Determinant matriceal minor. Complemente algebrice și minore. Tipuri de minore și complemente algebrice

Lasă matricea să evidențieze
orice k rânduri și k coloane, k și k. Elementele situate la intersecția acestor rânduri și coloane formează o matrice pătrată A¢ de ordinul k ( submatrice matricea A).
Determinantul său se numește minor de ordinul k al unei matrice date A. Evident, în cazul general pot exista mai multe astfel de minore ale matricei A. În acest caz, ordinea maximă a minorilor este egală cu minimul numerelor m și n, adică. . Dintre toate minorele posibile ale matricei A, le selectăm pe cele care sunt diferite de zero. La rândul său, printre acești minori se poate găsi cel puțin un minor de cel mai înalt nivel.

Definiție. Ordinul cel mai înalt al unui minor diferit de zero se numește rangul matricei.

Definiție. O minoră diferită de zero a unei matrice a cărei ordine este egală cu rangul matricei se numește baza minoră a acestei matrice.

Se numesc rânduri și coloane la intersecția cărora există o bază minoră de bază.

În general, o matrice poate avea mai multe minore de bază.

Următoarea teoremă principală, pe care o prezentăm fără demonstrație, joacă un rol important.

Teorema 3.6.(despre minorul de bază). Rândurile de bază (coloanele de bază) ale matricei sunt liniar independente. Orice rând (orice coloană) din matricea A este o combinație liniară de rânduri de bază (coloane de bază).

Astfel, dacă rangul matricei A este r, atunci această matrice trebuie să aibă un minor r ordinul, diferit de zero, și toți minorii a căror ordine este mai mare r, sunt egale cu zero.

Anterior, rangul unei matrice a fost definit ca cel mai mare număr de rânduri (coloane) vectoriale liniar independente. Într-un curs de algebră se dovedește că aceste două definiții sunt echivalente. Acest lucru face posibilă calcularea rangului matricei și, prin urmare, rangul sistemului de vectori.

Exemplu. Găsiți toate minorii de bază ale unei matrice

A= .

○ Orice minor al matricei de ordinul trei A este egal cu zero, deoarece conține un rând zero. Vom găsi minori de ordinul doi, alții decât zero.

, , , , .

Printre minorii de ordinul doi se numără și altele diferite de zero, ceea ce înseamnă că rangul matricei A este 2, iar minorii de bază sunt . ●

Teorema 3.7. Pentru ca determinantul de ordinul al n-lea să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

□ 1) Fie determinantul unei matrice pătrate A de ordin n egal cu zero. Atunci ordinea maximă a minorilor diferit de zero trebuie să fie mai mică de n; prin urmare, rangul matricei A este mai mic n. Aceasta înseamnă că sistemul tuturor rândurilor matricei este dependent liniar.

2) Dacă dreptele A 1, A 2,…, A m ale determinantului sunt liniar dependente,
apoi prin proprietatea de 6° dependență liniară o linie A i este o combinație liniară a rândurilor rămase ale determinantului, i.e.

Adăugând la linia A i Această combinație liniară, înmulțită cu (–1), va avea ca rezultat o linie constând în întregime din zerouri, iar pe baza proprietății de 7° a determinantului, valoarea determinantului nu se va modifica. Dar apoi, prin proprietatea 2°, determinantul este egal cu zero. ■

Exemplu. Demonstrați că vectorii A 1 =(2;–1;3), A 2 =(–1;1;0), A 3 =(1;1;6) sunt coplanari.

○ Trei vectori tridimensionali nenuli sunt coplanari dacă sunt dependenți liniar. Să compunem un determinant din coordonatele acestor vectori

Deoarece determinantul este egal cu zero, rândurile sale sunt dependente liniar, ceea ce înseamnă că vectorii sunt dependenți liniar A 1 =(2;–1;3), A 2 =(–1;1;0), A 3 =(1;1;6), prin urmare, ele sunt coplanare. ●

Definiție. Rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente considerate ca vectori.

Teorema 1 asupra rangului matricei. Rangul matricei se numește ordinul maxim al unui minor diferit de zero al unei matrice.

Am discutat deja despre conceptul de minor în lecția despre determinanți, iar acum îl vom generaliza. Să luăm un anumit număr de rânduri și un anumit număr de coloane din matrice, iar acest „cât” ar trebui să fie mai mic decât numărul de rânduri și coloane ale matricei, iar pentru rânduri și coloane acest „cât” ar trebui să fie acelasi numar. Apoi, la intersecția câte rânduri și câte coloane va exista o matrice de ordin mai mic decât matricea noastră originală. Determinantul este o matrice și va fi un minor de ordinul k, dacă „unele” menționat (numărul de rânduri și coloane) este notat cu k.

Definiție. Minor ( r Ordinul +1), în care se află minorul ales r-allea ordin se numește margine pentru un anumit minor.

Cele două metode cele mai frecvent utilizate sunt aflarea rangului matricei. Acest mod de a se învecina cu minoriiȘi metoda transformărilor elementare(metoda Gauss).

Când se folosește metoda minorilor limită, se folosește următoarea teoremă.

Teorema 2 asupra rangului matricei. Dacă un minor poate fi compus din elemente de matrice r de ordinul al-lea, nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Când se utilizează metoda de transformare elementară, se utilizează următoarea proprietate:

Dacă prin transformări elementare se obține o matrice trapezoidală echivalentă cu cea originală, atunci rangul acestei matrice este numărul de linii din el, altele decât liniile formate în întregime din zerouri.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor

Un minor care înglobează este un minor de ordin superior față de cel dat, dacă acest minor de ordin superior conține minorul dat.

De exemplu, având în vedere matricea

Să luăm un minor

Minorii limitrofe vor fi:

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice Următorul.

1. Găsiți minori de ordinul doi care nu sunt egali cu zero. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu unu ( r =1 ).

2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, atunci compunem minorii limitrofe de ordinul al treilea. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu doi ( r =2 ).

3. Dacă cel puțin unul dintre minorii învecinați de ordinul al treilea nu este egal cu zero, atunci compunem minorii învecinați. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu trei ( r =2 ).

4. Continuați în acest fel atâta timp cât dimensiunea matricei o permite.

Exemplul 1. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minor de ordinul doi .

Să o limităm. Vor fi patru minori în graniță:

Astfel, toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul acestei matrice este egal cu doi ( r =2 ).

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este egal cu 1, întrucât toți minorii de ordinul doi ai acestei matrice sunt egali cu zero (în aceasta, ca și în cazurile minorilor limitrofe din următoarele două exemple, dragi elevi sunt invitați să verifice pt. ei înșiși, poate folosind regulile de calcul al determinanților), iar printre minorii de ordinul întâi, adică printre elementele matricei, există și altele diferite de zero.

Exemplul 3. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minorul de ordinul doi al acestei matrice este și toate minorii de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero. Prin urmare, rangul acestei matrice este doi.

Exemplul 4. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 3, deoarece singurul minor de ordinul trei al acestei matrice este 3.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare (metoda Gauss)

Deja în exemplul 1 este clar că sarcina de a determina rangul unei matrice folosind metoda minorilor învecinați necesită calcularea unui număr mare de determinanți. Există, totuși, o modalitate de a reduce cantitatea de calcul la minimum. Această metodă se bazează pe utilizarea transformărilor matriceale elementare și este numită și metoda Gauss.

Următoarele operații sunt înțelese ca transformări matrice elementare:

1) înmulțirea oricărui rând sau coloană a unei matrice cu un alt număr decât zero;

2) adăugarea la elementele oricărui rând sau coloană a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, înmulțite cu același număr;

3) schimbarea a două rânduri sau coloane ale matricei;

4) eliminarea rândurilor „nule”, adică a celor ale căror elemente sunt toate egale cu zero;

5) ștergerea tuturor liniilor proporționale cu excepția uneia.

Teorema.În timpul unei transformări elementare, rangul matricei nu se modifică. Cu alte cuvinte, dacă folosim transformări elementare din matrice A a mers la matrice B, Acea .

Determinanții matricilor sunt adesea utilizați în calcul, algebră liniară și geometrie analitică. În afara lumii academice, determinanții matricei sunt în mod constant necesari de către ingineri și programatori, în special cei care lucrează cu grafica pe computer. Dacă știți deja cum să găsiți determinantul unei matrice 2x2, atunci singurele instrumente de care aveți nevoie pentru a găsi determinantul unei matrice 3x3 sunt adunarea, scăderea și înmulțirea.

Pași

Găsirea unui determinant

Scrieți o matrice de 3 x 3. Să notăm o matrice de dimensiunea 3 x 3, pe care o notăm M, și să găsim determinantul ei |M|. Următoarea este notația generală a matricei pe care o vom folosi și matricea pentru exemplul nostru:

M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

Selectați un rând sau o coloană a matricei. Acest rând (sau coloană) va fi referința. Rezultatul va fi același, indiferent de rândul sau coloana pe care o selectați. Pentru acest exemplu, să luăm prima linie. Veți găsi mai târziu câteva sfaturi despre cum să selectați un rând sau o coloană pentru a ușura calculele.
- Să selectăm primul rând al matricei M din exemplul nostru. Încercuiește numerele 1 5 3. În formă generală, încercuiește a 11 a 12 a 13 .
Tăiați rândul sau coloana cu primul element. Consultați rândul de referință (sau coloana de referință) și selectați primul element. Desenați o linie orizontală și verticală prin acest element, tăind astfel coloana și rândul cu acest element. Ar trebui să rămână patru numere. Vom considera aceste elemente ca fiind o nouă matrice 2 x 2.
- În exemplul nostru, rândul de referință ar fi 1 5 3. Primul element se află la intersecția primei coloane și a primului rând. Tăiați rândul și coloana cu acest element, adică prima linie și prima coloană. Scrieți elementele rămase ca o matrice 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Aflați determinantul unei matrice 2 x 2. Amintiți-vă că determinantul unei matrice (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\\c&d\end(pmatrix))) calculat ca ad-bc. Din aceasta, puteți calcula determinantul matricei 2 x 2 rezultate, pe care o puteți nota cu X dacă doriți. Înmulțiți cele două numere ale matricei X, conectate diagonal de la stânga la dreapta (adică astfel: \) . Apoi scade rezultatul înmulțirii celorlalte două numere în diagonală de la dreapta la stânga (adică astfel: /). Utilizați această formulă pentru a calcula determinantul matricei pe care tocmai ați obținut-o.

Înmulțiți răspunsul rezultat cu elementul de matrice selectat M. Amintiți-vă ce element din rândul (sau coloana) de referință am folosit când am tăiat alte elemente din rând și coloană pentru a obține o nouă matrice. Înmulțiți acest element cu minorul rezultat (determinantul matricei 2x2, pe care am notat-o cu X).
- În exemplul nostru, am ales elementul a 11, care a fost egal cu 1. Înmulțiți-l cu -34 (determinantul unei matrice 2x2) și obținem 1*-34 = -34 .
Determinați semnul rezultatului obținut.În continuare, va trebui să înmulțiți rezultatul cu 1 sau cu -1 pentru a obține complement algebric (cofactor) elementul selectat. Semnul cofactorului va depinde de locul în care se află elementul în matricea 3x3. Amintiți-vă această diagramă simplă de semne pentru a cunoaște semnul cofactorului:
Repetați toți pașii de mai sus cu al doilea element al rândului (sau coloanei) de referință. Reveniți la matricea originală 3x3 și la rândul pe care l-am încercuit chiar la începutul calculului. Repetați toate acțiunile cu acest element:
- Tăiați rândul și coloana cu acest element.În exemplul nostru, trebuie să selectăm elementul a 12 (egal cu 5). Taiați primul rând (1 5 3) și a doua coloană (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix))) matrici.
- Scrieți elementele rămase ca o matrice 2x2.În exemplul nostru, matricea va arăta ca (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\\4&2\end(pmatrix)))
- Găsiți determinantul acestei noi matrice 2x2. Utilizați formula ad - bc de mai sus. (2*2 - 7*4 = -24)
- Înmulțiți determinantul rezultat cu elementul selectat al matricei 3x3. -24 * 5 = -120
- Verificați pentru a vedea dacă trebuie să înmulțiți rezultatul cu -1. Să folosim formula (-1) ij pentru a determina semnul complementului algebric. Pentru elementul a 12 pe care l-am selectat, semnul „-” este indicat în tabel; formula dă un rezultat similar. Adică trebuie să schimbăm semnul: (-1)*(-120) = 120 .
Repetați cu al treilea element.În continuare, va trebui să găsiți încă un complement algebric. Calculați-l pentru ultimul element al rândului de referință sau al coloanei de referință. Următoarea este o scurtă descriere a modului în care este calculat complementul algebric al unui 13 în exemplul nostru:
- Tăiați primul rând și a treia coloană pentru a obține o matrice (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix)))
- Determinantul său este 2*6 - 4*4 = -4.
- Înmulțiți rezultatul cu elementul a 13: -4 * 3 = -12.
- Elementul a 13 are semnul + în tabelul de mai sus, deci răspunsul va fi -12 .
Adunați rezultatele. Acesta este ultimul pas. Trebuie să adăugați complementele algebrice rezultate ale elementelor rândului de referință (sau coloanei de referință). Adunați-le și obțineți valoarea determinantului unei matrice 3x3.
- În exemplul nostru, determinantul este egal cu -34 + 120 + -12 = 74 .
Cum să simplificăm sarcina
1. Alegeți ca rând (sau coloană) de referință pe cel care are mai multe zerouri. Amintiți-vă că puteți alege ca referință orice rând sau coloană. Alegerea rândului sau coloanei de referință nu afectează rezultatul. Dacă selectați rândul cu cele mai multe zerouri, va trebui să faceți mai puține calcule, deoarece va trebui să calculați doar complementele algebrice pentru elementele diferite de zero. De aceea:
  - Să presupunem că ați selectat rândul 2 cu elementele a 21 , a 22 și a 23 . Pentru a găsi determinantul, va trebui să găsiți determinanții a trei matrici diferite 2x2. Să le numim A 21, A 22 și A 23.
  - Adică, determinantul unei matrice 3x3 este egal cu un 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |.
  - Dacă atât un 22 cât și un 23 sunt 0, atunci formula noastră devine mult mai scurtă a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 |. Adică, este necesar să se calculeze doar complementul algebric al unui element.
2. Utilizați adăugarea de rânduri pentru a simplifica o matrice. Dacă luați un rând și adăugați altul, determinantul matricei nu se va schimba. Același lucru este valabil și pentru coloane. Puteți face acest lucru de mai multe ori sau puteți înmulți valorile șirului cu o constantă (înainte de a adăuga) pentru a obține cât mai multe zerouri. Făcând acest lucru poate economisi mult timp.
  - De exemplu, avem o matrice de trei rânduri: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))
  - Pentru a scăpa de 9 în locul elementului a 11, putem înmulți a doua linie cu -3 și adăugăm rezultatul la prima. Noua prima linie va fi + [-9 -3 0] = .
  - Adică obținem o nouă matrice (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))Încercați să faceți același lucru cu coloanele pentru a obține un zero în locul elementului a 12.
3. Amintiți-vă că calcularea determinantului matricelor triunghiulare este mult mai ușoară. Determinantul matricelor triunghiulare se calculează ca produsul elementelor de pe diagonala principală, de la un 11 în colțul din stânga sus la un 33 în colțul din dreapta jos. În acest caz vorbim de matrici triunghiulare cu dimensiunile 3x3. Matricele triunghiulare pot fi de următoarele tipuri, în funcție de locație diferit de zero valori:
  - Matricea triunghiulară superioară: Toate elementele diferite de zero sunt pe și deasupra diagonalei principale. Toate elementele de sub diagonala principală sunt zero.
  - Matricea triunghiulară inferioară: Toate elementele diferite de zero sunt dedesubt și pe diagonala principală.
  - Matricea diagonală: Toate elementele diferite de zero sunt pe diagonala principală. Este un caz special al matricelor descrise mai sus.
  - Metoda descrisă se aplică matricelor pătrate de orice rang. De exemplu, dacă o utilizați pentru o matrice 4x4, atunci după „barare” vor rămâne matrice 3x3, pentru care determinantul va fi calculat în modul de mai sus. Fiți pregătiți pentru faptul că calcularea manuală a determinantului pentru matrice de astfel de dimensiuni este o sarcină foarte laborioasă!
  - Dacă toate elementele unui rând sau coloană sunt 0, atunci determinantul matricei este, de asemenea, 0.

Matrice minori

Să fie dat un pătrat matrice A, ordinea a n-a. Minor un element a ij , determinant al matricei se numește ordinul a n-a determinant(n - 1) ordinul, obținut din cel original prin tăierea rândului și coloanei la intersecția cărora se află elementul selectat a ij. Notat cu M ij.

Să ne uităm la un exemplu determinant al matricei 3 - ordinea sa:

Apoi conform definiției minor, minor M 12, corespunzător elementului a 12, va fi determinant:

În același timp, cu ajutorul minori poate ușura sarcina de calcul determinant al matricei. Trebuie să-l răspândim determinant matriceal de-a lungul unei linii și apoi determinant va fi egală cu suma tuturor elementelor acestei linii de către minorii lor. Descompunere determinant al matricei 3 - ordinea sa va arăta astfel:

Semnul din fața produsului este (-1) n, unde n = i + j.

Adunări algebrice:

Complement algebric elementul a ij se numește its minor, luată cu semnul „+” dacă suma (i + j) este un număr par și cu semnul „-” dacă această sumă este un număr impar. Notat cu A ij. A ij = (-1) i+j × M ij.

Apoi putem reformula proprietatea menționată mai sus. Determinant de matrice egal cu suma produsului elementelor unui anumit rând (rând sau coloană) matrici la corespunzătoare lor adunări algebrice. Exemplu:

4. Matricea inversă și calculul acesteia.

Fie A pătrat matrice ordinea a n-a.

Pătrat matrice A se numește nedegenerat dacă determinant matriceal(Δ = det A) nu este zero (Δ = det A ≠ 0). În caz contrar (Δ = 0) matrice A se numește degenerat.

Matrice, aliat cu matrice Ah, se numește matrice

Unde A ij - complement algebric element a ij dat matrici(este definit în același mod ca complement algebric element determinant al matricei).

Matrice Se numește A -1 matrice inversă A, dacă este îndeplinită condiția: A × A -1 = A -1 × A = E, unde E este unitate matrice aceeași ordine ca matrice A. Matrice A -1 are aceleași dimensiuni ca matrice A.

matrice inversă

Dacă există pătrate matrici X și A, îndeplinind condiția: X × A = A × X = E, unde E este unitatea matrice de aceeași ordine, atunci matrice X este numit matrice inversă la matricea A și se notează cu A -1. Orice nedegenerat matrice Are matrice inversăși, în plus, doar unul, adică pentru a avea un pătrat matrice A avut matrice inversă, este necesar și suficient pentru aceasta determinant era diferit de zero.

Pentru obtinerea matrice inversă utilizați formula:

Unde M ji este suplimentar minor element a ji matrici A.

5. Rangul matricei. Calcularea rangului folosind transformări elementare.

Considerăm o matrice dreptunghiulară mхn. Să selectăm câteva k rânduri și k coloane din această matrice, 1 £ k £ min (m, n) . Din elementele situate la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, compunem un determinant de ordin k. Toți astfel de determinanți sunt numiți minori de matrice. De exemplu, pentru o matrice puteți compune minori de ordinul doi și minorii de ordinul I 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Definiție. Rangul unei matrice este cel mai înalt ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice. Notați rangul matricei r(A).

În exemplul dat, rangul matricei este de doi, deoarece, de exemplu, este minor

Este convenabil să se calculeze rangul unei matrice folosind metoda transformărilor elementare. Transformările elementare includ următoarele:

1) rearanjarea rândurilor (coloanelor);

2) înmulțirea unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero;

3) adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțite anterior cu un anumit număr.

Aceste transformări nu modifică rangul matricei, întrucât se știe că 1) atunci când rândurile sunt rearanjate, determinantul își schimbă semnul și, dacă nu era egal cu zero, atunci nu va mai fi; 2) la înmulțirea unui șir al unui determinant cu un număr care nu este egal cu zero, determinantul se înmulțește cu acest număr; 3) a treia transformare elementară nu schimbă deloc determinantul. Astfel, efectuând transformări elementare pe o matrice se poate obține o matrice pentru care este ușor de calculat rangul acesteia și, în consecință, al matricei originale.

Definiție. O matrice obtinuta dintr-o matrice folosind transformari elementare se numeste echivalenta si se noteaza A ÎN.

Teorema. Rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare ale matricei.

Folosind transformări elementare, puteți reduce matricea la așa-numita formă de pas, atunci când calcularea rangului său nu este dificilă.

Matrice se numește treptat dacă are forma:

Evident, rangul matricei eșalonului este egal cu numărul de rânduri diferite de zero , deoarece există un minor de ordin care nu este egal cu zero:

În acest subiect vom lua în considerare conceptele de complement algebric și minor. Prezentarea materialului se bazează pe termenii explicați la tema „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”. Vom avea nevoie și de câteva formule pentru calcularea determinanților. Deoarece acest subiect conține o mulțime de termeni legați de minori și complemente algebrice, voi adăuga un scurt rezumat pentru a facilita navigarea materialului.

$M_(ij)$ minor al elementului $a_(ij)$

$M_(ij)$ element$a_(ij)$ matrice $A_(n\times n)$ denumește determinantul matricei obținute din matricea $A$ prin ștergerea rândului i și a coloanei j (adică rândul și coloana de la intersecție din care elementul este situat $a_(ij)$).

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al patrulea: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 și 84 \\ 3 și 12 și -5 și 58 \end(array) \right)$. Să găsim minorul elementului $a_(32)$, adică. să găsim $M_(32)$. Mai întâi, să notăm minorul $M_(32)$ și apoi să calculăm valoarea acestuia. Pentru a compune $M_(32)$, ștergem al treilea rând și a doua coloană din matricea $A$ (la intersecția celui de-al treilea rând și a doua coloană se află elementul $a_(32)$ ). Vom obține o nouă matrice, al cărei determinant este minorul necesar $M_(32)$:

Acest minor este ușor de calculat folosind formula nr. 2 din subiectul de calcul:

$$ M_(32)=\stanga| \begin(array) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(array) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Deci, minorul elementului $a_(32)$ este 579, i.e. $M_(32)=579$.

Adesea, în locul expresiei „element de matrice minor” în literatură, se găsește „element determinant minor”. Esența rămâne aceeași: pentru a obține minorul elementului $a_(ij)$, trebuie să tăiați al-lea rând și j-a coloană din determinantul inițial. Elementele rămase sunt scrise într-un nou determinant, care este minorul elementului $a_(ij)$. De exemplu, să găsim minorul elementului $a_(12)$ al determinantului $\left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(array) \right|$. Pentru a scrie minorul necesar $M_(12)$ trebuie să ștergem primul rând și a doua coloană din determinantul dat:

Pentru a găsi valoarea acestui minor, folosim formula nr. 1 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M_(12)=\stanga| \begin(array) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(array) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Deci, minorul elementului $a_(12)$ este 83, i.e. $M_(12)=83$.

Complement algebric $A_(ij)$ al elementului $a_(ij)$

Fie dată o matrice pătrată $A_(n\times n)$ (adică o matrice pătrată de ordinul al n-lea).

Complement algebric$A_(ij)$ element$a_(ij)$ a matricei $A_(n\times n)$ se găsește prin următoarea formulă: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

unde $M_(ij)$ este minorul elementului $a_(ij)$.

Să găsim complementul algebric al elementului $a_(32)$ al matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, i.e. să găsim $A_(32)$. Am găsit anterior minorul $M_(32)=579$, așa că folosim rezultatul obținut:

De obicei, atunci când se găsesc complemente algebrice, minorul nu este calculat separat și numai atunci complementul în sine. Nota minoră este omisă. De exemplu, să găsim $A_(12)$ dacă $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end (matrice) \dreapta)$. Conform formulei $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Totuși, pentru a obține $M_(12)$ este suficient să tăiați primul rând și a doua coloană a matricei $A$, așa că de ce să introduceți o notație suplimentară pentru minor? Să notăm imediat expresia pentru complementul algebric $A_(12)$:

Minor de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$

Dacă în cele două paragrafe precedente am vorbit doar despre matrice pătrată, atunci aici vom vorbi și despre matrice dreptunghiulară, în care numărul de rânduri nu este neapărat egal cu numărul de coloane. Deci, să fie dată matricea $A_(m\times n)$, i.e. o matrice care conține m rânduri și n coloane.

Ordine K-a minoră matricea $A_(m\times n)$ este un determinant ale cărui elemente sunt situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane ale matricei $A$ (se presupune că $k≤ m$ și $k≤ n$).

De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ și notează ce -sau minor de ordinul al treilea. Pentru a scrie un minor de ordinul al treilea, trebuie să selectăm oricare trei rânduri și trei coloane din această matrice. De exemplu, luați rândurile numerotate 2, 4, 6 și coloanele numerotate 1, 2, 4. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi localizate elementele minorului necesar. În figură, elementele minore sunt prezentate cu albastru:

Minorii de ordinul întâi se găsesc la intersecția unui rând și a unei coloane, adică minorii de ordinul întâi sunt egali cu elementele unei matrice date.

Minorul de ordin al k al matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ se numește principal, dacă pe diagonala principală a unui minor dat există doar elementele diagonale principale ale matricei $A$.

Permiteți-mi să vă reamintesc că elementele diagonale principale sunt acele elemente ale matricei ai căror indici sunt egali: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ și așa mai departe. De exemplu, pentru matricea $A$ considerată mai sus, astfel de elemente vor fi $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8$. Ele sunt evidențiate cu roz în figură:

De exemplu, dacă în matricea $A$ tăiem rândurile și coloanele numerotate 1 și 3, atunci la intersecția lor vor exista elemente de ordinul al doilea minor, pe a căror diagonală principală vor fi doar elemente diagonale. ale matricei $A$ (elementele $a_(11) =-1$ și $a_(33)=18$ ale matricei $A$). Prin urmare, obținem un minor principal de ordinul doi:

Desigur, am putea lua și alte rânduri și coloane, de exemplu, cu numerele 2 și 4, obținând astfel un minor principal diferit de ordinul doi.

Fie unele minore $M$ de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$ să nu fie egale cu zero, i.e. $M\neq 0$. În acest caz, toți minorii a căror ordine este mai mare decât k sunt egali cu zero. Apoi minorul $M$ este numit de bază, iar rândurile și coloanele pe care sunt situate elementele minorului de bază sunt numite corzi de bazăȘi coloane de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$. Să scriem minorul acestei matrice, ale cărei elemente sunt situate la intersecția rândurilor numerotate 1, 2, 3 și coloanelor numerotate 1, 3, 4. Obținem un minor de ordinul trei:

Să găsim valoarea acestui minor folosind formula nr. 2 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M=\stânga| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|=4+3+6-2=11. $$

Deci, $M=11\neq 0$. Acum să încercăm să compunem orice minor a cărui ordine este mai mare de trei. Pentru a face un minor de ordinul al patrulea, trebuie să folosim al patrulea rând, dar toate elementele acestui rând sunt zero. Prin urmare, orice minor de ordinul al patrulea va avea un rând zero, ceea ce înseamnă că toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero. Nu putem crea minore de ordinul al cincilea sau mai mare, deoarece matricea $A$ are doar 4 rânduri.

Am găsit un minor de ordinul al treilea care nu este egal cu zero. În acest caz, toți minorii de ordine superioară sunt egali cu zero, prin urmare, minorul pe care l-am considerat este de bază. Rândurile matricei $A$ pe care se află elementele acestui minor (primul, al doilea și al treilea) sunt rândurile de bază, iar prima, a treia și a patra coloană a matricei $A$ sunt coloanele de bază.

Acest exemplu, desigur, este banal, deoarece scopul său este de a arăta în mod clar esența minorului de bază. În general, pot exista mai mulți minori de bază și, de obicei, procesul de căutare a unui astfel de minor este mult mai complex și mai amplu.

Să introducem un alt concept - limită minoră.

Fie unele de ordine k-lea minor $M$ ale matricei $A_(m\times n)$ să fie situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane. Să adăugăm un alt rând și coloană la setul acestor rânduri și coloane. Se numește minorul rezultat de ordinul (k+1). marginea minoră pentru minor $M$.

De exemplu, să ne uităm la matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (matrice) \dreapta)$. Să scriem un minor de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2 și nr. 5, precum și coloanele nr. 2 și nr. 4.

Să adăugăm un alt rând nr. 1 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$, iar coloana nr. 5 la setul de coloane. Obținem un nou minor $M"$ (deja de ordinul trei), ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 5 și coloanele nr. 2, nr. 4, nr. 5. Elementele minorului $M$ din figură sunt evidențiate cu roz, iar elementele pe care le adăugăm minorului $M$ sunt verzi:

Minorul $M"$ este minorul de margine pentru minorul $M$. În mod similar, adăugând rândul nr. 4 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$ și coloana nr. 3 la setul de coloane, obținem minorul $M""$ (minor de ordinul trei):

Minorul $M""$ este, de asemenea, un minor învecinat pentru minorul $M$.

Minor de ordinul k al matricei $A_(n\times n)$. Minor suplimentar. Complement algebric la minorul unei matrice pătrate.

Să revenim din nou la matricele pătrate. Să introducem conceptul de minor suplimentar.

Fie dat un anumit minor $M$ de ordinul k al matricei $A_(n\n)$. Determinantul de ordinul (n-k)-lea, ale cărui elemente se obțin din matricea $A$ după ștergerea rândurilor și coloanelor care conțin minorul $M$, se numește minor, complementar minorului$M$.

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al cincilea: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Să selectăm rândurile nr. 1 și nr. 3, precum și coloanele nr. 2 și nr. 5. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi elemente de $M$ minor de ordinul doi:

Acum să scoatem din matrice $A$ rândurile nr. 1 și nr. 3 și coloanele nr. 2 și nr. 5, la intersecția cărora se află elemente ale $M$ minor (rândurile și coloanele eliminate sunt afișate în roșu în figura de mai jos). Elementele rămase formează minorul $M"$:

Minorul $M"$, a cărui ordine este $5-2=3$, este minorul complementar minorului $M$.

Complement algebric la un minor$M$ a unei matrice pătrate $A_(n\times n)$ se numește expresia $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, unde $\alpha$ este suma numerelor rândurilor și coloanelor a matricei $A$, pe care sunt situate elementele minorului $M$, iar $M"$ este complementarul minorului $M$.

Expresia „complement algebric la minorul $M$” este adesea înlocuită cu expresia „complement algebric la minorul $M$”.

De exemplu, luăm în considerare matricea $A$, pentru care am găsit minorul de ordinul doi $ M=\left| \begin(array) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ și minorul său suplimentar de ordinul al treilea: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (matrice) \right|$ Să notăm complementul algebric al minorului $M$ ca $M^*$ Apoi, conform definiției:

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Parametrul $\alpha$ este egal cu suma numerelor rândurilor și coloanelor pe care se află minorul $M$. Acest minor este situat la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 5. Prin urmare, $\alpha=1+3+2+5=11$. Asa de:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.$$

În principiu, folosind formula nr. 2 din tema calculului determinanților ordinului al doilea și al treilea, puteți finaliza calculele, obținând valoarea $M^*$:

$$ M^*=-\stânga| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|=-30. $$