă toate elementele unei matrice pătrate situate deasupra diagonalei principale sunt egale cu zero, atunci o astfel de matrice se numește matricea triunghiulară inferioară. De exemplu, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matrice triunghiulară inferioară. Rețineți că definiția unei matrici triunghiulare inferioare nu spune nimic despre valorile elementelor situate sub sau pe diagonala principală. Ele pot fi zero sau nu - nu contează. De exemplu, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ și $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sunt, de asemenea, matrici triunghiulare inferioare.

Matricea pătrată se numește diagonală, dacă toate elementele acestei matrice care nu se află pe diagonala principală sunt egale cu zero. Exemplu: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ sfârşit(matrice)\dreapta)$. Elementele de pe diagonala principală pot fi orice (egale cu zero sau nu) - nu contează.

Matricea diagonală se numește singur, dacă toate elementele acestei matrice situate pe diagonala principală sunt egale cu 1. De exemplu, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrice de identitate de ordinul al patrulea; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ este matricea de identitate de ordinul doi.

Să existe o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matrice de identitate- o astfel de matrice pătrată în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată acestea. pentru acele matrici în care numărul de rânduri și coloane coincide.

Teorema pentru condiția de existență a unei matrici inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nesingulară.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerate, dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gaussiană și atribuiți-i matricea E din dreapta (în loc de părțile din dreapta ale ecuațiilor).
Folosind transformările Jordan, reduceți matricea A la o matrice formată din coloane de unitate; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original să obțineți matricea de identitate E.
Notați matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Exemplul 1

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Scriem matricea A și atribuim matricea de identitate E la dreapta Folosind transformările Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt date în Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca rezultat al înmulțirii matricei s-a obținut matricea de identitate. Prin urmare, calculele au fost făcute corect.

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, HA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt matricele specificate, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea din ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Soluţie: Deoarece matricea inversă este egală cu (vezi exemplul 1)

Metoda matriceală în analiza economică

Alături de altele, sunt și ele folosite metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se facă o evaluare comparativă a funcționării organizațiilor și a diviziunilor lor structurale.

În procesul de aplicare a metodelor de analiză matriceală se pot distinge mai multe etape.

La prima etapă se formează un sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele sistemului sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar în coloane verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).

La a doua etapă Pentru fiecare coloană verticală, este identificată cea mai mare dintre valorile indicatorului disponibile, care este luată ca una.

După aceasta, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoare și se formează o matrice de coeficienți standardizați.

La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator matrice i se atribuie un anumit coeficient de greutate k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de opinia expertului.

Pe ultimul, a patra etapă au găsit valori de rating Rj sunt grupate în ordinea creșterii sau scăderii lor.

Metodele matricei prezentate ar trebui utilizate, de exemplu, într-o analiză comparativă a diferitelor proiecte de investiții, precum și în evaluarea altor indicatori economici ai activităților organizațiilor.

Anul I, superioare matematică, studii matriciși acțiuni de bază asupra acestora. Aici sistematizăm operațiile de bază care pot fi efectuate cu matrice. De unde să începeți să vă familiarizați cu matricele? Desigur, de la cele mai simple lucruri - definiții, concepte de bază și operații simple. Vă asigurăm că matricele vor fi înțelese de toți cei care le dedică măcar puțin timp!

Definiția matricei

Matrice este un tabel dreptunghiular de elemente. Ei bine, în termeni simpli - un tabel de numere.

De obicei, matricele sunt notate cu majuscule latine. De exemplu, matrice A , matrice B și așa mai departe. Matricele pot fi de diferite dimensiuni: dreptunghiulare, pătrate și există și matrici de rânduri și coloane numite vectori. Mărimea matricei este determinată de numărul de rânduri și coloane. De exemplu, să scriem o matrice dreptunghiulară de dimensiune m pe n , Unde m – numărul de linii și n - numar de coloane.

Articole pentru care i=j (a11, a22, .. ) formează diagonala principală a matricei și se numesc diagonală.

Ce poți face cu matricele? Adăugați/Scădeți, înmulțiți cu un număr, se inmultesc intre ei, transpune. Acum despre toate aceste operații de bază pe matrice în ordine.

Operații de adunare și scădere pe matrice

Permiteți-ne să vă avertizăm imediat că puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune. Rezultatul va fi o matrice de aceeași dimensiune. Adăugarea (sau scăderea) matricelor este simplă - trebuie doar să adunați elementele corespunzătoare . Să dăm un exemplu. Să efectuăm adăugarea a două matrice A și B de mărime două câte două.

Scăderea se face prin analogie, doar cu semnul opus.

Orice matrice poate fi înmulțită cu un număr arbitrar. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare dintre elementele sale cu acest număr. De exemplu, să înmulțim matricea A din primul exemplu cu numărul 5:

Operație de multiplicare a matricei

Nu toate matricele pot fi înmulțite împreună. De exemplu, avem două matrice - A și B. Ele pot fi înmulțite între ele numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. În acest caz fiecare element al matricei rezultate, situat în rândul i și coloana j, va fi egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare din rândul i al primului factor și coloana j a al doilea. Pentru a înțelege acest algoritm, să scriem cum sunt înmulțite două matrici pătrate:

Și un exemplu cu numere reale. Să înmulțim matricele:

Operația de transpunere a matricei

Transpunerea matricei este o operație în care rândurile și coloanele corespunzătoare sunt schimbate. De exemplu, să transpunem matricea A din primul exemplu:

Determinant de matrice

Determinant, sau determinant, este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Cândva, oamenii au venit cu ecuații liniare, iar după ele au trebuit să vină cu un determinant. În cele din urmă, depinde de tine să te ocupi de toate acestea, deci, ultima împingere!

Determinantul este o caracteristică numerică a unei matrice pătrate, care este necesară pentru a rezolva multe probleme.
Pentru a calcula determinantul celei mai simple matrice pătrate, trebuie să calculați diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.

Determinantul unei matrice de ordinul întâi, adică format dintr-un element, este egal cu acest element.

Ce se întâmplă dacă matricea este trei câte trei? Acest lucru este mai dificil, dar îl puteți gestiona.

Pentru o astfel de matrice, valoarea determinantului este egală cu suma produselor elementelor diagonalei principale și a produselor elementelor situate pe triunghiuri cu o față paralelă cu diagonala principală, din care produsul dintre se scad elementele diagonalei secundare si produsul elementelor situate pe triunghiurile cu fata diagonalei secundare paralele.

Din fericire, în practică este rareori necesar să se calculeze determinanții matricilor de dimensiuni mari.

Aici ne-am uitat la operațiile de bază pe matrice. Desigur, în viața reală s-ar putea să nu întâlnești niciodată nici măcar un indiciu al unui sistem matriceal de ecuații sau, dimpotrivă, s-ar putea să întâlnești cazuri mult mai complexe când chiar trebuie să-ți faci creierul. Pentru astfel de cazuri există servicii profesionale pentru studenți. Cereți ajutor, obțineți o soluție de înaltă calitate și detaliată, bucurați-vă de succes academic și de timp liber.

DEFINIȚIA MATRICEI. TIPURI DE MATRICE

Matricea mărimii m× n numit set m·n numere dispuse într-un tabel dreptunghiular de m linii şi n coloane. Acest tabel este de obicei inclus între paranteze. De exemplu, matricea ar putea arăta astfel:

Pentru concizie, o matrice poate fi desemnată cu o singură literă majusculă, de exemplu, A sau ÎN.

În general, o matrice de dimensiune m× n scrie asa

Se numesc numerele care alcătuiesc matricea elemente de matrice. Este convenabil să se furnizeze elemente de matrice cu doi indici a ij: Primul indică numărul rândului, iar al doilea indică numărul coloanei. De exemplu, un 23– elementul se află în al 2-lea rând, a 3-a coloană.

Dacă o matrice are același număr de rânduri ca și numărul de coloane, atunci matricea este numită pătrat, iar numărul rândurilor sau coloanelor sale este numit în ordine matrici. În exemplele de mai sus, a doua matrice este pătrată - ordinea sa este 3, iar a patra matrice este ordinea sa 1.

Se numește o matrice în care numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane dreptunghiular. În exemple, aceasta este prima matrice și a treia.

Există, de asemenea, matrice care au un singur rând sau o coloană.

Se numește o matrice cu un singur rând matrice - rând(sau șir) și o matrice cu o singură coloană matrice - coloană.

Se numește o matrice ale cărei elemente sunt toate zero nulși este notat cu (0), sau pur și simplu 0. De exemplu,

Diagonala principală a unei matrice pătrate numim diagonala care merge din colțul din stânga sus spre colțul din dreapta jos.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero triunghiular matrice.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele, cu excepția probabil celor de pe diagonala principală, sunt egale cu zero diagonală matrice. De exemplu, sau.

Se numește o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul singur matrice și este notat cu litera E. De exemplu, matricea de identitate de ordinul 3 are forma .

ACȚIUNI PE MATRICE

Egalitatea matricei. Două matrice AȘi B se spune că sunt egale dacă au același număr de rânduri și coloane și elementele corespunzătoare sunt egale a ij = b ij. Astfel, dacă Și , Acea A=B, Dacă a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21Și a 22 = b 22.

Transpune. Luați în considerare o matrice arbitrară A din m linii şi n coloane. Poate fi asociat cu următoarea matrice B din n linii şi m coloane, în care fiecare rând este o coloană matrice A cu același număr (deci fiecare coloană este un rând al matricei A cu același număr). Astfel, dacă , Acea .

Această matrice B numit transpus matrice A, și trecerea de la A La B transpunere.

Astfel, transpunerea este o inversare a rolurilor rândurilor și coloanelor unei matrice. Matrice transpusă în matrice A, de obicei notat A T.

Comunicarea între matrice A iar transpunerea ei poate fi scrisă sub forma .

De exemplu. Aflați matricea transpusă celei date.

Adăugarea matricei. Lasă matricele AȘi B constau din același număr de rânduri și același număr de coloane, adică avea aceleasi marimi. Apoi pentru a adăuga matrice AȘi B necesare pentru elementele matricei A adăugați elemente de matrice B stând în aceleași locuri. Astfel, suma a două matrice AȘi B numită matrice C, care este determinat de regulă, de exemplu,

Exemple. Aflați suma matricelor:

Este ușor de verificat că adunarea matricei respectă următoarele legi: comutativă A+B=B+Ași asociativ ( A+B)+C=A+(B+C).

Înmulțirea unei matrice cu un număr. Pentru a multiplica o matrice A pe număr k fiecare element al matricei este necesar Aînmulțiți cu acest număr. Astfel, produsul matricei A pe număr k există o nouă matrice, care este determinată de regulă sau .

Pentru orice numere AȘi bși matrice AȘi B sunt valabile următoarele egalități:

Exemple.

Înmulțirea matricei. Această operațiune se efectuează conform unei legi speciale. În primul rând, observăm că dimensiunile matricelor factorilor trebuie să fie consistente. Puteți înmulți numai acele matrice în care numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri din a doua matrice (adică lungimea primului rând este egală cu înălțimea celei de-a doua coloane). Munca matrici A nu o matrice B numită noua matrice C=AB, ale căror elemente sunt compuse după cum urmează:

Astfel, de exemplu, pentru a obține produsul (adică în matrice C) element situat în rândul 1 și coloana a 3-a de la 13, trebuie să luați primul rând din prima matrice, a treia coloană în a doua, apoi să înmulțiți elementele rândului cu elementele de coloană corespunzătoare și să adăugați produsele rezultate. Și alte elemente ale matricei de produs sunt obținute folosind un produs similar dintre rândurile primei matrice și coloanele celei de-a doua matrice.

În general, dacă înmulțim o matrice A = (a ij) mărimea m× n la matrice B = (b ij) mărimea n× p, apoi obținem matricea C mărimea m× p, ale căror elemente se calculează astfel: element c ij se obţine ca rezultat al produsului elementelor i al-lea rând al matricei A la elementele corespunzătoare j coloana a matricei Bși completările lor.

Din această regulă rezultă că se pot înmulți oricând două matrice pătrate de același ordin și ca rezultat obținem o matrice pătrată de același ordin. În special, o matrice pătrată poate fi întotdeauna înmulțită cu ea însăși, adică pătratul.

Un alt caz important este înmulțirea unei matrice de rând cu o matrice de coloană, iar lățimea primei trebuie să fie egală cu înălțimea celei de-a doua, rezultând o matrice de ordinul întâi (adică un element). Într-adevăr,

Exemple.

Astfel, aceste exemple simple arată că matricele, în general, nu fac naveta între ele, i.e. A∙B ≠ B∙A . Prin urmare, atunci când înmulțiți matrice, trebuie să monitorizați cu atenție ordinea factorilor.

Se poate verifica că înmulțirea matriceală se supune legilor asociative și distributive, i.e. (AB)C=A(BC)Și (A+B)C=AC+BC.

De asemenea, este ușor să verificați acest lucru atunci când înmulțiți o matrice pătrată A la matricea identitară E de aceeași ordine obținem din nou o matrice A, și AE=EA=A.

Următorul fapt interesant poate fi remarcat. După cum știți, produsul a 2 numere diferite de zero nu este egal cu 0. Pentru matrice, acesta poate să nu fie cazul, adică. produsul a 2 matrice nenule se poate dovedi a fi egal cu matricea zero.

De exemplu, Dacă , Acea

CONCEPTUL DE DETERMINANȚI

Să fie dată o matrice de ordinul doi - o matrice pătrată formată din două rânduri și două coloane .

Determinant de ordinul doi corespunzător unei matrice date este numărul obținut după cum urmează: a 11 la 22 – a 12 la 21.

Determinantul este indicat prin simbol .

Deci, pentru a găsi determinantul de ordinul doi, trebuie să scădeți produsul elementelor de-a lungul celei de-a doua diagonale din produsul elementelor diagonalei principale.

Exemple. Calculați determinanții de ordinul doi.

În mod similar, putem considera o matrice de ordinul trei și determinantul corespunzător.

Determinant de ordinul trei, corespunzătoare unei matrice pătrate de ordinul trei date, este un număr notat și obținut după cum urmează:

Astfel, această formulă oferă expansiunea determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele primului rând un 11, un 12, un 13și reduce calculul determinantului de ordinul trei la calculul determinanților de ordinul doi.

Exemple. Calculați determinantul de ordinul trei.

În mod similar, putem introduce conceptele de determinanți ai al patrulea, al cincilea etc. ordine, coborându-și ordinea prin extinderea în elementele din primul rând, cu semnele „+” și „–” ale termenilor alternând.

Deci, spre deosebire de o matrice, care este un tabel de numere, un determinant este un număr care este atribuit matricei într-un anumit mod.

Acest manual vă va ajuta să învățați cum să efectuați operatii cu matrici: adunarea (scăderea) matricelor, transpunerea unei matrice, înmulțirea matricelor, aflarea matricei inverse. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple relevante, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța cum să efectueze acțiuni cu matrice.

Pentru automonitorizare și autotestare, puteți descărca gratuit un calculator matrice >>>. Voi încerca să minimizez calculele teoretice în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea unor termeni neștiințifici. Iubitori de teorie solidă, vă rugăm să nu vă implicați în critici, sarcina noastră este.

invata sa efectuezi operatii cu matrici Pentru pregătirea SUPER FAST pe tema (cine este „pe foc”) există un curs intensiv pdf

Matrice, determinant și test! O matrice este un tabel dreptunghiular al unora elemente O matrice este un tabel dreptunghiular al unora. La fel de vom lua în considerare numerele, adică matrice numerice. ELEMENT

este un termen. Este indicat să rețineți termenul, va apărea des, nu întâmplător am folosit font aldine pentru a-l evidenția. Desemnare:

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine Exemplu:

Luați în considerare o matrice de două câte trei: O matrice este un tabel dreptunghiular al unora:

Această matrice este formată din șase

Toate numerele (elementele) din interiorul matricei există singure, adică nu se pune problema vreunei scăderi:

Este doar un tabel (set) de numere! De asemenea, vom fi de acord nu rearanja

numere, dacă nu se specifică altfel în explicații. Fiecare număr are propria sa locație și nu poate fi amestecat!

Matricea în cauză are două rânduri:

si trei coloane: STANDARD : atunci când vorbim despre dimensiunile matricei la început

indicați numărul de rânduri și abia apoi numărul de coloane. Tocmai am defalcat matricea de două câte trei. pătrat Dacă numărul de rânduri și coloane ale unei matrice este același, atunci matricea este numită , De exemplu:

– o matrice de trei câte trei. Dacă o matrice are o coloană sau un rând, atunci se mai numesc și astfel de matrice.

De fapt, conceptul de matrice îl cunoaștem încă de la școală să considerăm, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „y”: . În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite pe plan.

Acum să trecem la studii operatii cu matrici:

1) Primul act. Eliminarea unui minus din matrice (introducerea unui minus în matrice).

Să revenim la matricea noastră . După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod din punctul de vedere al efectuării diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți atât de multe minusuri și pur și simplu arată urât în design.

Să mutăm minusul în afara matricei, schimbând semnul fiecărui element al matricei:

La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă, de asemenea, zero este zero;

Exemplu invers: . Arată urât.

Să introducem un minus în matrice prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

Ei bine, s-a dovedit mult mai frumos. Și, cel mai important, va fi MAI UȘOR să efectuați orice acțiuni cu matricea. Pentru că există un astfel de semn popular matematic: cu cât mai multe minusuri, cu atât mai multe confuzii și erori.

2) Actul doi. Înmulțirea unei matrice cu un număr.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Este simplu, pentru a înmulți o matrice cu un număr, ai nevoie fiecare element de matrice înmulțit cu un număr dat. În acest caz - un trei.

Un alt exemplu util:

– înmulțirea unei matrice cu o fracție

Mai întâi să ne uităm la ce să facem NU ESTE NEVOIE:

NU ESTE NEVOIE să introduceți o fracție în matrice, în primul rând, doar complică acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează ca profesorul să verifice soluția (mai ales dacă; – răspunsul final al sarcinii).

Si in special, NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:

Din articol Matematică pentru manechin sau de unde să încep, ne amintim că la matematica superioară se încearcă să evite fracțiile zecimale cu virgule în toate modurile posibile.

Singurul lucru este preferabil Ce trebuie să faceți în acest exemplu este să adăugați un minus la matrice:

Dar dacă numai TOATE elementele matricei au fost împărțite la 7 fără urmă, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

În acest caz, puteți TREBUIE SAînmulțiți toate elementele matricei cu , deoarece toate numerele matricei sunt divizibile cu 2 fără urmă.

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „diviziune”. În loc să spuneți „acest împărțit cu asta”, puteți spune întotdeauna „acest înmulțit cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.

3) Actul trei. Transpunerea matricei.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Transpune matricea

Există un singur rând aici și, conform regulii, trebuie scris într-o coloană:

– matrice transpusă.

O matrice transpusă este de obicei indicată printr-un superscript sau un prim în dreapta sus.

Exemplu pas cu pas:

Transpune matricea

Mai întâi rescriem primul rând în prima coloană:

Apoi rescriem a doua linie în a doua coloană:

Și, în sfârșit, rescriem al treilea rând în a treia coloană:

Gata. În linii mari, transpunerea înseamnă întoarcerea matricei pe o parte.

4) Actul patru. Suma (diferența) matricelor.

Suma matricelor este o operație simplă.
NU TOATE MATRICILE POT FI POLIATE. Pentru a efectua adunarea (scăderea) matricelor, este necesar ca acestea să aibă ACEEAȘI DIMENSIUNE.

De exemplu, dacă se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată numai cu o matrice două câte două și nu alta!

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Adăugați matrici Și

Pentru a adăuga matrice, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare ale acestora:

Pentru diferența de matrice regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Găsiți diferența de matrice ,

Cum poți rezolva mai ușor acest exemplu, ca să nu te încurci? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile pentru a face acest lucru, adăugați un minus la matrice:

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „scădere”. În loc să spuneți „scădeți acest lucru din asta”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică, scăderea este un caz special de adunare.

5) Actul cinci. Înmulțirea matricei.

Ce matrice pot fi multiplicate?

Pentru ca o matrice să fie înmulțită cu o matrice, este necesar astfel încât numărul de coloane de matrice să fie egal cu numărul de rânduri de matrice.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

Aceasta înseamnă că datele matricei pot fi multiplicate.

Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea nu mai este posibilă!

Prin urmare, înmulțirea nu este posibilă:

Nu este atât de rar să întâlniți sarcini cu un truc, atunci când elevului i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.

Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri este posibilă multiplicarea matricelor în ambele moduri.
De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile